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Les équations différentiellesPetits détails techniques et autres remarques
Christophe Palermo
IUT de MontpellierDépartement Mesures Physiques
&Institut d’Electronique du Sud
Université Montpellier 2Web : http://palermo.wordpress.com
e-mail : cpalermo@um2.fr
Cours du 14 décembre 2010
MONTPELLIER
Plan
1 Introduction2 EDL à coefficients variables
Solution générale de l’équation homogène (associée)La solution particulière
3 Terme perturbateurLe principe de superpositionApplication du principe de superpositionConclusion
4 Les équations linéaires incomplètesProblématiqueChangement de variable
5 Équation non-linéaire6 Recommandations
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 2
Introduction
Plan
1 Introduction2 EDL à coefficients variables
Solution générale de l’équation homogène (associée)La solution particulière
3 Terme perturbateurLe principe de superpositionApplication du principe de superpositionConclusion
4 Les équations linéaires incomplètesProblématiqueChangement de variable
5 Équation non-linéaire6 Recommandations
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 3
Introduction
Ce que nous avons vu
Plusieurs types d’équationséquations linéaires ou non-linéairesà variables séparables (ou séparées)homogènes ou inhomogènescomplètes ou incomplètes1er et 2nd ordres
Equations différentielles linéairesun schéma de travail à reteniryI = yH + yPMéthode de Lagrange pour yP
Pour les équations à coefficients constantsEquation caractéristique au second ordre
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 4
Introduction
Ce que nous avons vu... en image
Equation différentielle
Non-linéaire
Variables séparées
Intégration directe
Cas général Hors programme
Linéaire Principe de superposition
Solution homogène
1er ordre : variables séparées
Intégration directe
2ème ordre
Coefficients constants
Equation caractéristique
Coefficients variables
Hors programme
Solution particulière
Vérification d'une donnée
Principe de superposition
Tableau
Méthode de Lagrange
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 5
Introduction
Mais comment faire quand ...
l’équation est linéaire mais :les coefficients ne sont pas constantset/ou il y a plusieurs termes perturbateurset/ou elle est incomplète
l’équation est non-linéaire
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 6
Introduction
Mais comment faire quand ...
l’équation est linéaire mais :1. les coefficients ne sont pas constants2. et/ou il y a plusieurs termes perturbateurs3. et/ou elle est incomplète
4. l’équation est non-linéaire
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EDL à coefficients variables
Plan
1 Introduction2 EDL à coefficients variables
Solution générale de l’équation homogène (associée)La solution particulière
3 Terme perturbateurLe principe de superpositionApplication du principe de superpositionConclusion
4 Les équations linéaires incomplètesProblématiqueChangement de variable
5 Équation non-linéaire6 Recommandations
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EDL à coefficients variables
Schéma de résolution d’une équation linéaire
Ce qui va changer
1 Faire la mise en équation
2 Exprimer la solution générale de l’équation différentielleSi elle est inhomogène (I) :2.1 Ecrire l’équation homogène associée (H)
2.2 Résoudre l’équation homogène : solution générale yH de (H)
2.3 Trouver une solution particulière yP de (I)
2.4 En déduire la solution générale yI de (I) : yI = yH + yP
3 Prise en compte des conditions initiales dans la solution générale :solution du problème
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EDL à coefficients variables Solution générale de l’équation homogène (associée)
Au premier ordre
a(t) · y + b(t) · y = 0 où a(t) et b(t) sont des fonctions
⇐⇒ a(t) · dydt + b(t) · y = 0
se ré-écrit toujours commedyy︸︷︷︸
g(y)
= −b(t)a(t) · dt︸ ︷︷ ︸
f (t)
→ séparation des variables
Même quand les coefficients sont variablesUne équation différentielle linéaire du premier ordre est toujours à variablesséparables. On intégrera directement.
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EDL à coefficients variables Solution générale de l’équation homogène (associée)
Au premier ordre
a(t) · y + b(t) · y = 0 où a(t) et b(t) sont des fonctions
⇐⇒ a(t) · dydt + b(t) · y = 0
se ré-écrit toujours commedyy︸︷︷︸
g(y)
= −b(t)a(t) · dt︸ ︷︷ ︸
f (t)
→ séparation des variables
Même quand les coefficients sont variablesUne équation différentielle linéaire du premier ordre est toujours à variablesséparables. On intégrera directement.
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EDL à coefficients variables Solution générale de l’équation homogène (associée)
Au premier ordre
a(t) · y + b(t) · y = 0 où a(t) et b(t) sont des fonctions
⇐⇒ a(t) · dydt + b(t) · y = 0
se ré-écrit toujours commedyy︸︷︷︸
g(y)
= −b(t)a(t) · dt︸ ︷︷ ︸
f (t)
→ séparation des variables
Même quand les coefficients sont variablesUne équation différentielle linéaire du premier ordre est toujours à variablesséparables. On intégrera directement.
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EDL à coefficients variables Solution générale de l’équation homogène (associée)
Au premier ordre
a(t) · y + b(t) · y = 0 où a(t) et b(t) sont des fonctions
⇐⇒ a(t) · dydt + b(t) · y = 0
se ré-écrit toujours commedyy︸︷︷︸
g(y)
= −b(t)a(t) · dt︸ ︷︷ ︸
f (t)
→ séparation des variables
Même quand les coefficients sont variablesUne équation différentielle linéaire du premier ordre est toujours à variablesséparables. On intégrera directement.
