Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2011 © Guy Gauthier ing. Ph.D

Représentation des systèmes dynamiques dans l’espace d’état

SYS-823Été 2011

© Guy Gauthier ing. Ph.D

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. 2

Équations différentielles

• Les systèmes industriels peuvent être représentés par une série d’équations différentielles ordinaires.

• Cette série d’équation peut être mise sous une forme matricielle.

• Cette représentation matricielle est appelée représentation dans l’espace d’état.


Forme générale des modèles dymanique

• Ensemble d’équations différentielles du 1er ordre :

, , , , , , , , , , ,

, , , , , , , , , , ,

, , , , , , , , , , ,

x f x x x u u u p p p



n m r

n m r

n n n m r

1 1 1 2 1 2 1 2

2 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

Variables d’état Variables d’entrées Paramètres


Représentation vectorielle

• Équation :

• Si les paramètres sont constants, on peut écrire :

, ,x f x u p

,x f x u

S’il n’y a pas d’entrées (u=0), le système est dit « autonome ».


Solutions en régime permanent

• Les solutions sont très simples, puisqu’en régime permanent le système n’évolue plus (ce qui implique que les dérivées sont nulles):

0 f x u p, ,

Donne les valeurs des états xs, des entrées us et des paramètres ps.


Représentation matricielle

• Équations :

• La matrice A est nommée la matrice Jacobienne :

• Détermine la stabilité du système;• Détermine la vitesse de la réponse.

– Valeurs propres (eigenvalues).

x A x B u

y C x D u


LINÉARISATION

Il peut arriver que f(x,u,p) et/ou g(x,u,p) ne soient pas linéaires. Comment analyser un tel système ?

8

Linéarisation

• Permet de transformer une équation non-linéaire en une équation linéaire applicable autour d’un point d’opération donné :

x A x B u

y C x D u

,

,

x f x u

y g x u

En xs, us

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D.


Cas avec une seule variable

• Équation non-linéaire :

• La série de Taylor permet de linéariser :

( )x f x

x f x f xf

xx x

f

xx xs

xs

x

s

s s

1

2

2

2

2

On néglige les termesd’ordre plus élevés !


Cas avec une seule variable(suite)

• Le point d’opération autour duquel on linéarise le système est le point atteint en régime permanent, donc :

• En conséquence :

( )x f xs s 0

x f xf

xx x

xs

s


Cas avec une seule variable(suite)

• Comme :

• On peut poser :

• Et écrire : xf

xx ax

x s

d x x

d txs

x x x s

Puisque xs constant


Cas une entrée/une variable d’état



( , )x f x u

f x u f x uf

xx x

f

uu us s

x us

x us

s s s s

, ,, ,

0 Les termes d’ordre supérieur seront négligés


Cas 1 entrée/1 variable d’état (suite)

• On pose :

• Donc :

x x x

u u us

s

, ,

xf

xx

f

uu ax bu

x u x us s s s


Cas 1 entrée/1 variable d’état (Ajout d’une sortie)



y g x u ( , )

g x u g x ug

xx x

g

uu us s

x us

x us

s s s s

, ,, ,

y s Les termes d’ordre supérieur seront négligésLa sortie en régime

permanent


Cas 1 entrée/1 variable d’état (Ajout d’une sortie - suite)

• En posant :

• On obtient pour la sortie linéarisée :

yg

xx

g

uu cx du

x u x us s s s

, ,

x x x

u u u

y y y

s

s

s


Exemple #1

• Hauteur d’un réservoir avec écoulement de sortie non-linéaire :

• Série de Taylor :

dh

d t

F

A Ah f h F

( , )

f h F f h Ff

hh h

f

FF Fs s

h Fs

h Fs

s s s s

, ,, ,

Négligeant les termes d’ordre supérieur


Exemple #1(suite)

• En dérivant :

• En régime permanent :

f

h A h

f

F Ah F s h Fs s s s, ,

2

1

f h FF

A Ahs s

ss,

0

Permet d’obtenir hs à partir de Fs et des paramètres…


Exemple #1(suite)

• Donc :

• Ou encore :

d h h

d t A hh h

AF Fs

ss s

2

1

dx

d t A hx

Au

s

2

1

a b

Écart Écart


Cas une entrée/deux variables d’état/une sortie

• Équations non-linéaires :

( , , )

( , , )

