Problèmes aux limites non homogènes (VI)

PROBLEMES AUX LIMITES N O N HOMOGENES (VI)*

Par

J. L. LIONS ET E. MAGENES

d Paris, France d Pavie, Italie

I n t r o d u c t i o n .

Nous continuons l'6tude (cf. articles (II), . . . ,(V) de cette s6rie, [8]) des

probl~mes aux limites lin6aires:

(1) Au = f dans f~, ouvert de R"

Bju = g j sur F, fronti~re de f~; j = O , . . . , m - 1.

L'op6rateur A est suppos6 elliptique d'ordre 2m (ou proprement elliptique)

(cf. le texte et la bibliographic pour les d6finitions pr6cises) et les Bj formant

un syst~me normal et recouvrant A au sens de [1], [13].

L'ouvert f~ est suppos6 born6 de fronti6re ind6finiment (ou "assez") dif- f6rentiable de dimension n - 1 ; m~me chose pour la r6gularit6 des coefficients

de A et Bj.

On associe ~t (1) un "probl6me adjoint . . . . homog~ne":

(2) A*v = 4),

B~v = 0, j = 0 , . . . , m - 1

(d6finitions pr6cises au No 2).

Sous des hypotheses convenables d'unicit6, A* d6finit un isomorphisme de WB2m,ptzr ? t~,~) sur LP'(f~), 1 < p ' < ~ , off

(3) 2ra,p" Wn; (f~) = {u l ue W 2,,,v~f~), Bfu = 0 sur F}

et off comme d'ordinaire

(*) Les r6sultats de ce travail ont 6t6 annonc6s au Congr6s International de Stockholm (aofit 1962).

165

166 J. L. LIONS et E. MAGENES

(4) wk 'q (o ) = {Ul ueLq(f~), D ' u e L q ( f ~ ) , l e l < k , k e n t i e r > O , l < q < o o } .

C'est cela notre point de d6part dans (V); ensuite nous transposons cet iso-

morphisme (proc6d6 dit de "Vis ik-Sobolev") e t - -c ' es t le point non imm6dia t - -

nous interpr6tons cet isomorphisme, une fo i s choisie une f o r m e lindaire con- lxr2tn,p'/~,'~x tinue sur vv nj" ~ ) (1). On est ainsi condui t ~t des probl~mes du type (1)

off u n'est plus dans

W"P(g~) + -~7 = 1

et oh les g.i sont dans les espaces W -m j - 1/P'~(F) (off mj = ordre de Bj).

On interpole ensuite (bt l 'aide de rdsultats 6tablis dans ( I I I ) - ( IV)) entre

ces divers r6sultats; et l 'on obtient enfin une th6orie des probl~mes aux

limites (1) dans les espaces W"r(t2), r r~el, 0 <_ r < 2m.

D o n c - - e t nous insistons sur ce po i n t - -no t r e point de d6part dans (V) a 6t6

l ' i somorphisme A* de ,~,2,,,,p'~,-,,vr B~' ~z) sur U"(f~).

Or soit X(f~) un espace vectoriel topologique sur f~ (2), contenu dans

LP'(~). Alors A* est un isomorphisme (sous des hypotheses convenables

d'unicit6) de Dx(A* ) sur X(fD ol)

(5) lxr2m,p'/r~ Ox(A* ) = {u I u e vv B*~ tsz), A*u s X(D)}.

t , Par transposit ion on en d6duit tin i somorphisme de X'(f~) (3) sur Dx(A ).

Cela offre un grand nombre de possibilit6s ~t cause du choix tr6s large que

l 'on peut faire des espaces X(f~). Signalons les suivantes:

1) prenant des espaces X(f~) "de plus en plus pet i ts" (4), on r6sout des

probl6mes aux limites dans des espaces "de plus en plus g r a n d s " ;

(1) Nous avons fait dans (V) un choix "simple" de cette forme lin~aire. Un choix plus syst6matique (et conduisant d'ailleurs ~. des probl+mes non enti+rement r6solus) a 6t6 fait dans [9]. Pour simplifier nous nous pla~ons, de ce point de vue, dans la m6me optique que dans (V).

(2) Et il peut y avoir int6r& ~t prendre pour X(I2) un espade qui ne soit pas un espace de Banach. On verra cela dans l'article (VIl) de cette s6rie. Signalons ~. ce sujet que la m6thode d'interpolation de [4], [6], est valable dans des espaces non n6cessairement de Banach ni m6me m6trisables.

(3) E' d6signe toujours l'espace dual (fort) de l'espace E.

(4) Naturellement cela doit 6tre pr6cis6.

PROBLEMES AUX LIMITES NON HOMOGENES (VI) 167

2) on n'est pas oblig6 de prendre pour X(f2) un espace de Banach, cf. (2);

3) en prenant pour X(f~) des espaces qui sont ddjgt obtenus par interpola-

tion h partir d'espaces similes (espaces W"'P(f~), r non entier, ou H"P(f*),

etc, etc...) on n 'a plus b, interpoler aprks la transposition; l ' interpolation a

6t6 faite avant (5).

I1 est techniquement commode (mais non indispensable) d'ajouter la con-

dition: "-@(f~) est dense dans X(f~)" (~(f~) = espace des fonctions ind6fini-

ment diff6rentiables et ~t support compact dans f~).

On prendra dans cette article

(6) X(I2) = W~'P'(~) = adh6rence de .@(f2)dans W"P'(~),

avec r hombre r~el > O.

Avec ce choix on pourra prendre dans (1) les gJ dans les espaces

W-r-"J-~'P'P(F) et obtenir la solution u dans l'espace W-"~(f2), donc dans

des espaces de plus en plus grands lorsque r croit. Prenant r assez grand,

on atteint ainsi pour les gj les distributions quelconques sur I" (qui est com-

pacte).

Une fois X(f2) choisi par (6), il faut choisir les formes lin6aires sur Dx(A*)

que l'on consid~re. Nous nous bornerons ici au choix "faci le" (cf. (~) et

[9]) pour ne pas alourdir l'expos6.

