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Les équations différentiellesApplications et mises en équations
Christophe Palermo
IUT de MontpellierDépartement Mesures Physiques
&Institut d’Electronique du Sud
Université Montpellier 2Web : http://palermo.wordpress.com
e-mail : [email protected]
Cours du 16 novembre 2010
MONTPELLIER
Plan
1 Avant de commencer2 Introduction3 Économie4 Physique nucléaire5 Mécanique
Chûte libreL’oscillateur harmonique
6 Electricité7 Problèmes (presque) insolubles analytiquement
Le pendule pesantDynamique des populations
8 Conclusion
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 2 / 40
Avant de commencer
Plan
1 Avant de commencer2 Introduction3 Économie4 Physique nucléaire5 Mécanique
Chûte libreL’oscillateur harmonique
6 Electricité7 Problèmes (presque) insolubles analytiquement
Le pendule pesantDynamique des populations
8 Conclusion
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 3 / 40
Avant de commencer
Fonctions et nombres #1
Soit une fonction f , fonction de la variable x
En toute rigueur :f est le nom de la fonctionf (x) est la valeur de f en x
Abus de langage :f est appelée f (x) pour monter qu’elle dépend de xExpression f (x) = 3 · x + 2 : remplacer le x pour obtenir la valeur f (x)On parlera de variation de f , de dérivée de f et de Df
Exemple plus physique v(t) = 4,9× tv est la fonction vitessemais la vitesse est une grandeur physiquev(t) est la valeur de la vitesse v à l’instant t
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Avant de commencer
Fonctions et nombres #2
En info : fonction additionfloat addition (float a, float b){float r ;r=a+b ;return (r) ;}
définie comme un nombre !
ConclusionOn peut appeler la fonction f (x) au lieu de f mais il faut être conscient dela subtilité qui différencie ces deux notations !
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Avant de commencer
Dérivation
La dérivée de fnotée f ′ est une fonctionf ′(x) est un nombre quand x a une valeur donnéecalcul du nombre f ′(x) : définition
f ′(x) = limdx→0
f (x + dx)− f (x)
dx = limdx→0
dfdx
“Le nombre dérivé en x a pour valeur la différence de f entre x etx + dx divisée par la différence de x lorsque cette dernière est trèspetite”
Comment déterminer f ′ ? Voie possible :Pour une fonction totalement inconnueCalcul des df /dx ∀xRapprochement d’une fonction
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Avant de commencer
Exemples
Représentons :
y =f (x + dx)− f (x)
dx en fonction de x pour différents dxy = f ′(x), fonction connue
-1-0.8-0.6-0.4-0.2
0 0.2 0.4 0.6 0.8
1
-3 -2 -1 0 1 2 3
cos(x)dx=10
dx=1dx=0,1
dx=0,01
f (x) = sin(x)
0 5
10 15 20 25 30 35 40 45 50
0 0.5 1 1.5 2
1/xdx=10
dx=1dx=0,1
dx=0,01
f (x) = ln(x)
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Avant de commencer
Exemples
0 2 4 6 8
10 12 14
0 0.5 1 1.5 2
exp(x)dx=1
dx=0,5dx=0,1
dx=0,01
f (x) = exp(x)
0
1
2
3
4
5
0 0.5 1 1.5 2
2xdx=1
dx=0,5dx=0,1
dx=0,01
f (x) = x2
Plus dx diminueet plus le taux de variation df
dx → nombre dérivé f ′(x), ∀x
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Avant de commencer
Dérivées usuelles
Départ : calcul systématique∀x ∈ R, dx → 0 =⇒ sin(x+dx)−sin(x)
dx → cos(x)
∀x ∈ R, dx → 0 =⇒ ln(x+dx)−ln(x)dx → 1
x∀x ∈ R, dx → 0 =⇒ ex+dx−ex
dx → ex
∀x ∈ R, dx → 0 =⇒ (x+dx)2−x2
dx → 2 · x
Arrivée : opération pour passer d’une fonction à sa dérivéesin′(x) = cos(x)ln′(x) = 1/xexp′(x) = exp(x)(x2)′
= 2 · x
Tableau des dérivées usuelles
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Avant de commencer
Quelques remarques
Il ne faut retenir que les opérations, mais se souvenir qu’elles découlentd’un calcul de taux de variation
Approche numérique mais aussi (et surtout) approches analytiques
Par la suite : dfdx ⇒ dx le plus petit possible !infinitésimalélémentaire
dfdx ⇐⇒
ddx f ⇐⇒ f ′ ⇐⇒ dérivée de f par rapport à x
Si f est fonction du temps t :On aura df
dtdérivée de f par rapport au tempsrapport de variation df pendant dtNotations : dfdt = f ′(t) = f (t)
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Introduction
Plan
1 Avant de commencer2 Introduction3 Économie4 Physique nucléaire5 Mécanique
Chûte libreL’oscillateur harmonique
6 Electricité7 Problèmes (presque) insolubles analytiquement
Le pendule pesantDynamique des populations
8 Conclusion
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Introduction
Les équations différentielles
Présentes dans de nombreux domainesMathématiquesEconomie, biologie, physique, etc.
