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8/17/2019 Rendement Des Moteurs
1/4
Calcul des Rendements des Moteurs Usuels
Moteur – Cas Général :
Rendement :
_
_ _C C
énergie utile W W e
énergie fournie machine Q Q η
−= = = =
MISSIONS : Calculercycle
W W = , (attention aux 2 méthodes).
Identifier correctement Q C, dépend du moteur étudié.
ATTENTION :
Il y a toujours 2 méthodes possibles pour le calcul du travail reçu sur le cyclecycle
W
Calcul direct : cycle AB BC CD DAW W W W W ⇒ = + + +
, souvent plus compliqué Calcul avec le 2er Principe : 0
C F W Q Q ⇒ + + = , en général plus simple
Cycle de Carnot :
Représentation du cycle :
Cycle Diesel : - 1ère
méthode
Représentation du cycle :
Le cycle de Carnot est par définition réversible:
0
0
C F
C F
C F
W Q Q
Q Q
T T
+ + =⎧
⎪⇒ ⎨ + =⎪⎩
1C F F
moteur
C C C
C F F F
C F C C
Q Q Q W e
Q Q Q Q Q Q T
T T Q T
+⎧ −= = = +⎪
⎪⇒ ⎨⎪ = − ⇔ = −⎪⎩
Et 1 1F F Carnot C C
Q T e
Q T = + = − V
IsoSIsoS
IsoT
B
D
A
C
IsoT
TC
TF
W0
Q F
8/17/2019 Rendement Des Moteurs
2/4
Cycle Diesel :
- 2nde méthode
Remarque : Cycle Diesel mixte dit de Seiliger
Les moteurs Diesel sont plus efficaces que les moteurs à
essence classiques (cycle Beau de Rochas), mais ont nécessité des
améliorations pour augmenter leurs performances, notamment les
pompes à injection haute pression du carburant (HDi = High
Pressure Direct Injection), pression qui peut monter jusqu’à 100
bars pour une meilleure pulvérisation et plus grande vitesse
d’injection. Le cycle peut alors être un peu différent, avec une
combustion partielle à P = Cstte et à V = Cstte.
P
V
IsoS
IsoS IsoV
IsoV
IsoP
B D
A
C
Exemple de Moteur Diesel :
Taux réalistes :
20
1,4
10
A
B
A
C
V
V
V
V
α
γ
β
⎧= =⎪
⎪⎪=⎨
⎪⎪ = =
⎪⎩
( )( )1 1
1 65%Diesel
γ γ α β η
γ α β
− −
− −
−= − =
−
2
nde
méthode :
Calcul complet de toutes les étapes : Beaucoup plus complexe pour le moteur Diesel
Travaux :
( )
1 1
1 1
1 1
1
1 1
1
0
1
1
B B A A
AB A AA AB A
C
BC B C B B cycle AB BC CD DA
D D C C
CD C C C C D C
DA
A Acycle
B
P V dV W PdV P V
V V V
W PdV P V V W W W W W
P V dV W PdV P V
V V V
W
P V W
V
γ γ
γ γ γ
γ
γ
γ γ γ
γ
γ
γ
γ
− −
− −
⎧ ⎫⎡ ⎤= − = − ⋅ = ⋅ −⎪ ⎪⎢ ⎥
− ⎣ ⎦⎪ ⎪⎪ ⎪
= − = − −⎪ ⎪⇒ = + + +⎨ ⎬
⎪ ⎪⎡ ⎤= − = − ⋅ = ⋅ −⎪ ⎪⎢ ⎥
− ⎣ ⎦⎪ ⎪⎪ ⎪=⎩ ⎭
⇒ = ⋅−
∫ ∫
∫
∫ ∫
( )
( ) ( )
1 1 1 1
1 1
1 1
1 1 1
1
1 1 1
1 1
1 1 1
C C B C B
A D C
C C A Acycle B B
cycle V A B B V C
P V P V V
V V V
P V P V W P V
W C T P V C T
γ
γ γ γ γ
γ γ
γ γ
γ
α α β
γ β γ
α α β
β
− − − −
− −
− −
⎡ ⎤⎡ ⎤− − − + ⋅ −⎢ ⎥⎢ ⎥
−⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎡ ⎤⇒ = ⋅ − − − + ⋅ −⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎣ ⎦
− −⎝ ⎠⎛ ⎞
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⇒ = ⋅ − − − + ⋅ −⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠
Chaleurs : ( )
( )
0
0
AB
