Rock Mechanics Mécanique des rochesLa plupart des roches, incluant les roches ignées cristallines,...

Rock MechanicsMécanique des roches

Course Lectures 20082ème partie – mécanique et propriétés des massifs

rocheux

Professeur ZHAO JianEPFL−ENAC−LMR

Laboratoire de Mécanique des Roches − LMR Rock Mechanics

1. La contrainte est une propriétéponctuelle. C’est un tenseur.

2. Il existe des contraintes normales et cisaillement.

σ = lim (∆F/∆A)∆A→0

∆F∆A

Normal stress σ

σ = lim (∆N/∆A)∆A→0

Shear stress τ

τ = lim (∆S/∆A)∆A→0

Contraintes, déformations et déplacements

3. Il existe 9 composantes de contrainte sur un petit cube.

4. Ces composantes peuventêtre groupées dans unematrice.

Trois contraintes normales σxx σyy σzz

Six contraintes de cisaillement τxy τyx τxz τzx τyz τzy

σxτyx

τzyτxz

τxyτyz

σxx τyx τzx

τxy σyy τzy

τxz τyz σzz

5. Les contraintes de cisaillement qui se correspondent sont égales. La matrice est donc symétrique.

σxx τxy τxz

τxy σyy τyz

τxz τyz σzz

τxy = τyx, τxz = τzx, τyz = τzy

6. Il existe une orientation des axes selon laquelletoutes les contraintes de cisaillement disparaissent(transformation de la contrainte). Les contraintesrestantes sont les contraintes principales.

σ1 = contrainte principale maximale (majeure).σ2 = Contrainte principale intermédiaire.σ3 = contrainte principale minimale (mineure).

σ1 0 0

0 σ2 0

0 0 σ3

σxτyx

τzyτxz

τxyτyz

7. Les déformations sont des déplacements par unité de longueur causées par les contraintes. Dans le domaine élastique, elles sont liées par le module d’Young.

ε = δx / l

E = dσx / dεx

δxδy

8. Les déformations dans la direction de contrainte entraînent toujours des déformations dans les autres directions. Les déformations sont liées entre elles par le coefficient de Poisson.

ν = εy / εx, ν = εz / εx

δxδy

9. Contraintes et déformations sont liées par les lois constitutives.

εxx S11 S12 S13 S14 S15 S16 σxx εyy S21 S22 S23 S24 S25 S26 σyy εzz = S31 S32 S33 S34 S35 S36 σzz γxy S41 S42 S43 S44 S45 S46 τxy γyz S51 S52 S53 S54 S55 S56 τyz γzx S61 S62 S63 S64 S65 S66 τzx

[ε] = [S] [σ]

εxx 1 −ν −ν 0 0 0 σxx εyy −ν 1 −ν 0 0 0 σyy εzz = 1/E −ν −ν 1 0 0 0 σzz γxy 0 0 0 2(1+ν) 0 0 τxy γyz 0 0 0 0 2(1+ν) 0 τyz γzx 0 0 0 0 0 2(1+ν) τzx

εxx = [σxx −ν (σyy +σzz)] / E γxy = τxy / G where G = E / [2 (1+ν)] E = Young's modulus ν = Poisson's ratio G = shear modulus

10. Les contraintes et déformations planes peuvent être représentées par des cercles de Mohr

σy, -τxy

σx, τxy

σ2 σ1O C 2θ

½ (σy+σx) √[½(σy-σx)]2+ τxy2

Compression Uniaxiale

La résistance à la compression uniaxiale est la contrainte ultime d’un échantillon de roche cylindrique sous chargement axial. C’est la plus importante des propriétés mécaniques de la roche, utilisée en dimensionnement, analyse et modélisation.

En parallèle avec la mesure de la charge, on mesure aussi les déformations axiales et radiales.

Résistance et déformation

11Laboratoire de Mécanique des Roches − LMR Rock Mechanics

peak strength

strain at failure

Stade I – La roche est initialement chargée. En liaison avec la déformation, les microfissures existantes se ferment, entraînant une non-linéaritéinitiale de la courbe.

Stade II – La roche a un comportement linéairement élastique avec une courbe contrainte-déformation linéaire, axialement et radialement.

