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VII Solides : équilibre etmouvement

VII Solides : équilibre et mouvement

i) énergie cinétique, potentielle et mécanique

ii) conservation de l’énergie mécanique

iii) généralisation à trois dimensions

iv) gradient, opérateur différentiel nabla

Plan de la première partie :

Contenu

VII Solides : équilibre et mouvement

Soit un système de particules donné. Pour déterminer lemouvement des particules nous avons à disposition leséquations suivantes :

i) conservation de la quantité de mouvement (3 équations)

ii) conservation du moment cinétique (3 équations)

iii) si les forces sont conservatives – conservation de l’énergie(1 équation)

⇒ tout au plus 7 équations, en générale 6.

Système donnée, no d’équations

VII Solides : équilibre et mouvement

D’un côté nous avons 6 où 7 équations indépendantes, maisd’autre côté un système à N corps a 3N degrés de liberté.

1 mol de gaz → 6,022·1023 atomes

Il est évidemment impossible de décrire le mouvement desparticules du gaz.

Problème

VII Solides : équilibre et mouvement

Un solide est un corps dans lequel les distances entre lesparticules sont constantes.

Pour la description du mouvement d’un solide 6 coordonnéssuffisent.

Solide

ExempleVII Solides : équilibre et mouvement

VII.1 Distributions continues demasses

VII.1 Distributions continues de masses

Exemple : densité d’un fémur

À l’aide de la fonction de densité locale, la masse d’un volumeV se trouve à l’aide de :

Exemple fonction de densité

VII.1 Distributions continues de masses

Définition du centre de gravité :

Définition de la quantité de mouvement :

Qt. mouvement et centre degravité

VII.2 Problèmes de statique

VII.2 Problèmes de statique

Pour qu’un corps reste au repos, les conditions suivantes doiventêtre satisfaites :

i) somme des forces exterieures nulle

ii) somme des moments exterieures nulle

Conditions d’équilibre

VII.2 Problèmes de statique

Exemple : solide qui n’est pas en equilibre (somme des moments non-nulle)

Exemple

VII.2 Problèmes de statique

Solide en équilibre

Les forces normales ne peuvent pascompenser le poids du corps (somme desforces non nulle).

Exemple

VII.3 Mouvement d’un solide

VII.3 Mouvement d’un solide

N’importe quel mouvement d’un solide est équivalent à lacombinaison d’une translation et d’une rotation.

Exemple :

Mouvement = translation +rotation

VII.3 Mouvement d’un solide

Analyse du mouvement d’unsolide

VII.3.1 Moment d’inertie

Un axe principal d’inertie d’une corps, est un axe tel que, si levecteur de rotation du solide est parallèle à cet axe, le momentcinétique du solide est parallèle au vecteur de rotation.

Axes principaux d’inertie

VII.3.1 Moment d’inertie

ωL

Rotation autour d’un axe qui n’est pas un axe principal d’inertie,L P ω. (Rem : dL/dt = 0, il faut )

Exemple

VII.3.1 Moment d’inertie

Rotation autour d’un axe principal d’inertie.

Exemple

Moment d’inertieVII.3.1 Moment d’inertie

où R est la distance de l’élément de volume à l’axe.

Ayant trouvé I, on peut calculer L avec :

VII.3.1 Moment d’inertie

Exemples de moments d’inertie

VII.3.2 Théorème de Huygens et Steiner

Théorème de Huygens et Steiner :

Théorème de Huygens et Steiner

VII.3.3 Dynamique de la rotation d’un solide

Dynamique de la rotation

VII.3.4 Gyroscopes et toupies

Gyroscope

VII.3.4 Gyroscopes et toupies

Gyroscopes

VII.4 Énergie mécanique d’unsolide

VII.4 Énergie mécanique d’un solide

Énergie de rotation

VII.4 Énergie mécanique d’un solide

Énergie cinétique totale

VII.4 Énergie mécanique d’un solide

Roulement sans ou avecglissment