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EDL à coefficients variables Solution générale de l’équation homogène (associée)
Un exemple du 1er ordre
cos(t) · y + sin(t) · y = 0
cos(t) · dydt + sin(t) · y = 0
dyy = − sin(t)
cos(t) · dt = − tan(t) · dt
∫ dyy =
∫− sin(t)cos(t) · dt =
∫ u′u dt avec u(t) = cos(t)
ln |y | = ln | cos(t)|+ C =⇒ y = K · cos(t), K ∈ C
Seule difficulté :L’intégration est parfois fastidieuse (contrairement à cet exemple).
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EDL à coefficients variables Solution générale de l’équation homogène (associée)
Un exemple du 1er ordre
cos(t) · y + sin(t) · y = 0
cos(t) · dydt + sin(t) · y = 0
dyy = − sin(t)
cos(t) · dt = − tan(t) · dt
∫ dyy =
∫− sin(t)cos(t) · dt =
∫ u′u dt avec u(t) = cos(t)
ln |y | = ln | cos(t)|+ C =⇒ y = K · cos(t), K ∈ C
Seule difficulté :L’intégration est parfois fastidieuse (contrairement à cet exemple).
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EDL à coefficients variables Solution générale de l’équation homogène (associée)
Un exemple du 1er ordre
cos(t) · y + sin(t) · y = 0
cos(t) · dydt + sin(t) · y = 0
dyy = − sin(t)
cos(t) · dt = − tan(t) · dt
∫ dyy =
∫− sin(t)cos(t) · dt =
∫ u′u dt avec u(t) = cos(t)
ln |y | = ln | cos(t)|+ C =⇒ y = K · cos(t), K ∈ C
Seule difficulté :L’intégration est parfois fastidieuse (contrairement à cet exemple).
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EDL à coefficients variables Solution générale de l’équation homogène (associée)
Un exemple du 1er ordre
cos(t) · y + sin(t) · y = 0
cos(t) · dydt + sin(t) · y = 0
dyy = − sin(t)
cos(t) · dt = − tan(t) · dt
∫ dyy =
∫− sin(t)cos(t) · dt =
∫ u′u dt avec u(t) = cos(t)
ln |y | = ln | cos(t)|+ C =⇒ y = K · cos(t), K ∈ C
Seule difficulté :L’intégration est parfois fastidieuse (contrairement à cet exemple).
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EDL à coefficients variables Solution générale de l’équation homogène (associée)
Un exemple du 1er ordre
cos(t) · y + sin(t) · y = 0
cos(t) · dydt + sin(t) · y = 0
dyy = − sin(t)
cos(t) · dt = − tan(t) · dt
∫ dyy =
∫− sin(t)cos(t) · dt =
∫ u′u dt avec u(t) = cos(t)
ln |y | = ln | cos(t)|+ C =⇒ y = K · cos(t), K ∈ C
Seule difficulté :L’intégration est parfois fastidieuse (contrairement à cet exemple).
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EDL à coefficients variables Solution générale de l’équation homogène (associée)
Un exemple du 1er ordre
cos(t) · y + sin(t) · y = 0
cos(t) · dydt + sin(t) · y = 0
dyy = − sin(t)
cos(t) · dt = − tan(t) · dt
∫ dyy =
∫− sin(t)cos(t) · dt =
∫ u′u dt avec u(t) = cos(t)
ln |y | = ln | cos(t)|+ C =⇒ y = K · cos(t), K ∈ C
Seule difficulté :L’intégration est parfois fastidieuse (contrairement à cet exemple).
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EDL à coefficients variables Solution générale de l’équation homogène (associée)
Deuxième ordre
Coefficients constants : équation caractéristique
Coefficients variables (non-constants)Discriminant : uniquement des réels ou des complexesImpossible d’utiliser l’équation caractéristique
Pas d’expression générale ⇒ Fonctions spéciales (Bessel, Airy)
Mais ce qui est toujours vrai : “la solution générale d’une EDL2 estla combinaison linéaire de deux solutions particulièresnon-proportionnelles”
Concrètement pour une EDL2 homogène à coefficients variables :Si nous avons deux solutions particulières non-proportionnelles :combinaison linéaireSinon : sauf cas particulier (absence de y), hors programme
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EDL à coefficients variables Solution générale de l’équation homogène (associée)
Un exemple du 2ème ordre
Montrer que t2y − 6y = 0 admet pour solutions particulières y1 = t3 ety2 = 1/t2 et en déduire sa solution générale.
y1 = 3t2 ⇒ y1 = 6t ⇒ t2y1 = 6t3 ⇒ t2yI − 6yI = 0 �y2 = −2t−3 ⇒ y2 = 6t−4 ⇒ t2y2 = 6t−2 ⇒ t2y2 − 6y2 = 0 �y1 et y2 ne sont pas proportionnelleson peut en faire une combinaison linéaire
yH = At3 +Bt2 , A,B ∈ C
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EDL à coefficients variables Solution générale de l’équation homogène (associée)
Un exemple du 2ème ordre
Montrer que t2y − 6y = 0 admet pour solutions particulières y1 = t3 ety2 = 1/t2 et en déduire sa solution générale.
