Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2011 © Guy Gauthier ing....

Représentation des systèmes dynamiques dans l’espace d’état

SYS-823Été 2011

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 2

Équations différentielles

• Les systèmes industriels peuvent être représentés par une série d’équations différentielles ordinaires.

• Cette série d’équation peut être mise sous une forme matricielle.

• Cette représentation matricielle est appelée représentation dans l’espace d’état.

Forme générale des modèles dymanique

• Ensemble d’équations différentielles du 1er ordre :

, , , , , , , , , , ,

x f x x x u u u p p p

n n n m r

1 1 1 2 1 2 1 2

2 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

Variables d’état Variables d’entrées Paramètres

Représentation vectorielle

• Équation :

• Si les paramètres sont constants, on peut écrire :

, ,x f x u p

,x f x u

S’il n’y a pas d’entrées (u=0), le système est dit « autonome ».

Solutions en régime permanent

• Les solutions sont très simples, puisqu’en régime permanent le système n’évolue plus (ce qui implique que les dérivées sont nulles):

0 f x u p, ,

Donne les valeurs des états xs, des entrées us et des paramètres ps.

Représentation matricielle

• Équations :

• La matrice A est nommée la matrice Jacobienne :

• Détermine la stabilité du système;• Détermine la vitesse de la réponse.

– Valeurs propres (eigenvalues).

x A x B u

y C x D u

LINÉARISATION

Il peut arriver que f(x,u,p) et/ou g(x,u,p) ne soient pas linéaires. Comment analyser un tel système ?

Linéarisation

• Permet de transformer une équation non-linéaire en une équation linéaire applicable autour d’un point d’opération donné :

x A x B u

y C x D u

x f x u

y g x u

En xs, us

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Cas avec une seule variable

• Équation non-linéaire :

• La série de Taylor permet de linéariser :

( )x f x

x f x f xf

On néglige les termesd’ordre plus élevés !

Cas avec une seule variable(suite)

• Le point d’opération autour duquel on linéarise le système est le point atteint en régime permanent, donc :

• En conséquence :

( )x f xs s 0

x f xf

Cas avec une seule variable(suite)

• Comme :

• On peut poser :

• Et écrire : xf

x x x s

Puisque xs constant

Cas une entrée/une variable d’état

( , )x f x u

f x u f x uf

uu us s

s s s s

, ,, ,

0 Les termes d’ordre supérieur seront négligés

Cas 1 entrée/1 variable d’état (suite)

• On pose :

• Donc :

u u us

uu ax bu

x u x us s s s

Cas 1 entrée/1 variable d’état (Ajout d’une sortie)

y g x u ( , )

g x u g x ug

uu us s

s s s s

, ,, ,

y s Les termes d’ordre supérieur seront négligésLa sortie en régime

permanent

Cas 1 entrée/1 variable d’état (Ajout d’une sortie - suite)

• En posant :

• On obtient pour la sortie linéarisée :

uu cx du

x u x us s s s

Exemple #1

• Hauteur d’un réservoir avec écoulement de sortie non-linéaire :

• Série de Taylor :

A Ah f h F

f h F f h Ff

FF Fs s

s s s s

, ,, ,

Négligeant les termes d’ordre supérieur

Exemple #1(suite)

• En dérivant :

• En régime permanent :

F Ah F s h Fs s s s, ,

f h FF

A Ahs s

Permet d’obtenir hs à partir de Fs et des paramètres…

Exemple #1(suite)

• Donc :

• Ou encore :

d t A hh h

d t A hx

Écart Écart

Cas une entrée/deux variables d’état/une sortie

• Équations non-linéaires :

( , , )

x f x x u

y g x x u

1 1 1 2

2 2 1 2

Cas 1 E/2 V.E./1 S(suite)

• Pour linéariser l’ensemble :

f x x u f x x uf

sx x u

s s s s s s

1 1 2 1 1 21

2 1 2 2 1 22

1 2 1 2

, , , ,

x x us

Les termes d’ordre supérieur

seront négligés

• Pour linéariser l’ensemble :

• Avec :

g x x u g x x ug

sx x u

s s s s s s

1 2 1 21

1 2 1 2

, , , ,, ,

, , , ,

g x x u ys s s s1 2, ,

Les termes d’ordre supérieur

seront négligés

• Comme :