Stade III – La roche se comporte presque linéairement. La courbe de contrainte-déformation axiale est quasi linéaire et est presque réversible.

Stade IV – La roche subit une rapide accélération de la microfissuration et de l’augmentation du volume.

Stade V – La roche a dépassé la contrainte de pic, mais est encore intacte, même si la structure interne est fortement perturbée. L’échantillon subit un radoucissement des déformations (rupture).

Stade VI – La roche se rompt en plusieurs blocs plutôt qu’en une structure intacte.

Près de la contrainte de pic(IV-V)

Après la contrainte de pic (VI)

Contrainte-déformation uniaxiale au et après le pic.Les roches se rompent généralement sous faible déformation, typiquement autour de 0.2 à 0.4%. Les roches fragiles, p. ex. les roches cristallines, ont une déformation faible à la rupture, alors que les roches tendres comme les schistes et les argillites tendent àavoir une déformation relativement élevée à la rupture.

La plupart des roches, incluant les roches ignées cristallines, métamorphiques et sédimentaires, se comportent de manière fragile sous compression uniaxiale. Quelques roches tendres, principalement d’origine sédimentaire, ont un comportement ductile.

Compression Triaxiale

En profondeur, la roche est soumise à des contraintes axiales et radiales (triaxiales), et la résistance à la compression est plus forte en conditions triaxiales. L’état de compression triaxiale vraie signifie 3 contraintes principales différentes. On admet souvent pour simplifier que les 2 contraintes radiales sont égales à la contrainte principale mineure (essai triaxial axisymétrique).

σ3 = 0

σ 3in

Le comportement de la roche en compressiontriaxiale change avec l’augmentation de la pressionde confinement:

(a) La résistance maximale augmente;

(b) Le comportement après le pic change graduellement de fragile à ductile.

Dans le domaine élastique, le comportement contrainte-déformation est le même qu’en compression uniaxiale.

Effet de la contrainte principale intermédiaire

L’essai triaxial axisymétrique donne une résistance sans considérer l’effet de la contrainte intermédiaire principale (σ2), ce qui en général sous-estime la résistance.

La résistance à la compression triaxiale de la roche augmente généralement avec σ2 pour un σ3 donné. Lorsque σ2 est beaucoup plus grand que σ3, la résistance commence à diminuer.

Constant σ3 of 30 MPa

Le module d’Young et le coefficient de Poisson

Le module de Young et le coefficient de Poisson peuvent être déterminés expérimentalement à partir de la courbe contrainte-déformation. Ils semblent ne pas être affectés par le changement de la contrainte de confinement.

Les roches à haute résistance tendent également àavoir un grand module de Young, dépendant du type de roche et d'autres facteurs.

Pour la plupart des roches, le coefficient de Poisson se situe entre 0.15 et 0.4.

6.3 12.5 25 50 100 200 400

Uniaxial Compressive Strength, MPa

’s M

High m

s rati

Medium

ulus r

Igneous rocks

Metamorphic rocks

Sedimentary rocks

Résistance à la traction

Les roches ont généralement une faible résistance àla traction, due aux microfissures préexistantes. L'existence de ces microfissures peut également être la cause de la rupture soudaine de la roche en traction sous une faible contrainte.

La résistance à la traction de la roche peut être obtenue à partir de plusieurs types d'essais. L'essai de traction le plus connu est l’essais brésilien.

Résistance au cisaillement

La roche résiste à l'effort de cisaillement par deux mécanismes internes, cohésion et frottement interne. La cohésion est une mesure de liaison interne de la roche. Le frottement interne résulte du contact entre les particules, et est défini par l'angle de frottement interne.

La résistance au cisaillement de la roche peut être déterminée par l'essai de cisaillement direct et par des essais de compression triaxiale.

Résistance au cisaillement par essais triaxiaux.

A partir d’une série de tests triaxiaux, les contraintes max (σ1) sont obtenues pour différentes contraintes latérales (σ3). En traçant les cercles de Mohr, on définit la courbe intrinsèque et on obtient la cohésion et l'angle interne de frottement.

