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DIMENSIONNEMENT DES STRUCTURES
MODULE F312
OBJECTIFS
• Comprendre et effectuer• Un calcul de dimensionnement• Un contrôle en rigidité ou en résistance
• Maitriser la démarche de calcul d’une structure• du point de vue cinématique (calcul des déformées)• du point de vue mécanique (calcul des contraintes)
• Analyser un état de déformation et de contrainte• Utiliser et comprendre les critères de résistances élastiques• Choisir un coefficient de sécurité• …
2
Comportement sous chargement d’une structure
Dimensionnementen rigidité
Dimensionnementen résistance
Mécanicien concepteur
Déplacements inferieurs à des limitesfixées par le cahier des charges
Intégrité de la structure sous les sollicitations appliquées
• Répartitions des contraintes• Utilisation d’un Critère de résistance• Comparaison avec les performances possibles du matériau
constituant la structure
Dimensionnementen rigidité
Dimensionnementen résistance
PYLONE SUPPORTANT DES ANTENNES
La structure devra résister à la ruine
L’angle de dépointage des antennes doit rester inferieur à un seuil
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1. DEFORMATIONS
2. CONTRAINTES
3. CRITERES DE RESISTANCES
4. LOIS DE COMPORTEMENT
PLAN DU COURS
Semaine 0
Semaines 3,5 et 9
Semaine 11
Semaine 13
1. INTRODUCTION
2. DEPLACEMENT ET DEFORMATION D’UN DOMAINE ELEMENTAIRE
3. INTERPRETATION DE LA DECOMPOSITION DU DEPLACEMENT
4. ETUDE DE LA MATRICE DE DEFORMATION
5. ELEMENTS PRINCIPAUX
6. EXTENSOMETRIE
CHAPITRE 1 : DEFORMATIONS
4
1. INTRODUCTION
• Comparaison d’une configuration « initiale » et d’une configuration « finale »
Instant initial Instant final
Action de forces extérieures
• Effort• Gradient de température
Déplacement de chacun des points du corps
NOTION DE DEFORMATION
1. INTRODUCTION
• Mouvements de corps rigide (translation, rotation)
• Mouvements relatifs d’un point par rapport à un autre point du même corps
Conservation des distances et des angles
Pas de modifications des distances mutuelles entre différents points du corps
AB
C A
B
C
A BC
Déformations du corps
NOTION DE DEFORMATION
5
1. INTRODUCTION
2. DEPLACEMENT ET DEFORMATION D’UN DOMAINE ELEMENTAIRE
3. INTERPRETATION DE LA DECOMPOSITION DU DEPLACEMENT
4. ETUDE DE LA MATRICE DE DEFORMATION
5. ELEMENTS PRINCIPAUX
6. EXTENSOMETRIE
CHAPITRE 1 : DEFORMATIONS
2. DEPLACEMENT ET DEFORMATION D’UN DOMAINE ELEMENTAIRE
x
y
z
• Une particule P du solide S occupe à l’instant initial, une position P0 (x0,y0,z0)
• Apres chargement, à l’instant final, la particule occupe une position P1 (x1,y1,z1)
Etat initial
Etat final
Chargement
P0 P1
Le vecteur déplacement du point P
est une fonction vectorielle des 3
coordonnées initiales x,y et z du point P
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2. DEPLACEMENT ET DEFORMATION D’UN DOMAINE ELEMENTAIRE
• Hypothèses des petits déplacements
Le déplacement est petit : 1% de la plus grande dimension du solide
Le vecteur déplacement du point P est tangent à la trajectoire
• Hypothèses des petites déformations
Les dérivées partielles du déplacement par rapport aux variables x,y et zsont faibles :
HYPOTHESES :
2. DEPLACEMENT ET DEFORMATION D’UN DOMAINE ELEMENTAIRE
x
y
z
• Une particule Q très voisine de la particule P occupe
Etat initial
Etat final
Chargement
P0 P1
Q0Q1
La différentielle de déplacement
provient de l’éloignement entrePo et Qo
entre et
A l’instant initial, une position Q0 (x0+dx,y0+dy,z0+dz)
A l’instant final, une position Q1
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2. DEPLACEMENT ET DEFORMATION D’UN DOMAINE ELEMENTAIRE