• On écrit :

d ts s1 1 1 2 2 2

1 2 1 2 1 2

1 21 2 1 2

1 1 11 1

1 2, , , , , ,1 1

2 22 2 22 2

, ,1 2, , , ,

s s s s s s s s s

s s ss s s s s s

x x u x x u x x uss

x x ux x u x x u

f f fd x xx x ux xdt u u

x xd x x ff fudt x x

x A x B u

• Et :

1 2 1 2

, ,1 1

2 21 2, , , ,

s s s s s s

x x uss s

sx x u x x u

ux xg gy y u u

x xx x g

y C x D u

Généralisant

• Système ayant n états, m entrées et p sorties:

1 1 1 2 1 2

1 2 1 2

1 1 1 2 1 2

1 2 1 2

, , , , , , ,

n n n m

p p n m

x f x x x u u u

y g x x x u u u

x f x u

y g x u

Définitions des éléments des matrices de linéarisation

• Élément de la matrice Jacobienne (A) :

• Élément de la matrice B :

j x us s

Définitions des éléments des matrices de linéarisation

• Élément de la matrice C :

• Élément de la matrice D :

j x us s

Forme après la linéarisation

• Équation d’état :

• Forme habituelle:

x A x B u

y C x D u

x A x B u

Exemple #2

• Deux réservoirs en interaction :

F h h1 1 1 2 F h2 2 2

2 1h h

Exemple #2(suite)

• Équations du système :

• Si la sortie h2 nous intéresse :

A Ah h f h h F

d t Ah h

Ah f h h F

11 2 1 1 2 0

22 2 1 2 0

( , , )

y h h s 2 2

Exemple #2(suite)

• Posons :

• Calcul de la Jacobienne :

h A h hh u s s

1 1 22

Exemple #2(suite)

• Calcul de la Jacobienne :

h A h hh u s s

1 1 22

h A h hh u s s

2 1 22

h A h h A hh u s s s

2 22 2

Exemple #2(suite)

• Calcul de la matrice B :

F Ah us s

F h us s

2 12 0

Exemple #2(suite)

• Calcul de la matrice C :

hh us s

Exemple #2(suite)

• Bilan :

1 1 2 1 1 21 11

2 21 1 2

2 1 2 2 1 2 2 2

s s s s

s s s s s

A h h A h hx x A ux x

A h h A h h A h

Système du deuxième ordre

• Soit un système du deuxième ordre qui est représenté par :

• Posant :

y a y a y bu 1 0

• Alors on peut réécrire sous cette forme :

• Ou encore :

x a x a x bu1 2

2 1 2 0 1

• Pour la sortie :

• Ou encore :

Système à 2 entrées et 2 sorties

• Soit un système représenté par :

• Posant :

y a y a y a y a y b u b u

y a y a y a y a y b u b u1 11 1 1 0 1 2 1 2 2 0 2 11 1 1 2 2

2 1 3 1 1 2 1 2 3 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2

• Donc :

x a x a x a x a x b u b u

2 11 2 1 0 1 2 1 4 2 0 3 11 1 1 2 2

4 1 3 2 1 2 1 2 3 4 2 2 3 2 1 1 2 2 2

y x1 1

• Alors on peut réécrire sous cette forme :

a a a a

1 0 11 2 0 2 1

1 2 1 3 2 2 2 3

0 1 0 0

0 0 0 1

• Et :

1 0 0 0

0 0 1 0

Pendule inversé

• Soit un pendule inversé monté sur un chariot motorisé.

• Les déplacements du chariot doivent permettre de conserver la tige du pendule dans sa position verticale.

Position du centre de gravité

• La position du centre de gravité de la tige :

• x : position du chariot;• l : demi-longueur de la tige du pendule;• θ : Angle de la tige avec la verticale.

y lC G

Dynamique angulaire du pendule

• Le moment angulaire autour du centre de gravité est :

– I : moment d’inertie de la tige par rapport à son centre de gravité.

I V l H l sin co sq q q CG

Dynamique horizontale du pendule

• Le mouvement horizontal du centre de gravité de la tige est représenté par :

2 2sinCGd x d

m m x l Hdt dt

Non-linéaire

Dynamique verticale du pendule

• Le mouvement vertical du centre de gravité de la tige est représenté par :

2 2cosCGd y d

m m l V mgdt dt

Non-linéaire

Dynamique du chariot

• Le mouvement horizontal du chariot est représenté par :

Simplification

• Si l’angle θ est très petit, alors :

M x u H

m x l H q

I V l H lq q

0 V m g M m x m l u q

I m l m lx m gl 2 q q

Linéaire

Simplification [2]

• Réécrivons les équations (I=0) :

