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SYSTEMES LINEAIRES

P. Pansu

September 13, 2004

1 Motivation

On rencontre des systemes lineaires a la fois dans la vie courante et dans des problemes posespar les sciences.

2 Objectif

Savoir resoudre (i.e. decrire l’ensemble des solutions) a la main un systeme lineaire de petitetaille.

Savoir conduire une discussion lorsque le systeme depend d’un parametre.Savoir interpreter geometriquement les resultats obtenus.

3 Generalites

a. Definition : systeme lineaireUne equation lineaire a n inconnues s’ecrit

a1x1 + a2x2 + · · ·+ anxn = b

ou a1, . . . , an sont les coefficients de l’equation, b est le second membre, x1, . . . , xn designent lesinconnues.

b. ExempleL’equation y = 2x − 1 represente une droite affine dans le plan. C’est une equation lineaire a

deux inconnues, car on peut l’ecrire

2x1 − x2 = −1

ou on a simplement change les noms des inconnues : x = x1 et y = x2.

c. ExempleL’equation x + 2y − 3z = 2 represente un plan affine dans l’espace. C’est une equation lineaire

a trois inconnues.

d. Definition : systeme lineaire (suite)Un systeme lineaire de p equations a n inconnues consiste a se donner p equations lineaires

ayant les memes inconnues x1, . . . , xn. On range les coefficients des p equations dans un tableaurectangulaire a p lignes et n colonnes appele matrice du systeme, et les second membre en unecolonne appelee second membre du systeme. Le systeme de matrice A et de second membre B peut

s’ecrire symboliquement AX = B ou X designe la colonne des inconnues X =

x1...

xn

.

e. Exemple

1

Chercher l’intersection des droites affines D d’equation y = 2x− 1 et D′ d’equation y = −x+2revient a resoudre le systeme lineaire{

2x− y = 1x + y = 2 .

La matrice du systeme est(

2 −11 1

)et le second membre

(12

).

f. ExempleChercher l’intersection des plans affines P d’equation x+2y−3z = 2 et P ′ d’equation 2x−y+z =

3 revient a resoudre le systeme lineaire{x + 2y − 3z = 2x + y + z = 3 .

La matrice du systeme est(

1 2 −31 1 1

)et le second membre

(23

).

g. Definition : systeme lineaire (suite et fin)Une solution d’un systeme de p equations a n inconnues, c’est un n-uplet (x1, . . . , xn) de nom-

bres qui satisfont simultanement les p equations du systeme. Resoudre le systeme, c’est determinerl’ensemble de toutes ses solutions, un sous-ensemble de Rn. Deux systemes lineaires sont ditsequivalents s’ils possedent les memes solutions.

h. ExempleLe systeme {

2x− y = 1x + y = 2

possede une unique solution (1, 1). C’est le point d’intersection des droitres D et D′. Le systeme{x + 2y − 3z = 2x + y + z = 3 .

possede une infinite de solutions. En effet, l’intersection des plans P et P ′ est une droite affine,qui possede une infinite de points. On decrit une droite affine de facon parametrique. Dans unedroite affine, il y a exactement une direction pour se deplacer, un “degre de liberte”. La droite estbalayee par un point dependant d’un parametre λ. Ici, les solutions sont les points de la forme x = 4− 5λ

y = −1 + 4λz = λ

,

ou λ decrit R.

4 Sous-espaces vectoriels et affines

a. Definition : sous-espace vectorielUn sous-ensemble E de Rn est un sous-espace vectoriel s’il est stable par combinaison lineaire,

i.e. si pour tous v, v′ ∈ E et λ, λ′ ∈ R, le vecteur λv + λ′v′ est encore dans E.

b. ExempleUne droite passant par l’origine dans le plan ou l’espace est un sous-espace vectoriel.

c. Exemple fondamental

2

L’ensemble des solutions d’un systeme lineaire homogene, i.e. dont le second membre est nul,est un sous-espace vectoriel.

On cherche maintenant a definir le “nombre de degres de liberte” dans un espace vectoriel, i.e.le nombre de parametres dont depend un element du sous-espace. Une representation parametriqued’un sous-espace vectoriel E de Rn prend la forme suivante : v1, . . . , vd sont des vecteurs de E.Un vecteur v est dans E si et seulement si il existe des nombres λ1, . . . , λd uniques tels que

v = λ1v1 + · · ·+ λdvd.

d. Definition : baseUne famille (v1, . . . , vd) de vecteurs d’un sous-espace vectoriel E est une base de E si tout vecteur

v possede une ecriture unique v = λ1v1 + · · ·+ λdvd comme combinaison lineaire de v1, . . . , vd.

e. ExempleConsiderons la droite D d’equation y = 2x dans le plan R2. C’est un sous-espace vectoriel.

Soit v1 = (1, 2). On remarque que tout vecteur v de D s’ecrit de maniere unique v = (x, y) =(x, 2x) = x(1, 2) = xv1. Par consequent, v1 est une base de D.

Theoreme 1 Tout sous-espace vectoriel E de Rn admet une base. Le nombre d’elements de labase est le meme pour toutes les bases.

f. Definition : dimensionLa dimension d’un sous-espace vectoriel E de Rn est le nombre d’elements d’une base de E.

Par convention, la dimension du sous-espace vectoriel {0} vaut 0. Un sous-espace vectoriel dedimension 1 s’appelle une droite vectorielle. Un sous-espace vectoriel de dimension 2 s’appelle unplan vectoriel. Un sous-espace vectoriel de dimension n− 1 s’appelle un hyperplan vectoriel.

g. Proprietes de la dimension

Proposition 1 Soient E et F deux sous-espaces vectoriels de Rn. Si E est contenu dans F (noteE ⊂ F ), alors dimE ≤ dimF , et l’egalite n’a lieu que si E = F .

h. MoraliteDecrire un sous-espace vectoriel, c’est en donner une base. Etant donne un systeme lineaire

homogene (S), a la question “determiner les solutions de (S)”, la reponse consiste a calculer unebase de l’espace des solutions.

i. ExempleConsiderons le systeme homogene{

x + 2y − 3z = 0x + y + z = 0 .

En eliminant x entre les deux equations, on arrive au systeme equivalent{x + 2y − 3z = 0

y − 4z = 0 ,

puis a {x = −5zy = 4z

.

Autrement dit, toute solution du systeme s’ecrit uniquement v = (x, y, z) = (−5z, 4z, z) =z(−5, 4, 1), donc l’ensemble des solutions est le sous-espace vectoriel de base v1 = (−5, 4, 1).

j. Definition : sous-espace affine

3

Soit E un sous-espace vectoriel de Rn, et v0 ∈ Rn. Le sous-espace affine F passant par v0 etde direction E est l’ensemble des vecteurs de la forme v0 + v ou v decrit E. Sa dimension est cellede E, par definition. Les points {v} sont des sous-espaces affines de dimension 0. On peut parlerde droites, plans et hyperplans affines.

k. ExempleLa droite affine d’equation y = 2x − 1 dans le plan R2 est le sous-espace affine passant par

v0 = (0,−1) et dont la direction est la droite vectorielle de base v1 = (1, 2).

