Mathématiques AppliquéesPr. Alain NdediEmail: ndedi.alain@gmail.comAnnée 2012/2013BTS

Qu’est-ce que sont les annuités   ? Les annuités sont des versements effectués à intervalles de temps égaux appelés périodes. Ces annuités, placées à intérêts composés, servent à constituer un capital (valeur acquise par ces versements) ou à rembourser un emprunt (valeur actuelle des versements).

I. Calcul de la valeur acquise par une suite d’annuités constantes. Considérons un placement de 500 € tous les ans pendant 6 ans. Le taux annuel de ce placement est de 5%.On a le schéma suivant :

Capital versé 500 500 500 500 500 500

1ère année 2ème 3ème 4ème 5ème 6ème Temps

Calculer la valeur acquise par le premier versement :Calculer la valeur acquise par le second versement :Calculer la valeur acquise par les quatre derniers versements :Les valeurs acquises successives sont les 6 premiers termes d’une ……………………… ……………………………………… de premier terme ………………………… et de raison …………………… .

A l’aide de votre formulaire, donner la formule qui permet de calculer la somme des n premiers termes de la suite définie ci-dessus :

Sn =

Appliquons cette formule au cas de notre exercice pour calculer la valeur acquise (donc la somme des annuités) de notre placement :On la note Vn

Vn =Généralisons cet exercice au cas d’un placement par annuités constantes a au taux annuel t

pendant n périodes.La valeur acquise par ce placement est donnée par la formule :

Vn = a x

Application : Calculer la valeur acquise par un placement constant chaque année de 1200 (soit 100 par

mois) pendant 8 ans au taux annuel de 5,75%. Jean-Claude place 50 par mois au taux annuel de 4,25% pendant 10 ans. Calculer la valeur

acquise par ce placement au terme de ces 10 ans.

ANNUITES

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M. Duss désire obtenir un capital de 20 000 dans 7 ans afin d’effectuer des travaux dans son domicile. Son placement sera fait au taux annuel de 4,5%. Quel doit être son placement annuel (à l’euro près) ?

M. Avekundécômeduce a effectué un versement de 240 au taux annuel de 3,5% et a obtenu la valeur acquise de 3 504, 47.

Quelle a été la durée de ce placement ?

II. Calcul de la valeur actuelle d’une suite d’annuités constantes. Nous choisissons de rembourser un capital par annuités constantes de 4943,30€ pendant 5 ans sachant que le taux d’emprunt est de 7,5%.Pour connaître le capital emprunté, il faut actualiser, à intérêts composés, chaque annuité. Il y a équivalence entre la somme des annuités actualisés et le capital emprunté. On a le schéma suivant :

Versements Capital Emprunté 4943,30 4943,30 4943,30 4943,30 4943,30

1ère année 2ème 3ème 4ème 5ème Temps

Calculer la valeur actuelle du 1er versement :Calculer la valeur actuelle de 2ème versement :Calculer de la même façon les valeurs actuelles des trois derniers versements :La somme de ces valeurs actuelles est égale au capital emprunté. En déduire le capital emprunté

Généralisation   : Le remboursement d’un capital s’effectue par une suite de n annuités constantes de valeur a au taux périodique t.Le premier remboursement a lieu 1 période après l’emprunt.

Exprimer les valeurs actuelles des deux premiers versements  en fonction de a et de t: Exprimer la valeur actuelle du nième versement : En déduire la somme V0 des valeurs actuelles des n versements : Dans l’expression ci-dessus, mettre ax(1+t)-n en facteur : A l’intérieur de la grande parenthèse, on reconnaît la somme des n premiers termes d’une

suite …………………………… de premier terme ……… et de raison ………… Simplifier alors la grande parenthèse puis l’expression :

V0 = ax(1+t)-n x [ ]Soit

V0 = ax [ ]Ou encore

V0 = ax

La valeur actuelle d’une suite de n annuités de valeur a, une période avant le premier remboursement est donnée par :

V0 = ax

Application   : Calculer le capital emprunté (à l’euro près) si le remboursement s’effectue en 12 annuités de

5500 au taux de 7,5%.2

M. Y s’engage à rembourser une dette de 1 900 en 4 annuités au taux d’intérêt de 8%. Quelle doit-être le montant d’une traite ?

M. Z voudrait connaître le nombre de versements semestriels de 1200 qu’il faut pour rembourser un capital de 18 498 € au taux annuel de 6%.

Un emprunt de 13 017 est remboursé en 6 annuités de 2 540. Quel est le taux d’emprunt. (méthode dichotomique)

III. Rentabilité d’un investissement (bis) Nous avons déjà vu que le calcul de la VAN (ou VNA), valeur actuelle nette, se fait par la

différence entre les rentrées nettes actualisées et la valeur de l’investissement.

Exemple : M. pairpadargent désire investir dans un camion de 50 000. Il pense que celui-ci lui rapportera 10 000 net par an pendant cinq ans. La valeur résiduelle du camion sera alors de 8 400.Graphique :

L’investissement est-il rentable si le taux d’actualisation est de 5%.L’investissement est-il rentable si le taux d’actualisation est de 4%.Rechercher le TRI (taux de rentabilité interne pour lequel VAN = 0) par dichotomie :

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