Upload
others
View
2
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
F Demeulier
Numération de position
pièges et ambiguïtés
Juin 2020
La notion de dizaine est
difficilement assimilée par les élèves.
Il doit donc y avoir des obstacles :
- dans la notion ou
- dans notre manière de l’aborder.
L’ambiguïté du regroupement
dizaines unités
1 0
1 regroupement
Pourquoi créer des regroupements ?
Dès que j’ai 9 + 1 choses, je les range ensemble
PARCE QUE JE N’AI PLUS DE CHIFFRE APRES 9.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
zéro. un. deux. trois. quatre. cinq. six. sept. huit. neuf. glou. pach zoupi
… mais on aurait pu en inventer !
7 8 9 10 11 12
dizaines unités
1 0dizaines unités
1 1dizaines unités
1 2
J’ai un groupement de 9 + 1 unités.
J’ai un groupement de 9 + 1 unités et
une unité en plus.
J’ai un groupement de 9 + 1 unités et
deux unités en plus.
C’est quoi une dizaine ?
Les chiffres s’arrêtent à 9,
ensuite je fais des regroupements.
C’est quoi une dizaine ?
Alors qu’en base 5,
pour la quantité 5, j’afficherais 10,
tout en ayant la possibilité de dire
que c’est un regroupement de 5 éléments.
Donc…
groupement unités
1 0
En base 10, il n’existe aucun chiffre pour dénombrer ce que contient un regroupement.
Que contient ce regroupement ?
10 cubes, c’est à dire
1 regroupement + 0 cubes en plus
- Un regroupement de combien ?
- De 10 cubes, c’est à dire
1 regroupement + 0 cubes en plus
Un regroupement ne peut se définir que par une décomposition additive :
10 cubes, c’est à dire
5 cubes + 5 cubes
4 cubes + 6 cubes
3 cubes + 7 cubes
2 cubes + 8 cubes
1 cubes + 9 cubes
L’ambiguïté de l’unité
C’est quoi une unité ?
Nous nous accordons à préciser dans certains cas l’unité en précisant de quoi nous parlons :
L’unité est le millimètre,
le mètre,
le litre,
le gramme
35 m
5 l
12 g
C’est quoi une unité ?
Si nous mesurons une distance entre villes, nous ne dirons pas naturellement
357 unités
mais 357 kilomètres
C’est quoi une unité ?
Si nous pesons un élève, nous ne dirons pas naturellement
32 unités
mais 32 kilogrammes
L’unité (km, l, g, m, mm…) concrétise la discussion.
C’est quoi une unité ?L’unité est :
1 - c’est un terme générique pour décrire ce qui est UN c’est ce qui est compté UN par UN (cubes, cm, litres…)
2 - ce qui UNifie la compréhension de chaque chiffre
2 5 3 chaises 3 unités chaise
5 dizaines d’unités chaise 2 centaines d’unités chaises
Que ce soit le chiffre des centaines, des dizaines, des unités
il n’est là que pour compter des unités chaise.
L’unité n’est pas que l’appellation de la colonne
de droite.
C D U
4 3 8
L’ambiguïté du vocabulaire
C’est quoi une unité ?La dizaine
Ce terme nous précise un regroupement
et en même temps nous informe de son contenu… dizaine—> dix unités
La dizaine
On est à la fois dans la notion de regroupement
et dans les unités qui la composent.
Quand nous employons le terme de dizaine,
à quoi doit penser l’enfant ?
- au groupement ?
- au contenu ?
Mais pour l’enfant,
10 n’est que le nombre après 9.
Que vient faire ce regroupement après 9 ?
Que vient faire cette colonne des dizaines ?
A quoi rime-t-elle s’il pense la suite des nombres comme un
ruban sans fin ?
La centaine Ce terme nous précise un regroupement
et en même temps nous informe de son contenu… centaine—> cent unités
C’est quoi une unité ?
La centaine idem…
On est à la fois dans la notion de regroupement
et dans les unités qui la composent.
C’est quoi une unité ?
Le terme principal est l’unité.