172207

151156

12210590.354

74.13352.61241.201

σ1 (MPa)σ3 (MPa)Test

σ3 σ1 σnσt σc0

εσ3 = 0

σ3 = 10

σ3 = 5

Roche Rés. comp. uniax. (MPa) Rés. traction (MPa)Granite 100 – 300 7 – 25 Dolerite 100 – 350 7 – 30 Gabbro 150 – 250 7 – 30 Basalte 100 – 350 10 – 30 Grès 20 – 170 4 – 25 Schiste 5 – 100 2 – 10 Dolomie 20 – 120 6 – 15 Calcaire 30 – 250 6 – 25 Gneiss 100 – 250 7 – 20 Ardoise 50 – 180 7 – 20 Marbre 50 – 200 7 – 20 Quartzite 150 – 300 5 – 20

Résistances à la compression, au cisaillement et àla traction

La résistance à la traction ou au cisaillement sont importantes, car la roche se rompt souvent en traction ou en cisaillement, même si la charge apparaît être en compression. Les roches ont en général une résistance à la compression très forte, la rupture en compression pure est donc rare.

Théoriquement, les trois résistances sont liées. Ceci sera discuté dans les critères de résistance.

Indice de résistance ponctuelle

L'essai de résistance ponctuelle est un essai d’indice simple pour la roche. Il donne l'indice de de résistance ponctuelle, Is(50).

5 – 15Quartzite4 – 12Marbre1 – 9Ardoise

5 – 10Schiste5 – 15Gneiss3 – 7Calcaire

0.1 – 6Mudstone1 – 8Grès

9 – 15Basalte10 – 15Andesite6 – 15Gabbro5 – 15Granite

Corrélation entre l’indice de résistance ponctuelle et les résistances.

σc ≈ 22 Is(50)Le facteur de correction peut varier entre 10 et 30.

σt ≈ 1.25 Is(50)

Is(50) devrait être utilisé comme un indice de résistance indépendant.

Ténacité de fracture

La ténacité de fracture de la roche mesure la capacitéde rupture de la roche. Elle est typiquement mesurée par un essai de ténacité. Il existe trois modes de rupture: (mode I), (mode II) (mode III).

Mode I Mode II Mode III

Tenacité de fracture

Egalement, il existe 3 types de ténacité, KIC, KIICet KIIIC.

En mécanique des roches, le mode I est associé àl’initiation de la fracture et sa propagation dans le matériau.

>0.41Quartzite0.11 – 0.41Marbre

0.027 – 0.041Ardoise0.005 – 0.027Schiste0.11 – 0.41Gneiss

0.027 – 0.041Calcaire0.027 – 0.041Schiste argileux0.027 – 0.041Grès

>0.41Basalt>0.41Gabbro>0.41Dolerite

0.11 – 0.417Granite

Densité, porosité et teneur en eau

Ce sont les propriétés physiques standard.

Densité = masse du solide / volume du solide

Porosité = volume des vide / volume du solide

Teneur en eau = volume d'eau / volume du solide

Propriétés physiques et mécaniques

La densité sèche de la roche se situe entre 2.5 et 2.8 g/cm3. Une forte densité correspond généralement une faible porosité.

La porosité est généralement faible pour les roches cristallines, par exemple, le granit (<5%) et peut être forte pour les roches sédimentaires clastiques, par exemple, le grès (jusqu'à 50%). La porosité affecte la perméabilité.

La teneur en eau dépend du degré de saturation. La roche humide tend à avoir une résistance légèrement plus faible.

Dureté

La dureté est la caractéristique d'un matériau àrésister à une déformation permanente. La duretéde la roche dépend de plusieurs facteurs, y compris la composition minérale et la densité. Une mesure typique est le nombre de dureté de rebond de Schmidt.

La dureté de Schmidt peut être corrélée à la résistance de la roche.

L’abrasivité

L'abrasivité mesure l'abrasion de la roche par rapport àd'autres matériaux, p. ex. acier.

L'abrasivité est fortement influencée par le pourcentage de quartz dans la roche. Une forte teneur en quartz entraîne une plus grande abrasivité.

L'abrasivité est mesurée par des essais, p. ex. l'essai de Cerchar qui donne l'indice d’abrasivité Cerchar(CAI).

