Rendement Des Moteurs

8/17/2019 Rendement Des Moteurs

1/4

Calcul des Rendements des Moteurs Usuels

Moteur – Cas Général :

Rendement :

_

_ _C C

énergie utile W W e

énergie fournie machine Q Q η

−= = = =

MISSIONS : Calculercycle

W W = , (attention aux 2 méthodes).

Identifier correctement Q C, dépend du moteur étudié.

ATTENTION :

Il y a toujours 2 méthodes possibles pour le calcul du travail reçu sur le cyclecycle

W

Calcul direct : cycle AB BC CD DAW W W W W ⇒ = + + +

, souvent plus compliqué Calcul avec le 2er Principe : 0

C F W Q Q ⇒ + + = , en général plus simple

Cycle de Carnot :

Représentation du cycle :

Cycle Diesel : - 1ère

méthode


Le cycle de Carnot est par définition réversible:

0

0

C F

C F

C F

W Q Q

Q Q

T T

+ + =⎧

⎪⇒ ⎨ + =⎪⎩

1C F F

moteur

C C C

C F F F

C F C C

Q Q Q W e

Q Q Q Q Q Q T

T T Q T

+⎧ −= = = +⎪

⎪⇒ ⎨⎪ = − ⇔ = −⎪⎩

Et 1 1F F Carnot C C

Q T e

Q T = + = − V

IsoSIsoS

IsoT

B

D

A

C

IsoT

TC

TF

W0

Q F


2/4

Cycle Diesel :

- 2nde méthode

Remarque : Cycle Diesel mixte dit de Seiliger

Les moteurs Diesel sont plus efficaces que les moteurs à

essence classiques (cycle Beau de Rochas), mais ont nécessité des

améliorations pour augmenter leurs performances, notamment les

pompes à injection haute pression du carburant (HDi = High

Pressure Direct Injection), pression qui peut monter jusqu’à 100

bars pour une meilleure pulvérisation et plus grande vitesse

d’injection. Le cycle peut alors être un peu différent, avec une

combustion partielle à P = Cstte et à V = Cstte.

P

V

IsoS

IsoS IsoV

IsoV

IsoP

B D

A

C

Exemple de Moteur Diesel :

Taux réalistes :

20

1,4

10

A

B

A

C

V

V

V

V

α

γ

β

⎧= =⎪

⎪⎪=⎨

⎪⎪ = =

⎪⎩

( )( )1 1

1 65%Diesel

γ γ α β η

γ α β

− −

− −

−= − =

−

2

nde

méthode :

Calcul complet de toutes les étapes : Beaucoup plus complexe pour le moteur Diesel

Travaux :

( )

1 1

1 1

1 1

1

1 1

1

0

1

1

B B A A

AB A AA AB A

C

BC B C B B cycle AB BC CD DA

D D C C

CD C C C C D C

DA

A Acycle

B

P V dV W PdV P V

V V V

W PdV P V V W W W W W

P V dV W PdV P V

V V V

W

P V W

V

γ γ

γ γ γ

γ

γ

γ γ γ

γ

γ

γ

γ

− −

− −

⎧ ⎫⎡ ⎤= − = − ⋅ = ⋅ −⎪ ⎪⎢ ⎥

− ⎣ ⎦⎪ ⎪⎪ ⎪

= − = − −⎪ ⎪⇒ = + + +⎨ ⎬

⎪ ⎪⎡ ⎤= − = − ⋅ = ⋅ −⎪ ⎪⎢ ⎥

− ⎣ ⎦⎪ ⎪⎪ ⎪=⎩ ⎭

⇒ = ⋅−

∫ ∫

∫

∫ ∫

( )

( ) ( )

1 1 1 1

1 1

1 1

1 1 1

1

1 1 1

1 1

1 1 1

C C B C B

A D C

C C A Acycle B B

cycle V A B B V C

P V P V V

V V V

P V P V W P V

W C T P V C T

γ

γ γ γ γ

γ γ

γ γ

γ

α α β

γ β γ

α α β

β

− − − −

− −

− −

⎡ ⎤⎡ ⎤− − − + ⋅ −⎢ ⎥⎢ ⎥

−⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎡ ⎤⇒ = ⋅ − − − + ⋅ −⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎣ ⎦

− −⎝ ⎠⎛ ⎞

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⇒ = ⋅ − − − + ⋅ −⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠

Chaleurs : ( )

( )

