REMERCIEMENTS...1 REMERCIEMENTS Ce stage s’est déroulé du 17 Avril au 17 Octobre au sein du service actuariat de la CIMR « Caisse Interprofessionnelle Marocaine des retraites

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REMERCIEMENTS

Ce stage s’est déroulé du 17 Avril au 17 Octobre au sein du service actuariat de la

CIMR « Caisse Interprofessionnelle Marocaine des retraites » au Maroc.

Je souhaite tout d’abord remercier l’ensemble de l’équipe qui m’a accueilli pendant

ces 6 mois de stage et tout particulièrement mon tuteur et responsable Abderrahim

JANANI.

Grâce à lui mon stage a été une excellente expérience tant sur le plan professionnel

que sur le plan personnelle.

Enfin, j’adresse mes sincères remerciements à mon responsable du Master Christian

HESS pour son soutient pendant la durée de mon stage.

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SOMMAIRE INTRODUCTION..................................................................................................................................................5

PREMIERE PARTIE PRESENTATION DE LA CIMR................................................ 6 1. PRESENTATION ..........................................................................................................................................7 2. DESCRIPTION DU REGIME DE RETRAITE CIMR .............................................................................8

2.1. LES ADHERENTS DE LA CIMR ......................................................................................................................8 2.2. LES RESSOURCES DE LA CAISSE ET LEUR EMPLOI.......................................................................................8 2.3. LES TYPES ET TAUX DE COTISATIONS ..........................................................................................................8 2.4. NATURE DU REGIME .....................................................................................................................................8 2.5. CALCUL DES DROITS DE LA RETRAITE ........................................................................................................8 2.6. LA VALEUR D’UN POINT.................................................................................................................................9 2.7. REVERSION...................................................................................................................................................9 2.8. LES FORMES DE LIQUIDATION.......................................................................................................................9 2.9. LA PERIODICITE DE PAIEMENT DES PENSIONS DE RETRAITE .....................................................................10

3. HISTORIQUE DE LA CAISSE..................................................................................................................10 DEUXIEME PARTIE LA MODELISATION DES TABLES DE MORTALITE....... 12

1. VARIABLES UTILISEES POUR LA CONSTRUCTION DE TABLES DE MORTALITE :.............13 2. PREMIERE ETAPE : ESTIMATION DE LA POPULATION SOUMISE AU RISQUE....................14 3. DEUXIEME ETAPE : ESTIMATION DES TAUX BRUTS DE MORTALITE...................................14 4. TROISIEME ETAPE : INTERVALLES DE CONFIANCE DES TAUX BRUTS DE MORTALITE14

4.1. ESTIMATEUR SANS BIAIS ............................................................................................................................14 4.2. INTERVALLE DE CONFIANCE.......................................................................................................................15

4.2.1. Principes et justifications ................................................................................................................15 4.2.2. Modalités d’évaluation ....................................................................................................................16

5. QUATRIEME ETAPE : AJUSTEMENT DES TAUX BRUTS PAR LES LOIS THEORIQUES CONNUES ET DETERMINATION DES QX LISSES ....................................................................................17

5.1 CARACTERISTIQUES DE LA LOI DE MAKEHAM ............................................................................................17 5.2 METHODE DU MAXIMUM DE VRAISEMBLANCE..............................................................................................18 5.3 RESOLUTION DU SYSTEME D’EQUATIONS ...................................................................................................20

5.3.1. Première estimation : Méthode de King et Hardy........................................................................20 5.3.2. Deuxième estimation : développement de Taylor .......................................................................22 5.3.3. Algorithme d’approximation ............................................................................................................24

6. CINQUIEME ETAPE : INTERVALLES DE CONFIANCE DES QX LISSES.....................................25 7. SIXIEME ETAPE : TESTS D’ADEQUATION DE L’AJUSTEMENT .................................................27

7.1. TEST D’ADEQUATION DE KHI-DEUX.............................................................................................................27 7.2. TEST DE KOLMOGOROV-SMIRNOV ....................................................................................................29

8. PRESENTATION ET TRAITEMENT DES DONNEES.........................................................................30 8.1. DESCRIPTION DES DONNEES......................................................................................................................30 8.2. ETUDE DE LA STRUCTURE DEMOGRAPHIQUE.............................................................................................32

8.2.1. Situation au 1er janvier 2005 ...........................................................................................................32 8.2.2. Situation au 1er janvier 1996 ..........................................................................................................34 8.2.3. Situation au 1er janvier 1997 ..........................................................................................................36 8.2.4. Situation au 1er janvier 1998 ..........................................................................................................38 8.2.5. Situation au 1er janvier 1999 ..........................................................................................................40 8.2.6. Situation au 1er janvier 2000 ..........................................................................................................42 8.2.7. Situation au 1er janvier 2001 ..........................................................................................................44 8.2.8. Situation au 1er janvier 2002 ..........................................................................................................46 8.2.9. Situation au 1er janvier 2003 ..........................................................................................................48 8.2.10. Situation au 1er janvier 2004........................................................................................................50

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9. CONSTRUCTION DE LA TABLE DE MORTALITE ...........................................................................52 9.1. PREMIERE ETAPE DE CONSTRUCTION DE LA TABLE DE MORTALITE : MODALITES D’ESTIMATION DE LA POPULATION SOUMISE AU RISQUE .....................................................................................................................52 9.2. DEUXIEME ETAPE DE CONSTRUCTION DE LA TABLE DE MORTALITE: ESTIMATION DES TAUX BRUTS DE MORTALITE .........................................................................................................................................................52 9.3. TROISIEME ETAPE DE CONSTRUCTION DE LA TABLE DE MORTALITE: DEFINITION DES INTERVALLES DE CONFIANCE DES TAUX BRUTS DE MORTALITE ....................................................................................................54

9.3.1. Intervalles de confiance en utilisant la variance estimée ...........................................................54 9.3.2. Intervalles de confiance en utilisant la variance exacte..............................................................56

9.4. QUATRIEME ETAPE DE CONSTRUCTION DE LA TABLE DE MORTALITE : AJUSTEMENT DES TAUX BRUTS DE MORTALITE PAR LA LOI DE MAKEHAM ................................................................................................................58

9.4.2. Table d’expérience instantanée réalisée à partir des retraités du régime CIMR en 2004 ....59 9.4.3. Table moyenne (1995 à 2004) des retraités du régime CIMR .................................................60

9.5. CINQUIEME ETAPE DE CONSTRUCTION DE LA TABLE DE MORTALITE : INTERVALLES DE CONFIANCE DES TAUX LISSES .......................................................................................................................................................62 9.6. SIXIEME ETAPE DE CONSTRUCTION DE LA TABLE DE MORTALITE : TESTS D’ADEQUATION .......................63

9.6.1. Test d’adéquation du Khi-deux.......................................................................................................63 9.6.2. Test de Kolmogorov Smirnov .........................................................................................................64

10. ETUDE D’UNE DERIVE DE MORTALITE........................................................................................66 11. L’IMPACT DU SEXE SUR L’ESPERANCE DE VIE.........................................................................68 12. L’IMPACT DE LA REVERSION SUR LE PORTEFEUILLE DES ALLOCATAIRES DE LA CIMR69

12.1. ETUDE DE LA STRUCTURE DEMOGRAPHIQUE..........................................................................................69 12.1.1. Situation au 1er janvier 1995........................................................................................................69 12.1.2. Situation au 1er janvier 2004........................................................................................................71

12.2. L’IMPACT DE LA REVERSION ...............................................................................................................73 14. COMPARAISON DE LA TABLE CIMR AUX TABLES DE MORTALITE REGLEMENTAIRES .74

14.1. COMPARAISON DES TAUX DE MORTALITE ENTRE LA TABLE CIMR (TABLE MOYENNE CALCULEE PRECEDEMMENT) ET LA PF 60 -64...................................................................................................................75 14.3. COMPARAISON ENTRE LES TAUX D’EXPERIENCE MOYENNE ET LA ..........................................................76 TV 88-90 ...........................................................................................................................................................76 14.4. COMPARAISON DE L’ESPERANCE DE VIE ENTRE LA TABLE D’EXPERIENCES (TABLE CIMR) TROUVEES ET LES TABLES REGLEMENTAIRES : ........................................................................................................................77

TROISIEME PARTIE CONSTRUCTION DE TABLE DE MORTALITE PROSPECTIVES ............................................................................................................ 79