Theoreme 2 Soit (S) un systeme lineaire, (H) le systeme homogene associe (meme matrice, maissecond membre nul). Soit v0 une solution particuliere de (S). Alors l’ensemble S des solutions de(S) est le sous-espace affine passant par v0 et de direction l’ensemble E des solutions de (H).

Si (v1, . . . , vd) est une base de E, l’ensemble S admet la representation parametrique suivante

S = {v0 + λ1v1 + · · ·+ λdvd ; λ1, . . . , λd ∈ R}.

Preuve. Si v est solution de (S), alors v′ est solution de (S) si et seulement si v′− v est solutionde (H).

l. MoraliteSoit (S) un systeme lineaire. A la question “determiner les solutions de (S)”, la reponse consiste

a donner une solution particuliere et une base de l’ensemble des solutions du systeme homogeneassocie.

5 Systemes echelonnes

Ce sont les systemes pour lesquels la dimension de l’ensemble des solutions saute aux yeux.

a. Definition : systeme triangulaireUn systeme lineaire est triangulaire s’il a autant d’inconnues que d’equations et si tous les

coefficients de sa matrice situes au-dessous de la diagonale sont nuls.

b. ExempleLe systeme x + 2y − z = 4

3y − z = −1−2z = 1

est triangulaire. Ses coefficients diagonaux 1, 3 et −2 sont non nuls. On voit a vue d’oeil que cesysteme possede une et une seule solution. En effet, la derniere equation determine uniquement z,puis la deuxieme donne y, et la premiere donne x.

Theoreme 3 Soit A une matrice triangulaire a coefficients diagonaux non nuls. Il existe unematrice triangulaire notee A−1 telle que, pour tout second membre B, l’unique solution du systemeAX = B soit X = A−1B.

c. Definition : systeme echelonneUn systeme lineaire est echelonne si sa matrice est formee d’une matrice triangulaire a co-

efficients diagonaux non nuls, a laquelle on a ajoute des colonnes (quelconques), puis des lignesidentiquement nulles. La taille du sous-systeme triangulaire s’appelle le rang du systeme.

d. ExempleLe systeme x + 2y − 3z = 3

y − 4z = −10 = 1

4

est echelonne, de rang 2. Il ne possede pas de solution, puisque la derniere equation n’est jamaissatisfaite.

Theoreme 4 Soit (S) un systeme lineaire de p equations a n inconnues. On suppose (S) eche-lonne, de rang q. Alors (S) possede des solutions (on dit que (S) est compatible) si et seulementsi les p− q dernieres composantes du second membre sont nulles. Si c’est le cas, alors l’ensembledes solutions de (S) est un sous-espace affine de Rn de dimension n− q. On obtient une solutionparticuliere v0 en imposant que les n−q dernieres inconnues soient nulles et en resolvant le systemetriangulaire obtenu. On obtient une base de l’ensemble des solutions du systeme homogene associe(H) en ajoutant a (H) des equations qui expriment que les n− q dernieres inconnues sont nullessauf une qui vaut 1 et en resolvant le systeme triangulaire homogene obtenu.

Preuve. La condition de compatibilite est evidemment necessaire. Supposons la satisfaite. Onpeut donc oublier les p− q dernieres equations, qui s’ecrivent 0 = 0.

Ajoutons les equations xq+1 = 0, . . . , xn = 0. On obtient un systeme de n equations a ninconnues, triangulaire a coefficients diagonaux non nuls. Il possede une unique solution v0. C’estune solution particuliere de (S).

Considerons le systeme homogene (H) associe a (S). Etant donnes des nombres λq+1, . . . , λn,ajoutons les equations xq+1 = λq+1, . . . , xn = λn. On obtient un systeme de n equations a ninconnues, triangulaire a coefficients diagonaux non nuls, note A′X = B′. Il possede une uniquesolution X = A′−1B′. Pour i = q + 1, . . . , n, soit Bi la colonne dont seule la i-eme composante estnon nulle est vaut 1. Le vecteur vi suggere par l’enonce est vi = A′−1Bi. Soit v = (x1, . . . , xn) unesolution de H. Alors

A′v = (0, . . . , 0, xq+1, . . . , xn) = xq+1Bq+1 + · · ·+ xnBn

donc

v = A′−1(xq+1Bq+1 + · · ·+ xnBn) = xq+1vq+1 + · · ·+ xnvn

et cette ecriture est unique. Par consequent, (vq+1, . . . , vn) est une base de l’espace des solutionsde (H).

e. ExerciceSuivant la valeur du parametre reel a, determiner le rang, decider si l’ensemble des solutions

du systeme (Sa) ci-dessous est non vide, et lorsque que c’est le cas, donner sa dimension.

(Sa)

x + 2y − 3z = 3(1− a)y − z = −1

az = a(a− 1)

f. SolutionLe systeme (Sa) est triangulaire. Si a est distinct de 0 et de 1, les coefficients diagonaux sont

non nuls, donc le rang est 3 et le systeme (Sa) possede une solution unique.Si a = 0, le systeme (S0) est echelonne de rang 2. La derniere equation, 0 = 0, est compatible,

donc (S0) possede des solutions. D’apres le theoreme 4, l’ensemble des solutions de (S0) est dedimension 1, c’est une droite affine.

Si a = 1, le systeme (S1) n’est pas echelonne. Neanmoins, il suffit de changer l’ordre desinconnues et d’ajouter la deuxieme ligne a la derniere pour obtenir un systeme echelonne equivalenta (S1), x− 3z + 2y = 3

−z = −10 = 1

.

Ce systeme n’a pas de solution, car la derniere ligne est incompatible, donc (S1) n’a pas de solution.

5

6 Methode du pivot de Gauss

La methode employee pour resoudre un systeme lineaire quelconque consiste a le transformer enun systeme equivalent de plus en plus simple, jusqu’a ce qu’il soit echelonne.

a. Operations elementairesIl s’agit des operations suivantes

1. Ajouter a une equation une combinaison lineaire des autres equations.

2. Reecrire les equations en changeant l’ordre d’apparition des inconnues.

3. Permuter les equations.

4. Multiplier une equation par un nombre non nul.

Proposition 2 Par operation elementaire, on transforme un systeme lineaire en un systemeequivalent. Pour tout systeme lineaire (S), il existe une suite d’operations elementaires qui ra-menent (S) a un systeme echelonne.

Preuve. On construit le systeme echelonne ligne par ligne, i.e. apres la i-eme etape, les ipremieres lignes ne changeront plus.

La premiere etape consiste a choisir une des p equations et une des n inconnues dont le coefficientdans cette equation, appele pivot, est non nul (les calculs sont simplifies s’il vaut 1, cela guide lechoix). On permute equations et inconnues de facon a mettre le pivot en haut a gauche dusysteme. Puis on ajoute aux autres equations un multiple de la premiere equation de facon aannuler le premier terme de chaque equation.

L’etape suivante consiste a faire le meme travail dans le sous-syteme obtenu en ignorantla premiere equation et la premiere inconnue (qui n’apparaıt que dans la premiere equationdesormais).

Le procede s’arrete lorsqu’on ne peut plus trouver de pivot dans aucune des equations restantes,i.e. lorsqu’elles ont toutes un premier membre identiquement nul. Les coefficients diagonaux dusysteme (S′) obtenu sont les pivots successifs, ils sont non nuls par construction, donc (S′) estechelonne.

