View
216
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
8/8/2019 TSCH1 (2008-- 2009) Devoirs surveills
1/17
Fascicule de devoirs1re anne pour BTS chimie
Anne 20082009
8/8/2019 TSCH1 (2008-- 2009) Devoirs surveills
2/17
tsch1 Devoir n1
Partie A
Rsoudre sur ]0, +[, lquation diffrentielle (E0) : xy2y=0 dans laquelley dsigne unefonction numrique de la variable rellex, ysa fonction drive etx appartient lintervalle ]0, +[.
On considre dsormais lquation diffrentielle (E) : xy2y = 2x3x2 dans laquelleydsigne une fonction numrique de la variable rellex, ysa fonction drive etx appartient lintervalle ]0, +[.
1)y tant une fonction numrique dfinie et drivable sur ]0, +[, on crit pour 0
8/8/2019 TSCH1 (2008-- 2009) Devoirs surveills
3/17
tsch1 Corrig du devoir n 1
Partie A
On crit r(x)=-2/x = -2[1/x] etR(x)= -2 lnx :R(x)=r(x) et eR(x)
=e2 lnx
=x2. Ainsi :
Sur ]0, +[ les solutions de (E0) sont toutes les fonctionsxCx2
o Cest une constante relle.
1) a) Pour 0
8/8/2019 TSCH1 (2008-- 2009) Devoirs surveills
4/17
Finalement pour 0
8/8/2019 TSCH1 (2008-- 2009) Devoirs surveills
5/17
Tsch 1 Devoir n2
Partie A
On considre lquation diffrentielle (E) :xy + y = x21
4
dans laquelley dsigne une fonction
inconnue de la variable rellex,ysa fonction drive etxappartient lintervalle ]0,+[.
1) Dterminer la solution gnrale de lquation diffrentielle (E0) :xy + y = 0.
Autrement dit kest la fonction numrique dfinie sur ]0,+[ par k(x)=y(x)x; kest en particulier
drivable sur ]0, +[.a) Calculer k(x) en fonction dey(x) ety(x) seulement.
b) Calculer la fonction kpour quey soit solution de (E).c) Dterminer la solution gnrale de (E) sur ]0, +[.
4) Parmi les solutions de (E), prciser la solutiony=f(x), vrifiantf(1)=0.
Partie B
I. Au cours dune raction chimique, un corpsA subit des transformations. On notexA (t) laconcentration du produitA un instant tdonn (texprim en minutes). On a la condition initiale
xA(0)= 1. La fonction numriquexA est dfinie et drivable sur [0, +[, elle vrifie lquation
diffrentielle (E) :dt
dx+ 5x= 2 + 3tox est une fonction numrique de la variable relle t,
dt
dxest sa
fonction drive.
1) Rsoudre sur [0, +[, lquation diffrentielle (E0) :dtdx + 5x= 0 .
2) a et b tant 2 rels constants, on crit pour 0t,x0(t)= a.t + b. Calculer a et b pour quex0 soit une
solution de (E).
3) Rsoudre lquation diffrentielle (E) sur [0, +[.4) Dterminer la solution particulirexAde (E) vrifiantxA(0)=1.
Extraits de formulaire :
Drives et primitives
f(t) f(t) f(t) f(t)
t
()
.t1
et()
t
1
. et
2
1
t
8/8/2019 TSCH1 (2008-- 2009) Devoirs surveills
6/17
Tsch 1 Corrig du devoir n2
Partie A Pour 0
8/8/2019 TSCH1 (2008-- 2009) Devoirs surveills
7/17
Nom :
Tsch1 Devoir surveill n 3
I. Au cours dune raction chimique, un corpsA subit des transformations. On notexA (t) la
concentration du produitA un instant tdonn (texprim en minutes). On a la condition
initialexA
(0)= 1. La fonction numriquexA
est dfinie et drivable sur [0, +[, elle vrifie
lquation diffrentielle (E) :dt
dx+ 5x= 2 + 3tox est une fonction numrique de la variable
relle t,dt
dxest sa fonction drive.