0

0

AB

BC P C B

CD

DA V A D

Q

Q C T T

Q

Q C T T

=⎧⎪

= −⎪⎨

=⎪⎪ = −⎩

( )

1 11 1 1V A B B V C

Diesel

C P C B

C T P V C T W

Q C T T

γ γ α α β β

η

− −⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎡ ⎤− ⋅ − + − − ⋅ −⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎣ ⎦− ⎝ ⎠= =−

Après de nombreux calculs, on arrive enfin à :

( ) ( )( )

( )( )1 1 1 1

1 1

1

1

V B V B B B V

Diesel Diesel

P P B

C T C T P V C nR

C C T

γ γ γ γ γ γ

α α α β α

β α α β β β η η

α γ β α γ α β

β

− −− − − −

− − − −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − − − + −

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − −+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠= = − = = −⎛ ⎞ − −

−⎜ ⎟⎝ ⎠

Suite - 1

ère

méthode :

Mais on a :

1 1 1

A A B B B A

C C B C

B

A B T V T V T T

P T B C P P

T

γ γ γ

α − − −

→ = ⇒ =⎡ ⎤⎣ ⎦

→ = ⇒ =⎡ ⎤⎣ ⎦ C

B

V

P 1 1 1

C

B B

C C D D C D

A D

V

V V

C D T V T V T T

D A V V

γ γ γ

α

β

β − − −

⎧⎪⎪

= =⎪⎨⎪

→ = ⇒ =⎡ ⎤⎪⎣ ⎦

⎪ → =⎡ ⎤⎣ ⎦⎩

( )( )

( )( )

1 11 1

1 11 1 1

1

C

B C B

Diesel Diesel

C B C

T

T T T

T T T

γ γ γ γ γ γ α β α β α β

η η γ γ α β

γ

− −− − − −

− −

⎛ ⎞−⎜ ⎟− −⎝ ⎠= + = + = = −

− ⎛ ⎞ −−⎜ ⎟


3/4

Cycle de Stirling :


P

V

IsoT

IsoT

IsoV

IsoV

B D

A

C

Calculs :

Attention, le moteur de Stirling est un moteur à combustion

externe, ce qui fait une grosse différence avec les autres moteurs

(Diesel ou Essence).

La chaleur est donc fournie par la source chaude sur 2 évolutions :

[BC] et [CD]. Ainsi : C BC CD Q Q Q = +

On définit les taux de compression A D

B C

V V

V V α = =

Faisons une Comparaison des 2 méthodes :

1

ère

méthode : Avec le 1er Principe :

0C F

W Q Q ⇒ + + =

( )

( )

IsoV + IsoT

IsoV + IsoT

C F

C BC CD V C B CD

F DA AB V A D AB

W Q Q

Q Q Q C T T W

Q Q Q C T T W

⎧ =− −⎪

= + = − − →⎨⎪

= + = − − →⎩

Cette méthode ici ne sera pas plus rapide, car il

est aussi nécessaire de calculer les travaux…

Travaux :

( )

( )

ln

0

ln

AB A

BC DA

CD C

W nRT

W W

W nRT

α

α

⎧ =⎪

= =⎨⎪ = −⎩

(voir les détails colonne de droite)

Ainsi :

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

ln

ln

V C A CD V A C AB

Stirling

C V C A C

CD AB Stirling

V C A C

C T T W C T T W W

Q C T T nRT

W W

C T T nRT

η α

η α

− − + − − +−= =

− +

+=

− +

On retrouve exactement le même calcul

2

nde

méthode : Calculs directs

cycle AB BC CD DAW W W W W ⇒ = + + +

Travaux :

( )

( )

ln

0

ln

B B A

AB AA A

BC DA

D D C

CD C C C

nRT dV W PdV nRT

V

W W

nRT dV W PdV nRT

V

α

α

⎧= − = − =⎪

⎪= =⎨

⎪⎪ = − = − = −⎩

∫ ∫

∫ ∫

Chaleurs : ( )( )

Isochoreln Isotherme

BC V C B

CD CD C

Q C T T Q W nRT α

⎧ = − →⎪⎨= − = →⎪⎩

Et :( ) ( )

( ) ( )

ln

ln

C A

Stirling

C V C A C

nR T T W

Q C T T nRT

α η

α

−−= =

− +

( )

1

1

1 ln

Stirling C

T

T

η

γ α

=

+− Δ

2

nde

méthode plus efficace dans ce cas

Attention, à bien réfléchir à la meilleure méthode

Exemple de Moteur Stirling :