Plusieurs types :Premier et second ordrede différents degrésd’une ou plusieurs variables (espace, temps)avec ou sans second membre/membre perturbateur
Mise en équationles lois du domaineexemples : PFD, lois des noeuds et des mailles, lois de probabilités, etc.
Résolution de ces équations : outil important
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Introduction
La mise en équation
Simple à condition de trouver la loi adéquate
On s’intéresse :aux variations de la variable recherchéeau pas temporel qui régit ces variations
La solutionfonction dépendant du tempsévolution temporelle d’une variableunité de temps = unité du pas temporel
Exemple en économie : calculer ses intérêts
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Économie
Plan
1 Avant de commencer2 Introduction3 Économie4 Physique nucléaire5 Mécanique
Chûte libreL’oscillateur harmonique
6 Electricité7 Problèmes (presque) insolubles analytiquement
Le pendule pesantDynamique des populations
8 Conclusion
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Économie
Exemple en économie : calcul d’intérêts
Question :“Si je place 3000 euros au taux annuel de 3,6 % et que je ne toucheplus au livret, combien aurai-je au bout d’un an ?”Problème pas si simple !
Réponse évidente, mais fausse :3,6 % de 3000 euros ça fait 108 euros d’intérêtsJ’aurai donc 3108 euros
Pourquoi la réponse est-elle fausse ?Parce que j’aurai en fait 3110 eurosParce qu’il faut résoudre une équation différentielleParce que les intérêts sont calculés tous les 15 jours
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Économie
La mise en équation
Calcul d’intérêts
La variation dp sur une période du pécule est proportionnelle :au taux kau temps qui s’écoule dtà l’encours p
Equation : dp =k100 · p · dt
Attention :il faut choisir dt correctement (suffisamment petit)banques : dt = 1 quinzaine et donc k =
3,624 % (24 quinzaines par an)
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Économie
La mise en équation
Calcul d’intérêts
La variation dp sur une période du pécule est proportionnelle :au taux kau temps qui s’écoule dtà l’encours p
Equation : dp =k100 · p · dt
Attention :il faut choisir dt correctement (suffisamment petit)banques : dt = 1 quinzaine et donc k =
3,624 % (24 quinzaines par an)
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 16 / 40
Économie
Exemple d’économie : l’équation différentielle
dpdt −
k100 · p = 0
Deux approches de la même chose :Rapport ∆p/∆t quand ∆t devient très petitDérivée de p par rapport à t
Présence de p et de dp/dt : premier ordre
“= 0”Pas de second membrePas de perturbation (membre perturbateur)
Equation différentielledu premier ordresans second membre (⇔ membre perturbateur) : homogèneunité de temps de la solution : la quinzaine
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Économie
Exemple d’économie : l’équation différentielle
dpdt −
k100 · p = 0
Deux approches de la même chose :Rapport ∆p/∆t quand ∆t devient très petitDérivée de p par rapport à t
Présence de p et de dp/dt : premier ordre
“= 0”Pas de second membrePas de perturbation (membre perturbateur)
Equation différentielledu premier ordresans second membre (⇔ membre perturbateur) : homogèneunité de temps de la solution : la quinzaine
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 17 / 40
Économie
Exemple d’économie : l’équation différentielle
dpdt −
k100 · p = 0
Deux approches de la même chose :Rapport ∆p/∆t quand ∆t devient très petitDérivée de p par rapport à t
Présence de p et de dp/dt : premier ordre
“= 0”Pas de second membrePas de perturbation (membre perturbateur)
Equation différentielledu premier ordresans second membre (⇔ membre perturbateur) : homogèneunité de temps de la solution : la quinzaine
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 17 / 40
Économie
Exemple d’économie : l’équation différentielle
dpdt −
k100 · p = 0
