ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ & ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ

ΣΤΕΦΑΝΟΣ Β. ΤΣΙΝΟΠΟΥΛΟΣ

ΜΕΘΟΔΟΣ ΣΥΝΟΡΙΑΚΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΚΕΔΑΣΗΣ

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗΣ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑΣ

ΔΙΔΑΚΤΟΡΙΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ

ΠΑΤΡΑ ΙΟΥΝΙΟΣ 1999

Μέθοδος Συνοριακών Στοιχείων σε προβλήματα σκέδασης ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας

Διδακτορική διατριβή

Υποβληθείσα στο Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών και Αεροναυπηγών του Πανεπιστημίου Πατρών για την αναγόρευση σε Διδάκτορα του Πανεπιστημίου Πατρών

Υπό Στέφανου Β. Τσινόπουλου

Επταμελής Εξεταστική Επιτροπή (ν. 2083/1992)

Πολύζος Δημοσθένης, Επίκουρος Καθηγητής του Τμ. Μηχαν. & Αερον. Μηχανικών Παν. Πατρών, επιβλέπων Καθηγητής της παρούσας διατριβής.

Κερμανίδης Θεόδωρος, Καθηγητής του Τμ. Μηχαν. & Αερον. Μηχανικών Παν. Πατρών, μέλος της τριμελούς επιτροπής της παρούσας διατριβής.

Μπέσκος Δημήτριος, Καθηγητής του Τμήματος Πολιτικών Μηχανικών του Παν. Πατρών, μέλος της τριμελούς επιτροπής της παρούσας διατριβής.

Δάσιος Γεώργιος, Καθηγητής του Τμήματος Χημικών Μηχανικών Παν. Πατρών.

Κυριάκη Κυριακή, Αναπληρώτρια Καθηγήτρια του Γενικού Τμήματος Ε.Μ.Π..

Παγιατάκης Αλκιβιάδης, Καθηγητής του Τμήματος Χημικών Μηχανικών Παν. Πατρών.

Παïπέτης Στέφανος, Καθηγητής Του Τμ. Μηχαν. & Αερον. Μηχανικών Παν. Πατρών.

Η έγκριση της Διδακτορικής Διατριβής από το Τμήμα Μηχανολόγων & Αεροναυπηγών Μηχανικών του Πανεπιστημίου Πατρών, δεν υποδηλοί αποδοχή των γνωμών του συγγραφέα.

(ν. 5543/1932, άρθρο 202)

Στους γονείς μου

Από τη θέση αυτή θα ήθελα να εκφράσω τις θερμές μου ευχαριστίες στους ανθρώπους που είχα τη τύχη να γνωρίσω και την τιμή να συνεργασθώ μαζί τους κατά τη διάρκεια των μεταπτυχιακών μου σπουδών,

στον επιβλέποντα Καθηγητή της παρούσας διδακτορικής διατριβής και δάσκαλο μου, Επίκουρο Καθηγητή Δημοσθένη Πολύζο, για την αδιάκοπη και ουσιαστική καθοδήγηση του σε όλη την διάρκεια των μεταπτυχιακών μου σπουδών. Η παρούσα διατριβή είναι το αποτέλεσμα της στενής συνεργασίας μας και πρέπει να επισημανθεί από μέρους μου ότι η προσωπική του εργασία συνέβαλε τα μέγιστα στην διεκπεραίωση της εν λόγω διατριβής. Συνάμα ευχαριστώ θερμά τον άνθρωπο Δημοσθένη Πολύζο, για το ειλικρινές ενδιαφέρον του και την πολύτιμη βοήθεια του για την αντιμετώπιση όλων των δυσκολιών που παρουσιάσθηκαν κατά την διάρκεια των μεταπτυχιακών μου σπουδών.

Στον Καθηγητή Δημήτριο Μπέσκο, για την καθοδήγηση του κυρίως σε θέματα της μεθόδου των Συνοριακών Στοιχείων, όπου με την πολύχρονη εμπειρία του συνέβαλε ουσιαστικά στην τελική μορφή της μεθόδου που αναπτύχθηκε στην παρούσα διατριβή.

Στον Καθηγητή Αλκιβιάδη Παγιατάκη, για την εμπιστοσύνη που μου έδειξε ως επικεφαλής της ερευνητικής ομάδας του οργάνου “Αναλυτής Μη Σφαιρικών Σωματιδίων” στα πλαίσια του έργου ΕΠΕΤ ΙΙ“Έγκαιρη διάγνωση”, στο οποίο συμμετείχα και οι ανάγκες του οποίου υπήρξαν το κίνητρο για τον καθορισμό του θέματος της παρούσας διατριβής.

Στον Καθηγητή Στέφανο Παϊπέτη, για την οικονομοτεχνική υποστήριξη που μου παρείχε ως Διευθυντής του Εργαστηρίου Τεχνικής Μηχανικής, όπου και εκπονήθηκε η παρούσα διατριβή.

Στον Διδάκτορα Σπήλιο Καττή, για την πολύτιμη καθοδήγηση του σε θέματα αριθμητικής ανάλυσης και προγραμματισμού κυρίως στο ξεκίνημα των μεταπτυχιακών μου σπουδών,

και στον μεταπτυχιακό φοιτητή Ευριπίδη Σελλούντο, για την σημαντική βοήθεια του στην συγγραφή της παρούσας διατριβής.

Τέλος εκφράζω τις ευχαριστίες μου στο Ερευνητικό Ινστιτούτο Χημικής Μηχανικής και Χημικών Διεργασιών Υψηλής Θερμοκρασίας (ΕΙΧΗΜΥΘ), για την οικονομική υποστήριξη που μου παρείχε ως μεταπτυχιακό υπότροφο του σε όλη τη διάρκεια των σπουδών μου.

Σ. Τσινόπουλος

Περίληψη

Σκοπός της παρούσας διδακτορικής διατριβής είναι η ανάπτυξη μεθοδολογίας συνοριακών στοιχείων για την αριθμητική επίλυση του προβλήματος σκέδασης ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας από ένα ή περισσότερα τρισδιάστατα διηλεκτρικά σωματίδια και η εφαρμογή της σε απαραμόρφωτα υγιή ερυθρά αιμοσφαίρια. Πιο συγκεκριμένα διατυπώνονται δυο μεθοδολογίες συνοριακών στοιχείων, μια στις τρεις διαστάσεις για εφαρμογή σε σωματίδια τυχαίου σχήματος και μια αξονοσυμμετρική για εφαρμογή σε σωματίδια με αξονική συμμετρία.

Η επίλυση του γενικού προβλήματος σκέδασης γίνεται στο πεδίο συχνοτήτων και πραγματοποιείται μέσω της αριθμητικής επίλυσης μιας ολοκληρωτικής εξίσωσης, η οποία περιέχει ολοκληρώματα που ορίζονται μόνο στην επιφάνεια του σκεδαστή. Τα ιδιόμορφα ολοκληρώματα που περιέχει εμφανίζουν μια ασθενή ή μια ισχυρή ιδιομορφία σε αντίθεση, με άλλες ολοκληρωτικές εξισώσεις που περιγράφουν ισοδύναμα το πρόβλημα, όπου εμφανίζονται και υπερ-ιδιόμορφα ολοκληρώματα. Επιπλέον τα ισχυρώς ιδιόμορφα ολοκληρώματα της έχουν παρόμοια μορφή με τα αντίστοιχα ολοκληρώματα της δυναμικής ελαστικότητας, και ως εκ τούτου οι τεχνικές επίλυσης που έχουν αναπτυχθεί στην τελευταία μπορούν να χρησιμοποιηθούν αυτούσιες στην παρούσα περίπτωση. Άμεση απόρροια των παραπάνω χαρακτηριστικών της ολοκληρωτικής εξίσωσης είναι ότι ο αλγόριθμος αριθμητικής επίλυσης της μπορεί εύκολα να ενσωματωθεί σε ένα κώδικα συνοριακών στοιχείων γενικού σκοπού, με τον οποίο επιλύονται προβλήματα σκέδασης ακουστικών, ηλεκτρομαγνητικών και ελαστικών κυμάτων.

Στην μεθοδολογία συνοριακών στοιχείων στις τρεις διαστάσεις που αναπτύχθηκε, η προσπίπτουσα ακτινοβολία μπορεί να είναι επίπεδο κύμα ή δέσμη ακτινοβολίας laser. Η γεωμετρία του σκεδαστή και οι συναρτήσεις που περιγράφουν το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο, προσεγγίζονται με δευτεροβάθμια τετραγωνικά και τριγωνικά συνοριακά στοιχεία και επιπλέον χρησιμοποιούνται ασυνεχή συνοριακά στοιχεία για την αντιμετώπιση γεωμετριών με ακμές, πάνω στις οποίες δεν ορίζεται το μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα. Επίσης, λαμβάνονται υπόψη οι καρτεσιανές συμμετρίες ή αντισυμμετρίες που ενδεχομένως παρουσιάζει το τρισδιάστατο πρόβλημα και επιτυγχάνεται έτσι σημαντική μείωση του υπολογιστικού κόστους. Τέλος εκτός από το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο σε οποιαδήποτε σημείο του χώρου, υπολογίζονται και βασικά μεγέθη σκέδασης, όπως είναι τα πλάτη και η ενεργειακή διατομή σκέδασης.

Στην αξονοσυμμετρική μεθοδολογία συνοριακών στοιχείων, η οποία στην γενική περίπτωση της εφαρμογής της αφορά μη αξονοσυμμετρικές συνοριακές συνθήκες, τα επιφανειακά ολοκληρώματα της τρισδιάστατης ολοκληρωτικής εξίσωσης υποβιβάζονται, με μετασχηματισμό σε κυλινδρικές συντεταγμένες, σε ολοκληρώματα κατά μήκος της γενέτειρας του αξονοσυμμετρικού σώματος και κατά μήκος της γωνίας περιστροφής του. Με τον τρόπο αυτό το τρισδιάστατο πρόβλημα, αναλύεται σε μια σειρά υποβιβασμένων γεωμετρικά κατά μια διάσταση προβλημάτων, και για την αριθμητική επίλυση του απαιτείται προσέγγιση με συνοριακά στοιχεία μόνο της γενέτειρας του αξονοσυμμετρικού σώματος. Τα βασικά χαρακτηριστικά της μεθοδολογίας των τριών διαστάσεων, που αναφέρθηκαν στην προηγούμενη παράγραφο, είναι ενσωματωμένα και στην αξονοσυμμετρική

μεθοδολογία όπου επιπλέον πρέπει να αναφερθεί ότι, οι συναρτήσεις των πεδίων αναπτύσσονται σε διακριτές μιγαδικές σειρές Fourier, τα ολοκληρωμάτα ως προς την γωνία περιστροφής του αξονοσυμμετρικού σώματος υπολογίζονται με τη βέλτιστη χρήση του αλγόριθμου ταχέως μετασχηματισμού Fourier και τέλος τα ιδιόμορφα ολοκληρώματα αντιμετωπίζονται με τεχνικές ιδιόμορφης ολοκλήρωσης τριών διαστάσεων, σε αντίθεση με τις διατυπώσεις μεθόδων συνοριακών στοιχείων της βιβλιογραφίας όπου χρησιμοποιούνται οι αντίστοιχες τεχνικές των δυο διαστάσεων.

Στο δεύτερο μέρος της παρούσας διδακτορικής διατριβής επιλύεται με μεγάλη ακρίβεια το πρόβλημα σκέδασης ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας από ένα απαραμόρφωτο υγιές ερυθρό αιμοσφαίριο με τη χρήση της προαναφερθείσας μεθοδολογίας συνοριακών στοιχείων. Το ερυθροκύτταρο προσομοιώνεται αριθμητικά λαμβάνοντας υπόψη την ακριβή γεωμετρία του, όπως αυτή προσδιορίζεται από πειραματικές μετρήσεις της βιβλιογραφίας. Η πλειοψηφία των αιματολογικών αναλυτών έχει ως αρχή λειτουργίας το φαινόμενο της σκέδασης της ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας και η αξιολόγηση της ποιότητας του αίματος γίνεται με την ανάλυση του σήματος της σκεδασμένης ακτινοβολίας που λαμβάνεται από τους ανιχνευτές φωτός του αναλυτή. Είναι φανερό λοιπόν ότι η ακριβής επίλυση του εν λόγω προβλήματος σκέδασης είναι ιδιαίτερα σημαντική και αναγκαία για την αξιοποίηση των πληροφοριών για τον όγκο, το σχήμα και την συγκέντρωση της αιμοσφαιρίνης του ερυθροκυττάρου που περιέχονται στο λαμβανόμενο σήμα της σκεδασμένης ακτινοβολίας.

i

Περιεχόμενα

1 Εισαγωγή 1

1.1 Αριθμητική επίλυση προβλημάτων σκέδασης ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας στο πεδίο των συχνοτήτων 1

1.2 Σκέδαση ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας από ανθρώπινα ερυθρά αιμοσφαίρια 5

1.3 Περιληπτική παρουσίαση των κεφαλαίων που απαρτίζουν την διδακτορική διατριβή 7

2 Βασικές έννοιες ηλεκτρομαγνητισμού και σκέδασης ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων 11

2.1 Θεωρία Ηλεκτρομαγνητισμού 12 2.1.1 Εξισώσεις Maxwell 12 2.1.2 Μακροσκοπικές ιδιότητες του μέσου 13 2.1.3 Συνοριακές συνθήκες 14

2.2 Ηλεκτρομαγνητικά κύματα 16 2.2.1 Κυματική μορφή των εξισώσεων Maxwell 16 2.2.2 Ροή ισχύος και ένταση ηλεκτρομαγνητικού κύματος 18 2.2.3 Επίπεδο HM κύμα σε άπειρο μέσο 19 2.2.4 Δέσμη ακτινοβολίας laser κυκλικής διατομής 20

2.3 Βασικά μεγέθη σκέδασης ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας από ένα τυχαίο σωματίδιο 22 2.3.1 Πλάτη σκέδασης 23 2.3.2 Μητρώο πλατών σκέδασης 24 2.3.3 Ενεργειακές διατομές σκέδασης, απορρόφησης και εξάλειψης 24

3 Μέθοδος Συνοριακών Στοιχείων στις Τρεις Διαστάσεις 27

3.1 Ολοκληρωτική αναπαράσταση του προβλήματος 28 3.1.1 Μαθηματική διατύπωση του προβλήματος σκέδασης ΗΜ ακτινοβολίας

από ένα τρισδιάστατο διηλεκτρικό σωματίδιο 28 3.1.2 Ολοκληρωτική αναπαράσταση του προβλήματος 30 3.1.3 Ολοκληρωτικές εκφράσεις για τα πλάτη σκέδασης 31

Περιεχόμενα ii

3.2 Μέθοδος συνοριακών στοιχείων 33 3.2.1 Διακριτοποίηση της επιφάνειας σε συνοριακά στοιχεία 33 3.2.2 Επιφανειακά συνοριακά στοιχεία 34 3.2.3 Ιακωβιανή του μετασχηματισμού από το καρτεσιανό στο τοπικό

παραμετρικό σύστημα συντεταγμένων 37 3.2.4 Συναρμολόγηση εξισώσεων 37 3.2.5 Εφαρμογή των συνοριακών συνθηκών και τελικό σύστημα εξισώσεων 39 3.2.6 Υπολογισμός του πεδίου Ψ σε σημεία εξωτερικά και εσωτερικά του

σκεδαστή και των πλατών σκέδασης 40 3.2.7 Συμμετρία και αντισυμμετρία ως προς τα επίπεδα του καρτεσιανού

συστήματος συντεταγμένων 40

3.3 Αριθμητικός υπολογισμός ολοκληρωμάτων 42 3.3.1 Ομαλά και σχεδόν ιδιόμορφα ολοκληρώματα 43 3.3.2 Ασθενώς ιδιόμορφα ολοκληρώματα 44 3.3.3 Ισχυρώς ιδιόμορφα ολοκληρώματα 46

3.4 Πιστοποίηση αξιοπιστίας κώδικα ηλεκτρονικού υπολογιστή 48 3.4.1 Σκέδαση από σφαιρικό σωματίδιο 48 3.4.2 Σκέδαση από σωματίδιο σε σχήμα φιστικιού 50 3.4.3 Σκέδαση από κυβικό σκεδαστή 51 3.4.4 Σκέδαση από κυλινδρικό σκεδαστή 53 3.4.5 Σκέδαση από σφαιρικό σωματίδιο με λεπτή επικάλυψη σταθερού

πάχους 54 3.4.6 Σκέδαση από διαμήκες σφαιροειδές σωματίδιο με ομόκεντρο διαμήκες

σφαιροειδές έγκλεισμα 55 3.4.7 Σκέδαση δέσμης ακτινοβολίας laser από σφαιρικό σωματίδιο 57

4 Αξονοσυμμετρική Μέθοδος Συνοριακών Στοιχείων 59

4.1 Μαθηματική διατύπωση της μεθόδου 60 4.1.1 Αξονοσυμμετρική συνοριακή ολοκληρωτική εξίσωση 60 4.1.2 Ανάπτυξη του προσπίπτοντος κύματος και των άγνωστων συνοριακών

μεταβλητών σε σειρές Fourier 62 4.1.3 Αξονοσυμμετρική ολοκληρωτική εξίσωση εκφρασμένη στο ρ - z

επίπεδο 63 4.1.4 Τελικό σύστημα αξονοσυμμετρικών συνοριακών ολοκληρωτικών

εξισώσεων 64

4.2 Μέθοδος Συνοριακών Στοιχείων 65 4.2.1 Διακριτοποίηση της γενέτειρας σε συνοριακά στοιχεία 65 4.2.2 Μονοδιάστατα συνοριακά στοιχεία 66 4.2.3 Ιακωβιανή του μετασχηματισμού από το καρτεσιανό στο τοπικό

παραμετρικό σύστημα συντεταγμένων 67 4.2.4 Συναρμολόγηση εξισώσεων 68

iii

4.2.5 Εφαρμογή των συνοριακών συνθηκών και τελικό σύστημα εξισώσεων 69 4.2.6 Υπολογισμός των πεδίων Ψ και T σε οποιοδήποτε επιφανειακό

σημείο, του πεδίου Ψ σε εξωτερικά και εσωτερικά σημεία του σκεδαστή και των πλατών σκέδασης 70

4.2.7 Συμμετρία και αντισυμμετρία ως προς το επίπεδο Χ1 -Χ2 του καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων 70

4.2.8 Συνοπτική παρουσίαση της αξονοσυμμετρικής μεθοδολογίας συνοριακών στοιχείων 71

4.3 Αριθμητικός υπολογισμός ολοκληρωμάτων 72 4.3.1 Ομαλά και σχεδόν ιδιόμορφα ολοκληρώματα 73 4.3.2 Ιδιόμορφα ολοκληρώματα 75

4.4 Πιστοποίηση αξιοπιστίας κώδικα ηλεκτρονικού υπολογιστή 78 4.4.1 Σκέδαση από σφαιρικό σωματίδιο επίπεδου ΗΜ κύματος με διεύθυνση

διάδοσης παράλληλη στον άξονα συμμετρίας 78 4.4.2 Σκέδαση από σφαιρικό σωματίδιο επίπεδου ΗΜ κύματος με διεύθυνση

διάδοσης κάθετη στον άξονα συμμετρίας 79 4.4.3 Σκέδαση από σφαιρικό σωματίδιο με ομόκεντρο σφαιρικό έγκλεισμα 80 4.4.4 Σκέδαση από διαμήκες σφαιροειδές σωματίδιο με πολύ λεπτή

επικάλυψη σταθερού πάχους 81 4.4.5 Πολλαπλή σκέδαση από δυο όμοια σφαιρικά σωματίδια 82

5 Σκέδαση ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας από απαραμόρφωτα ερυθρά αιμοσφαίρια 85

5.1 Τοποθέτηση του προβλήματος 86 5.1.1 Φυσιολογία και γεωμετρικά χαρακτηριστικά ερυθροκυττάρου 86 5.1.2 Διηλεκτρικές ιδιότητες ερυθροκυττάρου 88 5.1.3 Προσπίπτουσα HM ακτινοβολία 88

5.2 Σκέδαση ΗΜ ακτινοβολίας από αμφίκοιλο δισκοειδές ερυθροκύτταρο 89 5.2.1 Υπέρυθρη ΗΜ ακτινοβολία με μήκος κύματος λ0 = 1.523μm 90 5.2.2 Ακτινοβολία He-Ne laser με μήκος κύματος λ0 = 0.6328μm 92 5.2.3 Συμπεράσματα 93

5.3 Προσέγγιση του ερυθροκυττάρου από πιο απλά σχήματα ισοδύναμου όγκου 95 5.3.1 Σφαίρα ισοδύναμου όγκου 95 5.3.2 Πεπλατυσμένο σφαιροειδές ισοδύναμου όγκου και ακτίνας μεγάλου

ημι-άξονα 98

5.4 Παραμετρική μελέτη για την επίδραση του μήκους κύματος και του δείκτη διάθλασης στο σκεδαζόμενο φως 116

Περιεχόμενα iv

5.4.1 Παραμετρική μελέτη για το μήκος κύματος 117 5.4.2 Παραμετρική μελέτη για το δείκτη διάθλασης 119

6 Ανακεφαλαίωση και προτάσεις για μελλοντική έρευνα 123

Παράρτημα Α - Μονάδες ηλεκτρομαγνητικών μεγεθών στο διεθνές σύστημα (S.I.) 127

Παράρτημα B - Συναρτήσεις σχήματος και παρεμβολής 129

B.1 Μονοδιάστατο δευτεροβάθμιο στοιχείο 129 B.1.1 Συναρτήσεις σχήματος 129 B.1.2 Συναρτήσεις παρεμβολής 130

B.2 Επιφανειακό δευτεροβάθμιο τετραγωνικό στοιχείο με 9 κόμβους 131 B.2.1 Συναρτήσεις σχήματος 131 B.2.2 Συναρτήσεις παρεμβολής 133

B.3 Επιφανειακό δευτεροβάθμιο τριγωνικό στοιχείο με 6 κόμβους 135 B.3.1 Συναρτήσεις σχήματος 135 B.3.2 Συναρτήσεις παρεμβολής 136

Παράρτημα C - Διαίρεση του επιφανειακού παραμετρικού στοιχείου σε ορθογώνια τρίγωνα 139

C.1 Τετραγωνικό στοιχείο 139

C.2 Τριγωνικό στοιχείο 144

Παράρτημα D - Αναπτύγματα Taylor των ιδιόμορφων πυρήνων των ολοκληρωμάτων 149

D.1 Τρεις διαστάσεις 150

D.2 Αξονοσυμμετρία 152

Αναφορές 155

Βιογραφικό υπόμνημα 161

1

Κεφάλαιο 1

Εισαγωγή

Σκοπός της παρούσας διδακτορικής διατριβής είναι η ανάπτυξη μεθοδολογίας συνοριακών στοιχείων για την αριθμητική επίλυση του προβλήματος σκέδασης ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας από διηλεκτρικά σωματίδια στο πεδίο των συχνοτήτων και η εφαρμογή της σε απαραμόρφωτα υγιή ερυθρά αιμοσφαίρια. Στο παρόν κεφάλαιο επιχειρείται μια εμπεριστατωμένη ανασκόπηση της διεθνούς βιβλιογραφίας πάνω στα ερευνητικά θέματα που άπτονται του αντικειμένου της παρούσας διδακτορικής διατριβής. Αποτελείται από τρία υποκεφάλαια με το πρώτο να αφιερώνεται στο τι έχει γίνει μέχρι σήμερα πάνω στην αριθμητική επίλυση προβλημάτων σκέδασης ηλεκτρομαγνητικής (ΗΜ) ακτινοβολίας από διηλεκτρικά σωματίδια στο πεδίο των συχνοτήτων. Στο δεύτερο υποκεφάλαιο γίνεται βιβλιογραφική ανασκόπηση εργασιών που ασχολούνται με την σκέδαση ΗΜ ακτινοβολίας από ανθρώπινα ερυθρά αιμοσφαίρια, ενώ τέλος στο τρίτο υποκεφάλαιο γίνεται μια περιληπτική παρουσίαση των κεφαλαίων που απαρτίζουν την παρούσα διδακτορική διατριβή.

1.1 Αριθμητική επίλυση προβλημάτων σκέδασης ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας στο πεδίο των συχνοτήτων

Όταν η ομαλή διάδοση ενός κύματος διακόπτεται από την παρουσία μίας ή περισσότερων ασυνεχειών του χώρου διάδοσης τότε το φαινόμενο που ακολουθεί ονομάζεται ‘σκέδαση’, το διαδιδόμενο κύμα ‘προσπίπτον’ και η ασυνέχεια του χώρου που προκαλεί την σκέδαση ‘σκεδαστής’. Η αλληλεπίδραση προσπίπτοντος κύματος και σκεδαστή εκφράζεται μέσα από το ‘σκεδασμένο πεδίο’, το οποίο αντιπροσωπεύει την ενέργεια που σκεδάζεται, λόγω της ύπαρξης του

Κεφάλαιο 1: Εισαγωγή 2

σκεδαστή και ακτινοβολείται σε κάθε διεύθυνση του χώρου διάδοσης. Οι παράγοντες που επηρεάζουν την μορφή του σκεδασμένου πεδίου και ως εκ τούτου την χωρική κατανομή της σκεδασμένης ενέργειας, είναι το σχήμα και η σύνθεση του σκεδαστή.

Από την σκοπιά της μαθηματικής διατύπωσης ενός προβλήματος σκέδασης, ορίζεται ως ‘ευθύ πρόβλημα σκέδασης’ το πρόβλημα, στο οποίο τόσο το σχήμα και η σύνθεση του σκεδαστή όσο και η μορφή του προσπίπτοντος κύματος είναι γνωστά και ζητείται ο προσδιορισμός του σκεδασμένου πεδίου. Αντιθέτως ως ‘αντίστροφο πρόβλημα σκέδασης’ ορίζεται το πρόβλημα στο οποίο το προσπίπτον και το σκεδασμένο πεδίο είναι γνωστά και αναζητάται το σχήμα και η σύνθεση του σκεδαστή. Τα προβλήματα σκέδασης, ανάλογα με την φύση του χώρου διάδοσης και του σκεδαστή, κατατάσσονται σε διάφορες κατηγορίες, οι τρεις μεγαλύτερες εκ των οποίων είναι η σκέδαση ακουστικών, ηλεκτρομαγνητικών και ελαστικών κυμάτων. Η αντιμετώπιση των προβλημάτων αυτών, όπως αναφέρεται και στις εργασίες των Dassios et al. (1995) και Dassios and Polyzos (1993), θα μπορούσε να γίνει κάτω από μία ενιαία μαθηματική διατύπωση του προβλήματος της σκέδασης κυμάτων. Όμως λόγω των διαφορετικών πεδίων εφαρμογών οι περιοχές της σκέδασης ακουστικών, ηλεκτρομαγνητικών και ελαστικών κυμάτων αντιμετωπίζονται χωριστά και συνιστούν τρία εντελώς διαφορετικά πεδία ερευνητικού ενδιαφέροντος.

Η επίλυση ενός προβλήματος σκέδασης ΗΜ ακτινοβολίας από διηλεκτρικούς σκεδαστές είναι υψίστης σημασίας για μία σειρά άκρως ενδιαφερόντων τεχνολογικών εφαρμογών όπως, radar, αναλυτές βιολογικών και μη σωματιδίων, ανιχνευτές καπνού και ατμοσφαιρικής ρύπανσης, μη καταστροφικός έλεγχος υλικών και κατασκευών με τεχνικές radar κ.λ.π.. Αν και το αντίστροφο πρόβλημα σκέδασης είναι αυτό που παρουσιάζει το μεγαλύτερο ενδιαφέρον από πλευράς εφαρμογών, είναι γνωστό ότι η επιτυχής αντιστροφή ενός προβλήματος σκέδασης εξαρτάται κατά μεγάλο βαθμό από την όσο το δυνατόν βαθύτερη γνώση του αντίστοιχου ευθέως προβλήματος. Από την στιγμή που ο Sir James Clerk Maxwell διατύπωσε τις ομώνυμες ηλεκτρομαγνητικές εξισώσεις αποδίδοντας κυματική υπόσταση στην διάδοση του φωτός, το πρόβλημα της σκέδασης ΗΜ κυμάτων από ένα ή περισσότερα διηλεκτρικά σωματίδια έχει μελετηθεί εκτενώς, είτε αναλυτικά, είτε αριθμητικά. Οι περισσότερες από τις εργασίες που έχουν εμφανισθεί στην διεθνή βιβλιογραφία, σε ποσοστό που ξεπερνά το 90%, επιλύουν το πρόβλημα ΗΜ σκέδασης στο πεδίο των συχνοτήτων. Αυτό οφείλεται στους εξής λόγους: Πρώτον, η επίλυση του αντίστοιχου προβλήματος στο πεδίο του χρόνου είναι κατά πολύ δυσκολότερη και χρονοβόρος από ότι στο πεδίο των συχνοτήτων. Δεύτερον, με δεδομένο ότι κάθε χρονικά μεταβαλλόμενο προσπίπτον κύμα μπορεί να αναλυθεί κατά Fourier, η σκέδαση ενός αρμονικού επιπέδου κύματος από τον αντίστοιχο σκεδαστή αποτελεί το δομικό στοιχείο του προβλήματος σκέδασης. Τέλος με την ραγδαία ανάπτυξη των lasers, τα οποία μπορούν να εκπέμψουν μονοχρωματική ακτινοβολία με επιθυμητή πόλωση, η επίλυση ενός προβλήματος σκέδασης στο πεδίο των συχνοτήτων αποτελεί και άμεση εφαρμογή σε πραγματικά προβλήματα.

Όπως έχει προαναφερθεί, το ευθύ πρόβλημα σκέδασης ΗΜ ακτινοβολίας από διηλεκτρικούς σκεδαστές έχει μελετηθεί εκτενώς στο πεδίο των συχνοτήτων, είτε αναλυτικά, είτε αριθμητικά. Μολονότι οι αναλυτικές μέθοδοι επιλύουν με μεγάλη ακρίβεια ένα ευθύ πρόβλημα σκέδασης, παρουσιάζουν το μειονέκτημα ότι είναι διαθέσιμες μόνο για ειδικά σχήματα σκεδαστών (σφαίρα, κύλινδρος άπειρου μήκους, σφαιροειδές, ελλειψοειδές) και για συχνότητες, οι οποίες είναι είτε χαμηλές (low frequencies), είτε αρκετά υψηλές (high frequencies). Αντίθετα οι αριθμητικές

1.1 Αριθμητική επίλυση προβλημάτων σκέδασης ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας στο πεδίο των συχνοτήτων 3

μέθοδοι μπορούν να επιλύσουν με εξαιρετική ακρίβεια προβλήματα που αφορούν αρκετά σύνθετους σκεδαστές σε σχήμα και σύνθεση ακόμη και στην ενδιαφέρουσα από άποψη εφαρμογών, περιοχή των μεσαίων συχνοτήτων. Οι αριθμητικές μέθοδοι επίλυσης προβλημάτων ΗΜ σκέδασης που έχουν εμφανισθεί μέχρι τώρα στην διεθνή βιβλιογραφία μπορούν να διαιρεθούν σε δύο μεγάλες κατηγορίες: Στις χωρικές μεθόδους και στις μεθόδους ολοκληρωτικών εξισώσεων, οι οποίες με την σειρά τους υποδιαιρούνται σε μεθόδους ολοκληρωτικών εξισώσεων όγκου και στις μεθόδους ολοκληρωτικών εξισώσεων επιφανείας.