( , , )

x f x x u

x f x x u

y g x x u

1 1 1 2

2 2 1 2

1 2


Cas 1 E/2 V.E./1 S(suite)

• Pour linéariser l’ensemble :

f x x u f x x uf

xx x

f

xx x

f

uu u

f x x u f x x uf

xx x

f

xx

s s s

x x u

s

x x u

sx x u

s

s s s

x x u

s

x x u

s s s

s s s s s s

s s s

s s s

1 1 2 1 1 21

11 1

1

22 2

1

2 1 2 2 1 22

11 1

2

2

1 2

1 2 1 2

1 2

1 2

, , , ,

, , , ,

, ,

, , , ,

, ,

, ,

2 22

1 2

xf

uu us

x x us

s s s

, ,

Les termes d’ordre supérieur

seront négligés



• Pour linéariser l’ensemble :

• Avec :

g x x u g x x ug

xx x

g

xx x

g

uu u

s s s

x x u

s

x x u

sx x u

s

s s s

s s s s s s

1 2 1 21

1 1

22 2

1 2

1 2 1 2

, , , ,, ,

, , , ,

g x x u ys s s s1 2, ,

Les termes d’ordre supérieur

seront négligés



• Comme :

• On écrit :

dx

d t

d x x

d t

dx

d t

d x x

d ts s1 1 1 2 2 2

e t

1 2 1 2 1 2

1 21 2 1 2

1 1 11 1

1 2, , , , , ,1 1

2 22 2 22 2

, ,1 2, , , ,

s s s s s s s s s

s s ss s s s s s

s

x x u x x u x x uss

ss

x x ux x u x x u

f f fd x xx x ux xdt u u

x xd x x ff fudt x x

x A x B u



• Et :

1 2

1 2 1 2

1 2

, ,1 1

2 21 2, , , ,

, ,

s s s

s s s s s s

s s s

x x uss s

sx x u x x u

x x u

g

ux xg gy y u u

x xx x g

u

y C x D u


Généralisant

• Système ayant n états, m entrées et p sorties:

1 1 1 2 1 2

1 2 1 2

1 1 1 2 1 2

1 2 1 2

, , , , , , ,

, , , , , , ,

, , , , , , ,

, , , , , , ,

n m

n n n m

n m

p p n m

x f x x x u u u

x f x x x u u u

y g x x x u u u

y g x x x u u u

,

,

x f x u

y g x u


Définitions des éléments des matrices de linéarisation

• Élément de la matrice Jacobienne (A) :

• Élément de la matrice B :

Af

xiji

j x us s

,

Bf

uiji

j x us s

,


Définitions des éléments des matrices de linéarisation

• Élément de la matrice C :

• Élément de la matrice D :

Cg

xiji

j x us s

,

Dg

uiji

j x us s

,


Forme après la linéarisation

• Équation d’état :

• Forme habituelle:

x A x B u

y C x D u

x A x B u

y C x


Exemple #2

• Deux réservoirs en interaction :

F h h1 1 1 2 F h2 2 2

2 1h h


Exemple #2(suite)

• Équations du système :

• Si la sortie h2 nous intéresse :

dh

d t

F

A Ah h f h h F

dh

d t Ah h

Ah f h h F

1 0

1

1

11 2 1 1 2 0

2 1

21 2

2

22 2 1 2 0

( , , )

( , , )

y h h s 2 2


Exemple #2(suite)

• Posons :

• Calcul de la Jacobienne :

x h h

x h h

u F F

s

s

s

1 1 1

2 2 2

0 0

Af

h A h hh u s s

s s

111

1

1

1 1 22

,


Exemple #2(suite)

• Calcul de la Jacobienne :

Af

h A h hh u s s

s s

1 21

2

1

1 1 22

,

Af

h A h hh u s s

s s

2 12

1

1

2 1 22

,

Af

h A h h A hh u s s s

s s

2 22

2

1

2 1 2

2

2 22 2

,


Exemple #2(suite)

• Calcul de la matrice B :

Bf

F Ah us s

111

0 1

1

,

Bf

F h us s

2 12 0

,


Exemple #2(suite)

• Calcul de la matrice C :

Cg

hh us s

111

0

,

Cg

hh us s

1 22

1

,


Exemple #2(suite)

• Bilan :

1 1

1 1 2 1 1 21 11

2 21 1 2

2 1 2 2 1 2 2 2

1

2

12 2

02

0 1

s s s s

s s s s s

A h h A h hx x A ux x

A h h A h h A h

xy

x


Système du deuxième ordre

• Soit un système du deuxième ordre qui est représenté par :

