View
213
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
Licence 3 et Magistère de Physique Fondamentale (2010-2011)
Induction électromagnétique 1
Plan du chapitre « Induction électromagnétique »
1. Force électromagnétique d’induction 2. Travail des forces de Laplace 3. Théorie de l’induction électromagnétique 4. Coefficients d’induction 5. Energie emmagasinée dans un système de circuits 6. Applications de l’induction électromagnétique
Licence 3 et Magistère de Physique Fondamentale (2010-2011)
Induction électromagnétique 2
L’induction n’est pas un phénomène simple à expliquer, surtout dans le cadre de la physique classique. La théorie de la relativité n’est jamais très loin …
Article « fondateur » de la théorie de la relativité
(Einstein - 1905)
Licence 3 et Magistère de Physique Fondamentale (2010-2011)
Induction électromagnétique 3
Plan du chapitre « Induction électromagnétique »
1. Force électromagnétique d’induction
2. Travail des forces de Laplace 3. Théorie de l’induction électromagnétique 4. Coefficients d’induction 5. Energie emmagasinée dans un système de circuits 6. Applications de l’induction électromagnétique
Licence 3 et Magistère de Physique Fondamentale (2010-2011)
Induction électromagnétique 4
Expériences historiques (Faraday)
Aiguille aimantée suspendue par une fibre entre 2 bobines. Une aiguille supplémentaire compense le champ
magnétique terrestre
Aiguille non aimantée qui s’aimante par l’impulsion de
courant induit en branchant le courant. Le sens de l’aimantation
est inversé quand on réalise l’expérience en débranchant le
circuit
Licence 3 et Magistère de Physique Fondamentale (2010-2011)
Induction électromagnétique 5
Expériences « modernes » : couplage entre deux bobines
Deux bobines enroulées l’une sur l’autre auront un couplage
fort, voir idéal
Un courant variable dans une bobine engendre une fem alternative dans la 2e bobine, qui peut servir à éclairer
une ampoule
Licence 3 et Magistère de Physique Fondamentale (2010-2011)
Induction électromagnétique 6
On considère un circuit fermé (C1) parcouru par le courant I1. Le circuit (C2) ne comprend qu’un galvanomètre
Le courant I1 crée B1 dans tout l’espace
C2 C1
L’expérience montre qu’un courant induit apparaît dans (C2) dès qu’on modifie le courant dans (C1) ou la position relative de (C1) et (C2), ou les deux à la fois
Interprétation : les porteurs de charges de (C2) sont mis en mouvement sous l’action de forces motrices fm dont la circulation est non nulle :
€
e =1q
f m .d
l (C2 )∫
Licence 3 et Magistère de Physique Fondamentale (2010-2011)
Induction électromagnétique 7
Force électromotrice (1/2)
On considère une courbe fermée orientée (C) et une charge q soumise à un champ de forces Fm(r, t) proportionnel à q. Par définition :
« fem » est une appellation historique malheureuse car e(t) n’est pas homogène à une force mais à une tension
Si e(t) ≠ 0, cette relation traduit le caractère non conservatif du champ de forces Fm(r, t)
La circulation est le travail W que recevrait la charge q en effectuant un tour dans le sens positif :
€
W = F m ( r , t) .(C)∫ d
l = q e(t)
€
e(t) =1q
F m ( r , t) .(C)∫ d
l Force électromotrice
Licence 3 et Magistère de Physique Fondamentale (2010-2011)
Induction électromagnétique 8
Force électromotrice (2/2)
Pour e > 0, le champ de forces Fm(r, t) tend à faire circuler les porteurs de charges positifs dans le sens positif de (C), c’est à dire à produire un courant i > 0
Pour un conducteur ohmique :
Exemple du champ de forces F = q E exercé par un champ E = - grad(V) :
Sur AB quelconque, la charge peut recevoir WAB = q (VA-VB) ≠ 0. Mais sur un tour, ce travail est nul. Or pour un circuit métallique, l’entretient d’un courant nécessite W > 0 pour compenser l’énergie perdue par effet Joule
Conclusion (généralisable) : seul un champ à circulation non nulle est susceptible d’entretenir un courant permanent
€
i =eR
R : résistance totale du circuit (loi de Pouillet)
Licence 3 et Magistère de Physique Fondamentale (2010-2011)
Induction électromagnétique 9
