SECTIONS PLANES

SECTIONS PLANES

I PYRAMIDES et CONES de REVOLUTION

1° Pyramide

A

BC

D

S

I

Base

Arête

Hau

teur

Face latérale

Dans une pyramide :

♦ La base est un polygone

♦ Les faces latérales sont des triangles ayant un sommet commun appelé sommet de la pyramide

♦ La hauteur est la distance SI du sommet à la base.

♦ Une arête est un segment qui joint le sommet à un sommet du polygone de base

Sommet

Pyramide régulière.

A

B

C

D

H

S

♦ le polygone de base est régulier: triangle équilatéral, carré ……

♦ La hauteur issue du sommet passe par le centre du polygone

♦ Les arêtes latérales ont la même longueur

Dans une pyramide régulière

2° Cône de révolution

S

OA

B

Dans un cône de révolution :

♦ La base est un disque.

♦ La hauteur est la distance entre le sommet et la base ( SO ).

Base

Hau

teur

Génératrice

3° Volume d’une pyramide ou d’un cône

Le volume V d’une pyramide ou d’un cône est donné par la formule

3

hauteurbasedeaireV

Pour un cône de révolution de rayon r et hauteur h on obtient:

3

2hrV

4° Voir dans l’espace

F

GH

E

B

CD

A

ABCDEFGH est un cube d’arête 5 cm.1° Voir dans l’espace. Construire en vraie grandeur : Le carré EFGH Les triangles AEF et AEH. Les triangles AGF et AGH.2° Construire le patron de la pyramide AEFGH.

EF G

HEF

A

E H

A'

GH

A"

F G

A1

EF G

HA

A'

A"

A1

II SECTIONS PLANES

1° Section d’un cube ou d’un pave droit

a

d

a

b

a

b

Géospace

La section d’un cube ou d’un pavé droit par un plan parallèle à une face ou à une arête est un rectangle.

2° Section d’un cylindre de révolution

A

B

a

c

O

A

B

a

c

O

La section d’un cylindre de révolution

par un plan perpendiculaire à son axe est un disque

La section d’un cylindre de révolution

par un plan parallèleà son axe est un rectangle

a) b)

Géospace

3° Section d’une pyramide par un plan parallèle à la base.

♦ La section d’une pyramide par un plan parallèle à sa base est un polygone de même nature que le polygone de base.

♦ On obtient un tronc de pyramide et une pyramide, qui est une réduction de la pyramide initiale.

Géospace

Tronc depyramide

Pyramide en réduction

4° Section d’un cône par un plan parallèle à la base.

Z'

Z'

♦ La section d’un cône par un plan parallèle à sa base est un disque.

♦ On obtient un tronc de cône et un cône, qui est une réduction du cône initial

Tronc de cône

Cône en réduction

III AGRANDISSEMENT REDUCTION

1° Définition

Si on multiplie TOUTESles dimensions d’un solidepar un même nombre k >1

alors on obtient un agrandissement de ce

solide.

Si on multiplie TOUTESles dimensions d’un solidepar un même nombre k < 1

alors on obtient une réduction de ce solide.

k < 1k > 1

REDUCTION AGRANDISSEMENT

2° Effets d’un agrandissement sur les aires et les volumes.

AB

CD

E

F

GH

AB

CD

EF

G

H

A

B

C

D

E

F

G

H

  C C1 C2

Arête en cm 1 2 3

Aire de base en cm2 1    

Volume en cm3 1    

 les longueurs sont multipliées par :

les aires sont multipliées par :

les volumes sont multipliées par :

De C à C1      

De C à C2      

C C1C2

a) Aires et volumes

b) Coefficient

4 9

8 27

2 4 8

3 9 27

= 22 = 23

= 32 = 33

AB

CD

EF

GH

A BCD

E

F

GH

A BCD

E

F

GH

3° Effets d’une réduction sur les aires et les volumes.