• Posant :

y a y a y bu 1 0

x y

x x y

x y

1

1 2

2

Exem

ple



• Alors on peut réécrire sous cette forme :

• Ou encore :

x x

x a x a x bu1 2

2 1 2 0 1

x

x a a

x

x bu

1

2 0 1

1

2

0 1 0



• Pour la sortie :

• Ou encore :

y x 1

yx

x

1 0

1

2

Fin


Système à 2 entrées et 2 sorties

• Soit un système représenté par :

• Posant :

y a y a y a y a y b u b u

y a y a y a y a y b u b u1 11 1 1 0 1 2 1 2 2 0 2 11 1 1 2 2

2 1 3 1 1 2 1 2 3 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2

x y

x x y

x y

x y

x x y

x y

1 1

1 2 1

2 1

3 2

3 4 2

4 2

Exem

ple



• Donc :

x x

x a x a x a x a x b u b u

x x

x a x a x a x a x b u b u

1 2

2 11 2 1 0 1 2 1 4 2 0 3 11 1 1 2 2

3 4

4 1 3 2 1 2 1 2 3 4 2 2 3 2 1 1 2 2 2

y x

y x1 1

2 2



• Alors on peut réécrire sous cette forme :

x

x

x

x

a a a a

a a a a

x

x

x

x

b

b

b

b

u

u

1

2

3

4

1 0 11 2 0 2 1

1 2 1 3 2 2 2 3

1

2

3

4

11

2 1

1 2

2 2

1

2

0 1 0 0

0 0 0 1

0

0

0

0



• Et :

y

y

x

x

x

x

1

2

1

2

3

4

1 0 0 0

0 0 1 0

Fin


Pendule inversé

• Soit un pendule inversé monté sur un chariot motorisé.

• Les déplacements du chariot doivent permettre de conserver la tige du pendule dans sa position verticale.

y

x

2l

q

Exem

ple


Position du centre de gravité

• La position du centre de gravité de la tige :

• x : position du chariot;• l : demi-longueur de la tige du pendule;• θ : Angle de la tige avec la verticale.

x x l

y lC G

C G

sin

co s

qq


Dynamique angulaire du pendule

• Le moment angulaire autour du centre de gravité est :

– I : moment d’inertie de la tige par rapport à son centre de gravité.

I V l H l sin co sq q q CG

HV


Dynamique horizontale du pendule

• Le mouvement horizontal du centre de gravité de la tige est représenté par :

2 2

2 2sinCGd x d

m m x l Hdt dt

q

Non-linéaire


Dynamique verticale du pendule

• Le mouvement vertical du centre de gravité de la tige est représenté par :

2 2

2 2cosCGd y d

m m l V mgdt dt

q

Non-linéaire


Dynamique du chariot

• Le mouvement horizontal du chariot est représenté par :

Md x

dtu H

2

2


Simplification

• Si l’angle θ est très petit, alors :

M x u H

m x l H q

I V l H lq q

0 V m g M m x m l u q

I m l m lx m gl 2 q q

Linéaire


Simplification [2]

• Réécrivons les équations (I=0) :

• Posant :

M l M m g uq q

M x u m g q

x x

x x x x1 2

3 4

q q


Passage aux équations d’état

• Les sorties qui nous intéressent sont :– position du chariot– angle de la tige du pendule

yy

y x

1

2

q


Passage aux équations d’état

• Les équations sont :

x x

xM m

M lgx

M lu

x x

xm g

Mx

Mu

1 2

2 1

3 4

4 1

1

1


Équations d’état

x

x

x

x

M m

M lg

m

Mg

x

x

x

x

M l

M

u

y

y

x

x

x

x

1

2

3

4

1

2

3

4

1

2

1

2

3

4

0 1 0 0

0 0 0

0 0 0 1

0 0 0

01

01

1 0 0 0

0 0 1 0


Exemple numérique

• M = 2 kg, m = 0.1 kg, l = 0.5 m :

.