Lois de Faraday et de Lenz
Une étude expérimentale a amené Faraday à énoncer :
Ce n’est pas la dérivée d’une fonction mais la limite de ΔΦ/Δt
Loi qualitative de Lenz : la fem induite tend par ses conséquences à s’opposer aux causes qui lui ont donné naissance Loi « de modération », similaire dans son expression au principe
de Le Chatelier : tendance d’un retour à l’équilibre pour les systèmes légèrement hors d’équilibre
Traduit le signe « - » de la loi de Faraday
€
e(t) = −dΦdt
= − limΔt→0
ΔΦΔt
⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟
Licence 3 et Magistère de Physique Fondamentale (2010-2011)
Induction électromagnétique 10
Plan du chapitre « Induction électromagnétique »
1. Force électromagnétique d’induction
2. Travail des forces de Laplace
3. Théorie de l’induction électromagnétique 4. Coefficients d’induction 5. Energie emmagasinée dans un système de circuits 6. Applications de l’induction électromagnétique
Licence 3 et Magistère de Physique Fondamentale (2010-2011)
Induction électromagnétique 11
Champ quelconque
On considère circuit (C) se déplaçant entre t et t+dt. Un élément de longueur dl du circuit subira :
€
d F = i d
l × B Force de Laplace
€
δW = i δϕ Travail des forces de Laplace
Au cours du déplacement dr, cette force fournit le travail :
En intégrant sur tout le circuit : δϕ est le flux coupé par (C) pendant dt B et i ne sont pas forcément constants
Rappel : δϕ est une quantité élémentaire, alors que dϕ est la différentielle de la fonction ϕ (cf thermo où δW n’est pas la différentielle d’une fonction « travail »)
€
δ2W = d F .d r = i
B . d r ×d
l ( ) = i δ2φ avec δ2φ =
B .d S
Licence 3 et Magistère de Physique Fondamentale (2010-2011)
Induction électromagnétique 12
Champ permanent (1/2)
Dans le cas d’un champ permanent (et uniquement dans ce cas-ci), on a :
En maintenant de plus i constant (nécessite la présence d’une source de courant qui s’oppose à la fem induite par le déplacement qui fait varier i), on peut intégrer selon :
W > 0 : si rien ne s’oppose au déplacement du circuit, celui-ci se déplace pour embrasser un flux (algébrique) le plus élevé possible
On défini une énergie potentielle magnétique qui correspond à l’énergie nécessaire pour amener le circuit depuis l’infini :
€
δW = i dΦ
€
W = i Φ2 −Φ1( ) Théorème de Maxwell
€
U = − i Φ
Licence 3 et Magistère de Physique Fondamentale (2010-2011)
Induction électromagnétique 13
Champ permanent (2/2)
Le circuit tendra à adopter une position d’équilibre stable : U minimum ie Φ maximum (pour i > 0) ou encore un flux maximum entrant par la face sud (règle du flux maximum)
Pour un dipôle magnétique (Φ = B S), on retrouve bien l’énergie potentielle du dipôle rigide dans le champ B :
€
U = − I Φ = − I S B = − m B m : moment magnétique
Licence 3 et Magistère de Physique Fondamentale (2010-2011)
Induction électromagnétique 14
Plan du chapitre « Induction électromagnétique »
1. Force électromagnétique d’induction 2. Travail des forces de Laplace
3. Théorie de l’induction électromagnétique 1. Circuit mobile dans B constant 2. Circuit fixe dans B variable 3. Deux interprétations différentes de l’induction 4. Lien avec la relativité 5. Cas général : circuit quelconque dans B quelconque
4. Coefficients d’induction 5. Energie emmagasinée dans un système de circuits 6. Applications de l’induction électromagnétique
Licence 3 et Magistère de Physique Fondamentale (2010-2011)
Induction électromagnétique 15
On considère une portion rigide de conducteur filiforme AB déplacée à la vitesse ve dans le référentiel où règne B constant
Les porteurs de charge du conducteur se déplacent à la vitesse va = ve + v0 (v0 est la vitesse de la charge dans le conducteur) et sont soumis à la force magnétique Fm qui les met en mouvement :
La circulation de cette force magnétique Fm est reliée à la fem induite eAB :
€
F m = q v a ×
B = q v e +
v 0( )× B
€
eAB =1q
F m .d
l A
B∫ = v e × B ( )A
B∫ .d l + v 0 ×
B ( )A
B∫ .d l
Produit mixte dont 2 termes sont // : ⇒ = 0
Produit mixte :
€
v e × B ( ) .d
l = d
l × v e( ) .