1. LE MODELE DE LEE CARTER (1992-2000) .........................................................................................81 1.1. PRESENTATION DU MODELE .......................................................................................................................81 1.2. ESTIMATION DES PARAMETRES .............................................................................................................82

1.2.1. Etape 1 : Estimation des taux instantanées de mortalité ..........................................................82 1.2.2. Etape 2 : Estimation des αx............................................................................................................83 1.2.3. Etape 3 : Estimation des βx et Kt..................................................................................................83 1.2.4. Etape 4 : Réestimation des βx et Kt ..............................................................................................85

1.3. EXTRAPOLATION DE LA COMPOSANTE TEMPORELLE .................................................................................85 1.4 LA PRISE EN COMPTE DES PERSONNES AGEES ..........................................................................................88

• APPLICATION AUX DONNEES DE LA CIMR.....................................................................................89 2.1. MISE EN OEUVRE DE LEE CARTER.............................................................................................................89

2.1.1. Etape 1...............................................................................................................................................89 2.1.2. Etape 2...............................................................................................................................................89 2.1.3 Etape 3 ................................................................................................................................................89 2.1.4 Etape 4 ................................................................................................................................................90

2.2 EXTRAPOLATION DE LA TENDANCE TEMPORELLE .......................................................................................91 2.3 PREVISION DES TAUX DE MORTALITE FUTURS ............................................................................................94

QUATRIEME PARTIE LE BILAN ACTUARIEL 2005.............................................. 96 1. TRAITEMENT DES DONNEES ...............................................................................................................97 • PENSION ANNUELLE MOYENNE .........................................................................................................99

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2. HYPOTHESES ..............................................................................................................................................100 2.1. RENDEMENT ET REVALORISATION DU REGIME.........................................................................................100 2.2. RENDEMENT FINANCIER ...........................................................................................................................100 2.3. FRAIS DE GESTION....................................................................................................................................101 2.4. EVOLUTION DES SALAIRES ......................................................................................................................101 2.5. EVOLUTION DES EFFECTIFS .....................................................................................................................101 2.6. TABLE DE MORTALITE ...............................................................................................................................101

3. PROJECTION ACTUARIELLE .................................................................................................................101 4. RESULTATS EN GROUPE OUVERTS .................................................................................................101

4.1. RESULTATS CIMR....................................................................................................................................102 4.3. RESULTATS AVEC UNE ARMA (2,1) ........................................................................................................102 4.4.COMPARAISON ..........................................................................................................................................103

CONCLUSION ..................................................................................................................................................105 BIBLIOGRAPHIE.............................................................................................................................................105

5

Introduction

Les progrès réalisés en sciences médicales, l'amélioration des conditions de travail et du

niveau de vie ont contribué ces dernières décennies à l'allongement de la vie humaine. La

mortalité infantile et aux grands âges s'en trouve diminuée. La problématique de la mesure du

risque de longévité, qui résulte de l'incertitude sur l'évolution de la mortalité dans le futur,

revêt toute son importance lorsqu'on sait que cet accroissement de la vie humaine aura sans

nul doute une conséquence sur les systèmes de retraite fonctionnant en répartition.

La CIMR (Caisse Interprofessionnelle Marocaine des Retraites) consciente de ce phénomène

a mené en 2003 une réforme de son régime de retraite. Cette réforme, au-delà des ajustements

paramétriques, a instauré le principe de pilotage qui consiste à faire des bilans actuariels

annuels pour suivre régulièrement le devenir du régime.

Un bilan actuariel consiste à faire des projections démographiques (actifs et retraités) et

financière (cotisations et prestations) sur une longue période (40 à 60 ans), et sur la base

d’hypothèses actuarielles. C’est dans ce cadre qu’il y a eu la réflexion de construire des tables

d’expériences qui reflètent la mortalité réelle de la population des affiliés CIMR.

L’objectif de ce travail est la construction de 10 tables de mortalité instantanées sur 10 ans

pour vérifier le rythme d’évolution de l’espérance de vie. Les résultats de cette étude ont

laissé apparaître des dérives de mortalité non négligeables, ce qui a poussé à construire une

table prospective pour tenir compte de l’évolution de l’espérance de vie.

Le modèle présenté pour la construction de la table prospective est celui de Lee-Carter. Les

tables prospectives construites sur le portefeuille des retraités de la CIMR sur la base de cette

méthode permettent de projeter l’évolution des taux de mortalité dans le futur, par

extrapolation de la composante temporelle.

L’évolution de l’espérance de vie qui est dégagée de l’étude est comparée avec celle utilisée

par la caisse dans ces évaluations actuarielles.

Une fois les tables construites, une étude qui mesure leur impact sur l’équilibre du régime sera

menée dans le cadre du bilan actuariel.

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PREMIERE PARTIE

PRESENTATION DE LA CIMR

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1. PRESENTATION

La CIMR est une caisse de retraite à but non lucratif qui gère les cotisations de près de

400.000 salariés du secteur privé et sert des pensions de retraite à plus de 100 000 retraités.

La CIMR représente le tiers du dispositif de retraite du secteur privé au Maroc, eu égard aux

pensions servies (2 072 millions de dirhams) et aux cotisations encaissées (2 648 millions de

dirhams).

Au Maroc, il existe deux caisses de retraite destinées au secteur privé : La CIMR créée en

1949 est facultative et la CNSS (Caisse Nationale de Sécurité Sociale) fondée en 1959 est

obligatoire.

La CIMR a pour mission principale de promouvoir un régime de retraite pérenne (la réserve

de prévoyance n’est jamais négative de plus la tendance d’évolution de la réserve de

prévoyance est croissante au terme de la période de projection), équilibré c à d que chaque

affilié doit recevoir en moyenne, des prestations équivalentes à ses cotisations et solidaire

garantissant aux bénéficiaires une pension équitable dans le cadre d’une gestion efficace et de

qualité.

8

2. DESCRIPTION DU REGIME DE RETRAITE CIMR 2.1. Les adhérents de la CIMR C’est l’employeur qui adhère au régime pour le compte de ses salariés. L’adhésion est

ouverte à toute entreprise quelle que soit sa forme, exerçant son activité au Maroc et

employant du personnel salarié. L’effectif minimum requis est de trois salariés.

2.2. Les ressources de la caisse et leur emploi Les ressources de la caisse sont constituées par les contributions patronales, les cotisations

salariales, et les intérêts des fonds placés. Ces ressources sont destinées à couvrir les charges

d’allocation et les frais de gestion. L’excédent éventuel est affecté à un fond appelé Réserve

de Prévoyance.

Les fonds logés dans la réserve de prévoyance font l’objet de placements diversifiés de

manière à minimiser le risque et d’assurer le meilleur rendement.

2.3. Les types et taux de cotisations Les taux de cotisation sont choisis par l'entreprise et ses salariés, parmi 5 taux proposés. Les

taux sont de 3%, 3,75%, 4,5%, 5,25% et 6%.

2.4. Nature du régime La CIMR est un régime en point géré par répartition.

2.5. Calcul des droits de la retraite L’âge normal de départ à la retraite est fixé à 60 ans.

Cependant d’autres possibilités sont ouvertes :

A partir de l’âge de 50 ans. C’est ce que l’on appelle un départ anticipé qui a pour effet la

réduction des droits.

Pour le calcul des droits de la retraite, chaque année, la CIMR attribue au salarié cotisant un

nombre de points P calculé selon la formule suivante :

( )SR

CS CP 0,1667 P

+×=

Ou SR 6CS CP

×+

CP = contribution patronale

CS = cotisation salariale

SR = salaire de référence.

9

2.6. La valeur d’un point Deux types de valeur du point sont distingués :

- La valeur du point de liquidation qui permet de déterminer le montant de la pension.

- La valeur du point de service, qui concerne les allocataires. Elle augmente annuellement, et

permet la revalorisation annuelle des pensions.

2.7. Réversion Le versement de la pension ne s’arrête pas au décès du retraité, le conjoint survivant aura droit

à une pension de réversion s’il a au moins 40 ans d’âge pour les femmes, 50 ans pour les

hommes et si le mariage a été contracté 2 ans avant le décès.

Si le conjoint survivant a au moins un enfant mineur à charge, il peut prétendre à la pension

quelque soit son âge. Ses orphelins mineurs de père et de mère, ont droit à une pension d’orphelins. La pension du conjoint survivant sera calculée sur la base de la moitié des points acquis par le

défunt, et cesse d’être servie en cas de remariage.