1) Rsoudre sur [0, +[, lquation diffrentielle (E0) :dt
dx+ 5x= 0 .
2) On crit pour 0t,x0(t)= 3t/5 + 7/25. Prouver quex0 est une solution de (E).
3) Rsoudre lquation diffrentielle (E) sur[0, +[.
4) Dterminer la solution particulirexAde (E) vrifiantxA(0)=1.
II. On considre maintenant la fonctionfdfinie parf(t)= (3/5)t + 7/25 + (18/25).e5t
pour
0t. Soit (C) la courbe reprsentative defdans le repre orthogonalR=(O, ji
, ) .
1) Calculerf(t); tudier clairement le signe de f(t) suivant les valeurs de t. En dduire les
variations def.
2) Prouver que (C) admet une asymptote (D) au voisinage de +, on dterminera lquation
de cette droite (D). Etudier la position de (C) par rapport (D).
3) Dterminer lquation de (T) la tangente (C)au point dabscisse 0.
4) Tracer les droites (T) et (D) ; tracer (C). On pourra utiliser la partie complter ci-
dessous o on prcise que t0 =5
6ln; que peut on dire de la droite dquationx =f(t0) ?
x
f(t0)
t0 t
8/8/2019 TSCH1 (2008-- 2009) Devoirs surveills
8/17
tsch1 Corrig du devoir n3
I.1) On crit pour 0t, r(t)=5/1=4 etR(t)=5t:R(t)= 5. Les solutions de (E0) sur
[0, +[ sont toutes les fonctions tC.e-5t
o Cest une constante relle.
2) ) On crit pour 0t,x0(t)= 3t/5 + 7/25= (3/5)t + 7/25 etx0(t) = 3/5 et on a ainsi
x0(t) + 5x0(t) = 3/5 + 5(3t/5 + 7/25) = ttt
35
103
5
7
5
3
55
75
5
35
5
3
do
x0(t) + 5x0(t) = 2 + 3tpour 0t.
Finalement la fonctionx0, dfinie parx0(t)=3t/5+7/25 pour 0t, est une solution particulire
de (E) sur [0, +[.
3) (E0) est lquation diffrentielle homogne associe (E), la solution particulirex0 de
(E), trouve la question prcdente on ajoute toutes les solutions de (E0) pour obtenir toutesles solutions de (E) sur [0, +[. Il sagit de toutes les fonctions : t3t/5+7/25+ C.e
-5to Cest
une constante relle.
4)xA tant une solution particulire de (E) on crit pour 0t,xA(t)=3t/5+7/25+ C.e-5t
o Cest
une constante relle :xA(0)= 0+7/25+ C.e-50
= 7/25+CetxA(0)= 1 pourC= 17/25=25/257/25=18/25.
FinalementxA(t)= 3t/5+7/25+(18/25).e-5t
pour 0t.
II. 1) Pour 0t,f(t)=(3/5)t+7/25+(18/25)e-5t
etf(t)=3/5+ (18/25)(-5)e-5t
= 3/5(18/5) e-5t
.
Les propositions (), crites avec 0t, suivantes sont quivalentes : ( 0
8/8/2019 TSCH1 (2008-- 2009) Devoirs surveills
9/17
4) On trace (T) et (D) en utilisant leurs quations, on place la tangente (C) au point
dabscisse t0 ; elle est horizontale (parce quef(t0) = 0 !) et a pour quationx=f(t0). Ces 3
droites vont permettre de donner une bonne allure (C).
Reprsentation graphique
(T) (D)
(C)
f(t0)
t0
La reprsentation graphique de (C)ne comporte aucun point dont labscisse est ngative.
8/8/2019 TSCH1 (2008-- 2009) Devoirs surveills
10/17
TSCH1 . Devoir surveill n 4
1re
partie
On considre la raction irrversible : A + B C.
Les concentrations initiales des produits A et B sont en 1. lmol , respectivement 0,5 et 0,9.
A linstant t, en minutes, les concentrations des produits A et B sont :
[A]=0,5x(t) et [B]= 0,9x(t).