L’algorithme est plus facile a saisir sur un exemple.

b. ExerciceEchelonner le systeme suivant y + z = 1

x + y = 2x + z = 3

c. SolutionOn choisit comme premier pivot le coefficient de y dans la premiere equation. On elimine donc

y dans la deuxieme equation en lui retranchant la premiere. Il n’y a rien a faire sur la troisieme.Cela donne le systeme equivalent y + z = 1

x− z = 1x + z = 3

On choisit comme deuxieme pivot le coefficient de x dans la deuxieme equation. On elimine doncx dans la troisieme equation en lui retranchant la deuxieme. On obtient le systeme echelonne y + z = 1

x− z = 12z = 2

,

6

dont le rang vaut 3.

d. ExerciceSuivant la valeur du parametre reel a, echelonner le systeme (Sa) suivant

(Sa)

ax + 2y − 3z = 3(1− a)y − z = −1

az = a(a− 1).

e. SolutionComme la matrice du systeme (Sa) est triangulaire, si a est distinct de 0 et de 1, le systeme

est echelonne de rang 3.Si a = 0, on choisit pour pivot le coefficient de y dans la troisieme equation, et on obtient le

systeme echelonne y − z = −1−z = 50 = 0

de rang 2, compatible.Si a = 1, on choisit pour premier pivot le coefficient de x dans la premiere equation (aucune

manipulation a faire) puis le coefficient de z dans la deuxieme equation, qu’on ajoute a la derniere,ce qui conduit au systeme echelonne x− 3z + 2y = −1

−z = −10 = −1

de rang 2, incompatible.

f. ExerciceEchelonner le systeme suivant, en fonction du parametre a.

(Sa){

4ax + (a + 1)y + az = −1(a + 1)x + y + (1− a)z = −1 .

g. SolutionIl est prudent de choisir un pivot qui ne depend pas du parametre. On choisit le coefficient de

y dans la seconde equation. On ajoute a l’autre equation celle-ci multipliee par a + 1. Le systemeobtenu {

y + (a + 1)x + (1− a)z = −1(−a2 + 2a− 1)x + (−a2 + 3a− 1)z = a

.

est echelonne. En effet, si a 6= 1, alors −a2 +2a− 1 n’est pas nul. Si a = 1, le coefficient de x dansla seconde equation est nul mais celui de z n’est pas nul. Dans les deux cas, le rang vaut 2.

7 Resolution d’un systeme lineaire

a. MethodeOn echelonne le systeme au moyen d’operations elementaires sur les equations, comme decrit

au paragraphe precedent.D’apres le theoreme 4, lorsqu’il est non vide, l’ensemble des solutions d’un systeme lineaire

echelonne est un sous-espace affine qu’on decrit au moyen d’une solution particuliere v0 et d’unebase (v1, . . . , vd). Ces vecteurs s’obtiennent par resolution d’un systeme triangulaire de q equationsa q inconnues, ou q est le rang.

7

Voici comment on s’y prend. En divisant chaque equation non nulle par son pivot, on rameneles pivots a 1. En continuant avec des operations elementaires, on peut faire disparaıtre tous lescoefficients, sauf les pivots, ce qui donne le resultat cherche. Il vaut mieux expliquer le procede surdes exemples.

b. ExempleResolution du systeme y + z = 1

x + y = 2x + z = 3

.

On commence par echelonner. On obtient le systeme y + z = 1x− z = 12z = 2

.

On divise chaque equation par son pivot (ici, seule la troisieme equation est concernee), on trouve y + z = 1x− z = 1

z = 1.

Pour faire disparaıtre z des deux premieres equations, on ajoute (resp. retranche) la derniere lignea la deuxieme (resp. premiere). On trouve y = 0

x = 2z = 1

,

et le tour est joue.

c. ExerciceSoit a un parametre reel. Determiner l’intersection des trois plans affines P d’equation ax +

y − 3z = 3, Q d’equation −ax− ay + 2z = −4 et R d’equation a2x + ay = 3a2.

d. SolutionCela revient a resoudre le systeme ax + y − 3z = 3

−ax− ay + 2z = −4a2x + ay = 3a2

.

On echelonne. On choisit comme pivot le coefficient de y dans la premiere equation. On obtientle systeme equivalent y + ax− 3z = 3

(−a + a2)x + (2− 3a)z = −4 + 3a3az = −3a + 3a2

.

Si a 6= 0 et a 6= 1, le systeme est echelonne de rang 3. On divise chaque equation par son pivot,y + ax− 3z = 3x + 2−3a

−a+a2 z = −4+3a−a+a2

z = −1 + a.

On elimine les termes en z, y + ax = 3a

x = −6−2a+3a2

−a+a2

z = −1 + a

.

8

On elimine le terme en x de la premiere equation,y = −2+a

−a+a2

x = −6−2a+3a2

−a+a2

z = −1 + a

,

ce qui acheve la resolution. L’intersection des trois plans est reduite au point

(−6− 2a + 3a2

−a + a2,−2 + a

−a + a2,−1 + a).

Si a = 0, la premiere operation a deja conduit au systeme echelonne y − 3z = 32z = −40 = 0

.

Le systeme est compatible, de rang 2. L’ensemble des solutions est donc une droite affine. Pourtrouver une solution particuliere, on impose x = 0 et on resoud le systeme de 2 equations a 2inconnues restant, {

y − 3z = 32z = −4 ,

en divisant par les pivots et en eliminant z de la premiere equation,{y = −3z = −2 ,

D’ou la solution v0 = (0,−3,−2). Pour obtenir une base de l’espace vectoriel des solutions dusysteme homogene associe, on donne a x la valeur 1, et on resoud{

y − 3z = 02z = 0 ,

ce qui donne le vecteur v1 = (1, 0, 0). L’intersection des 3 plans, dans ce cas, est la droite passantpar v0, de vecteur directeur v1, qu’on peut representer parametriquement par

D = {( λ,−3,−2 ) ; λ ∈ R}.

Si a = 1, le systeme obtenu y + x− 3z = 3−z = −13z = 0

,

equivalent a y + x− 3z = 3−z = −10 = −3

,

est incompatible, l’intersection des 3 plans est vide.On constate que l’intersection des 3 plans consideres est en general un point, accidentellement,

i.e. pour des valeurs particulieres du parametre, vide ou une droite.

9

8 Rang

a. Definition : rang d’un systeme lineaireLe rang d’un systeme lineaire est le rang d’un systeme echelonne qui lui est equivalent. C’est

le meme pour un systeme et pour le systeme homogene associe. Il ne depend pas du proceded’echelonnage. Cela resulte du corollaire suivant du theoreme 4.

Corollaire 3 Pour un systeme lineaire homogene a n inconnues, de rang r, la dimension del’espace vectoriel des solutions est n− r.

b. ExempleConsiderons le systeme

(Sa)

(a + a2)x + (−a + 2a2)y + az + (−1 + a− a3)t = aax + (−1 + 2a)y + z − a2t = 1

(−1 + a)x + ay + z + (−1 + a2)t = 1 + a.