La pension d’orphelin sera calculée sur la base de 20% des points acquis par le défunt. La

pension totale ne peut dépasser 100% des points acquis. Elle est supprimée à leur majorité

sauf en cas d’incapacité supérieure à 66%.

2.8. Les formes de liquidation

La liquidation avec option en capital. L’intéressé peut opter pour un capital constitué par le versement des cotisations salariales

capitalisées auprès de la CIMR et/ou auprès de la ou les compagnies d’assurances concernées.

Il reçoit alors un capital représentant la somme des cotisations salariales versées, augmentées

des intérêts.

Parallèlement, l’intéressé percevra une pension trimestrielle de la part de la CIMR calculée

sur la base du total des points acquis déduction faite de l’équivalent en point de la rente

viagère constituée par ses cotisations salariales versées sous forme de capital.

La liquidation sans option en capital. Il garde dans ce cas le bénéfice de la totalité de sa pension.

10

2.9. La périodicité de paiement des pensions de retraite Les pensions de retraite sont payables trimestriellement : Les 1er Janvier, 1er Avril, 1er Juillet

et 1er Octobre de chaque Année.

3. HISTORIQUE DE LA CAISSE 1949 : Création

La CIMR est un régime de retraite à cotisations définies qui a vu le jour en Juillet 1949 à

l’initiative d’entreprises soucieuses d’assurer à leur personnel une couverture en matière de

retraite, à une époque marquée par l’inexistence de régimes destinés au secteur privé et aux

entreprises publiques et semi publiques.

Les principales caractéristiques initiales du régime sont :

Le statut juridique d’Association

Le caractère facultatif

La mixité de la gestion : répartition – capitalisation.

La mixité du régime se manifestait à travers la gestion en répartition par la CIMR des

contributions patronales, alors que les cotisations salariales étaient capitalisées auprès d’une

compagnie d’assurances choisie par l’employeur, et donnaient lieu au gré du bénéficiaire soit

à une rente viagère soit à un capital.

1967 : Introduction du système de points de retraite

Jusqu’en 1967, la CIMR procédait au calcul des montants des pensions servies sur la base

d’un pourcentage qui variait en fonction du taux de contributions, par rapport au salaire

moyen des trois dernières années d’activité. Or ce système comportait deux risques majeurs :

Il était pénalisant en cas de baisse importante du salaire lors des dernières années d’activité.

Il était susceptible de donner lieu à des manipulations du niveau de salaire en fin de carrière

dans le but de bénéficier indûment de pensions conséquentes.

Ainsi, la CIMR a opté à partir de l’année 1967, pour le système de points, un système qui

présente l’avantage de prendre en considération l’intégralité de la carrière.

1993 : Création de nouveaux produits

La CIMR a mis en place à effet du 1er janvier 1993, deux nouveaux produits de retraite, en

l’occurrence les régimes de retraite complémentaire et à 55 ans sans anticipation, destinés à

11

répondre aux besoins spécifiques exprimés par certaines catégories de bénéficiaires de son

régime de retraite.

Le premier régime est à même d’apporter une amélioration de la pension pouvant atteindre

33,33%, voire 100% pour les affiliés qui en atteignent le plafond.

De son côté, le régime de retraite à 55 ans sans anticipation permet aux affiliés mis à la

retraite à cet âge, de bénéficier de l’intégralité de leurs droits sans abattement.

2003 : élaboration de nouveaux scénarios En effet les choses sont allées progressivement, avec le souhait d’étaler les changements sur

des périodes assez longues. Cependant, l’évolution défavorable du marché financier ainsi que

les données démographiques, ont poussé la CIMR à entreprendre des études actuarielles

approfondies en 2001 et 2002, qui ont abouti à l’élaboration de plusieurs scénarios, le dernier

scénario a aboutit à la réforme de 2003 qui a consisté essentiellement à :

Rapatrier la part salariale gérée au par avant par les compagnies d’assurances ;

Limiter la revalorisation des rentes en service ;

Baisser le rendement viager du régime ;

Supprimer les majorations familiales.

Le mode de gestion technique et financière du régime CIMR devient alors la « répartition

provisionnée » c’est à dire que les droits à la retraite restent fixés selon les règles de la

répartition et sont largement découplés du rendement des marchés financiers, mais la

solvabilité et l’efficacité du système de retraite sont garanties par la constitution de provisions

financières importantes.

Cette gestion en répartition provisionnée nécessite que la situation du régime soit analysée

régulièrement afin de s’assurer que la pérennité du régime est acquise sur des horizons

glissants d’au moins 40 années.

Suite à cette réforme, un comité de pilotage, composé de membres du Conseil

d’administration et de cadres dirigeants de la caisse a été créé. Une de ses fonctions, consiste

à suivre l’évolution de l’espérance de vie et actualiser les études de mortalité tous les 3 ans ou

les 5 ans. Et c’est dans ce cadre qu’il y a eu la réflexion de construire des tables d’expériences

qui reflètent la mortalité réelle de la population des affiliés CIMR.

12

DEUXIEME PARTIE

LA MODELISATION DES TABLES DE

MORTALITE

13

Suivant la nomenclature proposée par l’Insee, une table de mortalité se définit de la façon

suivante :

«Une table de mortalité annuelle suit le cheminement d’une génération fictive de 100 000

nouveau-nés à qui l’on fait subir aux divers âges les conditions de mortalité observées sur les

diverses générations réelles, durant l’année étudiée.». La table de mortalité donne donc, pour

la suite des anniversaires x, le nombre de survivants Sx à ces anniversaires, le nombre de

décès Dx entre deux anniversaires successifs et le quotient annuel de mortalité (s’interprétant

comme une probabilité de décès) Qx à l’âge x.

Pour construire une table de mortalité, il faut obtenir des résultats sur les probabilités de

survie des individus. Une formalisation mathématique est donc nécessaire, la partie qui suit se

propose de présenter les principales variables ainsi que les outils mathématiques qui sont

utilisés.

1. Variables utilisées pour la construction de tables de mortalité :

La table de mortalité est basée sur plusieurs variables. Si l’on considère une population, deux

indicateurs sont étudiés :

lx : nombre théorique de survivants à l’âge entier x,

dx : nombre théorique de décès entre x et x+1.

Différentes fonctions sont étudiées dans ce cadre :

Fonction de survie : S(x) = lx / l0 Taux de mortalité : qx = dx / lx

Espérance de vie abrégée ex = ∑=

+w

j x

jx

ll

1

avec w = âge limite de la vie biologiquement envisageable.

La construction de tables d’expérience se fait en plusieurs étapes :

14

2. Première étape : Estimation de la population soumise au risque

Pour construire une table d’expérience, il faut d’abord estimer à partir des données

disponibles la population soumise au risque et le nombre de décès par âge.

3. Deuxième étape : Estimation des taux bruts de mortalité

Le taux brut de mortalité théorique noté qx est égal à : dl

x

x.

L’estimateur du taux brut de mortalité noté Qx∧

est égal à : DL

x

x

avec Dx = décès estimés entre x et x+1,

Lx = population soumise au risque d’âge x.

4. Troisième étape : Intervalles de confiance des taux bruts de mortalité

4.1. Estimateur sans biais Soit X un indicateur prenant à la fin de l’observation la valeur 1 si la personne décède et la

valeur 0 si la personne survit.

1 si décès

X X suit une loi de Bernoulli de paramètre qx

0 sinon

avec qx = probabilité de décès entre les âges x et x+1.

La survie ou le décès d’un individu de la population sont indépendants de la survie et du

décès des autres personnes, ce qui veut dire que les Xi sont indépendants (i = 1 .... Lx).

Donc :

15

Dx = Xi

Li

x

=∑

1 suit une loi binomiale (Lx, qx)

E(Dx) = Lx * qx V(Dx) = Lx * qx * (1-qx)

QDLx

x

x

∧

= est un estimateur du maximum de vraisemblance de qx.

E QE D

Lqx

x

xx( )

( )∧= =

donc Qx∧

est un estimateur sans biais de qx.

V QV D

Lq q

Lxx

x

x x

x( )

( ) * ( )∧= =

−2

1

Si Dx et Lx sont grands (en général supérieurs à 10), on peut approximer par la loi normale en

faisant référence au Théorème de la limite centrale (TCL).

D E DNx x

Dx

− ( )~ ( , )σ 0 1 ⇒

Q L q LL q q

Nx x x xx x x

∧

−

−

* ** * ( )

~ ( , )1

0 1

4.2. Intervalle de confiance

L’analyse des résultats de l’étude passe par la définition d’intervalles de confiance.