La fonction x ,dfinie et drivable sur [0 ;+ [,vrifie les trois proprits (H) suivantes : 0)0( x pour ,0 t 0 x(t)< 0,5 x vrifie lquation diffrentielle (E) :
dt
dx0,04(0,5x)(0,9x) o 0,04 est la
constante de la vitesse de raction en 11 min.. moll .
1) Trouver les constantes relles a et b telles que pourX 0,5 etX0,9 on ait :
X
b
X
a
XX
9,05,0)9,0)(5,0(
1
2) Montrer que la fonctionx
, vrifiant les proprits (H) , est telle que, pour t0 ,on ait :04,0)('
))(9,0))((5,0(
1
tx
txtx.
3) Montrer que la fonction x , vrifiant les proprits (H), est telle que :
0,9 ( )ln 0, 016
1,8(0,5 ( ))
x tt
x t
pour t0 .
4) Montrer que lon peut crire pour ,0 t t
t
e
etx
016,0
016,0
).8,1/1(1
15,0)(
.
2me
partie (S)
Oi
| XG
Un solide (S)se trouve au repos sur une surface horizontale jusqu linstant t=0. A partir de
linstant t=0, on le soumet une force horizontale et le solide (S) se dplace suivant un
mouvement rectiligne. Le centre de gravit G de (S)se dplace sur laxe (O, )i
(voir le
schma ci-dessus) et on admet que la vitesse v du point G est une fonction numrique dfinie
sur [0, +[ par lgalit v(t)=3+3(t1).e-3t
pour 0 t. On note Cla reprsentation graphique de
v dans le repre (O, ji
, ).
Partie A
1) En utilisant les limites classiquesx
lim (1/ex)=0=
xlim (x/e
x), calculer
tlim v(t). Quen
dduit-on pour le trac de C?
2) Vrifier, en prsentant les calculs, si v(t)=3(43t)e-3t.3) En dduire les variations de v. Pour quelle valeur tde t, la vitesse v est elle
maximale ? Quelle est la valeur maximale prise par v ?
Partie BTtant un rel positif ou nul, la distance parcourue par le marteau entre linstant de dpart
(t=0) et linstant t=TestD = T
tv0
)( dt o v(t)=33(1t)e-3t
.
1) En faisant une intgration par parties calculer en fonction de T, lintgrale
I= T
03(1t)e-
3tdt.
2) En dduire lexpression deD en fonction de T.
8/8/2019 TSCH1 (2008-- 2009) Devoirs surveills
11/17
TSCH1.........................................................................................Corrig du devoir surveill n4
1re
partie
Pour la fonctionx vrifiant les proprits (H), on a 0
8/8/2019 TSCH1 (2008-- 2009) Devoirs surveills
12/17
2me
partie
Partie A
1) e-3t
= 1/e3t
alors pour 0t, v(t)=3+ 3(t1)/e3t
= 3+ (3t/e3t
)3(1/e3t
) .
Orx
lim (1/ex)=0=
xlim (x/e
x) ett
lim 3t= +do ( en faisantx=3t) :t
lim (1/e3t)=0=
tlim (3t/e
3t)
ett
lim v(t)= 3 + 030 soitt
lim v(t)= 3.
Cadmet une asymptote horizontale dquationy=3.
2) Pour 0t, v(t)= 0+3(1.e-3t
+(t1)[-3e-3t
])= 3e-3t
[13(t1)] dov(t)=(13t+3)3e-3t
soit :
Pour 0 t, v(t)=3e-3t
(43t) et v(0)= 3e04= 12.
3) Comme 0< e-3t
, v(t) est du signe de 43tet on a le tableau de variation suivant :
v(4/3)=3+3(4/31).e-4
= 3+3(1/3)e-4
=3+ e-4
.
Daprs ce tableau la vitesse v est maximale
pour t=4/3 et la valeur maximale prise par v
est v(4/3)= 3+ e-4
.