Taux réalistes :10

1, 4

1000

700

A

B

C

V

V

T K

T K

α

γ

⎧= =⎪

⎪⎪=⎨

⎪ =

⎪ Δ =⎪⎩

( )

140%

1

1 ln

Stirling C

T

T

η

γ α

⇒ = =

+− Δ

encore à améliorer…

Il est difficile d’obtenir des valeurs optimisées, puisqu ce moteur n’a pas fait l’objet d’applications

industrielles, mais il peut atteindre des rendements plus élevés que ses frères Diesel et Beau de Rochas (à

combustion interne), et surtout il est possible d’optimiser plus facilement la combustion qui est externe


4/4

Cycle Beau de Rochas :

(Moteurs Essence – 2 temps et 4 temps)


Cycle de Brayton-Joule : (Moteurs à réaction)


P

V

B

IsoS

D

IsoSIsoV

IsoV

A

C

P

VA

IsoSIsoS

IsoP

IsoP D

B

C

Calculs :

La chaleur est fournie lors de la combustionC BC

Q Q = :

On définit le taux de compression A

B

V

V α =

1

ère

méthode : Avec le 1er Principe : 0C F

W Q Q ⇒ + + =

Va mieux fonctionner grâce aux transfos adiabatiques Q = 0…

Et ainsi : ( )

( )

transfo isochore

transfo isochore

C F

C BC V C B

F DA V A D

W Q Q

Q Q C T T

Q Q C T T

⎧ = − −⎪

= = − →⎨⎪

= = − →⎩

Donne :( )( )

( )( )1 1 1

V A D A D F BdeRochas

C C V C B C B

C T T T T Q W

Q Q C T T T T η − −−

= = + = + = +− −

Mais on a :1 1 1

1 1 1

A A B B B A

C C D D C D

A B T V T V T T

C D T V T V T T

γ γ γ

γ γ γ

α

α

− − −

− − −

⎧ → = ⇒ =⎡ ⎤⎪⎣ ⎦⎨

→ = ⇒ =⎡ ⎤⎪⎣ ⎦⎩

Donc :( )

( )( )

( )1 1

1 1 1

11 1 1A C A C

BdeRochas

C A C A

T T T T

T T T T γ γ

γ γ γ

γ α α α

η α α α

− −

− − −

−− −

= + = + = −− −

On obtient :11

BeaudeRochas

γ η α −= −

Exemple de Moteur Essence :

Taux réalistes :10

1,4

A

B

V

V α

γ

⎧= =⎪

⎨⎪ =⎩

11 60%BeaudeRochas γ η α −⇒ = − =

(Les rendements réels sont moins

importants dus aux rendements

mécaniques… plutôt 30 ou 40%…

2

ème

méthode : Calculs directs : cycle AB BC CD DAW W W W W ⇒ = + + +

Ne va rien apporter, avec des calcules plus complexes, similaire au cas du Diesel…

Calculs :

La chaleur est fournie lors de la combustion C BC Q Q = :

On définit le taux de compression B

A

P a

P

=

1

ère

méthode : Avec le 1er Principe : 0C F W Q Q ⇒ + + =

On a : ( )

( )

transfo isobare

transfo isobare

C F

C BC P C B

F DA P A D

W Q Q

Q Q C T T

Q Q C T T

⎧ = − −⎪

= = − →⎨⎪

= = − →⎩

Donne :( )( )

( )( )

1 1 1P A D A D F BJoule

C C P C B C B

C T T T T Q W

Q Q C T T T T η

− −−= = + = + = +

− −

Mais on a :

11 1

1

1 1

A A B B A B

C C D D D C

A B T P T P T T a

C D T P T P T T a

γ γ γ γ γ γ

γ

γ γ γ γ γ

−− −

−

− −

⎧→ = ⇒ = ⋅⎡ ⎤⎪⎣ ⎦

⎨

⎪ → = ⇒ = ⋅⎡ ⎤⎣ ⎦⎩

Donc :

1

1 1

11 1

A C

BraytonJoule BraytonJoule

C A

T T a

a a

T a T

γ γ

γ γ γ γ

γ γ

η η

−

− −

−

⎛ ⎞− ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠= + = = −⎛ ⎞

⋅ −⎜ ⎟⎝ ⎠

Exemple concret :

Taux réalistes :5

1,4

A

B

P a P

γ

⎧ = =⎪⎨⎪ =⎩

1

1 37%BraytonJoule

a γ

γ η −

⇒ = − =

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