Pour interpr6ter le th6or6me d'isomorphisme transpos6 il nous faut de

nouveaux thdorkmes gdndraux de traces; il font l 'objet du No 7. Notons que l ' introduction d'espaces du type X(f~)peut 6galement ~tre

utile dans des probl~mes aux limites non elliptiques; on peut par exemple

utiliser cette id6e ~t propos des probl6mes consid6r6s dans [10].

Signalons enfin une diff6rence, technique, avec les articles pr6c6dents; nous

ne supposerons pas qu'il y a unicit6 ni pour (1) ni pour le probl~me adjoint;

alors les isomorphismes sont obtenus d'espaces quotients (par des espaces de

dimension finie) sur des sous-espaces (de codimension finie). Pour pouvoir

utiliser cela, nous donnons au No 1 un r6sultat g6n6ral sur l ' interpolation

(5) Faire l'interpolation "avant" ou "apr6s" la transposition peut ne pas revenir tout ~, fait au m6me ~t cause du choix des 616ments de fix(A*), le choix optimum (s'il existe) n'6tant pas connu; cf. (1) et [9].

168 J. L. LIONS et E. MAGENES

d'espaces quotients ou de sous-espaces. On d6montre ainsi en particulier que

pour les probl~mes (1) on a encore le th6or6me de l 'alternative sous sa forme

habituelle, m~me dans les espaces g6n6raux qu 'on consid~re ici, et on trouve

des majorations dans les espaces W-"P(~) qui sent voisines de celles de

Schechter [14], [15] (cf. Remarque 8.4).

Le plan est le suivant:

1. Un r6sultat sur les espaces &interpolation.

2. Les op6rateurs diff6rentiels consid6r6s; notations et hypoth6ses.

3. Application del ' in terpolat ion.

4. Probl~mes non homog6nes associ6s au Th6or~mes 3.1.

5. Transposit ion.

6. Choix de la forme L.

7. Th~or~mes de trace dans D']r'r(f~).

8. Probl6mes aux limites non homogbnes.

Bibliographie.

1. Un r~sultat sur les espaees d ' interpolat ion .

1.1 Notat ions .

Soient B o et B l deux espaces de Banach (6), tous deux contenus--avec in-

jection cont inue--dans un m~me espace vectoriel topologique localement

convexe B.

On d6signe par B o + B 1 l 'espace des b = be + bl, bilBo; muni de la norme

lib[l--int. ([Iboll.o + llbll[.,), b = b o + b x ,

Be + Bt est un espace de Banach.

On appelle espace intermddiaire B u n espace de Banach (7) tel que

(1.1) B o N B 1 c B c B o + B1,

avec injections continues (s).

(6) Ou plus g~n~raux d'ailleurs; "Banach" est suffisant pour les applications que nous avons en vue darts l 'article present. On utilisera des espaces plus g6n~raux dans rarticle (VII).

(7) On peut 6galement consid6rer des espaces interm~diaires non "Banachisables" m~me lorsque B0 et B1 sent des Banach.

(8) Dor~navant "X ~ Y" signifie toujours que I'injection X---~ Y est continue.

PROBLEMES AUX LIMITES NON HOMOGENES (VI) 169

On suppose connue une "fonctionnelle"

(1.2) Bo, Bt -'* '/)(Bo, B j)

qui associe h Bo, B 1 un espace de Banach intermSdiaire @(Bo, BI), et ceci

pour tout couple d'espaces de Banach Bo, B 1 (plong6s dans un mSme espace

-d6pendan t du couple).

La "fonctionelle" (I) est dite "fonctionelle d'interpolation", si, Bof~B 1

6tant suppos6 dense dans B o et dans B~, la propri6t6 d ' interpolation suivante

a lieu: si Co, C~,C est un deuxi~me triplet ayant des propri6t6s analogues au

triplet Bo,B~, Bet si z~ est un op6rateur lin6aire continu de B o dans C o et B~ dans

C~, alors rc est un op6rateur lin6aire continu de @(Bo, B~) clans @(Co, Cj).

1.2.

Soit maintenant N un sous espace vectoriel de B o OB1, tel que

(1.3) N estfermd dans Bo et dans B1.

On peut alors consid6rer les espaces (de Banach) quotients Bo/N, Bf fN

et (B o + B~)/N et naturellement Bi/N c (Bo + B1)/N et les applications cano-

niques de B i dans BffN, i = O, 1, cogncident sur Bo ~ B ~ ; on peut donc d6-

signer par n cette application canonique et si @ est une "fonctionelle d'inter-

polat ion", on en d6duit que n est un op6rateur lin6aire continu de @(B o, B l)

dans @(Bo/N , B ffN).

Donc

(1.4) r B1)/N c OP(Bo/N, BI/N).

Supposons maintenant que N e s t de dimension finie (9). Soit z l , ' " , z v

une base de N (z~eB o riB1) et soient z; , . . . , z" des 616ments de B~ n B ~

tels que

(1.5) p

<z i ,z i ) = 6~, i , j= 1,.",v,

(9) Ceci est---comme en va voir--une condition suffisante (extr~mement restrictive mais suffisante pour nos applications) pour avoir l'identit6 dans (1.4).

170 J. L. LIONS et E. MAGENES

le crochet d6signant la dualit6 entre B~) (3 B~ et B o + B 1.

Si b" ~ (Bo + Bx)/N, on pose

(1.6) Rb" = b - ~ (z~, b ) z i i = 1

off b e s t quelconque dans la classe b~ l'expression (1.6) est ind6pendante

du choix de b e b" car si z ~ N on a:

z - = o

z = l

L'application b'--} Rb" est lin6aire continue de Bo/N dans B o et de B1/N

dans Bl, donc de O(Bo/N, B1/N ) d a n s r B 0.

Doric on a R(O(Bo/N, B 1 / N ) ) c rP(Bo, Bj), &off en prenant le quotient,

puisque nR = identit6, l 'inclusion inverse de (1.4).