Deux approches de la même chose :Rapport ∆p/∆t quand ∆t devient très petitDérivée de p par rapport à t
Présence de p et de dp/dt : premier ordre
“= 0”Pas de second membrePas de perturbation (membre perturbateur)
Equation différentielledu premier ordresans second membre (⇔ membre perturbateur) : homogèneunité de temps de la solution : la quinzaine
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 17 / 40
Économie
Exemple d’économie : l’équation différentielle
dpdt −
k100 · p = 0
Deux approches de la même chose :Rapport ∆p/∆t quand ∆t devient très petitDérivée de p par rapport à t
Présence de p et de dp/dt : premier ordre
“= 0”Pas de second membrePas de perturbation (membre perturbateur)
Equation différentielledu premier ordresans second membre (⇔ membre perturbateur) : homogèneunité de temps de la solution : la quinzaine
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 17 / 40
Économie
Solution du problème
Nous verrons plus tard que p(t) = p0 · ek100 t
Condition initiale : à l’instant zéro j’ai 3000 euros
Donc p(0) = p0 = 3000
Au bout d’un an :
p(24 quinz.) = 3000 · e1,5·10−3×24 = 3110 euros
Et au bout de 10 ans ?
p(240 quinz.) = 3000 · e1,5·10−3×240 = 4300 euros
soit +43 %Calcul faux : 10× 3,6 = 36 %
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Physique nucléaire
Plan
1 Avant de commencer2 Introduction3 Économie4 Physique nucléaire5 Mécanique
Chûte libreL’oscillateur harmonique
6 Electricité7 Problèmes (presque) insolubles analytiquement
Le pendule pesantDynamique des populations
8 Conclusion
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Physique nucléaire
Physique nucléaire : décroissance radioactive
Processus de PoissonProbabilité d’occurrence indépendante du passéParticule plus agée =⇒ même chance de se désintégrer
Variation du nombre de particules pendant l’instant dtnégativeproportionnelle au nombre en cours
dN(t) = −λ · N(t) · dt
équation différentielle :
dNdt + λ · N = 0
S. D. Poisson1781-1860
λ :constante de décroissance ;homogène à l’inverse d’un temps ;reliée à τ (demi-vie) ⇒ calcul plus loin
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Mécanique
Plan
1 Avant de commencer2 Introduction3 Économie4 Physique nucléaire5 Mécanique
Chûte libreL’oscillateur harmonique
6 Electricité7 Problèmes (presque) insolubles analytiquement
Le pendule pesantDynamique des populations
8 Conclusion
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 21 / 40
Mécanique Chûte libre
Mécanique : chûte d’un corps
Chute d’un corps sans forces de frottement :Satellite (naturel ou artificiel)
La loi à appliquer : le PFD (2nde loi de Newton)
Forces appliquées au mobile :Poids m~g de haut en baset rien d’autre ∑
F (= m~g) = m~a
Projection sur les ordonnées :
ma = −mg
h
h0
0
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Mécanique Chûte libre
Equation du premier ordre
Remarques :la masse n’intervient pas !il ne se passe rien en abscisse
Accélération :variation de vitesse dv pendant l’instant dtdérivée de v par rapport à t
Equation différentielle de la vitesse :
dvdt = −g
1er ordre, 1er degré et avec membre perturbateurun terme en dv/dtmais pas de membre en v(t)équation incomplète
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 23 / 40
Mécanique Chûte libre
Equation du second ordre
Vitesse :variation de position dh pendant l’instant dtdérivée de h par rapport à t
Accélération :d(
dhdt
)dt =
ddt
(dhdt
)=
d2hdt2 = h
Equation différentielle de la position :
d2hdt2 = −g
2ème ordre, 1er degré et avec membre perturbateurun terme en d2h/dt2 mais pas de membre en h(t) ni en dh/dtéquation incomplète
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 24 / 40
Mécanique Chûte libre
Chute amortie
On rajoute des frottements
Frottements visqueux :intensité proportionnelle à la vitesse, coef. fopposés au déplacement : −f dh
dt
Nouvelle équation :h +
fm h = −g
Remarques :influence de la massepas de terme en h : équation incomplète
Comment faire une équation complète ?