Στην περιοχή του πεδίου των συχνοτήτων η πλέον διαδεδομένη χωρική μέθοδος είναι αυτή των πεπερασμένων στοιχείων (ΜΠΣ). Η ΜΠΣ είναι μία ευρέως γνωστή και αποτελεσματική αριθμητική μέθοδος, η οποία έχει χρησιμοποιηθεί με απόλυτη επιτυχία για να επιλύσει ένα ευρύ φάσμα προβλημάτων μηχανικού. Στη περιοχή του ηλεκτρομαγνητισμού παρόλο που έχει χρησιμοποιηθεί ευρέως για την επίλυση σύνθετων προβλημάτων πεδίου, σε προβλήματα σκέδασης η εφαρμογή της είναι περιορισμένη. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι απαιτεί διακριτοποίηση όλου του εξωτερικού χώρου του σκεδαστή, ο οποίος ως γνωστόν είναι άπειρα εκτεινόμενος. Έτσι η εφαρμογή της ΜΠΣ σε τέτοιου είδους προβλήματα απαιτεί την διακριτοποίηση ενός μεγάλου πεπερασμένου χώρου που περικλείει τον σκεδαστή, και στην επιφάνεια του οποίου απαιτείται να ικανοποιούνται από το σκεδασμένο πεδίο οι συνθήκες ακτινοβολίας Silver-Muller (Asvestas et al. 1969). Είναι φανερό ότι τέτοιου είδους απαιτήσεις αυξάνουν απαγορευτικά το υπολογιστικό κόστος. Για τον λόγο αυτό σε προβλήματα ΗΜ σκέδασης, χρησιμοποιούνται συνήθως υβριδικές μέθοδοι όπου το εσωτερικό του σκεδαστή αντιμετωπίζεται με την ΜΠΣ, ενώ ο εξωτερικός χώρος αντιμετωπίζεται με μεθόδους ολοκληρωτικών εξισώσεων, οι οποίες όπως θα αναφερθεί στη συνέχεια παρουσιάζουν μια σειρά από πλεονεκτήματα σε προβλήματα άπειρου χωρίου. Εδώ μπορούν να αναφερθούν οι εργασίες των Khebir et al. (1993), Angelini et al. (1993), Antilla and Alexopoulos (1994) και Soudais (1994) για τις τρεις διαστάσεις και των Collins et al. (1990) και Lu and Jin (1996) για τις δύο διαστάσεις, αντίστοιχα. Μία εμπεριστατωμένη ανασκόπηση των εφαρμογών της ΜΠΣ σε τρισδιάστατα ΗΜ προβλήματα σκέδασης είναι αυτή των Volakis et al. (1994).

Οι μέθοδοι ολοκληρωτικών εξισώσεων σε σχέση με τις χωρικές μεθόδους παρουσιάζουν μερικά βασικά πλεονεκτήματα τα οποία τις καθιστούν ιδανικές για την επίλυση προβλημάτων σκέδασης. Ειδικότερα οι μέθοδοι ολοκληρωτικών εξισώσεων επιφανείας είναι κατάλληλες για προβλήματα με ομογενείς σκεδαστές, ενώ για μη ομογενείς ή σκεδαστές με περίπλοκη εσωτερική σύνθεση οι πλέον κατάλληλες είναι οι μέθοδοι ολοκληρωτικών εξισώσεων όγκου. Τα κύρια πλεονεκτήματα των μεθόδων ολοκληρωτικών εξισώσεων έναντι της ΜΠΣ είναι ότι ικανοποιούν αυτόματα τις συνθήκες ακτινοβολίας Silver-Muller (Asvestas et al. 1969) και ότι απαιτούν διακριτοποίηση μόνο μίας κλειστής επιφάνειας, όταν πρόκειται για μεθόδους επιφανείας ή ενός φραγμένου μόνο χώρου, δηλαδή το εσωτερικό του σκεδαστή, όταν πρόκειται για μεθόδους όγκου. Η επίλυση ενός προβλήματος ΗΜ σκέδασης με τη χρήση των μεθόδων ολοκληρωτικών εξισώσεων επιτυγχάνεται μέσω της αριθμητικής επίλυσης ενός συστήματος ολοκληρωτικών εξισώσεων ως προς το ηλεκτρικό και μαγνητικό πεδίο, άλλοτε συζευγμένων και άλλοτε όχι οι οποίες, λόγω της πολυπαραμετρικής μορφής των εξισώσεων Maxwell, εμφανίζονται στην βιβλιογραφία σε μια πολύ μεγάλη ποικιλία μορφών. Τους περισσότερους τύπους ΗΜ ολοκληρωτικών εξισώσεων μπορεί να τους βρει κάποιος στις εργασίες των Twersky (1967), Poggio and Miller (1973), Morita (1978), Mautz and Harrington (1980), Marx (1982, 1984, 1993), Glisson (1984), Paulsen et al. (1988),

Κεφάλαιο 1: Εισαγωγή 4

Toyoda et al. (1998), Ingber and Ott (1991), Correia (1993), Hall et al. (1992), Hall and Mao (1995a, b), Chao et al. (1995) και στα βιβλία των Stratton (1941), Morse and Feshbach (1953), Jones (1964) και Colton and Kress (1983). Από πλευράς εφαρμογών οι συχνότερα χρησιμοποιούμενες μέθοδοι ολοκληρωτικών εξισώσεων είτε επιφανείας είτε όγκου είναι αυτές της Τ-πίνακα προσέγγισης (T-matrix approach), της μεθόδου δίπολης διακριτοποίησης (discrete-dipole approximation method), της μεθόδου των ροπών (method of moments) και της μεθόδου συνοριακών στοιχείων (boundary element method).

Συνοπτικά στην μέθοδο της Τ-πίνακα προσέγγισης οι συναρτήσεις των πεδίων αναπτύσσονται σε σφαιρικές αρμονικές και οι άγνωστοι συντελεστές του σκεδασμένου πεδίου συσχετίζονται με τους γνωστούς του προσπίπτοντος μέσω της χρήσης της ορθογωνικότητας των σφαιρικών αρμονικών και της ολοκληρωτικής εξίσωσης του προβλήματος. Αυτή η μάλλον περίπλοκη μέθοδος ολοκληρωτικών εξισώσεων επιφανείας έχει το μειονέκτημα ότι δουλεύει μόνο για αξονοσυμμετρικά σχήματα σχετικά ομαλής γεωμετρίας και για χαμηλές και μεσαίες συχνότητες (Nilsson et al. 1998). Παρ’ όλα αυτά μαζί με την μέθοδο των ροπών είναι οι ευρύτερα διαδεδομένες μέθοδοι για την επίλυση προβλημάτων σκέδασης από ένα ή περισσότερα διηλεκτρικά σωματίδια. Χαρακτηριστικές εργασίες στην μέθοδο Τ-πίνακα προσέγγισης είναι αυτές των Peterson and Strom (1974), Barber (1977, 1978), Waterman (1979), Iskander et al. (1983), Mishchenko (1993), Kuik et al. (1994), Macke and Mishchenko (1996) και Nilsson et al. (1998). Τέλος περισσότερες λεπτομέρειες για την εν λόγω μέθοδο μπορούν να βρεθούν στο βιβλίο των Barber and Hill (1990).

Η μέθοδος δίπολης διακριτοποίησης (ΜΔΔ), η οποία επίσης αναφέρεται και ως μέθοδος προσέγγισης συζευγμένου δίπολου (coupled dipole approximation method) είναι μία ιδιαίτερη μέθοδος, κατά την οποία ο σκεδαστής προσομοιώνεται με διατεταγμένες σειρές δίπολων απέχοντας μεταξύ τους απόσταση που είναι κατά πολύ μικρότερη από το μήκος κύματος της προσπίπτουσας ακτινοβολίας. Το σκεδασμένο πεδίο υπολογίζεται ως υπέρθεση μεταξύ των πεδίων που προέρχονται από την σκέδαση του προσπίπτοντος κύματος από κάθε δίπολο χωριστά και την αλληλεπίδραση κάθε δίπολου με τα αμέσως γειτονικά του. Το κύριο μειονέκτημα της μεθόδου αυτής είναι ότι η χρήση της γίνεται απαγορευτική λόγω υψηλού υπολογιστικού κόστους για σχετικά μεγάλα σωματίδια ή για σκεδαστές με μεγάλο δέκτη διάθλασης. Χαρακτηριστικές εργασίες στην ΜΔΔ είναι αυτές των Singham and Bohern 1988, Flatau et al. 1990, Durgey and Bohern 1991, Bourrely et al. 1992 και Drain and Flatau 1994.

Η μέθοδος των ροπών (ΜΤΡ) θεωρείται η ευρύτερα χρησιμοποιούμενη αριθμητική μέθοδος για επίλυση ΗΜ προβλημάτων σκέδασης από περίπλοκους σε σχήμα σκεδαστές. Επειδή κατά περίπτωση χρησιμοποιεί άλλοτε ολοκληρωτικές εξισώσεις επιφανείας και άλλοτε όγκου μπορεί να ειπωθεί ότι η ΜΤΡ ανήκει και στις δύο κατηγορίες των μεθόδων ολοκληρωτικών εξισώσεων. Ως μέθοδος επιφανείας, η ΜΤΡ έχει ως απώτερο στόχο τον υπολογισμό των εφαπτομενικών στην επιφάνεια του σκεδαστή ηλεκτρικών και μαγνητικών πεδίων, και δια μέσου αυτών υπολογίζει το σκεδασμένο πεδίο σε οποιοδήποτε σημείο του χώρου ακτινοβολίας. Η αριθμητική επίλυση γίνεται με την διακριτοποίηση της επιφάνειας του σκεδαστή σε τριγωνικά στοιχεία όπου σε κάθε ένα από αυτά εφαρμόζεται η ολοκληρωτική εξίσωση καταλήγοντας έτσι σε ένα συζευγμένο σύστημα γραμμικών εξισώσεων με αγνώστους τα εφαπτομενικά πεδία. Αντιπροσωπευτικές εργασίες της ΜΤΡ είναι αυτές των Pogorzelski (1978), Rao et al. (1982), Umashankar et al. (1986), Huddleston et al. (1986), Umashankar (1988), Rao et al. (1991), Goggans et al. (1994), Medgyesi-Mitschang et

1.1 Αριθμητική επίλυση προβλημάτων σκέδασης ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας στο πεδίο των συχνοτήτων 5

al. (1994) και Putnam et al. (1997), ενώ μία ανθολογία από επιλεγμένες εργασίες παρουσιάζονται στα βιβλία των Hansen (1990) και Miller et al. (1992). Τέλος μια εκτεταμένη αναφορά στους περιορισμούς εφαρμογής της ΜΤΡ μπορεί να βρει κάποιος στην εργασία του Umashankar (1988).

Ως τελευταία μέθοδος ολοκληρωτικών εξισώσεων παρουσιάζεται η μέθοδος των συνοριακών στοιχείων (ΜΣΣ) η οποία χρησιμοποιείται για την επίλυση του προβλήματος σκέδασης ΗΜ ακτινοβολίας στην παρούσα διδακτορική διατριβή. Η ΜΣΣ είναι μια κατά περίπτωση μέθοδος ολοκληρωτικών εξισώσεων επιφανείας ή όγκου και έχει παρόμοια λογική με αυτή της ΜΤΡ. Το κύριο πλεονέκτημα της ΜΣΣ έναντι της ΜΤΡ είναι ότι η επιφάνεια του σκεδαστή διακριτοποιείται σε ισοπαραμετρικά τετραγωνικά ή τριγωνικά στοιχεία όμοια με αυτά που χρησιμοποιούνται στην ΜΠΣ. Ως εκ τούτου αξιοποιείται η εμπειρία διακριτοποίησης από μία καταξιωμένη μέθοδο όπως αυτής των πεπερασμένων στοιχείων, εξασφαλίζεται η άρτια συνεργασία των δύο μεθόδων σε υβριδικά σχήματα και αποφεύγεται η χρήση περίπλοκων υποθέσεων για την κατανομή των ηλεκτρικών και μαγνητικών πεδίων σε κάθε στοιχείο όπως συμβαίνει στην ΜΤΡ. Λεπτομέρειες για την εφαρμογή της ΜΣΣ σε προβλήματα γενικώς σκέδασης κυμάτων μπορούν να βρεθούν στα βιβλία των Manolis and Beskos (1988), Dominguez (1993) και Rego Silva (1994). Όσον αφορά εφαρμογές της μεθόδου στη σκέδαση ΗΜ ακτινοβολίας μπορούν να ευρεθούν στις σχετικά λιγοστές εργασίες της βιβλιογραφίας των Yashiro and Ohkawa (1985), Ingber and Ott (1991), Hall et al. (1992), Rucker et al. (1994), Hall et al. (1995α, b) και Chao et al. 1995.

1.2 Σκέδαση ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας από ανθρώπινα ερυθρά αιμοσφαίρια

H βιβλιογραφική ανασκόπηση του παρόντος υποκεφαλαίου αφορά εργασίες που επιχειρούν να διερευνήσουν την σκέδαση ΗΜ ακτινοβολίας από ανθρώπινα ερυθρά αιμοσφαίρια.

Έχει διαπιστωθεί ιατρικά ότι μεγάλος αριθμός ασθενειών που προσβάλουν τον ανθρώπινο οργανισμό προκαλούν σημαντικές αλλοιώσεις στο σχήμα και την σύνθεση των ερυθρών αιμοσφαιρίων. Σε πολλές περιπτώσεις μάλιστα ο ακριβής εντοπισμός των αλλοιώσεων αυτών αποτελεί και έγκαιρη διάγνωση των αντίστοιχων ασθενειών, γεγονός που αντανακλά και την σπουδαιότητα εύρεσης μίας μεθόδου εντοπισμού των αλλοιώσεων σχήματος και σύνθεσης ερυθρών αιμοσφαιρίων. Συνηθέστερες αλλοιώσεις είναι αυτές εσωτερικής σύνθεσης (αλλαγή στην συγκέντρωση αιμοσφαιρίνης, πρωτεΐνης που περιέχεται στο εσωτερικό του ερυθροκυττάρου), της μεμβράνης (αλλαγή της ελαστικότητας της) και του σχήματος (δημιουργία δακρυοκυττάρων, δρεπανοκυττάρων, ακανθοκυττάρων, ελλειπτοκυττάρων, στοχοκυττάρων κ.λ.π.). Επίσης στην αλλαγή σχήματος θα μπορούσε να συμπεριλάβει κάποιος και την συγκόλληση πολλών ερυθρών αιμοσφαιρίων μεταξύ τους, η οποία οδηγεί στην δημιουργία επικίνδυνων θρόμβων για τον οργανισμό.

Μία μεγάλη κατηγορία σύγχρονων αιματολογικών αναλυτών που μπορούν να ανιχνεύσουν ορισμένες κλάσεις από τις προαναφερθείσες αλλοιώσεις είναι αυτοί, οι οποίοι στηρίζονται στην

Κεφάλαιο 1: Εισαγωγή 6

σκέδαση ΗΜ ακτινοβολίας laser συνήθως ηλίου-νέου ή αργού. Οι αναλυτές αυτοί μπορούν να ομαδοποιηθούν σε διάφορες κατηγορίες, όπως σ’ αυτούς που ακτινοβολούν σε κάθε βιολογικό σωματιδίο χωριστά (flow cytometers, difractometers), σ’ αυτούς που προσδιορίζουν την παραμόρφωση της μεμβράνης των αιμοσφαιρίων ακτινοβολώντας τα ενώ αιωρούνται σε αραιό ή πυκνό διάλυμα και υπόκεινται σε διατμητική ροή (ektacytometers), σ’ αυτούς που προσδιορίζουν διάφορες ιδιότητες των αιμοσφαιρίων, όπως κατανομή μεγεθών, σχήμα κ.λ.π. χρησιμοποιώντας ροή που τα προσανατολίζει χωρίς να τα παραμορφώνει ενώ βρίσκονται σε αραιό ή σχετικά πυκνό διάλυμα και τέλος σ’ αυτούς που εξάγουν πληροφορίες ακτινοβολώντας σε ανθρώπινο αίμα με σύσταση ίδια με αυτή που ευρίσκεται μέσα στον ανθρώπινο οργανισμό (oximeters, hemoglobinometers, arteriovenous oxygen difference analyzers). Πληροφορίες για τα κυτόμετρα (flow cytometers) και τα σκεδαστόμετρα (diffractometers) μπορούν να βρεθούν στο βιβλίο του Shapiro (1994), για τα εκτασιτόμετρα (ektacytometers) στην εργασία των Bessis and Mohandas (1975), για τους αναλυτές που μελετούν κατανομή μεγεθών και σχήμα των βιολογικών σωματιδίων στην εργασία των Constantinides et al. (1998), για μετρητές οξυγόνωσης του αίματος και αιματοκρίτη (oximeters) στην εργασία των Steinke and Shepherd (1987) και για μετρητές αιμοσφαιρίνης (hemoglobinometers) στην εργασία των Steinke and Shepherd (1986).

Σε όλες τις παραπάνω περιπτώσεις η κάθε είδους συσχέτιση σκεδασμένου φωτός laser με τις φυσικές και γεωμετρικές ιδιότητες των αιμοσφαιρίων γίνεται μέσω της επίλυσης του θεμελιακού προβλήματος σκέδασης ακτινοβολίας laser από ένα υγιές απαραμόρφωτο και τυχαία προσανατολισμένο ερυθρό αιμοσφαίριο. Και τούτο, διότι σχεδόν όλες οι μαθηματικές θεωρίες πολλαπλής σκέδασης ΗΜ κυμάτων από διηλεκτρικά σωματίδια που έχουν δημοσιευτεί μέχρι σήμερα στηρίζονται στην σκέδαση της προσπίπτουσας ακτινοβολίας από το δομικό στοιχείο της πολλαπλής σκέδασης που είναι το κάθε ένα σωματίδιο χωριστά.

Ευρισκόμενο σε ένα ισότονο διάλυμα, το ανθρώπινο υγιές ερυθρό αιμοσφαίριο έχει σχήμα αμφίκοιλου δίσκου με μέση διάμετρο περίπου 8 μm και μέσο πάχος που κυμαίνεται μεταξύ 1.42 μm και 2.84 μm. Η σύσταση του αποτελείται από νερό σε ποσοστό 65%, από την πρωτεΐνη αιμοσφαιρίνη σε ποσοστό 32% και από την μεμβράνη που το περιβάλλει και αποτελείται πρωτεΐνες, υδατάνθρακες και λιπίδια σε ποσοστό 3%. Λόγω της σύστασης του, το υγιές ερυθροκύτταρο έχει δείκτη διάθλασης, ο οποίος κυμαίνεται από 1.4 έως 1.412 (Streekstra et al. 1994). Περισσότερες πληροφορίες για την φυσιολογία του ερυθροκυττάρου μπορούν να βρεθούν στο βιβλίο του Fung (1981).

Το πρόβλημα της σκέδασης ΗΜ ακτινοβολίας από ένα ερυθρό αιμοσφαίριο έχει επιχειρηθεί να επιλυθεί μέχρι σήμερα είτε αναλυτικά είτε αριθμητικά. Οι αναλυτικές θεωρίες επίλυσης του προβλήματος σκέδασης, όπως θεωρία Mie, Rayleigh, Fraunnhoffer, Rayleigh-Qans, anomalous diffraction, ray optics κ.λ.π. δεν μπορούν να αντιμετωπίσουν, όπως αναφέρθηκε και στο προηγούμενο υποκεφάλαιο, το αμφίκοιλο δισκοειδές σχήμα του αιμοσφαιρίου. Για τον λόγο αυτό το ερυθρό αιμοσφαίριο προτυποποιείται ως σφαίρα ίσου όγκου ή στην καλύτερη περίπτωση ως πεπλατυσμένο σφαιροειδές ίσου όγκου με αυτόν του πραγματικού αιμοσφαιρίου. Στο σημείο αυτό αξίζει να σημειωθεί ότι το ερυθρό αιμοσφαίριο ως σκεδαστής είχε την ίδια αντιμετώπιση και από τις αριθμητικές μεθόδους, όπως αυτής της Τ-πίνακα προσέγγισης κ.λ.π.. Μέχρι σήμερα δηλαδή δεν έχει εμφανισθεί στην διεθνή βιβλιογραφία εργασία, στην οποία επιλύεται το πρόβλημα της σκέδασης ΗΜ ακτινοβολίας από το αμφίκοιλο δισκοειδές σχήμα του ερυθρού αιμοσφαιρίου. Εργασίες που έχουν ως αντικείμενο μελέτης την σκέδαση φωτός από ερυθρά αιμοσφαίρια είναι

1.2 Σκέδαση ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας από ανθρώπινα ερυθρά αιμοσφαίρια 7

αυτές των Lee and Tarassenko (1991), Kim and Lin (1998), Gandjbakhche et al. (1994), Streekstra et al. (1994), Steinke and Shepherd (1988), Mazeron and Muller (1996), Nilsson (1998), Stamatakos (1997), Hammer et al. (1998) και Shvalov et al. (1999).

1.3 Περιληπτική παρουσίαση των κεφαλαίων που απαρτίζουν την διδακτορική διατριβή

Όπως ήδη προαναφέρθηκε στην παρούσα διδακτορική διατριβή το πρόβλημα σκέδασης ΗΜ ακτινοβολίας από ένα ή περισσότερα διηλεκτρικά σωματίδια επιλύεται αριθμητικά με τη μέθοδο των συνοριακών στοιχείων (ΜΣΣ) στο πεδίο συχνοτήτων. Πιο συγκεκριμένα διατυπώνονται δύο μεθοδολογίες συνοριακών στοιχείων, εκ των οποίων η μία εφαρμόζεται σε σωματίδια τυχαίου σχήματος και αναφέρεται ως ΜΣΣ στις τρεις διαστάσεις, και η δεύτερη που εφαρμόζεται σε σωματίδια με αξονική συμμετρία και αναφέρεται ως αξονοσυμμετρική ΜΣΣ. Επιπλέον με τη μεθοδολογία που αναπτύχθηκε, επιλύεται το πρόβλημα σκέδασης ΗΜ ακτινοβολίας από ένα απαραμόρφωτο υγιές ερυθρό αιμοσφαίριο. Η διατριβή, εκτός του παρόντος κεφαλαίου αποτελείται από άλλα πέντε κεφάλαια.

Το δεύτερο κεφάλαιο αναφέρεται σε βασικές έννοιες της θεωρίας του ηλεκτρομαγνητισμού και διάδοσης και σκέδασης ΗΜ κυμάτων, όπως αυτές συναντώνται στην βιβλιογραφία. Η ύπαρξη του κρίνεται απαραίτητη γιατί οι έννοιες που εισάγονται σε αυτό χρησιμοποιούνται επανελημένα στα επόμενα κεφάλαια, όπου διατυπώνεται η ΜΣΣ για την επίλυση προβλήματων σκέδασης ΗΜ ακτινοβολίας. Πιο συγκεκριμένα όσον αφορά την θεωρία ηλεκτρομαγνητισμού, αναφέρονται οι εξισώσεις Maxwell, οι συναρτήσεις που περιγράφουν τις μακροσκοπικές ιδιότητες του μέσου και του κενού χώρου και οι συνθήκες που ικανοποιούν οι διανυσματικές συναρτήσεις που περιγράφουν το ΗΜ πεδίο σε επιφάνειες που ορίζουν την αλλαγή των φυσικών ιδιοτήτων του μέσου. Σχετικά με την διάδοση ΗΜ κυμάτων, γράφονται οι εξισώσεις Maxwell σε μορφή που οι λύσεις τους εκφράζουν διαδιδόμενο κύμα, ορίζεται η ροή ισχύος και η ένταση ενός ΗΜ κύματος και περιγράφονται το επίπεδο κύμα και η δέσμη ακτινοβολίας laser κυκλικής διατομής. Τέλος ορίζονται βασικά μεγέθη σκέδασης ΗΜ ακτινοβολίας, όπως το πλάτος και το μητρώο πλατών σκέδασης, οι ενεργειακές διατομές εξάλειψης, σκέδασης και απορρόφησης, η διαφορική διατομή σκέδασης και η ένταση του σκεδασμένου πεδίου.

Στο τρίτο κεφάλαιο διατυπώνεται η ΜΣΣ στις τρεις διαστάσεις, όπως αυτή αναπτύχθηκε στα πλαίσια της παρούσας διδακτορικής διατριβής. Η μέθοδος επιλύει αριθμητικά την ολοκληρωτική εξίσωση που έχει προταθεί από τον Stratton and Chu (Stratton 1941), η οποία παρουσιάζει μερικά σημαντικά πλεονεκτήματα έναντι των άλλων της βιβλιογραφίας (υποκεφάλαιο 1.1 παρ. 6). Τα κυριότερα από αυτά είναι ότι τα ολοκληρώματα της ορίζονται μόνο στην επιφάνεια του σκεδαστή και τα ιδιόμορφα ολοκληρώματα που περιέχει εμφανίζουν μια ισχυρή ή ασθενή ιδιομορφία εν αντιθέσει με άλλες ολοκληρωτικές εξισώσεις, στις οποίες εμφανίζονται και υπερ-ιδιόμορφα ολοκληρώματα. Από αριθμητικής άποψης ως σημαντικό πλεονέκτημα της ολοκληρωτικής εξίσωσης των Stratton and Chu μπορεί να θεωρηθεί το γεγονός ότι τα ισχυρώς ιδιόμορφα

Κεφάλαιο 1: Εισαγωγή 8

ολοκληρώματα της έχουν παρόμοια μορφή με τα αντίστοιχα ολοκληρώματα της δυναμικής ελαστικότητας, και ως εκ τούτου οι τεχνικές επίλυσης που έχουν αναπτυχθεί στην τελευταία μπορούν να χρησιμοποιηθούν αυτούσιες στην παρούσα περίπτωση. Άμεση απόρροια των παραπάνω χαρακτηριστικών της ολοκληρωτικής εξίσωσης είναι ότι ο αλγόριθμος αριθμητικής επίλυσης της μπορεί εύκολα να ενσωματωθεί σε ένα κώδικα συνοριακών στοιχείων γενικού σκοπού, με το οποίο επιλύονται προβλήματα σκέδασης ακουστικών, ηλεκτρομαγνητικών και ελαστικών κυμάτων.

Η παρούσα ΜΣΣ στις τρεις διαστάσεις έχει τα εξής χαρακτηριστικά: Η προσπίπτουσα ακτινοβολία μπορεί να είναι ένα επίπεδο κύμα ή μια δέσμη ακτινοβολίας laser. Η γεωμετρία του σκεδαστή και οι συναρτήσεις που περιγράφουν το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο, προσεγγίζονται με δευτεροβάθμια τετραγωνικά και τριγωνικά συνοριακά στοιχεία και επιπλέον χρησιμοποιούνται ασυνεχή συνοριακά στοιχεία για την αντιμετώπιση γεωμετριών με ακμές, πάνω στις οποίες δεν ορίζεται το μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα. Οι καρτεσιανές συμμετρίες ή αντισυμμετρίες που τυχόν παρουσιάζει το τρισδιάστατο πρόβλημα λαμβάνονται υπόψη στην αριθμητική επίλυση με αποτέλεσμα την σημαντική μείωση του υπολογιστικού κόστους. Και τέλος, εκτός από το ΗΜ πεδίο σε οποιαδήποτε σημείο του χώρου, υπολογίζονται βασικά μεγέθη σκέδασης, όπως είναι τα πλάτη και η ενεργειακή διατομή σκέδασης. Η δομή του τρίτου κεφαλαίου είναι η εξής: Αρχικά γίνεται η μαθηματική διατύπωση του προβλήματος σκέδασης ΗΜ ακτινοβολίας από ένα τρισδιάστατο διηλεκτρικό σωματίδιο, κατόπιν παρουσιάζεται η ολοκληρωτική αναπαράσταση των Stratton and Chu και δίνονται οι ολοκληρωτικές εκφράσεις για τον υπολογισμό των πλατών σκέδασης. Στη συνέχεια παρουσιάζεται αναλυτικά η ΜΣΣ, και περιγράφεται η μεθοδολογία αριθμητικής επίλυσης των ομαλών και ιδιόμορφων ολοκληρωμάτων που εμφανίζονται στη ΜΣΣ. Το τελευταίο μέρος του κεφαλαίου είναι αφιερωμένο στην πιστοποίηση της αξιοπιστίας του κώδικα συνοριακών στοιχείων στις τρεις διαστάσεις, η οποία γίνεται με την σύγκριση αποτελεσμάτων που προέκυψαν από εφαρμογή γνωστών μεθόδων της βιβλιογραφίας με τα αντίστοιχα αποτελέσματα του αναπτυχθέντα κώδικα ηλεκτρονικού υπολογιστή. Στο σημείο αυτό κρίνεται σκόπιμο να αναφερθεί ότι μέρος του τρίτου κεφαλαίου εμπεριέχεται στην εργασία των Tsinopoulos et al. (1998).

To τέταρτο κεφάλαιο είναι αφιερωμένο στην διατύπωση της αξονοσυμμετρικής μεθοδολογίας συνοριακών στοιχείων, η οποία στην γενική περίπτωση της εφαρμογής της αφορά μη αξονοσυμμετρικές συνοριακές συνθήκες. Τα βασικά χαρακτηριστικά της είναι ότι οι συναρτήσεις των πεδίων αναπτύσσονται σε διακριτές μιγαδικές σειρές Fourier, τα ολοκληρωμάτα ως προς την γωνία περιστροφής του αξονοσυμμετρικού σώματος υπολογίζονται με τη βέλτιστη χρήση του αλγόριθμου ταχέως μετασχηματισμού Fourier και τέλος τα ιδιόμορφα ολοκληρώματα αντιμετωπίζονται με τεχνικές επίλυσης ιδιόμορφων ολοκληρωμάτων τριών διαστάσεων, εν αντιθέσει με τις μεθοδολογίες της βιβλιογραφίας στις οποίες χρησιμοποιούνται οι αντίστοιχες τεχνικές των δυο διαστάσεων. Αρχικά στο τέταρτο κεφάλαιο γίνεται η μαθηματική διατύπωση της αξονοσυμμετρικής ΜΣΣ. Πιο συγκεκριμένα η ολοκληρωτική εξίσωση των Stratton and Chu, μετασχηματίζεται σε κυλινδρικό σύστημα συντεταγμένων και όλες οι ποσότητες που περιέχονται σε αυτή ανάγονται με αναπτύγματα σειρών Fourier, σε ποσότητες που αναφέρονται μόνο στο επίπεδο της γενέτειρας του αξονοσυμμετρικού σώματος. Στη συνέχεια, σε πλήρη αντιστοιχία με το τρίτο κεφάλαιο παρουσιάζεται η αξονοσυμμετρική ΜΣΣ, περιγράφεται η μεθοδολογία υπολογισμού των ολοκληρωμάτων και τέλος γίνεται η πιστοποίηση του αναπτυχθέντα κώδικα

1.3 Περιληπτική παρουσίαση των κεφαλαίων που απαρτίζουν την διδακτορική διατριβή 9

συνοριακών στοιχείων. Μέρος του τέταρτου κεφαλαίου εμπεριέχεται στην εργασία των Tsinopoulos et al. (1999).

Το πέμπτο κεφάλαιο της διδακτορικής διατριβής αφιερώνεται στην παρουσίαση αποτελεσμάτων και στην εξαγωγή συμπερασμάτων που προκύπτουν από την αριθμητική επίλυση του προβλήματος σκέδασης ΗΜ ακτινοβολίας από ένα ανθρώπινο υγιές ερυθρό αιμοσφαίριο. Η ακριβής γεωμετρία του ερυθροκυττάρου προσομοιώνεται αριθμητικά ως αξονοσυμμετρικός αμφίκοιλος δίσκος, σύμφωνα με πειραματικές μετρήσεις που είναι διαθέσιμες στην βιβλιογραφία. Το πρόβλημα επιλύεται για δυο συχνότητες ΗΜ ακτινοβολίας, μια υπέρυθρη με μήκος κύματος στο κενό λ0 = 1.523μm και μια δεύτερη πιο υψηλή και ίση με την συχνότητα εκπομπής ενός ηλίου-νέου laser (λ0 = 0.6328μm). Τα αριθμητικά αποτελέσματα που παρουσιάζονται αφορούν τις κατανομές της σκεδαζόμενης ακτινοβολίας ως προς τη γωνία σκέδασης για διάφορους προσανατολισμούς του ερυθροκυττάρου. Στη συνέχεια του κεφαλαίου η γεωμετρία του ερυθρού αιμοσφαιρίου προσεγγίζεται από πιο απλά σχήματα, όπως είναι η σφαίρα και το πεπλατυσμένο σφαιροειδές, με σκοπό να διερευνηθεί αν είναι δυνατή η απλοποίηση του προβλήματος όσον αφορά την γεωμετρία του. Τέλος παρουσιάζεται η παραμετρική μελέτη με την οποία διερευνάται η ευαισθησία της σκεδαζόμενης ακτινοβολίας, πρώτον ως προς το μήκος κύματος της προσπίπτουσας ακτινοβολίας και δεύτερον ως προς τον δείκτη διάθλασης του ερυθροκυττάρου. Μέρος των αποτελεσμάτων που παρουσιάζονται στο πέμπτο κεφάλαιο θα δημοσιευθούν στην εργασία των Tsinopoulos and Polyzos (1999).