On a donc d~montr6 la

Proposition. 1.1. Soit N u n sous-espace de dimension f in ie de B o ~ B l,

et �9 une fonctionnelle d'interpolation. Alors

r B~)/N = O(Bo/N , B1/N )

avec des normes dquivalentes.

Remarque 1.1.

On aura 6galement besoin du point de vue " d u a F ' suivant; si N , est un sous

espace vectoriel de B~) ~ B j, N , 6tant ferm6 dans Bo et dans B 1, on d6signe

par {Bi; N,} l 'espace:

{Bi ;N, -- { b [ b e B i , ( z , , b ) = 0 pour tout z, e N , }

(1.7) i = 0,1.

On d6finit ainsi un sous-espace vectoriel ferm6 de Bi.

Ceci pos6, on a: si N , est de dimension Jinie, alors

(1.8) {(I)(Bo, B1); N,} -- (I)({Bo;N,}, {B~;N,}),

avec des normes ~quivalentes.

PROBI~EMES AUX LIMITES NON HOMOGENES (VI) 171

En effet soit z't, -.., z" une base de N, et z I, -.-, z, des 616ments de B o n B~

tels que

<4,-'* > = ~i

le crochet ddsignant la dualit6 entre B~ + B~ et Bo ~ Bt.

Si N e s t l'espace engendr6 par les z~,. . . ,z , , on a l e s d6compositions en

somme directe topologique

B, = N -~ {B i ;N ,}

ce qui ram~ne (1.8)/t la Proposition 1.1.

2. Les op~rateurs di f f~rent ie ls consid~r6s; notat ions et hypo-

th/~ses.

2.1. Dans la suite f~ ddsigne toujours un ouvert de R", born6, de fronti~re F

une vari6t6 ind6finiment diff&entiable de dimension n - 1 , fl 6tant d 'un seul

cot6 de F.

2.2. On d6signe par A un opdrateur diff6rentiel d6fini par

(2.1) Au = ~ (--1)lklDt'(akhDhu) Ikl,lhl<-m

off

akh ~ ~(~) = espace des fonctions ind6finiment diff6rentiables dans ~ = f~ u F.

On dira que l'hypoth~se (,E) a lieu lorsque l'opdrateur A est elliptique

dans ~ (et proprement elliptique s i n = 2) (cf. p. ex. [1] ou [13] ou (V),

p. 8).

On d6signe par A* l 'adjoint formel de A:

(2.2) A*u = ~ ( - 1)lklDk(Tthk Dh U). Ikl,lhl<-m

2.3. On d6signe par Bo,'..,Bm_ 1 des "opdrateurs fronti6res", d6finis

comme suit:

(2.3) B iu = ~, b~hD hu, h <:mr

172 J. L. LIONS et E. MAGENES

off 0 < mj < 2 m - 1 , les bjh &ant des fonctions ind6finiment diff6rentiables

dans F.

On dira que l 'hypothkse (JV'~) a lieu lorsque

a) le syst~me des ,rR),4 = ' - 1 est normal au sens de Aronszajn et Milgram k - - J ) J = O

(cf. [2] ou (V) p. 9); =ra--1 b) le syst~me des {Bj}~=o " reeouvre" A (cf. [1], [13], ou (V), p. 11)

2.4 On consid~rera dans la suite les probl6mes aux limites

(2.4) { A u = f ,

Bju = g j, j = 0, . . . , m - 1.

On va introduire un adjoint formel de ce probl6me.

Notons d 'abord que l 'on peut toujours---et de fa$on non unique---compl6ter

le syst~me {Bj}~.-~) par un systSme sC ~,,-1 t j s j=o , off les Cj sont des op6rateurs

diffdrentiels d 'ordre/~j < 2m - 1, fi coefficients ind6finiment diff6rentiables sur

F, tels que le syst6me {B o, ..., Bm-1, Co, "", Cm-1} s ~ normal et de Dirichlet

(i.e. les ordres mj, l t j , j = O , . . . , m - 1 , parcourrent exactement l'ens mble

( 0 , 1 , . . . , 2 m - I ) . Cf. [2], [13].

A/ors il existe 2m op6rateurs Bs., C i, j = 0, ..., m - 1, fi coefficients ind6fi-

ment diffdrentiables sur F, avec

ordre B* = 2m - ktj - 1,

ordre C* = 2 m - m i - 1,

* C*, . . . ,C*_x} 6tant normal et de Dir ich le t et tels le syst6me {B* . . . ,B m_ 1,

que l 'on ait la f o r m u l e de Green:

m - I m - I

(2.5) (Au, v) - (u ,A*v) = (Cju) (B~v) da - (B ju ) (C jv )d t r J J

F F

pour u, v ~ ~(~) , et oh (f, g) = fn )r dx. (Cf. [2], [13]).

Ceci pos6, le probl6me

(2.6) A*v = q~

j = O, ..., m -- 1

PROBLEMES AUX LIMITES NON HOMOGENES (VI) 173

sera dit problkme adjoint (relat ivement ~ la formule de Green (2.5)) du pro-

blame (2.4).

2.5. Espaces N et N*.

On d6finit les espaces N e t N* c o m m e suit:

(2.7) N = { u l u e wZ"P(f~) , Au=O, B~u=O, j = 0 , . . . , m - 1 } , ( ,o)

(2.8) N* = {u I u ~ W 2 " " ( n ) , A*u = O, B*u =.0, j = 0, . . . , m - 1}.

Les hypoth6ses (g) et ( JV '~ ) ayant lieu, les espaces N e t N* sont form6s de

fonct ions ~ ~ ( ~ ) (et donc ne d6pendent pas de p) et sont de dimensions

finies. Cf. [3].

3. Appl icat ion de l ' interpolation.

3.1. On introdui t les espaces suivants, ofa r est un nombre r6el >= 0:

(3.1) wB2m+r'P(~-~)=(u]u~W2m+r'P(~'~), Bju=O, j=O, . . . ,m- -1} (xl)

Naturel lement , on d6finit de la m~me fa~on w2"+"Pt~ n. ~,~j. No te r aussi

que p e s t quelconque dans cette d6finition.