y1 = 3t2 ⇒ y1 = 6t ⇒ t2y1 = 6t3 ⇒ t2yI − 6yI = 0 �
y2 = −2t−3 ⇒ y2 = 6t−4 ⇒ t2y2 = 6t−2 ⇒ t2y2 − 6y2 = 0 �y1 et y2 ne sont pas proportionnelleson peut en faire une combinaison linéaire
yH = At3 +Bt2 , A,B ∈ C
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 12
EDL à coefficients variables Solution générale de l’équation homogène (associée)
Un exemple du 2ème ordre
Montrer que t2y − 6y = 0 admet pour solutions particulières y1 = t3 ety2 = 1/t2 et en déduire sa solution générale.
y1 = 3t2 ⇒ y1 = 6t ⇒ t2y1 = 6t3 ⇒ t2yI − 6yI = 0 �y2 = −2t−3 ⇒ y2 = 6t−4 ⇒ t2y2 = 6t−2 ⇒ t2y2 − 6y2 = 0 �
y1 et y2 ne sont pas proportionnelleson peut en faire une combinaison linéaire
yH = At3 +Bt2 , A,B ∈ C
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EDL à coefficients variables Solution générale de l’équation homogène (associée)
Un exemple du 2ème ordre
Montrer que t2y − 6y = 0 admet pour solutions particulières y1 = t3 ety2 = 1/t2 et en déduire sa solution générale.
y1 = 3t2 ⇒ y1 = 6t ⇒ t2y1 = 6t3 ⇒ t2yI − 6yI = 0 �y2 = −2t−3 ⇒ y2 = 6t−4 ⇒ t2y2 = 6t−2 ⇒ t2y2 − 6y2 = 0 �y1 et y2 ne sont pas proportionnelleson peut en faire une combinaison linéaire
yH = At3 +Bt2 , A,B ∈ C
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EDL à coefficients variables Solution générale de l’équation homogène (associée)
Un exemple du 2ème ordre
Montrer que t2y − 6y = 0 admet pour solutions particulières y1 = t3 ety2 = 1/t2 et en déduire sa solution générale.
y1 = 3t2 ⇒ y1 = 6t ⇒ t2y1 = 6t3 ⇒ t2yI − 6yI = 0 �y2 = −2t−3 ⇒ y2 = 6t−4 ⇒ t2y2 = 6t−2 ⇒ t2y2 − 6y2 = 0 �y1 et y2 ne sont pas proportionnelleson peut en faire une combinaison linéaire
yH = At3 +Bt2 , A,B ∈ C
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EDL à coefficients variables Solution générale de l’équation homogène (associée)
Schéma de résolution d’une équation linéaire
Vu et à faire
1 Faire la mise en équation
2 Exprimer la solution générale de l’équation différentielleSi elle est inhomogène (I) :2.1 Ecrire l’équation homogène associée (H)
2.2 Résoudre l’équation homogène : solution générale yH de (H)
2.3 Trouver une solution particulière yP de (I)
2.4 En déduire la solution générale yI de (I) : yI = yH + yP
3 Prise en compte des conditions initiales dans la solution générale :solution du problème
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EDL à coefficients variables La solution particulière
Au premier ordre
Pour une équation inhomogène
a(t) · y + b(t) · y = p(t) (I)
Coefficients constants :TableauMéthode de Lagrange (variation de la constante)
Coefficients variables :Difficile de faire un tableau pour toutes les possibilités /On utilisera la méthode de Lagrange
RappelPour trouver yP avec la méthode de Lagrange, il suffit de remplacer laconstante de yH par une fonction avant de l’injecter dans (I)
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 14
EDL à coefficients variables La solution particulière
Lagrange avec EDL1 à coefficients variables #1
ty + y = cos(t) (I)
2.1 Equation différentielle homogène associéet · y + y = 0 (H)
2.2 Solution de (H) :On écrit dy
y = −dtt =⇒ ln |y | = − ln |t|︸ ︷︷ ︸
ln1|t|
+C =⇒ yH =Kt , K ∈ C
2.3 Recherche de yP avec Lagrange2.3.1 yP =
K (t)t
2.3.2 Injection dans (I)
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 15
EDL à coefficients variables La solution particulière
Lagrange avec EDL1 à coefficients variables #1
ty + y = cos(t) (I)
2.1 Equation différentielle homogène associéet · y + y = 0 (H)
2.2 Solution de (H) :On écrit dy
y = −dtt =⇒ ln |y | = − ln |t|︸ ︷︷ ︸
ln1|t|
+C =⇒ yH =Kt , K ∈ C
2.3 Recherche de yP avec Lagrange2.3.1 yP =
K (t)t
2.3.2 Injection dans (I)
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 15
EDL à coefficients variables La solution particulière
Lagrange avec EDL1 à coefficients variables #1
ty + y = cos(t) (I)
2.1 Equation différentielle homogène associéet · y + y = 0 (H)
2.2 Solution de (H) :On écrit dy
y = −dtt =⇒ ln |y | = − ln |t|︸ ︷︷ ︸