Στο έκτο και τελευταίο κεφάλαιο γίνεται μια συνοπτική ανακεφαλαίωση της παρούσας διδακτορικής διατριβής και επιπλέον διατυπώνονται μερικές προτάσεις για μελλοντική έρευνα.

11

Κεφάλαιο 2

Βασικές έννοιες ηλεκτρομαγνητισμού και σκέδασης ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων

Όπως έχει ήδη αναφερθεί στο κεφάλαιο 1, σκοπός της παρούσας διατριβής είναι η αριθμητική επίλυση προβλημάτων σκέδασης ηλεκτρομαγνητικής (ΗΜ) ακτινοβολίας από ένα ή περισσότερα σωματίδια τυχαίου σχήματος. Στο παρόν κεφάλαιο γίνεται μια περιληπτική αναφορά στη θεωρία του ηλεκτρομαγνητισμού όπως αυτή διατυπώθηκε από τον Maxwell και με την οποία ο ηλεκτρομαγνητισμός και η οπτική θεωρούνται ως κυματικά φαινόμενα. Επίσης περιγράφεται η διάδοση των ΗΜ κυμάτων σε ένα μέσο ή στο κενό χώρο και ορίζονται βασικά μεγέθη σκέδασης ΗΜ ακτινοβολίας.

Πιο συγκεκριμένα η δομή του παρόντος κεφαλαίου αποτελείται από τρία υποκεφάλαια. Στο πρώτο αναφέρονται οι εξισώσεις Maxwell, οι συναρτήσεις που περιγράφουν τις μακροσκοπικές ιδιότητες του μέσου και του κενού χώρου και οι συνθήκες που ικανοποιούν οι διανυσματικές συναρτήσεις που περιγράφουν το ΗΜ πεδίο σε επιφάνειες που ορίζουν την αλλαγή των φυσικών ιδιοτήτων του μέσου. Στο δεύτερο υποκεφάλαιο οι εξισώσεις Maxwell γράφονται σε μορφή που οι λύσεις τους εκφράζουν διαδιδόμενο ΗΜ κύμα, ορίζεται η ροή ισχύος και η ένταση ενός ΗΜ κύματος και περιγράφονται το επίπεδο ΗΜ κύμα και η δέσμη ακτινοβολίας laser κυκλικής διατομής. Τέλος στο τρίτο υποκεφάλαιο ορίζονται βασικά μεγέθη σκέδασης ΗΜ ακτινοβολίας, όπως το πλάτος και το μητρώο πλατών σκέδασης, οι ενεργειακές διατομές εξάλειψης, σκέδασης και απορρόφησης, η διαφορική διατομή σκέδασης και η ένταση του σκεδασμένου πεδίου.

Οι μονάδες όλων των μεγεθών στο διεθνές σύστημα που ορίζονται στο παρόν κεφαλαίο δίνονται στο παράρτημα Α.

Λεπτομέρειες σχετικά με τη θεωρία ηλεκτρομαγνητισμού, διάδοσης και σκέδασης ΗΜ κυμάτων μπορούν να βρεθούν στα κλασσικά βιβλία των Stratton (1941), Bohren and Huffman (1983), Van de Hulst (1981) και Asvestas et al. (1969).

Κεφάλαιο 2: Βασικές έννοιες ηλεκτρομαγνητισμού και σκέδασης ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων 12

2.1 Θεωρία Ηλεκτρομαγνητισμού

Σύμφωνα με την θεωρία ηλεκτρομαγνητισμού του Maxwell, το ΗΜ πεδίο τη χρονική στιγμή t σε ένα σημείο x του άπειρου χώρου περιγράφεται από τέσσερις διανυσματικές συναρτήσεις. Οι συναρτήσεις αυτές είναι το ηλεκτρικό πεδίο Ε, το μαγνητικό πεδίο Η, η ηλεκτρική μετατόπιση D (electric flux density or displacement current density) και η μαγνητική επαγωγή B (magnetic flux density). Οι παραπάνω διανυσματικές συναρτήσεις θεωρούνται ότι είναι συνεχείς συναρτήσεις τόσο ως προς τη θέση όσο και ως προς το χρόνο, έχουν συνεχείς παραγώγους και παίρνουν πεπερασμένη τιμή σε οποιοδήποτε σημείο του χώρου.

2.1.1 Εξισώσεις Maxwell

Σύμφωνα με τη θεωρία του Maxwell, oι διανυσματικές συναρτήσεις Ε, Η, D και B που περιγράφουν το ΗΜ πεδίο ικανοποιούν τις ακόλουθες εξισώσεις (Stratton 1941):

0=∂∂

+×∇tBE , (2.1)

JDH =∂∂

−×∇t

, (2.2)

όπου J είναι η πυκνότητα ρεύματος (current density). Η εξίσωση (2.1), γνωστή ως πρώτη εξίσωση Maxwell, ουσιαστικά αποτελεί την διαφορική μορφή του νόμου του Faraday και δηλώνει ότι χρονικά μεταβαλλόμενο μαγνητικό πεδίο έχει ως αποτέλεσμα τη δημιουργία ηλεκτρικού πεδίου. Η δεύτερη εξίσωση Maxwell (2.2) δηλώνει ότι το μαγνητικό πεδίο παράγεται με δυο διαφορετικούς τρόπους. Ο πρώτος τρόπος είναι με τη χρονική μεταβολή του ηλεκτρικού φορτίου, δηλαδή από την ύπαρξη ρεύματος και ο δεύτερος με την χρονική μεταβολή του ηλεκτρικού πεδίου. Η εξίσωση 2.2 με την πρόσθεση του όρου της μεταβολής της ηλεκτρικής μετατόπισης D, ουσιαστικά αποτελεί την γενίκευση του νόμου του Ampere,

JH =×∇ , (2.3)

από την στάσιμη κατάσταση στην κατάσταση όπου τα πεδία μεταβάλλονται χρονικά.

Από τις (2.1) και (2.2), κάνοντας χρήση της διανυσματικής ταυτότητας

0=×∇⋅∇ A , (2.4)

όπου Α είναι μια διανυσματική συνάρτηση καθώς επίσης και της εξίσωσης που εκφράζει την αρχή διατήρησης του φορτίου στη γειτονιά ενός σημείου (εξίσωση συνέχειας ),

0=∂∂

+⋅∇tρJ , (2.5)

2.1 Θεωρία Ηλεκτρομαγνητισμού 13

όπου ρ είναι η πυκνότητα φορτίου (volume charge density), προκύπτει ότι τα διανυσματικά πεδία Β και D ικανοποιούν δυο επιπλέον συνθήκες,

0=⋅∇ B , (2.6)

ρ=⋅∇ D . (2.7)

Η εξίσωση (2.6) φανερώνει ότι η μαγνητική επαγωγή B είναι σωληνοειδές πεδίο. Από φυσικής άποψης αυτό υποδηλώνει την μη ύπαρξη “μαγνητικών πηγών” ή “μαγνητικών απαγωγών” και ότι οι γραμμές ροής του μαγνητικού πεδίου σχηματίζουν πάντα κλειστές διαδρομές. Αντίστοιχα η εξίσωση (2.7), η οποία ουσιαστικά αποτελεί το νόμο του Gauss, δηλώνει ότι τα ηλεκτρικά φορτία ανάλογα με το πρόσημο τους αποτελούν πηγές ή απαγωγές για τις γραμμές ροής της ηλεκτρικής μετατόπισης D. Στο σημείο αυτό πρέπει να τονισθεί ότι στην παρούσα μη στάσιμη κατάσταση ως προς το χρόνο, δεν πηγάζει ή απάγεται το σύνολο των γραμμών ροής της ηλεκτρικής μετατόπισης D, αλλά σύμφωνα με τον νόμο του Faraday (2.1) λόγω της μεταβολής του μαγνητικού πεδίου, μέρος των γραμμών ροής του ηλεκτρικού πεδίου δημιουργεί συγχρόνως και κλειστές διαδρομές. Οι εξισώσεις (2.6) και (2.7) είναι γνωστές ως η τρίτη και η τέταρτη εξίσωση Maxwell, αντίστοιχα.

2.1.2 Μακροσκοπικές ιδιότητες του μέσου

Οι ανεξάρτητες εξισώσεις (2.1) και (2.2) είναι φανερό ότι αποτελούν ένα μη καλά ορισμένο σύστημα δυο εξισώσεων με αγνώστους τα 5 διανύσματα Ε, Η, D, B και J. Οι επιπλέον εξισώσεις που απαιτούνται για τον καλό ορισμό του συστήματος των εξισώσεων, προκύπτουν από τις υποθέσεις ότι σε κάθε σημείο του μέσου ή του κενού χώρου η ηλεκτρική μετατόπιση D μπορεί να εκφρασθεί ως συνάρτηση του ηλεκτρικού πεδίου Ε, το μαγνητικό πεδίο Η ως συνάρτηση της μαγνητικής επαγωγής B και επιπλέον σε αγώγιμα υλικά η πυκνότητα ρεύματος J ως συνάρτηση του ηλεκτρικού πεδίου Ε. Οι παραπάνω συναρτήσεις εξαρτώνται μόνο από τις μακροσκοπικές φυσικές ιδιότητες του υλικού και ανάλογα με την περίπτωση ορίζονται ως εξής:

Κενός χώρος

Στον κενό χώρο τα πεδία D, Ε και Η, B συνδέονται μεταξύ τους σύμφωνα με τις σχέσεις:

ED 0ε= , (2.8)

BH0

1μ

= , (2.9)

όπου οι σταθερές ε 0 και μ 0 είναι η διηλεκτρική σταθερά και η μαγνητική διαπερατότητα στο κενό. Οι σχέσεις (2.8) και (2.9) υποδηλώνουν ότι σε κάθε σημείο του κενού χώρου τα διανύσματα D και Η είναι παράλληλα στα διανύσματα Ε και B, αντίστοιχα και επιπλέον ο λόγος τους είναι σταθερός. Οι τιμές των σταθερών ε 0 και μ 0 εξαρτώνονται από το σύστημα των μονάδων που έχει επιλεγεί και για το διεθνές σύστημα δίνονται στο παράρτημα A.

Κεφάλαιο 2: Βασικές έννοιες ηλεκτρομαγνητισμού και σκέδασης ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων 14

Ισότροπο μέσο

Όμοια με τον κενό χώρο, σε κάθε σημείο x ενός ισότροπου μέσου τα διανύσματα D, Ε και Η, B είναι παράλληλα μεταξύ του και συνδέονται σύμφωνα με τις σχέσεις:

( ) ( ) ( )xExxD ε= , (2.10)

( ) ( ) ( )xBx

xHμ

1= , (2.11)

όπου οι συναρτήσεις ε και μ είναι η διηλεκτρική σταθερά και η μαγνητική διαπερατότητα του υλικού. Είναι φανερό ότι στην περίπτωση που το ισότροπο μέσο είναι επιπλέον και ομογενές, οι συναστήσεις ε (x) και μ (x) είναι σταθερές για κάθε σημείο x του μέσου.

Ανισότροπο μέσο

Σε ένα ανισότροπο μέσο, οι φυσικές ιδιότητες στη γειτονιά ενός εσωτερικού σημείου x διαφέρουν σε όλες ή σε κάποιες διευθύνσεις του χώρου. Αν θεωρηθεί ότι η ανισοτροπία του μέσου είναι γραμμική τότε τα διανύσματα D και Ε συνδέονται ως εξής:

( ) ( ) ( )xExεxD ~= , (2.12)

όπου ο ( )xε~ είναι συμμετρικός τανυστής δεύτερης τάξης. Παρόμοια σχέση με την (2.12) συνδέει και τα διανύσματα H και B. Όπως είναι φανερό από την (2.12) χαρακτηριστικό ενός ανισότροπου μέσου είναι ότι τα διανύσματα D, Ε και Η, B δεν είναι παράλληλα μεταξύ τους όπως συμβαίνει στις περιπτώσεις του κενού χώρου και του ισότροπου μέσου.

Τέλος, σε αγώγιμα ισότροπα υλικά η πυκνότητα ρεύματος J εκφράζεται ως συνάρτηση του ηλεκτρικού πεδίου Ε ως εξής:.

( ) ( ) ( )xExxJ σ= , (2.13)

όπου σ είναι η αγωγιμότητα (conductivity) του μέσου. Η (2.13) ουσιαστικά αποτελεί το νόμου του Ohm και η αγωγιμότητα σ είναι αντιστρόφως ανάλογη με την ωμική αντίσταση R του μέσου. Από φυσικής άποψης η (2.13) υποδηλώνει ότι όσο πιο μεγάλη τιμή παίρνει η αγωγιμότητα του μέσου τόσο πιο καλός αγωγός αυτό είναι και στην οριακή, ιδανική περίπτωση όπου η σ→∞ το υλικό ονομάζεται τέλειος αγωγός (perfect conductor).

2.1.3 Συνοριακές συνθήκες

Όπως ήδη αναφέρθηκε στην αρχή του παρόντος υποκεφαλαίου τα διανύσματα Ε, Η, D και B θεωρούνται συνεχείς συναρτήσεις. Η υπόθεση αυτή είναι φανερό ότι δεν ισχύει πάνω σε μια επιφάνεια που ορίζει το σύνορο δυο διαφορετικών μέσων, αφού οι ασυνέχειες στις τιμές των συναρτήσεων ε , μ και σ που περιγράφουν τις φυσικές ιδιότητες των δυο υλικών, προκαλούν

2.1 Θεωρία Ηλεκτρομαγνητισμού 15

ασυνέχειες και στις τιμές των πεδίων. Τα πεδία Ε, Η, D και B πάνω στην επιφάνεια του συνόρου περιγράφονται από τις συνοριακές συνθήκες οι οποίες προκύπτουν από την εφαρμογή των εξισώσεων Maxwell (2.1), (2.2), (2.6) και (2.7) εκφρασμένες σε ολοκληρωτική μορφή.

Έστω ότι η επιφάνεια S είναι το σύνορο δυο ισότροπων μέσων (1) και (2) με φυσικές ιδιότητες ε 1, μ 1, σ1 και ε 2, μ 2, σ2,αντίστοιχα, όπως φαίνεται στο σχήμα 2.1.

Σχήμα 2.1: Επιφάνεια S που ορίζει το σύνορο μεταξύ δύο μέσων (1), (2)

Σε ένα σημείο x της επιφάνειας S ισχύουν οι ακόλουθες συνοριακές συνθήκες (Stratton 1941):

( ) ( ) ( ) ( ) 0ˆˆ 1122 =⋅+⋅ xBxnxBxn , (2.14)

( ) ( ) ( ) ( ) sρ=⋅+⋅ xDxnxDxn 1122 ˆˆ , (2.15)

( ) ( ) ( ) ( ) 0ˆˆ 1122 =×+× xExnxExn , (2.16)

( ) ( ) ( ) ( ) KxHxnxHxn =×+× 1122 ˆˆ , (2.17)

όπου )(ˆ 1 xn και )(ˆ 2 xn είναι τα μοναδιαία κάθετα διανύσματα στο σημείο x της επιφάνειας S του

μέσου (1) και (2), αντίστοιχα, ρs είναι η επιφανειακή πυκνότητα φορτίου και Κ είναι το διάνυσμα της επιφανειακής πυκνότητας ρεύματος. Το διάνυσμα Κ παίρνει μηδενική τιμή για όλα τα υλικά, εκτός από την ιδανική περίπτωση που το μέσο θεωρείται τέλειος αγωγός, όπου η αγωγιμότητα σ και συνεπώς σύμφωνα με την (2.13) και η πυκνότητα ρεύματος J τείνουν στο άπειρο.

H (2.14) υποδηλώνει ότι κατά τη μετάβαση από το μέσο (1) στο (2) διαμέσου της επιφάνειας S, η κάθετη συνιστώσα της μαγνητικής επαγωγής B παραμένει συνεχής συνάρτηση. Η συνοριακή συνθήκη (2.15) φανερώνει ότι η παρουσία επιφανειακής πυκνότητας φορτίου ρs στην επιφάνεια S προκαλεί στην κάθετη συνιστώσα της ηλεκτρικής μετατόπισης D ασυνέχεια, το μέγεθος της οποίας ισούται με την επιφανειακή πυκνότητα φορτίου ρs. Η φυσική σημασία της (2.16) είναι ότι οι εφαπτομενικές συνιστώσες του ηλεκτρικού πεδίου E παραμένουν συνεχείς συναρτήσεις. Τέλος, η (2.17) στην περίπτωση που τα δυο μέσα χαρακτηρίζονται από πεπερασμένη αγωγιμότητα (Κ= 0) έχει ακριβώς την ίδια φυσική σημασία με την (2.16) όσον αφορά τις εφαπτομενικές συνιστώσες του μαγνητικού πεδίου H. Στην ιδανική περίπτωση όμως που το μέσο θεωρείται τέλειος αγωγός, από την (2.17) συνάγεται ότι στην επιφάνεια S οι εφαπτομενικές συνιστώσες του μαγνητικού

Κεφάλαιο 2: Βασικές έννοιες ηλεκτρομαγνητισμού και σκέδασης ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων 16

πεδίου H παρουσιάζουν ασυνέχεια, ίση με την επιφανειακή πυκνότητα φορτίου Κ του τέλειου αγωγού.

Σε ένα ισότροπο μέσο, οι συνοριακές συνθήκες (2.14) ÷ (2.17), κάνοντας χρήση των εξισώσεων (2.10) και (2.11), γράφονται ισοδύναμα σε όρους ηλεκτρικού και μαγνητικού πεδίου ως εξής:

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] 0ˆˆ 111222 =⋅+⋅ xHxnxxHxnx μμ , (2.18)

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] sρεε =⋅+⋅ xExnxxExnx 111222 ˆˆ , (2.19)

( ) ( ) ( ) ( ) 0ˆˆ 1122 =×+× xExnxExn , (2.20)

( ) ( ) ( ) ( ) KxHxnxHxn =×+× 1122 ˆˆ , (2.21)

2.2 Ηλεκτρομαγνητικά κύματα

Οι τέσσερις εξισώσεις Maxwell (2.1), (2.2), (2.6) και (2.7) μπορούν να γραφούν σε μια ισοδύναμη μορφή, ώστε το κάθε πεδίο Ε, Η, D και B να ικανοποιεί ανεξάρτητα μια από τις εξισώσεις που προκύπτουν χωρίς να εμπλέκονται σε αυτή τα υπόλοιπα πεδία. Η μετατροπή των εξισώσεων Maxwell είναι ιδιαίτερα σημαντική διότι από την νέα τους μορφή πηγάζει αβίαστα ότι αυτές υποστηρίζουν κυματική διάδοση.

2.2.1 Κυματική μορφή των εξισώσεων Maxwell

Η μετατροπή των εξισώσεων Maxwell (2.1), (2.2), (2.6) και (2.7) σε μορφή που να εκφράζουν κυματική διάδοση επιτυγχάνεται με την εισαγωγή ενός μιγαδικού διανύσματος Q, του οποίου το πραγματικό μέρος είναι το διάνυσμα της μαγνητικής επαγωγής B και το μιγαδικό του μέρος περιέχει το ηλεκτρικό πεδίο Ε (Stratton 1941):

EBQ εμi+= . (2.22)

Με βάση την (2.22) και για ένα ισότροπο και ομογενές μέσο όπου ισχύουν οι σχέσεις (2.10), (2.11) και (2.13), οι εξισώσεις Maxwell (2.1), (2.2), (2.6) και (2.7) γράφονται:

JQQ μεμ =∂∂

+×∇t

i , (2.23)

ρεμi=⋅∇ Q . (2.24)

2.2 Ηλεκτρομαγνητικά κύματα 17

Εφαρμόζοντας τον τελεστή ∇× στην εξίσωση (2.23), χρησιμοποιώντας τις σχέσεις (2.6), (2.7), (2.10) και (2.11) και αναλύοντας τις μιγαδικές εξισώσεις στις πραγματικές και φανταστικές συνιστώσες τους, προκύπτουν οι ακόλουθες εξισώσεις η κάθε μια από τις οποίες ικανοποιείται ανεξάρτητα από τα διανύσματα Ε και Η:

ttc ∂∂

−=∂∂

+×∇×∇EEE σμ2

2

2

1 , (2.25)

ttc ∂∂

−=∂∂

+×∇×∇HHH σμ2

2

2

1 , (2.26)

με

εμ1

=c .

Οι εξισώσεις (2.25) και (2.26) υποστηρίζουν την διάδοση ενός ΗΜ (transverse electromagnetic or TEM) κύματος, το οποίο στο ισότροπο και ομογενές μέσο διαδίδεται με σταθερή ταχύτητα c. Επιπλέον από τις εξισώσεις Maxwell προκύπτει ότι στην περίπτωση όπου δεν υπάρχει κατανομή ηλεκτρικού φορτίου (ρ = 0), το μαγνητικό και το ηλεκτρικό πεδίο διαδίδονται ως εγκάρσια κύματα με τα διανύσματα τους να είναι πάντα κάθετα μεταξύ τους.

Πεδία αρμονικά μεταβαλλόμενα ως προς το χρόνο

Σε πολλές εφαρμογές του μηχανικού τα ΗΜ κύματα μεταβάλλονται αρμονικά ως προς το χρόνο και για το λόγο αυτό οι εξισώσεις (2.25) και (2.26) είναι χρήσιμο να εκφρασθούν στο πεδίο των συχνοτήτων (frequency domain). Στο σημείο αυτό πρέπει να σημειωθεί ότι ακόμα και στην περίπτωση που τα πεδία μεταβάλλονται ως τυχαίες χρονικές συναρτήσεις, η ανάλυση τους μπορεί να γίνει και πάλι στο πεδίο των συχνοτήτων, αφού είναι γνωστό πως μέσω του μετασχηματισμού Fourier μια τυχαία χρονικά μεταβαλλόμενη συνάρτηση μπορεί να εκφρασθεί ως άθροισμα αρμονικών χρονικών συναρτήσεων.

Γενικά στο πεδίο των συχνοτήτων ένα αρμονικά χρονικά μεταβαλλόμενο πεδίο F έχει την μορφή

( ) ( ) ( ) ( ) ( )ttt ωω sincos, xBxAxF += , (2.27)

όπου, ω είναι η κυκλική συχνότητα. Όπως υποδηλώνεται στην (2.27), τα πραγματικά πεδία Α και Β είναι ανεξάρτητα του χρόνου t και στην γενική περίπτωση εξαρτώνται μόνο από τη θέση x. Το πεδίο F μπορεί να γραφεί ισοδύναμα ως το πραγματικό μέρος ενός μιγαδικού διανύσματος Fc:

cFF Re= , (2.28)

όπου,

tic e ω

0FF = , (2.29)

BAF i+=0 . (2.30)

Κεφάλαιο 2: Βασικές έννοιες ηλεκτρομαγνητισμού και σκέδασης ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων 18

Το διάνυσμα Fc ουσιαστικά αποτελεί την μιγαδική αναπαράσταση του πραγματικού πεδίου F και στην ανάλυση στο πεδίο των συχνοτήτων, λόγω της γραμμικότητας που παρουσιάζουν όλοι οι τελεστές στην θεωρία του ηλεκτρομαγνητισμού είναι πιο βολικό να χρησιμοποιείται αντί του πραγματικού πεδίου F.

Σύμφωνα με τις (2.29) και (2.30), αν για όλα τα πεδία και τις χρονικά μεταβαλλόμενες ποσότητες που εμφανίζονται στις κυματικές εξισώσεις (2.25) και (2.26) υποτεθεί χρονική εξάρτηση της μορφής tie ω τότε αυτές γράφονται:

0EE =−×∇×∇ 02

0 k , (2.31)

0HH =−×∇×∇ 02

0 k , (2.32)

με

*μεωωσεμω =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −= ik , (2.33)

όπου *ε είναι η μιγαδική διηλεκτρική σταθερά του μέσου και k ο μιγαδικός κυματικός αριθμός του ΗΜ κύματος στο μέσο που διαδίδεται.

Σύμφωνα με την (2.33) ο κυματικός αριθμός k γράφεται ισοδύναμα

0cmk ω

= , (2.34)

όπου c0 η ταχύτητα του φωτός στο κενό χώρο και m ο μιγαδικός δείκτης διάθλασης ο οποίος είναι

00

**

0 εμμεμε == cm , (2.35)

2.2.2 Ροή ισχύος και ένταση ηλεκτρομαγνητικού κύματος

Η διεύθυνση και το μέτρο της πυκνότητας ροής ισχύος ενός ΗΜ κύματος (Ε, Η) σε ένα σημείο x καθορίζεται από το διάνυσμα Poynting S, το οποίο γράφεται:

HES ×= . (2.36)

Η καθαρή ροή ισχύς του ΗΜ κύματος W στο σύνορο μιας κλειστής επιφάνειας S που περικλείει έναν όγκο V είναι

∫ ⋅−=S

dSW nS ˆ , (2.37)

όπου n το εξωτερικό μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα στην επιφάνεια. Από φυσικής άποψης, αρνητικές τιμές του W φανερώνουν ότι από την κλειστή επιφάνεια S συνολικά εξέρχεται ενέργεια, ενώ

2.2 Ηλεκτρομαγνητικά κύματα 19

θετικές τιμές του W υποδηλώνουν ότι συνολικά υπάρχει μια μεταφορά ενέργειας στον όγκο V, η οποία μέσα σε αυτόν μετατρέπεται σε άλλες μορφές ενέργειας (π.χ. θερμική ενέργεια).

Σε εφαρμογές συνήθως αντί του διανύσματος Poynting S χρησιμοποιείται ο μέσος όρος της πυκνότητας ροής ισχύος <S> σε ένα χρονικό διάστημα τ:

( )∫+

′′>=<τ

τ

t

t

tdtSS 1 . (2.38)

Στο σημείο αυτό είναι χρήσιμο να σημειωθεί ότι για αρμονικά χρονικά μεταβαλλόμενα πεδία το διάνυσμα Poynting S και ο μέσος όρος αυτού <S> στο χρονικό διάστημα μιας περιόδου γράφονται:

cc HES ReRe ×= , (2.39)

cc HES ×>=< Re21 . (2.40)

όπου τα Ec και Hc δίνονται από την (2.29) και cH είναι ο συζυγής του μιγαδικού πεδίου cH . Χάριν συντομίας από εδώ και στο εξής η μέση πυκνότητα ροής ισχύος <S> θα συμβολίζεται με S.

Το μέτρο της μέσης πυκνότητας ροής ισχύος S ονομάζεται ένταση (irradiance or intensity) του HM κύματος και συμβολίζεται με I.

2.2.3 Επίπεδο HM κύμα σε άπειρο μέσο

Όπως ήδη αναφέρθηκε στα προηγούμενα υποκεφάλαια οι λύσεις των εξισώσεων Maxwell συνιστούν ένα ΗΜ κύμα. Η πιο απλή μορφή ενός ΗΜ κύματος είναι το επίπεδο, όπου οι χωρικές συναρτήσεις των πεδίων Ε και Η εξαρτώνται μόνο από την απόσταση κατά μήκος ενός συγκεκριμένου άξονα στο χώρο. Ο άξονας αυτός ορίζεται από την διεύθυνση διάδοσης k του ΗΜ κύματος. Σύμφωνα με τα παραπάνω κάθε χρονική στιγμή t τα διανύσματα Ε και Η είναι σταθερά σε μέτρο και διεύθυνση πάνω στο επίπεδο που είναι κάθετο στην διεύθυνση k και απέχει σταθερή απόσταση kr ˆ⋅ από την αρχή των αξόνων, όπου r είναι το διάνυσμα θέσης πάνω στο επίπεδο, όπως φαίνεται στο σχήμα 2.2.

Σχήμα 2.2: Επίπεδο ΗΜ κύμα διαδιδόμενο στην k διεύθυνση; Τα διανυσματικά πεδία Ε και Η κάθε χρονική στιγμή είναι σταθερά πάνω σε επίπεδα κάθετα στην διεύθυνση διάδοσης.

Κεφάλαιο 2: Βασικές έννοιες ηλεκτρομαγνητισμού και σκέδασης ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων 20

Η γενική μορφή ενός επίπεδου γραμμικά πολωμένου ΗΜ κύματος που διαδίδεται σε ένα ισότροπο και ομογενές άπειρο μέσο και μεταβάλλεται αρμονικά ως προς το χρόνο είναι:

( )( ) ( ) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅−=+⋅−= ti

ciaEtiikEc ωωω rkrkdrkdE ˆexpˆ

2expˆˆexpˆ

00 , (2.41)

( )cck EdH ×= ˆ

ωμ, (2.42)

όπου Ε0 είναι το πλάτος ταλάντωσης και d η διεύθυνση πόλωσης του ηλεκτρικού πεδίου και c, a είναι η φασική ταχύτητα και ο συντελεστής απόσβεσης (attenuation coefficient) του ΗΜ κύματος στο μέσο. Τα c και a συναρτήσει του συντελεστή διάθλασης m και των σταθερών του κενού χώρου γράφονται:

mcc

Re0= , (2.43)

mc

a Im20

ω= . (2.44)

Από τις (2.41) και (2.42) συνάγεται ότι τα πεδία Ε και Η είναι περιοδικές συναρτήσεις τόσο του χρόνου όσο και του χώρου. Η χρονική περίοδος είναι Τ=2π /ω , ενώ η χωρική περίοδος ονομάζεται μήκος κύματος λ και ορίζεται από την σχέση

ωπλ c2

= . (2.45)

H μέση πυκνότητα ροή ισχύος στο χρόνο μιας περιόδου S, που μεταφέρει ένα επίπεδο ΗΜ κύμα σύμφωνα με την (2.40) είναι:

( )[ ] krkS ˆˆexpRe21 2

0

*

⋅−⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

= aEμε . (2.46)

2.2.4 Δέσμη ακτινοβολίας laser κυκλικής διατομής

Το κύριο χαρακτηριστικό μιας δέσμης ακτινοβολίας laser είναι ότι σε μια διατομή κάθετα στη διεύθυνση διάδοσης το μαγνητικό και το ηλεκτρικό πεδίο περιγράφονται από κατανομή Gauss.

Έστω μια δέσμη μονοχρωματικής ΗΜ ακτινοβολίας κατανομής Gauss με διεύθυνση διάδοσης k και διεύθυνση πόλωσης του ηλεκτρικού πεδίου d , όπως φαίνεται στο σχήμα 2.3.

2.2 Ηλεκτρομαγνητικά κύματα 21

Σχήμα 2.3: Δέσμη ΗΜ ακτινοβολίας laser κυκλικής διατομής

Η δέσμη είναι κυκλικής διατομής (TEM00) και είναι εστιασμένη στο σημείο r0 όπου η ακτίνα της διατομής είναι w0 και η φάση του ΗΜ κύματος θεωρείται μηδέν. Λόγω της απόκλισης της δέσμης, η ακτίνα w(r*) μιας διατομής που απέχει από το σημείο της εστίασης απόσταση r* είναι:

( ) ( )20

*0

* 21 zrwrw += , (2.47)

με

( ) krr ˆ0

* ⋅−=r , (2.48)

20

0 2 wz

πλ

= , (2.49)

όπου r είναι το διάνυσμα θέσης ενός σημείου πάνω στη διατομή, όπως φαίνεται στο σχήμα 2.3.