On sait, [1], [3], que, sous les hypotheses (g) et ( J / ' ~ ) , l ' op6ra teur A est

un i somorphisme de W2"+k"(D)/N sur {Wk'P(f2); N*} (12), pour tout entier 2m+k,p k > 0, 1 < p < ~ ; de mSme A* est un i somorphisme de WB. (K))/N sur

{ N}. 3.2. On va ma in tenan t d6montrer (s imultan6ment) les th6orbmes suivants.

Th~or~me 3.1.

Sous les hypotheses (8) et (./ff~l), l'opdrateur A est un isomorphisme de

w2'n+"P(f~)/N sur {Wr'P(f~);N*}, pour tout r~el r>O, 1 < p < oo.

(10) Cf. introduction pour la d6finition de WZ'-,p(g2).

(11) Cf. (III) pour la d6finition de W,,p(I2), s non entier. (t2) Avee les notations du No 1,16g~rement modifiOes: {Wk,p(f2);N *} consiste en les

u E Wu,p(12) t~lles que fo u~.dx=O pour tout z ~ N*; avec les notations du No 1 on aurait plut6t {Wk.p(~2); ~*}-,'/~/-* consistant en respace des ~ ofa z 6 N*. On note encore A l'op~rateur apr6s passage au quotient par N.

174 J. L. LIONS et E. MAGENES

T h ~ o r ~ m e 3.2. Hypothkses du Thdorkme 3.1. On a

(3.2) T(p,a; W~+"P(f~), W~'P(~)) = w"+'-~ (13),

o~t I 2 est un entier quelconque > 2m, 0 < 0 < 1.

D~monstration.

On pose : p - - 2m + k, k ent ier > 0. O n uti l ise le fait que A est nn i somor-

phisme de w2m+k'P(f2)/N sur {W~"(f~);N*} et de w2:+"+ " B l'P(f2)/N sur

{wk+I'P(f~);N*}. Donc , pa r in te rpo la t ion , A est un i s o m o r p h i s m e de

T(p,~; WBz"+k+"P(f~)/N, uz2m+a'P,,, (~ ) /N) sur T(p,~;{ wk+I'P(O); N*},

{wk'p(~)N*}). En ut i l i sant la P ropos i t i on 1.1. et la Remarque 1.1 (puisque

N e t N* sont de d imens ion finie) on en d6dui t que A est un i somorph i sme de Z(p,a; T/lT2m+k+ 1,p t'r TA/2m+k,P(f'~/IkT , ,8 ,*-J, ,, B t*-JJ/,, sur {r(p,a; wk+l"~(~), wk'P(~q)); n*} .

Mais nous savons (cf. (III) , Prop. 2.4, p. 52) que T(p,a; wk+l'P(f~), Wk'P(~)).

= W k + l - ~

Posons p rov i so i r emen t

T(p,~x; w~m+k* l"V(f~), u/2m*k'P ,,~ (~)) = X .

Alor s :

(3.3) A est un i somorph i sme de X / N sur {W k+l-~ N*}.

Par ailleurs, il est facile de voir que

l/l/2m+k+ 1 - O,p (3.4) X c ,, B (f~)"

Prenons ensui te u ~ w 2 m + k + I - O ' P ( ~ " ~ ) ; alors Au~ wk+l-O'P(f~) (car A est un

op6rateur l in6aire cont inu de W 2m + k + 1 - 0,p(f~) dans W k + 1 - 0,p(f~)); si z ~ N*,

la formule (2.5) donne (en tenant compte de ce que A*z = 0, B* z = 0 (cf.

(2.8)) et de ce que B iu = 0):

(13) T(p, a;Xo,XO d~signe l'espace de traces parcouru par u(0) lorsque u varie en saris- faisant ~: t~u ~ L~(O, oo; Xo), t~du/dt ~ LP(O, oo; Xa), 1/p + a = 0 E 10, 1[. Cf. [7] ou (III) p. 42.

PROBLE'MES AUX LIMITES NON HOMOGENES (VI) 175

(Au, z) = 0

donc Au ~ {Wk+l -~ *} et d'apr~s (3.3) il existe donc Uo (non unique,

u o est d6fini mod. N) dans X tel que

Auo = Au.

Alors U o - u z N et N c X donc u E X . Ceci montre l'inclusion inverse de

(3.4), autrement dit d6montre (3.2). Le Th6or6me 3.2 est doric d6montr6

et, rempla~ant X par sa valeur, (3.3) donne: A est un isomorphisme de

w~m+~+l -~ { Wk+l-~ *} ce qui d6montre le Th6or~me 3.1.

4. P r o b l 6 m e s non h o m o g 6 n e s a s s o c i 6 s au T h 6 o r 6 m e 3.1.

Consid6rons maintenant le probl~me suivant: trouver u darts w2m+~'P(f~)

r rgel >= O, satisfaisant

(4.1) Au = f , f donn6 dans W*'P(~),

(4.2) Bju = gj, gj donn6 dans wZm+r-m~-I/P'P(F), j = 0 , . . . , m - - l ( ~ 4 ) .

D'aprSs [16], si r -- 1/p # entier, il existe w darts W 2m+,,p(f~), tel que

(4.3) Bjw = gj, j = 0, . . . , m - 1,

w ddpendant lin6airement et continfiment des g~. Alors u - w satisfait ~t

(4.4) A(u - w) = f - Aw = f * ~ W"P(f~),

(4.5) B~(u - w) = O, j = 0, . . . , m - 1.

D'apr6s le Th6or6me 3.1 ce probl6me n 'admet de solution que si

f * e { W"~(f~); N*)

ioe,

(4.6) ( f* , z ) = 0 pout tout z ~ N * .

(14) Pour les espaces Ws,P(g2) et Ws,P(/'), s no~ cntier, of. (III).

