Soutenance de TER Ensimag 2A Tuteur : Zoltán SZIGETI€¦ · Soutenance de TER Ensimag 2A. Plan...

Elève : Yuefei HUANG

Tuteur : Zoltán SZIGETI

Soutenance de TER Ensimag 2A

Plan Finance

Présentation du problème

Théorie des graphes

Résolution du problème

Extension du problème

Conclusion

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Finance Marché des changes:

24/24h

Un marché qui se base sur la confiance

pas de structure centralisée

la clé d’un ordre: prix

Arbitrage

Une stratégie pour avoir un gain de manière certaine

Profiter d’incohérence de prix

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Arbitrage sur le marché des changesIl y a deux types principaux d’arbitrage :

Arbitrage sur le taux des changes

Exemple : 1 Euro contre 10 Yuan à Shanghai et

1 Euro contre 9.5 Yuan à Paris

Arbitrage sur le taux d’intérêt

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Exemple

un tableau de taux des changes réels fait le 29 avril, 2010

Euro-Yuan-CHF-Euro => on gagne € 0. 00000005 par Euro.

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à :

de: Euro CHF Forint Yuan

Euro ---- 1.43485302 268.265533 9.04771981

CHF 0.69693549 ---- 186.963773 6.30567709

Forint 0.00372765 0.00534863 ---- 0.03372673

Yuan 0.11052509 0.15858725 29.6500708 ----

Problème

Y-a-t il un moyen efficace à détecter l’existence d’un arbitrage sur le marché des changes ?

Si oui, comment ？

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Existe-il ??

Théorie des graphes

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-2

1

2

1 0Graphe orienté

Circuits

Coûts sur les arcs

Circuit absorbant

Modélisation du problèmeSoit une suite de devises .

Soit le taux des changes entre et .

Le problème revient à chercher une suite de devises tq:

.

.

Modèle Sommet : devise Arc : change Coût : -log(ri,j)

à chercher un circuit absorbant.

Résolution algorithme de Floyd et Warshall

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Exemple

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Retour à la finance: Arbitrage en général

Théorème :

Il existe une mesure de probabilité risque neutre

il n’y a pas d’arbitrage.

Pour le démontrer…

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Application de la Recherche Opérationnelle

Cas spécial : réseau avec circuitsSoit (G, c) un réseau. Soient A la matrice d’incidence de G et b le vecteur nul.

Minimiser : z = c * x

[P] Sous : A x = b

x ≥ 0

Remarque : il existe un circuit absorbant dans (G,c) si et seulement si le minimum est moins infini.

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Cas spécial du théorème de Goldman et Tucker

Minimiser : z = c * x[P] Sous : A x = 0

x ≥ 0

Maximiser : w = 0 * y[D] Sous : y(v) – y(u) ≤ c(uv)

Théorème :S’il existe une solution réalisable de [D], alors il existe une paire de solutions optimales x de [P] et y de [D] tqsi y(v) – y(u) = c(uv), alors x(uv)>0 pour tout arc uv.

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Arc serré

Idée de démonstration Toute solution réalisable de [D] est optimale.

x, y solutions optimales quelconques de [P] et de [D].

On change y tq chaque arc serré appartienne à un circuit de coût nul (en utilisant l’ordre topologique du graphe réduit).

On change x tq pour chaque arc serré uv, on ait x’(uv)>0 (en utilisant que x+χC reste solution optimale de [P] si C circuit de coût nul).

Algorithmique

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Conclusion et question démonstration d’un cas spécial (sur les graphes) du

théorème de Goldman et Tucker.

l’algorithme pour trouver un tel couple de solutions optimales dans ce cas.

La recherche est un métier amusant mais très difficile.

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Merci pour votre attention!

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