B
Licence 3 et Magistère de Physique Fondamentale (2010-2011)
Induction électromagnétique 16
Finalement, on a
Le produit mixte représente le flux de B à travers l’élément de surface dr x dl à l’instant t. C’est la surface balayée par l’élément de longueur dl du circuit pendant l’intervalle dt. On l’appelle le flux coupé par le circuit pendant dt
Si le circuit est ouvert, la force magnétique déplace les charges jusqu’à ce qu’elle soit équilibrée par le champ électrostatique ainsi créé La différence de potentiel aux extrémités du circuit est alors la
fem induite
€
eAB = −1dt
d r ×d l ( )A
B∫ . B car ve =
drdt
€
d r ×d l ( ) . B
Licence 3 et Magistère de Physique Fondamentale (2010-2011)
Induction électromagnétique 17
Si le circuit est fermé, un courant induit se forme dans le conducteur. Le flux coupé par le circuit est égal à la variation de flux à travers le circuit :
L’expression de e permet d’écrire :
L’origine physique de la fem d’induction est l’action de la force de Lorentz sur les charges libres du conducteur
est homogène à un champ E. C’est le champ électromoteur de Lorentz
La circulation du champ électromoteur sur un contour fermé est non nulle (c’est la fem)
€
dΦ = (d r ×d l ) . B (C)∫
€
e = −dΦdt
€
v e × B
Licence 3 et Magistère de Physique Fondamentale (2010-2011)
Induction électromagnétique 18
Plan du chapitre « Induction électromagnétique »
1. Force électromagnétique d’induction 2. Travail des forces de Laplace
3. Théorie de l’induction électromagnétique 1. Circuit mobile dans B constant 2. Circuit fixe dans B variable 3. Deux interprétations différentes de l’induction 4. Lien avec la relativité 5. Cas général : circuit quelconque dans B quelconque
4. Coefficients d’induction 5. Energie emmagasinée dans un système de circuits 6. Applications de l’induction électromagnétique
Licence 3 et Magistère de Physique Fondamentale (2010-2011)
Induction électromagnétique 19
Les porteurs de charge, initialement au repos, sont mis en mouvement dans un conducteur qui ne subit aucune transformation (forme, température, …). Les causes produisant les forces motrices sont à rechercher à l’extérieur du circuit, dans les variations de B
On a alors :
C’est pourquoi (MF) est appelée la forme locale de la loi de Faraday
B(t) est la source d’un champ E à circulation non conservative
€
e(t) = E .d l (C)∫ = (
∇ × E ) .d
S (S)∫∫ = −
∂ B ∂t.d S (S)∫∫ = −
ddt
B .d S (S)∫∫( ) = −
dΦdt
Licence 3 et Magistère de Physique Fondamentale (2010-2011)
Induction électromagnétique 20
B est à flux conservatif donc
On en déduit que E + ∂A/∂t dérive d’un potentiel Φ :
En régime stationnaire, Φ est le potentiel électrostatique. Dans le cas général, ∂A/∂t n’est pas le champ électrique induit car A est défini à un gradient près
La séparation de E en 2 termes est arbitraire et n’a pas de sens physique, sauf dans l’ARQS :
On peut alors identifier ∂A/∂t et le champ électrique E induit (champ électromoteur de Neumann)
€
⇒ ∇ × E = −
∂ ∇ × A ( )
∂tou
∇ ×
E + ∂
A ∂t
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ = 0
€
E = −
∇ (Φ)− ∂
A ∂t
€
ΔΦ = −ρε0
et Δ A = − µ0
J
Licence 3 et Magistère de Physique Fondamentale (2010-2011)
Induction électromagnétique 21
Dans le cadre de l’ARQS, on obtient donc les potentiels et le champ induit :
L’origine physique de la fem d’induction est l’action d’un champ électrique induit sur les charges libres du conducteur
On retrouve la même forme pour e(t) à partir des potentiels :
€
e(t) = E .d l (C)∫ =
E em .d
l (C)∫ = −
∂ A ∂t.d l (C)∫ = −
ddt
A .d l (C)∫( )
€
E = −
∇ (Φ)− ∂
A ∂t
€
B = ∇ × A
Eem : champ électromoteur de
Neumann
€
E em = −
∂ A ∂t
€
= −ddt
( ∇ × A ) .d
S (S)∫∫( ) = −
dΦdt
Licence 3 et Magistère de Physique Fondamentale (2010-2011)
Induction électromagnétique 22
Plan du chapitre « Induction électromagnétique »
1. Force électromagnétique d’induction 2. Travail des forces de Laplace
3. Théorie de l’induction électromagnétique 1. Circuit mobile dans B constant 2. Circuit fixe dans B variable 3. Deux interprétations différentes de l’induction 4. Lien avec la relativité 5. Cas général : circuit quelconque dans B quelconque
4. Coefficients d’induction 5. Energie emmagasinée dans un système de circuits 6. Applications de l’induction électromagnétique
Licence 3 et Magistère de Physique Fondamentale (2010-2011)
Induction électromagnétique 23
Deux interprétations de l’induction
Pour un circuit mobile dans un champ B fixe, les porteurs de charge sont entraînés par la force magnétique :
Pour un circuit fixe dans un champ B variable, les porteurs de charge subissent l’influence d’un champ électrique induit :
Exemple rare en physique où deux phénomènes différents (?) aboutissent à la même loi
Ces 2 phénomènes n’en formeront plus qu’un si on admet un principe de relativité selon lequel le phénomène ne dépend que du mouvement relatif
€
∇ × E = − ∂
B ∂t
€
q ( v e × B )
Licence 3 et Magistère de Physique Fondamentale (2010-2011)
Induction électromagnétique 24
Plan du chapitre « Induction électromagnétique »
1. Force électromagnétique d’induction 2. Travail des forces de Laplace
3. Théorie de l’induction électromagnétique 2. Circuit fixe dans B variable 3. Deux interprétations différentes de l’induction 4. Lien avec la relativité 5. Cas général : circuit quelconque dans B quelconque 6. Cas particuliers : exceptions à la règle du flux
4. Coefficients d’induction 5. Energie emmagasinée dans un système de circuits 6. Applications de l’induction électromagnétique
Licence 3 et Magistère de Physique Fondamentale (2010-2011)
Induction électromagnétique 25
La loi de Faraday est-elle fondamentale (1/2) ?