Λόγω της απόκλισης της δέσμης στο σημείο r που δεν ανήκει στον άξονα διάδοσης, το ΗΜ πεδίο εκτός από τη διεύθυνση πόλωσης παρουσιάζει και συνιστώσα κατά την διεύθυνση διάδοσης k . Συνεπώς το ηλεκτρικό πεδίο E μιας ΗΜ ακτινοβολίας κατανομής Gauss στο σημείο r γράφεται (Shimoda 1986):

kd EEE += , (2.50)

1ˆ Ad dE = , (2.51)

2ˆAk kE = , (2.52)

με

[ ]tirkiQΨEA ω+−= *01 exp , (2.53)

QQAA 11

2−

= , (2.54)

Κεφάλαιο 2: Βασικές έννοιες ηλεκτρομαγνητισμού και σκέδασης ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων 22

0*21

1zri

Q−

= , (2.55)

( ) drr ˆ2 001 ⋅−−= ziQ , (2.56)

( )⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −−−= 2

0

2*20expw

rQΨ

rr, (2.57)

όπου Ε0 το μέτρο του ηλεκτρικού πεδίου στο κέντρο της εστίασης.

2.3 Βασικά μεγέθη σκέδασης ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας από ένα τυχαίο σωματίδιο

Στο παρόν υποκεφάλαιο ορίζονται βασικά μεγέθη σκέδασης ΗΜ ακτινοβολίας, όπως αυτά συναντώνται στην διεθνή βιβλιογραφία.

Έστω ένα σωματίδιο τυχαίου σχήματος σε ένα άπειρο ισότροπο και ομογενές μέσο με φυσικές ιδιότητες ε, μ και σ, το οποίο ακτινοβολείται από ένα μονοχρωματικό επίπεδο ΗΜ κύμα (EI, HI),

διαδιδόμενο στην k διεύθυνση με το ηλεκτρικό πεδίο του να είναι γραμμικά πολωμένο στην d διεύθυνση, όπως φαίνεται στο σχήμα 2.4. Στο ίδιο σχήμα θεωρούμε ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων ΟX1X2X3, η αρχή του οποίου βρίσκεται στο εσωτερικό του σώματος και ο άξονας X3 συμπίπτει με την διεύθυνση διάδοσης του κύματος k . Τέλος, στο καρτεσιανό σύστημα είναι προσαρμοσμένο ένα σφαιρικό σύστημα συντεταγμένων (R, θ, φ).

Σχήμα 2.4: Σκέδαση επίπεδου ΗΜ κύματος από σωματίδιο τυχαίου σχήματος

2.3 Βασικά μεγέθη σκέδασης ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας από ένα τυχαίο σωματίδιο 23

Όπως ήδη αναφέρθηκε στο κεφάλαιο 1, μέρος της ενέργειας του προσπίπτοντος πεδίου εκτρέπεται προς όλες τις διευθύνσεις του χώρου και δημιουργείται έτσι ένα δευτερογενές κυματικό πεδίο, το οποίο ονομάζεται σκεδασμένο πεδίο (Esc, Hsc). Εκτός της ενέργειας που σκεδάζεται, ενδεχομένως ένα επιπλέον μέρος της ενέργειας του προσπίπτοντος πεδίου απορροφάται στο εσωτερικό του σωματιδίου και μετατρέπεται σε θερμική ενέργεια. Λόγω της δημιουργίας του σκεδασμένου πεδίου το ολικό ΗΜ πεδίο (E, H) στο μέσο διάδοσης είναι πλέον η υπέρθεση του προσπίπτοντος και του σκεδασμένου πεδίου:

scI EEE += , scI HHH += . (2.58)

Το σκεδασμένο πεδίο (Esc, Hsc) μακριά από το σωματίδιο (περιοχή ακτινοβολίας) ικανοποιεί τις συνθήκες ακτινοβολίας του Silver-Muller (Asvestas et al. 1969):

( )[ ] 0Er =−×∇×∞→

ikRRR

ˆlim , (2.59)

( )[ ] 0Hr =−×∇×∞→

ikRRR

ˆlim , (2.60)

όπου η σύγκλιση θεωρείται ομοιόμορφη σε όλες τις διευθύνσεις r και φθr ˆ,ˆ,ˆ είναι τα τρία μοναδιαία διανύσματα του σφαιρικού συστήματος συντεταγμένων. Οι συνθήκες ακτινοβολίας (2.59) και (2.60) εξασφαλίζουν ότι το σκεδασμένο πεδίο: πρώτον, διαδίδεται από τον σκεδαστή ως προς το άπειρο και δεύτερον, η ασυμπτωτική τάξη της εξασθένισης του με την απόσταση από το σκεδαστή είναι τέτοια ώστε η ενέργεια που μεταφέρει και κατανέμεται σε ομόκεντρες σφαιρικές επιφάνειες να είναι σταθερή.

2.3.1 Πλάτη σκέδασης

Σύμφωνα με τις απαιτήσεις των συνθηκών ακτινοβολίας (2.59) και (2.60) στην περιοχή ακτινοβολίας το σκεδασμένο ΗΜ πεδίο σε σφαιρικές συντεταγμένες είναι (Jackson 1975):

( ) ( ) ( )[ ]φdkrθdkrE ˆˆ;ˆ,ˆˆˆ;ˆ,ˆ0 φθ ggikR

eEikR

sc +−

=−

, (2.61)

( )scsc k ErH ×= ˆωμ

, (2.62)

όπου, Ε0 είναι το πλάτος ταλάντωσης του EI. Οι βαθμωτές συναρτήσεις gθ και gφ ονομάζονται πλάτη σκέδασης (scattering amplitudes) και αποτελούν τις σημαντικότερες συναρτήσεις σκέδασης. Η φυσική σημασία της (2.61) είναι ότι μακριά από τον σκεδαστή το σκεδασμένο ηλεκτρικό πεδίο είναι η υπέρθεση δυο ορθογώνιων μεταξύ τους εγκάρσιων "σφαιρικών" κυμάτων με πλάτη ταλάντωσης Ε0 gθ και Ε0 gφ και πολώσεις στις διευθύνσεις θ και φ , αντίστοιχα.

2.3.2 Μητρώο πλατών σκέδασης

Κεφάλαιο 2: Βασικές έννοιες ηλεκτρομαγνητισμού και σκέδασης ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων 24

Σε πολλά προβλήματα σκέδασης το προσπίπτον και το σκεδασμένο πεδίο είναι χρήσιμο να εκφρασθούν σε συνιστώσες παράλληλες και κάθετες στο επίπεδο που σχηματίζεται από την διεύθυνση διάδοσης 3ˆˆ xk ≡ και την διεύθυνση παρατήρησης του σκεδασμένου πεδίου r και το οποίο ονομάζεται επίπεδο σκέδασης. Για το λόγο αυτό εισάγονται δύο νέο συστήματα συντεταγμένων: ένα )ˆ,ˆ,ˆ( 3xee I

vIp για την περιγραφή του προσπίπτοντος κύματος και ένα

)ˆ,ˆ,ˆ( ree sv

sp για το σκεδασμένο πεδίο, όπως φαίνεται στο σχήμα 2.4. Τα μοναδιαία διανύσματα των

συστημάτων αυτών συνδέονται με τα αντίστοιχα του σφαιρικού συστήματος ως εξής:

θre ˆcosˆsinˆ θθ +=Ip , φe ˆˆ −=I

v , (2.63)

θe ˆˆ =sp , φe ˆˆ −=s

v , (2.64)

Σύμφωνα με την (2.64) το EI γράφεται

( ) ( ) Iv

Iv

Ip

Ip

Iv

Iv

Ip

Ip EEEEE eeeedeedd ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ

000 +=⋅+⋅= . (2.65)

Το ολικό σκεδασμένο πεδίο Esc είναι η υπέρθεση των επιμέρους σκεδασμένων πεδίων που προκύπτουν από τις προσπτώσεις I

pE και IvE , και σύμφωνα με την (2.61) είναι:

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]

( ) [ ] [ ] .ˆˆ

ˆˆ;ˆ,ˆˆ;ˆ,ˆˆˆ;ˆ,ˆˆ;ˆ,ˆ

ˆˆ;ˆ,ˆˆˆ;ˆ,ˆˆˆ;ˆ,ˆˆˆ;ˆ,ˆ

ˆˆ

1432sv

Iv

Ip

sp

Iv

Ip

ikR

sv

Iv

Iv

Ip

Ip

sp

Iv

Iv

Ip

Ip

ikR

sv

Iv

sp

Iv

Iv

sv

Ip

sp

Ip

Ip

ikR

sv

scv

sp

scp

sc

ESESESESikR

e

EgEgEgEgikR

e

ggEggEikR

e

EE

ee

eekrekreekrekr

eekreekreekreekr

eeE

+++−

=−−++−

=−+−−

+=

−

−

−

φφθθ

φθφθ

(2.66)

Η (2.66) σε μητρωική μορφή γράφεται:

( ) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −

Iv

Ip

ikR

scv

scp

EE

SSSS

ikRe

EE

14

32 (2.67)

και το μητρώο με στοιχεία τα Sj (j = 1, 2, 3,4) ονομάζεται μητρώο πλατών σκέδασης.

2.3.3 Ενεργειακές διατομές σκέδασης, απορρόφησης και εξάλειψης

Σύμφωνα με την (2.37) η ροή ισχύος του ολικού ΗΜ πεδίου (Ε, Η) σε μια σφαιρική επιφάνεια S ακτίνας R που περικλείει το σκεδαστή είναι:

∫ ⋅−=S

tot dSW rS ˆ , (2.68)

2.3 Βασικά μεγέθη σκέδασης ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας από ένα τυχαίο σωματίδιο 25

όπου S είναι ο μέσος όρος σε χρόνο μιας περιόδου του διανύσματος Poynting και σύμφωνα με την (2.40) για το ολικό πεδίο είναι

HES ×= Re21 . (2.69)

Όπως ήδη αναφέρθηκε στην παράγραφο 2.2.2, αν η Wtot είναι αρνητική τότε συνολικά από την επιφάνεια της S εξέρχεται ενέργεια. Η περίπτωση αυτή είναι αδύνατη στο συγκεκριμένο πρόβλημα σκέδασης που εξετάζεται, γιατί δεν υπάρχουν πηγές ενέργειας και συνεπώς Wtot ≥ 0. Αν η Wtot είναι μεγαλύτερη του μηδενός τότε στον όγκο V που περικλείει η σφαίρα υπάρχουν απώλειες ενέργειας, οι οποίες προέρχονται είτε από την απορρόφηση ενέργειας του μέσου διάδοσης WI είτε από την απορρόφηση ενέργειας στο εσωτερικό του σωματιδίου Wabs. Συνεπώς οι απώλειες ισχύος του ολικού πεδίου Wtot γράφονται:

absItot WWW += . (2.70)

Είναι φανερό ότι αν το μέσο διάδοσης δεν παρουσιάζει απορρόφηση ενέργειας (σ = 0) και δεν υπάρχει απορρόφηση ενέργειας από το σωματίδιο, η Wtot είναι μηδέν και υπάρχει διατήρηση της ΗΜ ενέργειας.

Λαμβάνοντας υπόψη την (2.58) το διάνυσμα Poynting (2.69) γράφεται:

( ) ( ) extscIscIscI SSSHHEES ++=+×+= Re21 , (2.71)

με

III HES ×= Re21 , (2.72)

scscsc HES ×= Re21 , (2.73)

( ) IscscIext HEHES ×+×= Re21 , (2.74)

όπου SI είναι η πυκνότητα ροής ισχύος του προσπίπτοντος κύματος και δίνεται από την (2.46), Ssc του σκεδασμένου πεδίου και Sext είναι η πυκνότητα ροής ισχύος που προκύπτει από την αλληλεπίδραση των δυο πεδίων .

Με αντικατάσταση της (2.71) στην (2.68) και λαμβάνοντας υπόψη την (2.70) η ροή ισχύος του ολικού ΗΜ πεδίου γράφεται

extscIIabstot WWWWWW +−=+= , (2.75)

ή ισοδύναμα

scabsext WWW += , (2.76)

με

Κεφάλαιο 2: Βασικές έννοιες ηλεκτρομαγνητισμού και σκέδασης ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων 26

0ˆ,0ˆ,0ˆ >⋅−=>⋅=≥⋅−= ∫∫∫S

extext

S

scsc

S

ΙI dSWdSWdSW rSrSrS , (2.77)

όπου Wsc είναι η ροή ισχύος του σκεδασμένου πεδίου και έχει ορισθεί με αντίθετο πρόσημο ώστε να είναι και αυτή θετική παρόλο που εκφράζει παραγωγή ενέργειας. Η Wext ονομάζεται ισχύς εξάλειψης (extinction), εκφράζει την ολική ισχύ που αποκόπτεται από το προσπίπτον κύμα λόγω της αλληλεπίδρασης του με το σκεδασμένο πεδίο και ισούται με την ισχύ που σκεδάζεται συν την ισχύ που ενδεχομένως απορροφάται από το σωματίδιο.

Οι ροές ισχύος Wext, Wabs, και Wsc, συνήθως κανονικοποιούνται με την ένταση του προσπίπτοντος κύματος II :

I

extext I

WC = , (2.78)

I

absabs I

WC = , (2.79)

I

scsc I

WC = , (2.80)

και οι ποσότητες Cext, Cabs και Csc που προκύπτουν ονομάζονται ενεργειακές διατομές εξάλειψης, σκέδασης και απορρόφησης, αντίστοιχα και έχουν μονάδες επιφάνειας.

Οι ενεργειακές διατομές σκέδασης και εξάλειψης γράφονται ως συνάρτηση των πλατών σκέδασης gθ και gφ ως εξής (Bohren and Huffman 1983):

φθθσπ π

ddC Dsc ∫ ∫=2

0 0

sin , (2.81)

( ) ( ) ( ) ( )⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⋅+⋅−= φddkk

θddkk ˆˆˆ;ˆ,ˆ

ˆˆˆ;ˆ,ˆRe4 22 k

gk

gCextφθπ , (2.82)

με

( ) ( ) 22 ˆ;ˆ,ˆˆ;ˆ,ˆk

gk

gD

dkrdkr φθσ += , (2.83)

όπου η σD έχει και αυτή μονάδες επιφάνειες ονομάζεται διαφορική διατομή σκέδασης. Τέλος, το μέτρο της πυκνότητας ροής ισχύος ή ένταση του σκεδασμένου κύματος στην διεύθυνση r είναι:

ID

sc IR

I 2

σ= . (2.84)

27

Κεφάλαιο 3

Μέθοδος Συνοριακών Στοιχείων στις Τρεις Διαστάσεις

Στο κεφάλαιο αυτό περιγράφεται η Μέθοδος Συνοριακών Στοιχείων (ΜΣΣ), όπως αναπτύχθηκε κατά τη διάρκεια της παρούσας διδακτορικής διατριβής και αφορά την επίλυση προβλημάτων σκέδασης ηλεκτρομαγνητικής (ΗΜ) ακτινοβολίας από ένα ή περισσότερα τρισδιάστατα διηλεκτρικά σωματίδια τυχαίου σχήματος στο πεδίο των συχνοτήτων (frequency domain). Η παρούσα μεθοδολογία επιλύει αριθμητικά την ολοκληρωτική αναπαράσταση που έχει προταθεί από τους Stratton and Chu (Stratton 1941). Τα κυριότερα πλεονέκτημα που παρουσιάζει η αναπαράσταση αυτή έναντι των άλλων της βιβλιογραφίας είναι τα εξής. Πρώτον ο αλγόριθμος της αριθμητικής επίλυσης της μπορεί εύκολα να ενσωματωθεί σε ένα κώδικα συνοριακών στοιχείων γενικού σκοπού για την επίλυση προβλημάτων σκέδασης ακουστικών, ηλεκτρομαγνητικών και ελαστικών κυμάτων. Δεύτερον οι τεχνικές επίλυσης ιδιόμορφων ολοκληρωμάτων που έχουν αναπτυχθεί στην δυναμική ελαστικότητα, μπορούν να χρησιμοποιηθούν αυτούσιες στην αντιμετώπιση των αντίστοιχων ιδιόμορφων ολοκληρωμάτων που περιέχονται στην αναπαράσταση των Stratton and Chu.

Το παρόν κεφαλαίο χωρίζεται σε τέσσερα υποκεφάλαια. Στο πρώτο, γίνεται η μαθηματική διατύπωση του προβλήματος σκέδασης ΗΜ ακτινοβολίας από ένα τρισδιάστατο διηλεκτρικό σωματίδιο, παρουσιάζεται η ολοκληρωτική αναπαράσταση των Stratton and Chu και δίνονται οι ολοκληρωτικές εκφράσεις για τον υπολογισμό των πλατών σκέδασης. Στο δεύτερο, παρουσιάζεται διεξοδικά η ΜΣΣ, με την οποία επιλύεται αριθμητικά η συνοριακή ολοκληρωτική εξίσωση των Stratton and Chu, και στο τρίτο περιγράφεται η μεθοδολογία επίλυσης των ομαλών και ιδιόμορφων ολοκληρωμάτων που εμφανίζονται στη ΜΣΣ. Τέλος, στο τέταρτο υποκεφάλαιο πιστοποιείται η αξιοπιστία του αναπτυχθέντα κώδικα ηλεκτρονικού υπολογιστή (Η/Υ). Η πιστοποίηση γίνεται με την σύγκριση αποτελεσμάτων που προέκυψαν από εφαρμογή γνωστών μεθόδων της βιβλιογραφίας με τα αντίστοιχα αποτελέσματα του κώδικα συνοριακών στοιχείων.

Κεφάλαιο 3: Μέθοδος συνοριακών στοιχείων στις τρεις διαστάσεις 28

3.1 Ολοκληρωτική αναπαράσταση του προβλήματος

Στο υποκεφάλαιο αυτό γίνεται η μαθηματική διατύπωση του προβλήματος σκέδασης ΗΜ ακτινοβολίας από ένα τρισδιάστατο διηλεκτρικό σωματίδιο και παρουσιάζεται η ολοκληρωτική αναπαράσταση των Stratton and Chu, η οποία στη συνέχεια θα επιλυθεί αριθμητικά με την ΜΣΣ.

3.1.1 Maθηματική διατύπωση του προβλήματος σκέδασης ΗΜ ακτινοβολίας από ένα τρισδιάστατο διηλεκτρικό σωματίδιο

Θεωρούμε έναν τρισδιάστατο ομογενή και ισότροπο διηλεκτρικό σκεδαστή όγκου V, ο οποίος περικλείεται από μια κλειστή επιφάνεια S και είναι απομονωμένος στον άπειρο χώρο, όπως φαίνεται στο σχήμα 3.1. Επίσης θεωρούμε ένα καρτεσιανό συστήματα συντεταγμένων ΟX1X2X3, η αρχή του οποίου βρίσκεται στο εσωτερικό του σώματος. Ο σκεδαστής ακτινοβολείται από ένα μονοχρωματικό ΗΜ κύμα, το οποίο έστω ότι διαδίδεται στην k διεύθυνση και είναι πολωμένο στην d .

Σχήμα 3.1: Τρισδιάστατος διηλεκτρικός σκεδαστής απομονωμένος στον άπειρο χώρο.

Αυτό το πρόβλημα σκέδασης στο πεδίο των συχνοτήτων, υποθέτοντας για όλα τα πεδία αρμονική εξάρτηση του χρόνου της μορφής eiωt, περιγράφεται από ένα σύστημα δύο μερικών διαφορικών εξισώσεων. Η πρώτη αναφέρεται στο χώρο εξωτερικά του σκεδαστή και η δεύτερη στο χώρο που αυτός περικλείει. Στην περίπτωση όπου δεν υπάρχουν κατανεμημένα ηλεκτρικά φορτία, το σύστημα αυτό των δύο μερικών διαφορικών εξισώσεων, σύμφωνα με τις εξισώσεις (2.31), (2.32) (2.6) και (2.7), γράφεται για το ηλεκτρικό πεδίο Ε και για το μαγνητικό Η σε ενιαία μορφή:

( ) ( )( )

( )

*222

32

0

exexex

exexex

ex

exex

ex

ik

VRk

εμωω

σεμω =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

−∈⎭⎬⎫

=⋅∇

=−×∇×∇x

xΨ0xΨxΨ

(3.1)

3.1 Ολοκληρωτική αναπαράσταση του προβλήματος 29

και

( ) ( )( )

*222

2

0

ininin

ininin

in

inin

in

ik

Vk

εμωω

σεμω =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

∈⎭⎬⎫

=⋅∇

=−×∇×∇x

xΨ0xΨxΨ

, (3.2)

όπου οι δείκτες “ex” και “in” υποδηλώνουν ποσότητες που αναφέρονται στον εξωτερικό και εσωτερικό χώρο του σκεδαστή, αντίστοιχα, το διάνυσμα Ψ εκφράζει είτε το ηλεκτρικό πεδίο Ε είτε το μαγνητικό πεδίο Η, ω και k είναι η κυκλική συχνότητα και ο μιγαδικός κυματικός αριθμός των ΗΜ κυματικών πεδίων, και τέλος οι σταθερές ε, μ, σ είναι οι ιδιότητες του υλικού και εκφράζουν αντίστοιχα, την διηλεκτρική σταθερά, την μαγνητική διαπερατότητα και την ηλεκτρική αγωγιμότητα του.

Η σύζευξη των διαφορικών εξισώσεων (3.1) και (3.2) επιτυγχάνεται μέσω των συνοριακών συνθηκών που ικανοποιούν τα πεδία exΨ και inΨ στην επιφάνεια S του διηλεκτρικού σκεδαστή, και οι οποίες σύμφωνα με τις εξισώσεις (2.18)÷(2.21) γράφονται ως εξής:

( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )

S

exexinin

exexinin

exexinin

exexinin

∈

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

=×∇×+×∇×

=×∇⋅+×∇⋅

=×+×

=⋅+⋅

x

0xΨnxΨnxΨnxΨn

0xΨnxΨnxΨnxΨn

ˆˆ0ˆˆ

ˆˆ0ˆˆ

ζ

δ

, (3.3)

όπου inn και exn είναι τα μοναδιαία κάθετα διανύσματα των χώρων V και (R3 - V), αντίστοιχα σε ένα σημείο x της επιφάνειας S (σχήμα 3.1). Οι σταθερές δ και ζ παίρνουν τιμές ανάλογα με την φυσική σημασία της διανυσματικής συνάρτησης Ψ . Όταν η Ψ εκφράζει ηλεκτρικό πεδίο, τότε οι σταθερές αυτές είναι δ = ε*

ex / ε*in και ζ = μin / μex, ενώ στην περίπτωση που εκφράζει μαγνητικό

πεδίο είναι αντίστοιχα δ = μex / μin και ζ = ε*in / ε*

ex.

Λόγω της ύπαρξης της προσπίπτουσας ακτινοβολίας, το ολικό εξωτερικό πεδίο exΨ είναι η υπέρθεση του προσπίπτοντος κύματος UI και του σκεδασμένου πεδίου Usc, δηλαδή:

( ) ( ) ( ) ( )VRscIex −∈+= 3xxUxUxΨ . (3.4)

Το προσπίπτον κύμα μπορεί να είναι είτε επίπεδο είτε μια δέσμη ακτινοβολίας laser. Τέλος, για την καλή τοποθέτηση του προβλήματος το σκεδασμένο πεδίο πρέπει στην περιοχή ακτινοβολίας να ικανοποιεί τις συνθήκες ακτινοβολίας (2.59) και (2.60), οι οποίες σε ενιαία μορφή γράφονται:

( )[ ] ( ) 0ˆlim =−×∇×∞→

xUxxx

scexik , (3.5)

όπου x είναι το μοναδιαίο διάνυσμα /x x x= .

3.1.2 Ολοκληρωτική αναπαράσταση του προβλήματος

Κεφάλαιο 3: Μέθοδος συνοριακών στοιχείων στις τρεις διαστάσεις 30

Σύμφωνα με τους Stratton and Chu (Stratton 1941), το πρόβλημα συνοριακών τιμών που περιγράφηκε στην προηγούμενη παράγραφο, αναπαρίσταται σε ολοκληρωτική μορφή ως εξής:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xUyTyxφyΨyxqxΨxc yyI

S

exex

S

exexex dSdS +⋅=⋅+⋅ ∫∫ ,~,~~ (3.6)

για τον χώρο εξωτερικά του σκεδαστή και

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫ ⋅=⋅+⋅−S

inin

S

ininin dSdS yy yTyxφyΨyxqxΨxcI ,~,~~~ (3.7)

για τον εσωτερικό χώρο. Στις (3.6) και (3.7), x είναι το διάνυσμα θέσης του σημείου υπολογισμού της λύσης (field point), y τα διανύσματα θέσης των σημείων του συνόρου S, όπου τοποθετούνται οι πηγές (source points), και ( )xc~ ένας τανυστής, ο οποίος εξαρτάται από τη θέση του σημείου x, και ισούται με:

( ) ( )⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

∈

−∈

∈

=

S

VR

V

xI

xI

x0

xc

,~21

,~,~

~ 3 . (3.8)

Επιπλέον, η διανυσματική συνάρτηση Τ ορίζεται ως ( )ΨnT ×∇×= ˆ και η φυσική σημασία της καθορίζεται από το πιο πεδίο εκφράζει η συνάρτηση Ψ . Έτσι, όταν η Ψ εκφράζει ηλεκτρικό πεδίο, η Τ είναι η εφαπτομενική συνιστώσα του μαγνητικού πεδίου H, ενώ στην περίπτωση όπου η Ψ εκφράζει μαγνητικό πεδίο, η συνάρτηση Τ είναι αντίστοιχα η εφαπτομενική συνιστώσα του ηλεκτρικού πεδίου E. Τέλος, οι θεμελιώδεις πυρήνες φ~ και q~ των ολοκληρωμάτων στις (3.6) και (3.7) δίνονται από τις ακόλουθες εκφράσεις:

( ) ( )Iyxyxφ ~,,~ G−= , (3.9)

( ) ( ) ( ) ( )( )Iyxnyxnnyxyxq yyyyyy~,ˆ,ˆˆ,,~ GGG ∇⋅+∇⊗−⊗∇= , (3.10)

όπου G είναι η συνάρτηση Green του άπειρου χώρου και με το σύμβολο ⊗ υποδηλώνεται δυαδικό γινόμενο.

Στην περίπτωση όπου το διάνυσμα υπολογισμού της λύσης x, παίρνει τιμές πάνω στην επιφάνεια S του σώματος, δηλαδή x∈S, οι (3.6) και (3.7) ονομάζονται συνοριακές ολοκληρωτικές εξισώσεις και σε συνδυασμό με τις συνοριακές συνθήκες (3.3) αποτελούν ένα καλά τοποθετημένο πρόβλημα συνοριακών τιμών.

Η ολοκληρωτική αναπαράσταση των Stratton and Chu παρουσιάζει μερικά σημαντικά πλεονεκτήματα έναντι των άλλων αναπαραστάσεων της βιβλιογραφίας (Twersky 1967; Poggio and Miller 1973; Morita 1978; Mautz and Harrington 1980; Marx 1982, 1984, 1993; Glisson 1984; Toyoda et al. 1988; Ingber and Ott 1991; Correia 1993; Hall et al. 1992; Hall and Mao 1995a, b; Chao et al. 1995), και για το λόγο αυτό η χρησιμοποίηση της σε ένα κώδικα συνοριακών

3.1 Ολοκληρωτική αναπαράσταση του προβλήματος 31

στοιχείων, που επιλύει προβλήματα σκέδασης ΗΜ ακτινοβολίας, καθίσταται ιδιαίτερα ελκυστική. Το πρώτο πλεονέκτημα της, είναι ότι περιέχει μόνο επιφανειακά ολοκληρώματα. Το δεύτερο είναι, ότι μπορεί να επιλύσει με ενιαίο τρόπο τόσο το ηλεκτρικό όσο και μαγνητικό πεδίο. Η μοναδική προσαρμογή που απαιτείται, ανάλογα με το πεδίο που επιλύεται, είναι στις σταθερές δ και ζ των συνοριακών συνθηκών (3.3). Το τρίτο είναι, ότι οι πυρήνες των ολοκληρωμάτων που περιέχει, εμφανίζουν μόνο μια ασθενή και μια ισχυρή ιδιομορφία (με την έννοια της πρωτεύουσας τιμής κατά Cauchy), σε αντίθεση με τα υπερ-ιδιόμορφα ολοκληρώματα που εμφανίζονται σε άλλες αναπαραστάσεις. Ένα από τα πιο βασικά πλεονεκτήματα που παρουσιάζει η αναπαράσταση των Stratton and Chu, είναι ότι το ισχυρώς ιδιόμορφο τμήμα του θεμελιώδους πυρήνα q~ (εξ. 3.10), είναι όμοιο με αυτό της θεμελιώδους λύσης των επιφανειακών τάσεων στην δυναμική ελαστικότητα. Συνεπώς οι τεχνικές ολοκλήρωσης, οι οποίες έχουν αναπτυχθεί για να αντιμετωπίσουν τα ισχυρώς ιδιόμορφα ολοκληρώματα που εμφανίζονται στην δυναμική ελαστικότητα, μπορούν αυτούσιες να χρησιμοποιηθούν για την επίλυση των αντίστοιχων ιδιόμορφων ολοκληρωμάτων της παρούσας αναπαράστασης. Τέλος, η γενικότερη ροή του αλγόριθμου για την αριθμητική επίλυση της με την ΜΣΣ είναι παρόμοια με αυτή των ελαστικών προβλημάτων σκέδασης. Η ομοιότητα αυτή μπορεί να θεωρηθεί ως ιδιαίτερα σημαντική, γιατί η παρούσα μεθοδολογία συνοριακών στοιχείων μπορεί εύκολα να ενσωματωθεί σε έναν κώδικα ηλεκτρονικού υπολογιστή γενικού σκοπού για την επίλυση προβλημάτων σκέδασης ακουστικών, ηλεκτρομαγνητικών και ελαστικών κυμάτων.

Στο σημείο αυτό θα πρέπει ν΄ αναφερθεί ότι, η αναπαράσταση των Stratton and Chu αποτυγχάνει να επιλύσει το πρόβλημα της σκέδασης ΗΜ ακτινοβολίας σε ορισμένες χαρακτηριστικές συχνότητες (fictitious eigen-frequencies). Στην παρούσα διατριβή, το πρόβλημα αυτό παρακάμπτεται αριθμητικά, προσθέτοντας στο υλικό του άπειρου χώρου διάδοσης της ΗΜ ακτινοβολίας μια μικρή ηλεκτρική αγωγιμότητα εν συγκρίσει με την αντίστοιχη διηλεκτρική σταθερά.