4.2.1. Principes et justifications

L’intervalle de confiance permet de situer avec un niveau de confiance fixé la plage dans

laquelle les taux de décès doivent se situer au regard des observations effectuées et du modèle

théorique retenu.

16

4.2.2. Modalités d’évaluation

Pour calculer l’intervalle de confiance, on peut soit :

Approximer la quantité qx * (1-qx) par la quantité empirique Q Qx x∧ ∧

−* ( )1

Dans ce cas on a les résultats suivants :

La loi normale vérifie les règles suivantes :

P (-t < N (0,1) < t) = 1- α φ(t) - φ(-t) = 1- α d’où t = φ-1 (1- α/2) car φ(-t) = 1- φ(t)

Donc : P

Q q

Q QL

x x

x x

x

− − <−

−

< −

= −− −φα

φα

α1 112

1

12

1( )

* ( )

( )

Λ

Λ Λ

et donc IC = Q

Q QL

QQ Q

Lxx x

xx

x x

x

∧∧ ∧

−∧

∧ ∧

−−−

− +−

−

* ( )* ( ) ;

* ( )* ( )

11

21

12

1 1Φ Φα α

avec : α : niveau de confiance,

Φ : fonction de répartition de la loi normale N (0, 1).

Utiliser la variance exacte

On a vu que PQ q

q qL

x x

x x

x

Λ

Φ−

−< −

= −−* ( )

( )1

12

11α

α

Il faut donc résoudre l’équation de second degré suivante :

qL

q QL

Qxx

x xx

x2

1 2

1 2 211

2 21

12

0*(( ( ))

) ( ( ( )) ( )+−

− + − + =

−

∧−

∧ΦΦ

αα

Les bornes de l’intervalle de confiance sont :

17

q x

Q xLx

Q x Q xLx

Lx

Lx

12

11

2

2

11

24 1

11

2

2

12

2 1

11

2

2=

∧+

−−

−

−−

∧−∧

+

−−

+

−−

( ( ))

( ) * ( )

( ( ))

(

( ( ))

)

Φ

Φ

Φ

Φ

α

α

α

α

q x

Q x Lx

Q x Q x Lx

Lx

Lx

22

11

2

2

11

24 1

11

2

2

12

2 1

11

2

2=

∧+

−−

+

−−

∧−∧

+

−−

+

−−

( ( ))

( ) * ( )

( ( ))

(

( ( ))

)

Φ

Φ

Φ

Φ

α

α

α

α

5. Quatrième étape : Ajustement des taux bruts par les lois théoriques connues et détermination des Qx lissés

Les taux bruts de mortalité estimés présentent des variations qui ne sont pas dues

nécessairement à des variations de mortalité de la population observée. C’est pour cette raison

que l’ajustement des taux bruts de mortalité par des lois mathématiques régulières est

nécessaire.

Parmi les lois d’ajustement les plus connues, on trouve la loi de Gompertz et la loi de

Makeham.

La loi de Gompertz tient compte du processus de vieillissement alors que la loi de Makeham

tient compte en plus du processus de vieillissement du fait qu’une partie des décès qui

surviennent est due à des accidents. Pour cette raison, il semblait plus pertinent de retenir la

loi de Makeham comme loi d’ajustement parce qu’elle tient compte des deux facteurs cités.

5.1 Caractéristiques de la loi de Makeham

L’hypothèse fondamentale de Makeham est que le taux instantané de mortalité à partir d’un

certain âge s’exprime par : µx = a + b cx

18

La signification donnée à cette formule est que la mortalité se décompose en :

un premier terme constant, a, qui est indépendant de l’âge atteint x et représente la mortalité

accidentelle ainsi que celle due aux maladies pouvant survenir indifféremment à tout âge;

un second terme croissant en x, b cx, qui représente la mortalité due au vieillissement, pour

laquelle on postule un comportement exponentiel.

Remarque

Si une loi de mortalité suit une loi de Makeham, le graphique représentant la fonction

Log|qx+1 -qx| en fonction de l’âge doit être ajustable par une fonction linéaire.

C’est à partir donc de ce graphique qu’on déterminera l’intervalle sur lequel sera appliqué

l’ajustement Makehamien.

5.2 Méthode du maximum de vraisemblance On utilise la méthode du maximum de vraisemblance pour estimer les paramètres de la loi

d’ajustement, en l’occurrence la loi de Makeham.

On dispose d’un ensemble d’observation de taux bruts de mortalité entre les âges entiers x0 et

xM sous la forme de nombres observés de vivants Lx et de décès Dx.

Fonction de vraisemblance La fonction de vraisemblance associée est :

V q qxD

xL Dx x x

x x

xM= − −

=∏ *( ) ( )1

0

On calcule le logarithme de la fonction de vraisemblance :

φ = = + −=∑Ln v D q L D px x

x

x x x x x

M

( ) ln( ) ( ) ln( )0

Avec px = 1 – qx

px = probabilité de rester en vie entre x et x + 1.

On a vu que le taux instantané de mortalité s’exprime par : µx = a + b cx

Et on sait que tpx = edy y

x

x t

−+

∫ µ

Avec : tpx = probabilité de rester en vie entre x et x + t

px = 1px

19

donc : px = ea bct dt e

a bc cx c

x

x

− +=

− − −+

∫1

1ln( ) ( )

⇒ ln (px) = -a -bc

c c a ex xln( )

( )− = − −1 β γ

Avec β =−

bc

c*

ln( )1

et γ = ln( )c

⇒ ln (qx) = ln (1 - ea e x− −β γ )

donc φ ββ γ= − + − − −− −∑D e L D a ex x xa eyx

xln( ) ( )( )1 est une fonction de a, β et γ.

Dérivation Les coefficients de la formule seront ceux qui maximisent la vraisemblance. Pour cela il faut

annuler les dérivées partielles de ln (V) par rapport à a, β et γ.

Soit d la dérivée partielle de ln (V) par rapport à a.

e la dérivée partielle de ln (V) par rapport à β.

f la dérivée partielle de ln (V) par rapport à γ.

On a donc :

d = ∂φ∂

β

βaD

e

eL Dx x x

a eyx

a eyx=

−

− +

− −

− −∑ ∑∑

1

= − + +−

− −

− −∑∑ L D e

ex x

a

a

e

e

yx

yx11

β

β

= − +−

− −∑∑ L D ex x a e

yx1

1 β

donc d aL

Dpxx

x

= = − +−

=∑∑∂ φ∂ 1 0

e = ∂ φ∂ β

γ β

βγ γ=

−− +

− −

− −∑ ∑∑D e e

eL e D ex x x

x a eyx

a eyxx x

1

= − +−

= − +−− − ∑∑∑

∑L e D ee

L eD e

px x xx

x

x x

a e xx

xγ γ

β γγ

γ1

1 1

20

donc : e e Le D

px

x

xx

x

= = − +−

=∑∑∂ φ∂ βγ

γ

**

10

f = ∂φ∂γ

β β βγ β

βγ γ=

−− +

− −

− −∑ ∑∑D x e e

eL x e D x ex x x

x a eyx

a eyxx x

1

= − + +−

= − +−∑ ∑ ∑∑− −β β β β

γγ

β γγ

γx e L

x e D

ex e L

xe Dp

xx

a ex

xx

xx

xx

x1 1

donc : f x e Le x D

px

x

xx

x

= = − +−

=∑∑∂ φ∂ γ β βγ

γ

10

5.3 Résolution du système d’équations Pour résoudre ce système de 3 équations (d ; e ; f) non linéaires en a, β etγ, nous utiliseront la

procédure suivante :

5.3.1. Première estimation : Méthode de King et Hardy On part d’une première valeur estimée des coefficients a0, β0 et γ0 en utilisant la méthode de

King et Hardy, valeurs pour lesquelles :

Méthode de King et Hardy

On a vu que le taux instantané de mortalité s’exprime par : µx = a + b cx

Théoriquement, on déduit que : l l ea b ctdt

x xx

x

=− +∫

0

0.*

d’où l k S gxx Cx= * * avec k l e ex

a xb

Ln c cx

=0

00

* * ( )*

S = e-a

g eb

Ln c=−

( )

Si on remplace x par x+1 et x0 par x on trouve : pll

S gxx

x

C CX= =+ −1 1* ,*( )

d = d0 e = e0 f = f0

21

donc ln(px) = ln(S) + cx * (c-1)*ln (g).