Partie B
1) On crit : o u et w sont drivables et continues
sur alors :
I=
Tt
et0
3)1(3 dt= [(1t).e
-3t]
TT
00
e-3t
dt=[(1t).e-3t
] T
T
00
3
13e
-3tdt do :
I=(1T).e-3T
1.e0[e
-3t] T0/3=e
-3TT.e
-3Te
0( e
-3Te
0)/3=-Te
-3T+(11/3)e
-3Te
0(11/3) o e
0=1
et 11/3=2/3 alorsI=-Te-3T
+2e-3T
/32/3.
2) T
01dt=[t] T0 =T0=Tet par linarit du calcul des intgrales on obtient les galits
suivantes:
3T+I=3 T
01dt+
T
03 (1t)e
-2tdt=
T
03dt+
T
03 (1t)e
-3tdt =
T
03( 3(1t)e
-3t) dt=D, et
D=3T+IdonneD= 3TTe-3T
+2e-3T
/32/3.
t 0 4/3 +
v(t) 12 + 0
v(t) 0 v(4/3) 3
u(t)=1t u(t)=-1
w(t)=-3e-3t
w(t)=e-3t u(t)w(t)=-e-
3t
8/8/2019 TSCH1 (2008-- 2009) Devoirs surveills
13/17
tsch1 Devoir surveill n5La qualit de la rdaction o on justifie clairement et prcisment les calculs intervient pour
une part importante dans lapprciation des copies.
Au cours dune raction chimique, on assiste la production dun corps A.
La vitesse v de production du corps A est une fonction du temps t (exprim en secondes),
solution de lquation diffrentielle (E) :
dtdy +4y = 4 + e
-4toy est une fonction de la variable relle tavec 0t,
dtdy est la fonction
drive dey.
On admet que v(0)= 0.
Partie A
1) Rsoudre sur [0, +[, (E0) :dt
dy+4y = 0.
2) Avec a et b rels constants, on crit (t)= a +bt.e-4tpour 0t.a) Calculer (t) + 4(t) en fonction de a, b et t.b) Calculer a et b pour que soit une solution particulire de (E).
3) Rsoudre (E).4) En dduirela fonction vdfinie dans lintroduction.Partie B
Pour la suite on admet que la fonction v est dfinie par v(t)=1+(t1).e-4t. On note Cla
reprsentation graphique de v dans le repre (O, ji
, ).
1) On a les deux limites de rfrence :x
lim (1/ex)=0=
xlim (x/e
x) . Commet
lim 4t = +,
en faisantx=4t, on obtientt
lim [1/e4t
]=0=t
lim [4t/e4t
] .
a) Montrer que lon peut crire v(t)= 1 + (4t/e4t) +( 1/e4t) o et sontdeux rels constants.
b) Que donnet
lim v(t) ? Quen dduit-on pour le trac de C?
2) Vrifier, en prsentant les calculs, si v(t)= e-4t(54t).3) En dduire les variations de v. Pour quelle valeur tde t, la vitesse v est elle
maximale ? Quelle est la valeur maximale prise par v ?
Partie C
Ttant un rel positif ou nul, la quantit de corps A produite entre linstant de dpart (t=0) et
linstant t=TestD = T
tv0
)( dt o v(t)=1(1t)e-4t
.
1) En faisant une intgration par parties calculer en fonction de T, lintgrale
I= T
0
4(1t)e-4t
dt.
2) En dduire lexpression deD en fonction de T.
Extraits de formulaire :
Intgration par parties : b
a
b
a
b
a dttvtutvtudttvtu )()(')]()([)(')(
f(t) f(t)
et
() . et
8/8/2019 TSCH1 (2008-- 2009) Devoirs surveills
14/17
tschi1 Corrig du devoir surveill n 5Partie A
1) On crit pour 0t, r(t)=4 etR(t)=4t:R(t)=4. Alors sur [0, +[, les solutions de (E) sont
toutes les fonctions tCe-4t
o Cest une constante relle.