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 25 / 40
Mécanique L’oscillateur harmonique
Mécanique : pendule élastique
x
m k
0On considère
un mobile de masse mun ressort de raideur kdes frottements visqueux
Forces en jeu :le poids ~Pla réaction du sol −~Pla force de rappel du ressort ~R = −k~xles frottements ~F = −f d~xdtet rien d’autre
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 26 / 40
Mécanique L’oscillateur harmonique
Mécanique : pendule élastique
x
m k
0PFD, projection sur x (il ne se passe rien en y)
ma = m d2xdt2 = −kx − f dx
dt
Equation du mouvement : x +fm x +
kmx = 0
Equation différentielle2ème ordre, 1er degré, sans second membre (perturbateur)présence de x , x et x : equation complète
Oscillateur harmoniqueLa solution est une fonction sinusFréquence propre, amortissement.Masse-ressort, pendule pesant, circuit électrique, etc.
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 27 / 40
Mécanique L’oscillateur harmonique
Introduction d’une perturbation
Système vertical
Projection sur x
Mise en équation :On rajoute le poids P = −mg∑
F = mx = −kx − f x −mg
Equation :x +
fm x +
kmx = −g
Equation différentielle :2ème ordre et 1er degréterme perturbateur constantcomplèteconséquence : point d’équilibre x0 < 0 (calculable)
x
m
k
0x0
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 28 / 40
Mécanique L’oscillateur harmonique
Oscillations forcées
Ajoutons une force sinusoïdale : S(t) = A cos(ωt + ϕ)
L’équation devient :
x +fm x +
kmx =
Am cos(ωt + ϕ) [ +g ]
Equation différentielle du second ordre, premier degré,avec membre perturbateur
Membre perturbateur : fonction périodique
Grandeurs (calculables) :Fréquence propre, amortissement,Régimes transitoire et permanent
x
m
k
0
x0
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 29 / 40
Electricité
Plan
1 Avant de commencer2 Introduction3 Économie4 Physique nucléaire5 Mécanique
Chûte libreL’oscillateur harmonique
6 Electricité7 Problèmes (presque) insolubles analytiquement
Le pendule pesantDynamique des populations
8 Conclusion
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 30 / 40
Electricité
Analogie électrique : circuit RLC
u
uL
iE
uR
Lois du domaine :loi des mailles E = uR + uL + uloi des nœuds : conservation du courant
Mise en équationSolution : tension aux bornes de CCapacité : Q = C · u ⇒ i = Cuinductance : uL = L di
dt = LCuRésistance : uR = Ri = RCuEquation E = RCu + LCu + u
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 31 / 40
Electricité
Oscillateur harmonique électrique
Oscillateur harmonique :
u +RL u +
1LC u =
ELC
à rapprocher dex +
fm x +
kmx = −g
Equation différentielle2ème ordre et 1er degréTerme perturbateur constant =⇒ déplacement du point d’équilibreTerme perturbateur périodique : bande passante
R joue le rôle d’amortisseur (pertes Joule)
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 32 / 40
Electricité
Oscillateur harmonique électrique
Oscillateur harmonique :
u +RL u +
1LC u =
ELC
à rapprocher dex +
fm x +
kmx = −g
Equation différentielle2ème ordre et 1er degréTerme perturbateur constant =⇒ déplacement du point d’équilibreTerme perturbateur périodique : bande passante
R joue le rôle d’amortisseur (pertes Joule)
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 32 / 40
Problèmes (presque) insolubles analytiquement
Plan
1 Avant de commencer2 Introduction3 Économie4 Physique nucléaire5 Mécanique