Pour connaıtre son rang, il suffit d’echelonner le systeme homogene associe. On choisit commepivot le coefficient de z dans la deuxieme equation. On obtient le systeme homogene equivalent z + ax + (−1 + 2a)y − a2t = 0

−x + (1− a)y + (−1 + 2a2)t = 0ax + (a− 1)t = 0

.

Comme il vaut mieux que les pivots ne dependent pas du parametre, on choisit comme pivot lecoefficient de x dans la deuxieme equation. On obtient le systeme homogene equivalent z + ax + (−1 + 2a)y − a2t = 0

x + (−1 + a)y + (1− 2a2)t = 0(a− a2)y + (−1 + 2a3)t = 0

.

Si a 6= 0 et a 6= 1, le coefficient de y dans la troisieme equation est non nul, donc le systeme estechelonne de rang 3. Si a = 0 ou a = 1, le coefficient de t dans la derniere equation n’est pas nul,et il suffit de changer l’ordre des termes en y et t pour revenir a un systeme echelonne. Dans tousles cas, le rang vaut 3.

c. Rang et compatibilite

Theoreme 5 Le rang d’un systeme lineaire de matrice A est egal a la dimension de l’espacevectoriel

{B ; le systeme AX = B est compatible}.

Preuve. Il suffit de le verifier pour un systeme echelonne de rang q. Le systeme avec secondmembre B est compatible si et seulement si les p − q dernieres composantes de B sont nulles.Il reste exactement q parametres libres, les q premieres composantes de B, donc le sous-espacevectoriel obtenu est de dimension q.

d. Definition : rang d’une famille de vecteursSoient v1, . . . , vk des vecteurs de Rn. Le sous-espace vectoriel engendre par v1, . . . , vk est

l’ensemble V ect(v1, . . . , vk) de toutes les combinaisons lineaires

λ1v1 + · · ·+ λkvk

obtenues lorsque λ1, . . . , λk decrivent R. Sa dimension est le rang de la famille v1, . . . , vk.

e. ExempleSi v1 = v2 = · · · = vk = 0, le rang vaut 0.

10

Si vi 6= 0, et tous les autres vecteurs vj sont proportionnels a vi, le rang vaut 1.Si parmi les vi, il existe deux vecteurs vj et vk non nuls et non proportionnels, alors le rang

vaut au moins 2, et vaut 2 si et seulement si tous les autres vecteurs sont dans le plan vectorielengendre par vj et vk.

f. ExerciceSoit a un parametre reel. Soient v1 = (1, 0,−1, 1), v2 = (0, 1, 1, 2) et v3 = (1 + a, 1, 0,−1) trois

vecteurs de R4. Donner des equations pour le sous-espace V ect(v1, v2, v3).

g. SolutionSoit v = (x′, y′, z′, t′) un vecteur quelconque de R4. Alors v ∈ V ect(v1, v2, v3) si et seulement si

le systeme xv1+yv2+zv3 = v est compatible. Pour faire apparaıtre les conditions de compatibilite,il suffit d’echelonner le systeme

x + (1 + a)z = x′

y + z = y′

−x + y = z′

x− 2y − z = t′

.

On choisit comme pivot le coefficient de x dans la premiere equation,x + (1 + a)z = x′

y + z = y′

y + (1 + a)z = x′ + z′

−2y + (−2− a)z = −x′ + t′

,

puis le coefficient de y dans la deuxieme equation,x + (1 + a)z = x′

y + z = y′

az = x′ − y′ + z′

−az = −x′ + 2y′ + t′

,

On ajoute la troisieme equation a la derniere,x + (1 + a)z = x′

y + z = y′

az = x′ − y′ + z′

0 = y′ + z′ + t′

.

Si a 6= 0, on trouve une seule condition de compatibilite, y′ + z′ + t′ = 0, qui est l’equation dusous-espace V ect(v1, v2, v3).

Si a = 0, le rang est 2, le sous-espace V ect(v1, v2, v3) est de dimension 2, il est defini par lesdeux equations y′ + z′ + t′ = 0 et x′ − y′ + z′ = 0.

h. Rang des colonnes

Theoreme 6 Soit (S) un systeme lineaire de matrice A. Le rang de (S) est egal au rang de lafamille de vecteurs formee par les colonnes de A.

Preuve. Soit X la colonne de composantes λ1, . . . , λk. Alors

AX = λ1v1 + · · ·+ λkvk

Par consequent, un vecteur v est dans V ect(v1, . . . , vk) si et seulement si le systeme AX = v estcompatible. D’apres le theoreme 5, la dimension de V ect(v1, . . . , vk) est egale au rang du systeme.

L’echelonnage donne une methode pratique pour extraire de toute famille v1, . . . , vk une basedu sous-espace vectoriel V ect(v1, . . . , vk).

11

i. ExempleConsiderons les quatre vecteurs suivants de R3, dependant d’un parametre reel a.

v1 =

a + a2

a−1 + a

, v2 =

−a + 2a2

−1 + 2aa

, v3 =

a11

, v4 =

−1 + a− a2

−a2

−1 + a2

.

L’echelonnage du systeme correspondant (effectue a l’exercice b ci-dessus) donne les informationssuivantes.

• Pour tout a, le rang de la famille v1, . . . , v4 vaut 3. Autrement dit, la famille engendre l’espaceR3 tout entier.

• Pour a 6= 0 et a 6= 1, les vecteurs v3, v1 et v2 constituent une base de V ect(v1, . . . , v4).

• Pour a = 0 ou a = 1, les vecteurs v3, v1 et v4 constituent une base de V ect(v1, . . . , v4).

En effet, si a 6= 0 et a 6= 1, l’echelonnage montre que le systeme

zv3 + xv1 + yv2 = v

admet une solution unique pour tout v, ce qui signifie que (v3, v1, v2) est une base de R3. Si a = 0ou a = 1, c’est le systeme

zv3 + xv1 + tv4 = v

qui admet une solution unique pour tout v.

9 Independance lineaire

a. Definition : independance lineaireSoient v1, . . . , vk des vecteurs de Rn. On dit que v1, . . . , vk sont lineairement independants si

dim(V ect(v1, . . . , vk) = k,

i.e. si (v1, . . . , vk) est une base du sous-espace qu’il engendre.

Proposition 4 v1, . . . , vk sont lineairement independants si et seulement si la seule combinaisonlineaire λ1v1 + · · ·+ λkvk qui vaut 0 est celle pour laquelle λ1 = · · · = λk = 0.