. .

x

x

x

x

x

x

x

x

u

y

y

x

x

x

x

1

2

3

4

1

2

3

4

1

2

1

2

3

4

0 1 0 0

2 0 6 0 1 0 0 0

0 0 0 1

0 4 9 0 5 0 0 0

0

1

0

0 5

1 0 0 0

0 0 1 0

Fin


Solution pour des entrées nulles

• L’équation générale d’un modèle dans l’espace d’état est :

• Si l’entrée est nulle (u = 0), alors on peut écrire :

x A x B u

x A x


Cas à une variable

• Pour un système représenté par :

• La solution est :

• Elle converge si a<0.– Alors, le système est dit stable.

x t e xa t( ) ( ) 0

x ax


Cas multivariable

• Par extension, la solution d’un système ayant plusieurs variables d’état sera :

• Problème :– Comment calculer l’exponentielle d’une matrice ?

x t e xA t( ) ( ) 0


Méthode de la transformation de similarité

• Prenons en exemple une matrice A de taille 2x2.

• Les valeurs propres de cette matrice (eigenvalue) sont les racines de l’équation caractéristique de la matrice A.

• Cette équation caractéristique est obtenue comme suit:

d e t( )I A


Valeurs propres(Exemple)

• Soit la matrice A suivante :

• L’équation caractéristique est :

A

1 1

0 5

d e t d e t

0

0

1 1

0 5

1 1

0 5

1 5


Valeurs propres(Exemple - suite)

• Les valeurs propres de A sont –1 et –5.

– Fonction sur MATLAB : eig(A)


Méthode de la transformation de similarité (suite)

• Associé à la valeur propre li, il y a le vecteur propre xi.

• Un vecteur propre est un vecteur xi qui est solution de :

pour la valeur propre correspondante li.

A i i i


Vecteurs propres(Exemple - suite)

• Pour λ1 = -1, le vecteur propre sera la solution de :

• Une solution possible est :

1 1

0 51

11

2 1

11

2 1

v

v

v

v

v

v11

2 1

1

0


Vecteurs propres(Exemple)

• Pour λ2 = -5, le vecteur propre sera la solution de :

• Une solution possible est :

1 1

0 55

1 2

2 2

1 2

2 2

v

v

v

v

v

v1 2

2 2

0 2 4 2 5

0 9 7 0 1

.

.



• On peut généraliser en écrivant :

• Avec :

A V V

Vv v

v vet

11 1 2

2 1 2 2

1

2

0

0



• On peut écrire :

• En multipliant par t et en faisant l’exponentielle, on trouve :

• Avec :

A V V 1

e V e VA t t 1

ee

et

t

t

1

2

0

0


Solution du système

• Ainsi :

• Toutes les valeurs propres de A doivent être inférieures à 0 pour que la réponse soit stable.

x t V e V xt( ) ( ) 1 0


Fin de l’exemple

• Solution :

• Ou encore

x t Ve

eV x

t

t( ) ( )

0

005

1

511 1 24

52 2

( ) (0) (0)

( ) (0)

t t t

t

x t x e x e e

x t x e


Effet de la direction de la condition initiale

• Pour faciliter l’analyse, on peut s’assurer que les variables d’état soient indépendantes les unes des autres.

• Ainsi, définissons une nouvelle variable d’état z, en posant :

x V z z V x 1


Solution de ce système

• La solution est (si 2x2) :

z t

z t

e

e

z

z

t

t

1

2

1

2

1

2

0

0

0

0

( )

( )

( )

( )


Condition initiale #1

• Si la condition initiale est de la forme :

• Alors la réponse est :

zz

( )( )

00

01

z tz e t

( )( )

1 0

0

1



• La condition initiale :

– Donne une réponse dont la vitesse est associée à λ1. La réponse est dite « dans la direction de λ1 ».

zz

( )( )

00

01



• Si on revient dans la variable originale :

x tx t

x t

v v

v v

z t

z t

v v

v v

z e v z e

v z e

t t

t

( )( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

1

2

11 1 2

2 1 2 2

1

2

11 1 2

2 1 2 2

1 11 1

2 1 1

0

0

0

0

1 1

1

De même pour

λ2


Exemple

• Solution :

• Si z(0) = [1 0]T :

z te

ez

t

t( ) ( )

0

005

z te

x tet t

( ) ( )

0 0


Exemple

• Si z(0) = [0 1]T :

z te

x te

et

t

t( ) ( ).

.