P0 P1
Q0Q1
• Les composantes du vecteur déplacement Q0Q1 sont :
RAPPEL
2. DEPLACEMENT ET DEFORMATION D’UN DOMAINE ELEMENTAIRE
P0 P1
Q0Q1
Matriciellement,
Soit :
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2. DEPLACEMENT ET DEFORMATION D’UN DOMAINE ELEMENTAIRE
P0 P1
Q0Q1
MATRICE DE TRANSFORMATION
2. DEPLACEMENT ET DEFORMATION D’UN DOMAINE ELEMENTAIRE
LA MATRICE T EST A COEFFICIENTS REELS
ELLE SE DECOMPOSE DE MANIERE UNIQUE EN LA SOMME :
D’UNE MATRICE SYMETRIQUED’UNE MATRICE ANTISYMETRIQUE
Matrice Symétrique Matrice Antisymétrique
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2. DEPLACEMENT ET DEFORMATION D’UN DOMAINE ELEMENTAIRE
P0 P1
Q0Q1
1 2 3
1. INTRODUCTION
2. DEPLACEMENT ET DEFORMATION D’UN DOMAINE ELEMENTAIRE
3. INTERPRETATION DE LA DECOMPOSITION DU DEPLACEMENT
4. ETUDE DE LA MATRICE DE DEFORMATION
5. ELEMENTS PRINCIPAUX
6. EXTENSOMETRIE
CHAPITRE 1 : DEFORMATIONS
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3. INTERPRETATION DE LA DECOMPOSITION DU DEPLACEMENT
P0 P1
Q0 Q1
TRANSLATION D’ENSEMBLE DES POINTS P ET Q
AUCUNE DEFORMATION
PREMIER TERME
3. INTERPRETATION DE LA DECOMPOSITION DU DEPLACEMENT
P0 P1
Q0 Q1
TROISIEME TERME
11
3. INTERPRETATION DE LA DECOMPOSITION DU DEPLACEMENT
3. INTERPRETATION DE LA DECOMPOSITION DU DEPLACEMENT
RELATION DU TYPE :
TROISIEME TERME
12
3. INTERPRETATION DE LA DECOMPOSITION DU DEPLACEMENT
EN POSANT :
3. INTERPRETATION DE LA DECOMPOSITION DU DEPLACEMENT
P0 P1
Q0 Q1
ON PASSE DE Q0 A Q1 PAR UNE ROTATION
AUTOUR DE P0
D’ANGLE :
TROISIEME TERME
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3. INTERPRETATION DE LA DECOMPOSITION DU DEPLACEMENT
P0 P1
Q0 Q1
LES TERMES
N’INTRODUISENT PAS DE DEFORMATION DU MILIEU AUTOUR DE Po
SEUL LE SECOND TERME PEUT DEFORMER LE MILIEU
3. INTERPRETATION DE LA DECOMPOSITION DU DEPLACEMENT
P0 P1
Q0 Q1
On note :
Matrice symétrique
SECOND TERME
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3. INTERPRETATION DE LA DECOMPOSITION DU DEPLACEMENT
Composante i du vecteur déplacement
J ème variable
RELATION DEPLACEMENTS-DEFORMATIONS
3. INTERPRETATION DE LA DECOMPOSITION DU DEPLACEMENT
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3. INTERPRETATION DE LA DECOMPOSITION DU DEPLACEMENT
P0
Q0
P1
Q1
LA PETITE TRANSFORMATION DE P0Q0 EN P1Q1 EST LA SOMME
• D’UNE TRANSLATION• D’UNE ROTATION• D’UNE DEFORMATION
L’ORDRE DANS LEQUEL S’EFFECTUELES TRANSFORMATIONS N’INTERVIENT PAS
1. INTRODUCTION
2. DEPLACEMENT ET DEFORMATION D’UN DOMAINE ELEMENTAIRE
3. INTERPRETATION DE LA DECOMPOSITION DU DEPLACEMENT
4. ETUDE DE LA MATRICE DE DEFORMATION
5. ELEMENTS PRINCIPAUX
6. EXTENSOMETRIE
CHAPITRE 1 : DEFORMATIONS
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4. ETUDE DE LA MATRICE DE DEFORMATION
P0xy
z
On se place dans le repère (P0,x,y,z) entrainé dans la translation et la rotation
Par rapport à ce repère, P0P1 et w sont nuls
4. ETUDE DE LA MATRICE DE DEFORMATION : TERMES DIAGONAUX
ON CONSIDERE LA MATRICE
SOIT Q0 UN POINT VOISIN DE P0, Q0 SUR L’AXE [P0,X]
xdx
P0 Q0
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4. ETUDE DE LA MATRICE DE DEFORMATION : TERMES DIAGONAUX
x
P0 Q0 Q1
LE POINT Q0 SE DEPLACE DE SUR L’AXE
Q0 Q1
4. ETUDE DE LA MATRICE DE DEFORMATION : TERMES DIAGONAUX
x
P0 Q0 Q1
TRADUIT L’ALLONGEMENT RELATIF DANS LA DIRECTION X
TRADUIT L’ALLONGEMENT RELATIF DANS LA DIRECTION Y
TRADUIT L’ALLONGEMENT REXLATIF DANS LA DIRECTION Z
DE MEME
(DILATATION LINEAIRE UNITAIRE SUIVANT L’AXE X, SANS DIMENSION)