Preuve. Soit v ∈ Rn. Considerons le systeme lineaire x1v1 + · · · + xkvk = v. D’apres letheoreme 6, sont rang est dim(V ect(v1, . . . , vk)). D’apres le corollaire 3, dim(V ect(v1, . . . , vk)) = ksi et seulement si la dimension de l’espace des solutions du systeme homogene x1v1 + · · ·+xkvk = 0vaut 0, i.e., si et seulement si ce systeme n’admet que la solution triviale.

b. ExempleUn vecteur v1 est lineairement independant si et seulement si il est non nul.Deux vecteurs v1 et v2 sont lineairement independants si et seulement si ils sont non nuls et v2

n’est pas un multiple de v1. Dans ce cas, on parle aussi de vecteurs non colineaires.

c. ExerciceSoient v1 = (1, a, 0), v2 = (1, 1, a), v3 = (2, 1, a). Pour quelles valeurs de a ces vecteurs sont ils

lineairement independants ?

d. SolutionIl s’agit de voir quand le rang du systeme xv1 + yv2 + zv3 = 0, i.e. x + y + 2z = 0

ax + y + z = 0ay + az = 0

12

vaut 3. On l’echelonne en choisissant comme premier pivot le coefficient de x dans la premiereequation. Il vient x + y + 2z = 0

(1− a)y + (1− 2a)z = 0ay + az = 0

Si a 6= 0, on choisit le coefficient de y dans la derniere equation comme pivot. On obtient x + y + 2z = 0y + z = 0−az = 0

qui est echelonne de rang 3.Si a = 0, le systeme x + y + 2z = 0

y + z = 00 = 0

est echelonne de rang 2.On conclut que les vecteurs v1, v2 et v3 sont lineairement in dependants si et seulement si a 6= 0.

10 Operations sur les sous-espaces vectoriels

a. Definition : SommeL’intersection de deux sous-espaces vectoriels de Rn est un sous-espace vectoriel. La reunion

de deux sous-espaces vectoriels de Rn n’est pas un sous-espace vectoriel en general. Le plus petitsous-espace vectoriel contenant deux sous-espaces E et F s’appelle la somme de E et F . Il estnoteE + F et caracterise par

E + F = {v + w ; v ∈ E, w ∈ F}.

b. ExempleSoient v1 = (1, 1, 0) et v2 = (1, a, 0) deux vecteurs de R3 dependant d’un parametre reel a. Soit

D1 la droite vectorielle engendree par v1 et D2 la droite vectorielle engendree par v2. Leur somme

D1 + D2 = {λ1v1 + λ2v2 ; λ1, λ2 ∈ R} = V ect(v1, v2)

est un plan vectoriel si a 6= 1, et coıncide avec D1 si a = 1.Plus generalement,

Proposition 5 Soient E et F deux sous-espaces vectoriels de Rn. Soit v1, . . . , vk une base de Eet vk+1, . . . , vk+` une base de F . Alors E + F = V ect(v1, . . . , vk+`). En particulier, dim(E + F ) ≤dim(E) + dim(F ).

c. Formule pour la dimension

Theoreme 7 Soient E et F deux sous-espaces vectoriels de Rn. Alors

dim(E + F ) + dim(E ∩ F ) = dim(E) + dim(F ).

Preuve. Soit v1, . . . , vk une base de E et vk+1, . . . , vk+` une base de F . Alors

E + F = {v ∈ Rn ; le systeme x1v1 + · · ·+ xk+`vk+` = v est compatible}.

D’apres le theoreme 5, dim(E + F ) est egal au rang du systeme.

13

Si (x1, . . . , xk+`) est une solution du systeme homogene associe, alors le vecteur

u = x1v1 + · · ·+ xkvk = −(xk+1vk+1 + · · ·+ xk+`vk+`)

est dans E ∩ F . Pour chaque u ∈ E ∩ F , la solution (x1, . . . , xk+`) est unique, car elle est formeedes composantes de u dans les bases de E et F respectivement. Par consequent, la dimension del’espace des solutions est dim(E ∩ F ). D’apres le theoreme 4,

dim(E ∩ F ) = k + `− dim(E + F ).

d. ExempleSoient P et Q deux plans vectoriels dans l’espace R3. Si P 6= Q, alors P + Q 6= Q donc

dim(P + Q) ≥ 3. Necessairement, dim(P + Q) = 3. On en deduit que dim(P ∩ Q) = 1, i.e. quel’intersection de P et de Q est une droite.

e. Definition : somme directeDeux sous-espaces vectoriels E et F de Rn sont dits supplementaires, ou bien en somme directe,

note Rn = E ⊕ F , si E + F = Rn et E ∩ F = {0}.

Proposition 6 E et F sont supplementaires si et seulement si la reunion d’une base de E etd’une base de F est une base de Rn.

Du theoreme 7, il resulte que

Corollaire 7

Rn = E ⊕ F ⇔ E ∩ F = {0} et dimE + dimF = n.

f. ExempleDans le plan, deux droites vectorielles sont supplementaires si et seulement si elles sont dis-

tinctes.Dans l’espace R3, une droite D et un plan P sont supplementaires si et seulement si D n’est

pas contenue dans P .

11 Conclusion

Le rang d’un systeme lineaire de p equations a n inconnues est inferieur ou egal a p et a n.Generiquement, il vaut min{n, p}. Cela signifie que les coefficients des systemes dont le rang est< min{n, p} satisfont des equations, donc ces systemes sont rares. De plus, si p ≤ n, generiquement,le systeme est compatible.

On s’attend (mais ce n’est pas rigoureusement vrai), a ce que, dans une famille de systemeslineaires dependant d’un parametre reel a, le rang soit min{n, p} sauf pour un nombre fini devaleurs exceptionnelles de a. C’est ce qu’on a observe dans les exemples traites dans ces notes.

Si p ≤ n, la plupart des systemes lineaires de p equations a n inconnues ont un ensemble desolutions non vide et de dimension n − p. Autrement dit, la solution generale depend de n − pparametres. Accidentellement (lorsque le rang est < p), la dimension de l’espace des solutions peutetre plus grande, ou bien l’ensemble des solutions peut-etre vide.

Autrement dit, un systeme lineaire se comporte en general comme le dicte l’intuition : il fautau moins n ≥ p inconnues pour arriver a satisfaire p equations ; si on dispose d’exactement n = pinconnues, on trouve une solution unique ; si on dispose de n > p inconnues, il reste n−p degres deliberte. Mais il y a des exceptions. La theorie (notion de rang) et la pratique (methode du pivot deGauss) ont pour objectif de traiter ces exceptions. Il ne faut pas prendre ces exceptions a la legere :l’experience quotidienne des ingenieurs est que le traitement des exceptions est indispensable etcouteux.

14

12 Application associee a une matrice

Definition 8 A une matrice A a p lignes et n colonnes est associee une application fA de Rn

dans Rp, definie comme suit. Si X =

x1...

xn

est un vecteur de Rn, fA(X) = AX est un vecteur

de Rp.

Exemple. Considerons le systeme lineaire de deux equations a trois inconnues

(S) ={

x + 2y + z = 1−x− y + 2z = 2 .

L’application lineaire associee fS : R3 → R2 est definie par

fS(x, y, z) = (x + 2y + z,−x− y + 2z).

12.1 Noyau et image

On va donner une sorte d’interpretation geometrique des resultats sur les systemes lineaires. Pourcela, on introduit deux sous-espaces vectoriels associes a fA.

Definition 9 Le noyau de fA, note ker(fA) est le sous-espace vectoriel de Rn defini par

ker(fA) = {X ∈ Rn ; fA(X) = 0}.

L’ image de fA, notee ima(fA), est le sous-espace vectoriel de Rp defini par

ima(fA) = {fA(X) ; X ∈ Rn}.

La raison pour laquelle ker(fA) et ima(fA) sont des sous-espace vectoriels est que fA passe autravers des combinaisons lineaires : si u, u′ sont des vecteurs de Rn et λ, µ ∈ R,

f(λu + µu′) = λf(u) + µf(u′).