Ce calcul a été effectué en considérant ve x B au même instant t
Dans (R’) en translation uniforme wrt (R), le circuit (C) est immobile e’(t’) prend en compte la force qui s’exerce sur les porteurs de
charge dans (R’) au même instant t’
Dans (R), le circuit (C) n’est plus immobile. D’après la relativité, la simultanéité est perdue e(t) ne peut pas prendre en compte exactement la force qui
s’exerce sur les porteurs de charge du circuit
Licence 3 et Magistère de Physique Fondamentale (2010-2011)
Induction électromagnétique 26
La loi de Faraday est-elle fondamentale (2/2) ?
On pourrait montrer que les effets d’induction dépendent de ve et sont donnés au 1er ordre en ve/c par la loi de Faraday La relativité montre que la perte de simultanéité est du 2e
ordre en ve/c et pourra être négligée dans toutes les applications usuelles
La loi de Faraday n’est donc pas une loi exacte de l’électromagnétisme. Elle n’est pas sur le même plan que les équations de Maxwell
La loi de Faraday peut être également utilisée pour un circuit déformable, ou un circuit rigide en mouvement quelconque, tant que ve << c
Licence 3 et Magistère de Physique Fondamentale (2010-2011)
Induction électromagnétique 27
Expressions des champs
On obtiendra les mêmes observables dans les deux référentiels (fem e et courant J) si les forces de Lorentz sont égales :
On en déduit la transformation classique des champs :
Ou encore
€
ʹ′ E = E + v e ×
B et
ʹ′ B = B
€
∀ v ⇒
E = ʹ′ E − v e ×
B et
B = ʹ′ B
€
F = q (
E + v ×
B ) et
ʹ′ F = q (
ʹ′ E + ʹ′ v × ʹ′ B ) avec v = ʹ′ v +
v e
€
F = ʹ′ F ⇒
E + v ×
B = ʹ′ E + v × ʹ′ B − v e × ʹ′
B
Licence 3 et Magistère de Physique Fondamentale (2010-2011)
Induction électromagnétique 28
On considère un fil au repos dans R’ et en mouvement dans R
Dans R, la force de Lorentz déplace les charges Une ddp apparaît entre les
extrémités Un champ ES s’oppose à vexB
Dans R’, le conducteur baigne dans E’ La densité superficielle s’ajuste pour avoir E nul à l’intérieur
Le même phénomène est décrit selon le référentiel par des champs différents
Licence 3 et Magistère de Physique Fondamentale (2010-2011)
Induction électromagnétique 29
Un paradoxe (1/2)
Les lois classiques de transformation des champs donnent :
On en déduit respectivement :
On obtient la « limite magnétique » de l’EM (EM + transformation classique des vitesses) ARQS pour lequel on a E << B c
€
ʹ′ E = E + v e ×
B et
ʹ′ B = B
€
ʹ′ E = E + v e ×
B ⇒ ʹ′ ρ = ε0
∇ ( ʹ′ E ) ⇒ ʹ′ ρ = ρ −ε0 µ0
v e . J
€
ʹ′ B = B ⇒
ʹ′ J = J
Licence 3 et Magistère de Physique Fondamentale (2010-2011)
Induction électromagnétique 30
Un paradoxe (2/2)
Par contre, un modèle de particules chargées en mouvement dans un changement de référentiel galiléen donne :
On obtient la « limite électrique » de l’EM (EM + transformation classique des positions) Electrostatique pour lequel on a E >> B c
€
ʹ′ ρ = ρ et J = ʹ′ J − ρ v e
On voit sur cet exemple que même à basse vitesse, il y a incompatibilité entre l’EM et la transformation de Galilée Il faudrait utiliser la transformation de Lorentz
Licence 3 et Magistère de Physique Fondamentale (2010-2011)
Induction électromagnétique 31
Plan du chapitre « Induction électromagnétique »
1. Force électromagnétique d’induction 2. Travail des forces de Laplace
3. Théorie de l’induction électromagnétique 3. Deux interprétations différentes de l’induction 4. Lien avec la relativité 5. Cas général : circuit quelconque dans B quelconque 6. Cas particuliers : exceptions à la règle du flux 7. Auto-induction et induction entre circuits couplés
4. Coefficients d’induction 5. Energie emmagasinée dans un système de circuits 6. Applications de l’induction électromagnétique
Licence 3 et Magistère de Physique Fondamentale (2010-2011)
Induction électromagnétique 32
Cas général
Dans le cas général, une variation du flux magnétique à travers un circuit est due à la superposition des 2 effets précédents. On note (C) la position du circuit à l’instant t et (C’) sa position à l’instant t+dt
Le principe de superposition permet de superposer les effets :
Le « champ électromoteur » Em pas un « champ » au sens strict du terme
€
e(t) = −dΦdt
= E m .d
l (C)∫ avec
E m =
v e × B − ∂
A ∂t
Champ électromoteur
Licence 3 et Magistère de Physique Fondamentale (2010-2011)
Induction électromagnétique 33
Résumé (dans le cadre de l’ARQS)
Champ électrique dans le référentiel du laboratoire :