ln1|t|
+C =⇒ yH =Kt , K ∈ C
2.3 Recherche de yP avec Lagrange2.3.1 yP =
K (t)t
2.3.2 Injection dans (I)
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 15
EDL à coefficients variables La solution particulière
Lagrange avec EDL1 à coefficients variables #1
ty + y = cos(t) (I)
2.1 Equation différentielle homogène associéet · y + y = 0 (H)
2.2 Solution de (H) :On écrit dy
y = −dtt =⇒ ln |y | = − ln |t|︸ ︷︷ ︸
ln1|t|
+C =⇒ yH =Kt , K ∈ C
2.3 Recherche de yP avec Lagrange2.3.1 yP =
K (t)t
2.3.2 Injection dans (I)IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 15
EDL à coefficients variables La solution particulière
Lagrange avec EDL1 à coefficients variables #2
2.3.2tyP = K (t)− K (t)
t =⇒ tyP + y = K (t) = cos(t)
avec constante d’intégration nulle (cf. cours 3) =⇒ K (t) = sin(t)
=⇒ yP(t) =K (t)t =
sin(t)t = yP(t)
2.4 yI = yH + yP donc :
yI(t) =Kt︸︷︷︸
yH
+sin(t)t︸ ︷︷ ︸yP
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EDL à coefficients variables La solution particulière
Lagrange avec EDL1 à coefficients variables #2
2.3.2tyP = K (t)− K (t)
t =⇒ tyP + y = K (t) = cos(t)
avec constante d’intégration nulle (cf. cours 3) =⇒ K (t) = sin(t)
=⇒ yP(t) =K (t)t =
sin(t)t = yP(t)
2.4 yI = yH + yP donc :
yI(t) =Kt︸︷︷︸
yH
+sin(t)t︸ ︷︷ ︸yP
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 16
EDL à coefficients variables La solution particulière
Lagrange avec EDL1 à coefficients variables #2
2.3.2tyP = K (t)− K (t)
t =⇒ tyP + y = K (t) = cos(t)
avec constante d’intégration nulle (cf. cours 3) =⇒ K (t) = sin(t)
=⇒ yP(t) =K (t)t =
sin(t)t = yP(t)
2.4 yI = yH + yP donc :
yI(t) =Kt︸︷︷︸
yH
+sin(t)t︸ ︷︷ ︸yP
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 16
EDL à coefficients variables La solution particulière
Au second ordre
Pour une équation différentielle linéaire inhomogène :
a(t) · y + b(t) · y + c(t) · y = p(t) (H)
Avec des coefficients constants :Tableau de formes recommandées ,Méthode de Lagrange : difficile /Parfois : vérification d’une donnée de l’énoncé �
Avec des coefficients non-constants :Pas de tableau de formes recommandées /Méthode de Lagrange possible mais extrêmement difficile //Seule possibilité cette année : vérification d’une donnée de l’énoncé �
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 17
EDL à coefficients variables La solution particulière
Solution particulière d’une EDL2 à coefficients variables
Donner la solution générale de l’équation différentielle t2y − 6y = 6t4 envérifiant que yP = t4 en est une solution particulière.
2.1 - 2.2 On a déjà yH = At3 +Bt2 , A,B ∈ C (diapo 12)
2.3 yP = 4 · 3 · t2 = 12t2 ⇒ t2yP = 12t4 ⇒ t2yP − 6yP = 6t4 �
2.4 yI = At3 +Bt2 + t4, A,B ∈ C
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 18
EDL à coefficients variables La solution particulière
À retenir
Validité de la méthode de LagrangeLa méthode de Lagrange fonctionne avec toutes les équationsdifférentielles inhomogènes :
du premier ordredu second ordre (hors programme car difficile)à coefficients constantsà coefficients variables (non-constants)À condition qu’elles soient linéaires
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 19
Terme perturbateur
Plan
1 Introduction2 EDL à coefficients variables
Solution générale de l’équation homogène (associée)La solution particulière
3 Terme perturbateurLe principe de superpositionApplication du principe de superpositionConclusion
4 Les équations linéaires incomplètesProblématiqueChangement de variable
5 Équation non-linéaire6 Recommandations
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 20
Terme perturbateur
Mise en situation
On veut résoudre une équation
Linéaire et inhomogène
Avec n termes perturbateurs· · · ou si l’on préfère un terme sous forme d’une somme
Exemple à l’ordre 1 :
a(t) · y + by = p1(t) + p2(t) + · · ·+ pn(t) (I)
Pour l’instant : on sait faire avec un terme⇒ polynôme, sinus, cosinus, exponentielle et leurs produits
Qu’est-ce qui va changer ?