• Posant :

M l M m g uq q

M x u m g q

x x x x1 2

Passage aux équations d’état

• Les sorties qui nous intéressent sont :– position du chariot– angle de la tige du pendule

Passage aux équations d’état

• Les équations sont :

Équations d’état

0 1 0 0

0 0 0 1

1 0 0 0

0 0 1 0

Exemple numérique

• M = 2 kg, m = 0.1 kg, l = 0.5 m :

0 1 0 0

2 0 6 0 1 0 0 0

0 0 0 1

0 4 9 0 5 0 0 0

1 0 0 0

0 0 1 0

Solution pour des entrées nulles

• L’équation générale d’un modèle dans l’espace d’état est :

• Si l’entrée est nulle (u = 0), alors on peut écrire :

x A x B u

Cas à une variable

• Pour un système représenté par :

• La solution est :

• Elle converge si a<0.– Alors, le système est dit stable.

x t e xa t( ) ( ) 0

Cas multivariable

• Par extension, la solution d’un système ayant plusieurs variables d’état sera :

• Problème :– Comment calculer l’exponentielle d’une matrice ?

x t e xA t( ) ( ) 0

Méthode de la transformation de similarité

• Prenons en exemple une matrice A de taille 2x2.

• Les valeurs propres de cette matrice (eigenvalue) sont les racines de l’équation caractéristique de la matrice A.

• Cette équation caractéristique est obtenue comme suit:

d e t( )I A

Valeurs propres(Exemple)

• Soit la matrice A suivante :

• L’équation caractéristique est :

d e t d e t

Valeurs propres(Exemple - suite)

• Les valeurs propres de A sont –1 et –5.

– Fonction sur MATLAB : eig(A)

Méthode de la transformation de similarité (suite)

• Associé à la valeur propre li, il y a le vecteur propre xi.

• Un vecteur propre est un vecteur xi qui est solution de :

pour la valeur propre correspondante li.

A i i i

Vecteurs propres(Exemple - suite)

• Pour λ1 = -1, le vecteur propre sera la solution de :

• Une solution possible est :

Vecteurs propres(Exemple)

• Pour λ2 = -5, le vecteur propre sera la solution de :

• Une solution possible est :

0 2 4 2 5

0 9 7 0 1

• On peut généraliser en écrivant :

• Avec :

11 1 2

2 1 2 2

• On peut écrire :

• En multipliant par t et en faisant l’exponentielle, on trouve :

• Avec :

A V V 1

e V e VA t t 1

Solution du système

• Ainsi :

• Toutes les valeurs propres de A doivent être inférieures à 0 pour que la réponse soit stable.

x t V e V xt( ) ( ) 1 0

Fin de l’exemple

• Solution :

• Ou encore

x t Ve

t( ) ( )

511 1 24

( ) (0) (0)

( ) (0)

x t x e x e e

x t x e

Effet de la direction de la condition initiale

• Pour faciliter l’analyse, on peut s’assurer que les variables d’état soient indépendantes les unes des autres.

• Ainsi, définissons une nouvelle variable d’état z, en posant :

x V z z V x 1

Solution de ce système

• La solution est (si 2x2) :

Condition initiale #1

• Si la condition initiale est de la forme :

• Alors la réponse est :

( )( )

z tz e t

( )( )

• La condition initiale :

– Donne une réponse dont la vitesse est associée à λ1. La réponse est dite « dans la direction de λ1 ».

( )( )

• Si on revient dans la variable originale :

x tx t

z e v z e

( )( )

( ) ( )

11 1 2

2 1 2 2

11 1 2

2 1 2 2

1 11 1

De même pour

Exemple

• Solution :

• Si z(0) = [1 0]T :

t( ) ( )

x tet t

( ) ( )

Exemple

• Si z(0) = [0 1]T :

t( ) ( ).