Champ électrique dans le référentiel du circuit mobile :
La fem d’induction est donnée par :
€
E = −
∇ (Φ)− ∂
A ∂t
€
ʹ′ E = E + v e ×
B si ve << c
€
e(t) =1q
F L .d
l (C)∫ =
E + v e ×
B ( ) .d
l (C)∫ si ve << c
Licence 3 et Magistère de Physique Fondamentale (2010-2011)
Induction électromagnétique 34
Plan du chapitre « Induction électromagnétique »
1. Force électromagnétique d’induction 2. Travail des forces de Laplace
3. Théorie de l’induction électromagnétique 4. Lien avec la relativité 5. Cas général : circuit quelconque dans B quelconque 6. Cas particuliers : exceptions à la règle du flux 7. Auto-induction et induction entre circuits couplés 8. Retour sur le travail des forces de Laplace
4. Coefficients d’induction 5. Energie emmagasinée dans un système de circuits 6. Applications de l’induction électromagnétique
Licence 3 et Magistère de Physique Fondamentale (2010-2011)
Induction électromagnétique 35
Fem sans variation du flux
Quand le disque tourne, le circuit ne bouge pas : le flux à travers le circuit ne varie pas
Une charge q est entraînée à la vitesse v. Il existe un champ électromoteur dans la direction OA :
La fem vaut :
€
E m =
v × B
€
e = Eem dr0a∫ =ω B r dr0
a∫ =ω B a2
2
Licence 3 et Magistère de Physique Fondamentale (2010-2011)
Induction électromagnétique 36
Système avec commutation
Enroulement de spires dans B constant, fermé par un curseur mobile
Lorsqu’on déplace le curseur, le nombre de spires dans le circuit varie, donc le flux de B à travers le circuit varie
Expérimentalement, on ne mesure pas de courant induit
C’est cohérent car : La portion de circuit dans le champ B ne bouge
pas Le champ B ne varie pas
Licence 3 et Magistère de Physique Fondamentale (2010-2011)
Induction électromagnétique 37
Conclusion
Ces quelques exemples classiques sont en partie dus à Faraday (au moins le premier)
Pour utiliser la règle du flux (e = - dΦ/dt), il faut s’assurer que le circuit fermé est bien défini !! C’est-à-dire qu’il doit y avoir un circuit, et que les courants
induits doivent l’emprunter !
La règle du flux s’applique sur des circuits sur lesquels le matériau du circuit reste le même. Quand ce matériau varie, il faut revenir aux lois fondamentales :
€
∇ × E = − ∂
B ∂t
et F = q
E + v ×
B ( )
Licence 3 et Magistère de Physique Fondamentale (2010-2011)
Induction électromagnétique 38
Plan du chapitre « Induction électromagnétique »
1. Force électromagnétique d’induction 2. Travail des forces de Laplace
3. Théorie de l’induction électromagnétique 4. Lien avec la relativité 5. Cas général : circuit quelconque dans B quelconque 6. Cas particuliers : exceptions à la règle du flux 7. Auto-induction et induction entre circuits couplés 8. Retour sur le travail des forces de Laplace
4. Coefficients d’induction 5. Energie emmagasinée dans un système de circuits 6. Applications de l’induction électromagnétique
Licence 3 et Magistère de Physique Fondamentale (2010-2011)
Induction électromagnétique 39
Plan du chapitre « Induction électromagnétique »
1. Force électromagnétique d’induction 2. Travail des forces de Laplace
3. Théorie de l’induction électromagnétique 4. Lien avec la relativité 5. Cas général : circuit quelconque dans B quelconque 6. Cas particuliers : exceptions à la règle du flux 7. Auto-induction et induction entre circuits couplés 8. Retour sur le travail des forces de Laplace
4. Coefficients d’induction 5. Energie emmagasinée dans un système de circuits 6. Applications de l’induction électromagnétique
Licence 3 et Magistère de Physique Fondamentale (2010-2011)
Induction électromagnétique 40
Plan du chapitre « Induction électromagnétique »
1. Force électromagnétique d’induction 2. Travail des forces de Laplace 3. Théorie de l’induction électromagnétique
4. Coefficients d’induction
5. Energie emmagasinée dans un système de circuits 6. Applications de l’induction électromagnétique
Licence 3 et Magistère de Physique Fondamentale (2010-2011)
Induction électromagnétique 41
Coefficients d’induction mutuelle entre circuits (1/3)
Deux circuits filiformes (C1) et (C2) parcourus par I1 et I2, produisant les champs B1 et B2
Le flux Φ12 créé par le circuit (C1) à travers le circuit (C2) vaut :
€
Φ12 = B 1 .d
S 2(S2 )∫∫ =
A 1 .d
l 2(C2 )∫ =
µ04 π
I1d l 1
r12(C1)∫
⎛
⎝ ⎜ ⎜
⎞
⎠ ⎟ ⎟ .d l 2(C2 )∫
Licence 3 et Magistère de Physique Fondamentale (2010-2011)
Induction électromagnétique 42
Coefficients d’induction mutuelle entre circuits (2/3)
Soit :
