Sécularisation du trois, d’un procès mathématique

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Sécularisation du trois5 février 2011CERCI Université de Nantes

René Guitart René Guitart Université Paris Diderot Paris 7Université Paris Diderot Paris 7

Plan

Un impossible à trois : l’ombre d’un dispositif impossible

La trinité, l’image du Dieu sans corps possible, et de plus Dieu comme corps de l’impossible

L’entrelac borroméen : le voir

Le triangle, les trois dimensions

L’entrelac borroméen : l’analyser

Objets borroméens

Le triangle, les trois dimensions

Un impossible à trois

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Ceci est-ill’imageD’un corps ?

Quel DiagrammeRépondraà cetteQuestion ?

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Preuve que c’est impossible :

La trinité

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Robert Campin(1378-1444)

Trinité, trône de grâce[À l’Hermitage]

Andrei Roublev

Icône de la trinitévers 1411[Moscou]

Une catéchèse sur Dieu

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Bois peint, anonyme, XVIème siècle

[Notre-Dame d’Etampes]

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Eglise St PierreEn Gallicante (1931)Sur le mont Sionà Jérusalem

Entrelac borroméen :le voir

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Entrelac borroméen rigide réel en anneaux elliptiques

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Entrelacs borroméensrigides réels

Il est possible de réaliser la disposition borroméenne avec des anneaux carrés rigides, triangulaires rigides [Sculptures de

John Robinson]

Regarder les borroméens en mouvements

Entrelac borroméen :l’analyser

Examen de l’objet qui circule

Examen de l’objet qui circule

On peut démontrer qu’il est impossible de réaliser cette disposition avectrois vrais anneaux circulaires rigides ( voir ci-après)

L’étrange de cette tenue à 3 qui ne procède pas de tenues par 2, oblitère son l’impossible. Ainsi cette image de Dieu comme l’étrange mais possible dispositif de un en trois personnes est aussi une image d’un objet impossible, et donc une présentation de Dieu comme l’impossible même, et par suite comme le principe du réel.

engagés

enlacés

dissociésLes trois positions de deux ronds planaires

Deux dégagés : les trois ne peuvent tenir

Trois qui tiennent

Le groupe fondamental

rir-1sr = *

srs-1is = *

isi-1ri = *

(Calcul à la Dehn)

r

s

i

sr is

ri

*

1a

b

c a

b

c

cb-1a

Si i = 1, le système dégénèreEn : sr = sr = sr = * : il ne reste aucune condition.. «  ça se défait ».

« ça tient »

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Objets borroméens

La sécularisation du trois et la notion d'objet borroméen

Face au  binaire de l'alternative, du vrai et du faux, et au déguisement subséquent du monde et de la langue en codes,  il y a le trois pur qui ne procède pas d'enchaînements binaires, et sert de symbole pour le mystère de la mort ou de la divinité. Ainsi, à la manière borroméenne, se tiendraient comme un, le père, le fils et l'esprit. Le triangle et la pratique de la géométrie plane en constituent une sécularisation médiocre, où le mystère n'est pas proprement soulevé, et va seulement être exprimé implicitement par le jeu de l'exercice de la symétrie ternaire ; ce qui n'est pas rien, mais présente l'inconvénient qu'au plan du calcul la question même de la tenu de trois en un n'est pas notée, mise en scène, et n'est pas  objet de calcul.

En revanche l'entrelac borroméen est une écriture plus sévère de la question d'une saisie de ce mystère du trois en un. On peut voir que cet entrelac se ré-exprime du jeu de la géométrie de l'hexagone régulier ou du cube, ce dont Sesmat et Blanché avait probablement l'intuition. Jacques Lacan s'empare du symbole borroméen en son état propre pour faire image de sa théorie : chez lui donc la logique serait ternaire mais non pas du fait de trois valeurs séparées, mais du fait de trois pôles, le réel, le symbolique, l'imaginaire, qui constitueraient la logique du fait de se tenir à trois dans la disposition borroméenne. Cet aspect logique, suivant Blanché ou suivant Lacan, constitue certes déjà une sécularisation importante du trois, qui vient ainsi judicieusement prendre la place du quatre du carré d'Aristote-Appulé, qui s'ajoute à celle très ancienne de la géométrie du triangle.  

Mais  la tenue borroméenne est installée dans la mathématique et la physique dès le XIX ème siècle, notamment dans le paradoxe de Condorcet sur le vote, dans l'étude de la rotation du solide (équation d'Euler), dans les manipulations d'ellipsoïdes et des fonctions elliptiques. Pour la présence du trois dans la mathématique, il faut noter l'importance que Peirce attribue aux relations ternaires, puis, qui se dégage au cours du XXème siècle, la sollicitation des opérations d'arités trois dites aussi opérations ternaires, dans la mise en scène structuraliste des notions et de  l'activité mathématique.L'idée d'objet borroméen, que j'ai introduite ces dernières années, permet de saisir tous ces exemples en l'unique espèce de l'idée de calcul effectif de la borroméanité même et de ses effets, dans un type quelconque mais fixé d'objets. Un bel exemple d'objet borroméen est la surface quartique de Klein ou le groupe de ses automorphismes, qui est l'objet central dans l'étude de la résolution de l'équation du 7ème degré.

Ainsi, par l'introduction de la notion d'objet borroméen,  la borroméanité devient une qualité mathématique générale parfaitement définie, "borroméen" devient un adjectif mathématique applicable à tout objet, et par là la fonction du mystère de trois en un est complètement thématisée dans le champ séculier et laïc du travail mathématique.

B

R

S

I

B/R

B/S

B/I

==

=

RI

IS

RS

Objet borroméen abstrait

R S

I

R S

R

R S

I

I IS

Nécessaire

Prédéterminé

Impossible

Contingent

Eventuel

Possible

Exemple logique

x = a+yz, y = b+zx, z = c+xy.

x5-ax4-2x3+(2a-bc)x2 +(1-b2-c2)x-(a+bc) = 0y5-by4-2y3+(2b-ca)y2+(1-c2-a2)y-(b+ca) = 0z5-cz4-2z3 +(2c-ab)z2+(1-a2-b2)z -(c+ab) = 0

R’ = SI, S’ = IR, I’ = RS

Exemple algébrique

Exemple mécanique

Voir

Dire Toucher

Observation finale : le travail mathématique a quelque chose de borroméen :

La mathématique dans son ensemble serait la sécularisation du trois…

… suivant la dégradation du « corps de Dieu » en images puis en diagrammes et en calculs.

FINFIN

Surfaces de Seifert du borroméen

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Iran oriental, Xe siècle

Le nom d’Allah