Indice d’abrasivité Cerchar (CAI)

4.3 – 5.9Quartzite2.3 – 4.2Ardoise3.5 – 5.3Gneiss1.0 – 2.5Calcaire0.6 – 1.8Schiste argileux

1.5 – 3.5, 2.8 – 4.2Grès2.0 – 3.5Basalte2.7 – 3.8Andésite4.2 – 5.0Diorite4.5 – 5.3Granite

La perméabilité

La perméabilité est une mesure de la capacité d'un matériau à transmettre des fluides. Elle est obtenue par la loi du Darcy,

Q = A k (h1–h2)/L

Q = Débitk = Coefficient de perméabilitéA = sectionL = longueurh1, h2 = gradient hydraulique

Perméabilité

La plupart des roches ont des perméabilités très faibles. La perméabilité de la roche est régie par la porosité. Les roches poreuses telles que le grès ont habituellement une perméabilité élevée tandis que les granites ont une faible perméabilité. Exceptépour les roches poreuses, la perméabilité des roches a peu d’intérêt. Dans le massif rocheux, l'écoulement se concentre dans les fissures.

Vitesse d’onde

Deux types d’ondes sont souvent utilisés dans les mesures de la vitesse: l’onde longitudinale (P) et l’onde de cisaillement (S). L’onde P est la plus rapide et par conséquent elle est la plus communément utilisée dans les mesures de vitesse d’ondes.

Vitesse d’onde

La vitesse d’onde est liée au degré de compacité(densité et porosité) de la roche. Une roche bien compactée a généralement une vitesse élevée pour autant que les grains soient bien en contact et que les ondes puissent passer à travers les grains solides.

La vitesse d’onde P des roches ignées, gneiss et quartzite est de 5000-7000 m/s, Pour les schistes argileux, le grès et les conglomérats, la vitesse vaut 3000-5000 m/s.

Vitesse d’onde et module de déformation

La vitesse d’onde peut être utilisée pour estimer les modules de la roche. Les modules estimés sont en général légèrement plus grands que ceux déterminéspar des essais statiques.

Module élastique Es = ρvp2 (GPa), (g/cm3), (km/s)

Module de cisaillement Gs = ρvs2 (GPa), (g/cm3), (km/s)

Coefficient de Poisson νs = [1–2(vs/vp)2] / {2[1–(vs/vp)2]}

Résistance et critères de résistance

La limite de résistance est définie par la contrainte àlaquelle le matériau commence à se déformer de façon plastique. Cela représente généralement une limite supérieure à la charge qui peut-être appliquée.

Un critère de résistance limite est une hypothèse qui concerne la limite de contrainte sous n’importe quel état de contraintes. Ceci est généralement décrit par trois contraintes principales.

Critères de rupture de la roche

Critère de résistance commune

Critère de Tresca-GuestMax (|σ1 – σ2|, |σ2 – σ3|, |σ3 – σ1|) = σ0

Critère de von Mises

Critère de Mohr-Coulomb

Critère de Mohr-Coulomb pour la roche

Le critère de Mohr-Coulomb dépend de deux paramètres. Il prend en compte le cisaillement. Il considère seulement les contraintes principales majeure et mineure (les deux contraintes principales ayant la plus grande différence).Le critère suppose qu’un plan de cisaillement se développe dans le matériau rocheux. Quand une rupture apparaît, les contraintes développées sur le plan de rupture sont sur la surface limite (enveloppe en 2D).

σ3 σ1

(σn, τ)

La résistance au cisaillement de Coulomb se compose de deux parties, une cohésion constante (c) et une contrainte normale (σn) dépendant de la composante de frottement, l’angle de frottement interne (φ),

τ = c + σn tanφ

C’est une ligne droite, avec une intersection de c sur l’axe des τ et un angle de φ avec l’axe des σn.

Du diagramme des cercles de Mohr

En combinant les deux équations ci-dessus avecτ = c + σn tanφ,

La roche se fracture avec la formation d’un plan de cisaillement a-b, par ex., l’état des contraintes sur le plan a-b satisfait la condition de résistance au cisaillement. Dans le diagramme, lorsque le cercle de Mohr touche l’enveloppe de résistance de Mohr-Coulomb, la condition de la contrainte sur le plan a-b atteint celle du critère de résistance.