2)a) Pour 0t, (t)=0+b(1.e-4t
+t[-4e-4t]) do : (t) = -4 bt.e
-4t+be
-4t
et 4(t)= 4bt.e-4t
+4a
Par addition : (t)+4(t)= 4a+be-4tpour 0t.
2)b) est une solution de (E) lorsque pour 0t, (t)+4(t)= 4+ 1.e-4t. Cest--dire est
solution de (E) lorsque a et bvrifient les systmes dgalits quivalents suivants : {4a=4 et
b=1},{a=1 et b=1}.
Pour la suite on crit pour 0 t, (t)=1+te-4t.. est une solution particulire de (E) sur [0, +[.
3) A la solution particulire de (E) on ajoute toutes les solutions de (E0) pour avoir toutes
les solutions de (E): Sur [0, +[, toutes les solutions de (E) sont toutes les fonctions
t1+t.e-4t
+C.e-4t
o Cest une constante relle.
4) v tant une solution de (E) sur [0,+[, on a : Pour 0t, v(t)= 1+t.e-4t+C.e-
4to Cest une
constante relle, v(0)=1+Ce0= 1+Calors v(0)=0 pour C=-1. Finalement pour 0t,v(t)=1+t.e
-4te-4t= 1+(t1).e-4t
.
Partie B
1)a) e-4t
= 1/e4t
alors pour 0t, v(t)=1+ (t1)/e4t
=1+ t/e4t1/e
4t= 1+
4
1(4t/e
4t)(1/e
4t) .
Autrement dit =1/4 et
b)t
lim (1/e4t
)=0=t
lim (4t/e4t
) donne :t
lim v(t)= 1+4
100 soit
tlim v(t)=1 .
Cadmet une asymptote horizontale dquationy=1.
2) Pour 0t, v(t)= 0+1.e -4t+(t1)[-4e-4t]= e-4t[14(t1)] do v(t)=(14t+4)e-4t soit :Pour 0 t, v(t)=e
-4t(54t) et v(0)= e
05= 5.
3) Comme 0< e-4t
, v(t) est du signe de 54tet on a le tableau de variation suivant :
v(5/4)=1+(5/41).e-5
= 1+(1/4)e-5
=1+(1/4)e-5
.
Daprs ce tableau la vitesse v est maximale
pour t= 5/4 et la valeur maximale prise par v
est v(5/4)= 1+(1/4)e-5.
Partie C
1) On crit : o u et w sont drivables et continues
sur alors :
I=
Tt
et0
4)1(4 dt= [(1t).e
-4t]
TT
00
e-4t
dt=[(1t).e-4t
] T
T
00
4
14e
-4tdt do :
I=(1T).e-4T
1.e0[e
-4t] T0/4=e
-4TT.e-4Te0( e
-4Te0)/4=-Te-4T
+(11/4)e-4Te0(11/4) o e
0=1
et 11/4=3/4 alorsI=-Te-4T
+3e-4T
/43/4.
2) T
01dt=[t] T
0=T0=Tet par linarit du calcul des intgrales on obtient les galits
suivantes:
T+41I=
T
01dt+
T
041 4(1t)e-4tdt=
T
01dt+
T
0(1t)e-3tdt =
T
01( (1t)e-3t) dt=D, et
D=T+4
1IdonneD= TTe
-4T/4+3e
-4T/163/16 .
t 0 5/4 +
v(t) 5 + 0
v(t) 0 v(5/4) 1
u(t)=1t u(t)=-1w(t)=-4e-4t
w(t)=e-4t u(t)w(t)=-e-4t
8/8/2019 TSCH1 (2008-- 2009) Devoirs surveills
15/17
8/8/2019 TSCH1 (2008-- 2009) Devoirs surveills
16/17
Corrig
1. 32413=912= -3 ; =2
22
)3(3 ii . Les racines r1 et r2 sont donnes par :
r1=2
35,1
12
33i
i
et r2=
2
35,1
12
33i
i
.
2. On a rsolu lquation caractristique associe lquation diffrentielle (E0) homogneassocie (E1). Il en rsulte que toutes les solutions sur [0, +[ de (E0) sont toute les
fonctions te-1,5t(cos(t2
3)+ sin(t
2
3)) o et sont 2 rels constants.