Pratiquement, on commence par calculer la quantité : A px xx

x n

=+ −

∑ ln( )1

.

= n ln(S) + (c-1) ln (g) cxcc

n −−

11

,

puis on calcule : A A

A Ag c c c

g c c cx n x n

x x n

n x n x n

n x x n+ +

+

+ +

+

−−

=− −− −

221

1ln( ) ( ) ( )

ln( ) ( ) ( )

donc A A

A Acx n x n

x x n

n+ +

+

−−

=2 par suite cA A

A Ax n x n

x x n

n=−−

+ +

+

( )21

De Ax-Ax+n on déduit la valeur de g

Ax-Ax+n =ln (g)* (cn-1)* (cx-cx+n)

donc : gA Ax x n=

− +exp( )(c - 1) (c - c ) n x x+n

Enfin, l’expression de Ax, permet de trouver celle de S.

SA g c cx

x n

=− −

exp(ln( ) ( )

)1

n

Après avoir estimé c, g et S, on peut donc déduire les valeurs de a et b.

a S= − ln( )

b g c= − ln( )* ln( )

b et c vont permettre de déduire les valeurs de β et γ comme vu précédemment.

Ceci va donner une première estimation de d, e et f qu’on notera d0, e0 et f0.

22

5.3.2. Deuxième estimation : développement de Taylor

On écrit que a = a0 - u ⇒ a-a0 = -u

β = β0 - v ⇒ β - β0 = - v

γ = γ0 -w ⇒ γ - γ0 = -w

On applique le développement de Taylor au 1er ordre :

Rappel : Soit une fonction f.

Le développement de Taylor de f au point x0 au 2ème ordre :

f x f x x xf x

xx

x x f xx

x( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( )

( )= + − +−

0 0 00

2 2

2 02∂∂

∂∂

+ θx0 + (1- θ) x

Avec θ ∈ ]0; 1[

On applique cette formule aux fonctions d, e et f aux points : a0, β0 et γ0.

dv

a=∂∂ln( )

donc : ( ) ( ) ( ) ( )d d a a a da ad d

= + − + − + −( , , ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0 0 0 0α β∂∂

γ γ∂∂ γ

γ β β∂∂ β

β

d d a av

aa

va

av

aa= + − + − + −0 0

2

2 0 0

2

0 0 0

2

0 0( )ln( )

( ) ( )ln( )

( ; ) ( )ln( )

( ; )∂

∂γ γ

∂∂ ∂γ

γ β β∂∂ ∂ β

β

On peut donc écrire :

d = d0 - u n - v h -w i

avec : 1 - nv

a=∂∂

2

2

ln( )

( )

= +−

− −

− −∑0

12D

e

ex

a eyx

a eyx

β

β

donc : n = − −∑D

ppx

xx( )1 2

23

2 - hv

a=∂∂ ∂ β

2ln( )

( )= −

−

− −

∑D e ep

xx

x a eyxγ β

12

donc : ( )h = −

−∑ e p

pD

xx

xx

γ

12

3 - iv

a=∂∂ ∂ γ

2ln( )

( )

=−

−

∑D

x e p

px

x

x

xβ γ

12

donc : ( )i = −

−∑β

γxe p

pD

xx

xx

12

On calcule e et f de la même façon :

e = e0 + (a-a0)∂∂ ∂ β

β γ γ∂∂γ ∂β

γ β β β∂∂ β

β2

0 0 0

2

0 0 0

2

2 0

ln( )( , ) ( )

ln( )( , ) ( )

ln( )( )

va

av v

+ − + −

⇒ e = e0 - u h - v j - w k

avec : 1 - jv

=∂∂ β

2

2

ln( )

= −−

− −

− −∑D e e e

ex

x xa e

yx

a eyx

γ γβ

β12

donc : ( )j = −

−∑D e p

px

x

x

x2

12

γ

2 - kv

=∂∂β∂ γ

2ln( )

= − +−

−

−

− − − −

− −∑∑ L xe D

xe e e x e e

ex x

xx a e

yx x x a e yx

a eyx

γ

γ β γ γ β

β

β1

12

24

donc: ( )k = − +

−−

−

∑ ∑L xe D

xeP

xe p

px x

x

x

x

x xx

γ γγ

β1 1

2

2

f = f0 + (a-a0) ( )∂∂ ∂ γ γ γ γ∂∂ γ

γ β β∂∂β ∂ γ

γ β2

0 0 0

2

2 0 0

2

0 0

ln( )( , )

ln( )( ) ( )

ln( )( , )

va

av v

+ − + −

⇒ f =f0 -u i -v k -w l

avec: 1 - lv

=∂∂ γ

2

2

ln( )

( )

= − +−

−

−

− − − −

− −∑∑β β

βγ

γ βγ γ γ β

γ

β γx e L D

x e e xe x e e

e

x

x a x x x a ex

a e xx x

2

2

2

1

1

donc: ( )l = − +

−−

−

∑∑β β β

γγ γ

x e L Dx e

Px e p

px

x x

x xx

x

x

22 2

21 1

2

On a donc : d = d0 - u n - v h - w i

e = e0 - u h -v j -w k

f = f0 -u i -v k -w l

Ce qui revient à écrire sous forme matricielle def

def

n h ih j ki k l

uvw

=

−

0

0

0

.

Donc pour avoir def

=

000

il faut que, uvw

n h ih j ki k l

def

=

−

10

0

0

.

5.3.3. Algorithme d’approximation Les valeurs de u, v et w calculées au 5.3.2 conduisent à une deuxième approximation de a, β

et γ donnée par,

a1 = a0 - u β1 = β0 - v γ1 = γ0 - w

On refait les calculs faits ces nouvelles approximations.

25

On itère le procédé qui converge vers la solution à condition de partir d'une valeur de départ

pas trop éloignée de l'optimum, chose qui a été faite par la méthode de King et Hardy.

Ainsi, les approximations qui convergent vers la solution permettront de calculer le taux

instantané de mortalité, et donc les qx lissées.

6. Cinquième étape : Intervalles de confiance des qx lissés

On calcule l’intervalle de confiance des Qx lissées pour mesurer avec un niveau de confiance

fixé la plage dans laquelle ces taux de décès ajustés doivent se situer au regard des

observations effectuées et du modèle théorique retenu.

Théorème : (Cf page 165 du livre « Information estimation tests »)

Soit Xn un échantillon iid issu d'une loi Lµ, dont le paramètre µ est réel. On suppose que les

hypothèses de la vraisemblance sont satisfaites, et que Lµ vérifie les hypothèses de Cramer

Rao. Alors si on désigne par µ0 la vraie valeur du paramètre, tout estimateur du maximum de

vraisemblance T de µ est un estimateur convergent et tel que : (T - µ0) N(0 ; (I(µ0) n)-0,5)

Avec I (µ0) = Information de Fisher.

Par conséquent, on peut affirmer que si T est un estimateur de maximum de vraisemblance de

µ

Soit il est efficace, et c'est le meilleur estimateur sans biais de µ,

Soit il n'existe pas d'estimateur efficace mais T tend à se comporter, au sens de la convergence

en loi, comme un estimateur efficace.

Donc pour un nombre assez grand d’observations, les écarts entre les valeurs a, β et γ et

l’estimation donnée par la méthode du maximum de vraisemblance, soit aΛ

, βΛ

et γΛ

, sont des

variables normales centrées dont la matrice des variances - covariances est au signe près : K =

E (J)-1.

Avec J = n h ih j ki k l

26

Puisque Dx suit une loi binomiale (Lx, qx), donc E (Dx) = Lx * qx, on peut alors calculer E (J).

E Jn h ih j k

i k l

( ) =

− − −

− − −

− − − avec : n E

pq

Dpq

Lxx

xx

xx= −

= −∑ ∑2

h E epq

D epq

Lx xx

xx x

xx=

= −∑ ∑γ γ. .2

i E x epq

D x epq

Lx xx

xx x

xx= −

= −∑ ∑β βγ γ. .. .2

j E epq

D epq

Lx xx

xx x

xx= −

= −∑ ∑2 2 2γ γ. .

k E x e xepq

L x e L xepq

Lx x xx

xx

xx x

xx= −

−

= −∑ ∑. . .. . . .γ γ γ γβ β2 2

l E l x epq

Lx xx

x= = − ∑( ) .β γ2 2

Par hypothèse : Log (px) = -a-β.eγ.x

Près de la valeur la plus vraisemblable, on a approximativement :

Log (px) = − − − − −$ $ . . $. .$ $ $ .a e da d e d x ex x xβ β γ βγ γ γ

= - â -βΛ

.e $γ x -

daddβγ

(1 ; e. $γ x ; βΛ

.x.e $γ x )

où da, dγ, dβ sont des V.A normales.