A partir du cercle de Mohr, le plan de rupture est défini par θ, etθ = ¼ π + ½ φ

Les résistances actuelles à la traction des roches sont inférieures au critère. Un seuil de traction est normalement fixéà une valeur de la contrainte de traction uniaxiale, σt′, égale àenviron 1/10 σc.

σ3 σ1

σnσt σc0σt′

Le critère de Mohr-Coulomb peut aussi être représentédans un graphique σ1–σ3.

σt σt′

Commentaires au sujet du critère de Mohr-Coulomb.

Le critère de Mohr-Coulomb n’est valable que pour le domaine des confinement faibles. A un haut niveau de confinement, il surestime la résistance. Il surestime aussi la résistance à la traction. Dans la plus part des cas, la mécanique des roches traite de problèmes superficiels et de faible confinement, aussi ce critère est largement employé, grâce à sa simplicité et son succès.

Critère de résistance de Griffith

Le critère de Griffith se base sur la mécanique des ruptures fragiles, utilisant les concepts d’énergie de déformations élastiques. Ce critère décrit le compor-tement de la propagation de fissures de forme elliptique en considérant l’énergie mise en jeu. L’équation établit que lorsqu’une fissure est capable de se propager suffisamment pour fracturer le matériau, le gain dans l’énergie de surface est égal à la perte d’énergie de déformation.

En compression, une fissure elliptique se propagera à partir des points de concentration de la contrainte de traction maximale. Cela donne le critère suivant pour la propagation de la fracture:

(σ1 – σ3)2 – 8 σt (σ1 + σ3) = 0 si σ1 + 3 σ3 > 0

σ1 + σt = 0si σ1 + 3 σ3 < 0

Lorsque σ3 = 0, σ1 – 8 σt = 0 ou σ1 = 8 σt

La contrainte de compression uniaxiale pour la propagation de la fissure vaut 8 fois la résistance uniaxiale à la traction.Cela peut aussi être exprimé en terme de contrainte de cisaillement (τ) et de contrainte normale (σn) agissant sur la plan contenant l’axe principal de la fissure.τ2 = 4 σt (σn + σt)

Quand σn = 0, τ = 2 σt, cela représente la cohésion.

τ2 = 4 σt (σn + σt)

σnσt 0

8σt (σ1 – σ3)2 = 8 σt (σ1 + σ3)

Commentaires sur le critère de résistance de Griffith

La théorie de compression plane de Griffith ne donne pas un très bon modèle pour la résistance maximale de la roche sous une compression multiaxiale. Cela donne seulement une bonne estimation de la résistance à la traction, et sous-estime la résistance à la compression, particulièrement sous de grandes contraintes latérales. Un certain nombre de modifications à la solution de Griffith ont été introduites, mais aujourd’hui elles ne sont pas utilisées.

Critère de résistance de Hoek-Brown

L’application des théories classiques de résistance à des roches soumises à un large éventail d’états de contraintes s’est montrée peu satisfaisante, un bon nombre de critères empiriques de résistance ont étéintroduits pour une utilisation pratique.Un des critères les plus répandus est celui de Hoek-Brown pour les roches et les massifs rocheux isotropes.

Le critère de Hoek et Brown est exprimé par l’équation :

σ1/σc = σ3/σc + (m σ3/σc + 1.0)½

σ1 = σ3 + (m σ3 σc + σc2)½

m est un paramètre qui change selon le type de roche.

(a) m≈7 pour des roches carbonatées avec clivage cristallin bien développé (dolomite, calcaire, marbre);

(b) m≈10 pour des roches sédimentaires à grain fin et àfaible degré métamorphique (silts, schiste, ardoise)

(c) m≈15 pour les roches sédimentaires à grain grossier et clivage cristallin faiblement développé (grès, quartzite);

(d) m≈17 pour des roches cristallines ignées à grain fin (andésite, dolérite, diabase, rhyolite, basalte)

(e) m≈25 pour des roches ignées à grain grossier et roches métamorphiques (gabbro, diorite, granite, gneiss).

