Un principe du maximum pour des opérateurs monotones

C. R. Acad. Sci. Paris, t. 326, Sbrie I, p. 823-827, 1998 kquations aux d&i&es partielleslfarfial Diff+erenfial Equations

Un principe du maximum pour des ophrateurs monotones

Antonin CHAMBOLLE ‘, Bradley J. LUCIER ” *

a Ceremade (CNRS UMR 7534), universitC Paris-Dauphine, place du Markhal dr-lattre-clr-Tassisny. 75775 Paris cedex 16: France Courriel : Antonin.Chamholle@ceremade.dauphinr.fr

” Department of Mathematics, Purdue University, West Lafayettca, 1N 47907-13YS USA, Courriel : lucier@math.purdur.rdu

(Requ le 23 octohrr lYY7, acrrpte lr 2 mars 1998)

RhmC.

Abstract.

Nous montrons que si T est un opkrateur Cventuellement non-IinCaire de 1,’ ( W” ) dans lui-m&me qui conserve I’intCgrale. est monotone et commute avec les translations, alors T satisfait un principe du maximum. 0 AcadCmie des Sciences/Elsevier. Paris

A maximum principle for order-preserving mappings

We prove that ifT is a possibly nonlinear mapping,from L’ (R” ) to itself that presen,es the integral, is order preserving and that commute.s with trunslatiorrs, therl ‘T .wti.sje,s a maximum principle: the essential supremum of 2’,r1 is no greater than rhr essential supremum ofu. 0 AcadCmie des Sciences/Elsevier. Paris

Abridged English Version

We prove the following theorem:

THEOREM 1. - rf T : L1 (R’“) + L1(W7’) satisfies: (1) for all ‘~1 in L1(Wn), JR” Tu = .I,,> ‘u, (2) for all u and v in L1(R8”) with ‘u > v a.e., Tu > Tv ae., and (3) for all h E R” and all u E L1(RT’), T(u(. - II)) = (Tu)(. - h),

then for all u E L1 (Rn),

ess sup T,u 5 ess sup ‘u and ess inf T,u 2 ess inf IL,

i.e., the mapping T satisjies maximum and minimum principle.~.

Note prhentbe par Pierre-Louis LIONS.

0764~4442/98/03260823 0 Acadbmie des ScienceslElsevier. Park 823

A. Chambolle, 6.1. Lucier

We remark that the theorem holds if T : L’(Z”) -+ L’( Z”) under the same hypotheses (considering only integer translations).

Crandall and Tartar [4] proved that conditions (1) and (2) on Li(12) of any measure space (61, d/l) are equivalent to (1) and

(2’) for all ‘U and ‘II in Ll(R), IIT?!* - T,f’IJi.L(Q) I 1171 - 1lllL1(Q).

Thus, on L1(R), non-expansive mappings that preserve the integral are the same as order-preserving mappings that preserve the integral. Later, Lucier [7] proved Theorem I when 7~ = 1 by noting that there is a relationship in one dimension between the variation of II. and the essential supremum of u. However, that technique does not generalize to more than one dimension.

We are motivated by solution operators T that take u( .(I) to ,u( . . t) for some fixed t in various nonlinear evolution equations of the form yljt + A(u) = 0, where A is a translation-invariant m- accretive operator on Ll(lR”) with [ A(U) = 0 for all II. in the domain of .4. Equations whose solution operators satisfy the three conditions of Theorem 1 include scalar conservation laws

?I,/ + c F(u) = 0. :c E W”. t > 0.

where F : R -+ R” is Lipschitz continuous (see [6]); the porous medium equation

7Lt - Aqqu) = 0: .I: E R’“, t > 0.

under various conditions on (b (see [3])-(b being continuous and strictly increasing with 4(O) = 0 suffices, for example; Sobolev equations of the form

when f and 9 are Lipschitz and VT/’ > /j1/21.f’l ( see [7]); and second order hyperbolic equations of the form:

‘fit + f(?L),{. + F’fd,,.t = 0. .I: E l-3. t > 0. t > 0,

when f is Lipschitz, f’ > 0. and the solution is interpreted correctly, because the initial data are given on a characteristic (see [7] and [ 11). Theorem 1 provides an alternate method for proving maximum principles for all these equations.

Brezis and Strauss [2] proved that if an operator 7’ satisfies conditions (1) and (2’) and the conclusion of Theorem 1, then for all u E Lr’(R”) n L1(EP), IITuI/~~(~~~) 5 II~jIr~,~tn~~). For this to be true for all u E LP(llV), it would be sufficient to be able to extend 7’ to map L’ (R”) + L,(P’) to itself (see [5]).

Sketch of proof of Theorem 1. - We sketch the proof of the maximum principle. The idea is to show that if the conclusion is violated anywhere for a particular pair ?L and Tu, then we can use the monotonicity and translation invariance properties to construct a function u for which Tfi. is so large that it fails the integral-preserving hypothesis.