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4. ETUDE DE LA MATRICE DE DEFORMATION : TERMES DIAGONAUX
?VARIATIONS DE
LONGUEUR
4. ETUDE DE LA MATRICE DE DEFORMATION: TERMES NON DIAGONAUX
ON CONSIDERE LA MATRICE
xdxP0
Q0
SOIT Q0 ET R0 DEUX POINTS VOISINS DE P0,
Q0 SUR L’AXE [P0,X] A UNE DISTANCE dx DE P0
R0 SUR L’AXE [P0,X] A UNE DISTANCE dy DE P0
R0
dy
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4. ETUDE DE LA MATRICE DE DEFORMATION: TERMES NON DIAGONAUX
LES VECTEURS DEPLACEMENT DE Q0 ET R0 SONT :
LE POINT Q0 SE DEPLACE DE SUR L’AXE DES y
LE POINT R0 SE DEPLACE DE SUR L’AXE DES x
4. ETUDE DE LA MATRICE DE DEFORMATION: TERMES NON DIAGONAUX
P0 Q0
Q1
R0R1
L’angle initialement droit , vaut après déformation
traduit la demi-distorsion de l’angle initialement droit
x
y
DISTORSION
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4. ETUDE DE LA MATRICE DE DEFORMATION : TERMES DIAGONAUX
VARIATIONS DE LONGUEUR
DISTORSION ANGULAIRE
4. ETUDE DE LA MATRICE DE DEFORMATION
Allongement relatif et glissement dans une direction quelconque
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4. ETUDE DE LA MATRICE DE DEFORMATION
Allongement relatif et glissement dans une direction quelconque
4. ETUDE DE LA MATRICE DE DEFORMATION : DEFORMATION D’UN CUBE
x
y
z
P
A
B
C
G
D
E
F
Cube unitaireinfiniment petitCOTE PA DU CUBE
A A’
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4. ETUDE DE LA MATRICE DE DEFORMATION : DEFORMATION D’UN CUBE
x
y
z
P
A
B
C
G
D
E
F
Cube unitaireinfiniment petitCOTE PA DU CUBE
A A’
PA’
A’
4. ETUDE DE LA MATRICE DE DEFORMATION
CUBE PARRALLELEPIPEDE A FACE OBLIQUE
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4. ETUDE DE LA MATRICE DE DEFORMATION
1. INTRODUCTION
2. DEPLACEMENT ET DEFORMATION D’UN DOMAINE ELEMENTAIRE
3. INTERPRETATION DE LA DECOMPOSITION DU DEPLACEMENT
4. ETUDE DE LA MATRICE DE DEFORMATION
5. ELEMENTS PRINCIPAUX
6. EXTENSOMETRIE
CHAPITRE 1 : DEFORMATIONS
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5. ELEMENTS PRINCIPAUX
0P 0Q0h
1Q
[ ] [ ] [ ]0000hh T
hh ⋅⋅= εε
[ ] [ ] [ ]0000ht T
ht ⋅⋅= εε
0P 0Q0h0t
1Q0t
?Distorsion nulle, uniquement une variation de longueur
5. ELEMENTS PRINCIPAUX
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5. ELEMENTS PRINCIPAUX : DEFORMATIONS PRINCIPALES
CALCUL DES VALEURS PROPRES
(Equation caractéristique)
(Polynôme de degré 3)
Déformationsprincipales
5. ELEMENTS PRINCIPAUX : DIRECTIONS PRINCIPALES
CALCUL DES VECTEURS PROPRES
Directionsprincipales
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5. ELEMENTS PRINCIPAUX
ECRITURE DE LA MATRICE DES DEFORMATIONS DANS UN REPERE PRINCIPAL
Dans un repère principal, un cube de coté unitése transforme en parallélépipède a facesrectangulaires
5. ELEMENTS PRINCIPAUX
Cas particulier où une direction principale est connue a priori
IIIXz =
IIXIX
ϕ
x
y
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1. INTRODUCTION
2. DEPLACEMENT ET DEFORMATION D’UN DOMAINE ELEMENTAIRE
3. INTERPRETATION DE LA DECOMPOSITION DU DEPLACEMENT
4. ETUDE DE LA MATRICE DE DEFORMATION
5. ELEMENTS PRINCIPAUX
6. EXTENSOMETRIE
CHAPITRE 1 : DEFORMATIONS
5. EXTENSOMETRIE
Mesure de l’état de déformationà la surface d’un corpsP
x
y
z
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5. EXTENSOMETRIEMesure de l’état de déformation
à la surface d’un corps
Px
y
z
[ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
zz
yy
xy
xy
xx
zyxε
εε
εε
ε 00
00,,
Mesure directe
Mesure indirecte
Calculé avec la loi de comportement (Hooke)
3 variables indépendantes
5. EXTENSOMETRIE
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