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8/17/2019 Sesiones 9 y 10 - Est. Punt.
1/73
Estadística
Diplomatura de Estudio en
Gestión de Operaciones VI
Ing. MBA Miguel Ángel Patiño Antonioli
mpatinopucp.pe
mailto:mpatino@pucp.pemailto:mpatino@pucp.pe
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EstadísticaIn!erencial
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"esiones # $ %&'(Estimación de Par)metros'Estimación Puntual*
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Al finalizar esta sesión, el alumno:1. Comprende el foco de la Estadística Inferencial, así
como su aplicabilidad.
2. Comprende las técnicas y conceptos clae referentes
al !uestreo aleatorio simple.". #tiliza los Estimadores puntuales como referencia
inferencial.
$. Comprende la aplicabilidad de las distribuciones
muestrales en el marco probabilístico.%. &econoce las aplicaciones del 'eorema del (ímite
Central como teorema fundamental de la Estadística.
O+,eti-os
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1. Introducción a laEstadística Inferencial
2. Introducción al !uestreo
aleatorio simple ) técnicas". Estimadores puntuales.
$. *istribuciones muestrales:
*istribuciones de la media
y proporción muestral.
%. 'eorema del (ímite Central.
Agenda
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+(a estadísticaes una ciencia
se-n la cualtodas las
mentiras seuelen rficos/
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uadro (n/cleo* del curso
M0E"12A 3n4 POB5AI67 374
Media
I7DIADO2
"8 98
r
"
:
9
;
<
Correlación
Desv. Est.
Varianza
Proporción
Estimadores puntuales o
Estadísticos
Par)metros
I7=E2E7IA
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M>todosEstadísticos
EstadísticaDescripti-a
EstadísticaIn!erencial
EstimaciónPrue+a de?ipótesis
Introducción a la Estadística In!erencial
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Po+lación Muestra
Estimador
Estimación
Po+lación
Introducción a la Estadística In!erencial0roceso de Estimación
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Por Intervalos
– Epresa la amplitud o
&ano de alores
dentro de la cual
pro+a+lemente seencuentra un
par)metro poblacional
Interalos deconfianza3
Puntual
– #n n/mero llamadopunto3 4ue se emplea
para estimar un
par)metro poblacional,p.e. media, arianza,
proporción muestral,
etc.
Introducción a la Estadística In!erencial'ipos de Estimación
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Estimación
Estimación
Puntual
Estimación
por Inter-alos
Introducción a la Estadística In!erencial'ipos de Estimación
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uadro (n/cleo* del curso
M0E"12A 3n4 POB5AI67 374
Media
I7DIADO2
"8 98
r
"
:
9
;
<
Correlación
Desv. Est.
Varianza
Proporción
Estimadores puntuales o
Estadísticos
Par)metros
I7=E2E7IA
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Estadística de !uestra 0armetro 0oblacional
Estimación Puntual
µ PoblacióndeMedia MuestradeMedia ⇒ x
σ PoblaciónEst.Des. MuestraEst.Des. ⇒ s
22 PoblaciónVarianza MuestraVarianza σ ⇒ s
p p PoblacióndeProporción MuestradeProporción ⇒
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E,emplo %:5e realizar un estudio sobre la potencia de arran4ue en frio de
baterías o acumuladores de 12 oltios para estimar el n/mero de-eces @ue un motor con desplaamiento de & plgC arrancar)antes de @ue !alle la +atería. #na muestra de $6 dispositios
seleccionados aleatoriamente dio los siuientes n-meros dearran4ues:
26 27 26 20 21 42 30 22
22 21 26 9 21 22 28 26
19 16 20 32 18 23 32 28
21 41 19 31 21 22 16 23
30 21 37 28 39 30 21 23
Estimación Puntual
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E,emplo 8:#n concesionario de una sucursal de comida rpida desea reunir informaciónsobre las utilidades anuales de poseedores actuales de fran4uicias. (a
eperiencia pasada suiere 4ue las utilidades estn normalmente distribuidas,
una muestra aleatoria de n712 sucursales produce estos datos de utilidades,
en miles de dólares, para el a8o inmediato anterior.
–9Cul es la estimación de la utilidad anual media de todas las sucursales confran4uicia
–9Cul es la estimación de la desiación estndar de las utilidades anuales
–Entre todos los concesionarios cual es la proporción de utilidades de mas de
%6,666 y de menos de 26,666 dólares
–90or 4ué desearía un concesionario obtener este tipo de información
%.88&& %&.&&& #%.&FC&& .#%8&&
8.HF&& H.C8&& H.88&& &.&F&&
#8.8&C&& #.&C&& #H.CFH&& #8.8CC&&
Estimación Puntual
Dar lautilida
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7aturalea destructi-a de alunas pruebas ino,resistencia de acero, semillas3
Imposi+ilidad física de reisar todos los interantes dela población.