0 0 2 4 2 5

0 9 7 0 15

5

5


Exemple

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

x1

Temps

x

Réponse transitoire pour la condition initiale [1;0]

x2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Temps

x

Réponse transitoire pour la condition initiale [-0.2425;0.9701]

x2

Sous espace lent Sous espace rapide


Solutions de la forme générale

• L’équation générale d’un modèle dans l’espace d’état est :

• Cette fois-ci, considérons que l’entrée u(t) n’égale pas 0.

x A x B u


Cas à une variable

• Pour un système représenté par :

• La solution est :

– Pour u(t) = constante = u(0).

x t e x eb

aua t a t( ) ( ) ( ) 0 1 0

x ax bu


Cas multivariable

• Toujours par extension, la solution d’un système ayant plusieurs variables d’état sera :

• Avec :

x t P x Q u( ) ( ) ( ) 0 0

P e

Q P I A B

A t

1


u(t) pas constant

• Si u(t) n’est pas constant, on peut faire un calcul numérique à chaque tranche de temps:

x t t P x t Q u t( ) ( ) ( )


Méthode plus précise

• Calcul de l’état:( )

0

( ) (0) ( )t

At A tx t e x e Bu d Réponse à entrée nulle Réponse à condition initiale nulle


Méthode plus précise

• Calcul de l’état:

• Calcul de la sortie:

( )

0

( ) (0) ( )t

At A tx t e x e Bu d

( )

0

( ) (0) ( )t

At A ty t Ce x C e Bu d


Observabilité(Définition)

• Un système est dit observable à l’instant t0, si connaissant l’état du système x(t), il est possible, à partir de l’observation de la sortie y(t) sur un intervalle de temps fini (de t0 à t), de déterminer l’état x(t0).


Observabilité

• Il est possible de vérifier à partir des équations d’état si l’ensemble des états sont observables ou non.

ran g

C

C A

C A

C A

n

n

2

1


Observabilité

• Exemple:

• Le système est observable.

ran g

1 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 0

0 0 0 1

4


Contrôlabilité(Définition)

• Un système est dit contrôlable à l’instant t0, si connaissant l’état initial du système x(t0), il est possible d’appliquer une commande u(t) amenant ce système vers tout autre état sur un intervalle de temps fini.


Contrôlabilité

• Il est possible de vérifier à partir des équations d’état si l’ensemble des états sont contrôlables ou non.

ran g B A B A B A B nn2 1


Contrôlabilité

• Exemple:

• Le système est contrôlable.

ran g

0 0

0 04

11 1 2

11 1 2 11 11 2 1 2 1 11 1 2 2 1 2 2

2 1 2 2

2 1 2 2 1 3 11 2 3 2 1 1 3 1 2 2 3 2 2

b b

b b a b a b a b a b

b b

b b a b a b a b a b


Exemple #1 (Observabilité/Contrôlabilité)

• Système :1 1

2 2

3 3

11

22

3

2 1 0 0

0 2 1 1

0 0 2 2

3 0 0

0 0 4

x x

x x u

x x

xy

xy

x


Exemple #1 (Observabilité/Contrôlabilité - suite)

• Observabilité :

C C A

C A

3 0 0

0 0 4

6 3 0

0 0 8

1 2 1 2 3

0 0 1 62

ran g

C

C A

C A

n2

3

Obser

vabl

e




B A B A B

0

1

2

1

4

4

6

1 2

8

2

ran g B A B A B n2 3

Contrô

labl

e


Exemple #2 (Observabilité/Contrôlabilité)

• Système :

x

x

x

x

x

x

u

y

y

x

x

x

1

2

3

1

2

3

1

2

1

2

3

1 0 0

0 2 0

0 0 3

0

0

2

3 0 1

0 2 0




C C A

C A

3 0 1

0 2 0

3 0 3

0 4 0

3 0 9

0 8 02

ran g

C

C A

C A

n2

3

Obser

vabl

e




B A B A B

0

0

2

0

2

6

0

4

1 8

2

ran g B A B A B n2 2

Non-

Contrô

labl

e


Stabilité d’un système représenté par des équations d’état

• Le système est stable si :

possède des valeur propres à partie réelle négative.

d et sI A 0


Stabilité

• Ainsi :

d et d etsI A

s

a s a a a

s

a a a s a

s a a s a a a a a a s

a a a a a a a a s a a a a

1 0 0

0 0 11 0 11 2 0 2 1

1 2 1 3 2 2 2 3

42 3 11

311 2 3 2 1 1 3 1 0 2 2

2

2 1 1 2 11 2 2 1 0 2 3 1 3 2 0 1 0 2 2 1 2 2 0


Analyse de la stabilité

• Se fait en calculant les racines de l’équation caractéristique de la matrice A :