Commentaires sur le critère de résistance de Hoek-Brown

L’enveloppe de résistance de Hoek-Brown n’est pas une ligne droite. C’est une courbe. A haut niveau de contrainte, l'enveloppe s’incurve vers le bas, et donne ainsi une évaluation de résistance inférieure à celle de l'enveloppe de Mohr-Coulomb. C'est un critère empirique basé sur des résultats réels d'essais obtenus sur diverses roches. L'emploi et le choix des paramètres est très facile. Il peut être étendu aux massifs rocheux. Il est employé couramment en mécanique des roches et dans le dimensionnement des ouvrages.

Résistance d’une roche anisotrope

Les roches, telles que le schiste et l’ardoise, ont une isotropie transversale.

Les résistances maximales développées en compression par des roches transversalement isotropes varient selon l’orientation du plan de l’isotropie, par rapport aux directions des contraintes principales.

Effets des microstructures de la roche

Slate Shale

Angle to σ1 Direction

σ1σ1

Solutions analytiques

cw = cohésion du plan de faiblesse; φw = angle de frottement du plan; β = inclinaison du plan.

La résistance minimale apparaît lorsque

tan2β = –cotφw, or β= 45 + ½φw, et cela donne

(σ1–σ3)min = 2(cw + σ3 tanφw) [(1 + tan2φw)½ + tanφw]

fail of rockmaterial

90° β

slip on planeof weakness

45+½φw

Résistance des roches anisotropes

Lorsque le plan de faiblesse est incliné selon un angle de (45+½φw), la résistance est minimale. Pour les roches, φw se situe entre 30 et 50°, par conséquent β vaut 60 à 70°. Dans les essais triaxiaux, l’échantillon de roche intacte se rompt généralement en formant un plan cisaillé orientéd’un angle de 60 à 70°. Si la roche contient un plan de faiblesse préexistant, ce dernier deviendra fort probablement le plan de rupture, car la résistance de la roche y est plus faible.

Comportement mécanique des roches tendres et altérées

Les roches, dont la résistance à la compression uniaxiale est inférieure à 25 MPa, sont considérées comme roches tendres ou faibles. Les roches tendres sont habituellement des sédiments en cours de consolidation et solidification. Les roches altérées peuvent également être molles ou faibles.

Les roches tendres peuvent avoir un comportement àla compression isotrope semblable à celui des sols consolidés

Typical soil

La résistance des roches tendres se situe entre celle des sols et des roches dures. La résistance des sols est généralement représentée par le critère de Mohr-Coulomb (ligne droite), alors que pour les roches dures on utilise le critère de Hoek-Brown (courbe).

Avec l’augmentation de la résistance de la roche, les caractéristiques passent progressivement du critère linéaire de M-C pour les sols au critère parabolique H-B pour les roches dures,

σ1/σc = {[σ3 (1 + sinφ)] /[ B σc (1 – sinφ)] + 1}B

1.0 ≥ B ≥ 0.5. B s’approche de 1.0 pour les sols, l’équation devient le critère linéaire de M-C.

B s’approche de 0.5 pour les roches, l’équation devient une enveloppe parabolique semblable au critère de H-B.

Densité, porosité et teneur en eauEssai de compression uniaxialeEssai de compression triaxialeEssai de traction brésilienEssai de résistance ponctuelleMesure de la vitesse d'onde ultrasoniqueDureté au marteau de Schmidt (scléromètre)Essai d'abrasivité CercharEssai de durabilitéEssai de gonflement libre

Essais sur roches en laboratoire

1. Axial load measured by a load cell.

2. Axial displacement or strain measured by LVDTs or strain gauges.

3. Circumferential displacement or lateral strain measured by LVDT or strain gauges.

Transmitter Receiver

Pulse Generatorand Logger

(1) Rock sample holder. (2) Hand wheel for

base movement. (3) Displacement scale. (4) Steel stylus. (5) Stylus holder. (6) Dead weight.

(1) Steel ring. (2) Porous metal plate. (3) Steel loading plate. (4) Container. (5) Dial gauges. (6) Load measuring device. (7) Frame. (8) Loading piston. (9) Steel plate.

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