Un inductance se mesure en Henry (H)
L’inductance mutuelle de 2 circuits est une grandeur géométrique qui ne dépend que de leurs formes et de leurs positions relatives
€
Φ12 = I1 ×M12 avec M12 =µ04 π
d l 1 .d l 2
r12(C2 )∫(C1)∫
Coefficient d’induction mutuelle ou inductance mutuelle ou mutuelle Formule de Neumann
Licence 3 et Magistère de Physique Fondamentale (2010-2011)
Induction électromagnétique 43
Coefficients d’induction mutuelle entre circuits (3/3)
La symétrie de la formule de Neumann montre qu’en intervertissant les indices on obtient :
Le signe de l’inductance mutuelle dépend des orientations des courants sur les circuits
On peut généraliser ceci à un ensemble de n circuits. Les flux dus à tous les circuits (Cj) s’additionnent :
où Mij est le coefficient d’induction mutuelle entre (Ci) et (Cj)
€
M12 = M21
€
Φi = Φ jij≠i∑ = Mij I j
j≠i∑
€
M12 =µ04 π
d l 1 .d l 2
r12(C2 )∫(C1)∫
Licence 3 et Magistère de Physique Fondamentale (2010-2011)
Induction électromagnétique 44
Coefficients d’auto-induction (1/2)
Le champ B créé en tout point de l’espace par (C) est proportionnel à l’intensité qui le traverse. Le flux Φp de ce champ B à travers (C) l’est donc également :
Une inductance propre se mesure en Henry (H)
L’inductance propre ne dépend que des caractéristiques géométriques de (C)
On admettra qu’on a toujours L > 0
€
Φ p = L I
Flux propre
• Coefficient d’auto-induction • Inductance propre • Self-induction • Self
Licence 3 et Magistère de Physique Fondamentale (2010-2011)
Induction électromagnétique 45
Coefficients d’auto-induction (2/2)
On ne peut pas calculer L à partir de la formule de Neumann car elle diverge pour r → 0. Pour faire un calcul « géométrique », on doit abandonner l’approximation du circuit filiforme et utiliser un calcul direct (décomposer le circuit en tubes de courants élémentaires parcourus chacun par dI). Ces calculs sont généralement pénibles/infaisables On obtiendra souvent L par des considérations énergétiques
Comme le potentiel vecteur A ne diverge pas à la traversée d’une nappe de courant, on peut calculer L dans les cas où il existe une densité surfacique de courant
€
M21 =µ04 π
d l 1 .d l 2
r12(C2 )∫(C1)∫
Licence 3 et Magistère de Physique Fondamentale (2010-2011)
Induction électromagnétique 46
Autoinduction
Φ est le flux total, somme du flux extérieur Φe et du flux propre Φp. La source de Φp est le courant induit i :
En introduisant l’inductance L (Φp = L i) :
En interrompant la variation du flux Φe qui a initié un courant induit i0, on observe que le courant induit tend vers zéro après un régime transitoire :
Remarque : l’abandon de la loi de Lenz se traduirait par une augmentation du courant induit
€
e(t) = −dΦdt
= −dΦedt
−dΦ pdt
= ee(t)+ ep(t)
fem extérieure
fem autoinduite ou autoinduction
€
L didt
+ e = 0 = L didt
+R i ⇒ i = i0 e− t /τ avec τ = L /R
€
e(t) = −dΦdt
= ee(t)− Ldidt
Licence 3 et Magistère de Physique Fondamentale (2010-2011)
Induction électromagnétique 47
Plan du chapitre « Induction électromagnétique »
1. Force électromagnétique d’induction 2. Travail des forces de Laplace 3. Théorie de l’induction électromagnétique 4. Coefficients d’induction
5. Energie emmagasinée dans un système de circuits
6. Applications de l’induction électromagnétique
Licence 3 et Magistère de Physique Fondamentale (2010-2011)
Induction électromagnétique 48
Cas d’un circuit simple, fixe et rigide (1/3)
Circuit simple, fixe et rigide : - L di/dt : fem d’autoinduction L’intensité croît progressivement jusqu’à I = e0/R
A un instant donné, la puissance fournie par le générateur est e0 i qui s’écrit :
Lors de l’établissement du courant (di/dt>0) le générateur lutte contre la fem d’auto-induction. Le terme L i di/dt est la puissance nécessaire pour modifier le champ B associé au courant. L’énergie totale correspondante est :
€
e0 − Ldidt
= R i
€
e0 i = L i didt
+R i2
€
Um = L i didtdt0
∞∫ = L i di0I∫ =
12L I2 > 0 ⇒ L > 0
Ri2 : puissance dissipée par effet Joule
e0
Circuit « idéal »
Licence 3 et Magistère de Physique Fondamentale (2010-2011)
Induction électromagnétique 49
Cas d’un circuit simple, fixe et rigide (2/3)
De manière plus générale, on montrerait que lorsqu’un courant varie, la fem d’auto-induction travaille et fournit aux porteurs de charges pendant dt l’énergie :
Ce travail dérive de l’énergie potentielle
Um apparaît comme l’énergie potentielle associée aux forces d’induction qui s’exercent sur le circuit lorsque l’interrupteur se ferme