El costo de estudiar a todos los interantes de lapoblación normalmente es pro;ibitio.
(o adecuado de los resultados de la muestra. 1iempo re4uerido para entreistar a toda la población.
Estimación Puntual90or 4ué muestrear la población
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DI=E2E71E" M0E"12A" OA"IO7A7 DI=E2E71E" VA5O2E" DE5 E"1IMADO2
n1
n2
n"
nm
POB5AI67374
PA2ÁME12O.
.
.
.
Estimación Puntual0armetro y Estimador
E"1IMADO2P0710A5
1 x
2 x
m x
3 x
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POB5AI67374
M0E"12A 3n4
1>cnicas deMuestreo
Estadística In!erencial
Estimador '
Par)metro ' µ J Error de muestreo o "E"GO
Estimación Puntual0armetro y Estimador
x
µ ˆ
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Muestreo
7o Pro+a+ilístico Pro+a+ilístico
5elección a
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=o ;ay un +meb
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E@uipro+a+ilidad: Cada elemento de lapoblación tiene la misma probabilidad de ser
incluido en la muestra. #so de n-meros aleatorios &i o #i3
Estimación Puntual!uestreo Aleatorio 5imple
Si tiene un coefciente devariación alto no es posible.
Un numero aleatorio es unavariable que varia entre cero yuno que todos tienen laprobabilidad de salir.
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5ista de lientes
Muestra Aleatoria
Estimación Puntual!uestreo Aleatorio 5imple
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%F%#88C# 8&FHH# 88%C
%&FF8 H8#F&FH# #F%%%F8
%%8&HHFF C&H8 %8%8#C
HFHHH FCF%&H #H&F8#%C
&#F8&F C&H8 8&C#F#C%%
1a+la de7/merosAleatorios
Estimación Puntual'abla de =-meros Aleatorios
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Diapositiva 24
Estimación Puntual Aleatorios en Ecel
7A(EA'>&I>3 7A(EA'>&I>.E='&E?alor mínimo, ?alor mimo3
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(os interantes de la población se ordenan. 5e selecciona al azar un punto de inicio.
5elección dentro de un inter-alo uni!orme medidocon respecto al tiempo, orden o al espacio. Cada elemento tiene iual oportunidad de ser
seleccionado.
=o debe emplearse si ;ay un patrón determinado enla población.
Estimación Puntual!uestreo Aleatorio 5istemtico
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1 2@ %1 @
2 2 %2
" 2B %" B$ 2 %$
% "6 %% B6
@ "1 %@ B1
"2 % B2
B "" %B B"
"$ % B$
16 "% @6 B%
11 "@ @1 B@12 " @2 B
1" "B @" BB
1$ " @$ B
1% $6 @% 6
1@ $1 @@ 1
1 $2 @ 2
1B $" @B "
1 $$ @ $
26 $% 6 %
21 $@ 1 @
22 $ 2
2" $B " B
2$ $ $
2% %6 % 166
7 J %&&
"e desea una muestra n J 8&
7Kn J F
Escoger un n/mero aleatorio de %F'"eleccionado'
Empear con el $ escoger cada@uinto n/mero
Estimación Puntual!uestreo 5istemtico
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H % %#
F %H 8& # % 8%
C %& %F 88
8 %% % 8C% %8 %C 8
5elección cada tres comenzando en el 1.
Estimación Puntual!uestreo 5istemtico
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(a población es diidida en grupos relatiamenteLomog>neos estratos3 con +a,o V.
5elección aleatoria de elementos del estrato.
Cantidad proporcional al estrato o con pesos. Cada rupo tiene una pe4ue8a ariación dentro de si
mismo, pero ;ay una amplia ariación entre los rupos.
Estimación Puntual!uestreo Aleatorio Estratificado
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POB5AI67 E"12A1O"
M0E"12A
Estimación Puntual!uestreo Aleatorio Estratificado
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(a población se diide en racimos cl-sters3
5eleccionamos una muestra aleatoria deestos racimos.
Day una ariación considerable dentro de
cada rupo, pero los rupos son
esencialmente similares entre si.