Alors : VAR [ ]Log px( ) = (1; e $γ x ; βΛ

x.e $γ x ).K.

1

e

x e

x

x

$.

$.. .

γ

γβ

Où K= Var

daddβγ

D’où un intervalle de confiance à 95 % pour log (px)

[ ] [ ][ ])log(96,1)(.̂ˆ;)(.96,1)(.̂ˆ .̂.̂ xx pVareapLogVarea xx +−−−−− γγ ββ .

27

Or, qx = 1 - eLog (px)

D’où un intervalle de confiance à 95 % pour qx :

[ ])))((96,1)(.̂ˆexp(1;)))((.96,1)(.̂ˆexp(1 .̂.̂ xx pLogVareapLogVarea xx −−−−+−−− γγ ββ

7. Sixième étape : Tests d’adéquation de l’ajustement

Une fois les taux ajustés calculés, il convient de tester s’ils fournissent une bonne

représentation de la mortalité.

Plusieurs tests statistiques peuvent être utilisés, ils ont pour but de vérifier si les écarts entre

les taux bruts et les taux ajustés sont bien aléatoires.

7.1. Test d’adéquation de khi-deux Le test de khi-deux repose sur une propriété asymptotique de la loi multinomiale. Cette

propriété sera présentée sans démonstration.

Propriété

Soit Z un vecteur aléatoire multinomial d'ordre k, de loi L (n ; p) avec p vecteur d'ordre k.

Alors, lorsque le paramètre n tend vers l'infini : ∑ −=x

xxcal np

npZ 22 )(χ

C'est bien sûr la loi limite que fait intervenir cette propriété qui donne son nom au test de khi-

deux.

Dans un test d'adéquation, l'hypothèse nulle H0 est toujours très simple. Elle énonce qu'un

phénomène aléatoire, dont on ignore la loi exacte, suit une loi déterminée, que nous désignons

par Lµ. L'hypothèse alternative H1 est parfois elle même une hypothèse simple, mais c'est en

général l'hypothèse associée implicitement à toutes les lois autres que Lµ

Soit Xn un échantillon issu du phénomène étudié. La procédure à suivre pour mettre en œuvre

le test d'adéquation peut être décomposée comme suit :

1 - Comme en général le cas, la loi Lµ associée à l'hypothèse H0 dépend du paramètre µ, il

faut donc tout d'abord l'estimer à partir de l'échantillon dont on dispose.

28

2 - On doit ensuite définir k événements E1,….Ek, chacun d'eux correspondant à une (ou

plusieurs) des valeurs que peut prendre la variable aléatoire X. Ces événements appelés

classes de valeurs doivent être choisis de telle sorte que à chaque classe corresponde au moins

cinq valeurs observées de X.

3 – Si l'hypothèse H0 est vraie, X suit Lµ. on peut alors calculer la probabilité d'occurrence de

chacune des événements E1,….Ek, c'est à dire la probabilité que X prenne l'une des valeurs

associées à chacune de ces classes qu'on désigne par p1….pk.

4 – Nous construisons alors à partir de l'échantillon Xn le vecteur aléatoire Z défini comme

suit : la composante Zi de Z mesure le nombre de réalisation de X dans l'échantillon Xn, qui

sont associées à l'événement Ei.

5 – Dés lors que Xn est supposé iid, la loi de Z est, par construction, multinomiale de

paramètres n et p.

6 – Pour un échantillon assez grand, on peut à partir de la propriété énoncée considérer que la

variable suit une loi de khi-deux de degré n moins le nombre de paramètres estimés.

7 – Nous fixons alors α ε ]0 ; 1[, lorsque H0 est vraie, on a en désignant par f le fractile

d'ordre 1- α de khi-deux : P(Y < f)= 1 - α

8 – D'ou la règle :

On rejettera H0 si la réalisation de Y est supérieure à la valeur critique f.

Pour vérifier la validité de l’ajustement, on applique un test de khi-deux qui mesure l’écart

entre les décès observés et les décès théoriques.

Test

On calcule : 1- χcalx x x mak

x x mak

D L QL Q

22

=−

∑( * )

*

Avec : Qx mak = Qx lissés en utilisant l’ajustement Makéhamien.

Dx = décès observés.

Lx = population soumise au risque.

χ2th = Khi deux dont le nombre de degré de liberté est égale au nombre de taux ajustés moins

le nombre de paramètres estimés de la loi.

Si χ2cal < χ2th , on acceptera l’ajustement.

29

7.2. Test de KOLMOGOROV-SMIRNOV Ce test non paramétrique compare les fonctions de répartitions de deux variables aléatoires

pour qu’on puise décider ou non de l’identité des distributions.

Soit F et F* les fonctions de répartition de la variable aléatoire de durée de survie, de 30 ans à

60 ans ( Actifs), calculée respectivement avec les taux bruts de mortalités Qx et les taux

ajustés Qx mak .

F(x) = 130

−LL

x où L L Qx yy

x

= −=

−

∏3030

1

1* ( )

de même : F*(x) = 130

−LL

x*

où L L Qx ymaky

x* * ( )= −

=

−

∏3030

1

1

La statistique de Kolmogorov Smirnov est définie par Dn = Max [Dn(k)]

où la quantité Dn(k) est donnée par:

Dn(k) = F*(k+1)-F (k) si F (k) < F*(k)

Dn(k) = Max [F*(k+1)-F (k); F(k)-F*(k) ] si F(k) >= F*(k)

Dn(k) = F (k)-F*(k) si F (k) > F*(k+1)

n étant le nombre d’âge pour lesquels les Qx sont ajustés.

Cette statistique aléatoire ne dépend ni de F ni de F*.

Asymptotiquement :

[ ]P nD x k x e k xn k k x< → = − −−∞

+∞

∑( ) ( ) ( )1 2 2 2 si x > 0.

= 0 si x < 0

K x e e ekk

k

k

k

k

k x k x k x( ) ( ) ( ) ( )= + − + − = + −− − −=−∞

+∞

=

+∞

=

+∞

∑ ∑ ∑1 1 1 1 2 12 2 2 2 2 2 2 2 21 1

= 1 2 1 11

2 2 2− − −=

+∞−∑ ( ) k

ke k x

Par suite pour n assez grand : [ ]P nD x en kk

k x> ≈ − −=

+∞−∑2 1 1

1

2 2 2( ) .

30

En utilisant l’approximation donnée par FELLER : [ ]P nD x en x> ≈ −2 2 . Au seuilα, on rejettera l’hypothèse F* = F si nD xn > α

avec xα tel que [ ]P nD xn > =α α

donc e x− =22α α et x Lnα α= −

12

( )

Accepter l’hypothèse F* = F permet de dire que l’ajustement est d’une bonne qualité.

8. Présentation et traitement des données La construction d’une table de mortalité nécessite la connaissance de la population soumise

au risque et des décès constatés pour chaque âge. La collecte de ces informations nous permet

de construire une table instantanée en suivant les étapes citées précédemment. L’idée de

construire 10 tables de mortalités instantanées est de vérifier s’il y a une dérive.

8.1. Description des données

Une étude de traitement de données a été menée dans l’optique d’en juger la fiabilité. Elle a

permis de déceler les anomalies suivantes :

1 022 personnes indiquées comme décédées (code décès = 1) ont une date de

décès manquante. Il s’agit, comme cela a été expliqué par la DSI (direction des

systèmes d’information) en 2002, d’individus décédés avant 1986. Ces

matricules n’entrent donc pas dans le périmètre de l’étude ;

6 personnes ont une date de naissance manquante. Au vu du faible nombre de

personnes concernées, ces 6 enregistrements ont été écartés de l’étude ;

38 personnes ont une date d’effet manquante. Ces 38 personnes ont été retirées

de l’étude.

A noter qu’aucun doublon n’a été détecté, et qu’aucune date de naissance erronée n’a été

relevée.

31

Le tableau ci-dessous résume les traitements effectués :

Données reçues 107 410

Dates de décès manquantes avec code de décès = 1 1 022

Dates de naissance manquantes 6

Dates de naissance erronées 0

Années d'effet manquantes 38

Doublons 0

Total anomalies 1 066

Données sans anomalies 106 344

Taux d'anomalies 0

Données reçues le 22-11-05

On constate que le pourcentage d’anomalie est inférieur à 1%. De ce fait, l’étude va être faite

sur la table sans anomalies.

