pièges et ambiguïtés...La notion de dizaine est difficilement assimilée par les élèves. Il...

F Demeulier

Numération de position

pièges et ambiguïtés

Juin 2020

La notion de dizaine est

difficilement assimilée par les élèves.

Il doit donc y avoir des obstacles :

- dans la notion ou

- dans notre manière de l’aborder.

L’ambiguïté du regroupement

dizaines unités

1 0

1 regroupement

Pourquoi créer des regroupements ?

Dès que j’ai 9 + 1 choses, je les range ensemble

PARCE QUE JE N’AI PLUS DE CHIFFRE APRES 9.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

zéro. un. deux. trois. quatre. cinq. six. sept. huit. neuf. glou. pach zoupi

… mais on aurait pu en inventer !

7 8 9 10 11 12

dizaines unités

1 0dizaines unités

1 1dizaines unités

1 2

J’ai un groupement de 9 + 1 unités.

J’ai un groupement de 9 + 1 unités et

une unité en plus.

J’ai un groupement de 9 + 1 unités et

deux unités en plus.

C’est quoi une dizaine ?

Les chiffres s’arrêtent à 9,

ensuite je fais des regroupements.

C’est quoi une dizaine ?

Alors qu’en base 5,

pour la quantité 5, j’afficherais 10,

tout en ayant la possibilité de dire

que c’est un regroupement de 5 éléments.

Donc…

groupement unités

1 0

En base 10, il n’existe aucun chiffre pour dénombrer ce que contient un regroupement.

Que contient ce regroupement ?

10 cubes, c’est à dire

1 regroupement + 0 cubes en plus

- Un regroupement de combien ?

- De 10 cubes, c’est à dire

1 regroupement + 0 cubes en plus

Un regroupement ne peut se définir que par une décomposition additive :

10 cubes, c’est à dire

5 cubes + 5 cubes

4 cubes + 6 cubes

3 cubes + 7 cubes

2 cubes + 8 cubes

1 cubes + 9 cubes

L’ambiguïté de l’unité

C’est quoi une unité ?

Nous nous accordons à préciser dans certains cas l’unité en précisant de quoi nous parlons :

L’unité est le millimètre,

le mètre,

le litre,

le gramme

35 m

5 l

12 g

C’est quoi une unité ?

Si nous mesurons une distance entre villes, nous ne dirons pas naturellement

357 unités

mais 357 kilomètres

C’est quoi une unité ?

Si nous pesons un élève, nous ne dirons pas naturellement

32 unités

mais 32 kilogrammes

L’unité (km, l, g, m, mm…) concrétise la discussion.

C’est quoi une unité ?L’unité est :

1 - c’est un terme générique pour décrire ce qui est UN c’est ce qui est compté UN par UN (cubes, cm, litres…)

2 - ce qui UNifie la compréhension de chaque chiffre

2 5 3 chaises 3 unités chaise

5 dizaines d’unités chaise 2 centaines d’unités chaises

Que ce soit le chiffre des centaines, des dizaines, des unités

il n’est là que pour compter des unités chaise.

L’unité n’est pas que l’appellation de la colonne

de droite.

C D U

4 3 8

L’ambiguïté du vocabulaire

C’est quoi une unité ?La dizaine

Ce terme nous précise un regroupement

et en même temps nous informe de son contenu… dizaine—> dix unités

La dizaine

On est à la fois dans la notion de regroupement

et dans les unités qui la composent.

Quand nous employons le terme de dizaine,

à quoi doit penser l’enfant ?

- au groupement ?

- au contenu ?

Mais pour l’enfant,

10 n’est que le nombre après 9.

Que vient faire ce regroupement après 9 ?

Que vient faire cette colonne des dizaines ?

A quoi rime-t-elle s’il pense la suite des nombres comme un

ruban sans fin ?

La centaine Ce terme nous précise un regroupement

et en même temps nous informe de son contenu… centaine—> cent unités

C’est quoi une unité ?

La centaine idem…

On est à la fois dans la notion de regroupement

et dans les unités qui la composent.

C’est quoi une unité ?