176 J. L. LIONS et E. MAGENES

Or

( f* , z) = (f , z) -- (Aw, z)

et d'apr~s (2.5):

ruff .z (Aw, z) = - (Bjw) (C} z)da = - g / C j j da. .= j=Od J 0

F F On introduit la d6finition suivante: on d~signe par

m-1 } wr'P(~'~) X H w2m+r-m -1/p'P(r); N*,CN*

j = o

i n - - 1

l'espaee des j = m - 1 w2m+r-m, t - 1/p,p {f~gj}j=o Ewr'P(~'~) x H (F) qui v&ifient j=o

(4.7) m--1

( f ,z) + ~ f rg j (C~z)da = 0 pour tout z ~ N*. J

On peut alors 6noncer, comme cons6quence des remarques qui pr6c~dent:

T h 6 o r 6 m e 4.1. On suppose que r - l i p n'est pas un entier. L'opdrateur m-1 15) {A, Bj}i=o( d~finit (sous les hypoth6ses (8) et (.Ar~)) un isomorphisme de

W2'n+r'~(~)/N sur

m--1 } W"P(f~) x ~, w2m+'-mJ-l/v'v(F); N*, C N* .

j=0

5. Transposition.

5.1. Nous allons maintenant utiliser une variante simple du Th6or~me 3.1,

que nous allons ensuite " transposer".

Au lieu de prendre le deuxi6me m e m b r e f de l'6quation

(5.1) Au = f (16)

(15) I.e., plus prOzis6ment, apr6s passage au quotient par N de l'op6rateur

u -* (Au, Bou,.. . , B m_ I u).

(16) On 6crit indiff6remment Au ou Au', u" d6signant la classe de u i.e. l'ensemble {u+ N}.

PROBL'EMES AUX LIMITES NON HOMOGENES (VI) 177

dans {W'P(f~);N*}, nous prenons

(5.2) f ~ {Wg,p(fl);N.} (av).

Alors la classe de solutions u" est natureUement dans W2a"+'P(f~)/N

et en outre u ~ u" v6rifie: Au ~ Wg'P(f~). On introduit done la d6finition suivante:

2 m + r , p (5.3) WB,a ( ~ ) = { u l u ~ W 2 ~ + r ' P ( ~ ) , B j u = O , j = O , . . . , m - 1 et

A u ~ W~'P(f0} (xs).

On peut alors 6noncer (toujours sous les hypotheses (g) et ( .N'&)):

2,.+,,p {W~" (n) ; N*}, A est un isomorphisme de Wa, a ( f~)/N sur (5.4)

r r6el > 0, l < p < oo.

Naturellement, et avec des notations 6videntes, on a aussi:

(5.5) A* est un isomorphisme de l/u2m+r'q t h a t . * ,,~..~. ,,o,,,, sur {w~'~(n); N}

r r6el > O, l < q < c ~ .

5.2. On transpose maintenant (5.5) en prenant q = p' , o6

1 1 1.

On en d6duit que le transpos6 de A* est un isomorphisme de 2m+r ,p" , r {w~,p(n);N}'sur (w~.,~. ( n ) / N ) .

Autrement dit:

P r o p o s i t i o n 5.1. On suppose que (8) et (.g/'&) ont lieu; r e s t rdel > 0

quelconque. Soit v.---}L(v') une f o rme anti-lindaire continue sur

Wn 2m+~'p'rna/~r* I l existe alors un dldment u. et un seul dans l'espace *,A* kaa]/"L' "

{W~'P'(n);N} ' tel que

(17) W~,P(~) d6signe l'adh6rence dans WrW(f2) de ~(f2).

(xs) Cet espace est muni de la norme ][ u 1[ w2m+r,n(n) + 1] Au 1[ w',P(n) qui en fait un espace de Banach.

178 J. L. LIONS et E. MAGENES

(5.6) (u ' , A v ' ) = L(v')

w2m+r'P" (fl)/N*, et u" d@end continftment de L(19). pour tout v" ~ " B*,A*

5.3. Reste maintenant ~ interprdter le probl~me ainsi r6solu, ce qui com-

prend les 6tapes suivantes:

(a) interprdtation de {Wo'V'(f~); N}'--ce qui est immddiat, cf. point 5.4

ci-apr6s;

(b) choix de la tbrme anti-lindaire L;

(c) interpr6tation du probI6me aux limites rdsolu, une fois L fixd.

5.4. Comme on le vdrifie sans peine

(5.7) {W~'~'(n);N}' = W-r 'P (n ) /N(ZO)

de sorte que dans la Proposition 5.1, u. appartient /l W-r 'P( t2) /N.

6. C h o i x de la f o r m e L.

6.1. Nous introduisons un espace JY'r ayant les propri6t6s suivantes:

(6.1) l][72m+r'P" [r rVB , .A , k ~ ) C7. J~/~r;

~fr est un espace normal de distributions sur f~ (i.e. ~(f~) est dense dans ~r-).

On a intdr~t--comme on va voir, cf. aussi [9]--/~ choisir ~f , "le plus petit

possible".

Naturellement X r ddpendra en g6n6ral de B*,A*; nous ne rappelons pas

cela dans la notation pour simplifier l'6criture. t ruu2m+r,p'((-T~. Soit d r l'espace dual de o,~. On prendra, pour v~ "B*.A* ~"~J.

m - I

(6.2) L(v)= ( f , v ) + ; Z (g j , C ) v ) j = O

off, en supposant r - 1/p' non entier (ou encore r + l /p non entier):

(6.3) f e s/f ; ,

(19) Pour les topologies fortes de dual. (20) W0-r,P(I2) est, par d6finition, le dual de W~,P'(12).

(6.4)

PROBL'EMES AUX LIMITES NON HOMOGENES (VI) 179

gi e W - ~- m j - 1/p ,p(F) ;

noter que v ~ , d 'apr6s (6.1) et C~v~ wr+ms+I/P'P'(F) d 'apr~s [16] (puisque

C~ est d 'o rd re 2 m - m ~ - 1 ) , de sorte que (6.2) a un sens et d6finit une forme iAi2m +r,p'(( '~ anti-lin6aire cont inue sur ,,8,.A, ~'~

2m+r p" ~ t La forme (6.2) d6finira un 616ment de (W~,,a , ' ( f ~ ) / N ) si et seulernent si

(6.5)

i.e.