Exemple. Resoudre le systeme (S) ci-dessus revient a decider si le vecteur (1, 2) ∈ R2 est dansl’image de fS ou non. Autrement dit,

(S) est compatible ⇔ (1, 2) ∈ ima(fS).

Lorsque c’est le cas,(S) admet une unique solution ⇔ kerfS = {0}.

12.2 Rang, dimensions du noyau et de l’image

Theoreme 8 Soit A une matrice p× n, soit fA : Rn → Rp l’application correspondante. Alors

• dim(ima(fA)) est egal au rang de A ;

• dim(ker(fA)) = n− dim(ima(fA)).

Preuve. La premiere assertion est une traduction du theoreme 5, la seconde, du corollaire 3.

13 Applications lineaires, formes lineaires, endomorphismes

Les considerations qui precedent sont des cas particuliers de notions generales.

15

13.1 Definition

Definition 10 Soient E et F deux espaces vectoriels. Une application f : E → F est dite lineairesi pour tous vecteurs v, v′ ∈ E et tous scalaires λ, µ ∈ R,

f(λu + µu′) = λf(u) + µf(u′).

Interpretation. Une application est lineaire si elle preserve la structure d’espace vectoriel.

13.2 Exemples

Exemple. Soit E l’espace vectoriel des polynomes a coefficients reels. La derivation

f : E → E, f(P ) = P ′

et l’evaluation en un reel t,g : E → R, g(P ) = P (t)

sont lineaires. Par consequent, leur composition

g ◦ f : E → R, P 7→ P ′(t)

est lineaire.Exemple. Soit E = F = R2, soit

f : E → E, f(x, y) = (x, 0)

la projection sur le premier axe (dessin). Soit

g : E → E, f(x, y) = (y, x)

la symetrie par rapport a la premiere bissectrice (dessin). Alors f et g sont lineaires, de meme queleur somme f + g definie par

(f + g)(x, y) = f(x, y) + g(x, y) = (x + y, x).

Si α ∈ K est un scalaire, l’application αf definie par

(αf)(x, y) = αf(x, y)

est lineaire.Exemple. L’application

f : R2 → R, f(x, y) = (x, 1)

n’est pas lineaire. En effet, f n’envoie pas le vecteur nul de R2 sur le vecteur nul.Exemple. L’application

f : R2 → R, f(x, y) = (x2, 0)

n’est pas lineaire. En effet, f(−1, 0) = (1, 0) 6= −f(1, 0).Exemple. On peut aussi considerer des espaces vectoriels sur C. Il n’y a rien a changer auxdefinitions. Soit E le C-espace vectoriel C. La conjugaison

f : C → C, f(z) = z

n’est pas lineaire. En effet, f(i) = −i 6= i f(1) = i. Pourtant, pour tous z, z′ ∈ C et tous reels λ,µ ∈ R,

f(λv + µv′) = λf(v) + µf(v′).

16

13.3 Notations

Definition 11 Soient E et F deux espaces vectoriels. On note L(E,F ) l’ensemble des applica-tions lineaires de E dans F . Lorsque E = F , une application lineaire de E dans E s’appelle unendomorphisme de E, et on note L(E,E) = End(E). Lorsque F = R, une application lineaire deE dans R s’appelle une forme lineaire, et on note L(E,K) = E∗.

Exemple. Soit E un espace vectoriel. L’application identique idE : E → E est lineaire, c’est unendomorphisme de E.

14 Applications lineaires et sous-espaces vectoriels

14.1 Noyau

Definition 12 Soient E, F deux espaces vectoriels. Soit f ∈ L(E,F ). Le noyau de f , note kerf ,est le sous-espace vectoriel de E defini par

v ∈ kerf ⇔ f(v) = 0.

Exemple. Soit E l’espace vectoriel des polynomes a coefficients reels et

f : E → E, f(P ) = P ′

la derivation. Alors kerf est forme des polynomes constants. Remarquer que le vecteur nul estdans le noyau de toutes les applications lineaires.Exemple. Soit E = R2, soit

f : E → E, f(x, y) = (x, 0)

la projection sur le premier axe. Soit

g : E → E, f(x, y) = (y, x)

la symetrie par rapport a la premiere bissectrice. Alors kerf est le second axe. C’est une droitevectorielle. Quant a kerg et ker(f + g), il sont reduits a {0}. Remarquer que determiner le noyaud’un endomorphisme de R2 revient a resoudre un systeme lineaire homogene de deux equations adeux inconnues.

Definition 13 On rappelle qu’une application (quelconque) entre deux ensembles E et F est in-jective si pour tout v ∈ F , l’equation f(u) = v admet au plus une solution dans E.

Proposition 14 Soient E, F deux espaces vectoriels sur un corps K. Soit f ∈ L(E,F ). Alors fest injective si et seulement si kerf = {0}.

Preuve.f(u) = f(u′) ⇒ u− u′ ∈ kerf.

14.2 Image

Definition 15 Soient E, F deux espaces vectoriels. Soit f ∈ L(E,F ). L’image de f , notee imaf ,est le sous-espace vectoriel de F defini par

v ∈ imaf ⇔ ∃u ∈ E tel que f(u) = v.

17

Exemple. Soit E l’espace vectoriel des polynomes a coefficients reels et

f : E → E, f(P ) = P ′

la derivation. Alors imaf = E. En effet, tout polynome

P = a0 + a1X + · · ·+ adXd

est la derivee d’un polynome Q. On peut prendre

Q = a0X +12a1X

2 + · · ·+ 1dadX

d.

Exemple. Soit E = R2, soit

f : E → E, f(x, y) = (x, 0)

la projection sur le premier axe. Soit

g : E → E, g(x, y) = (y, x)

la symetrie par rapport a la premiere bissectrice. Alors imaf est le premier axe. C’est une droitevectorielle. Quant a imag et ima(f + g), il sont egaux a R2. Dans le cas de f + g, montrons le parle calcul. Soit (x′, y′) ∈ E. Alors

(x′, y′) ∈ ima(f + g) ⇔ ∃x, y ∈ E tels que (f + g)(x, y) = (x′, y′)⇔ ∃x, y ∈ E tels que (x + y, x) = (x′, y′)

et il suffit de prendre x = y′ et y = x′ − y′.Remarquer que determiner l’image d’un endomorphisme de R2 revient a resoudre un systeme

lineaire de deux equations a deux inconnues avec second membre.

Definition 16 On rappelle qu’une application (quelconque) entre deux ensembles E et F est sur-jective si pour tout v ∈ F , l’equation f(u) = v admet au moins une solution dans E.

Proposition 17 Soient E, F deux espaces vectoriels. Soit f ∈ L(E,F ). Alors f est surjective siet seulement si imaf = F .

14.3 Image et image reciproque d’un sous-espace vectoriel

Definition 18 Soient E, F deux espaces vectoriels. Soit f ∈ L(E,F ). Soit E′ ⊂ E un sous-espace vectoriel de E. L’image de E′ par f , notee f(E′), est le sous-espace vectoriel de F definipar

v ∈ f(E′) ⇔ ∃u ∈ E′ tel que f(u) = v.