Estimación Puntual!uestreo Aleatorio de &acimo
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POB5AI67
2AIMO"
M0E"12A
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Breade C&N
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Distribución que consta de
una lista de todas las
medias muestrales posibles
de un tamaño de muestradado y la probabilidad
asociada con cada media
muestral.
Si n/!"."#$ % aplicar
&CP&
Emplear S si n'("$ o si es
normal.
Estimación Puntual*istribución !uestral de !edias
Media
ErrorEstandar
n
N n
N
S
n
N n
N
x
x
xS
µ
σ
µ
σ
=
= −
−
= −−
1
1
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E,emplo C:
'ama8o de la 0oblación: =7$
?ariable aleatoria
)* Edad de las personas
?alores de )*
&ano: 1B, 26, 22, 2$ A8os
A
B
D
Estimación Puntual*istribución !uestral de !edias
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VA2IAB5E A5EA1O2IA P2OBABI5IDAD
?ariable Aleatoria: ?ariable J Edad de las personas ?alores de la ?ariable 1B, 26, 22, 2$3.
Estimación Puntual*istribución !uestral de !edias
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DistribuciónUniorme
.C
.8
.%
& A B D 3%4 38&4 3884 384
P34
Parámetros de laPoblación
Estimación Puntual*istribución !uestral de !edias
( )
1
2
1
18 20 22 2421
4
2.236
N
i
i
N
i
i
X
N
X
N
µ
µ
σ
=
=
=
+ + += =
−
= =
∑
∑
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1 !uestras "#$reempla%o
!edia de cadamuestra
Estimación Puntual*istribución !uestral de !edias
'odas las muestras posibles de tama8o n72
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Estimación Puntual*istribución !uestral de !edias
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*istribución de las !edias de las !uestras
1 !edias de!uestras
1B 1 26 21 22 2" 2$&
.%
.8
.C
Distribución delas medias de las
muestras
Estimación Puntual*istribución !uestral de !edias
( ) P X
X
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Diapositiva 4&
0armetros de la *istribución !uestral o de !uestreo
Estimación Puntual*istribución !uestral de !edias
( )
( ) ( ) ( )
1
2
1
2 2 2
18 1 1 2421
16
18 21 1 21 24 211.!8
16
N
i
i
X
N
i X i
X
X
N
X
N
µ
µ
σ
=
=
+ + + += = =
−=
− + − + + −= =
∑
∑
'
'
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1B 1 26 21 22 2" 2$&
.%
.8
.C
Distribución de!uestreo
n ( 2
A B D 3%4 38&4 3884 384
&
.%
.8
.C
Población$ ( 4
3Error Est)ndar4
omparación de la Po+lación con la Distri+ución Muestral de Medias
Estimación Puntual*istribución !uestral de !edias
21 2.236 µ σ = = 21 1.!8 X X
µ σ = =
( ) P X ( ) P X
X X
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0ropiedades de la *istribución de !uestreo
• (a media de la distribución de muestreo es iual a la
media de la población
F El error est)ndar de la distribución de muestreo esiual a la desiación estndar de la población entre la
raíz cuadrada de n
Estimación Puntual*istribución !uestral de !edias
µ µ = x
n x
σ σ =
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x x
x x
Distri+ución de las muestras
Po+lación
σ
omparación de la Po+lación con la Distri+ución Muestral de Medias
Estimación Puntual*istribución !uestral de !edias
Distri+ución de Muestreode la Media
µ +
σ
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Distri+ución de la Po+lación $ Distri+ución de Muestreo de la Media
J %&&
Distri+ución de muestreo de mediasde F elementos 3nJF4
Distri+ución de la po+lación
Estimación Puntual*istribución !uestral de !edias
2!
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7o "esgada
Propiedadesde la
Distri+ución deMuestreo
Estimación Puntual*istribución !uestral de !edias
X
( ) f X
x µ µ
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Muestreo de Po+laciones 7ormales
)endencia"entral
Dispersión
Distribución de!uestreo
Distribución de laPoblación
Estimación Puntual*istribución !uestral de !edias
X !0 X
µ =
4
! X
n
σ
=
=
16
2.! X
n
σ
=
=
!0 µ =
10σ =
n x
σ σ =
µ µ = x
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)endencia"entral
Dispersión
Distribución de!uestreo
Distribución de laPoblación
Po+laciones 7o 7ormales
Estimación Puntual*istribución !uestral de !edias
X !0 X
µ =
4
! X
n
σ
=
=
30
1.8 X
n
σ
=
=
!0 µ =
10σ =
n x
σ σ = µ µ = x
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>b aplicar C0.