3.1.3 Ολοκληρωτικές εκφράσεις για τα πλάτη σκέδασης

Στην περιοχή ακτινοβολίας, ∞→x , όπου ικανοποιείται η συνθήκη ακτινοβολίας (3.5), το

σκεδασμένο πεδίο Usc περιγράφεται από την ολοκληρωτική εξίσωση (3.6), με 0c ~~ = . Χρησιμοποιώντας τις θεμελιακές ασυμπτωτικές σχέσεις (Dasssios and Kiriaki 1984)

∞→⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=

−− x

xx

xyxy ,1ˆ O (3.11)

και

∞→⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅−=− x

xyxxxy ,1ˆ O , (3.12)

με /x x x= , η (3.5) γράφεται:

Κεφάλαιο 3: Μέθοδος συνοριακών στοιχείων στις τρεις διαστάσεις 32

( ) ( ) ( )

( )[ ] ( ) .,1~ˆˆˆˆˆˆ

4

2ˆ2

ˆ

∞→⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+⎥

⎦

⎤⋅⋅+⊗−⊗+

⎢⎣

⎡−=

∫

∫

⋅

⋅−

xx

yΨIxnxnnx

yTx

xU

yyx

yyx

x

OdSek

dSeikik

e

S

exexexexikex

S

exikex

ex

iksc

ex

exex

π (3.13)

Το σκεδασμένο πεδίο Usc στο ασυμπτωτικό ανάπτυγμα (3.13) είναι εκφρασμένο ως προς το καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων ΟX1X2X3 (σχήμα 3.1). Λαμβάνοντας υπόψη ότι το σκεδασμένο πεδίο μακριά από τον σκεδαστή έχει την μορφή ενός σφαιρικά εκτεινόμενου κύματος, είναι βολικό να εκφρασθεί ως προς ένα σφαιρικό σύστημα συντεταγμένων. Συνεπώς, αν r και θ , φ είναι το ακτινικό και τα δυο εφαπτομενικά μοναδιαία διανύσματα ενός σφαιρικού συστήματος

συντεταγμένων και λαμβάνοντας υπόψη ότι ο μοναδιαίος τανυστής I~ σε σφαιρικές συντεταγμένες γράφεται:

φφθθrrI ˆˆˆˆˆˆ~ ⊗+⊗+⊗= (3.14)

η (3.13) μετασχηματίζεται ως εξής:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ∞→++−

=−

RgggRik

eER rex

Riksc

ex

,ˆˆ;ˆ,ˆˆˆ;ˆ,ˆˆˆ;ˆ,ˆ0 φdkrθdkrrdkrU φθ , (3.15)

όπου R=R , Ε0 είναι το πλάτος ταλάντωσης του προσπίπτοντος κύματος UI, και οι βαθμωτές

συναρτήσεις gr, gθ και gφ είναι τα πλάτη σκέδασης, όπως αυτά έχουν ορισθεί στην παράγραφο 2.3.3 και δίνονται από τις ακόλουθες ολοκληρωτικές εκφράσεις:

( ) ( )( ) ( )[ ]∫ ⋅⋅−⋅−=S

ikexex

exexr dSeikk

Eg ex

yyryTryΨndkr ˆ2

0

ˆˆ4

1ˆ;ˆ,ˆπ

, (3.16)

( ) ( ) ( )( ) ( )[ ]∫ ⋅⋅−⊗⊗−⊗−=S

ikexex

exex dSeikk

Eg ex

yyryTθyΨnθrrθdkr ˆ2

0

ˆˆ:ˆˆˆˆ4

1ˆ;ˆ,ˆπθ , (3.17)

( ) ( ) ( )( ) ( )[ ]∫ ⋅⋅−⊗⊗−⊗−=S

ikextex

exex dSeikk

Eg ex

yyryTφyΨnφrrφdkr ˆ2

0

ˆˆ:ˆˆˆˆ4

1ˆ;ˆ,ˆπφ , (3.18)

όπου το διπλό εσωτερικό γινόμενο που εμφανίζεται στα ολοκληρώματα της (3.17) και (3.18), ορίζεται ως

( ) ( ) ( )( )cbdadcba ⋅⋅=⊗⊗ : . (3.19)

Ο πρώτος όρος του δεύτερου μέλους της (3.15), αναπαριστά ένα σφαιρικά εκτεινόμενο διαμήκες κύμα, με μέτρο ταλάντωσης gr, ενώ οι άλλοι δυο όροι, δύο σφαιρικά εγκάρσια κύματα, με μέτρα ταλάντωσης gθ και gφ και πολώσεις στις διευθύνσεις θ και φ , αντίστοιχα. Βέβαια, όπως είναι γνωστό στον ηλεκτρομαγνητισμό διαδίδονται μόνο εγκάρσια κύματα και συνεπώς το ακτινικό πλάτος σκέδασης gr πρέπει να είναι ταυτοτικά μηδέν. Πράγματι, κάνοντας χρήση του θεωρήματος

3.1 Ολοκληρωτική αναπαράσταση του προβλήματος 33

απόκλισης του Gauss πάνω στην επιφάνεια S και στο χώρο που σχηματίζεται μεταξύ του σκεδαστή και μιας σφαίρας πολύ μεγάλης ακτίνας R, στην επιφάνεια της οποίας ικανοποιείται η συνθήκη ακτινοβολίας (3.5), προκύπτει ότι

( ) 0ˆ;ˆ,ˆ =dkrrg . (3.20)

H ταυτοτική σχέση (3.20) είναι ιδιαίτερα χρήσιμη στην εφαρμογή της ΜΣΣ και αυτό διότι ο αριθμητικός υπολογισμός του πλάτους σκέδασης gr σε διάφορες διευθύνσεις, μέσω της (3.16), μπορεί να αποτελέσει μέτρο του σφάλματος της επίλυσης του αντίστοιχου προβλήματος σκέδασης.

Τελικά σύμφωνα με την (3.20) το σκεδασμένο πεδίο Usc, μακριά από τον σκεδαστή, γράφεται ως υπέρθεση δύο σφαιρικών εγκάρσιων κυμάτων, με διεύθυνση διάδοσης την r και με πολώσεις τις διευθύνσεις θ και φ , αντίστοιχα, δηλαδή:

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ∞→+−

=−

RggRik

eERex

Riksc

ex

,ˆˆ;ˆ,ˆˆˆ;ˆ,ˆ0 φdkRθdkRU φθ . (3.21)

3.2 Μέθοδος συνοριακών στοιχείων

Στο υποκεφάλαιο αυτό, παρουσιάζεται η μεθοδολογία των συνοριακών στοιχείων στις τρεις διαστάσεις, με την οποία επιλύεται αριθμητικά το πρόβλημα συνοριακών τιμών της σκέδασης ΗΜ ακτινοβολίας από έναν διηλεκτρικό σκεδαστή και το οποίο απαρτίζεται από το σύστημα των δυο συνοριακών ολοκληρωτικών εξισώσεων (3.6) και (3.7), με x∈S, και τις συνοριακές συνθήκες (3.3). Περισσότερες λεπτομέρειες για την ΜΣΣ, μπορούν να βρεθούν στα βιβλία των Manolis and Beskos (1988); Rego Silva (1994); Dominguez (1993) και Banerjee (1981).

Για λόγους απλότητας και χωρίς βλάβη της γενικότητας, η εφαρμογή της ΜΣΣ θα παρουσιασθεί για την επίλυση της ολοκληρωτικής εξίσωσης που αναφέρεται στον εξωτερικό χώρο του σκεδαστή (3.6). Σύμφωνα με αυτή το ολικό εξωτερικό πεδίο ( )xΨ ex γράφεται:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xUyTyxφyΨyxqxΨxc yyI

SS

dSdS +⋅=⋅+⋅ ∫∫ ,~,~~ , (3.22)

όπου ο δείκτης “ex” έχει πλέον παραληφθεί.

3.2.1 Διακριτοποίηση της επιφάνειας σε συνοριακά στοιχεία

Η κοινή αρχή σε όλες τις διατυπώσεις της μεθόδου των συνοριακών στοιχείων είναι η προσέγγιση της γεωμετρίας από μια σειρά στοιχείων, μέσα στα οποία θεωρείται ότι η γεωμετρία περιγράφεται από μια καθορισμένη συνάρτηση (συνήθως πολυωνυμική). Γενικά, η επιφάνεια S μπορεί να

Κεφάλαιο 3: Μέθοδος συνοριακών στοιχείων στις τρεις διαστάσεις 34

περιγραφεί από μια σειρά τετράπλευρων και τριγωνικών επιφανειακών στοιχείων. Συνεπώς, έστω ότι η επιφάνεια S διακριτοποιείται σε QE τετράπλευρα και tE τριγωνικά συνοριακά στοιχεία:

∑=

=E

eeSS

1

, (3.23)

όπου, Qt EEE += είναι ο συνολικός αριθμός των στοιχείων. Με βάση την (3.23) η ολοκληρωτική

εξίσωση (3.21) γράφεται:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xUyTyxφyΨyxqxΨxcyy

IE

e S

eeE

e S

ee

e

e

e

e dSdS +⋅=⋅+⋅ ∑ ∫∑∫== 11

,~,~~ . (3.24)

3.2.2 Επιφανειακά συνοριακά στοιχεία

Σε μια τυπική διατύπωση ΜΣΣ, θεωρείται ότι μέσα στο στοιχείο τόσο το διάνυσμα θέσης x, όσο και τα άγνωστα διανυσματικά πεδία ( )xΨ και ( )xT μεταβάλλονται ως πολυωνυμικές συναρτήσεις. Για να επιτευχθεί η παρεμβολή των μεταβλητών των παραπάνω συναρτήσεων, ορίζεται στο στοιχείο ένας αριθμός Α κόμβων πάνω στους οποίους οι τιμές των συναρτήσεων είτε είναι γνωστές είτε θεωρούνται γνωστές. Παράλληλα, εισάγεται ένα τοπικό παραμετρικό σύστημα συντεταγμένων (ξ1, ξ2), με το οποίο κάθε στοιχείο μετασχηματίζεται σε μοναδιαίο τετράγωνο ή μοναδιαίο ισόπλευρο τρίγωνο ανάλογα με το είδος του (σχήμα 3.2). Οι τοπικές συντεταγμένες ξ1, ξ2 είναι ορισμένες έτσι ώστε να παίρνουν τιμές στο διάστημα [-1, 1], όταν το στοιχείο είναι τετράπλευρο, και στο διάστημα [0, 1] όταν είναι τριγωνικό.

(a) (b)

Σχήμα 3.2: Μετασχηματισμός στοιχείου στο τοπικό παραμετρικό σύστημα συντεταγμένων: a) τετραγωνικό στοιχείο, b) τριγωνικό στοιχείο.

3.2 Μέθοδος συνοριακών στοιχείων 35

Με την εισαγωγή του τοπικού συστήματος συντεταγμένων τα διανύσματα θέσης x και οι συναρτήσεις Ψ και T προσεγγίζονται σε οποιοδήποτε σημείο του στοιχείου με τοπικές συντεταγμένες (ξ1 ,ξ2), μέσω των παρακάτω αθροισμάτων:

( )∑=

=A

a

aaΦ1

21 , xx ξξ , (3.25)

( ) ( ) ( ) ( )∑∑==

==A

a

aaA

a

aa NN1

211

21 ,, ΨxΨxΨ ξξξξ , (3.26)

( ) ( ) ( ) ( )∑∑==

==A

a

aaA

a

aa NN1

211

21 ,, TxTxT ξξξξ , (3.27)

όπου xα είναι το διάνυσμα θέσης του κόμβου a και aΨ , Τα οι επικόμβιες τιμές των αντίστοιχων συναρτήσεων. Οι συναρτήσεις Φa και Νa ονομάζονται συναρτήσεις μορφής (shape functions) και συναρτήσεις παρεμβολής (interpolation functions), αντίστοιχα, είναι πολυώνυμα γραμμικά ανεξάρτητα μεταξύ τους και παρουσιάζουν την ιδιότητα να παίρνουν τιμή 1 στο κόμβο a, και 0 σε οποιοδήποτε άλλον. Με την ιδιότητα αυτή εξασφαλίζεται ότι οι επικόμβιες τιμές των συναρτήσεων είναι ανεξάρτητες η μία από την άλλη. Επίσης για τις συναρτήσεις αυτές ισχύει:

( )( )

1,,

1 21

21 =⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∑=

A

aa

a

NΦ

ξξξξ

και

( )

( )2,10

,

,

1 21

21

==

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

∂∂

∂∂

∑=

iN

ΦA

a

i

a

i

a

ξξξ

ξξξ

. (3.28)

Στην γενική περίπτωση, η γεωμετρία και τα πεδία μπορεί να προσεγγισθούν από πολυώυμα διαφορετικού βαθμού. Στην παρούσα μεθοδολογία χρησιμοποιείται η ισοπαραμετρική διατύπωση, δηλαδή τόσο για την γεωμετρία όσο και για τα πεδία, χρησιμοποιούνται στοιχεία του ίδιου βαθμού προσέγγισης. Πιο συγκεκριμένα χρησιμοποιούνται δευτεροβάθμια (quadratic) επιφανειακά στοιχεία, στα οποία οι συναρτήσεις που προσεγγίζονται, θεωρείται ότι είναι πολυώνυμα δευτέρου βαθμού ως προς κάθε τοπική μεταβλητή ξ1, ξ2.

Οι συναρτήσεις μορφής Φ και παρεμβολής Ν, εκτός από το βαθμό του πολυωνύμου προσέγγισης, εξαρτώνται τόσο από τον αριθμό όσο και από θέση ορισμού των κόμβων πάνω στο στοιχείο. Ο αριθμός των κόμβων των δευτεροβάθμιων στοιχείων που χρησιμοποιούνται εδώ, είναι A = 9 για τα τετράπλευρα (quadrilateral) και A = 6 για τα τριγωνικά (triangular). Για την περιγραφή της γεωμετρίας χρησιμοποιούνται συνεχή στοιχεία (continuous elements), στα οποία οι πλευρές συμπίπτουν και με τα όρια του στοιχείου. Οι θέσεις των κόμβων των δευτεροβάθμιων συνεχών στοιχείων καθώς και η τοπική αρίθμηση τους, φαίνεται στο σχήμα 3.3, ενώ οι αντίστοιχες εκφράσεις των συναρτήσεων μορφής Φ δίνονται στο παράρτημα Β.

Κεφάλαιο 3: Μέθοδος συνοριακών στοιχείων στις τρεις διαστάσεις 36

(a) (b)

Σχήμα 3.3: Συνεχές δευτεροβάθμιο επιφανειακό στοιχείο a) τετράπλευρο με 9 κόμβους b) τριγωνικό με 6 κόμβους.

Σε αντίθεση με τη γεωμετρία, για την προσέγγιση των πεδίων χρησιμοποιούνται στοιχεία, τα οποία οι πλευρές τους υπάρχει περίπτωση να μην ορίζονται στα όρια τους. Τα στοιχεία αυτά ονομάζονται μερικώς ή πλήρως ασυνεχή στοιχεία (partially or fully discontinuous elements) ανάλογα με τον αν μερικές πλευρές ή καμία πλευρά τους δεν συμπίπτει με τα όρια του γεωμετρικού στοιχείου. Η μορφή ενός πλήρους ασυνεχούς στοιχείου φαίνεται στο σχήμα 3.4 και οι εκφράσεις των συναρτήσεων παρεμβολής Ν δίνονται επίσης στο παράρτημα Β. Η ακριβής θέση των κόμβων ενός ασυνεχούς στοιχείου καθορίζεται από τις σταθερές bi, με i = 1, S όπου S είναι ο αριθμός των πλευρών του στοιχείου (σχήμα 3.4). Η τιμή των bi προσδιορίζεται αριθμητικά και οι τιμές που έχουν προταθεί από τους Patterson and Sheikh (1984) ως οι βέλτιστες, είναι οι bi = 1 / 3 για τα τετράπλευρα στοιχεία και bi = 1 / 6 για τα τριγωνικά. Όπως είναι φανερό, ο ορισμός του ασυνεχούς στοιχείου εμπεριέχει και το συνεχές στοιχείο.

(a) (b)

Σχήμα 3.4: Πλήρες ασυνεχές δευτεροβάθμιο επιφανειακό στοιχείο a) τετράπλευρο b) τριγωνικό.

Στην παρούσα διατριβή, ασυνεχή στοιχεία χρησιμοποιούνται για την αντιμετώπιση γωνιών, όπου δεν ορίζεται το μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα. Επιπλέον με τη χρήση ασυνεχών στοιχείων σε γωνίες, αποφεύγεται ο υπολογισμός του τανυστή c~ (εξ. 3.8), αφού στο εσωτερικό του στοιχείου το σύνορο είναι ομαλό (μεταβάλλεται ως συνάρτηση δευτέρου βαθμού) και άρα σε κάθε περίπτωση συνόρου, ο τανυστής c~ γράφεται:

( ) S∈= xIxc ,~21~ . (3.29)

3.2 Μέθοδος συνοριακών στοιχείων 37

3.2.3 Ιακωβιανή του μετασχηματισμού από το καρτεσιανό στο τοπικό παραμετρικό σύστημα συντεταγμένων

Στην προηγούμενη παράγραφο τόσο η γεωμετρία όσο και τα διανυσματικά πεδία εκφράσθηκαν από το γενικό στο τοπικό σύστημα συντεταγμένων του στοιχείου. Το ίδιο πρέπει να γίνει για τα όρια της ολοκλήρωσης στα ολοκληρώματα της (3.23), καθώς επίσης και για το ολικό διαφορικό dS.

Το ολικό διαφορικό dSye στο τοπικό σύστημα συντεταγμένων γράφεται ως εξής:

( ) ( ) 212121212121

,, ξξξξξξξξξξξξ

ddJdddddS eeee

e ==×= Jyyy

, (3.30)

όπου J=J είναι το μέτρο της Ιακωβιανής του μετασχηματισμού.

Γεωμετρικά, οι ποσότητες που εμπλέκονται στο μετασχηματισμό από το ολικό στο τοπικό σύστημα συντεταγμένων φαίνονται στο σχήμα 3.5.

1/ ξ∂∂y

2/ ξ∂∂y

Σχήμα 3.5: Μετασχηματισμός από το ολικό στο τοπικό σύστημα συντεταγμένων.

3.2.4 Συναρμολόγηση εξισώσεων

Με την εισαγωγή του κάθε συνοριακού στοιχείου ορίσθηκαν παράλληλα και οι κόμβοι του. Συνεπώς η (3.24), η οποία αναφέρεται σε κάποιο συνοριακό σημείο x, μπορεί να γραφτεί για τον τυχαίο κόμβο k, όπου το k παίρνει τιμές από 1 έως L και L είναι ο συνολικός αριθμός των κόμβων όλων των στοιχείων. Έτσι η (3.24), με αντικατάσταση σε αυτήν των (3.26), (3.27), (3.29) και (3.30) παίρνει την εξής μορφή:

( ) ( )∑∑∑∑∑∑∑∑= == == == =

+⋅+⋅=⋅+⋅+tQtQ E

e

kI

a

ea

teak

E

e a

ea

Qeak

E

e a

ea

teak

E

e a

ea

Qeak

k

1

6

11

9

11

6

11

9

1

~~~~21 xUTGTGΨHΨHxΨ , (3.31)

με

Κεφάλαιο 3: Μέθοδος συνοριακών στοιχείων στις τρεις διαστάσεις 38

( )[ ] ( ) ( )∫ ∫− −

=1

12

1

11212121 ,,,,~~ ξξξξξξξξ ddJN eaekQ

eak yxφG , (3.32)

( )[ ] ( ) ( )∫ ∫− −

=1

12

1

11212121 ,,,,~~ ξξξξξξξξ ddJN eaekQ

eak yxqH , (3.33)

όταν το ως προς ολοκλήρωση στοιχείο e είναι τετράπλευρο και

( )[ ] ( ) ( )∫ ∫−

=1

02

1

01212121

2

,,,,~~ ξξξξξξξξξ

ddJN eaekteak yxφG , (3.34)

( )[ ] ( ) ( )∫ ∫−

=1

02

1

01212121

2

,,,,~~ ξξξξξξξξξ

ddJN eaekteak yxqH , (3.35)

όταν είναι τριγωνικό.

Στην (3.31), κάθε ζευγάρι τιμών του διπλού αθροίσματος (e, a) μπορεί αντιστοιχιστεί σε έναν και μοναδικό κόμβο β της ολικής αρίθμησης των κόμβων. Βέβαια αν ληφθεί υπόψη ότι με τη χρήση συνεχών ή μερικώς ασυνεχών στοιχείων υπάρχουν κοινοί κόμβοι μεταξύ δυο γειτονικών στοιχείων, είναι προφανές ότι στον κόμβο β πιθανώς να αντιστοιχούν περισσότερα από ένα ζευγάρια τιμών (e, a). Συνεπώς στην (3.31), το διπλό άθροισμα στους τοπικούς κόμβους και στα στοιχεία μπορεί να αντικατασταθεί από ένα άθροισμα στους κόμβους της ολικής αρίθμησης:

Ik

L

k

L

kk UTGΨHΨ +⋅=⋅+ ∑∑

== 11

~~21

β

ββ

β

ββ , (3.36)

όπου οι όροι kβG~ και kβH~ είναι το άθροισμα όλων ολοκληρωμάτων eakG~ και eakH~ που

αντιστοιχούν, μέσω της (e, a)→β, στον κόμβο β.

Αν η διαδικασία αυτή που έγινε για τον τυχαίο κόμβο k γίνει για όλους τους κόμβους L, προκύπτει ένα γραμμικό σύστημα αλγεβρικών εξισώσεων που έχει την ακόλουθη μητρωική μορφή:

( ) ( ) [ ]( ) ( ) ( )L

ILLLL

LL33333

33

~21 UTGΨHI +⋅=⋅⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ + ×

×

(3.37)

ή

[ ] [ ] IUTGΨH +⋅=⋅ , (3.38)

όπου οι κάτω δείκτες στην (3.37) υποδηλώνουν τις διαστάσεις των μητρώων και των διανυσμάτων, τα μητρώα G και H περιέχουν όλα τα αντίστοιχα υπομητρώα που δίνονται από τα ολοκληρώματα (3.32)÷(3.35), τα διανύσματα Ψ και Τ εμπεριέχουν τις όλες άγνωστες επικόμβιες συνιστώσες των αντίστοιχων συναρτήσεων και το διάνυσμα IU αποτελείται από τις γνωστές επικόμβιες

συνιστώσες του προσπίπτοντος κύματος.

3.2 Μέθοδος συνοριακών στοιχείων 39

3.2.5 Εφαρμογή των συνοριακών συνθηκών και τελικό σύστημα εξισώσεων

Η διαδικασία που ακολουθήθηκε ως εδώ και κατέληξε στο σύστημα των αλγεβρικών εξισώσεων (3.38), αφορούσε την συνοριακή ολοκληρωτική εξίσωση για τα εξωτερικά πεδία. Έτσι αν εισάγουμε και πάλι το δείκτη “ex” που υποδηλώνει μεταβλητές εξωτερικά του σκεδαστή, η (3.38) γράφεται:

[ ] [ ] Iexexexex UTGΨH +⋅=⋅ . (3.39)

Ακολουθώντας μια παρόμοια διαδικασία και για την συνοριακή ολοκληρωτική εξίσωση για τα εσωτερικά πεδία (3.7), προκύπτει αντίστοιχα το ακόλουθο σύστημα εξισώσεων:

[ ] [ ] inininin TGΨH ⋅=⋅ . (3.40)

Η σύζευξη των συστημάτων (3.39) και (3.40) επιτυγχάνονται με την εφαρμογή των συνοριακών συνθηκών (3.3). Οι τελευταίες, λαμβάνοντας υπόψη ότι το πεδίο Τ έχει ορισθεί ως ( )ΨnT ×∇×= ˆ

και ότι για τα μοναδιαία κάθετα διανύσματα ισχύει inex nn ˆˆ −= (σχήμα 3.1), για τον τυχαίο κόμβο k γράφονται ισοδύναμα:

( ) ( ) ( )( ) ( )kexkin

kexkkin

xTxTxΨxQxΨ

ζ=

⋅= ~, (3.41)

όπου

( ) ( ) exexexexk nnnnIxQ ˆˆˆˆ~~⊗+⊗−= δ . (3.42)

Συνεπώς, εφαρμόζοντας τις συνοριακές συνθήκες (3.41), από τα συστήματα (3.39) και (3.40), προκύπτει το ακόλουθο τελικό σύστημα των αλγεβρικών εξισώσεων

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅ 0

UTΨ

GQHGH I

ex

ex

inin

exex

~ζ (3.43)

ή ισοδύναμα

[ ] BXA =⋅ , (3.44)

όπου το μητρώο Q περιέχει όλα τα υπομητρώα ( )kxQ~ . Το μητρώο A είναι μη συμμετρικό και πλήρως γεμάτο με μιγαδικά στοιχεία. Είναι προφανές, ότι αυτό ισχύει για την περίπτωση του ενός και ομογενούς σκεδαστή για τον οποίο και παρουσιάσθηκε η εφαρμογή της ΜΣΣ. Στην γενική περίπτωση, όπου έχουμε περισσότερους από έναν σκεδαστές ή έναν με μη ομογενείς περιοχές, τότε για την εφαρμογή της ΜΣΣ γίνεται χρήση περισσότερων από δυο υποχωρίων και σε κάποια τμήματα του μητρώου Α υπάρχουν μηδενικά στοιχεία. Στην παρούσα διατριβή τα μηδενικά αυτά τμήματα, εφόσον υπάρχουν, λαμβάνονται υπόψη για την οικονομικότερη αποθήκευση του μητρώου Α.

Κεφάλαιο 3: Μέθοδος συνοριακών στοιχείων στις τρεις διαστάσεις 40

Η επίλυση του γραμμικού συστήματος των αλγεβρικών εξισώσεων (3.41), μπορεί να γίνει με οποιαδήποτε από τις κλασσικές μεθόδους επίλυσης μη συμμετρικών γραμμικών αλγεβρικών συστημάτων, όπως είναι η απαλοιφή Gauss, η απαλοιφή Gauss-Jordan και LU αποσύνθεση. Εδώ χρησιμοποιείται η τελευταία ως η πιο αποτελεσματική, σημειώνοντας ότι για το σκοπό αυτό δεν έχει αναπτυχθεί λογισμικό αλλά χρησιμοποιούνται οι βιβλιοθήκες της IMSL (1994).

3.2.6 Υπολογισμός του πεδίου Ψ σε σημεία εξωτερικά και εσωτερικά του σκεδαστή και των πλατών σκέδασης

Από τη στιγμή που έχει επιλυθεί το πρόβλημα συνοριακών τιμών και τα διανύσματα Ψ και Τ είναι πλέον γνωστά πάνω στους κόμβους του πλέγματος των στοιχείων, πεδίο Ψ σε μη επιφανειακά σημεία μπορεί εύκολα να υπολογισθεί. Για τα μεν σημεία εξωτερικά του σκεδαστή, χρησιμοποιείται η (3.6) με ( ) Ixc ~~ = , ενώ για τα εσωτερικά, η (3.7) με ( ) 0xc ~~ = .

Με παρόμοιο τρόπο υπολογίζοται και τα πλάτη σκέδασης μέσω ολοκληρωτικών εκφράσεων (3.16)÷(3.18).

Αξίζει να σημειωθεί ότι σε όλες τις παραπάνω περιπτώσεις τα ολοκληρώματα που πρέπει να υπολογισθούν είναι ομαλά και δεν παρουσιάζουν κάποιο ιδιαίτερο πρόβλημα στον υπολογισμό τους. Βέβαια στην περίπτωση εσωτερικών σημείων που βρίσκονται πολύ κοντά στην επιφάνεια υπάρχει περίπτωση τα ολοκληρώματα να παρουσιάσουν κάποια ιδιομορφία (σχεδόν ιδιόμορφα ολοκληρώματα) και τότε για το ακριβή υπολογισμό τους απαιτείται ιδιαίτερη αντιμετώπιση. Η μεθοδολογία υπολογισμού όλων των ολοκληρωμάτων περιγράφεται αναλυτικά στο υποκεφάλαιο 3.3.

3.2.7 Συμμετρία και αντισυμμετρία ως προς τα επίπεδα του καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων

Σε ένα πρόβλημα η συμμετρική γεωμετρία ως προς κάποιο ή κάποια επίπεδα του καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων καθώς και οι συμμετρικές ή αντισυμμετρικές συνοριακές συνθήκες οδηγούν, λόγω της φύσης του προβλήματος, σε συμμετρικά ή αντισυμμετρικά πεδία ως προς τα επίπεδα αυτά. Εφόσον οι συνθήκες αυτές συμμετρίας ληφθούν υπόψη στην αριθμητική επίλυση, ο χρόνος υπολογισμού καθώς και η μνήμη του Η/Υ που απαιτείται μειώνονται δραστικά. Στην περίπτωση αυτή διακριτοποιείται τμήμα της επιφάνειας S του σκεδαστή, ενώ η υπόλοιπη δημιουργείται με φανταστικές προβολές ως προς τα επίπεδα συμμετρίας. Με τον τρόπο αυτό οι ολοκληρώσεις των (3.6) και (3.7) γίνονται μεν πάνω σε όλη την επιφάνεια S, αλλά οι βαθμοί ελευθερίας των φανταστικών τμημάτων ανάγονται, μέσω των παρακάτω σχέσεων συμμετρίας και αντισυμμετρίας, στους βαθμούς ελευθερίας μόνο του διακριτοποιημένου τμήματος. Στην περίπτωση συμμετρικών πεδίων ως προς επίπεδο κάθετο στο Χi άξονα, οι συνιστώσες των πεδίων σε ένα κόμβο k συνδέονται με τις αντίστοιχες στο συμμετρικό του κόμβο ksym ως εξής:

3.2 Μέθοδος συνοριακών στοιχείων 41

ijTT

ΨΨsymjj

symjj

=⎪⎭

⎪⎬⎫

−=

−= , και ij

TT

ΨΨsymjj

symjj

≠⎪⎭

⎪⎬⎫

=

= , . (3.45)

Όμοια, όταν τα πεδία είναι αντισυμμετρικά οι αντίστοιχες συνιστώσες τους στους κόμβους k και ksym συσχετίζονται ως εξής:

ijTT

ΨΨantijj

antijj

=⎪⎭

⎪⎬⎫

−=

−= , και ij

TT

ΨΨantijj

antijj

≠⎪⎭

⎪⎬⎫

=

= , . (3.46)

Γεωμετρικά οι (3.45) και (3.46) αναπαρίστανται στα σχήματα 3.6(α) και 3.6(b), αντίστοιχα, όσον αφορά το πεδίο Τ και για γεωμετρική συμμετρία ως προς το X1 - X3 επίπεδο.

(a) (b)

Σχήμα 3.6: α) Συμμετρικά και b) αντισυμμετρικά πεδία.

Στο σημείο αυτό πρέπει ν΄ αναφερθεί ότι στην αριθμητική υλοποίηση για να γίνει η ολοκλήρωση πάνω στην συμμετρική επιφάνεια αντί να προβάλλεται το στοιχείο e, ώστε να δημιουργηθεί αυτή, προβάλλεται ο κόμβος k, για τον οποίο γράφεται η (3.31), και η ολοκλήρωση γίνεται και πάλι πάνω στην διακριτοποιημένη επιφάνεια (σχήμα 3.7). Με την τεχνική αυτή ο αλγόριθμος της

συμμετρίας γίνεται πολύ απλός και το μόνο που απαιτείται είναι στα διανύσματα symkxy − και

n να αλλαχτούν κατάλληλα τα πρόσημα ώστε να ταυτίζονται με τα ksym xy − και symn , αντίστοιχα. (σχήμα 3.7).

Σχήμα 3.7: Ολοκλήρωση πάνω στην συμμετρική επιφάνεια με την τεχνική προβολής του κόμβου.

Κεφάλαιο 3: Μέθοδος συνοριακών στοιχείων στις τρεις διαστάσεις 42

Τέλος ειδική προσοχή πρέπει να δοθεί για τους κόμβους που βρίσκονται πάνω στα επίπεδα συμμετρίας. Οι κόμβοι αυτοί ταυτίζονται με τους συμμετρικούς τους και συνεπώς οι σχέσεις (3.45) και (3.46) ισχύουν ως ταυτοτικές ισότητες.

3.3 Αριθμητικός υπολογισμός ολοκληρωμάτων

Στην μέθοδο των συνοριακών στοιχείων η ακρίβεια της αριθμητικής λύσης αλλά και γενικότερα η αποτελεσματικότητα της μεθόδου εξαρτάται κατά κύριο λόγο από τον ακριβή και ταχύ υπολογισμό των ολοκληρωμάτων (3.32)÷(3.35), τα οποία μέσω της αντιστοιχίας (e, a)→β, ισοδύναμα γράφονται:

( )[ ] ( ) ( )( ) β

β ξξξξξξξξ→− −

∫ ∫=ae

eaekQk ddJN

,

1

12

1

11212121 ,,,,~~ yxφG , (3.47)

( )[ ] ( ) ( )( ) β

ξ

β ξξξξξξξξ→

−

∫ ∫=ae

eaektk ddJN

,

1

02

1

01212121

2

,,,,~~ yxφG , (3.48)

( )[ ] ( ) ( )( ) β

β ξξξξξξξξ→− −

∫ ∫=ae

eaekQk ddJN

,

1

12

1

11212121 ,,,,~~ yxqH , (3.49)

( )[ ] ( ) ( )( ) β

ξ

β ξξξξξξξξ→

−

∫ ∫=ae

eaektk ddJN

,

1

02

1

01212121

2

,,,,~~ yxqH , (3.50)

Τα παραπάνω ολοκληρώματα χαρακτηρίζονται ως ομαλά (non-singular) όταν ο κόμβος k, για τον οποίο γράφεται η ολοκληρωτική εξίσωση, δεν συμπίπτει με τον τρέχον κόμβο β, και ως ιδιόμορφα (singular) όταν οι δυο αυτοί κόμβοι ταυτίζονται. Πιο συγκεκριμένα όταν υφίσταται η τελευταία περίπτωση, τα ολοκληρώματα (3.47) και (3.48) παρουσιάζουν μια ασθενή ιδιομορφία (weak singularity) της τάξης του Ο(1 / r), ενώ τα (3.49) και (3.50) μια ισχυρή ιδιομορφία (strong singularity) της τάξης του Ο(1 / r2) και υπάρχουν με την έννοια της πρωτεύουσας τιμής κατά Cauchy (CPV). Τέλος στην εδική περίπτωση, όπου ο κόμβος k δεν συμπίπτει μεν με τον β, αλλά η ελάχιστη απόσταση του από το υπό ολοκλήρωση στοιχείο e είναι πολύ μικρότερη σε σχέση με τα μήκη των πλευρών του στοιχείου, τότε τα ολοκληρώματα χαρακτηρίζονται ως σχεδόν ιδιόμορφα (nearly singular) και χρειάζονται εδική αντιμετώπιση σε σχέση με τ’ απλά ομαλά ολοκληρώματα.

Στην παρούσα διατριβή τα ομαλά και τα σχεδόν ιδιόμορφα ολοκληρώματα αντιμετωπίζονται με ενιαίο τρόπο, με την μέθοδο Gauss-Legendre και τα σημεία ολοκλήρωσης προσδιορίζονται αυτόματα και με βέλτιστο τρόπο με την τεχνική προσαρμογής των σημείων ολοκλήρωσης του Bu (1997). Στα ασθενώς ιδιόμορφα ολοκληρώματα, η ιδιομορφία αίρεται με μετασχηματισμό και ολοκλήρωση σε πολικές συντεταγμένες, ενώ τα ισχυρώς ιδιόμορφα αντιμετωπίζονται με την μέθοδο του Guiggiani (1992). Η μέθοδος αυτή έχει προταθεί για την αντιμετώπιση των

3.3 Αριθμητικός υπολογισμός ολοκληρωμάτων 43

αντίστοιχων ισχυρά ιδιόμορφων ολοκληρωμάτων που παρουσιάζονται στην ολοκληρωτική εξίσωση της δυναμικής ελαστικότητας, αλλά μπορεί να εφαρμοσθεί αυτούσια και για τον υπολογισμό των ολοκληρωμάτων (3.49) και (3.50). Αυτό γίνεται γιατί το ισχυρώς ιδιόμορφο τμήμα του θεμελιώδους πυρήνα q~ (εξ. 3.10) είναι όμοιο με το αντίστοιχο της θεμελιώδους λύσης των επιφανειακών τάσεων στην δυναμική ελαστικότητα.

3.3.1 Ομαλά και σχεδόν ιδιόμορφα ολοκληρώματα

Όταν ο κόμβος k δεν συμπίπτει με τον κόμβο β, η μεταξύ τους απόσταση είναι διάφορη του μηδενός και συνεπώς οι ολοκληρωτέες ποσότητες συμπεριφέρονται ως ομαλές συναρτήσεις. Τα ομαλά αυτά ολοκληρώματα μπορούν να υπολογισθούν με μεγάλη ακρίβεια με την αριθμητική μέθοδο ολοκλήρωσης Gauss-Legendre. Λεπτομέρειες για την μέθοδο Gauss-Legendre κρίνεται σκόπιμο να μη δοθούν στο σημείο αυτό, αφού αυτές μπορούν να βρεθούν οπουδήποτε αλλού, όπως για παράδειγμα στο βιβλίο των Press et al. (1992). Συνοπτικά σύμφωνα με τη μέθοδο αυτή, το ολοκλήρωμα μιας ομαλής συνάρτησης στο διάστημα ολοκλήρωσης τα [–1, 1] ισούται με το άθροισμα των τιμών της συνάρτησης σε προκαθορισμένα σημεία πολλαπλασιασμένες με αντίστοιχα προκαθορισμένα βάρη.

Στα ολοκληρώματα (3.47) και (3.49), η εφαρμογή της μεθόδου Gauss-Legendre μπορεί να γίνει άμεσα και αυτό γιατί ικανοποιείται η απαίτηση της μεθόδου σχετικά με το διάστημα ολοκλήρωσης. Για την εφαρμογή όμως της μεθόδου στα (3.48) και (3.50), απαιτείται ένας επιπλέον μετασχηματισμός, ώστε τα διαστήματα ολοκλήρωσης να συμπέσουν με το διάστημα [-1, 1]. Για το λόγο αυτό, εισάγονται δυο νέες μεταβλητές γ1, γ2 που συνδέονται με τις τοπικές συντεταγμένες του τριγωνικού στοιχείου ως εξής:

( )( )

( )( )

( ) ( ) ,181

,1141

,1141

21121121

212

211

γγγγγγξξ

γγξ

γγξ

ddGdddd =+=

++=

−+=

(3.51)

όπου, G είναι το μέτρο της Ιακωβιανής του μετασχηματισμού.

Τελικά, σύμφωνα με την μέθοδο Gauss-Legendre και τον μετασχηματισμό (3.51) τα διπλά ολοκληρώματα (3.47)÷(3.50) γράφονται

( )[ ] ( ) ( )∑∑=2 1

,,,,~~ P

m

P

llm

elm

alm

eklm

Qk ssJssNssww yxφG β , (3.52)

( ) ( )[ ][ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )l

P

m

P

llm

elm

alm

eklm

tk sGssJssNssww∑∑=

2 1

212121 ,,,,~~ ξξξξξξβ yxφG , (3.53)

Κεφάλαιο 3: Μέθοδος συνοριακών στοιχείων στις τρεις διαστάσεις 44

( )[ ] ( ) ( )∑∑=2 1

,,,,~~ P

m

P

llm

elm

alm

eklm

Qk ssJssNssww yxqH β , (3.54)

( ) ( )[ ][ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )l

P

m

P

llm

elm

alm

eklm

tk sGssJssNssww∑∑=

2 1

212121 ,,,,~~ ξξξξξξβ yxqH , (3.55)

όπου sm και sl είναι τα σημεία Gauss στα οποία υπολογίζονται η ολοκληρωτέες συναρτήσεις, wm και wl τα αντίστοιχα βάρη με τα οποία πολλαπλασιάζονται, και Pi είναι οι συνολικοί αριθμοί των σημείων Gauss στην i-διεύθυνση ολοκλήρωσης,

Στην παρούσα διατριβή, αριθμός των σημείων Gauss ανά διεύθυνση ολοκλήρωσης, προσδιορίζεται αυτόματα και με βέλτιστο τρόπο μέσω της τεχνικής προσαρμογής των σημείων ολοκλήρωσης του Βu (1997). Σύμφωνα με την τεχνική αυτή τα σημεία Gauss που απαιτούνται για τον υπολογισμό των παραπάνω ολοκληρωμάτων με ένα σχετικό σφάλμα μικρότερο από 0.01%, μπορούν να προσδιορισθούν από την ακόλουθη σχέση:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

− 8.0

8.2INT1i

i LDP , (3.56)

όπου το σύμβολο ΙΝΤ υποδηλώνει το αμέσως μικρότερο ακέραιο, D είναι η ελάχιστη απόσταση του κόμβου υπολογισμού της λύσης από το υπό ολοκλήρωση στοιχείο, Li είναι το μέγιστο μήκος του στοιχείου στην i-διεύθυνση και η ελάχιστη τιμή των Pi είναι 4.

Το μειονέκτημα της μεθόδου του Bu, είναι ότι σε ακραίες περιπτώσεις είναι υπολογιστικά χρονοβόρα, εξαιτίας των μεγάλων τιμών των Pi. Σε αντίθεση, με τις άλλες μεθόδους της βιβλιογραφίας (Telles 1993; Huber et al. 1997), η μέθοδος του Bu είναι σχετικά πιο απλή με την έννοια ότι δεν χρειάζονται σημαντικοί υπολογισμοί για την εφαρμογή της. Επίσης ως πλεονέκτημα της μπορεί να θεωρηθεί ότι αντιμετωπίζει τόσο τα ομαλά όσο και τα σχεδόν ιδιόμορφα ολοκληρώματα με ενιαίο τρόπο.

3.3.2 Ασθενώς ιδιόμορφα ολοκληρώματα

Όταν οι κόμβοι k και β ταυτίζονται τα ολοκληρώματα QkkG~ και t

kkG~ ((3.47) και (3.48), αντίστοιχα) παρουσιάζουν μια ιδιομορφία της τάξης του Ο(1 / r). Η ασθενής αυτή ιδιομορφία μπορεί, ν’ αρθεί από την Ιακωβιανή του μετασχηματισμού ενός τοπικού καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων (n1, n2), σε ένα πολικό σύστημα συντεταγμένων (R, θ ) με κέντρο τον ιδιόμορφο κόμβο k (σχήμα 3.8). Στην περίπτωση του τετραγωνικού στοιχείου το τοπικό καρτεσιανό συστήμα συντεταγμένων (n1, n2) ταυτίζεται με το τοπικό σύστημα συντεταγμένων του στοιχείου (ξ1, ξ2) (σχήμα 3.8α), ενώ στο τριγωνικό στοιχείο (σχήμα 3.8b) απαιτείται ο μετασχηματισμός

3.3 Αριθμητικός υπολογισμός ολοκληρωμάτων 45

.30cos1

,30cos

,30tan

21o21

o2

2

o211

dndndd

nnn

=

=

−=

ξξ

ξ

ξ

(3.57)

Οι σχέσεις του μετασχηματισμού από το τοπικό καρτεσιανό (n1, n2) στο πολικό σύστημα συντεταγμένων (R, θ ) είναι οι ακόλουθες:

,,sin,cos

21

22

11

θθθ

ddRRdndnRnnRnn

s

s

=+=

+=

(3.58)

όπου ( ss nn 21 , ) είναι οι τοπικές συντεταγμένες του ιδιόμορφου κόμβου xk.

(a) (b)

Σχήμα 3.8: Μετασχηματισμός σε πολικές συντεταγμένες και χωρισμός σε τρίγωνα; α) τετραγωνικό και b) τριγωνικό στοιχείο.

Συνεπώς, με βάση την (3.55), τα ολοκληρώματα QkkG~ και t

kkG~ σε ενιαία μορφή γράφονται:

( )[ ] ( ) ( )( )

( )( )

,,~,,,,~~ 2

0 0

2

0 0

maxmax

∫ ∫∫ ∫ ==π θπ θ

θθθθθθ ddRRddRRJRJRNRRR

teaekkk GyxφG (3.59)

όπου J t είναι η Ιακωβιανή του μετασχηματισμού από το (ξ1, ξ2) στο (n1, n2) σύστημα συντεταγμένων και Rmax(θ) είναι η ακτινική συνιστώσα του περιγράμματος του στοιχείου για συγκεκριμένη πολική γωνία θ (σχήμα 3.8). Για να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα (3.59), η συνάρτηση Rmax(θ) πρέπει να εκφρασθεί σε αναλυτική μορφή ως προς την γωνία θ. Για το λόγο αυτό, το παραμετρικό τετραγωνικό και τριγωνικό στοιχείο χωρίζεται σε μια σειρά από τρίγωνα. Μάλιστα, στην παρούσα διατριβή χρησιμοποιούνται ορθογώνια τρίγωνα, έτσι ώστε οι μεταβολές της συνάρτησης Rmax(θ) να είναι πιο ομαλές. Ο συνολικός αριθμός των τριγώνων P όπως είναι

Κεφάλαιο 3: Μέθοδος συνοριακών στοιχείων στις τρεις διαστάσεις 46

προφανές εξαρτάται από την θέση του ιδιόμορφου κόμβου k. Συνεπώς, το ολοκλήρωμα (3.59) γράφεται:

( )( )

∑ ∫ ∫=

=P

p

R

kk

p

p

ddRR1 0

2

1

max

,~~ θ

θ

θ

θθGG , (3.60)

όπου θip είναι οι πολικές γωνίες των ακτινικών πλευρών του τρέχοντος τριγώνου p. Οι γωνίες θi

p

καθώς και η συνάρτηση Rmax(θ) δίνονται στο παράρτημα C. Τα ολοκληρώματα πάνω σε κάθε τρίγωνο στην (3.60) είναι πλέον ομαλά και μπορούν εύκολα να υπολογισθούν με τη μέθοδο Gauss-Legendre, φροντίζοντας το διάστημα ολοκλήρωσης να μετασχηματισθεί στο [-1, 1].

3.3.3 Ισχυρώς ιδιόμορφα ολοκληρώματα

Όταν οι κόμβοι k και β ταυτίζονται, τα ολοκληρώματα QkkH~ και t

kkH~ ((3.49) και (3.50), αντίστοιχα) παρουσιάζουν μια ισχυρή ιδιομορφία της τάξης του Ο(1 / r2) και αντιμετωπίζονται με την μέθοδο του Guiggiani (1992), όπως αυτή έχει προταθεί για τον υπολογισμό των αντίστοιχων ισχυρώς ιδιόμορφων ολοκληρωμάτων της δυναμικής ελαστικότητας.

Αρχικά τα ολοκληρώματα μετασχηματίζονται σε πολικές συντεταγμένες, ακολουθώντας τη διαδικασία που περιγράφηκε στην προηγούμενη παράγραφο για τον υπολογισμό των ασθενώς ιδιόμορφων ολοκληρωμάτων. Συνεπώς, αντίστοιχα με την (3.59) και την (3.60), τα Q

kkH~ και tkkH~

γράφονται:

∑=

=P

p

pkk

1

~~ HH , (3.61)

με

( )( )

∫ ∫=p

p

ddRRR

p2

1

max

0

,~~ θ

θ

θ

θθHH , (3.62)

( ) ( )[ ] ( ) ( ) RJRJRNRR teaek θθθθ ,,,,~,~ yxqH = , (3.63)

όπου pH~ είναι τα ολοκληρώματα πάνω σε κάθε τρίγωνο και ( )θ,~ RH είναι η ολοκληρωτέα ποσότητα των (3.49) και (3.50) εκφρασμένη στο πολικό σύστημα συντεταγμένων.

Στην (3.63) ο θεμελιώδης πυρήνας q~ ,

( ) ( ) ( ) ( )( )Iyxnyxnnyxyxq yyyyyy~,ˆ,ˆˆ,,~ GGG ∇⋅+∇⊗−⊗∇= , (3.64)

παρουσιάζει μια ισχυρή ιδιομορφία της τάξης του Ο(1 / r2) στους δυο πρώτους όρους του, ενώ ο τρίτος του όρος είναι ασθενώς ιδιόμορφος της τάξης του Ο(1 / r). Σύμφωνα με την μέθοδο του Guiggiani (1992), όλοι οι όροι της ποσότητας ( )θ,~ RF ,

3.3 Αριθμητικός υπολογισμός ολοκληρωμάτων 47

( ) ( )[ ] ( ) ( ) RJRJRNRR teaeks θθθθ ,,,,~,~ yxqF = , (3.65)

η οποία περιέχει το ισχυρά ιδιόμορφο τμήμα sq~ του θεμελιώδη πυρήνα q~ ,

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−−

⊗−⊗−−

−−=

xyxynn

xyxy

xyyxq yy ˆˆ

41,~

2πs , (3.66)

αναπτύσσονται σε σειρές Taylor στη γειτονιά του ιδιόμορφου σημείου xk. Τελικά, με την ανάπτυξη της ( )θ,~ RF σε σειρές Taylor η ολοκληρωτέα ποσότητα ( )θ,~ RH γράφεται:

( ) ( ) ( )1~

, OR

R =−θθ fH , (3.67)

όπου η ( )θf~ είναι μια συνάρτηση που έχει προκύψει από τη ανάπτυξη σε σειρά Taylor της

( )θ,~ RF και εξαρτάται μόνο από την πολική γωνία θ. Τόσο τα αναπτύγματα Taylor όσο και η

μορφή της συνάρτησης ( )θf~ δίνονται στο παράρτημα D. Το δεύτερο μέλος της (3.67) φανερώνει ότι η διαφορά των συναρτήσεων του πρώτου μέλους είναι μια ομαλά συμπεριφερόμενη συνάρτηση και συνεπώς, αν στην (3.62) αφαιρεθεί και προστεθεί η ποσότητα ( ) R/~ θf προκύπτει:

( ) ( )( ) ( )( )pp

RRp

p

p

p

p

ddRR

ddRR

R 2100

~~~~,~~ 2

1

max2

1

max

HHffHH +=+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−= ∫ ∫∫ ∫

θ

θ

θθ

θ

θ

θθθθθ , (3.68)

όπου το p1

~H , σύμφωνα με την (3.67), είναι πλέον ομαλό και υπολογίζεται με την Gauss-Legendre.

Το ολοκλήρωμα p2

~H εξακολουθεί να είναι ιδιόμορφο ως προς τη μεταβλητή R, αλλά στην μορφή που έχει πλέον γραφεί μπορεί εύκολα να υπολογιστεί με αναλυτική ολοκλήρωση και τελικά προκύπτει:

( ) ( )( ) θθβ

θθθ

θ

dRp

p

p ∫ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2

1

max2 ln~~ fH , (3.69)

όπου η συνάρτηση β(θ) δίνεται στο παράρτημα D. To (3.69) είναι πλέον ομαλό ολοκλήρωμα και υπολογίζεται με την μέθοδο Gauss-Legendre.

Τέλος πρέπει να αναφερθεί ότι στην παρούσα διατριβή, τα σημεία ολοκλήρωσης σε όλες τις Gauss-Legendre ολοκληρώσεις που γίνονται, τόσο στα ασθενώς όσο ισχυρώς ιδιόμορφα ολοκληρώματα, είναι 6×6.

Κεφάλαιο 3: Μέθοδος συνοριακών στοιχείων στις τρεις διαστάσεις 48

3.4 Πιστοποίηση αξιοπιστίας κώδικα ηλεκτρονικού υπολογιστή

Στο παρόν υποκεφάλαιο πιστοποιείται η αξιοπιστία του κώδικα ηλεκτρονικού υπολογιστή, ο οποίος αναπτύχθηκε σύμφωνα με την μεθοδολογία των συνοριακών στοιχείων στις τρεις διαστάσεις, όπως αυτή περιγράφηκε στα προηγούμενα υποκεφάλαια. Η πιστοποίηση του λογισμικού επιτυγχάνεται με την επίλυση μιας σειράς προβλημάτων σκέδασης ΗΜ ακτινοβολίας από διηλεκτρικά σωματίδια και με την σύγκριση των αριθμητικών αποτελεσμάτων με αντίστοιχα που προκύπτουν από την εφαρμογή γνωστών αναλυτικών ή ημι-αναλυτικών μεθόδων της βιβλιογραφίας.

Στα αριθμητικά παραδείγματα σκέδασης που ακολουθούν, το προσπίπτον ΗΜ κύμα είναι επίπεδο και το ηλεκτρικό του πεδίο Ε περιγράφεται από την σχέση:

( ) ( )xxdxE ⋅−= 3ˆˆ exikin e , (3.70)

με

21 ˆsinˆcosˆ xxd ττ += , (3.71)

όπου 321 ˆ,ˆ,ˆ xxx είναι τα μοναδιαία διανύσματα ενός καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων OX1X2X3, η αρχή του οποίου βρίσκεται στο κέντρο του σκεδαστή. Η εξίσωση (3.70) φανερώνει ότι το προσπίπτον ΗΜ κύμα διαδίδεται στην 3x διεύθυνση και το ηλεκτρικό του πεδίο Ε είναι

πολωμένο στην d διεύθυνση. Σύμφωνα με την εξίσωση (3.71), η διεύθυνση της πόλωσης d ανήκει στο X1 - X2 επίπεδο και καθορίζεται από την γωνία τ, η οποία αρχίζει να μετρά από τον X1 άξονα.

Τα αποτελέσματα των όλων των προβλημάτων που επιλύονται, αναφέρονται στην διαφορική διατομή σκέδασης, όπως αυτή δίνεται από την εξίσωση (2.83). Η διαφορική διατομή σκέδασης υπολογίζεται πάνω στο X3 - X1 επίπεδο ως συνάρτηση της γωνίας σκέδασης θ sc, με θ sc = 0ο να αντιστοιχεί στην διεύθυνση της απευθείας σκέδασης (forward direction).

3.4.1 Σκέδαση από σφαιρικό σωματίδιο

Θεωρούμε ένα απομονωμένο στον άπειρο χώρο διηλεκτρικό σφαιρικό σωματίδιο ακτίνας a (σχήμα 3.9(a)), με μια σχετική διηλεκτρική σταθερά ως προς τον περιβάλλοντα χώρο εr = 2.3716. Η αδιάστατη συχνότητα του προβλήματος είναι kexa = 2.5, όπου kex είναι ο κυματικός αριθμός του προσπίπτοντος κύματος στο μέσο διάδοσης.

Το πρόβλημα επιλύεται για δυο διαφορετικές πολώσεις του προσπίπτοντος κύματος, τις τ = 0ο και τ = 90ο, λαμβάνοντας υπόψη στην αριθμητική ανάλυση την συμμετρική γεωμετρία του σκεδαστή και τα συμμετρικά ή αντισυμμετρικά πεδία του προβλήματος ως προς τα καρτεσιανά επίπεδα X3 -X1 και X3 - X2. Πιο συγκεκριμένα για πόλωση με τ = 0ο, τα πεδία παρουσιάζουν μια συμμετρική συμπεριφορά ως προς το X3 - X1 επίπεδο και μια αντισυμμετρική ως προς το X3 - X2, ενώ όταν

3.4 Πιστοποίηση αξιοπιστίας κώδικα ηλεκτρονικού υπολογιστή 49

τ = 90ο τα πεδία είναι αντίστοιχα αντισυμμετρικά ως προς το X3 - X1 επίπεδο και συμμετρικά ως προς το X3 - X2. Συνεπώς και για τις δυο πολώσεις απαιτείται να διακριτοποιηθεί μόνο το ¼ της συνολικής επιφάνειας του σκεδαστή. Το πλέγμα των στοιχείων που χρησιμοποιείται φαίνεται στο σχήμα 3.9(b) και αποτελείται από 28 συνεχή επιφανειακά τριγωνικά στοιχεία, τα οποία αντιστοιχούν σ’ ένα συνολικό αριθμό 158 κόμβων και για τα δυο υποχωρία (εξωτερικά και εσωτερικά του σκεδαστή).

(α) (b)

Σχήμα 3.9: (a) Γεωμετρία του σκεδαστή και το προσπίπτον κύμα (b) πλέγμα στοιχείων.

Στο σχήμα 3.10 παρουσιάζεται η διαφορική διατομή σκέδασης (εξ. 2.83), κανονικοποιημένη με το τετράγωνο της ακτίνας του σκεδαστή a2, όπως αυτή υπολογίσθηκε με τον κώδικα συνοριακών στοιχείων, για τις δυο γωνίες πολώσεις τ = 0ο και τ = 90ο. Στο ίδιο σχήμα φαίνεται και η αναλυτική λύση του προβλήματος, όπως αυτή προκύπτει από την εφαρμογή της θεωρίας Mie (Bohern and Hoffman 1983). Συγκρίνοντας τις δυο καμπύλες του σχήματος είναι φανερή η πλήρη συμφωνία μεταξύ της αριθμητικής και της αναλυτική λύσης της θεωρίας Mie.

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.1

1

τ = 0o: Θεωρία Mie Παρούσα 3-D ΜΣΣ

τ = 90o: Θεωρία Mie Παρούσα 3-D ΜΣΣ

Κανονικοποιημένη διαφορική διατομή σκέδασης

Γωνία σκέδασης θ sc (μοίρες) Σχήμα 3.10: Διαφορική διατομή σκέδασης σφαιρικού σωματιδίου ακτίνας a, κανονικοποιημένη με a2, ως συνάρτηση της γωνίας σκέδασης θ sc πάνω στο Χ3 -Χ1 επίπεδο, (kexα= 2.5 και εr = 2.3716).

Κεφάλαιο 3: Μέθοδος συνοριακών στοιχείων στις τρεις διαστάσεις 50

3.4.2 Σκέδαση από σωματίδιο σε σχήμα φιστικιού

Το δεύτερο παράδειγμα πιστοποίησης, αφορά την σκέδαση ενός αξονοσυμμετρικού σωματιδίου σε σχήμα φιστικιού (peanut shaped), η επιφάνεια του οποίου πάνω στο X3 - X1 επίπεδο περιγράφεται σε πολικές συντεταγμένες (r, θ ) από την σχέση:

( ) ( ) πθθθαθ ≤≤+= 0,sincos 21

2222 br , (3.71)

όπου a and b είναι οι ακτίνες του σωματιδίου στους άξονες X3 και X1 αντίστοιχα και X3 είναι ο άξονας συμμετρίας του (σχήμα 3.11(a)). Το πρόβλημα επιλύεται για μια αδιάστατη συχνότητα kexa = 2, για έναν λόγο των δυο ημι-αξόνων a / b = 2, για μια σχετική διηλεκτρική σταθερά εr = 4 και για γωνίες πόλωσης τ = 0ο και τ = 90ο. Λαμβάνοντας υπόψη στην αριθμητική επίλυση την συμμετρία και την αντισυμμετρία των πεδίων ως προς τα επίπεδα X3 - X1 και X3 - X2, το ¼ της επιφάνειας του σωματιδίου διακριτοποιείται σε 26 συνεχή επιφανειακά τετραγωνικά στοιχεία με 9 κόμβους τα οποία αντιστοιχούν συνολικά σε 266 κόμβους (σχήμα 3.11(b)).

(a) (b)

Σχήμα 3.11: (a) Γεωμετρία του σκεδαστή και το προσπίπτον κύμα (b) πλέγμα στοιχείων.

Στο σχήμα 3.12 παρουσιάζεται η διαφορική διατομή σκέδασης (εξ. 2.83), κανονικοποιημένη με το τετράγωνο της ακτίνας του μεγάλου ημι-άξονα a2, ως συνάρτηση της γωνίας σκέδασης θ sc, για τ = 0ο και τ = 90ο. H διαφορική διατομή σκέδασης έχει υπολογισθεί, εκτός από την παρούσα ΜΣΣ, και με την ημι-αναλυτική μέθοδο generalized multipole technique (GMT), όπως αυτή εφαρμόσθηκε στην εργασία των Al-Rizzo and Tranquilla (1995). Από την σύγκριση των δυο καμπυλών, είναι φανερή η άριστη συμφωνία των αριθμητικών και ημι-αναλυτικών αποτελεσμάτων.

3.4 Πιστοποίηση αξιοπιστίας κώδικα ηλεκτρονικού υπολογιστή 51

0 20 40 60 80 100 120 140 160 1801E-3

0.01

0.1

1

τ = 0o: GMT Παρούσα 3-D ΜΣΣ

τ = 90o: GMT Παρούσα 3-D ΜΣΣ

Κανονικοποιημένη διφορική

διατομή

σκέδασης

Γωνία σκέδασης θ sc (μοίρες) Σχήμα 3.12: Διαφορική διατομή σκέδασης σωματιδίου σε σχήμα φιστικιού ημι-αξόνων a και b,

κανονικοποιημένη με a2, ως συνάρτηση της γωνίας σκέδασης θ sc πάνω στο Χ3 -Χ1 επίπεδο (kexα= 2, α / b = 2 και εr = 4).

3.4.3 Σκέδαση από κυβικό σκεδαστή

Με σκοπό να πιστοποιηθεί ο κώδικας συνοριακών στοιχείων σε προβλήματα όπου η γεωμετρία του σκεδαστή εμφανίζει ακμές και γωνίες, στην παρούσα παράγραφο παρουσιάζεται η σκέδαση ΗΜ ακτινοβολίας από έναν κυβικό σκεδαστή πλευράς L. Οι παράμετροι για τι οποίες επιλύεται το πρόβλημα είναι kexL = 5.0132 και εr = (2.59028 - i0.01288). Αντίστοιχα με τα προηγούμενα παραδείγματα το πρόβλημα επιλύεται για τις δυο πολώσεις τ = 0ο και τ = 90ο και συνεπώς λόγω της συμμετρίας το ¼ της επιφάνειας του κύβου διακριτοποιείται σε 112 συνεχή και μερικώς ασυνεχή επιφανειακά τετραγωνικά στοιχεία με 9 κόμβους τα οποία αντιστοιχούν συνολικά σε 1080 κόμβους και για τα δυο υποχωρία (εξωτερικά και εσωτερικά του σκεδαστή). Η γεωμετρία και το πλέγμα των στοιχείων φαίνονται στα σχήματα 3.13(a) και 3.13(b), αντίστοιχα.

Κεφάλαιο 3: Μέθοδος συνοριακών στοιχείων στις τρεις διαστάσεις 52

(a) (b)

Σχήμα 3.13: (a) Γεωμετρία του σκεδαστή και το προσπίπτον κύμα (b) πλέγμα στοιχείων.

Στο σχήμα 3.14 παρουσιάζεται η διαφορική διατομή σκέδασης (εξ. 2.83), η οποία έχει κανονικοποιηθεί με τετράγωνο της πλευράς του κύβου L2. Στην περίπτωση αυτή τα αριθμητικά αποτελέσματα βρίσκονται σε πολύ καλή συμφωνία με αυτά που προκύπτουν από την μέθοδο volume integral formulation στην εργασία των Hage et al. (1991).

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.01

0.1

1

τ = 0o: VIEF Παρούσα 3-D ΜΣΣ

τ = 90o: VIEF Παρούσα 3-D ΜΣΣ

Κανονικοποιημένη διαφορική διατομή σκέδασης

Γωνία σκέδασης θ sc (μοίρες) Σχήμα 3.14: Διαφορική διατομή σκέδασης κυβικού σκεδαστή πλευράς L, κανονικοποιημένη με L2, ως συνάρτηση της γωνίας σκέδασης θ sc πάνω στο Χ3 -Χ1 επίπεδο (kexL = 5.0132 και εr = (2.59028 -

i0.01288)).

3.4.4 Σκέδαση από κυλινδρικό σκεδαστή

3.4 Πιστοποίηση αξιοπιστίας κώδικα ηλεκτρονικού υπολογιστή 53

Στην παρούσα παράγραφο επιλύεται ένα πιο δύσκολο αριθμητικά πρόβλημα και αφορά την σκέδαση ΗΜ ακτινοβολίας από έναν κυλινδρικό σκεδαστή. Πράγματι, ο κύλινδρος μπορεί να θεωρηθεί μια σχετικά πιο σύνθετη γεωμετρία συγκρινόμενη με αυτή ενός κύβου (παράδειγμα 3.4.3), γιατί εκτός από τις ακμές συνδυάζει επίπεδες και καμπύλες επιφάνειες. Το πρόβλημα επιλύεται για τις παραμέτρους kexa = 1, α / b = 2 και εr = 4, όπου α είναι η ακτίνα του κυλίνδρου και 2b το ύψος του. Για την αριθμητική επίλυση, το ¼ της επιφάνειας του κυλίνδρου, διακριτοποιείται σε 114 συνεχή και μερικώς ασυνεχή επιφανειακά τετραγωνικά στοιχεία με 9 κόμβους τα οποία αντιστοιχούν συνολικά σε 1046 κόμβους. Η γεωμετρία του σκεδαστή και το πλέγμα των στοιχείων φαίνονται στο σχήματα 3.15(a) και 3.15(b), αντίστοιχα. Στο σχήμα 3.16 παρουσιάζεται η διαφορική διατομή σκέδασης (εξ. 2.83), κανονικοποιημένη με a2, ως συνάρτηση της γωνίας σκέδασης σκέδασης θ sc για τις πολώσεις με τ = 0ο και τ = 90ο. Στο ίδιο σχήμα φαίνονται τα αντίστοιχα αποτελέσματα όπως αυτά προκύπτουν από την μέθοδο της T-πίνακα προσέγγισης στην εργασία των Barber and Hill (1990). Από τις δυο καμπύλες του σχήματος προκύπτει ότι τα αποτελέσματα των δυο μεθόδων βρίσκονται σε καλή συμφωνία.

(a) (b)

Σχήμα 3.15: (a) Γεωμετρία του σκεδαστή και το προσπίπτον κύμα (b) πλέγμα στοιχείων.

Κεφάλαιο 3: Μέθοδος συνοριακών στοιχείων στις τρεις διαστάσεις 54

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.01

0.1

1

10

τ = 0o: Μέθοδος T-πίνακα προσέγγισης Παρούσα 3-D ΜΣΣ

τ = 90o: Μέθοδος T-πίνακα προσέγγισης Παρούσα 3-D ΜΣΣ

Κανονικοποιημένη διαφορική διατομή σκέδασης

Γωνία σκέδασης θ sc (μοίρες) Σχήμα 3.16: Διαφορική διατομή σκέδασης κυλινδρικού σκεδαστή ακτίνας a και ύψους 2b,

κανονικοποιημένη με a2, ως συνάρτηση της γωνίας σκέδασης θ sc πάνω στο Χ3 -Χ1 επίπεδο (kexa = 1, α / b = 2 και εr = 4).