3. Avec c rel constant, on crit pour 0t,f(t)=c,f(t)=0 et f(t)=0. On obtient ainsi pour0t,f(t)+3f(t)+3f(t)=3c.fest solution de (E0) dans le cas o 3c= 3, soit c= 1.
Finalement sur [0, +[, la fonctionfconstante t1 est une solution particulire de (E1).
4. la solution particulirefde (E1), on ajoute toutes les solutions de (E0) pour obtenir toutesles solutions de (E1) :Sur [0, +[, toutes les solutions de (E1) sont toutes les fonctions
t1 + e-1,5t(cos(t2
3)+ sin(t
2
3)) o et sont 2 rels constants.
5. Daprs lquation (1)x(0)= -2x(0)y(0)+3= -230+3 soitx(0) = -3 .
6.x tant solution de (E) sur [0, + [, on peut crire, avec et 2 rels constants, pour 0t,
x(t)= 1 + e-1,5t
(
cos(t 2
3
)+ sin(t 2
3
))
x(t)= 01,5e-1,5t(cos(t2
3)+ sin(t
2
3))+e-1,5t(-
2
3sin(t
2
3)+
2
3cos(t
2
3))
e0=1=cos 0 et sin 0 = 0 donnent alors x(0)=1+1(1+0)=1+ et
x(0)= -1,51(1+0)+1(-2
30 +
2
31)= -1,5+
2
3
Les systmes dgalits suivant sont quivalents x(0)=3 etx(0)= -3 :
{1+=3 et -1,5+2
3=-3}, {=2 et -1,52+
2
3=-3}, {=2 et
2
3=0}, {=2 et=0}.
Finalement on obtient avec =2 et=0 :x(t) =1 + 2e1,5tcos
t
2
3pour 0t .
7. On utilise lgalit prcdente.
En drivant le produit e1,5t cos
t
2
3, on obtient
x(t)= 0 + 2 [ (-1,5)e-1,5tcos
t
2
3+ e1,5t
2
3sin
t
2
3] do
x(t)=3 e-1,5t
cos
t2
3
3 e1,5t
sin
t2
3
pour 0t.
8/8/2019 TSCH1 (2008-- 2009) Devoirs surveills
17/17
Lgalit (1) :x(t)= -2x(t)y(t) + 3 donney(t) = -2x(t)x(t) + 3 o
2x(t) = 4e1,5tcos
t
2
3
x(t) = 3 e-1,5tcos
t
2
3+ 3 e1,5t sin
t
2
3
3 = 3
Aprs addition de ces 3 galits, il ne reste que :
y(t)= 1e-1,5tcos
t
2
3+ 3 e1,5t sin
t
2
3pour 0 t.
8. Daprs les 2 questions prcdentes :
x(t)+y(t)=2+ e-1,5tcos
t
2
3 + 3 e-1,5tsin
t
2
3
et daprs lgalit (3) z(t)=3(x(t)+y(t)) do :
z(t)= 1e-1,5tcos
t
2
3 3 e-1,5tsin
t
2
3pour 0t.
9. On a 0limod')5,1(limor,0lim 5,1
t
tt
X
X
ete et 0-lim 5,1
t
t
e .
Comme -1 cos
t
2
3 1 et -1 sin
t
2
3 1, en multipliant par e-1,5tqui est positif
strictement on obtient encore - e-1,5t e-1,5tcos
t
2
3e-1,5tet - e-1,5t e-1,5tsin
t
2
3e-1,5t
pour 0tet daprs les 2 limites encadres prcdemment :
tlim e
-1,5tcos
t
2
3=0=
tlim e
-1,5tsin
t
2
3.
Il sagit ensuite dutiliser les expressions dex(t),y(t) etz(t) calcules prcdemment pour
obtenir : tlimx(t)=1+20=1 et tlimy(t)= 10 + 3 0=1 et tlimz(t)= 10 3 0=1.
Recommended