0 0 2 4 2 5

0 9 7 0 15

Exemple

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.1

Réponse transitoire pour la condition initiale [1;0]

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.4

Réponse transitoire pour la condition initiale [-0.2425;0.9701]

Sous espace lent Sous espace rapide

Solutions de la forme générale

• L’équation générale d’un modèle dans l’espace d’état est :

• Cette fois-ci, considérons que l’entrée u(t) n’égale pas 0.

x A x B u

Cas à une variable

• Pour un système représenté par :

• La solution est :

– Pour u(t) = constante = u(0).

x t e x eb

aua t a t( ) ( ) ( ) 0 1 0

x ax bu

Cas multivariable

• Toujours par extension, la solution d’un système ayant plusieurs variables d’état sera :

• Avec :

x t P x Q u( ) ( ) ( ) 0 0

Q P I A B

u(t) pas constant

• Si u(t) n’est pas constant, on peut faire un calcul numérique à chaque tranche de temps:

x t t P x t Q u t( ) ( ) ( )

Méthode plus précise

• Calcul de l’état:( )

( ) (0) ( )t

At A tx t e x e Bu d Réponse à entrée nulle Réponse à condition initiale nulle

Méthode plus précise

• Calcul de l’état:

• Calcul de la sortie:

( ) (0) ( )t

At A tx t e x e Bu d

( ) (0) ( )t

At A ty t Ce x C e Bu d

Observabilité(Définition)

• Un système est dit observable à l’instant t0, si connaissant l’état du système x(t), il est possible, à partir de l’observation de la sortie y(t) sur un intervalle de temps fini (de t0 à t), de déterminer l’état x(t0).

Observabilité

• Il est possible de vérifier à partir des équations d’état si l’ensemble des états sont observables ou non.

Observabilité

• Exemple:

• Le système est observable.

1 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 0

0 0 0 1

Contrôlabilité(Définition)

• Un système est dit contrôlable à l’instant t0, si connaissant l’état initial du système x(t0), il est possible d’appliquer une commande u(t) amenant ce système vers tout autre état sur un intervalle de temps fini.

Contrôlabilité

• Il est possible de vérifier à partir des équations d’état si l’ensemble des états sont contrôlables ou non.

ran g B A B A B A B nn2 1

Contrôlabilité

• Exemple:

• Le système est contrôlable.

11 1 2

11 1 2 11 11 2 1 2 1 11 1 2 2 1 2 2

2 1 2 2

2 1 2 2 1 3 11 2 3 2 1 1 3 1 2 2 3 2 2

b b a b a b a b a b

Exemple #1 (Observabilité/Contrôlabilité)

• Système :1 1

2 1 0 0

0 2 1 1

0 0 2 2

Exemple #1 (Observabilité/Contrôlabilité - suite)

• Observabilité :

1 2 1 2 3

0 0 1 62

B A B A B

ran g B A B A B n2 3

Contrô

Exemple #2 (Observabilité/Contrôlabilité)

• Système :

0 8 02

B A B A B

ran g B A B A B n2 2

Contrô

Stabilité d’un système représenté par des équations d’état

• Le système est stable si :

possède des valeur propres à partie réelle négative.

d et sI A 0

Stabilité

• Ainsi :

d et d etsI A

a s a a a

a a a s a

s a a s a a a a a a s

a a a a a a a a s a a a a

0 0 11 0 11 2 0 2 1

1 2 1 3 2 2 2 3

42 3 11

311 2 3 2 1 1 3 1 0 2 2

2 1 1 2 11 2 2 1 0 2 3 1 3 2 0 1 0 2 2 1 2 2 0

Analyse de la stabilité

• Se fait en calculant les racines de l’équation caractéristique de la matrice A :

• Valeurs propres (eigenvalues).

d e t . . .sI A s s s n 1 2 0

Exemple(réservoirs indépendants)

• Équation d’état :

d e t d e ts

A h A h

A h A hs s

• Ce système est stable car les valeurs propres sont toutes négatives.

A h A hs s

Vecteurs propres

• Les vecteurs propres peuvent servir à définir le comportement d’un système représenté dans l’espace d’état.

• Les vecteurs propres sont associées aux valeurs propres.

A i i i

• Vecteur propre #1 :

A h A h

• Vecteur propre #2 :

A h A h

VALEURS PROPRES, VECTEURS PROPRES ET PLAN DES PHASES

Exemple #1

• Équations d’état: x x

x x1 1

x Ax x

Exemple #1

• Valeurs propres et vecteurs propres :

Trajectoires

• Les vecteurs propres définissent des bissectrices:

x t e x

( ) ( )

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-2

Exemple #2

• Équations d’état: x x

x x1 1

x Ax x

Exemple #2

Trajectoires

• Effet de la valeur propre positive :x t e x

x t e x

( ) ( )

selle-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

Exemple #3

• Équations d’état: x x x

x x x1 1 2

x Ax x

Exemple #3

0.95711.6972

0.2898

0.28985.3028

0.9571

Trajectoires

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-2

Exemple #4

x x x1 1 2

x Ax x

Exemple #4

0.99032.1401

0.1387

0.13875.1401

0.9903

Trajectoires

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-2

Exemple #5

x x x1 1 2

x Ax x

Exemple #5

2 30 7 0 7 1

0 0 7 0 7 1

2 30 7 0 7 1

0 0 7 0 7 1

Trajectoires

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-2

Exemple #6

x x x1 1 2

2 1 24

x Ax x

Exemple #6

0.2236 0.38731.7321

0.8944

0.2236 0.38731.7321

0.8944

Trajectoires

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-2

Cas non-linéaires

• Voici quelques exemples de trajectoires non-linéaires.