A partir de la base de données transmises et traitées, 10 tables de mortalités instantanées de

1995 à 2004 ont été construites.

NB : Sur chaque période d’observation, la population soumise au risque a été estimée en retenant les

affiliés dont la date de souscription est antérieure à la date de début d’observation.

Remarque : l’étude sera d’abord effectuée sur les retraités directes. L’impact de la

réversion sera analysé par la suite.

32

8.2. Etude de la structure démographique

8.2.1. Situation au 1er janvier 2005

Population soumise au risque : Le fichier reçu après traitement au 1er janvier 1995 se composent de 37 198 retraités dont

34 781 hommes et 2 417 femmes.

94% des retraités CIMR de l’année 1995 sont de sexe masculin.

Retraités 1995 Effectifs En % Age moyen Hommes 34 781 94% 67,1 Femmes 2 417 6% 66,7

Total 37 198 100% 67,1

L’âge moyen des retraités en 1995 est de 67,1 ans.

Les hommes en majorité dans cette population des retraités ont un âge moyen 67,1 peu

différent de celui des femmes 66,7.

Pyramide des âges des hommes et des femmes en 1995

La pyramide des âges des retraités à la CIMR se caractérise par les éléments suivants :

Une concentration des effectifs masculins entre 60 et 75 ans ;

Des effectifs féminins concentrés entre 60 à 70 ans.

La proportion faible de la population féminine peut être expliquée par un turnover plus

important chez les hommes que chez les femmes

Pyramide des âges 1995

-500 - 500 1 000 1 500 2 000 2 500 3 000 3 500 4 00051

57

63

69

75

81

87

93

10F

H

33

Décès : Les effectifs des affiliés à la CIMR décédés entre le 1er janvier 1995 et le 31 décembre 1995

se composent de 1 036 hommes et 48 femmes.

Ainsi 96% des décès des affiliés au régime sont donc masculins.

Décès 1995 Effectifs En % Age moyen

Hommes 1 036 96% 71,1

Femmes 48 4% 70,8

Total 1 084 100% 71,1

L’âge moyen des retraités décédés est de 71,1 ans.

On constate que l’âge moyen des décès des hommes 71,1 est proche de celui des femmes

70,8.

Pyramide des décès des hommes et des femmes en 1995

La pyramide des décès se caractérise par :


Une distribution sur tous les âges des décès féminins.

Pyramide des décès 1995

-20 0 20 40 60 80 10051

57

63

69

75

81

87

93 H

F

34


Population soumise au risque Les effectifs CIMR présents au 1er janvier 1996 se composent de 39 831 retraités, dont 37 087

hommes et 2 744 femmes.

Donc les hommes représente 93% de la population étudiée.

Retraités 1996 Effectifs En % Age moyen

Hommes 37 087 93% 67,2

Femmes 2 744 7% 66,4

Total 39 831 100% 67,2

L’âge moyen des retraités est de 67,2 ans.

On constate que l’âge moyen des hommes 67,2 est proche de celui des femmes 66.4.


La pyramide des âges se caractérise par :


Des effectifs féminins concentrés entre 60 et 70 ans.


-1000 0 1000 2000 3000 400051

58

65

72

79

86

93

100

FH

35

Décès

Les effectifs affiliés à la CIMR décédés entre le 1er janvier 1996 et le 31 décembre 1996 se

composent de 1 151 hommes et 42 femmes.


Hommes 1 151 96% 71,3

Femmes 42 4% 70,8

Total 1 193 100% 71,3

L’âge moyen des retraités décédés en 1996 est de 71,3 ans. Il est de 70,8 chez les retraités

décédés de sexe féminin.



Une concentration des décès masculins entre 60 et 80 ans ;

Une distribution sur tous les âges des décès féminins.


-20 0 20 40 60 80 10051

57

63

69

75

81

87

93

HF

36


Population soumise au risque Les effectifs présents au 1er janvier 1997 se composent de 42 369 retraités, dont 39 366


Ainsi 93% des affiliés au régime sont donc masculins.


Hommes 39 366 93% 67,3

Femmes 3 003 7% 66,5

Total 42 369 100% 67,3

L’âge moyen des retraités en 1997 est de 67,3 ans.

Les hommes en majorité dans cette population des retraités ont un âge moyen 67,3 peu

différent de celui des femmes 66,5.




Une concentration des effectifs féminins entre 60 et 70 ans.


-1000 0 1000 2000 3000 400051

58

65

72

79

86

93

10

FH

37

Décès Les effectifs affiliés à la CIMR décédés entre le 1er janvier 1997 et le 31 décembre 1997 se

composent dans la présente étude de 1 241 hommes et 37 femmes.



Hommes 1 241 97% 71,5

Femmes 37 3% 70,6

Total 1 278 100% 71,5






Une répartition sur tous les âges des décès féminins.


-20 0 20 40 60 80 10051

58

65

72

79

86

93

HF

38


Population soumise au risque Les effectifs des retraités CIMR présents au 1er janvier 1998 se composent de 44 850 retraités,

dont 41 562 hommes et 3 288 femmes.

Donc les hommes représentent 93% de la population étudiée.


Hommes 41 562 93% 67,4

Femmes 3 288 7% 66,6

Total 44 850 100% 67,4

L’âge moyen des retraités en 1998 est de 67,4 ans. Il est de 66,6 ans chez les retraités de sexe

féminin.




Des effectifs féminins répartis entre 57 et 75 ans.


-1000 0 1000 2000 3000 400051

58

65

72

79

86

93

100

FH

39





Hommes 1 318 97% 71,9

Femmes 46 3% 72,8

Total 1 364 100% 72

L’âge moyen des retraités décédés en 1998 est de 72 ans. Il est de 72,8 chez les retraités





Une répartition des décès sur tous les âges pour le sexe féminin.


-20 0 20 40 60 80 10051

58

65

72

79

86

93

10

FH

40



hommes et 3 715 femmes. Ainsi 92% des affiliés au régime sont donc masculins.


Hommes 43 810 92% 67,5

Femmes 3 715 8% 66,3

Total 47 525 100% 67,5

Les femmes représentent 8% de la population des retraités, alors qu’elles représentaient 6%

en 1995.


féminin.




Des effectifs féminins regroupés entre 60 et 75 ans.


-1000 0 1000 2000 3000 400051

58

65

72

79

86

93

10

FH

41



Ainsi 96% des décès des retraités de la CIMR sont donc masculins.


Hommes 1 326 97% 72,3

Femmes 42 3% 71,8

Total 1 368 100% 72,3

L’âge moyen des retraités décédés est de 72,3 ans.

On constate que l’âge moyen des décès des hommes 72,3 est supérieur à celui des femmes

71,8, on peut attribuer cette différence au faible nombre de la population féminine.




Des décès féminins répartis sur tous les âges.


-20 0 20 40 60 80 10051

58

65

72

79

86

93

10

FH

42


Population soumise au risque Les effectifs de la CIMR présents au 1er janvier 2000 se composent de 50 287 retraités, dont

46 114 hommes et 4 173 femmes.



Hommes 46 114 92% 67,7

Femmes 4 173 8% 66,1

Total 50 287 100% 67,6


féminin.






-1000 0 1000 2000 3000 400051

58

65

72

79

86

93

100

FH

43

Décès





Hommes 1 430 96% 72,5

Femmes 60 4% 73,9

Total 1 490 100% 72,6





-20 0 20 40 60 80 10051

58

65

72

79

86

93

100

FH



Décès féminins répartis sur tous les âges avec un pic à 70 ans.

44




Ainsi 91% des retraités sont donc de sexe masculin.


Hommes 49 138 91% 67,7

Femmes 4 797 9% 65,6

Total 53 935 100% 67,5


en 1995, et 8% en 1999.


féminin.






-1000 0 1000 2000 3000 400051

58

65

72

79

86

93

100

FH

45





Hommes 1 440 97% 72,4

Femmes 58 3% 71,8

Total 1 498 100% 72,4






Une répartition des décès féminins sur tous les âges.


-20 0 20 40 60 80 10051

57

63

69

75

81

87

93

FH

46


Population soumise au risque Les effectifs présents au 1er janvier 2002 se composent de 56 205 affiliés, dont 50 960


Donc les hommes représente 91% de la population étudiée.