First notice that we can assume that Tu is continuous for all 16. Actually, if we define for any mollifier 4 (i.e., positive, smooth, with .I’ 4 = I), the operator Tfp as T*u = qb*T,tr. for all u E Ll(R”), then T+u is continuous, and To’ satisfies all the assumptions of Theorem 1. If the result holds for any T”, then letting 15 tend to a Dirac mass will prove the result for T.

If the result is not true, there exists a function ‘(1, E Ll(R”) such that ess sups < +cc and sup Tu > ess sup 1~. We can assume that II. is non-negative (since T(,u+) 2 Tu), and that ess sup u > 0

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Un principe du maximum pour des opkrateurs monotones

and supTu > 0. Since Tu is continuous, up to a translation we deduce that on some small cube (O,h)‘“, Tu > u, + (Y for some CY > 0 (where we have set U, = ess sups = j/ (1.1)~ ).

Choose F > 0. There exists H = H(F) > 0 such that ,/R,,,(pH,HI,, II < c. We define for each integer X: 2 1 the function

Ilk = Ill?lS{l/~(. - la/) : 1 = (11. ,,.. I,$) E (0. . . x: - I}“}:

the properties of T imply that

Tu’; > max{(T~c/,)(~ - hd) : 1 E {O.....l,- I}“}.

Thus, Tu” 2 IL, + (Y on the whole cube (0. X:/r)“. On the other hand. we easily get the estimate j, uk 5 I?‘F on the set A = iw” \ (-N. X:/I + H)“.

We deduce

I ,tlk 5 (X:/l + 2N)“tr, + X:“f and

I TV//” > (klb)“(~//, + 0).

. WI’ . R”

so that J 11~ < ,\ Tu ” if F < /1,“rv/2 and X: is large enough, contradicting (I).

Nous montrons le rCsultat suivant :

THBORBME 1. - Si T : Ll([w”) -+ L1([w” ) ve’r$e : (I) quel que soir II. dam Ll(lR”), .I,,, T,a = .[,,c u, (2) quels que saient ‘II, et II dam L1(W) tel.7 que II > 11 p.p., Tu > ‘TV pp.. et (3) quels que soient 11, E R” et II. E Ll(k!“), T(‘IL(. - h)) = (Tu)(. - II.),

ah-s pour tout II. E L1(F8”),

ess sup T,u < ess sup II et ess inf Tsh 2 ess inf ,!I

en d ‘autres termes, 1 ‘application T satisfhit WI prirzcil?e du maximum (et tlu minimum).

Remarquons que le ksultat reste vrai pour des operateurs T : L’(Z”) -- L’(Z” ). sous les m$mes hypoth&ses (en ne considkrant que des translations entikres).

Crandall et Tartar [4] ont montrk que les conditions (I) et (2) dans L’(12) (sur n’importe quel espace mesurk (0. dp,)) sont Cquivalentes B ( I) et

(2’) pour tout IL et 11 duns I,‘(I1), [IT?1 - T,/I~I~L(~)) 2 11,~ - vI(~L~~)).

Ainsi, dans I’espace Ll(12). les optrateurs monotones preservant I’intCgrale et les contractions qui prkservent I’intCgrale sont les m&mes applications. Plus tard, Lucier 17) a dCmontr6 le thkorkme I dans le cas 7~. = 1 en remarquant qu’en dimension un. il y a une relation simple entre la variation totale de u et sa borne supkrieure essentielle. Mais cette propriCtC n’est plus vraie en dimension supkieure et la dkmonstration ne se gCn&alise pas.

Parmi les opkrateurs auxquels on peut appliquer le ksultat, citons notamment les applications T qui associent B .u( : 0) la solution ,(I( . I) & un instant t > 0 fix6 de diverses Cquations d’kvolution non-lirkaires, de la forme 11,~ + .1(,~) = 0, air 11 est un opkrateur rn-accrktif de L’(W”). invariant par translation. et tel que ,[ A(U) = 0 pour tout ‘U dans le domaine de ‘4. Les Cquations pour lesquelles I’opCrateur T satisfait les trois conditions du thCor?me 1 incluent les lois de conservation scalaires :

‘I/,, + T . F(,/r) = 0. :I: E R”. t > 0.