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 21
Terme perturbateur
Schéma de résolution d’une équation linéaire
=⇒ Etape 2 : ce qui change et ce qui ne change pas
1 Faire la mise en équation
2 Exprimer la solution générale de l’équation différentielleSi elle est inhomogène (I) :2.1 Ecrire l’équation homogène associée (H)
2.2 Résoudre l’équation homogène : solution générale yH de (H)
2.3 Trouver une solution particulière yP de (I)
2.4 En déduire la solution générale yI de (I) : yI = yH + yP
3 Prise en compte des conditions initiales dans la solution générale :solution du problème
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 22
Terme perturbateur Le principe de superposition
Principe de superposition
ThéorèmeSoit une EDL inhomogène d’ordre m contenant n termes perturbateurs
G(t,y ,y ,y ,...,y (m)) = p1(t) + p2(t) + · · · pn(t) (I)
et soient les n EDL inhomogènes d’ordre m
G(t,y ,y ,y ,...,y (m)) = pi(t) (Ii)
admettant respectivement yPi pour solution particulière, alors
yP = yP1 + yP2 + · · ·+ yPn =n∑
i=1yPi
est une solution particulière de (I)
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 23
Terme perturbateur Le principe de superposition
À propos du principe de superposition
Déjà utilisé dans ce cours1er et 2nd ordres : “yI = yH + yP”2nd ordre : combinaison des solutions issues de l’équationcaractéristique2nd ordre : “la solution générale est la combinaison de deux solutionsnon-proportionnelles”
Un principe que l’on retrouve partout en physiqueLorsque le système est linéaireen électricité (éteindre puis rallumer les générateurs)résistance des matériaux (sollicitations élémentaires)mécanique quantique (superposition d’états)optique ondulatoire...
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 24
Terme perturbateur Le principe de superposition
Principe de superposition avec deux termes
Pour essayer de comprendre :Premier ordre (m = 1)2 termes de perturbation (n = 2)Exemple possibles :
RC série avec e(t) = E0 + E cos(ωt + ϕ)Vitesse d’un pendule pesant élastique forcé par un sinus
Littéralement :
a(t) · y + b(t) · y = p1(t) + p2(t) (I)
on cherche une solution particulière yP
Principe de superposition : on crée deux équations
a(t) · y + b(t) · y = p1(t) (I1)
eta(t) · y + b(t) · y = p2(t) (I2)
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 25
Terme perturbateur Application du principe de superposition
Application du principe
On trouve une solution particulière yP1 de (I1)
On trouve une solution particulière yP2 de (I2)
Pour chacune d’entre elles :Méthode du tableauMéthode de LagrangeVérification d’une donnée de l’énoncé
On somme les deux : yP = yP1 + yP2 est solution de (I) !
Fonctionne toujours pour une équation linéaire :1er et 2ème ordresQuel que soit le nombre de termesAvec des coefficients variables ou constantsConséquence de la linéarité de l’équation
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 26
Terme perturbateur Application du principe de superposition
Exemple au premier ordre
y + 2y = 1 + et (I)
y + 2y = 1 (I1)
tableau : posons yP1 = K0 + 2K = 1 =⇒ K = 1/2
yP1 =12
y + 2y = et (I2)
tableau : k 6= −b/a⇒ yP2 = Ket
Ket + 2Ket = et
⇒ K =13 ⇒ yP2 =
13e
t
yP = yP1 + yP2 =12 +
13e
t
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 27
Terme perturbateur Application du principe de superposition
Vérifications
1. En injectant : yP = 13e
t → 13e
t︸︷︷︸yP
+2 ·(12 +
13e
t)
︸ ︷︷ ︸yP
= 1 + et �
2. Résolution directe avec Lagrange
y + 2y = 1 + et (I) =⇒ y + 2y = 0 (H) =⇒ yH = Ke−2t
yP = K (t) · e−2t 7→ K (t) · e−2t = 1 + et =⇒ K (t) = e2t + e3t
Intégration avec constante nulle :
K (t) =12e
2t +13e
3t =⇒ yP(t) = K (t)e−2t =12 +
13e
t = yP(t) �
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 28
Terme perturbateur Application du principe de superposition
Vérifications
1. En injectant : yP = 13e
t → 13e
t︸︷︷︸yP
+2 ·(12 +
13e
t)
︸ ︷︷ ︸yP
= 1 + et �
2. Résolution directe avec Lagrange
y + 2y = 1 + et (I) =⇒ y + 2y = 0 (H) =⇒ yH = Ke−2t
yP = K (t) · e−2t 7→ K (t) · e−2t = 1 + et =⇒ K (t) = e2t + e3t
Intégration avec constante nulle :
K (t) =12e
2t +13e
3t =⇒ yP(t) = K (t)e−2t =12 +
13e
t = yP(t) �
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Terme perturbateur Application du principe de superposition
Vérifications
1. En injectant : yP = 13e
t → 13e
t︸︷︷︸yP
+2 ·(12 +
13e
t)
︸ ︷︷ ︸yP
= 1 + et �
2. Résolution directe avec Lagrange
y + 2y = 1 + et (I) =⇒ y + 2y = 0 (H) =⇒ yH = Ke−2t
yP = K (t) · e−2t 7→ K (t) · e−2t = 1 + et =⇒ K (t) = e2t + e3t
Intégration avec constante nulle :
K (t) =12e
2t +13e
3t =⇒ yP(t) = K (t)e−2t =12 +
13e
t = yP(t) �
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Terme perturbateur Application du principe de superposition
Vérifications
1. En injectant : yP = 13e
t → 13e
t︸︷︷︸yP
+2 ·(12 +
13e
t)
︸ ︷︷ ︸yP
= 1 + et �
2. Résolution directe avec Lagrange
y + 2y = 1 + et (I) =⇒ y + 2y = 0 (H) =⇒ yH = Ke−2t
yP = K (t) · e−2t 7→ K (t) · e−2t = 1 + et =⇒ K (t) = e2t + e3t
Intégration avec constante nulle :
K (t) =12e
2t +13e
3t =⇒ yP(t) = K (t)e−2t =12 +
13e
t = yP(t) �
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Terme perturbateur Conclusion
Conclusion sur le terme perturbateur
Souvent :Utiliser le principe de superpositionUtiliser la méthode de LagrangeChoisir ce que l’on préfèreToutes mènent au même endroit
Dire que yI = yH + yP :c’est dire que p(t) = 0 + p(t)yH correspond à p(t) = 0yP correspond à p(t)c’est le principe de superposition !