3.4.5 Σκέδαση από σφαιρικό σωματίδιο με λεπτή επικάλυψη σταθερού πάχους

Το παρόν παράδειγμα πιστοποίησης αφορά την σκέδαση ενός σφαιρικού σωματιδίου ακτίνας a1, το οποίο επικαλύπτεται από μια ομόκεντρη σφαιρική επιφάνεια ακτίνας a2. Οι αδιάστατες συχνότητες του προβλήματος είναι kexa1 = 1.8 και kexa2 = 2.0 και οι διηλεκτρικές σταθερές των δυο υλικών είναι εr1 = (2 - i) για το σωματίδιο και εr2 = (4 - i2) για την επικάλυψη. Στο σχήμα 3.17(a) φαίνεται η γεωμετρία του σωματιδίου και οι διευθύνσεις του προσπίπτοντος κύματος, ενώ στο σχήμα 3.17(b) παρουσιάζεται το πλέγμα των στοιχείων που χρησιμοποιείται και το οποίο αποτελείται από 60 συνεχή επιφανειακά τετραγωνικά στοιχεία με 9 κόμβους τα οποία αντιστοιχούν σε 612 κόμβους και για τα τέσσερα υποχωρία. Επίσης, στο σχήμα 3.18 παρουσιάζεται η διαφορική διατομή σκέδασης (εξ. 2.83), κανονικοποιημένη με το τετράγωνο της ακτίνας της επικάλυψης a2

2, για τις πολώσεις με τ = 0ο και τ = 90ο. Τα αριθμητικά αποτελέσματα βρίσκονται σε πολύ καλή συμφωνία με τα αντίστοιχα αναλυτικά της θεωρίας Mie (Aden and Κerker 1951).

3.4 Πιστοποίηση αξιοπιστίας κώδικα ηλεκτρονικού υπολογιστή 55

(a) (b)

Σχήμα 3.17: (a) Γεωμετρία του σκεδαστή και το προσπίπτον κύμα (b) πλέγμα στοιχείων.

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0.01

0.1

1

τ = 0o: Θεωρία Mie Παρούσα 3-D ΜΣΣ

τ = 90o: Θεωρία Mie Παρούσα 3-D ΜΣΣ

Κανονικοποιημένη διαφορική διατομή σκέδασης

Γωνία σκέδασης θ sc (μοίρες) Σχήμα 3.18: Διαφορική διατομή σκέδασης σφαιρικού σωματιδίου ακτίνας a1 με λεπτή επικάλυψη ακτίνας a2, κανονικοποιημένη με a2

2, ως συνάρτηση της γωνίας σκέδασης θ sc πάνω στο Χ3 -Χ1 επίπεδο (kexa1 = 1.8, kexa2 = 2.0, εr1 = (2 - i) και εr2 = (4 - i2)).

3.4.6 Σκέδαση από διαμήκες σφαιροειδές σωματίδιο με ομόκεντρο διαμήκες σφαιροειδές έγκλεισμα

Στο παράδειγμα αυτό, επιλύεται το πρόβλημα της σκέδασης ΗΜ ακτινοβολίας από ένα διαμήκες σφαιροειδές σωματίδιο με μεγάλο και μικρό ημι-άξονα a1 και b1, αντίστοιχα. Το σωματίδιο εμπεριέχει ένα ομόκεντρο διαμήκες σφαιροειδές έγκλεισμα με ημι-άξονες a2 και b2 και η γεωμετρία του φαίνεται στο σχήμα 3.19(a). Το πρόβλημα επιλύεται για a1 / b1 = a2 / b2 = 2, kexa1 = 1,

Κεφάλαιο 3: Μέθοδος συνοριακών στοιχείων στις τρεις διαστάσεις 56

kexa2 = 2, εr1 = 1.092025 και εr2 = 1.205604. Λόγω της συμμετρίας του προβλήματος, το ¼ των επιφανειών του σωματιδίου και της επικάλυψης διακριτοποιούνται σε 88 στοιχεία που αντιστοιχούν σε 788 κόμβους για όλα τα υποχωρία (σχήμα 3.19(b)). Στο σχήμα 3.20, παρουσιάζεται η διαφορική διατομή σκέδασης (εξ. 2.83), κανονικοποιημένη με το τετράγωνο του μεγάλου ημι-άξονα της επικάλυψης a2

2, ως συνάρτηση ως συνάρτηση της γωνίας σκέδασης θ sc. Τα αριθμητικά αποτελέσματα, όπως αυτά προκύπτουν από την παρούσα ΜΣΣ συγκρίνονται με αυτά της ημι-αναλυτικής μεθόδου generalized point-matching technique (GPMT) (Tranquilla and Al Rizzo 1995) και παρουσιάζουν άριστη συμφωνία.

(a) (b)

Σχήμα 3.19: (a) Γεωμετρία του σκεδαστή και το προσπίπτον κύμα (b) πλέγμα στοιχείων.

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

1E-7

1E-6

1E-5

1E-4

1E-3

0.01

0.1

τ = 0o: GPMT Παρούσα 3-D ΜΣΣ

τ = 90o: GPMT Παρούσα 3-D ΜΣΣ

Κανονικοποιημένη διαφορική διατομή σκέδασης

Γωνία σκέδασης θ sc (μοίρες) Σχήμα 3.20: Διαφορική διατομή σκέδασης διαμήκoυς σφαιροειδούς σωματιδίου ημι-αξόνων a1 και b1 με ομόκεντρο διαμήκες σφαιροειδές έγκλεισμα ημι-αξόνων a2 και b2, κανονικοποιημένη με a2

2, ως συνάρτηση της γωνίας σκέδασης θ sc πάνω στο Χ3 -Χ1 επίπεδο (a1 / b1 = a2 / b2 = 2, kexa1 = 1,

kexa2 = 2, εr1 = 1.092025 και εr2 = 1.205604).

3.4 Πιστοποίηση αξιοπιστίας κώδικα ηλεκτρονικού υπολογιστή 57

3.4.7 Σκέδαση δέσμης ακτινοβολίας laser από σφαιρικό σωματίδιο

Το τελευταίο παράδειγμα πιστοποίησης αναφέρεται στην σκέδαση μιας δέσμης ακτινοβολίας laser με κυκλική διατομή (TEM00) από ένα σφαιρικό σωματίδιο ακτίνας a, το κέντρο του οποίου βρίσκεται στην αρχή των αξόνων Ο ενός καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων X1X2X3. Το κύριο χαρακτηριστικό μιας δέσμης ακτινοβολίας laser TEM00 είναι ότι το πλάτος ταλάντωσης του ηλεκτρικού πεδίου Εin(x) ακολουθεί μια κατανομή Gauss, όπως περιγράφεται στην παράγραφο 2.2.4. Στην συγκεκριμένη εφαρμογή η δέσμη του laser διαδίδεται κατά μήκος του άξονα X3 και το ηλεκτρικό της πεδίο Εin είναι πολωμένο κατά την 1x διεύθυνση. Η ακτίνα της κυκλικής διατομής της δέσμης, στο σημείο της εστίασης της Ο, είναι w0 = 1.5a. Στο σχήμα 3.21 φαίνεται η σχετική θέση του σφαιρικού σωματιδίου σε σχέση με την δέσμη του laser πάνω στο Χ1 -Χ3 επίπεδο. Το πρόβλημα επιλύεται για μια αδιάστατη συχνότητα kexa = 5 και για μια σχετική διηλεκτρική σταθερά εr = 1.21, χρησιμοποιώντας το πλέγμα των επιφανειακών στοιχείων του παραδείγματος 3.4.1. Τα αριθμητικά αποτελέσματα αναφέρονται στην παράμετρο Stokes S11, η οποία ορίζεται ως (Bohren and Huffman 1983):

( )24

23

22

2111 2

1 SSSSS +++= , (3.72)

όπου τα Sj (j = 1, 2, 3,4) είναι τα στοιχεία μητρώου πλατών σκέδασης, όπως περιγράφεται στην παράγραφο 2.3.2. Στο σχήμα 3.22 παρουσιάζεται η παράμετρος Stokes S11 ως συνάρτηση της γωνίας σκέδασης θ sc και τα αποτελέσματα του κώδικα συνοριακών στοιχείων συγκρίνονται με την αντίστοιχη αναλυτική λύση των Yeh et al. (1982). Επίσης στο ίδιο σχήμα φαίνεται και το S11 στοιχείο για την περίπτωση επίπεδου προσπίπτοντος κύματος. Γενικά τα αριθμητικά και τα αναλυτικά αποτελέσματα παρουσιάζουν ικανοποιητική συμφωνία, σημειώνοντας ότι οι μικρές διαφορές που εμφανίζονται οφείλονται κυρίως στο γεγονός ότι στην αναλυτική μέθοδο επίλυσης των Yeh et al η διαμήκης συνιστώσα του ηλεκτρικού πεδίου της δέσμης κατά την διεύθυνση διάδοσης, θεωρήθηκε αμελητέα.

Σχήμα 3.21: Γεωμετρία του προβλήματος: Σφαιρικός σκεδαστής ακτίνας α και δέσμη laser κυκλικής

διατομής (TEM00) ακτίνας w0 = 1.5a.

Κεφάλαιο 3: Μέθοδος συνοριακών στοιχείων στις τρεις διαστάσεις 58

0 20 40 60 80 100 120 140 160 1801E-3

0.01

0.1

1

10

100

Αναλυτική λύση Παρούσα 3-D ΜΣΣ Επίπεδο κύμα (Mie theory)

S 11

Γωνία σκέδασης θ sc (μοίρες)

Σχήμα 3.22: Παράμετρος Stokes S11 ως συνάρτηση της γωνίας σκέδασης θ sc, από έναν σφαιρικό σκεδαστή ακτίνας a, ακτινοβολούμενο από δέσμη laser τύπου TEM00 (kexa= 5 , εr= 1.21 και

w0 = 1.5a).

59

Κεφάλαιο 4

Αξονοσυμμετρική Μέθοδος Συνοριακών Στοιχείων

Στο κεφάλαιο αυτό περιγράφεται η αξονοσυμμετρική Μέθοδος Συνοριακών Στοιχείων (ΜΣΣ), όπως αυτή αναπτύχθηκε κατά τη διάρκεια της παρούσας διδακτορικής διατριβής και η οποία στη γενική περίπτωση εφαρμογής της αφορά μη-αξονοσυμμετρικές συνοριακές συνθήκες. Γενικά σε μια αξονοσυμμετρική ΜΣΣ, τα επιφανειακά ολοκληρώματα μιας τρισδιάστατης ολοκληρωτικής εξίσωσης υποβιβάζονται, με μετασχηματισμό σε κυλινδρικές συντεταγμένες, σε ολοκληρώματα κατά μήκος της γενέτειρας του αξονοσυμμετρικού σώματος και κατά μήκος της γωνίας περιστροφής του. Έτσι ένα τρισδιάστατο πρόβλημα, αναλύεται σε μια σειρά υποβιβασμένων γεωμετρικά κατά μια διάσταση προβλημάτων, και για την αριθμητική εφαρμογή της ΜΣΣ απαιτείται η διακριτοποίηση μόνο της γενέτειρας του αξονοσυμμετρικού σώματος. Τα βασικά χαρακτηριστικά της παρούσας μεθοδολογίας είναι, πρώτον η ανάπτυξη των μεταβλητών σε διακριτές μιγαδικές σειρές Fourier, δεύτερον ο ακριβής και ταχύτατος υπολογισμός των ολοκληρωμάτων ως προς την γωνία περιστροφής με τη βέλτιστη χρήση του αλγόριθμου ταχέως μετασχηματισμού Fourier (Fast Fourier Transform) (FFT) και τέλος ο ακριβής υπολογισμός των ιδιόμορφων ολοκληρωμάτων με την συνδυασμένη χρήση αφενός της μεθόδου του Guiggiani (1992), η οποία έχει προταθεί για τις τρεις διαστάσεις και προσαρμόσθηκε στην παρούσα αξονοσυμμετρική περίπτωση, και αφετέρου ενός μη περιοδικού αλγόριθμου FFT. Με την παρούσα μεθοδολογία, ο χρόνος υπολογισμού ενός μεσαίου μεγέθους προβλήματος σκέδασης ηλεκτρομαγνητικής (ΗM) ακτινοβολίας από ένα διηλεκτρικό σωματίδιο, μειώνεται περισσότερο από 80% σε σχέση με την αντίστοιχη τρισδιάστατη ανάλυση.

Το παρόν κεφάλαιο περιέχει τέσσερα υποκεφάλαια. Στο πρώτο, γίνεται η μαθηματική διατύπωση της αξονοσυμμετρικής ΜΣΣ. Πιο συγκεκριμένα οι συνοριακές ολοκληρωτικές εξισώσεις των Stratton and Chu, όπως αυτές προκύπτουν από τις αναπαραστάσεις (3.6) και (3.7), μετασχηματίζονται σε κυλινδρικό σύστημα συντεταγμένων και όλες οι ποσότητες που περιέχονται σε αυτές ανάγονται, με αναπτύγματα σειρών Fourier, σε ποσότητες που αναφέρονται μόνο στο

Κεφάλαιο 4: Αξονοσυμμετρική μέθοδος συνοριακών στοιχείων 60

επίπεδο ρ - z της γενέτειρας του αξονοσυμμετρικού σώματος. Στο δεύτερο κεφάλαιο παρουσιάζεται διεξοδικά η ΜΣΣ, όπως αυτή εφαρμόζεται για την αριθμητική επίλυση των μετασχηματισμένων σε κυλινδρικές συντεταγμένες συνοριακών ολοκληρωτικών εξισώσεων των Stratton and Chu και στο τρίτο η μεθοδολογία επίλυσης των ομαλών και ιδιόμορφων ολοκληρωμάτων που εμφανίζονται σε αυτές. Τέλος στο τέταρτο υποκεφάλαιο, επιλύεται μια σειρά γνωστών προβλημάτων σκέδασης ΗΜ ακτινοβολίας από αξονοσυμμετρικά διηλεκτρικά σωματίδια, με σκοπό να πιστοποιηθεί η αξιοπιστία του κώδικα ηλεκτρονικού υπολογιστή (Η/Υ), ο οποίος αναπτύχθηκε σύμφωνα με την προαναφερθείσα μεθοδολογία.

4.1 Μαθηματική διατύπωση της μεθόδου

Στο υποκεφάλαιο αυτό, περιγράφεται η κατάστρωση των αξονοσυμμετρικών συνοριακών ολοκληρωτικών εξισώσεων των Stratton and Chu, όπως αυτές προκύπτουν από τις αντίστοιχες αναπαραστάσεις (3.6) και (3.7), για ένα τρισδιάστατο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων και διατυπώνεται η αξονοσυμμετρική ΜΣΣ.

4.1.1 Αξονοσυμμετρική συνοριακή ολοκληρωτική εξίσωση

Θεωρούμε ένα αξονοσυμμετρικό ομογενή και ισότροπο διηλεκτρικό σκεδαστή όγκου V και επιφάνειας S, μέσα σε έναν άπειρα εκτεινόμενο χώρο, όπως φαίνεται στο σχήμα 4.1. Στο ίδιο σχήμα, έχουμε θεωρήσει δυο συστήματα συντεταγμένων, ένα καρτεσιανό (X1, X2, X3) και ένα κυλινδρικό (ρ, ϕ, z), η κοινή αρχή των οποίων βρίσκεται κάπου στο εσωτερικό του σώματος. Τα δυο αυτά συστήματα συντεταγμένων είναι τέτοια ώστε, ο άξονας συμμετρίας του σώματος z να ταυτίζεται με τον άξονα X3 του καρτεσιανού συστήματος, δηλαδή z ≡ X3.

3Xz ≡

Xx ≡

Σχήμα 4.1: Αξονοσυμμετρικό σώμα και τα συστήματα συντεταγμένων του.

4.1 Μαθηματική διατύπωση της μεθόδου 61

Για λόγους απλότητας και χωρίς βλάβη της γενικότητας, θα καταστρωθεί η αξονοσυμμετρική συνοριακή ολοκληρωτική εξίσωση που αφορά τον εξωτερικό χώρο του σκεδαστή. Σύμφωνα με την (3.6), το ολικό εξωτερικό πεδίο ( )xΨex σε ένα σημείο της επιφάνειας S δίνεται από την ακόλουθη ολοκληρωτική εξίσωση

∫ ∫ +⋅=⋅+⋅S S

IdSdS )()(),(~)(),(~)()(~ xUyTyxφyΨyxqxΨxc yy , (4.1)

όπου ο δείκτης “ex” έχει πλέον παραληφθεί. Μετασχηματίζοντας την παραπάνω ολοκληρωτική εξίσωση σε κυλινδρικές συντεταγμένες προκύπτει:

,)()(),(~

)(),(~)()(~

2

0

2

0

xUyTyxφ

yΨyxqxΨxc

yyy

yyy

Icπ

cc

πcccc

dd

dd

+Γ⋅

=Γ⋅+⋅

∫ ∫

∫ ∫

Γ

Γ

ϕρ

ϕρ (4.2)

όπου ο δείκτης “c” υποδηλώνει μεταβλητές εκφρασμένες στο κυλινδρικό σύστημα συντεταγμένων, ρy και ϕy είναι οι πολικές συντεταγμένες ενός σημείου y και Γ είναι μια γενέτειρα του αξονοσυμμετρικού σώματος (σχήμα 4.1). Όπως είναι φανερό από τις (4.1) και (4.2), το ολοκλήρωμα πάνω στην επιφάνεια S έχει αναλυθεί ισοδύναμα σε ένα ολοκλήρωμα κατά μήκος της γενέτειρας Γ και σε ένα ολοκλήρωμα ως προς την πολική γωνία ϕy, με όρια ολοκλήρωσης στο διάστημα [0, 2π]. Οι αντίστοιχες μεταβλητές στις (4.1) και (4.2) αλληλοσυνδέονται μέσω των παρακάτω σχέσεων:

)()(~)( aΨaDaΨ ⋅= Tc , (4.3)

)()(~)( aTaDaT ⋅= Tc , (4.4)

)()(~)( xUxDxU ITIc ⋅= , (4.5)

)(~)(~)(~)(~ xDxcxDxc ⋅⋅= Tc , (4.6)

)(~),(~)(~),(~ yDyxqxDyxq ⋅⋅= Tc , (4.7)

)(~),(~)(~),(~ yDyxφxDyxφ ⋅⋅= Tc , (4.8)

όπου ο δείκτης “T ” υποδηλώνει ανάστροφο τανυστή και ( )aD~ είναι ο τανυστής μετασχηματισμού από το κυλινδρικό στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων, ενός διανύσματος που είναι ορισμένο στο σημείο a. Σε μητρωική μορφή ο τανυστής μετασχηματισμού γράφεται ως εξής:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −=

1000cossin0sincos

)(~aa

aa

aD ϕϕϕϕ

. (4.9)

Κεφάλαιο 4: Αξονοσυμμετρική μέθοδος συνοριακών στοιχείων 62

4.1.2 Ανάπτυξη του προσπίπτοντος κύματος και των άγνωστων συνοριακών μεταβλητών σε σειρές Fourier

Το προσπίπτον κύμα UIc, το όποιο μπορεί να είναι είτε επίπεδο είτε μια δέσμη ακτινοβολίας Laser, αναπτύσσεται, ως προς την πολική γωνία ϕ, σε μιγαδική σειρά Fourier απείρων όρων, όπως ακολουθεί:

( ) ( )∑∞

−∞=

=n

inIn

Ic ez xxxUxU ϕρ , , (4.10)

όπου InU είναι οι συντελεστές Fourier. Από την (4.10) είναι φανερό ότι το προσπίπτον κύμα

γράφεται ισοδύναμα ως ένα άθροισμα απείρων αρμονικών n. Αριθμητικά η ανάπτυξη σε άπειρους όρους δεν είναι δυνατή και για το λόγο αυτό η συνάρτηση ουσιαστικά προσεγγίζεται δια μέσου της διακριτής μιγαδικής σειράς Fourier:

( ) ( )∑−=

≈c

c

n

nn

inIn

Ic ez xxxUxU ϕρ , , (4.11)

όπου η nc είναι μια αρμονική αποκοπής και αντιστοιχεί στον ελάχιστο αριθμό των αρμονικών που απαιτούνται για την ικανοποιητική με επιθυμητό σφάλμα προσέγγιση του προσπίπτοντος κύματος. Η nc προσδιορίζεται αριθμητικά έτσι ώστε, στο σημείο της γενέτειρας με το μέγιστο ρ, το μέτρο του συντελεστή Fourier I

ncU στην αρμονική αυτή να είναι μεγαλύτερο από την τιμή 10-2U0, όπου

U0 είναι το μέτρο ταλάντωσης της προσπίπτουσας ακτινοβολίας. Η τιμή της nc εξαρτάται από δυο παραμέτρους: από την γωνία που σχηματίζει η διεύθυνση πρόσπτωσης k με τον άξονα συμμετρίας του σκεδαστή z και από την αδιάστατη συχνότητα του προβλήματος kexa, όπου kex είναι ο κυματικός αριθμός του προσπίτοντος κύματος στο μέσο διάδοσης και a η χαρακτηριστική ακτίνα του σκεδαστή. Στο σημείο αυτό θα πρέπει ν’ αναφερθεί, ότι στην ειδική περίπτωση, όπου το κύμα είναι επίπεδο και η πρόσπτωση του παράλληλη με τον άξονα συμμετρίας z, τότε μόνο δυο αρμονικές, οι n = ±1, αρκούν να το περιγράψουν επακριβώς.

Ουσιαστικά, με την ανάπτυξη κατά Fourier της UΙc(x) επιτεύχθηκε να εκφρασθεί η τελευταία ως ένα άθροισμα (2nc+1) όρων. Ο κάθε όρος n, σχηματίζεται με το γινόμενο του αντίστοιχου συντελεστή Fourier ( )xxU zI

n ,ρ , δηλαδή μιας αξονοσυμμετρικής συνάρτησης, επί μιας αντίστοιχης εκθετικής συνάρτησης, στην οποία έχει περάσει πλέον η εξάρτηση από την πολική γωνία περιστροφής ϕ της αρχικής συνάρτησης UΙc(x).

Οι συντελεστές Fourier InU συνδέονται με την αναπτυσσόμενη συνάρτηση UIc δια μέσου των

παρακάτω ολοκληρωμάτων

( ) ( )∫ −=π

inIcIn dez

2

021, xxx

xxUU ϕπ

ρ ϕ . (4.12)

4.1 Μαθηματική διατύπωση της μεθόδου 63

Η (4.12) αποτελεί ουσιαστικά την σχέση ορισμού του μετασχηματισμού Fourier μιας συνεχούς περιοδικής συνάρτησης και για το λόγο αυτό οι συντελεστές Fourier I

nU μπορούν να υπολογιστούν, με μεγάλη ακρίβεια και ταυτόχρονα για όλες τις αρμονικές n, με τη χρήση του αλγόριθμου ταχέως μετασχηματισμού Fourier (FFT) (Cooley and Tukey 1965). Η χρήση του αλγόριθμου FFT, για τον υπολογισμό των ολοκληρωμάτων (4.12), έχει ως αποτέλεσμα την σημαντική μείωση του χρόνου υπολογισμού, ειδικά στην περίπτωση όπου ο αριθμός των αρμονικών n, που απαιτείται να ληφθεί υπόψη στην ανάλυση, είναι μεγάλος. Αυτό είναι εύκολα κατανοητό, αρκεί ν’ αναφερθεί ότι οι πράξεις που απαιτούνται να εκτελεστούν με έναν τυπικό αλγόριθμο FFT είναι της τάξης του Μlog2M, ενώ με μια οποιαδήποτε άλλη αριθμητική μέθοδο είναι της τάξης (2nc+1)Μ, όπου ο Μ πρέπει να είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του δύο και αντιστοιχεί στον αριθμό των ίσων τμημάτων στα οποία διαιρείται το διάστημα [0, 2π] για τον υπολογισμό των ολοκληρωμάτων με ζητούμενη ακρίβεια.

Στη συνέχεια, οι άγνωστες συνοριακές διανυσματικές συναρτήσεις Ψc(a) και Tc(a) που εμφανίζονται στην (4.2) αναπτύσσονται, με όμοιο τρόπο, σε διακριτή μιγαδική σειρά Fourier:

( )( )

( )( )∑

−= ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

≈⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ c

c

n

nn

in

n

n

c

c

ezz

a

aa

aa

TΨ

aTaΨ ϕ

ρρ

,,

, (4.13)

όπου Ψn και Tn είναι οι αντίστοιχοι συντελεστές Fourier των αναπτυσσόμενων συναρτήσεων. Όπως είναι φανερό από τις (4.11) και (4.13), οι αρμονικές που προέκυψαν από την ανάπτυξη του προσπίπτοντος κύματος είναι αυτές που καθορίζουν και τους όρους της σειράς (4.13).

Εισάγοντας τις σειρές (4.11) και (4.13) στην μετασχηματισμένη σε κυλινδρικές συντεταγμένες, συνοριακή ολοκληρωτική εξίσωση (4.2), και χρησιμοποιώντας την ορθογωνιότητα της εκθετικών συναρτήσεων einϕ, προκύπτει η ακόλουθη ολοκληρωτική εξίσωση για την αρμονική n με αγνώστους τους συντελεστές Ψn και Tn:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ),,,,~

,,~,~

2

0

2

0

xxyyyyy

yyyyyxx

UTyxφ

ΨyxqΨxc

zdzde

dzdez

Inn

πinc

n

πinc

nc

ρρϕρ

ρϕρρ

ϕ

ϕ

+Γ⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=Γ⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅

∫ ∫

∫ ∫

Γ

Γ (4.14)

όπου ϕ είναι η γωνία xy ϕϕϕ −= .

4.1.3 Αξονοσυμμετρική ολοκληρωτική εξίσωση εκφρασμένη στο ρ-z επίπεδο

Οι θεμελιώδεις λύσεις ( )yxq ,~c και ( )yxφ ,~c στην (4.14), είναι, όπως και όλες οι άλλες ποσότητες, εκφρασμένες σε κυλινδρικές συντεταγμένες και προφανώς εξαρτώνται και από τις πολικές γωνίες ϕy και ϕx των σημείων y και x. Λαμβάνοντας υπόψη, ότι αν η απόσταση |y - x| μετασχηματισθεί σε κυλινδρικές συντεταγμένες γράφεται ως εξής:

Κεφάλαιο 4: Αξονοσυμμετρική μέθοδος συνοριακών στοιχείων 64

( ) ( ) ( )[ ]( )[ ] ,μεcos2

sinsincoscos2/1222

2/1222

xyxyxyxy

xyxxyyxxyyxy

ϕϕϕϕρρρρ

ϕρϕρϕρϕρ

−=−+−+

=−+−+−=−

zz

zz (4.15)

τότε, πολύ εύκολα προκύπτει ότι η εξάρτηση των θεμελιωδών λύσεων ( )yxφ ,~ c και ( )yxq ,~c (όπως

προκύπτουν από τις (3.9) και (3.10), αντίστοιχα) από τις πολικές γωνίες ϕy και ϕx έχει την εξής μορφή:

( ) ( )( ) ( ).,,,,~,~

,,,,,~,~

ϕρρ

ϕρρ

yyxx

yyxx

qyxq

φyxφ

zz

zzcc

cc

=

= (4.16)

Με βάση την (4.16), η ολοκληρωτική εξίσωση (4.14) μπορεί να εκφρασθεί σε ποσότητες πού ορίζονται μόνο πάνω στο ρ - z επίπεδο, ως εξής:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫ΓΓ

+Γ⋅=Γ⋅+⋅ XUYTYXφYΨYXqXΨXc YYYYInnnnnn

c dd ,~,~~ ρρ (4.17)

με

( )( )

( )( )∫

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ π

inc

c

n

n de2

0 ,,~,,~

,~,~

ϕϕϕ ϕ

YXφYXq

YXφYXq

, (4.18)

όπου τα σημεία X(ρx, zx), Y(ρy, zy) είναι οι προβολές των σημείων x(ρx, ϕx, zx) και y(ρy, ϕy, zy), αντίστοιχα, ως προς την πολική γωνία ϕ πάνω στο ρ - z επίπεδο (σχήμα 4.1).

4.1.4 Τελικό σύστημα αξονοσυμμετρικών συνοριακών ολοκληρωτικών εξισώσεων

Μέχρις εδώ, ξεκινώντας από την (3.6), έγινε η κατάστρωση της αξονοσυμμετρικής συνοριακής ολοκληρωτικής εξίσωσης (4.17) που αναφέρεται στον εξωτερικό χώρο του σκεδαστή. Μια παρόμοια διαδικασία πρέπει να εφαρμοσθεί και στην εξίσωση (3.7) για το εσωτερικό του διηλεκτρικού σκεδαστή καθώς επίσης και στις συνοριακές συνθήκες (3.41). Εφαρμόζοντας κανείς αυτή τη διαδικασία, προκύπτει το τελικό σύστημα των αξονοσυμμετρικών εξισώσεων για κάθε αρμονική n:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )XUYTYXφYΨYXqXΨXc YYYYIn

exn

exn

exn

exn

exn

c dd +Γ⋅=Γ⋅+⋅ ∫∫ΓΓ

,~,~~ ρρ , (4.19)

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫ΓΓ

Γ⋅=Γ⋅+⋅− YYYY YTYXφYΨYXqXΨXcI dd inn

inn

inn

inn

inn

c ,~,~~~ ρρ , (4.20)

( ) ( ) ( )( ) ( )

Γ∈⎪⎭

⎪⎬⎫

=

⋅=X

XTXTXΨXQXΨ

exn

inn

exn

cinn

ζ

~ (4.21)

με

4.1 Μαθηματική διατύπωση της μεθόδου 65

( ) ( ) ( ) ( )XDXQXDXQ ~~~~ ⋅⋅= Tc . (4.22)

Το παραπάνω σύστημα των δυο ολοκληρωτικών εξισώσεων (4.19) και (4.20) σε συνδυασμό με τις συνοριακές συνθήκες (4.21) αποτελούν ένα καλά ορισμένο πρόβλημα συνοριακών τιμών, με αγνώστους τους συντελεστές Fourier Ψn και Tn και μπορεί να επιλυθεί αριθμητικά εφαρμόζοντας την ΜΣΣ.

4.2 Μέθοδος Συνοριακών Στοιχείων

Στο υποκεφάλαιο αυτό, περιγράφεται η αριθμητική επίλυση του συστήματος των αξονοσυμμετρικών συνοριακών ολοκληρωτικών εξισώσεων (4.19) και (4.20) εφαρμόζοντας την μεθοδολογία των συνοριακών στοιχείων. Αριθμητικά, το κύριο χαρακτηριστικό μιας αξονοσυμμετρικής ανάλυσης με μη-αξονοσυμμετρικές συνθήκες είναι το ότι, όσον αφορά τη γεωμετρικές μεταβλητές, οι οποίες είναι εκφρασμένες στο ρ - z επίπεδο, απαιτείται “αριθμητική τεχνολογία” δυο διαστάσεων ενώ για τις μεταβλητές του πεδίου, οι οποίες είναι εκφρασμένες στο κυλινδρικό σύστημα συντεταγμένων (ρ,ϕ,z), απαιτείται αντίστοιχη “τεχνολογία” τριών διαστάσεων.

Όπως και στο προηγούμενο υποκεφάλαιο, έτσι και σε αυτό η ΜΣΣ θα εφαρμοσθεί στην εξίσωση που ισχύει για τον εξωτερικό χώρο του σκεδαστή. Επίσης για λόγους απλότητας και χωρίς βλάβη της γενικότητας στην αριθμητική εφαρμογή της ΜΣΣ έχουμε θεωρήσει ότι η γενέτειρα του αξονοσυμμετρικού σώματος Γ ανήκει στο Χ1 -Χ3 επίπεδο, δηλαδή ρ - z ≡Χ1 -Χ3 και ϕx = 0. Αυτή η υπόθεση συνεπάγεται άμεσα, ότι η γωνία ϕ , που εμφανίζεται στην (4.15), είναι ταυτόσημη με τη

πολική γωνία ϕ του κυλινδρικού συστήματος και ο τανυστής μετασχηματισμού ( )xD~ με x ∈ Γ (εξ.