• Valeurs propres (eigenvalues).

d e t . . .sI A s s s n 1 2 0


Exemple(réservoirs indépendants)

• Équation d’état :

d e t d e ts

s

A h

A h A h

sA h

A hs

A h

sA h

sA h

s

s s

s

s s

s s

0

0

20

2 2

20

2 2

2 2

1

1 1

1

2 1

2

2 2

1

1 1

1

2 1

2

2 2

1

1 1

2

2 2

11

1 12

2

2 220

20

A h A hs s

;



• Ce système est stable car les valeurs propres sont toutes négatives.

11

1 12

2

2 220

20

A h A hs s

;


Vecteurs propres

• Les vecteurs propres peuvent servir à définir le comportement d’un système représenté dans l’espace d’état.

• Les vecteurs propres sont associées aux valeurs propres.

A i i i



• Vecteur propre #1 :

1

1 1

1

2 1

2

2 2

11

2 1

1

1 1

11

2 1

20

2 22

A h

A h A h

v

v A h

v

vs

s s

s

vA

A

h

h

v

s

s11

2

1

2 1

1 2

2 1 1



• Vecteur propre #2 :

1

1 1

1

2 1

2

2 2

1 2

2 2

2

2 2

1 2

2 2

20

2 22

A h

A h A h

v

v A h

v

vs

s s

s

v

v1 2

2 2

0

1


VALEURS PROPRES, VECTEURS PROPRES ET PLAN DES PHASES


Exemple #1

• Équations d’état: x x

x x1 1

2 2

2

5

x Ax x

2 0

0 5


Exemple #1

• Valeurs propres et vecteurs propres :

1 1

2 2

21

0

50

1


Trajectoires

• Les vecteurs propres définissent des bissectrices:

x t e x

x t e x

t

t

12

1

25

2

0

0

( ) ( )

( ) ( )

Nœud

sta

ble

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

x1

x 2


Exemple #2

• Équations d’état: x x

x x1 1

2 2

2

5

x Ax x

2 0

0 5


Exemple #2


1 1

2 2

21

0

50

1


Trajectoires

• Effet de la valeur propre positive :x t e x

x t e x

t

t

12

1

25

2

0

0

( ) ( )

( ) ( )

Poin

t de

selle-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

x1

x 2


Exemple #3

• Équations d’état: x x x

x x x1 1 2

2 1 2

2

5

x Ax x

2 1

1 5


Exemple #3


1 1

2 2

0.95711.6972

0.2898

0.28985.3028

0.9571


Trajectoires

Nœud

sta

ble

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

x1

x 2


Exemple #4


x x x1 1 2

2 1 2

2

5

x Ax x

2 1

1 5


Exemple #4


1 1

2 2

0.99032.1401

0.1387

0.13875.1401

0.9903

113

Trajectoires

Poin

t de

selle


-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

x1

x 2


Exemple #5


x x x1 1 2

2 1 2

2 3

3 2

x Ax x

2 3

3 2


Exemple #5


1 1

2 2

2 30 7 0 7 1

0 0 7 0 7 1

2 30 7 0 7 1

0 0 7 0 7 1

jj

jj

.

.

.

.


Trajectoires

Nœud

inst

able

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

x1

x 2


Exemple #6


x x x1 1 2

2 1 24

x Ax x

1 1

4 1


Exemple #6


1 1

2 2

0.2236 0.38731.7321

0.8944

0.2236 0.38731.7321

0.8944

jj

jj


Trajectoires

Cycle

lim

ite

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

x1

x 2


Cas non-linéaires

• Voici quelques exemples de trajectoires non-linéaires.

• Un système non-linéaire peut avoir plusieurs points d’équilibre.