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Les équations linéaires incomplètes
Plan
1 Introduction2 EDL à coefficients variables
Solution générale de l’équation homogène (associée)La solution particulière
3 Terme perturbateurLe principe de superpositionApplication du principe de superpositionConclusion
4 Les équations linéaires incomplètesProblématiqueChangement de variable
5 Équation non-linéaire6 Recommandations
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 30
Les équations linéaires incomplètes Problématique
Des équations que l’on sait déjà résoudreLes EDL incomplètes rentrent dans le schéma suivant ...
Equation différentielle
Non-linéaire
Variables séparées
Intégration directe
Cas général Hors programme
Linéaire Principe de superposition
Solution homogène
1er ordre : variables séparées
Intégration directe
2ème ordre
Coefficients constants
Equation caractéristique
Coefficients variables
Hors programme
Solution particulière
Vérification d'une donnée
Principe de superposition
Tableau
Méthode de Lagrange
...avec les méthodes adéquatesIUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 31
Les équations linéaires incomplètes Problématique
Un ensemble de cas particuliers
Inutile d’utiliser une méthode du type :Recherche de yHpuis recherche de yI = yH + yP
avec une équation incomplète du style :
y = 2 (I)
Beaucoup de travail pour rien parce que :y =
x2 · dt2 = t2 + rt + s
r , s ∈ C donc on a la solution générale de (I)
Méthode par changement de variable
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 32
Les équations linéaires incomplètes Problématique
Un ensemble de cas particuliers
Inutile d’utiliser une méthode du type :Recherche de yHpuis recherche de yI = yH + yP
avec une équation incomplète du style :
y = 2 (I)
Beaucoup de travail pour rien parce que :y =
x2 · dt2 = t2 + rt + s
r , s ∈ C donc on a la solution générale de (I)
Méthode par changement de variable
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 32
Les équations linéaires incomplètes Problématique
Un ensemble de cas particuliers
Inutile d’utiliser une méthode du type :Recherche de yHpuis recherche de yI = yH + yP
avec une équation incomplète du style :
y = 2 (I)
Beaucoup de travail pour rien parce que :y =
x2 · dt2 = t2 + rt + s
r , s ∈ C donc on a la solution générale de (I)
Méthode par changement de variable
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Les équations linéaires incomplètes Problématique
Equations du type yn = p(t)
Méthode de résolution directeLes équations du type
y (n) = p(t)
c’est à direy = p(t)
ouy = p(t)
se résolvent par n intégrations successives (resp. 1 ou 2)
solutions générales : n constantes d’intégrationdifficulté : savoir intégrerNB : peuvent aussi se résoudre par la méthode des EDL
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 33
Les équations linéaires incomplètes Changement de variable
EDL2 privées de y
On souhaite résoudre l’équation incomplète
a(t) · y + b(t) · y = p(t) (I)
On peut :Equation caractéristique (yH) puis yI = yH + yP
Changer la fonction (changement de variable)
=⇒ Système à résoudre :{z = ya(t) · z + b(t) · z = p(t)
Méthode de résolution directeLes EDL2 privées de y se ramènent en posant z = y à une EDL1. Lasolution générale y est ensuite obtenue par une seule intégration de z .
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Les équations linéaires incomplètes Changement de variable
EDL2 privées de y
On souhaite résoudre l’équation incomplète
a(t) · y + b(t) · y = p(t) (I)
On peut :Equation caractéristique (yH) puis yI = yH + yP
Changer la fonction (changement de variable)
=⇒ Système à résoudre :{z = ya(t) · z + b(t) · z = p(t)
Méthode de résolution directeLes EDL2 privées de y se ramènent en posant z = y à une EDL1. Lasolution générale y est ensuite obtenue par une seule intégration de z .
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Les équations linéaires incomplètes Changement de variable
EDL2 privées de y
On souhaite résoudre l’équation incomplète
a(t) · y + b(t) · y = p(t) (I)
On peut :Equation caractéristique (yH) puis yI = yH + yP
Changer la fonction (changement de variable)
=⇒ Système à résoudre :{z = ya(t) · z + b(t) · z = p(t)
Méthode de résolution directeLes EDL2 privées de y se ramènent en posant z = y à une EDL1. Lasolution générale y est ensuite obtenue par une seule intégration de z .