Le terme principal est l’unité.

Tous les autres termes ne sont là que pour nous décrire des regroupements

d’unités.

dizaines… 10 unités

centaines… 10 regroupements de 10 unités

milliers… 10 regroupements de 10 regroupements de 10 unités

…

C’est quoi une unité ?

La dizaine, la centaine…ne sont que des emboîtements, des rangements d’unités et donc en contiennent.

centaines dizaines unités

9 4 8

Contient des

unités Contient des

unités

Contient des

unités

Comment garder cette notion d’emboîtement en travaillant le nombre avec les élèves, en visualisant quelque chose de connu, de courant, de manipulé et non des notions mi-symboliques, mi-matérielles ?

Range tes

chaussettes !

Range tes

tiroirs !

1 tiroir contient 10 chaussettes.

Donc ce tiroir sera appelé la DIZAINE, une dizaine d’unités chaussette. Le tiroir n’est qu’un rangement, l’important est l’unité chaussette.

10 dizaines d’unités chaussetteL’armoire contient 10 tiroirs.

La présence de l’armoire ne se justifie que parce qu’il faut ranger des chaussettes.

L’armoire contient les 100 chaussettes, donc elle sera appelée la CENTAINE.

une centaine d’unités chaussette

1 0 01 0 0

1 0 0

Par exemple, visualisons 248.

2 4 8 armoires

centaines

tiroirs par terre

dizaines par terre

chaussettes par terre

unités par terre

2 4 8

tous les tiroirs

dizaines en tout

chaussettes par terre

unités par terre

2 4 8

Il y a les tiroirs par terre pour visualiser le chiffre des dizaines.

Il y a les tiroirs en tout, pour visualiser toutes les dizaines comprises dans le nombre.

armoires

centaines

tiroirs par terre

dizaines par terre

chaussettes par terre

unités par terre

2 4 8

dizaines en tout

unités par terre

2 4 8

Si je cherche tous les tiroirs compris dans le nombre (toutes les dizaines), c’est que je m’intéresse à tout, sauf aux chaussettes au sol, non rangées. Alors, cachons-les !

2 4 8 armoires

centaines

tiroirs par terre

dizaines par terre

chaussettes par terre

unités par terre

2 4 8

dizaines en tout

unités par terre

2 4 8

Mais nous pouvons aussi visualiser le nombre total de chaussettes.

2 4 8armoires

centaines

tiroirs par terre

dizaines par terre

chaussettes par terre

unités par terre

2 4 8

=

toutes les unités

toutes les chaussettes

2 4 8

Deux cent quarante huit

Quand j’écoute les composantes du nombre…

deux-cent quarante huit

j’entends les unités contenues dans chaque élément du dessin

Deux cent quarante huit

armoires

centaines

tiroirs par terre

dizaines par terre

chaussettes par terre

unités par terre

24

8

Deux cent

quarante

huit

2 0 4

0 0 8

Deux cent

quarante

huit

Deux cent

quarante

huit

Les chiffres font plus référence aux regroupements et

le nombre littéral fait plus référence aux quantités d’unités

pour chaque chiffre.

armoires

centaines

tiroirs par terre

dizaines par terre

chaussettes par terre

unités par terre

24

8

2 4 82 4 8

2 4 8

Autre exercice,

où les centaines sont à concevoir.

centaines

armoires

dizaines restantes

tiroirs par terre

unités restantes

chaussettes par terre

toutes les dizaines

unités restantes

chaussettes par terre

toutes les unités

centaines

armoires

dizaines restantes

tiroirs par terre

unités restantes

chaussettes par terre

2 0 1

toutes les dizaines

unités restantes

2 0 1

toutes les unités

2 0 1

Exploiter ces différents regards

sur les dizaines, les centaines

pour adapter le regard sur les opérations.

toutes les dizaines unités

6 4 0

+ 1 0

=

6 4 0 + 1 0 = …….

4 4 8 + 4 1 = 4 8 9

toutes les dizaines

unités restantes

44 + 4 2

8 1

= 4 8 9

Nombre total d’unités

4 4 82 + 4 1

= 4 8 9

centaines dizaines restantes

unités restantes

4 4 8

4 1

4 8 9

+

=

Ce calcul révèle

un simple double.