(6.5 bis)

L(z) = 0 pout tout z E N *

m-1 ( f , 5 ) + ~, (gj, C;z> = 0 p o u r t o u t z e N * .

j = 0

6.2. Prenons dans (6.2) v e ~(f~) et soit u e u.; (5.6) donne (u, A ' v ) = ( f , v >

pour tout v e ~ ( ~ ) , donc

(6.6) Au = f .

Pour s impl i f ier (21) nous prenons dans la suite

(6.7) ~ r = LP'(f~) -

Alors, si l 'on d6signe par Djr 'P(f l ) l 'espace d6fini par

(6.8) O~"P(f~) = {u [u ~ W-""(f~), A u ~ L"(f~)}

et muni de la norme du graphe, on voit que:

(6.9) si L e s t donn6e par (6.2), avec (6 .5bis )e t (6.7), u. e D j " P ( f l ) / N .

Pour aller plus loin dans l ' interpr6tation de (5.6)--avec le choix pr6c6dent

de L--i l faut maintenant obtenir des r6sultats de trace pour les 616ments de

D j ' a ' ( f l ) ; c 'est l 'objet du No suivant.

(21) Comme d~ja signal6 dans l'introduction nous ignorons s'il existe un choix optimum de )~'r- On peut obtenir en tous cas des JU."proches" de 'Toptimum'. Cf. [9] pour le cas des conditions aux limites de Dirichlet; nous ne voulons pas d6velopper ici les considerations analogues pour les autres conditions aux limites pour ne pas multiplier les difficult6s tech- niques. Cf. 6galement [11] olh ron d6veloppe les th6or+mes de trace sans expliciter .~r, ce qui naturellement est possible ici.

180 J. L. LIONS et E. MAGENES

7. T h 6 o r 6 m e s de t r a c e d a a s D~"P(f~).

7.1. D6montrons d'abord le

L e m m e 7.1. Sous l'hypoth~se (8), l'espace ~(~)(z2) est dense dans

Dj"P(f~), r rdel > O, r + 1/p non entier.

D 6 m o n s t r a t i o n .

Soit u - o M ( u ) une forme anti-lin6aire continue sur D~"P(f~);

elle peut s'6crire:

(7.1) M(u) = ( f , f t) + (g, Au), f eWg'P( f t ) , gELP'(ft).

Supposons que l 'on ait:

(7.2) M(q~) = 0 pour tout ~b e ~(fl).

I1 faut montrer que dans ces conditions

(7.3) M(u) = 0 pour tout ueD~"P(f~).

Toute ~b e ~ (~ ) est restriction it ~ d'une fonction # ~ ~(R"); on peut

6crire:

(7.4) M(~b) = ( f , ~ ) + (g,A(b) = ( f , ~ ) + ( ~ ' ~ r

R n

o/~ le dernier crochet est pris au sens des distributions sur R" et: f = extension

de f par 0 hors des f2, id. pour ~ e t :

d = prolongement de A (cf. (V), no 3), prolongement que l 'on peut prendre

coefficients ind6finiment diff6rentiables dans R" et d v6rifiant (g) dans

(~, o~ r est un ouvert born6 de fronti~re r6guli6re, t~ = 0.

Notons aussi que, comme r + 1/p ~ entier, r - 1/p' n'est pas un entier et

d'apr6s (IV), f est dans W"P'(R"). Enfin, d'apr~s (7.4), ~r 6tant l 'adjoint

formel de d :

( 7 . 5 ) = - y .

Donc g~ LP'(r (en particulier), d * g e Ln'(d~) (en particulier) de sorte que

(cf. (III)) on peut d6finir

(22) ~(~) d~signe l'espace des fonctions ind6finiment diff&entiablcs dans ~ .

PROBLEMES AUX LIMITES NON HOMOGENES (VI) 181

dv ~ 00

i = 0, 1,..., m - 1, dO = fronti~re de O, O/Ov = d6riv6e normale. Comme ~ est

identiquement nulle au voisage de dO, on a done

(7.6) ~ = 0, 0 ~ j < m - 1 .

Consid6rons alors g eomme solution du probl~me de Diriehlet (7.5), (7.6);

comme ~r est proprement elliptique dans ~, les 7j "recouvrent" ~r et on

peut done appliquer (5.4) au probl6me (7.5) (7.6). Soit JV" (resp. JV *) l 'espace--

de dimension finie--des u satisfaisant ~ u e W2"'P ( O), 7 j u = O, 0 < j < m - 1

d u = 0 (resp. d * u = 0); et posons (u,v)~ = .[~u~-dx. Si z e./V, calculons

(f ,z)e; soit 0~ ~(0), r6elle, 6gale fi 1 darts un voisinage de ~ ; alors

( f , z ) , = (f,, Oz)~ et Oz ~ ~(~); donc ( f , Oz)~ = - (~r Oz)~ = - (~, ,d(Oz))~

= -(~, , Os~ez + ~9)~ = -( i f , ~)~, off ~k est nulle au voisinage de fi, done (~,~)~ = 0

et done f e { W ~ ' P ' ( ( 9 ) ; N }. Par consequent, d'apr6s (5.4), il existe w darts

W2"+"~'(d~) ~ Wo~'~'(d~), avec

Donc ~ - w e L P ' ( r d * ( g - w ) = 0 , 7 j ( ~ - w ) = 0 , 0 < j < = m - 1 . Ceci

entralne (cf. (V),Th6or. 3.1 et forrnule (3.4)) que (g - w,.~Cv)~ = 0 pour toute

v continue dans O ainsi que ses d6riv6es d'ordre < 2m et telle que 7sv = O,

j = 0, ..., m - 1. Par cons6quent, d'apr~s [0], ~ - wes t darts JV'* et done

Be W2"+"P'(r I1 en r6sulte, g 6tant nulle hors de ~ ((III), Prop. 2.3; (V)