Hommes 50 960 91% 67,9

Femmes 5 245 9% 65,6

Total 56 205 100% 67,7


féminin.




Des effectifs féminins répartis entre 52 et 75 ans.


-1000 0 1000 2000 3000 400051

58

65

72

79

86

93

100

FH

47

Décès




Hommes 1 672 96% 72,9

Femmes 71 4% 72,1

Total 1 743 100% 72,9





Une concentration des décès masculins entre 58 et 85 ans avec un pic à 72 ans ;



-20 0 20 40 60 80 100 12051

58

65

72

79

86

93

FH

48




Ainsi 90% des retraités de la CIMR sont de sexe masculin.


Hommes 54 084 90% 67,8

Femmes 5 914 10% 65,4

Total 59 998 100% 67,6


en 1995, 8% en 1999 et 9% en 2001.


féminin.






-1000 0 1000 2000 3000 400051

58

65

72

79

86

93

100

FH

49

Décès




Hommes 1 526 97% 73

Femmes 53 3% 71,8

Total 1 579 100% 72,9








-20 0 20 40 60 80 100 12051

58

65

72

79

86

93

100

FH

50






Hommes 57 426 90% 67,8

Femmes 6 691 10% 65,2

Total 64 117 100% 67,5


féminin.






-1000 0 1000 2000 3000 400051

58

65

72

79

86

93

100

FH

51





Hommes 1 688 96% 73,3

Femmes 77 4% 71,2

Total 1 765 100% 73,2








-20 0 20 40 60 80 100 120 14051

58

65

72

79

86

93

FH

Synthèse

La qualité des données transmises apparaît satisfaisante pour les pensions

principales et justifie l’utilisation de ces données pour la construction de la table

.d’expérience.

52

9. Construction de la table de mortalité

La construction de table de mortalité instantanée est réalisée pour les 10 tables de 1995 à 2004

et aussi pour la table moyenne (calculée à base des 10 tables). Les résultats présentés ci-

dessous sont ceux de la table 1995, table 2004 et la table moyenne.

9.1. Première étape de construction de la table de mortalité : Modalités d’estimation de la population soumise au risque

Dans la table reçue de la direction des systèmes d’information, chaque retraité à un numéro,

un code décès (0 pour les retraités décédés et 1 pour les vivants), une date de naissance, une

date de décès exacte, une nature de pension (D pour directe et I pour indirecte), un sexe, un

nombre de trimestres d’effet et enfin une année d’effet.

L’âge de chaque retraité est calculé (en prenant en considération l’année de naissance

seulement) ; un tableau où est compté pour une année donnée (de 1995 à 2004) pour chaque

âge (de 51ans à en moyenne 106 ans) le nombre de personnes soumises au risque est calculé.

9.2. Deuxième étape de construction de la table de mortalité: Estimation des taux bruts de mortalité

Les taux bruts de mortalité ont été estimés en rapportant le nombre de décès observés sur la

période à la population soumise au risque en début de période.

Le nombre de décès a été estimé en dénombrant les décès relatifs à la population soumise au

risque entre la date de début et la date de fin d’observation.

Le graphique ci-dessous représente la population moyenne des retraités CIMR soumise au

risque (entre 1995 et 2004).

53

La graphique suivant se caractérise par :

Une concentration de la population moyenne des retraités soumise au risque entre 58 et 77

ans avec un pic à 61 ans ;

Une faiblesse des effectifs des retraités à partir de 90 ans.

(Cf le tableau de données en annexe 1)

Le graphique ci-dessous présente les taux bruts de mortalité observés pour la population

moyenne des retraités entre 1995 et 2004.

La population moyenne des retraités soumise au risque

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

51 54 57 60 63 66 69 72 75 78 81 84 87 90 93 96 99 102

105

Ages

Lx

Taux brut de mortalité de la population moyenne des retraités

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

51 53 55 57 59 61 63 65 67 69 71 73 75 77 79 81 83 85 87 89 91 93 95 97 99

Ages

qx - brut

54

Des fluctuations importantes sont constatées pour les âges les plus élevés qui sont dues

essentiellement à la relative faiblesse de l’effectif observé, néanmoins une tendance croissante

de la mortalité est observées en fonction de l’âge. La même chose est constatée pour les autres

tables non présentées dans ce mémoire.

9.3. Troisième étape de construction de la table de mortalité: Définition des Intervalles de confiance des taux bruts de mortalité

L’intervalle de confiance permet de situer avec une probabilité de 95% la plage dans laquelle

les taux de décès doivent se situer.

Les intervalles de confiance sont calculés pour les 10 tables ainsi que pour la table moyenne

en utilisant la variance estimée et la variance exacte.

9.3.1. Intervalles de confiance en utilisant la variance estimée

Les graphiques suivants présentent les intervalles de confiance des taux bruts de mortalité des

tables 1995, 2004 et la table moyenne.

Vu que le taux de décès ne peut être négatif, on a pris pour la borne inférieure le maximum

entre 0 et la valeur calculée. (Cf en annexe 2 le tableau des données des graphes suivants)

Taux brut et intervalles de confiance de la table 1995

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

51 53 55 57 59 61 63 65 67 69 71 73 75 77 79 81 83 85 87 89 91 93 95

Ages

qx - brutIC GIC D

55

Taux brut et intervalles de confiance de la table moyenne

00,10,20,30,40,50,60,70,8

51 53 55 57 59 61 63 65 67 69 71 73 75 77 79 81 83 85 87 89 91 93 95 97 99 101

Ages

qx - brutIC GIC D

L’impact de la faiblesse des effectifs pour les âges les plus élevés est constaté puisque les

intervalles de confiance y sont plus larges. La même chose est constatée pour les autres tables

non présentés dans ce mémoire.

Taux brut et intervalles de confiance de la table 2004

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

51 53 55 57 59 61 63 65 67 69 71 73 75 77 79 81 83 85 87 89 91

Ages

qx - brutIC GIC D

56

9.3.2. Intervalles de confiance en utilisant la variance exacte

(Cf en annexe 3 le tableau des données correspondant aux graphes suivants).

Les graphiques ci-dessous présentent les intervalles de confiances des taux bruts de mortalité

des tables 1995,2004 et la tables moyenne calculés avec la variance exacte.

Taux brut et intervalles de confiance calculés avec la variance exacte de la table 2004

-0,1

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

51 53 55 57 59 61 63 65 67 69 71 73 75 77 79 81 83 85 87 89 91 93 95 97

Ages

qx - brutIC G VEIC D VE

Taux brut et intervalles de confiance calculés avec la variance exacte de la table 1995

00,050,1

0,150,2

0,250,3

0,350,4

51 53 55 57 59 61 63 65 67 69 71 73 75 77 79 81 83 85 87 89

Ages


57

Les intervalles sont plus larges pour les âges élevés cela peut s’expliquer par la faiblesse des

effectifs. La même chose est constatée pour les autres tables non présentés dans ce mémoire.

Taux brut et intervalles de confiance calculés avec la variance exacte de la table moyenne

00,10,20,30,40,50,60,70,8

51 54 57 60 63 66 69 72 75 78 81 84 87 90 93 96 99

Ages


Synthèse

Les bornes inférieures des intervalles de confiance obtenus par l’application de la

variance exacte sont, au contraire de ceux obtenus par l’utilisation de la variance

estimée, pratiquement toujours différents de 0, mais les intervalles de confiance

obtenus en utilisant la variance estimée sont moins larges que ceux obtenus en

utilisant la variance exacte. Néanmoins, les deux intervalles de confiance ne sont pas

significativement différents.

58

9.4. Quatrième étape de construction de la table de

mortalité : Ajustement des taux bruts de mortalité par la loi de Makeham

Les taux bruts de décès Qx calculés permettent en utilisant la fonction ln|Qx+1-Qx|, comme

vu dans la partie théorique de déterminer l’intervalle dans lequel l’ajustement Makehamien

est possible.

9.4.1. Table d’expérience instantanée réalisée à partir des retraités du

régime CIMR en 1995

Intervalle d’ajustement :

La fonction Log|Qx+1-Qx| présente une tendance linéaire en fonction de l’âge de l’ordre de

(0.1065) avec R² assez proche de 1.

L’ajustement Makehamien peut être appliqué pour tout l’intervalle étudié (51 et 101 ans).

Documents

REMERCIEMENTS...1 REMERCIEMENTS Ce stage s’est déroulé du 17 Avril au 17 Octobre au sein du service actuariat de la CIMR « Caisse Interprofessionnelle Marocaine des retraites