BC P C B
CD
DA V A D
Q
Q C T T
Q
Q C T T
=⎧⎪
= −⎪⎨
=⎪⎪ = −⎩
( )
1 11 1 1V A B B V C
Diesel
C P C B
C T P V C T W
Q C T T
γ γ α α β β
η
− −⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎡ ⎤− ⋅ − + − − ⋅ −⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎣ ⎦− ⎝ ⎠= =−
Après de nombreux calculs, on arrive enfin à :
( ) ( )( )
( )( )1 1 1 1
1 1
1
1
V B V B B B V
Diesel Diesel
P P B
C T C T P V C nR
C C T
γ γ γ γ γ γ
α α α β α
β α α β β β η η
α γ β α γ α β
β
− −− − − −
− − − −
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − − − + −
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − −+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠= = − = = −⎛ ⎞ − −
−⎜ ⎟⎝ ⎠
Suite - 1
ère
méthode :
Mais on a :
1 1 1
A A B B B A
C C B C
B
A B T V T V T T
P T B C P P
T
γ γ γ
α − − −
→ = ⇒ =⎡ ⎤⎣ ⎦
→ = ⇒ =⎡ ⎤⎣ ⎦ C
B
V
P 1 1 1
C
B B
C C D D C D
A D
V
V V
C D T V T V T T
D A V V
γ γ γ
α
β
β − − −
⎧⎪⎪
= =⎪⎨⎪
→ = ⇒ =⎡ ⎤⎪⎣ ⎦
⎪ → =⎡ ⎤⎣ ⎦⎩
( )( )
( )( )
1 11 1
1 11 1 1
1
C
B C B
Diesel Diesel
C B C
T
T T T
T T T
γ γ γ γ γ γ α β α β α β
η η γ γ α β
γ
− −− − − −
− −
⎛ ⎞−⎜ ⎟− −⎝ ⎠= + = + = = −
− ⎛ ⎞ −−⎜ ⎟
8/17/2019 Rendement Des Moteurs
3/4
Cycle de Stirling :
Représentation du cycle :
P
V
IsoT
IsoT
IsoV
IsoV
B D
A
C
Calculs :
Attention, le moteur de Stirling est un moteur à combustion
externe, ce qui fait une grosse différence avec les autres moteurs
(Diesel ou Essence).
La chaleur est donc fournie par la source chaude sur 2 évolutions :
[BC] et [CD]. Ainsi : C BC CD Q Q Q = +
On définit les taux de compression A D
B C
V V
V V α = =
Faisons une Comparaison des 2 méthodes :
1
ère
méthode : Avec le 1er Principe :
0C F
W Q Q ⇒ + + =
( )
( )
IsoV + IsoT
IsoV + IsoT
C F
C BC CD V C B CD
F DA AB V A D AB
W Q Q
Q Q Q C T T W
Q Q Q C T T W
⎧ =− −⎪
= + = − − →⎨⎪
= + = − − →⎩
Cette méthode ici ne sera pas plus rapide, car il
est aussi nécessaire de calculer les travaux…
Travaux :
( )
( )
ln
0
ln
AB A
BC DA
CD C
W nRT
W W
W nRT
α
α
⎧ =⎪
= =⎨⎪ = −⎩
(voir les détails colonne de droite)
Ainsi :
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
ln
ln
V C A CD V A C AB
Stirling
C V C A C
CD AB Stirling
V C A C
C T T W C T T W W
Q C T T nRT
W W
C T T nRT
η α
η α
− − + − − +−= =
− +
+=
− +
On retrouve exactement le même calcul
2
nde
méthode : Calculs directs
cycle AB BC CD DAW W W W W ⇒ = + + +
Travaux :
( )
( )
ln
0
ln
B B A
AB AA A
BC DA
D D C
CD C C C
nRT dV W PdV nRT
V
W W
nRT dV W PdV nRT
V
α
α
⎧= − = − =⎪
⎪= =⎨
⎪⎪ = − = − = −⎩
∫ ∫
∫ ∫
Chaleurs : ( )( )
Isochoreln Isotherme
BC V C B
CD CD C
Q C T T Q W nRT α
⎧ = − →⎪⎨= − = →⎪⎩
Et :( ) ( )
( ) ( )
ln
ln
C A
Stirling
C V C A C
nR T T W
Q C T T nRT
α η
α
−−= =
− +
( )
1
1
1 ln
Stirling C
T
T
η
γ α
=
+− Δ
2
nde
méthode plus efficace dans ce cas
Attention, à bien réfléchir à la meilleure méthode