Tous les autres termes ne sont là que pour nous décrire des regroupements
d’unités.
dizaines… 10 unités
centaines… 10 regroupements de 10 unités
milliers… 10 regroupements de 10 regroupements de 10 unités
…
C’est quoi une unité ?
La dizaine, la centaine…ne sont que des emboîtements, des rangements d’unités et donc en contiennent.
centaines dizaines unités
9 4 8
Contient des
unités Contient des
unités
Contient des
unités
Comment garder cette notion d’emboîtement en travaillant le nombre avec les élèves, en visualisant quelque chose de connu, de courant, de manipulé et non des notions mi-symboliques, mi-matérielles ?
Range tes
chaussettes !
Range tes
tiroirs !
1 tiroir contient 10 chaussettes.
Donc ce tiroir sera appelé la DIZAINE, une dizaine d’unités chaussette. Le tiroir n’est qu’un rangement, l’important est l’unité chaussette.
10 dizaines d’unités chaussetteL’armoire contient 10 tiroirs.
La présence de l’armoire ne se justifie que parce qu’il faut ranger des chaussettes.
L’armoire contient les 100 chaussettes, donc elle sera appelée la CENTAINE.
une centaine d’unités chaussette
1 0 01 0 0
1 0 0
Par exemple, visualisons 248.
2 4 8 armoires
centaines
tiroirs par terre
dizaines par terre
chaussettes par terre
unités par terre
2 4 8
tous les tiroirs
dizaines en tout
chaussettes par terre
unités par terre
2 4 8
Il y a les tiroirs par terre pour visualiser le chiffre des dizaines.
Il y a les tiroirs en tout, pour visualiser toutes les dizaines comprises dans le nombre.
armoires
centaines
tiroirs par terre
dizaines par terre
chaussettes par terre
unités par terre
2 4 8
dizaines en tout
unités par terre
2 4 8
Si je cherche tous les tiroirs compris dans le nombre (toutes les dizaines), c’est que je m’intéresse à tout, sauf aux chaussettes au sol, non rangées. Alors, cachons-les !
2 4 8 armoires
centaines
tiroirs par terre
dizaines par terre
chaussettes par terre
unités par terre
2 4 8
dizaines en tout
unités par terre
2 4 8
Mais nous pouvons aussi visualiser le nombre total de chaussettes.
2 4 8armoires
centaines
tiroirs par terre
dizaines par terre
chaussettes par terre
unités par terre
2 4 8
=
toutes les unités
toutes les chaussettes
2 4 8
Deux cent quarante huit
Quand j’écoute les composantes du nombre…
deux-cent quarante huit
j’entends les unités contenues dans chaque élément du dessin
Deux cent quarante huit
armoires
centaines
tiroirs par terre
dizaines par terre
chaussettes par terre
unités par terre
24
8
Deux cent
quarante
huit
2 0 4
0 0 8
Deux cent
quarante
huit
Deux cent
quarante
huit
Les chiffres font plus référence aux regroupements et
le nombre littéral fait plus référence aux quantités d’unités
pour chaque chiffre.
armoires
centaines
tiroirs par terre
dizaines par terre
chaussettes par terre
unités par terre
24
8
2 4 82 4 8
2 4 8
Autre exercice,
où les centaines sont à concevoir.
centaines
armoires
dizaines restantes
tiroirs par terre
unités restantes
chaussettes par terre
toutes les dizaines
unités restantes
chaussettes par terre
toutes les unités
centaines
armoires
dizaines restantes
tiroirs par terre
unités restantes
chaussettes par terre
2 0 1
toutes les dizaines
unités restantes
2 0 1
toutes les unités
2 0 1
Exploiter ces différents regards
sur les dizaines, les centaines
pour adapter le regard sur les opérations.
toutes les dizaines unités
6 4 0
+ 1 0
=
6 4 0 + 1 0 = …….
4 4 8 + 4 1 = 4 8 9
toutes les dizaines
unités restantes
44 + 4 2
8 1
= 4 8 9
Nombre total d’unités
4 4 82 + 4 1
= 4 8 9
centaines dizaines restantes
unités restantes
4 4 8
4 1
4 8 9
+
=
Ce calcul révèle
un simple double.