Exemple #1

• Système bi-linéaire :

• Points d’équilibre :– Cas trivial :

– Cas non-trivial :

x x x

x x x

1 2 1

2 1 2

1

3

x xs s1 2 0

x xs s1 21 3


Exemple #1

• Linéarisant :

• Cas trivial :

2 1

2 1

1

3s s

s s

x x

x x

A

A

0 1

3 03 31 2

Instable


Exemple #1

• Cas non-trivial :

A

3 0

0 13 11 2

Stable


Exemple #1

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

x1

x 2

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

x1

x 2


Exemple #2

• Réacteur biologique avec cinématique de type Monod :

x D x

x x x Dx

Yf

1 1

2 2 21

126

Exemple #2

• Variables :– X1 = biomasse (cellules) [gr/l]– X2 = substrat (nourriture des cellules) [gr/l]– X2f = substrat entrant [gr/l]– Y = rendement (cellules produites vs substrat

consommé)– D = taux de dilution (temps pour renouveler le

contenu du réservoir) [hr-1]– μ = taux de croissance [hr-1]



Exemple #2

• Taux de croissance :

• Si μmax = 0.53, km = 0.12, Y = 0.4 et x2fs = 4.0

m ax

m

x

k x2

2


Exemple #2

• Linéarisant :

• Points d’équilibre :– Cas trivial :

– Cas non-trivial :

A

Dx

x k x

YD

x

Y x k x

s ss s

s m s

ss

s s

s m s

1

2 2

1

2 2

x xs s1 20 4 0 .

x xs s1 21 4 5 2 3 0 3 6 9 2 . .


Exemple #2

• Cas trivial :

A

0 11 4 5 6 3 0

1 2 8 6 4 0 8 0 4

0 11 4 5 6 3 0 41 2

.

. .

. .

Instable


Exemple #2

• Cas non-trivial :

Stable

A

0 3 2 1 5 9 2 9

1 8 4 3 9 8 3 2

0 4 8 0 3 9 81 2

.

.

. .


Fin de la présentation


EXPONENTIELLE D’UNE MATRICED’où vient cette équation ?


Exponentielle d’une valeur scalaire

• Soit une valeur scalaire .

• Alors on peut écrire la série de l’exponentielle comme suit:

x

21 11

2 !x ke x x x

k


Exponentielle d’une matrice

• Par extension, soit .

• Alors, on peut écrire la série suivante:

– Ce qui peut être long à calculer…

n nA

21 1

2 !A ke I A A A

k


Transformation de similarité(exemple)

• Soit .

• On peut obtenir les deux valeurs propres de cette matrice: .

• Et leur vecteur propre correspondant: .

2 2A

1 2,

1 2,



• Ainsi:

• Que l’on peut réécrire: .– V est la matrice des vecteurs propres:

1 1 1

2 2 2

A

A

AV V

11 121 2

21 22

v vV

v v



• Et...– Λ est la matrice des valeurs propres:

1

2

0

0


Transformation de similarité

• Ainsi on peut écrire cette transformation comme étant:

1A V V


Retour sur l’exponentielle

• Utilisant la transformation de similarité, on peut écrire la série exponentielle comme suit:

21 1

1

1

21

!

A

k

e I V V V V

V Vk


Il semble que l’on ne gagne rien, mais…

• Voyons le terme:

• On peut l’écrire:

– Puisque . – On peut répéter ce manège pour les puissances

supérieures…

21 1 1 2 1V V V V V V V V

21V V

1VV I


Et en plus…

• Λk est une matrice diagonale.

1

2

0 0

0 0

0 0

k

kk

kn


Effet sur la série

• Et puisque :

1 1 2 1

1

1

21

!

A

k

e VV V V V V

V Vk

1VV I


Effet sur la série

• Ou encore:

• Reconnaissez vous le terme entre parenthèses:

2 11 1

2 !A ke V I V

k

1Ae Ve V


Exponentielle d’une matrice diagonale

• L’exponentielle d’une matrice diagonale peut s’écrire:

1

2

0 0

0 0

0 0 n

e

ee

e

Chaque élément de la diagonale peut être vu comme un scalaire.


Exemple numérique

• Soit:

• Les valeurs propres sont: -3, -4 et -5.

0 1 0

0 0 1

60 47 12

A


Exemple numérique(suite)

• Les vecteurs propres correspondants sont:

– Sur MATLAB®: • A = [0 1 0;0 0 1;-60 -47 -12]• [S,V]=eig(A)

1 2 3

0.1048 0.0605 0.0392

0.3145 , 0.2421 , 0.1960

0.9435 0.9684 0.9798


Exemple numérique(suite)

• L’exponentielle de Λt sera:

• Et: .

3

4

5

0 0

0 0

0 0

t

t t

t

e

e e

e

1At te Ve V

Documents

Représentation des systèmes dynamiques dans lespace détat SYS-823 Été 2011 © Guy Gauthier ing. Ph.D