Exemple de Moteur Stirling :
Taux réalistes :10
1, 4
1000
700
A
B
C
V
V
T K
T K
α
γ
⎧= =⎪
⎪⎪=⎨
⎪ =
⎪ Δ =⎪⎩
( )
140%
1
1 ln
Stirling C
T
T
η
γ α
⇒ = =
+− Δ
encore à améliorer…
Il est difficile d’obtenir des valeurs optimisées, puisqu ce moteur n’a pas fait l’objet d’applications
industrielles, mais il peut atteindre des rendements plus élevés que ses frères Diesel et Beau de Rochas (à
combustion interne), et surtout il est possible d’optimiser plus facilement la combustion qui est externe
8/17/2019 Rendement Des Moteurs
4/4
Cycle Beau de Rochas :
(Moteurs Essence – 2 temps et 4 temps)
Représentation du cycle :
Cycle de Brayton-Joule : (Moteurs à réaction)
Représentation du cycle :
P
V
B
IsoS
D
IsoSIsoV
IsoV
A
C
P
VA
IsoSIsoS
IsoP
IsoP D
B
C
Calculs :
La chaleur est fournie lors de la combustionC BC
Q Q = :
On définit le taux de compression A
B
V
V α =
1
ère
méthode : Avec le 1er Principe : 0C F
W Q Q ⇒ + + =
Va mieux fonctionner grâce aux transfos adiabatiques Q = 0…
Et ainsi : ( )
( )
transfo isochore
transfo isochore
C F
C BC V C B
F DA V A D
W Q Q
Q Q C T T
Q Q C T T
⎧ = − −⎪
= = − →⎨⎪
= = − →⎩
Donne :( )( )
( )( )1 1 1
V A D A D F BdeRochas
C C V C B C B
C T T T T Q W
Q Q C T T T T η − −−
= = + = + = +− −
Mais on a :1 1 1
1 1 1
A A B B B A
C C D D C D
A B T V T V T T
C D T V T V T T
γ γ γ
γ γ γ
α
α
− − −
− − −
⎧ → = ⇒ =⎡ ⎤⎪⎣ ⎦⎨
→ = ⇒ =⎡ ⎤⎪⎣ ⎦⎩
Donc :( )
( )( )
( )1 1
1 1 1
11 1 1A C A C
BdeRochas
C A C A
T T T T
T T T T γ γ
γ γ γ
γ α α α
η α α α
− −
− − −
−− −
= + = + = −− −
On obtient :11
BeaudeRochas
γ η α −= −
Exemple de Moteur Essence :
Taux réalistes :10
1,4
A
B
V
V α
γ
⎧= =⎪
⎨⎪ =⎩
11 60%BeaudeRochas γ η α −⇒ = − =
(Les rendements réels sont moins
importants dus aux rendements
mécaniques… plutôt 30 ou 40%…
2
ème
méthode : Calculs directs : cycle AB BC CD DAW W W W W ⇒ = + + +
Ne va rien apporter, avec des calcules plus complexes, similaire au cas du Diesel…
Calculs :
La chaleur est fournie lors de la combustion C BC Q Q = :
On définit le taux de compression B
A
P a
P
=
1
ère
méthode : Avec le 1er Principe : 0C F W Q Q ⇒ + + =
On a : ( )
( )
transfo isobare
transfo isobare
C F
C BC P C B
F DA P A D
W Q Q
Q Q C T T
Q Q C T T
⎧ = − −⎪
= = − →⎨⎪
= = − →⎩
Donne :( )( )
( )( )
1 1 1P A D A D F BJoule
C C P C B C B
C T T T T Q W
Q Q C T T T T η
− −−= = + = + = +
− −
Mais on a :
11 1
1
1 1
A A B B A B
C C D D D C
A B T P T P T T a
C D T P T P T T a
γ γ γ γ γ γ
γ
γ γ γ γ γ
−− −
−
− −
⎧→ = ⇒ = ⋅⎡ ⎤⎪⎣ ⎦
⎨
⎪ → = ⇒ = ⋅⎡ ⎤⎣ ⎦⎩
Donc :
1
1 1
11 1
A C
BraytonJoule BraytonJoule
C A
T T a
a a
T a T
γ γ
γ γ γ γ
γ γ
η η
−
− −
−
⎛ ⎞− ⋅⎜ ⎟
⎝ ⎠= + = = −⎛ ⎞
⋅ −⎜ ⎟⎝ ⎠
Exemple concret :
Taux réalistes :5
1,4
A
B
P a P
γ
⎧ = =⎪⎨⎪ =⎩
1
1 37%BraytonJoule
a γ
γ η −
⇒ = − =
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