Changer de support
pour dissocier le principe mathématique du support exploité
=
100 = 10 fois 10 cubes = 10 fois 1 dizaine = 1 fois 1 centaine
100 = 10 x 10 = 10 fois 10 = 1 fois 100
100 = 100 = 100 = 100
… avec les cubes bleus, les boîtes rouges et les sacs verts
Si je vide 1 sac vert
je vais trouver 10 boîtessi je vide toutes les boîtes, je vais trouver 100 cubes.
Comme Mademoiselle NOMBRE, nous sommes des fous du 10
600 + 200 = …..
600 200?
Je simplifie les calculs en pensant au matériel de visualisation.
= 6 sacs verts + 2 sacs verts
C D U
5 0 8
5 C + 0 D + 8 U
500 + 8
508
Cinq - cent - huit
Je renforce ma compréhension des C, D, U en entrainant ma vigilance
visuelle.
Je calcule et visualise les regroupement. dizaines
groupes de ballons
chiffre des unités
ballons seuls
3 54 5
= 80unités
Nombre total de ballons
3 5+ 4 5= 8 0
Nous avons une nouvelle
dizaine.
Nous avons une nouvelle
dizaine.
1
1 0
Dans notre système numérique,
nous sommes des fous du 10.
Nous regroupons systématiquement
tout ce qui atteint 10.
100 000
centaines de
milliers
dizaines de
milliersmillier centaines dizaines unités
1 0 0 0 0 0
Je remplis un port avec 10 bateaux.
chaussettes
centaines de
milliers
dizaines de
milliersmillier centaines dizaines unités
1
1 0
1 0 0
1 0 0 0
1 camion, c’est…10 armoires…100 tiroirs…1000 chaussettes
Les chaussettes,
l’occasion d’amener la notion de
nombres pairs et de
nombres impairs
Les nombres pairs et impairs
On essaie de ranger les chaussettes par paire.
Les nombres pairs et impairs
Une paire, c’est 2 choses.Une paire de chaussures
Une paire de gants Une paire de ciseaux
Une paire de claques
Les nombres pairs et impairs
Mais parfois, il manque 1 chose.
Nous n’avons plus la paire.
C’est un nombre impair.
Les nombres pairs et impairs
Ai-je un nombre pair de chaussettes ?
Les nombres pairs et impairs
Ai-je un nombre pair de chaussettes ?
NON
Les nombres pairs et impairs
Ai-je un nombre pair de chaussettes ?
13 est un nombre impair.
Les nombres pairs et impairs
Ai-je un nombre pair de chaussettes ?
Les nombres pairs et impairs
Ai-je un nombre pair de chaussettes ?
OUI 8 est un nombre pair.
Les nombres pairs et impairs
Ai-je un nombre pair de chaussettes ?
Les nombres pairs et impairs
Ai-je un nombre pair de chaussettes ?
OUI 10 est un nombre pair.
Les nombres pairs et impairs
Ai-je un nombre pair de chaussettes ?
Les nombres pairs et impairs
Ai-je un nombre pair de chaussettes ?
OUI car tous les tiroirs ont un nombre pair de chaussettes. Il n’y a pas de chaussettes seules.
2 4 8 armoires
centaines
tiroirs par terre
dizaines par terre
chaussettes par terre
unités par terre
2 4 8
dizaines en tout
unités par terre
2 4 8
Pour savoir si un nombre est PAIR, cherche les chaussettes seules.
2 4 8 armoires
centaines
tiroirs par terre
dizaines par terre
chaussettes par terre
unités par terre
2 4 8
dizaines en tout
unités par terre
2 4 8
Il n’y en a pas ? C’est un nombre PAIR.
2 4 7 armoires
centaines
tiroirs par terre
dizaines par terre
chaussettes par terre
unités par terre
2 4 7
dizaines en tout
unités par terre
2 4 7
Il y en a ? C’est un nombre IMPAIR.