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A. Chambolle, B.J. Lucier

ofi F : R i R” est lipschitzienne (voir 161) ; l’equation des milieux poreux :

‘Ilq - fq(~l6) = 0, :I: E R”, 1; > 0,

ou d, doit verifier certaines conditions (voir [3]) - il suffit par exemple que la fonction 4 soit continue, strictement croissante, avec (b(O) = 0 ; les equations de Sobolev de la forme :

‘7lt + f(7L).r - 7471) ,,.. I’ - /911,,.,,.+ = 0. :I’ E II%> 1; > 0, v > 0, 17’ > 0,

lorsque f et 9 sont lipschitziennes et ~9’ 2 ,!j’i2 if’1 ( voir- [7]) ; et des equations hyperboliques du second ordre de la forme :

ut + f(u),, + F7b,rt = 0. :r E w, t > 0. F > 0.

oti f est lipschitzienne, f’ 2 0. a condition que la solution soit correctement definie, la don&e initiale &ant prise sur une caracteristique (voir [7] et [ I]). Le theoreme 1 permet de redemontrer le principe du maximum pour chacune de ces equations.

BrCzis et Strauss [2] ont prouvt que si un operateur T satisfait les conditions (1) et (2’) et la conclusion du theoreme 1, alors pour tout 9~ E LP(lR”) n L1(W7’), ((TzI,]]~~(R,~) 5 (]uJJ~~(~~~). Pour Ctendre cette propriete a tout II. E I/‘( W ), il suffirait de savoir prolonger T en un operateur de L1(W”) + L”(W) dans lui-m&me (voir [5]).

Dkmonstration du the’or2me 1. - Nous ne demontrerons que le principe du maximum, puisque la preuve du principe du minimum est rigoureusement symetrique. L’idCe de la demonstration est de montrer que s’il existait une fonction ‘u pour laquelle la conclusion est fausse, on pourrait, grace aux proprietes de monotonicite et d’invariance par translation de T, construire a partir de ‘U une fonction u dont l’image T~L, trop grande, violerait la propriete de conservation de l’integrale.

Remarquons d’abord que l‘on peut supposer que pour toute fonction 7~, Tu est continue. En effet, si pour un noyau regularisant arbitraire (i, (positif, regulier et tel que .[ (i, = 1) on d&nit l’operateur T@ par Tou = d, * T,71. pour tout II. E I,l( lRrl ), alors Tq” est encore une contraction, conserve l’integrale, et est invariant par translation ; de plus, 7’“,~ est continue pour tout II,. Si le resultat est vrai pour I’opbateur T’P, alors en faisant tendre 4 vers une masse de Dirac on obtient la m&me conclusion pour l’ophateur T.

Si le resultat n’est pas vrai, il existe une fonction ~1 E Ll(lW’) telle que ess supu < fee et sup Tu > ess sup ‘u. Puisque la fonction ,(I+ = IKI~X(U, 0) est plus grande que u et done Tu+ 2 Tu, on peut supposer que 7~ est presque partout positive ou nulle. Remarquons egalement que l’on peut supposer que esssupI1, > 0 (sinon II, = 0 et 7’11 = 0, du fait de l’invariance par translation) et done que supTv > 0. La fonction Tu etant continue, on en deduit (apres une Cventuelle translation), qu’il existe h > 0 et (Y > 0 tels que

pour tout z E (O.h)“, oh l’on a pose 71,. = esssupu = //uII,. Choisissons t > 0. 11 existe H = H(F) > 0 tel que

I 71, 5 t.

. R"\(-H,H)"

Pour tout entier k > 1, on definit a present la fonction

uk = IIlNX{U(. - hl) : II = (I,, . . . . 17,) E (0, ..,: h - 1)“) ;

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Un principe du maximum pour des ophrateurs monotones

on a toujours ‘u, = super. Pour tout 1 E (0, . . ..k - l}“, IL’ > IL(. - hl) implique Tu." > T(u(. - hl)) = (Tu)(. - hl), et on en deduit que

T71k > rmX{(T7L)(. - hl) : 1 E {O,...,k - I}“}.

En particulier, Tu"(:r) 2 U, + CY pour tout :I: E (0, /?I,)“. Maintenant, soit .4 = IfV \ (-H: ,J& + H)ll. Clairement,

mu” L: c 11(x - h.Z), rt(lr.....h~-l)~’

et par consequent puisque .I:4 ~(3: - hl) d:r: 5 F pour chacun de ces multi-entiers 1,

I I? 5 X.‘lF.

. :1

On a done :

I uk 5 (k-h. + 2H)” 11, + h:” t et

I TV” > (kh)“(,u, + CL),

* W” . W”

de sorte que

g 5 (“yyy* + s.

Supposons qu’on ait choisi c < /t.“o:/2. L’inCgalitC devient

Comme linlk+nc( 1 + 2H/kh)” = 1, on peut prendre X: assez grand pour avoir

(1 + 2H/X:h)“u, < 71, + o/2

Alors, pour une telle valeur de X:,

.I;?? uh’ < IL, + o/2 + 42 JR”> T,uh’ = ‘II, + CL

1,

et ceci contredit l’hypothese J,,, T,uk = J,,f 1~~ (puisqu’aucune de ces integrales ne peut Ctre nulle).

* Finance en partie par I’Office of Naval Research. Contrat NOOOl4-91-J-1152.

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