C C3 C4

a) Aires et volumes  C C3 C4

Arête en cm 1 0,8 0,5

Aire de base en cm2 1    

Volume en cm3 1    

b ) Coefficient 

les longueurs sont multipliées par :

les aires sont multipliées par :

les volumes sont multipliées par :

De C à C3 0,8    

De C à C2 0,5    

0,64 0,25

0,512 0,125

0,64 0,512

0,25 0,125

= 0,8 2 = 0,8 3

= 0,5 2 = 0,5 3

4° Règle.

Si au cours d’un agrandissement ou d’une réduction,

toutes les dimensions sont multipliées par un même nombre kAlors : ♦ les aires sont multipliées par k2

♦ les volumes sont multipliés par k3

5° Exercice résolu

A

B

C

S

B'

On considère la pyramide de sommet S, de hauteur [SB ] et de base le triangle ABC, rectangle en B.SB = 8,1 cm AB = 5,4 cm, BC = 7,2 cm 1° Calculer l’aire du triangle ABC. En déduire le volume de la pyramide SABC.2° On coupe la pyramide SABC par un plan parallèle à la base passant par le point B’. Il coupe [SA] en A’ et [SC] en C’. La pyramide SA’B’C’ est une réduction de la pyramide SABC SB’= 6,3 cm. Calculer le coefficient de réduction k. Dessiner la section en vrai grandeur après avoir calculé ses dimensions.3° En utilisant le coefficient calculer : a) l’aire du triangle A’B’C’ b) le volume de la pyramide SA’B’C’.

1° a) Aire du triangle ABC

AABC= 44,192

2,74,5

2

BCAB

AABC= 19,44 cm²

b) Volume de la pyramide SABC

V SABC = 488,523

1,844,19

3

hauteurbase de Aire

V SABC = 52,488 cm3

A

B

C

S

B'C’

A’

2° a) Calcul du coefficient de réduction k

Pour calculer le coefficient on divise : une dimension de l’objet final par la dimension correspondante de l’objet initial.

9

7

99

79

81

63

1,8

3,6

SABC pyramide la dehauteur

C'B'SA' pyramide la dehauteur k

9

7k

b) Dimensions de la section

B’C’ = k × BC = cm 6,52,79

7

A’B’ = k × AB = cm 2,44,59

7

c) dessin de la section.

B’C’

A’ La section A’B’C’ est donc un triangle rectangledont les côtés de l’angle droit mesurent 4,2 cm et 5,6 cm

4,2 cm

5,6 cm

4° a) Aire du triangle A’B’C’

A A’B’C’ = k² × AABC = ²cm 76,1144,199

72

b) Volume de la pyramide réduite SA’B’C’

V SA’B’C’ = k3 × VSABC =

33

cm 696,24488,529

7

IV SPHERE et BOULE

Sphère Boule

( creuse ) ( pleine )

1° a) Définition.

La sphère de centre O et de rayon R est l’ensemble des points de l’espace dont la distance à O est égale à R

La boule de centre O et de rayon R est l’ensemble des points de l’espace dont la distance à O est inférieure ou égale à R

OA

B [AB] est un diamètre .

b) Aire et volume

Nous admettrons les deux formules suivantes.

a) Aire d’une sphère de rayon R

A = 4πR²b) Volume d’une boule de rayon R

3R3

4V Si la circonférence est fière

D'être égale à deux Pierres,Le disque est tout heureuxD'être égal à Pierre II. Le volume de toute Terre, De toute sphère Qu'elle soit de pierre ou de boisEst égal à quatre tiers de Pierre III.

Petit poème

2° Section d’une sphère ou d’une boule par un plan

La section d’une sphère par un plan est un cercle.

La section d’une boule par un plan est un disque.

3° Exercice résolu : Page 267 n°18

Z

I

M

h

Z' N

r

1° Calcul de hDans le triangle IZM rectangle en Z avec le théorème de Pythagore on a :IZ² + ZM² = IM ² h² + 12² = 16² IM est le rayon soit de la sphère.h² = 16² - 12² h² = 112

74716716h

2° Calcul de r

Dans le triangle IZ’N rectangle en Z’ avec le théorème de Pythagore on a :IZ’² + Z’N² = IN ² 5² + r² = 16² IN est le rayon soit de la sphère.r² = 16² - 5² r² = 231

cm 15,20r

231r