€
− L didti dt = − L i di
€
Um =12L i2
Licence 3 et Magistère de Physique Fondamentale (2010-2011)
Induction électromagnétique 50
Cas d’un circuit simple, fixe et rigide (3/3)
Um est récupérable : en éteignant le générateur, on obtient :
Lors de la décroissance du courant, une énergie a été dissipée par effet Joule :
Cette énergie aurait pu être récupérée sous forme de travail si la résistance était remplacée par un moteur
L’énergie Um stockée dans le circuit est récupérable et s’appelle l’énergie magnétique du circuit
€
0 = L didt
+R i ⇒ i(t) = I0 e− R t /L
€
w = R i2 dt0∞∫ = − L i di
dtdt0
∞∫ = − L i diI0∫ =
12L I2 > 0
Licence 3 et Magistère de Physique Fondamentale (2010-2011)
Induction électromagnétique 51
Cas de deux circuits fixes et rigides (1/3)
Lorsque les courants varient dans (C1) et (C2), des fem d’induction apparaissent
La loi d’Ohm donne :
Seule une partie de la puissance fournie par les générateurs est dissipée par effet Joule. Il existe une puissance que les générateurs doivent fournir à cause des fem qui s’opposent aux variations du courant
€
e1 −dΦ1dt
= R1 i1 et e2 −dΦ2dt
= R2 i2
€
⇒ e1 i1 + e2 i2 =dΦ1dt
i1 +dΦ2dt
i2 +R1 i12 +R2 i2
2
e2 e1
Licence 3 et Magistère de Physique Fondamentale (2010-2011)
Induction électromagnétique 52
Cas de deux circuits fixes et rigides (2/3)
Durant dt, cette puissance correspond au travail :
Ce résultat est très général est ne suppose rien du lien entre les courants et les flux. On se place dans le cas où ce lien est linéaire :
Utilisation des hypothèses : Circuits rigides : L1 et L2 sont constants Circuits fixes et rigides : M est constant
€
δWG = i1 dΦ1 + i2 dΦ2
€
Φ1 = L1 i1 +M i2 et Φ2 = L2 i2 +M i1
€
⇒ δWG = L1 i1 di1 + L2 i2 di2 +M (i1 di2 + i2 di1)
Licence 3 et Magistère de Physique Fondamentale (2010-2011)
Induction électromagnétique 53
Cas de deux circuits fixes et rigides (3/3)
Différentielle exacte par rapport à i1 et i2 :
Le bilan énergétique devient :
La puissance fournie par les générateurs permet, en plus de l’effet joule, d’augmenter Um qui reste nul en l’absence de courant (Um = 0 si i1 =i2 = 0)
En utilisant les expressions de Φ1 et Φ2, on peut également écrire :
€
δWG = L1 i1 di1 + L2 i2 di2 +M (i1 di2 + i2 di1)
€
δWG = dUm avec Um =12L1 i1
2 +12L2 i2
2 +M i1 i2
€
e1 i1 + e2 i2 =dUmdt
+R1 i12 +R2 i2
2
€
Um =12(i1 Φ1 + i2 Φ2)
Licence 3 et Magistère de Physique Fondamentale (2010-2011)
Induction électromagnétique 54
Généralisation
En généralisant :
Um est égal au travail effectué contre les forces qui s’exercent sur les porteurs de charge dues à l’induction, lors de l’établissement du courant
Pour une distribution continue, on montre que :
€
Um =12
ik Φkk∑
€
Um =12
J libre .
A dV(D)∫∫∫ =
12
B2
2 µ0dVEspace∫∫∫
Licence 3 et Magistère de Physique Fondamentale (2010-2011)
Induction électromagnétique 55
Plan du chapitre « Induction électromagnétique »
1. Force électromagnétique d’induction 2. Travail des forces de Laplace 3. Théorie de l’induction électromagnétique 4. Coefficients d’induction 5. Energie emmagasinée dans un système de circuits
6. Applications de l’induction électromagnétique
Licence 3 et Magistère de Physique Fondamentale (2010-2011)
Induction électromagnétique 56
On supposera généralement des phénomènes suffisamment lents pour utiliser : L’ARQS La forme locale de la loi d’Ohm :
(à condition de négliger l’effet Hall)
On écrira également :
€
j = γ
E tot = γ
E labo +
v e × B ( )
€
E tot =
E es +
E em
Origine électrostatique
(circulation nulle)
Champ électromoteur (circulation non nulle)
€
E em =
v e × B − ∂
A ∂t
Licence 3 et Magistère de Physique Fondamentale (2010-2011)
Induction électromagnétique 57
Solénoïde infini (1/2)
Le champ magnétique est uniforme à l’intérieur du solénoïde (B = µ0 n I) et nul à l’extérieur
Si on entoure le solénoïde d’une boucle conductrice en faisant varier I, une fem apparaît aux bornes de la boucle alors que le champ B y est nul en permanence
Explication qualitative : le potentiel vecteur A n’est pas nul et varie avec I. Les charges sont mises en mouvement sous l’action du champ électrique induit - ∂A/∂t
Licence 3 et Magistère de Physique Fondamentale (2010-2011)
Induction électromagnétique 58
Solénoïde infini (2/2)
Quantitativement, pour un solénoïde de section circulaire a :
Le flux de B à travers un cercle de rayon > a est
On retrouve bien que