• Un système non-linéaire peut avoir plusieurs points d’équilibre.

Exemple #1

• Système bi-linéaire :

• Points d’équilibre :– Cas trivial :

– Cas non-trivial :

x xs s1 2 0

x xs s1 21 3

Exemple #1

• Linéarisant :

• Cas trivial :

3 03 31 2

Instable

Exemple #1

• Cas non-trivial :

0 13 11 2

Stable

Exemple #1

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3-5

Exemple #2

• Réacteur biologique avec cinématique de type Monod :

x x x Dx

2 2 21

Exemple #2

• Variables :– X1 = biomasse (cellules) [gr/l]– X2 = substrat (nourriture des cellules) [gr/l]– X2f = substrat entrant [gr/l]– Y = rendement (cellules produites vs substrat

consommé)– D = taux de dilution (temps pour renouveler le

contenu du réservoir) [hr-1]– μ = taux de croissance [hr-1]

Exemple #2

• Taux de croissance :

• Si μmax = 0.53, km = 0.12, Y = 0.4 et x2fs = 4.0

Exemple #2

• Linéarisant :

• Points d’équilibre :– Cas trivial :

– Cas non-trivial :

Y x k x

s ss s

x xs s1 20 4 0 .

x xs s1 21 4 5 2 3 0 3 6 9 2 . .

Exemple #2

• Cas trivial :

0 11 4 5 6 3 0

1 2 8 6 4 0 8 0 4

0 11 4 5 6 3 0 41 2

Instable

Exemple #2

• Cas non-trivial :

Stable

0 3 2 1 5 9 2 9

1 8 4 3 9 8 3 2

0 4 8 0 3 9 81 2

Fin de la présentation

EXPONENTIELLE D’UNE MATRICED’où vient cette équation ?

Exponentielle d’une valeur scalaire

• Soit une valeur scalaire .

• Alors on peut écrire la série de l’exponentielle comme suit:

2 !x ke x x x

Exponentielle d’une matrice

• Par extension, soit .

• Alors, on peut écrire la série suivante:

– Ce qui peut être long à calculer…

2 !A ke I A A A

Transformation de similarité(exemple)

• Soit .

• On peut obtenir les deux valeurs propres de cette matrice: .

• Et leur vecteur propre correspondant: .

• Ainsi:

• Que l’on peut réécrire: .– V est la matrice des vecteurs propres:

11 121 2

• Et...– Λ est la matrice des valeurs propres:

Transformation de similarité

• Ainsi on peut écrire cette transformation comme étant:

1A V V

Retour sur l’exponentielle

• Utilisant la transformation de similarité, on peut écrire la série exponentielle comme suit:

e I V V V V

Il semble que l’on ne gagne rien, mais…

• Voyons le terme:

• On peut l’écrire:

– Puisque . – On peut répéter ce manège pour les puissances

supérieures…

21 1 1 2 1V V V V V V V V

Et en plus…

• Λk est une matrice diagonale.

Effet sur la série

• Et puisque :

1 1 2 1

e VV V V V V

Effet sur la série

• Ou encore:

• Reconnaissez vous le terme entre parenthèses:

2 11 1

2 !A ke V I V

1Ae Ve V

Exponentielle d’une matrice diagonale

• L’exponentielle d’une matrice diagonale peut s’écrire:

Chaque élément de la diagonale peut être vu comme un scalaire.

Exemple numérique

• Soit:

• Les valeurs propres sont: -3, -4 et -5.

60 47 12

Exemple numérique(suite)

• Les vecteurs propres correspondants sont:

– Sur MATLAB®: • A = [0 1 0;0 0 1;-60 -47 -12]• [S,V]=eig(A)

0.1048 0.0605 0.0392

0.3145 , 0.2421 , 0.1960

0.9435 0.9684 0.9798

Exemple numérique(suite)

• L’exponentielle de Λt sera:

• Et: .

1At te Ve V

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