Prop. 5.1):

(7.7) g ~ Wo2m+r'P'(~'~),

Calculons maintenant (g ,Au) , u e D~"P(f~); comme ~(f~) est dense dans Wo2"+"P'(O), il existe une suite ~b i ~ ~(t~) avec

(7.8) ~ki~g dans Wo2"+"P'(f~);

alors

(g, Au) = lim (~q, Au) ; i

182 s.L. LIONS et E. MAGENES

mais (~O i, A u ) = (A*O i, u) et comme A * ~ i , - , A g dans Wg'P'(~) et u ~ W - " (f~),

on a:

&off

et par cons6quent :

(A*O. u) ~ ( a ' g , a)

(g, Au) = (A*g , f i )

M(u) = ( A * g + f , f t )

D'apr~s (7.5), A*g + f = 0, &off (7.3) ce qui ach~ve la d6monstrat ion.

7.2.

L e m m e 7.2. Soit r rdel > O, r + l / p non entier et supposons que (~)

a lieu et que le systdme des By est normal . Soient donnds des dldments

C j, j = O, 1, . . . , m - 1, avec

(7.9) Cj ~ W 2"+'-u] - 1/P"~'~F),

II existe alors v ~ w2m+"P'(~) tel que

p * = 2 m - m j - 1.

(7.10) B*v = O, C*v = dpi, j = O, 1, . . . , m - 1 ;

(7.11) A*v e Wg'v'(fO,

et v ddpendant cont in~ment des Cy.

D~monstrat ion .

Si 0 < r < 1/p' , la condit ion (7.11) est au tcmat iquement satisfaite d~s que

v ~ w2m+"P'( f 0 car, d 'apr~s (IV), on a alors W~'P'(I)) = W"P'(f~).

S i r > 1/p' , alors (7.11) 6quivaut / t

(7.11 bis) ?i(A*v) = 0, [ r i = 0 , 1 , " ' , r - -

o/1 ?i = dni- ' nr = no rma le / t F et

[r-Lp, ]- = plus grand entier = > 0 et < r - - - I pt"

PROBI~EMES AUX LIMITES NON HOMOG'ENES (VI) 183

Puisque A* est elliptique, le syst~me

C*, }, j = 0 , . . . , 1; i = 0 , . . - ,

, [" 1 "] - est un syst6me de Dirichlet d ordre 2m + / r - - - 7 1 �9

/ P / Lemme de Aronsza jn-Mi lgram [2], [13], to~ut revi6nt

w2m+r'P'(~'~), a v e c

[r--;]- Util isant alors un

/L construire w dans

1 ?jw = ~Oj, j = 0 , . . . , 2 m - 1 s i r < p ,

?jw = O j, j = O , . . . , 2 m + r - s i r > ~ , P

~kj donn6 dans w2m+r-j-1/P"P'(F),

w d6pendant continfiment des ~kj.

Cela est possible d 'apr~s [16], d 'of l le Lemme.

7.3. On peut main tenan t d6montrer le th6or6me de traces que nous avions

en vue:

T h ~ o r ~ m e 7.1. On suppose que (~) a lieu et que le systkme {Bj} est

normal. On suppose r rdel > O, r + 1/p non entier. Uappl icat ion

u "-+ Bu = {BoU, "",Bin-1 u}

de ~ ( ~ ) dans (C-~'~(F))m(23), se prolonge par continuitd en une application

lin6aire continue, encore notde u ~ Bu, de D~r'P(~) dans

m-1

I-[ W-'-~'- ' /" '"(r). j = 0

D ~ m o n s t r a t i o n .

Soit u donn6e dans D-a"P(f~) et soiem les ~bj donn6s avec

(l~j ~. w 2 m + r - l z * J - I /p ' ,p ' (F) .

(23) ~ ( F ) d6signe l'espace des fonctions ind6finiment diff6rentiables sur F et (~(F)) m le produit .~(F) • ... • .~(F), m facteurs.

184 J. L. LIONS et E. MAGENES

Soit vr un 616ment de W2s+r'P(f~) satisfaisant aux conditions du Lemme 7.2

L'expression

Yor = ( u , A * v , ) - (Au,-v,)

a un sens, le premier crochet d6signant la dualit6 entre W-"P(~)

et W~'P'(t~), le second entre LP(f~) et LP'(f~).

L'expression Y~ est ind6pendante du choix de v, (pourvu que les condi-

tions du Lemme 7.2 aient lieu); en effet, s i v et v~ sont deux tels choix,

X = v - v I v6rifie (toujours d'apr~s le lemme d'Aronszajn-Milgram):

~ jZ=0 , j = 0 , . . . , 2 m - I si r<--7;p j = 0 , . . . , 2 m + r - si r>~7- ~

Donc ((V), Prop. 5.1), Z~ Wo2"§ de sorte que ( u , A * z ) = (Au,-}), i.e

Y~, - Iv. Done Iv, = Y~ ne d6pend que de ~b= {~bo,...,~b,_t} et la forme

anti-lin6aire q~ ~ Y~ est continue sur

rn - I

I-I w 2 r ' § - 1 / " " P ' ( F ) �9 j = 0

Done

m - ! (7.12) Y~ = E (ziu, dpj>,

j = 0

zju~ W -2"-'+"; +I/p''p(F), done

(7.13) "~jU E W - r - m / - l / p ' p ( F ) ,

les applications u -~ zju 6tant continues de Djr'P(f~) dans W -'-ms-1/p'p (F).

Nous allons maintenant v6rifier que

(7.14) -cju = Blu pour u e ~ ( ~ ) ,

ce qui avec les remarques pr6c~dentes d6montrera le th6or~me.

Or si l 'on prend ~b i dans ~ (F) pour tout j , on peut alors choisir v§ dans

~(t~) et Y~ -- Y~ vaut, d'apr6s la formule de Green

PROBLEMES AUX LIMITES NON HOMOGENES (VI) 185

m - I m-1

r~ = Z <B j, u, c~ v,> = Z <B~u, ~j > j = 0 j = 0

&off (7.14) en comparant avec (7.12).