Si la boucle n’entoure pas le solénoïde, il existe toujours un champ induit, mais sa circulation est nulle : il n’y a pas de champ magnétique à travers la boucle donc pas de variation du flux
€
r > a ⇒ Aθ =µ0 n I a
2
2 r
€
Eθ = −µ0 n a
2
2 rdIdt
€
Φ = µ0 n I π a2
€
−dΦdt
= E .d l (C)∫
Licence 3 et Magistère de Physique Fondamentale (2010-2011)
Induction électromagnétique 59
Principe du betatron
Le bétatron est un type d’accélérateur de particules dont le principe était d’utiliser des variations de champ magnétique pour accélérer des particules à l’aide du champ E induit
Si la variation de B est négligeable sur un tour de la particule :
€
F em = − e
E em = e ∂
A ∂t
⇒ Fem =e r2
dBdt
car A = B × r 2
Un champ B variable créé des forces motrices dans le vide Le champ électromoteur est réel et ne dépend pas du
conducteur ohmique
Licence 3 et Magistère de Physique Fondamentale (2010-2011)
Induction électromagnétique 60
Lignes de champ du champ induit
Au contraire du champ électrostatique, les lignes de champ du champ induit peuvent se refermer sur elles-mêmes : Le champ induit n’est pas un « vrai » champ E
Exemple du champ dans un betatron
Zone de champ
€
F
€
F
Trajectoire circulaire d’une
particule
Licence 3 et Magistère de Physique Fondamentale (2010-2011)
Induction électromagnétique 61
Courants de Foucault
Dans un conducteur volumique, les courants induits circulent dans la masse du conducteur (courants de Foucault)
Si le conducteur n’est pas parfait, il existera une résistance à la propagation de ces courants Dissipation par effet Joule
Si les courants de Foucault sont recherchés, ils ont besoin d’être entretenus dans un conducteur imparfait (ie γ finie) par une fem et pour obtenir une fem, on peut faire varier un flux de champ magnétique (déplacement à B constant ou circuit fixe dans B variable) :
€
B a(t) ⇒
∇ × E = − ∂
B ∂t
et J 1 = γ
E 1
Licence 3 et Magistère de Physique Fondamentale (2010-2011)
Induction électromagnétique 62
Courants de Foucault : cas d’un champ uniforme (1/2)
On suppose que le champ total est identique au champ appliqué :
Le courant induit crée des lignes de courant concentriques :
Pour une variation sinusoïdale :
Alors
€
B (t) =
B a(t)
€
J 1(t) = γ E1(r, t)
u φ
€
B a = Bam cos(ω t) u z
€
dPdV
= J 1 . E 1 ⇒ < P > =
γ ω2
16Bam2 a2a : rayon du
conducteur
Licence 3 et Magistère de Physique Fondamentale (2010-2011)
Induction électromagnétique 63
Courants de Foucault : cas d’un champ uniforme (2/2)
La puissance dissipée est d’autant plus élevée que ω est élevée et que le conducteur est massif (a grand) Pour diminuer <P>, on divise le conducteur (dans la direction
normale a B) en fils ou feuilles séparées par des isolants
Exemples : Dans une bobine, le conducteur est divisé en petits conducteurs Dans un transformateur, on utilise des tôles feuilletées dans la
direction normale au champ Dans un four à induction, on augmente la fréquence du champ
pour chauffer le conducteur alors que le creuset reste froid
€
< P > =γ ω2
16Bam2 a2
Licence 3 et Magistère de Physique Fondamentale (2010-2011)
Induction électromagnétique 64
Courants de Foucault : illustration expérimentale (1/2)
Plaque de Cu pour constituer un pendule oscillant entre les pôles d’un électro-aimant
On constate expérimentalement que la plaque s’arrête brusquement lorsqu’elle pénètre dans l’entrefer de l’aimant Apparition d’un courant induit dans la
plaque qui s’oppose à la variation du flux à travers elle
Si la plaque était un conducteur parfait, elle « rebondirait ». Pour du Cu, les courants ralentissent la plaque jusqu’à l’arrêter
Licence 3 et Magistère de Physique Fondamentale (2010-2011)
Induction électromagnétique 65
Courants de Foucault : illustration expérimentale (2/2)
L’intensité et la forme des courants dépendent de la géométrie de la plaque Les effets sont réduits si on pratique plusieurs fentes, dans une
direction orthogonale à la direction du champ
Licence 3 et Magistère de Physique Fondamentale (2010-2011)
Induction électromagnétique 66
Courants de Foucault : application au freinage électromagnétique
Disque conducteur solidaire des roues
Le courant est proportionnel à la vitesse et à B2
Efficace à haute vitesse uniquement Utilisé sur les TGV pour arrêter en 3,5 km
une rame lancée à 360 km/h
Une voiture de série se sert des courants de Foucault générés dans un disque solidaire des roues pour recharger la batterie Les autres constructeurs vont suivre
Recommended