Estimación Puntual*istribución !uestral de la 0roporción
1
"1#
"1#"1#
$
"#
−−−=
−≈−=
==
===
N
n N
n
p p
n
p p
n
N
k p
n
x p
p
p
p p E
σ
σ
µ
π π
π
π
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Di-erencia entre
dos medias muestrales
Di-erencia entre
dos proporciones
muestrales
Estimación Puntual*istribución de muestreo de la diferencia
de dos estadísticos independientes
( )
n
q p
n
q p
p p
nn
p p
p p
x x
x x
2
22
1
11
21"#
2
2
2
1
2
1
21"#
21
21
21
21
+=
−=
+=
−=
−
−
−
−
σ
µ
σ σ σ
µ µ µ
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Conforme
aumenta el
tamaño de lamuestra,
la forma de
la
distribución
se vuelve
más normal.
P r o + a + i l i d a d
n = 8
P r o + a + i l i d a d
n = 20
P r o + a
+ i l i d a d
n =
P r o + a + i l i d a d
n = 2 E!ecto del tamaño de la muestra
Estimación Puntual*istribución !uestral de !edias
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51/73
"onormeseincrementa
el tama*ode lamuestra
'adistribuciónde
muestreode la mediaseapro+ima a
la normal.
Estimación Puntual'eorema de (ímite Central o de *istribución =ormal de !edias3
X
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52/73
El error estndar es la base de la inferencia de la media4ue no se conoce3 de una población.
J5i la población es normal, entonces la distribución de
medias también lo es. 5i la población no es normal, ladistribución de muestreo de lasmedias se aproima a la normal conforme aumente eltama8o de la muestraJ
0odemos usar la *istribución =ormal :
5i n G "6 y también cuando n H 6.6%=,
5i nKL G % y también cuando n1ML3 G %.
Estimación Puntual'eorema de (ímite Central o de *istribución =ormal de !edias3
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53/73
0ara la mayoría de las distribuciones, nG "6
0ara distribuciones casi simétricas, nN1%
0ara la población distribuida normalmente, la
distribución de muestreo de la media siempre
est normalmente distribuida.
Estimación Puntual'eorema de (ímite Central o de *istribución =ormal de !edias3
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54/73
Estimación Puntualactor de Corrección por 0oblación inita para la !edia
0!.0 % &uando >
n
1'
−−=
N n N
n x σ σ
N
n
n x −= 1'
σ σ
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55/73
Estimación Puntualactor de Corrección por 0oblación inita para la 0roporción
0!.0 % &uando >n
1'"1#
−
−−
= N
n N
n
p p pσ
N n
n p p
p −−= 1'"1#σ
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56/73
Clculo del C0 para diersos n con =71666.
n nK7 =P=
16 6.616 6.%%
2% 6.62% 6.B
%6 6.6%6 6.%2
166 6.166 6.$2
266 6.266 6.B$%66 6.%66 6.6%
Estimación Puntualactor de Corrección por 0oblación inita
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57/73
E,emplo :#na ciudad tiene 26 tiendas de una cadena de iual tama8o.
(a desiación estndar de la rotación de personal en un a8o
es de %. 5i tomamos una muestra de % tiendas, sin
reemplazo, determine el error estndar de la media.
!ado"
# = 20
σ J HFn = $
Estimación Puntual'eorema de (ímite Central o de *istribución =ormal de !edias3
1'
−
−=
N
n N
n x
σ σ
"888!.0#"!4.33#120
!20'
!
(!×=
−
−= xσ
8011.2= xσ
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58/73
Distribución de !uestreo
E,emplo F: *e una población infinita con media iual a B y desiaciónestndar iual a " se etrae una muestra de "@ elementos. 9Cul es laprobabilidad 4ue la media de dic;a muestra esté entre .@ y B.$
.@ B.$
Estimación Puntual'eorema de (ímite Central o de *istribución =ormal de !edias3
X
"4.8)P#(.6*&alcular
36n 3 8
8/17/2019 Sesiones 9 y 10 - Est. Punt.
59/73
Valor Q para Distri+ución Muestral de Medias
Estimación Puntual'eorema de (ímite Central o de *istribución =ormal de !edias3
σ
µ −=
x z
n
x z
σ
µ −=
8/17/2019 Sesiones 9 y 10 - Est. Punt.
60/73
Distribución $ormal
,stándar
M6.B 6.B
Estimación Puntual'eorema de (ímite Central o de *istribución =ormal de !edias3
1 Z σ =
Z 0 Z µ =
"4.8)P#(.6*&alcular
36n 3 8
8/17/2019 Sesiones 9 y 10 - Est. Punt.