Changer de support

pour dissocier le principe mathématique du support exploité

=

100 = 10 fois 10 cubes = 10 fois 1 dizaine = 1 fois 1 centaine

100 = 10 x 10 = 10 fois 10 = 1 fois 100

100 = 100 = 100 = 100

… avec les cubes bleus, les boîtes rouges et les sacs verts

Si je vide 1 sac vert

je vais trouver 10 boîtessi je vide toutes les boîtes, je vais trouver 100 cubes.

Comme Mademoiselle NOMBRE, nous sommes des fous du 10

600 + 200 = …..

600 200?

Je simplifie les calculs en pensant au matériel de visualisation.

= 6 sacs verts + 2 sacs verts

C D U

5 0 8

5 C + 0 D + 8 U

500 + 8

508

Cinq - cent - huit

Je renforce ma compréhension des C, D, U en entrainant ma vigilance

visuelle.

Je calcule et visualise les regroupement. dizaines

groupes de ballons

chiffre des unités

ballons seuls

3 54 5

= 80unités

Nombre total de ballons

3 5+ 4 5= 8 0

Nous avons une nouvelle

dizaine.

Nous avons une nouvelle

dizaine.

1

1 0

Dans notre système numérique,

nous sommes des fous du 10.

Nous regroupons systématiquement

tout ce qui atteint 10.

100 000

centaines de

milliers

dizaines de

milliersmillier centaines dizaines unités

1 0 0 0 0 0

Je remplis un port avec 10 bateaux.

chaussettes

centaines de

milliers

dizaines de

milliersmillier centaines dizaines unités

1

1 0

1 0 0

1 0 0 0

1 camion, c’est…10 armoires…100 tiroirs…1000 chaussettes

Les chaussettes,

l’occasion d’amener la notion de

nombres pairs et de

nombres impairs

Les nombres pairs et impairs

On essaie de ranger les chaussettes par paire.

Les nombres pairs et impairs

Une paire, c’est 2 choses.Une paire de chaussures

Une paire de gants Une paire de ciseaux

Une paire de claques

Les nombres pairs et impairs

Mais parfois, il manque 1 chose.

Nous n’avons plus la paire.

C’est un nombre impair.

Les nombres pairs et impairs

Ai-je un nombre pair de chaussettes ?

Les nombres pairs et impairs

Ai-je un nombre pair de chaussettes ?

NON

Les nombres pairs et impairs

Ai-je un nombre pair de chaussettes ?

13 est un nombre impair.

Les nombres pairs et impairs

Ai-je un nombre pair de chaussettes ?

Les nombres pairs et impairs

Ai-je un nombre pair de chaussettes ?

OUI 8 est un nombre pair.

Les nombres pairs et impairs

Ai-je un nombre pair de chaussettes ?

Les nombres pairs et impairs

Ai-je un nombre pair de chaussettes ?

OUI 10 est un nombre pair.

Les nombres pairs et impairs

Ai-je un nombre pair de chaussettes ?

Les nombres pairs et impairs

Ai-je un nombre pair de chaussettes ?

OUI car tous les tiroirs ont un nombre pair de chaussettes. Il n’y a pas de chaussettes seules.

2 4 8 armoires

centaines

tiroirs par terre

dizaines par terre

chaussettes par terre

unités par terre

2 4 8

dizaines en tout

unités par terre

2 4 8

Pour savoir si un nombre est PAIR, cherche les chaussettes seules.

2 4 8 armoires

centaines

tiroirs par terre

dizaines par terre

chaussettes par terre

unités par terre

2 4 8

dizaines en tout

unités par terre

2 4 8

Il n’y en a pas ? C’est un nombre PAIR.

2 4 7 armoires

centaines

tiroirs par terre

dizaines par terre

chaussettes par terre

unités par terre

2 4 7

dizaines en tout

unités par terre

2 4 7

Il y en a ? C’est un nombre IMPAIR.