Chûte libreL’oscillateur harmonique
6 Electricité7 Problèmes (presque) insolubles analytiquement
Le pendule pesantDynamique des populations
8 Conclusion
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 33 / 40
Problèmes (presque) insolubles analytiquement Le pendule pesant
Le pendule pesant
Equation en θ
Mise en équation :
θ + k θ +gl sin θ = 0
Equation différentielle :Non linéaire !Résolution analytique compliquée
Solutions possibles :Si θ petit alors sin θ ' θ : oscillateurharmonique
θ + k θ +gl θ = 0
Résolution numériqueIUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 34 / 40
Problèmes (presque) insolubles analytiquement Dynamique des populations
Approche simplifiée
Etude d’une population nTaux d’accroissement dnProportionnel à dt et à n lui-mêmeEquation simple :
dn = K · n · dt
et doncdndt − K · n = 0
Remarques :Approche très simplifiéeNe prend pas en compte les interactionsInfluence des prédateurs, catastrophes, vivres ?
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 35 / 40
Problèmes (presque) insolubles analytiquement Dynamique des populations
L’approche de Lotka et Volterra (proies-prédateurs)
Une population ne dépend pas que d’elle-même
Evolution conjointe de deux populationsdes prédateurs (renards) pdes proies (lapins) n
Taux de variation ? On suppose que :les proies se nourrissent sans problème : croissance αles prédateurs meurent naturellement ( !) : décroissance −δles prédateurs ne se nourrissent que des proies : croissance desprédateurs γnseuls les prédateurs mangent ces proies : disparition des proies −βpApproche simplifiée
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 36 / 40
Problèmes (presque) insolubles analytiquement Dynamique des populations
Les équations proies-prédateurs
Deux équations à résoudre simultanément :
dndt = (α− βp) · n
pour les proies
dpdt = (γn − δ) · p
pour les prédateurs
Résolution uniquement numérique (pas à pas)ni+1 = ni + ∆t · [(α− βpi ) · ni ] pi+1 = pi + ∆t · [(γni − δ) · pi ]
Pas de solution analytique !On ne peut pas écrire n et p sous la forme de fonctions du tempsSauf avec de grandes simplifications
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 37 / 40
Problèmes (presque) insolubles analytiquement Dynamique des populations
Une idée de la solution
Proies
Prédateurs
Popu
latio
n
Temps
1 Plus de proies =⇒ plus de prédateurs2 Plus de prédateurs =⇒ moins de proies3 Moins de proies =⇒ moins de prédateurs4 Moins de prédateurs =⇒ plus de proies
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 38 / 40
Conclusion
Plan
1 Avant de commencer2 Introduction3 Économie4 Physique nucléaire5 Mécanique
Chûte libreL’oscillateur harmonique
6 Electricité7 Problèmes (presque) insolubles analytiquement
Le pendule pesantDynamique des populations
8 Conclusion
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 39 / 40
Conclusion
Les équations différentielles
OmniprésentesPlusieurs sortes :
1er et 2nd ordreLinéaires et non-linéaires (degré > 1 par exemple)Avec et sans membre perturbateurComplètes et incomplètes
Pour chaque sorte :une méthode différente de résolutionCette année : 1er et 2ème ordre, linéairesBac+3 : approche numérique
Prochain cours :définition rigoureuse des notions1er ordreimportance des conditions initiales
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 40 / 40