R e m a r q u e 7.1. Formule de Green:

2 m + r p' Pour u ~Da-r'P(~) et v ~ W~,,,4," (D), on a

m - I

(7.15) < A u , v > - <u,A*v> = - ~_, (Bju,'C]v>; y=O

le premier crochet d6signe la dualit6 entre LP(f~) et LP'(f~), le deuxi~me entre

W-r'P(f~) et W"V'(f~), et le crochet dans <Bju, C*v> la dualit6 entre W-r-ms-1/PW(F) et W r+mj+l/p'p' (F).

En effet (7.15) est vraie pour u ~ ~ (~ ) &off le r6sultat par passage it la

limite, grace au Lemme 7.1 et au Th6or~me 7.1.

8. P r o b l 6 m e s aux l i mi t e s non homogi~nes .

On peut maintenant interpr6ter (5.6), avec le choix (6.2) de L, et f ~ LP(f~).

Comme on a vu (cf. (6.9)) u est alors dans D~"P(fl) de sorte que

m - I

(8.1) <u',a*v'> = <u,A*v> = (Au,v> + ~. <Biu, C~v> j=O

grace A (7.15). Comme Au = f (cf. (6.6)), on a alors:

m-1

(8.2) Z ( B , u - g j , Cjv> = 0 j=O

ou encore, grgce au Lemme 7.2,

m-- |

(8.3) ~ <Bju - gj, q~j> = 0 pour tout q~j e W 2m+'-~] - 1/P' P'(F). j = 0

Donc Biu = g j, j = 0, . . . , m - 1.

On a donc d6montr6 le:

Th6ori~me 8.1. "On suppose que (8) et (~V'~) ont lieu. Soit r rdel>=O.

r + l ip non entier. Uopdrateur {A,B} est un isomorphisme de D]"P(f~)/N

sur l' espace

186 J. L. LIONS et E. MAGENES

m--1 } f f ( ~ ) • Z w - r -m -~/" , f f r ) ; N*,CN*

j=0

des {f,g~; j = 0 , - . - , m - 1 } aveef~_l f (~) , (6.4) et (6.5 bis).

C 'es t l 'extension du Th6or6me 4.1 aux espaces W-"P(f~) d ' o rd r e n6gatif.

Le Yh6or6me 8.1 mon t re en particulier que pour le p rob l6me"Au = f , Bju = gj"

on a encore le thdor6me de l 'a l ternat ive sous sa forme habituelle sous les hypo-

thbses g6n6rales s u r f et gj du th6or6me.

Remarque 8.1. Le Thdor~me 8.1 rdsout le probl~me aux limites suivant;

(8.4) Au = f , f ~ LP(~),

(8.5) Bju = gj, j = 0 , . . . , m - 1 , gj donnd dans ~ ' ( F ) ,

! ~ ' ( F ) = espace des distributions sur F.

En effet, F 6tant compacte , les dis t r ibut ions gj sont d'ordre f in i et il existe

done un r > 0 assez grand tel que g j e W - r - " r ~ / P ' P ( F ) . On est done ramen6

au cadre du Th6or6me 8.1, pourvu bien entendu que (6.5 bis) ait lieu.

Noter que la consid6ration des r entiers est suffisante si l ' on a seulement

en rue le r6sultat pr6c6dent.

Remarque 8.2.

Pour simplifier, supposons que A est d'ordre 2. Soit P(xo) le "noyau

de Poisson", i.e. la solution de

(8.6) AP(xo) = O,

(8.7) ?oP(xo) = 6(xo) = masse 1 au point Xo,Xo ~ F.

Pour chaque p v6rifiant

/1 (8.8) p >

= n - l '

d6signons par r(p) un nombre r6el > 0 v6rifiant

(8.9) r ( p ) > n ( 1 - 1 ) - 1(__> 0).

PROBI~EMES AUX LIMITES NON HOMOG'ENES (VI) 187

Alors

(8 .10) P(xo) E (7 w-r(P)'P(~'~). n/(u- 1)<p< co

En effet il suffit de vdrifier que P(~o) ~ W-~(P)'~ i.e., d'apr6s le Th6or6me

8.1, que 5(xo)e W-"(P)-I/P'P(F) donc par dualit6 que W~(P)+I/P'V~F)~ C~

= {espace des fonctions continues sur F}, ce qui est vrai d'apr6s le Th6or6me

de Sobolev 6tendu aux exposants l'ractionnaires si 1 r(p) + 1/p < 0, ce qui p' n - 1

est vrai d'aprSs (8.9).

Remarque 8.3. On a pu prendre les g~ dans

avec r < 0 quelconque (Th. 8.1) o u r > 2m (Th.

(V), Th. 4.2 (extension facile au cas off N et N*

R e m a r q u e 8.4. Pla~onsnousdans le cadre de

est un espace de Banach. Alors, de la Proposition

L, r6sulte l'existence d 'une constante c = c(r) telle

les espaces W r-mJ-1/p'p(F)

4.1). Pour 0 < r < 2m, cf.

ne sont pas r6duits ~ {0}).

6.1, en supposant que ~ ,

5.1, avec le choix (6.2) de

que

{[I } (8.11) inf Ilu+zIIw_.( ) c Au 11 zeN j=O

1 r + - non entier.

P

On obtient des in6galit6s voisines de celles de Schechter [14], [15]. Cet

auteur utilise l ' interpolation complexe [4], [6] alors que nous utilisons ici

l 'interpolation r6elle par les traces, [7] et (III) (IV) (V), et ne donne pas le

th6or6me de trace du No. 7. Par ailleurs M. Schechter prend 6galement (avec

les notations de l 'Introduction) X(f~)= Wr'P(f~),r entier, ou les interpol6s

complexes de ces espaces.

Signalons enfin que l 'on pourrait obtenir des resultats diff6rents mais de

m~me type en utilisant l ' interpolation selon [5].

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(Re~u le 26 octobre 1962).