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Les équations linéaires incomplètes Changement de variable
Exemple d’une EDL2 privée de y
y − y = 2 (I)
1. Méthode des EDL2y − y = 0 (H)
r2 − r = r(r − 1) = 0⇒ r = 0 ou r = 1
yH = A + B · et
yP = αt + β (tableau)Injection dans (I)
⇒ α = −2 et β ∈ Con choisit donc β = 0yP(t) = −2t
yI(t) = −2t + A + Bet
2. Changement de variable :
{z = yz − z = 2 (Iz) 7→ z − z = 0 (Hz)
Facilement : zH = B · et
Tableau : zP = α⇒ zP = −2
zI = −2 + B · et
⇒ yI(t) = −2t + A + B · et
Gain de temps
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 35
Les équations linéaires incomplètes Changement de variable
Exemple d’une EDL2 privée de y
y − y = 2 (I)
1. Méthode des EDL2y − y = 0 (H)
r2 − r = r(r − 1) = 0⇒ r = 0 ou r = 1
yH = A + B · et
yP = αt + β (tableau)Injection dans (I)
⇒ α = −2 et β ∈ Con choisit donc β = 0yP(t) = −2t
yI(t) = −2t + A + Bet
2. Changement de variable :
{z = yz − z = 2 (Iz) 7→ z − z = 0 (Hz)
Facilement : zH = B · et
Tableau : zP = α⇒ zP = −2
zI = −2 + B · et
⇒ yI(t) = −2t + A + B · et
Gain de temps
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 35
Les équations linéaires incomplètes Changement de variable
Exemple d’une EDL2 privée de y
y − y = 2 (I)
1. Méthode des EDL2y − y = 0 (H)
r2 − r = r(r − 1) = 0⇒ r = 0 ou r = 1
yH = A + B · et
yP = αt + β (tableau)Injection dans (I)
⇒ α = −2 et β ∈ Con choisit donc β = 0yP(t) = −2t
yI(t) = −2t + A + Bet
2. Changement de variable :
{z = yz − z = 2 (Iz) 7→ z − z = 0 (Hz)
Facilement : zH = B · et
Tableau : zP = α⇒ zP = −2
zI = −2 + B · et
⇒ yI(t) = −2t + A + B · et
Gain de temps
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Les équations linéaires incomplètes Changement de variable
Exemple d’une EDL2 privée de y
y − y = 2 (I)
1. Méthode des EDL2y − y = 0 (H)
r2 − r = r(r − 1) = 0⇒ r = 0 ou r = 1
yH = A + B · et
yP = αt + β (tableau)Injection dans (I)
⇒ α = −2 et β ∈ Con choisit donc β = 0yP(t) = −2t
yI(t) = −2t + A + Bet
2. Changement de variable :
{z = yz − z = 2 (Iz) 7→ z − z = 0 (Hz)
Facilement : zH = B · et
Tableau : zP = α⇒ zP = −2
zI = −2 + B · et
⇒ yI(t) = −2t + A + B · et
Gain de temps
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Les équations linéaires incomplètes Changement de variable
Exemple d’une EDL2 privée de y
y − y = 2 (I)
1. Méthode des EDL2y − y = 0 (H)
r2 − r = r(r − 1) = 0⇒ r = 0 ou r = 1
yH = A + B · et
yP = αt + β (tableau)Injection dans (I)
⇒ α = −2 et β ∈ Con choisit donc β = 0yP(t) = −2t
yI(t) = −2t + A + Bet
2. Changement de variable :{z = yz − z = 2 (Iz) 7→ z − z = 0 (Hz)
Facilement : zH = B · et
Tableau : zP = α⇒ zP = −2
zI = −2 + B · et
⇒ yI(t) = −2t + A + B · et
Gain de temps
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Les équations linéaires incomplètes Changement de variable
Exemple d’une EDL2 privée de y
y − y = 2 (I)
1. Méthode des EDL2y − y = 0 (H)
r2 − r = r(r − 1) = 0⇒ r = 0 ou r = 1
yH = A + B · et
yP = αt + β (tableau)Injection dans (I)
⇒ α = −2 et β ∈ Con choisit donc β = 0yP(t) = −2t
yI(t) = −2t + A + Bet
2. Changement de variable :{z = yz − z = 2 (Iz) 7→ z − z = 0 (Hz)
Facilement : zH = B · et
Tableau : zP = α⇒ zP = −2
zI = −2 + B · et
⇒ yI(t) = −2t + A + B · et
Gain de temps
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Les équations linéaires incomplètes Changement de variable
Exemple d’une EDL2 privée de y
y − y = 2 (I)
1. Méthode des EDL2y − y = 0 (H)
r2 − r = r(r − 1) = 0⇒ r = 0 ou r = 1
yH = A + B · et
yP = αt + β (tableau)Injection dans (I)
⇒ α = −2 et β ∈ Con choisit donc β = 0yP(t) = −2t
yI(t) = −2t + A + Bet
2. Changement de variable :{z = yz − z = 2 (Iz) 7→ z − z = 0 (Hz)
Facilement : zH = B · et
Tableau : zP = α⇒ zP = −2
zI = −2 + B · et
⇒ yI(t) = −2t + A + B · et
Gain de tempsIUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 35
Les équations linéaires incomplètes Changement de variable
EDL2 privée de y à coefficients variables
cos(t) · y + sin(t) · y = 0 (H)
1. Méthode des EDL2
homogènemais à coefficients variablespas de discriminant possibleimpossible de continuer / !
2. Changement de variable :
{z = ycos(t) · z + sin(t) · z = 0 (Hz)
Diapo 10 : z(t) = K · cos(t)
⇒ yI(t) = K sin(t) + C , K ,C ∈ C
Changement de variableEncore plus utile quand on a des coefficients variables !