Par exemple, imaf = f(E).Soit F ′ ⊂ F un sous-espace vectoriel de F . L’image reciproque de F ′ par f , notee f−1(F ′),

est le sous-espace vectoriel de E defini par

u ∈ f−1F ′ ⇔ f(u) ∈ F ′.

Par exemple, kerf = f−1(0).

Exemple. Soit E = R2, soit

g : E → E, g(x, y) = (y, x)

la symetrie par rapport a la premiere bissectrice. Soit E′ la droite vectorielle d’equation x+2y = 0.Un dessin montre g(E′) et g−1(E′).

18

Exemple. Soit E = R3, soit

f : E → E, f(x, y, z) = (y, x + y, z − x).

C’est une application lineaire. Soit E′ le plan vectoriel d’equation x + 2y + z = 0.Pour determiner f−1(E′), il suffit de remarquer que

f(x, y, z) ∈ E′ ⇔ x′ = y, y′ = x + y et z′ = z − x satisfont x′ + 2y′ + z′ = 0⇔ y + 2(x + y) + z − x = 0⇔ x + 3y + z = 0

donc f−1(E′) est le plan d’equation x + 3y + z = 0.Pour determiner f(E′), on cherche d’abord une base de E′ (ici, les vecteurs (−2, 1, 0) et

(−1, 0, 1)). On en deduit une representation parametrique de E′

E′ = {(−2s− t, s, t) ; s, t ∈ R}.

On calculef(−2s− t, s, t) = (s,−s− t, 2s + 2t).

Etant donne (x′, y′, z′) ∈ E, (x′, y′, z′) ∈ f(E′) si et seulement si il existe s et t ∈ R tels que s = x′

−s− t = y′

2s + 2t = z′.

Dans ce systeme, les inconnues sont s et t. Le systeme est equivalent a s = x′

−t = x′ + y′

0 = z′ − 2x′ + 2x′ + 2y′.

On conclut que f(E′) est le plan d’equation 2y + z = 0.

14.4 Rang

Definition 19 Soient E, F deux espaces vectoriels. Soit f ∈ L(E,F ). On appelle rang de f ladimension de l’image de f .

Exemple. Soit E = R2, soit

f : E → E, f(x, y) = (x, 0)

la projection sur le premier axe. Soit

g : E → E, g(x, y) = (y, x)

la symetrie par rapport a la premiere bissectrice. Alors le rang de f vaut 1, celui de g vaut 2.Remarque. En general,

• rang(f) ≤ dimF avec egalite si et seulement si ima(f) = F ;

• rang(f) ≤ dimE avec egalite si et seulement si kerf = {0} ;

• rang(f) ne vaut 0 que pour l’application identiquement nulle.

19

14.5 Applications lineaires et bases

Theoreme 9 Soient E et F des espaces vectoriels. Soit (e1, · · · , en) une base de E et v1, · · · , vn

des vecteurs de F . Il existe une unique application lineaire f : E → F telle que

f(e1) = v1, · · · f(en) = vn.

Interpretation. On peut choisir librement l’image d’une base.

Corollaire 20 Soient E et F des espaces vectoriels. Soit f ∈ L(E,F ). Soit (e1, . . . , en) une basede E. Alors

• f est injective si et seulement si f(e1), . . . , f(en) sont lineairement independants.

• f est surjective si et seulement si f(e1), . . . , f(en) engendrent F .

• f est bijective si et seulement si (f(e1), . . . , f(en)) est une base de F .

Interpretation. On voit tout sur l’image d’une base.Exemple. Soit E = F = R2, soit

f : E → E, f(x, y) = (x + y, 2x− y).

L’image de la base canonique est formee de deux vecteurs (1, 2) et (1−, 1) non colineaires. Ilforment une base de E, donc f est bijective.

15 Theoreme noyau-image

Theoreme 10 Soient E et F des espaces vectoriels, avec E de dimension finie. Soit f ∈ L(E,F ).Alors

dimkerf + dimimaf = dimE.

Interpretation. Si on connaıt le rang, on connaıt la dimension du noyau, et inversement. Celageneralise le theoreme 8.

Corollaire 21 Soient E et F des espaces vectoriels de meme dimension. Soit f ∈ L(E,F ). Alorsles proprietes suivantes sont equivalentes.

• f est injective.

• f est surjective.

• f est bijective.

• kerf = {0}.

• imaf = F .

Dans ce cas, l’application f−1 : F → E definie par

f−1(v) = u ⇔ f(u) = v

est lineaire.

Interpretation. L’unicite de la solution d’une equation garantit son existence.

20

16 Matrice d’une application lineaire

Definition 22 Soient E et F deux espaces vectoriels de dimensions finies n et p. Soient B et B′des bases de E et F . Soit f ∈ L(E,F ). La matrice dont les colonnes sont les composantes dans labase B′ des images par f des vecteurs de B s’appelle la matrice de f dans les bases B et B′. Ellepossede p lignes et n colonnes.

Lorsque F = E et B′ = B (i.e. dans le cas d’un endomorphisme de E), on parle de la matricede f dans la base B.

Interpretation. Une fois choisies des bases, toute application lineaire est de la forme fA.Exemple. Soit E l’espace vectoriel des polynomes a coefficients reels, degre ≤ n− 1. On note fla derivation

f : E → E, f(P ) = P ′

et g l’evaluation en un reel t,g : E → R, g(P ) = P (t).

On choisit pour E la base B = (1, X,X2, . . . , Xn−1). On choisit pour R la base B′ = (1).On calcule f(1) = 0, f(X) = 1,..., f(Xn−1) = (n− 1)Xn−2. D’ou la matrice

Mf =

0 1 0 · · · 0... 0 2

. . ....

.... . . . . . 0

.... . . n− 1

0 · · · · · · · · · 0

.

On calcule g(1) = 1, g(X) = t,..., g(Xn−1) = tn−1 d’ou la matrice

Mg =(

1 t t2 · · · tn−1).

16.1 Ecriture matricielle d’une application lineaire

Proposition 23 Soient E et F deux espaces vectoriels de dimensions finies n et p sur un corpsK. Soient B et B′ des bases de E et F . Soit f ∈ L(E,F ), de matrice M dans les bases B et B′.Soit u un vecteur de E, soit X la colonne de ses composantes dans la base B. Alors la colonne Ydes composantes de f(u) dans la base B′ est donne par le produit de matrices

Y = MX.

Interpretation. On peut se donner une application lineaire par sa matrice dans des bases, et calculermecaniquement l’image d’un vecteur.Exemple. Soit f l’unique application lineaire de R2 dans R3 qui envoie (1, 0) sur (1, 2, 1) et(0, 1) sur (−1, 1,−1). Alors

f(x, y) = xf(1, 0) + yf(0, 1) = (x− y, 2x + y, x− y),

ce qu’on retrouve avec la matrice dans les bases canoniques, x− y2x + yx− y

=

1 −12 11 −1

(xy

).

21

17 Multiplication

17.1 Composition et produit

Theoreme 11 Soient E, F et G trois espaces vectoriels de dimensions finies n, p et q. SoientB, B′ et B′′ des bases de E, F et G. Soit f ∈ L(E,F ), de matrice Mf dans les bases B et B′, etg ∈ L(F,G), de matrice Mg dans les bases B′ et B′′. Alors la matrice de g ◦ f dans les bases B etB′′ est le produit MgMf .