61/73
E,emplo :5upona 4ue el @6O de todos los peruanos aprueban la forma en 4ue su
0residente mane
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Distribución de Muestreo
6.
Estimación Puntual'eorema de (ímite Central
X
"(.0 pP#*&alcular
0.( p 100n 04.0 6.0
>
====== p p
p σ π µ
6.0= p µ
+"(.0 pP# =>
04.0"1#
6.0"#
=−=
===
n
p p p
p p E
σ
µ π
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Valor Q para Distri+ución Muestral de proporción
Estimación Puntual'eorema de (ímite Central o de *istribución =ormal de !edias3
σ
µ −=
x z
p
p p
z σ
µ −=
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Distribución $ormal,stándar
2.6$
Es poco pro+a+le @ue en una muestra de %&& peruanos se encuentre @ueel H&R aprue+e el mane,o económico del Presidente.
Estimación Puntual'eorema de (ímite Central o de *istribución =ormal de !edias3
1 Z σ =
Z 0 Z µ =
04.204.0
6.0(.0(.0
=−
⇒ z
020(.0(3.01"04.2P# =−=> z
"(.0 pP#*&alcular
0.( p 100n 04.0 6.0
>
==== p p
σ µ
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E,emplo H:
#na inestiación de mercados plantea realizar una encuesta para
estudiar las preferencias familiares de una nuea mante4uilla. 5e desearía
basar la encuesta en por lo menos %66 familias 4ue consuman mante4uilla
al menos ocasionalmente. Cómo se desconoce cuales son las familias
4ue consumen mante4uilla, se deber etraer una muestra
suficientemente rande como para obtener dentro de ella %66 familias 4ue
consuman mante4uilla. 5e supone 4ue por lo menos el @6O de las
familias consumen mante4uilla. Con base en esta creencia se decidió 4ue
una muestra de 1666 familias debería ser suficiente.
13 9Cul es el n-mero esperado de familias consumidoras de
mante4uilla en la muestra
23 9Cul es la probabilidad de 4ue se obtenan menos de %66 familias
consumidoras de mante4uilla
Estimación Puntual'eorema de (ímite Central
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!ado"
n = %000
& = *
µ &= 0.(
& = 0.$
El n/mero esperado J estimación puntual
Estimación Puntual'eorema de (ímite Central
1
"1#
"1#
−−−=
−=
N
n N
n
p p
n
p p
p
p
σ
σ
-ailias600)10000.6np ==
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Distribución de Muestreo
6.%
Estimación Puntual'eorema de (ímite Central
X
"!.0 pP#*&alcular
0.! p 1000n + 6.0
<
====== p p
p σ π µ
6.0= p µ
+"!.0 pP# =<
01!4.01000
"6.01#6.0
"1#
=−=
−=
σ
σ
p
pn
p p
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Distribución $ormal,stándar
M@.$%%
5a pro+a+ilidad es mu$ pe@ueña es casi seguro @ue en las %&&& !amilias se
encuentren m)s de F&& @ue consuman mante@uilla.
Estimación Puntual'eorema de (ímite Central
4!!(.601!4.0
6.0!.0!.0
−=−⇒ z
1138!.!"4!!(.6P# −=−< E z
"!.0 pP#*&alcular
0.! p 1000n 01!4.0 6.0
<
==== p p
σ µ
1 Z σ =
Z 0 Z µ =
1138!.!"!.0 pP# −=< E
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E,emplo : En un muestreo al azar de 1666 familias en el distrito ASC, sedeterminó 4ue @
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Distribución de Muestreo
6.6@
Estimación Puntual'eorema de (ímite Central
X
"06.0 pP#*&alcular
0.06 p 1000n + 1.0
<
==== p p
σ µ
1.0= p µ +"06.0 pP# =<
0048.01000
".0#1.0
"1#
1.0"#
==
−=
====
σ
σ
µ π
p
p
p p
n
p p
p E
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Distribución $ormal
,stándar
M6.$21
De acuerdo con la pro+a+ilidad Lallada3no es pe@ueña4 podemos decir @ue elresultado de la muestra es consistentecon el supuesto inicial.
Estimación Puntual'eorema de (ímite Central
1 Z σ =
Z 0 Z µ =
421.00048.0
1.006.006.0
−=−
⇒ z
3368.0"421.0P# =−
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%
A practicarW
E t dí ti
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Estadística
Diplomatura de Estudio enGestión de Operaciones VI
Ing. MBA Miguel Ángel Patiño Antoniolimpatinopucp.pe
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