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Les équations linéaires incomplètes Changement de variable
EDL2 privée de y à coefficients variables
cos(t) · y + sin(t) · y = 0 (H)
1. Méthode des EDL2homogènemais à coefficients variablespas de discriminant possibleimpossible de continuer / !
2. Changement de variable :
{z = ycos(t) · z + sin(t) · z = 0 (Hz)
Diapo 10 : z(t) = K · cos(t)
⇒ yI(t) = K sin(t) + C , K ,C ∈ C
Changement de variableEncore plus utile quand on a des coefficients variables !
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Les équations linéaires incomplètes Changement de variable
EDL2 privée de y à coefficients variables
cos(t) · y + sin(t) · y = 0 (H)
1. Méthode des EDL2homogènemais à coefficients variablespas de discriminant possibleimpossible de continuer / !
2. Changement de variable :{z = ycos(t) · z + sin(t) · z = 0 (Hz)
Diapo 10 : z(t) = K · cos(t)
⇒ yI(t) = K sin(t) + C , K ,C ∈ C
Changement de variableEncore plus utile quand on a des coefficients variables !
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Les équations linéaires incomplètes Changement de variable
EDL2 privée de y à coefficients variables
cos(t) · y + sin(t) · y = 0 (H)
1. Méthode des EDL2homogènemais à coefficients variablespas de discriminant possibleimpossible de continuer / !
2. Changement de variable :{z = ycos(t) · z + sin(t) · z = 0 (Hz)
Diapo 10 : z(t) = K · cos(t)
⇒ yI(t) = K sin(t) + C , K ,C ∈ C
Changement de variableEncore plus utile quand on a des coefficients variables !
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Les équations linéaires incomplètes Changement de variable
EDL2 privée de y à coefficients variables
cos(t) · y + sin(t) · y = 0 (H)
1. Méthode des EDL2homogènemais à coefficients variablespas de discriminant possibleimpossible de continuer / !
2. Changement de variable :{z = ycos(t) · z + sin(t) · z = 0 (Hz)
Diapo 10 : z(t) = K · cos(t)
⇒ yI(t) = K sin(t) + C , K ,C ∈ C
Changement de variableEncore plus utile quand on a des coefficients variables !
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Équation non-linéaire
Plan
1 Introduction2 EDL à coefficients variables
Solution générale de l’équation homogène (associée)La solution particulière
3 Terme perturbateurLe principe de superpositionApplication du principe de superpositionConclusion
4 Les équations linéaires incomplètesProblématiqueChangement de variable
5 Équation non-linéaire6 Recommandations
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Équation non-linéaire
Cas des équations non-linéaires
Pas de propriétés de linéarité : yI 6= yH + yP
Pas de principe de superposition du tout (même pas pour p(t))
Pas de facilités (équation caractéristique, méthode de Lagrange)
Uniquement deux possibilités :
Si variables séparées 7→ intégration directe
Sinon :Changement de variable si possible (équations incomplètes)Méthodes numériques (niveau L3)
Cette année : variables séparées uniquement
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Recommandations
Plan
1 Introduction2 EDL à coefficients variables
Solution générale de l’équation homogène (associée)La solution particulière
3 Terme perturbateurLe principe de superpositionApplication du principe de superpositionConclusion
4 Les équations linéaires incomplètesProblématiqueChangement de variable
5 Équation non-linéaire6 Recommandations
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Recommandations
A connaître : le schéma de résolution linéaire
1 Faire la mise en équation
2 Exprimer la solution générale de l’équation différentielleSi elle est inhomogène (I) :2.1 Ecrire l’équation homogène associée (H)
2.2 Résoudre l’équation homogène : solution générale yH de (H)
2.3 Trouver une solution particulière yP de (I)2.4 En déduire la solution générale yI de (I) : yI = yH + yP
3 Prise en compte des conditions initiales dans la solution générale :solution du problème
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Recommandations
Avoir compris : le schéma général des équations
Equation différentielle
Non-linéaire
Variables séparées
Intégration directe
Cas général Hors programme
Linéaire Principe de superposition
Solution homogène
1er ordre : variables séparées
Intégration directe
2ème ordre
Coefficients constants
Equation caractéristique
Coefficients variables
Hors programme
Solution particulière
Vérification d'une donnée
Principe de superposition
Tableau
Méthode de Lagrange
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 41
Recommandations
Savoir maîtriserLa reconnaissance de la nature d’une équation⇒ ordre ? degré ? homogène ? complète ? linéaire ?
La séparation des variables⇒ indispensable pour les EDL1
La notion de linéarité et ses conséquencesyI = yH + yP pour les EDLprincipe de superposition
Le schéma de résolution générale des équations linéairesQuand chercher yP ?Quand faire intervenir les conditions initiales ?
La recherche d’une solution particulière d’une EDLTableauLagrange
La résolution des équations caractéristiques (EDL2 coef. constants)IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 42
Recommandations
Suite de ce cours
Ce cours d’amphi est terminé
Amenez impérativement votre cours en TD !
Pensez à reprendre les exemples donnés dans ce cours
Attention : devoir sur le cours d’équations différentielles !
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Dec. 2010 43
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