Interpretation. La composition de deux applications lineaires se calcule mecaniquement une foisqu’on dispose des matrices.Remarque. L’espace M(n, n) des matrices carrees n×n est muni d’une structure d’anneau, i.e.de deux lois, l’addition et la multiplication, qui satisfont l’axiome de distributivite :

(M + M ′)M ′′ = MM ′ + MM ′′.

Par consequent, on peut, dans une certaine mesure, manipuler des matrices comme si c’etaient desnombres. Par exemple, si P est un polynome a coefficients reels, et M une matrice carree, on peutparler de la matrice P (M).Exemple. Si P = 2 + 3X −X2 + 1

2X3,

P (M) = 2In + 3M + 3M2 +12M3.

17.2 Matrices inversibles

Definition 24 Une matrice carree M est dite inversible s’il existe une matrice M ′ telle queMM ′ = M ′M = In. La matrice M ′ est unique, et s’appelle la matrice inverse de M et senote M−1.

Theoreme 12 Soit E un espace vectoriel de dimension finie. Soit B une base de E. Soit f ∈End(E). Soit Mf la matrice de f dans la base B. Alors f est bijective si et seulement si Mf estinversible. Dans ce cas, M−1

f est la matrice dans la base B de f−1.

Interpretation. L’application reciproque se calcule mecaniquement a partir de la matrice.Remarque. Le procede de calcul de l’inverse par la methode du pivot est une facon abregee derechercher l’application reciproque.Exemple. Inversion de la matrice 1 2 −1

1 0 12 2 −1

.

Voici les etapes intermediaires.

1 2 −1 | 1 0 01 0 1 | 0 1 02 2 −1 | 0 0 1

,1 2 −1 | 1 0 00 −2 2 | −1 1 00 −2 1 | −2 0 1

,1 2 −1 | 1 0 00 −2 2 | −1 1 00 0 −1 | −1 −1 1

,

1 2 0 | 2 1 −10 −2 0 | −3 −1 20 0 −1 | −1 −1 1

,1 0 0 | −1 0 10 −2 0 | −3 −1 20 0 −1 | −1 −1 1

,1 0 0 | −1 0 10 1 0 | −3/2 1/2 −10 0 1 | 1 1 −1

.

22

18 Rang

Theoreme 13 Soient E et F deux espaces vectoriels de dimensions finies n et p sur un corps K.Soient B et B′ des bases de E et F . Soit f ∈ L(E,F ), de matrice M dans les bases B et B′. Alorsle rang de f est egal

• au rang de M , i.e. a la dimension de l’espace vectoriel de Rp engendre par les colonnes deM ;

• au rang du systeme lineaire homogene MX = 0.

Exemple. Soit E l’espace vectoriel des polynomes a coefficients reels de degre ≤ 3 et soit fl’endomorphisme de E defini par

f(P ) = (X − 1)P ′ − P.

Pour calculer le rang de f , on calcule d’abord la matrice de f dans la base (1, X,X2). Commef(1) = −1, f(X) = −1, f(X2) = −2X + X2, f(X3) = −3X2 + 2X3, la matrice de f est

M =

−1 −1 0 00 0 −2 00 0 1 −30 0 0 2

.

Le systeme MX = 0 est de rang 3 donc f est de rang 3.

19 Changement de base

Definition 25 Soient B et B′ deux bases d’un meme espace vectoriel E de dimension finie. Lamatrice de passage de B vers B′, notee PB,B′ , est la matrice dont les colonnes sont les composantesdans la base B des vecteurs de B′.

Theoreme 14 Soient E et F deux espaces vectoriels de dimensions finies n et p sur un corps K.Soient B et B′ des bases de E, soient B′′ et B′′′ des bases de F . Soit f ∈ L(E,F ), de matrice Mdans les bases B et B′′. Alors la matrice de f dans les bases B′ et B′′′ est

PB′′′,B′′MPB,B′ .

En particulier, si f ∈ End(E) a pour matrice M dans la base B et M ′ dans la base B′, alors

M ′ = P−1MP

ou P est la matrice de passage de B vers B′.

Exemple. Soit B la base canonique de R3. Posons e′1 = (1, 1, 2), e′2 = (2, 0, 2) et e′3 = (−1, 1,−1).Soit f l’endomorphisme de R3 donne par

f(x, y, z) = (x− y, 2y + z, x− y).

Alors la matrice de f dans la base (e′1, e′2, e

′3) est −1 0 1

−3/2 1/2 −11 1 −1

1 −1 00 2 11 −1 0

1 2 −11 0 12 2 −1

=

0 0 02 2 −1/24 2 1

.

On peut verifier que

f(e′1) = 2e′2 + 4e′3, f(e′2) = 2e′2 + 2e′3, f(e′3) = −12e′2 + e′3.

Remarque. Une consequence de ce theoreme (qu’on verifie aussi directement), est que pour toutentier k ≥ 1, (PMP−1)k = PMkP−1.

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NFIO2/S3SMPE 2004/2005Remise a niveau, septembre 2004

Feuille d’exercices

1. Suivant la valeur du parametre reel a, determiner le rang, decider si l’ensemble des solutionsdu systeme (Sa) ci-dessous est non vide, et lorsque que c’est le cas, donner sa dimension.

(Sa)

x + 2y − 3z = 3(1− a)y − z = −1

az = a(a− 1)

2. Echelonner le systeme suivant y + z = 1x + y = 2x + z = 3

.

3. Echelonner le systeme suivant, en fonction du parametre a.

(Sa){

4ax + (a + 1)y + az = −1(a + 1)x + y + (1− a)z = −1 .

4. Chercher l’intersection des plans affines P d’equation x + 2y − 3z = 2 et P ′ d’equation2x− y + z = 3. On en donnera une representation parametrique.

5. Soit a un parametre reel. Determiner l’intersection des trois plans affines P d’equation ax +y − 3z = 3, Q d’equation −ax− ay + 2z = −4 et R d’equation a2x + ay = 3a2.

6. Determiner le rang du systeme

(Sa)

(a + a2)x + (−a + 2a2)y + az + (−1 + a− a3)t = aax + (−1 + 2a)y + z − a2t = 1

(−1 + a)x + ay + z + (−1 + a2)t = 1 + a.

7. Soit a un parametre reel. Soient v1 = (1, 0,−1, 1), v2 = (0, 1, 1,−2) et v3 = (1 + a, 1, 0,−1)trois vecteurs de R4. Donner des equations pour le sous-espace V ect(v1, v2, v3).

8. Considerons les quatre vecteurs suivants de R3, dependant d’un parametre reel a.

v1 =

a + a2

a−1 + a

, v2 =

−a + 2a2

−1 + 2aa

, v3 =

a11

, v4 =

−1 + a− a2

−a2

−1 + a2

.

Determiner le rang de la famille v1, . . . , v4, et en extraire une base du sous-espace qu’ils engendrent.

9. Soient v1 = (1, a, 0), v2 = (1, 1, a), v3 = (2, 1, a). Pour quelles valeurs de a ces vecteurs sontils lineairement independants ?

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