4.9) ταυτίζεται με το μοναδιαίο τανυστή I~ .

4.2.1 Διακριτοποίηση της γενέτειρας σε συνοριακά στοιχεία

Όπως και στις τρεις διαστάσεις (παράγραφος 3.2.1), το πρώτο βήμα για την αριθμητική επίλυση είναι η προσέγγιση της γεωμετρίας με μια σειρά από συνοριακά στοιχεία. Έστω ότι η γενέτειρα Γ διακριτοποιείται σε Ε μονοδιάστατα συνοριακά στοιχεία, έτσι ώστε:

∑=

Γ=ΓE

ee

1

. (4.23)

Συνεπώς η ολοκληρωτική εξίσωση (4.19) γράφεται:

Κεφάλαιο 4: Αξονοσυμμετρική μέθοδος συνοριακών στοιχείων 66

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ),,~

,~~

1

1

XUYTYXφ

YΨYXqXΨXc

YY

YY

In

E

e

en

en

E

e

en

enn

c

e

ee

e

ee

d

d

+Γ⋅

=Γ⋅+⋅

∑ ∫

∑ ∫

= Γ

= Γ

ρ

ρ

(4.24)

όπου ο δείκτης “ex” έχει παραληφθεί.

4.2.2 Μονοδιάστατα συνοριακά στοιχεία

Όπως και στην τρισδιάστατη ΜΣΣ (παράγραφος 3.2.2) το διάνυσμα θέσης Χ(ρΧ, zΧ) και τα άγνωστα διανυσματικά πεδία ( )zΨΨΨ ,, ϕρΨ και ( )zTTT ,, ϕρT προσεγγίζονται μέσα σε κάθε

στοιχείο με πολυωνυμικές συναρτήσεις. Αυτό επιτυγχάνεται με τον ορισμό Α κόμβων πάνω στο στοιχείο και με την εισαγωγή ενός τοπικού παραμετρικού συστήματος συντεταγμένων ξ1 που μετασχηματίζει το μονοδιάστατο στοιχείο σ’ ένα μοναδιαίο ευθύγραμμο τμήμα (σχήμα 4.2). Η τοπική συντεταγμένη ξ1 είναι ορισμένη έτσι ώστε να παίρνει τιμές στο διάστημα [-1, 1].

Σχήμα 4.2: Μετασχηματισμός στοιχείου στο τοπικό παραμετρικό σύστημα συντεταγμένων.

Τελικά, οι τιμές των συναρτήσεων Χ, Ψ και Τ προσεγγίζονται σε οποιοδήποτε σημείο ξ1 του στοιχείου μέσω των παρακάτω αθροισμάτων:

( )∑=

=A

a

aaΦ1

1 XX ξ , (4.25)

( )∑=

=A

a

aaN1

1 ΨΨ ξ , (4.26)

( )∑=

=A

a

aaN1

1 TT ξ , (4.27)

όπου Χα, aΨ και Τα είναι οι επικόμβιες τιμές των συναρτήσεων θέσης Χ και πεδίων Ψ , Τ, ενώ Φ και Ν είναι συναρτήσεις μορφής και παρεμβολής για μονοδιάστατα στοιχεία, των οποίων οι εκφράσεις τους δίνονται στο παράρτημα B. Στην παρούσα διατριβή χρησιμοποιούνται τόσο για την γεωμετρία όσο και για τα πεδία δευτεροβάθμια μονοδιάστατα συνοριακά στοιχεία, δηλαδή οι συναρτήσεις προσεγγίζονται με πολυώνυμα δευτέρου βαθμού ως προς την μεταβλητή ξ1 και ο αριθμός των κόμβων του στοιχείου είναι Α= 3.

4.2 Μέθοδος συνοριακών στοιχείων 67

Αντίστοιχα με τις τρεις διαστάσεις (παράγραφος 3.2.2), για την περιγραφή της γεωμετρίας του στοιχείου χρησιμοποιούνται συνεχή στοιχεία (σχήμα 4.3(a)), ενώ για την προσέγγιση των πεδίων εκτός από συνεχή χρησιμοποιούνται και μερικώς ή πλήρη ασυνεχή στοιχεία. Η μορφή ενός πλήρους ασυνεχούς στοιχείου φαίνεται στο σχήμα 4.3(b). Η ακριβής θέση των ακραίων κόμβων ενός ασυνεχούς στοιχείου καθορίζεται, όπως φαίνεται στο σχήμα 4.3(b), από τις αποστάσεις bi. Οι αποστάσεις αυτές προσδιορίζονται αριθμητικά και η βέλτιστη τιμή τους είναι η bi = 1 / 3 (Patterson and Sheikh 1984).

Σχήμα 4.3: Δευτεροβάθμιο μονοδιάστατο συνοριακό στοιχείο a) συνεχές b) πλήρες ασυνεχές.

Στην παρούσα εργασία, μερικώς ασυνεχή στοιχεία χρησιμοποιούνται για την αντιμετώπιση γωνιών, όπου δεν ορίζεται το μοναδιαίο κάθετο, καθώς επίσης και στα σημεία της γενέτειρας που βρίσκονται πάνω στο άξονα συμμετρίας z, όπου η ρ-συντεταγμένη είναι μηδέν. Στην τελευταία περίπτωση η χρήση μερικώς ασυνεχών στοιχείων είναι αναγκαία, διότι σε διαφορετική περίπτωση ο θεμελιώδης πυρήνας nq~ της ολοκληρωτικής εξίσωσης (4.17) μηδενίζεται, γεγονός που έχει ως συνέπεια την ακύρωση της συνεισφοράς των πηγών που κατανέμονται στην περιφερειακή διεύθυνση μέσω του ολοκληρώματος (4.18) σε σημεία πάνω στον άξονα συμμετρίας. Στο σημείο αυτό θα πρέπει ν΄ αναφερθεί ότι με τη χρήση μερικώς ασυνεχών στοιχείων σε γωνίες, αποφεύγεται ο υπολογισμός του τανυστή cc~ (όπως προκύπτει από την (3.8)), αφού στο εσωτερικό του στοιχείου το σύνορο είναι ομαλό και άρα ο σε κάθε περίπτωση γράφεται:

Ic ~21~ =c . (4.28)

4.2.3 Ιακωβιανή του μετασχηματισμού από το καρτεσιανό στο τοπικό παραμετρικό σύστημα συντεταγμένων

Σύμφωνα με τον μετασχηματισμό του καρτεσιανού στο τοπικό σύστημα συντεταγμένων, το ολικό διαφορικό dΓY

e γράφεται ως εξής:

( ) ( ) 1111 ξξξξ dJdd eee ==Γ J

Y, (4.29)

όπου J=J είναι το μέτρο της Ιακωβιανής του μετασχηματισμού και ισούται με

Κεφάλαιο 4: Αξονοσυμμετρική μέθοδος συνοριακών στοιχείων 68

( )2

1

2

11 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

ξξρξ

ddz

ddJ . (4.30)

Γεωμετρικά, οι ποσότητες που εμπλέκονται στο μετασχηματισμό από το ολικό στο τοπικό σύστημα συντεταγμένων φαίνονται στο σχήμα 4.4.

n

Σχήμα 4.4: Μετασχηματισμός από το ολικό στο τοπικό σύστημα συντεταγμένων.

4.2.4 Συναρμολόγηση εξισώσεων

Με τον ορισμό των κόμβων του στοιχείου η (4.24), η οποία αναφέρεται σε κάποιο συνοριακό σημείο Χ, μπορεί να γραφτεί για τον τυχαίο κόμβο k. Συνεπώς, με αντικατάσταση σε αυτήν των (4.25)÷(4.29), η (4.24) παίρνει την εξής μορφή:

( ) ( ) ( ) ( )kIn

E

e a

ean

neak

E

e a

ean

neak

kn XUTGΨHXΨ +⋅=⋅+ ∑∑∑∑

= == = 1

3

11

3

1

~~21 , (4.31)

με

( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) 1111

1

1

~~1

ξξξξρξ

dJN eanek

neak e gG

Y∫−

= , (4.32)

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )∫−

=1

11111

~~1

ξξξξρξ

dJN eanek

neak e hH

Y (4.33)

και

( ) ( ) ( )( )∫=π

ϕ ϕϕξξ2

011 ,,~~ deinekcn

ek YXφg , (4.34)

( ) ( ) ( )( )∫=π

ϕ ϕϕξξ2

011 ,,~~ deinekcn

ek YXqh . (4.35)

Αν εισάγουμε μια ολική αρίθμηση για τους κόμβους του πλέγματος, τότε στην (4.31) κάθε ζευγάρι τιμών (e, a) μπορεί να αντιστοιχισθεί σε έναν και μοναδικό κόμβο β της ολικής αρίθμησης και

4.2 Μέθοδος συνοριακών στοιχείων 69

συνεπώς το διπλό άθροισμα να αντικατασταθεί με ένα άθροισμα στον συνολικό αριθμό των κόμβων L:

( ) ( ) Ink

L

nnk

L

nnk

kn UTGΨHΨ +⋅=⋅+ ∑∑

== 11

~~21

β

ββ

β

ββ , (4.36)

όπου οι όροι ( )nkβG~ και ( )n

kβH~ προκύπτουν από το άθροισμα των ολοκληρωμάτων eakG~ και eakH~

(περισσότερα από ένα στην περίπτωση κοινών κόμβων μεταξύ γειτονικών συνεχών ή μερικώς ασυνεχών στοιχείων) που αντιστοιχούν, μέσω της (e, a)→β, στον κόμβο β.

Αν η διαδικασία αυτή που έγινε για τον τυχαίο κόμβο k γίνει για όλους τους κόμβους L, προκύπει ένα γραμμικό σύστημα αλγεβρικών εξισώσεων που έχει την ακόλουθη μητρωική μορφή:

( )( )

( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )LInLnLLnLn

LLn 33333

33

~21 UTGΨHI +⋅=⋅⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +

××

(4.37)

ή

( )[ ] ( )[ ] Innnnn UTGΨH +⋅=⋅ , (4.38)

όπου οι κάτω δείκτες στην (4.37) υποδηλώνουν τις διαστάσεις των μητρώων και των διανυσμάτων, τα μητρώα G(n) και H(n) περιέχουν όλα τα υπομητρώα που δίνονται από τις (4.32) και (4.33), αντίστοιχα, τα διανύσματα nΨ και Τn εμπεριέχουν τις όλες άγνωστες επικόμβιες συνιστώσες των

συντελεστών Fourier των αντίστοιχων συναρτήσεων και το διάνυσμα InU αποτελείται από τις

γνωστές επικόμβιες συνιστώσες των συντελεστών Fourier του προσπίπτοντος κύματος.

4.2.5 Εφαρμογή των συνοριακών συνθηκών και τελικό σύστημα εξισώσεων

Αντίστοιχα με τις τρεις διαστάσεις (παράγραφος 3.2.5), εφαρμόζοντας στην (4.20), η οποία αναφέρεται στο εσωτερικό του διηλεκτρικού σκεδαστή, μια παρόμοια διαδικασία με αυτή που εφαρμόσθηκε στην (4.19), εισάγοντας και πάλι τους δείκτες “ex” και “in” για να υποδηλώσουμε ποσότητες που αναφέρονται στον εξωτερικό και εσωτερικό χώρο του σκεδαστή, αντίστοιχα και ικανοποιώντας σε κάθε κόμβο τις συνοριακές συνθήκες (4.21), προκύπτει, για την αρμονική n, το τελικό σύστημα των αλγεβρικών εξισώσεων που έχει την ακόλουθη μορφή:

( ) ( )

( ) ( ) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

0U

TΨ

GQHGH I

nexn

exn

inn

cinn

exn

exn ~ (4.39)

ή ισοδύναμα

[ ] nnn BXA =⋅ , (4.40)

Κεφάλαιο 4: Αξονοσυμμετρική μέθοδος συνοριακών στοιχείων 70

όπου το μητρώο cQ περιέχει όλα τα υπομητρώα ( )xQc~ . Τα μητρώα An είναι μη συμμετρικά και πλήρη γεμάτα με μιγαδικά στοιχεία στην περίπτωση του ενός και ομογενούς σκεδαστή, ενώ όταν έχουμε περισσότερους από έναν σκεδαστές ή έναν με μη ομογενείς περιοχές, σε κάποια τμήματα των μητρώων υπάρχουν μηδενικά στοιχεία, γεγονός που λαμβάνονται υπόψη για την οικονομικότερη αποθήκευση τους. Είναι προφανές ότι η επίλυση των γραμμικών συστημάτων των αλγεβρικών εξισώσεων (4.40) πρέπει να γίνει ξεχωριστά για όλες τις αρμονικές n. Η επίλυση αυτή, όπως και στις τρεις διαστάσεις, γίνεται με την μέθοδο LU αποσύνθεση, κάνοντας χρήση των βιβλιοθηκων της IMSL (1994).

4.2.6 Υπολογισμός των πεδίων Ψ και T σε οποιοδήποτε επιφανειακό σημείο, του πεδίου Ψ σε εξωτερικά και εσωτερικά σημεία του σκεδαστή και των πλατών σκέδασης

Με την επίλυση του προβλήματος συνοριακών τιμών, οι συντελεστές Fourier nΨ και nT είναι πλέον γνωστοί πάνω σε όλους τους κόμβους του πλέγματος των στοιχείων. Ο υπολογισμός των πεδίων )(xΨ c και )(xT c , σε κυλινδρικές συντεταγμένες, σε οποιοδήποτε συνοριακό σημείο x(ρx,

ϕx, zx) γίνεται άμεσα με την εισαγωγή των συντελεστών Fourier nΨ και nT στα αναπτύγματα των σειρών (4.13).

Για τον υπολογισμό του πεδίου )(xΨ exc σε οποιοδήποτε σημείου x(ρx, ϕx, zx) εξωτερικά του

σκεδαστή, ακολουθείται η εξής διαδικασία. Αρχικά υπολογίζονται οι συντελεστές Fourier )(XΨexn

στο σημείο Χ(ρx, zx) του ρ − z επιπέδου, μέσω της (4.19) με Ic ~~ =c . Κατόπιν με αντικατάσταση αυτών στο πρώτο ανάπτυγμα της (4.13), ο υπολογισμός του ζητούμενου πεδίου είναι άμεσος. Αντίστοιχη διαδικασία ακολουθείται και για τον υπολογισμό του πεδίου )(xΨ in

c σε σημεία που βρίσκονται στο εσωτερικό του σκεδαστή, με μοναδική διαφορά ότι για τον υπολογισμό των συντελεστών Fourier χρησιμοποιείται η (4.20) με 0c ~~ =c .

Τέλος για τον υπολογισμό των πλατών σκέδασης οι ολοκληρωτικές εκφράσεις (3.16)÷(3.18), μετασχηματίζονται σε κυλινδρικές συντεταγμένες και τα ολικά πεδία )(yΨ ex

c και )(yT exc

αντικαθίστανται από τους αντίστοιχους συντελεστές Fourier των αναπτυγμάτων της (4.13).

4.2.7 Συμμετρία και αντισυμμετρία ως προς το επίπεδο Χ1-Χ2 του καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων

Σ’ ένα αξονοσυμμετρικό πρόβλημα, εκτός από την συμμετρία ως προς το άξονα περιστροφής z, με z ≡ X3., η γεωμετρία μπορεί να παρουσιάζει μια επιπλέον συμμετρία ως προς το επίπεδο Χ1 -Χ2 του καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων. Εφόσον και τα πεδία είναι συμμετρικά ή αντισυμμετρικά ως προς το επίπεδο αυτό, η επιπλέον αυτή συμμετρία μπορεί να ληφθεί υπόψη στην αριθμητική ανάλυση, με αποτέλεσμα ο χρόνος υπολογισμού καθώς και η μνήμη Η/Υ που

4.2 Μέθοδος συνοριακών στοιχείων 71

απαιτούνται για την επίλυση του προβλήματος, να μειωθούν σημαντικά. Η αριθμητική εφαρμογή της συμμετρίας ή της αντισυμμετρίας στην παρούσα αξονοσυμμετρική περίπτωση, είναι ακριβώς αντίστοιχη με αυτή των τριών διαστάσεων, όπως περιγράφηκε στην παράγραφο 3.2.7.

4.2.8 Συνοπτική παρουσίαση της αξονοσυμμετρικής μεθοδολογίας συνοριακών στοιχείων

Συνοπτικά, η παρούσα αξονοσυμμετρική μεθοδολογία συνοριακών στοιχείων αποτελείται από τα ακόλουθα βήματα:

(i) Ανάπτυξη του προσπίπτοντος κύματος σε διακριτή μιγαδική σειρά Fourier, υπολογισμός των συντελεστών Fourier I

nU και καθορισμός του αριθμού των αρμονικών n που πρέπει να ληφθούν υπόψη στην ανάλυση.

(ii) Επίλυση του προβλήματος συνοριακών τιμών το οποίο, αποτελείται από το σύστημα των εξισώσεων (4.19) και (4.20) και από τις συνοριακές συνθήκες (4.21), και υπολογισμός των συντελεστών Fourier ex

nΨ και exnT για όλες τις αρμονικές n.

(iii) Εισαγωγή των συντελεστών )(XΨ exn και )(XT ex

n στο ανάπτυγμα της σειράς (4.13) και

προσδιορισμός των εξωτερικών πεδίων )(xΨexc και )(xT ex

c , σε κυλινδρικές συντεταγμένες,

σε οποιοδήποτε συνοριακό σημείο x(ρx, ϕx, zx). Υπολογισμός των αντίστοιχων συνοριακών εσωτερικών πεδίων )(xΨ in

c και )(xT inc δια μέσου των συνοριακών συνθηκών (4.21), οι

οποίες ισχύουν εκτός από τους συντελεστές Fourier και για τα ολικά πεδία.

(iv) Υπολογισμός δια μέσου της ολοκληρωτικής εξίσωσης (4.19), αντικαθιστώντας Ic ~~ = , των συντελεστών )(XΨ ex

n για οποιοδήποτε σημείο Χ(ρx, zx) που βρίσκεται πάνω στο ρ - z

επίπεδο και έξω από τον σκεδαστή. Εισαγωγή των )(XΨexn στο πρώτο ανάπτυγμα της (4.13)

και προσδιορισμός του πεδίου )(xΨ exc σε οποιοδήποτε σημείου x(ρx, ϕx, zx) του εξωτερικού

χώρου. Ακριβώς με όμοιο τρόπο υπολογίζεται μέσου της (4.20) το πεδίο )(xΨ inc σε

οποιοδήποτε σημείο εσωτερικά του σκεδαστή.

(v) Υπολογισμός των πλατών σκέδασης δια μέσου των ολοκληρωτικών εκφράσεων (3.16)÷(3.18), με τον μετασχηματισμό τους σε κυλινδρικές συντεταγμένες και αντικαθιστώντας τα ολικά πεδία )(yΨ ex

c και )(yT exc με τους αντίστοιχους συντελεστές

Fourier από τα αναπτύγματα της (4.13).

Κεφάλαιο 4: Αξονοσυμμετρική μέθοδος συνοριακών στοιχείων 72

4.3 Αριθμητικός υπολογισμός ολοκληρωμάτων

Για την επιτυχή επίλυση ενός προβλήματος με την αξονοσυμμετρική ΜΣΣ είναι ιδιαίτερα κρίσιμος ο ακριβής και γρήγορος υπολογισμός των ολοκληρωμάτων (4.32) και (4.33) καθώς και των πυρήνων τους (4.34) και (4.35), που και αυτοί είναι ολοκληρώματα. Τα παραπάνω ολοκληρώματα, μέσω της αντιστοιχίας (e, a)→β, ισοδύναμα γράφονται:

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) β

ξβ ξξξξρ→−

∫=ae

eanek

nk dJNe

,

1111

1

1

~~1

gGY

, (4.41)

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) β

ξβ ξξξξρ→−

∫=ae

eanek

nk dJNe

,

1

11111

~~1

hHY

(4.42)

και

( ) ( ) ( )( )∫=π

ϕ ϕϕξξ2

011 ,,~~ deinekcn

ek YXφg , (4.43)

( ) ( ) ( )( )∫=π

ϕ ϕϕξξ2

011 ,,~~ deinekcn

ek YXqh . (4.44)

Αντίστοιχα με τις τρεις διαστάσεις (υποκεφάλαιο 3.3), τα ολοκληρώματα (4.41) και (4.42) χαρακτηρίζονται ως ομαλά (non-singular) όταν ο κόμβος k, για τον οποίο γράφεται η ολοκληρωτική εξίσωση, δεν συμπίπτει με τον τρέχον κόμβο β, και ως ιδιόμορφα (singular) όταν οι δυο κόμβοι ταυτίζονται. Πιο συγκεκριμένα όταν υφίσταται η τελευταία περίπτωση, το ολοκλήρωμα (4.41) παρουσιάζει μια ασθενή ιδιομορφία (weak singularity) της τάξης του Ο(1 / r), ενώ το (4.42) μια ισχυρή ιδιομορφία (strong singularity) της τάξης του Ο(1 / r2) και υπάρχει με την έννοια της πρωτεύουσας τιμής κατά Cauchy (CPV). Τέλος, όταν ο κόμβος k δεν συμπίπτει μεν με τον β, αλλά η ελάχιστη απόσταση του από το υπό ολοκλήρωση στοιχείο e είναι πολύ μικρότερη σε σχέση με το μήκος του στοιχείου, τότε τα ολοκληρώματα χαρακτηρίζονται ως σχεδόν ιδιόμορφα (nearly singular) και χρειάζονται εδική αντιμετώπιση σε σχέση με τ’ απλά ομαλά ολοκληρώματα.

Στην παρούσα διατριβή όλα τα παραπάνω ολοκληρώματα υπολογίζονται αριθμητικά, έτσι ώστε να μην υπάρξει βλάβη στη γενικότητα της μεθοδολογίας από περιορισμούς στη γεωμετρία, στη χρήση άλλου τύπου συνοριακών στοιχείων και στον συνολικό αριθμό των αρμονικών που μπορούν ν’ αναλυθούν. Όπως ήδη έχει αναφερθεί, ένα από τα σημαντικότερα πλεονεκτήματα της παρούσας μεθοδολογίας, είναι ο ταυτόχρονος υπολογισμός για όλες τις αρμονικές n, των ολοκληρωμάτων (4.43) και (4.44) ως προς τη γωνία περιστροφής, με τη χρήση του αλγόριθμου FFT. Μάλιστα, ο χρόνος υπολογισμού επιταχύνεται επιπλέον με τη βέλτιστη και αυτόματη επιλογή του συνολικού αριθμού των σημείων του αλγόριθμου FFT, με ζητούμενη ακρίβεια υπολογισμού των ολοκληρωμάτων. Όσον αφορά τα ιδιόμορφα ολοκληρώματα, αντιμετωπίζονται με τρόπο παρόμοιο με αυτόν μιας τρισδιάστατης διατύπωσης ΜΣΣ, σε αντίθεση με τις μέχρι τώρα μεθοδολογίες όπου ο υπολογισμός τους γίνεται με αναγωγή σε όρους μιας δυσδιάστατης διατύπωσης ΜΣΣ. Το μειονέκτημα των μεθόδων της βιβλιογραφίας είναι ότι, πρώτον δεν λαμβάνουν υπόψη την ιδιομορφία των πυρήνων (4.43) και (4.44) ως προς την περιφερειακή διεύθυνση και δεύτερον με

4.3 Αριθμητικός υπολογισμός ολοκληρωμάτων 73

την αναγωγή τους στις δυο διαστάσεις οι αντίστοιχες τεχνικές ολοκλήρωσης παρουσιάζουν προβλήματα στην εφαρμογή τους (Guiggiani and Casalini 1987), επειδή το ιδιόμορφο κομμάτι των πυρήνων προέρχεται από ολοκλήρωση και δεν είναι γνωστό σε αναλυτική μορφή. Πιο συγκεκριμένα για την αντιμετώπιση των ιδιόμορφων ολοκληρωμάτων γίνεται συνδυασμένη χρήση της μεθόδου του Guiggiani (1992), προσαρμοσμένης στην παρούσα αξονοσυμμετρική περίπτωση, και ενός μη περιοδικού αλγόριθμου FFT. Τέλος τα ομαλά και τα σχεδόν ιδιόμορφα ολοκληρώματα αντιμετωπίζονται με ενιαίο τρόπο, με την μέθοδο Gauss-Legendre και τα σημεία ολοκλήρωσης προσδιορίζονται αυτόματα και με βέλτιστο τρόπο με μια τεχνική προσαρμογής των σημείων ολοκλήρωσης, η οποία αναπτύχθηκε για την παρούσα αξονοσυμμετρική περίπτωση και είναι βασισμένη στην αντίστοιχη του Bu (1997) για τα ολοκληρώματα της τρισδιάστατης διατύπωσης της ΜΣΣ.

Στις παραγράφους 4.3.1 και 4.3.2 που ακολουθούν, περιγράφεται αναλυτικά η μεθοδολογία που ακολουθείται για τον υπολογισμό των ομαλών, των σχεδόν ιδιόμορφων και των ιδιόμορφων ολοκληρωμάτων.

4.3.1 Ομαλά και σχεδόν ιδιόμορφα ολοκληρώματα

Τα ολοκληρώματα (4.43) και (4.44) ως προς την περιφερειακή διεύθυνση υπολογίζονται ταυτόχρονα για όλες τις αρμονικές n εφαρμόζοντας την μεθοδολογία του αλγόριθμου FFT. Λεπτομέρειες για τον FFT κρίνεται σκόπιμο να μη δοθούν στο σημείο αυτό, αφού αυτές μπορούν να βρεθούν οπουδήποτε αλλού, όπως για παράδειγμα στο βιβλίο του Brigham (1974). Στο σημείο αυτό θα πρέπει ν’ αναφερθεί ότι όσον αφορά την υλοποίηση του αλγόριθμου FFT δεν αναπτύχθηκε λογισμικό αλλά για τους υπολογισμούς χρησιμοποιούνται οι βιβλιοθήκες της IMSL (1994).

Σύμφωνα με την μεθοδολογία του αλγόριθμου FFT, το διάστημα ολοκλήρωσης [0, 2π] διαιρείται σε M ίσα τμήματα που το καθένα από αυτά αντιστοιχεί σε μια βηματική γωνία Δϕ = 2π / M. Ο αριθμός M σ’ ένα τυπικό αλγόριθμο FFT απαιτείται να είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του δύο, δηλαδή M = 2p, όπου p ∈Ν, έτσι ώστε οι πράξεις που χρειάζονται να εκτελεστούν να είναι της τάξης του Μlog2M. Με τον τρόπο αυτό τα ολοκληρώματα (4.43) και (4.44) γράφονται ως εξής:

( ) ( ) ( )( ) ( )∑−

=

=1

0

/211 ,,~2~ M

m

Mnmim

ekcnek e

Mπϕξπξ YXφg , (4.45)

( ) ( ) ( )( ) ( )∑−

=

=1

0

/211 ,,~2~ M

m

Mnmim

ekcnek e

Mπϕξπξ YXqh , (4.46)

όπου οι θεμελιώδεις πυρήνες cφ~ και cq~ είναι πλέον ορισμένοι σε κάθε γωνία ϕm = mΔϕ.

Όπως είναι προφανές, η ακρίβεια αλλά και ο χρόνος υπολογισμού των ολοκληρωμάτων εξαρτώνται άμεσα από την τιμή του Μ. Για τη βέλτιστη αριθμητική εφαρμογή του αλγόριθμου FFT απαιτείται μια κατάλληλη επιλογή του Μ, έτσι ώστε το λάθος της ολοκλήρωσης να μην ξεπερνά κάποιο μέγιστο όριο αλλά και ο χρόνος υπολογισμού να είναι ο βέλτιστος δυνατός. Η τιμή

Κεφάλαιο 4: Αξονοσυμμετρική μέθοδος συνοριακών στοιχείων 74

του Μ για συγκεκριμένο μέγιστο λάθος εξαρτάται, πρώτον από το λόγο της μέγιστη (rmax) ως προς την ελάχιστη (rmin) απόστασης μεταξύ του σημείου Xk και των σημείων ( )m

e ϕξ ),( 1Yy , όπου τοποθετούνται οι πηγές για τον υπολογισμό της θεμελιώδους λύσης (σχήμα 4.5) και δεύτερον από το γινόμενο του κυματικού αριθμού Κ στο μέσο διάδοσης και της απόστασης rmax.

Σχήμα 4.5: Ελάχιστη και μέγιστη απόσταση μεταξύ του σημείου Χk και των πηγών.

Μια βέλτιστη και αυτόματη επιλογή των FFT σημείων μπορεί να γίνει σύμφωνα με την ακόλουθη σχέση:

( )

,025.0019.0

1937.17Log096.35.8INT,2

112.1

min

max

646.01093.2

max

min77.0max

5

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎥⎥⎦

⎤+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+==

−⋅

rr

rrKrpM p

(4.47)

όπου ο συμβολισμός INT υποδηλώνει προσέγγιση στον αμέσως μικρότερο ακέραιο και η ελάχιστη τιμή του Μ είναι ίση με 16. Η (4.47) βασίσθηκε σε μια παρόμοια σχέση η οποία έχει προταθεί τους Kuijpers et al. (1998) για ακουστικά πεδία και οι σταθερές της προέκυψαν έτσι ώστε η επιφάνεια που σχηματίζεται από την εξίσωση να προσεγγίζει την αντίστοιχη επιφάνεια που δημιουργούν τα δεδομένα μιας βάσης δεδομένων. Η βάση αυτή, για κάθε ζευγάρι των αδιάστατων μεταβλητών (rmax / rmin, Krmax), περιέχει τον αντίστοιχο ελάχιστο αριθμό των FFT σημείων Μmin που απαιτούνται έτσι ώστε τα σχετικά λάθη των ολοκληρωμάτων όλων των αρμονικών n να είναι μικρότερα από 0.01%. Η προαναφερθείσα βάση δεδομένων έχει κατασκευασθεί έτσι ώστε οι αδιάστατες μεταβλητές rmax / rmin και Krmax να παίρνουν τιμές στα διαστήματα [1, 500] και [0, 200], αντίστοιχα.

Όσον αφορά τα ολοκληρώματα (4.41) και (4.42), κατά μήκος της γενέτειρας Γ, μπορούν εύκολα να υπολογισθούν με τη χρήση της μεθόδου ολοκλήρωσης Gauss–Legendre. Έτσι τα παραπάνω ολοκληρώματα, παρόμοια με τις τρεις διαστάσεις (παράγραφος 3.31), γράφονται:

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )∑Λ

=

=1

~~l

lle

la

ln

eksnk wsJsNs

le gG

Yρβ , (4.48)

4.3 Αριθμητικός υπολογισμός ολοκληρωμάτων 75

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )∑Λ

=

=1

~~l

lle

la

ln

eksnk wsJsNs

le hH

Yρβ , (4.49)

όπου sl είναι τα σημεία Gauss στα οποία υπολογίζονται οι τιμές των συναρτήσεων, wl τα αντίστοιχα βάρη και Λ ο συνολικός αριθμός των σημείων Gauss. Ο αριθμός Λ μπορεί να προσδιορισθεί αυτόματα και με βέλτιστο τρόπο έτσι ώστε τα παραπάνω ολοκληρώματα να υπολογίζονται με ένα σχετικό σφάλμα μικρότερο από 0.01%, σύμφωνα με την ακόλουθη σχέση:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=Λ

− 03.1

2.2INT1e

ek

lD , (4.50)

όπου Dek είναι η ελάχιστη απόσταση μεταξύ του κόμβου k και του υπό ολοκλήρωση στοιχείου e, το μήκος του οποίου είναι le (σχήμα 4.5). Η ελάχιστη τιμή του Λ είναι 4 και η αδιάστατη μεταβλητή D / l έχει επιλεγεί έτσι ώστε να είναι μεγαλύτερη από 5⋅10-3. Η (4.50) ουσιαστικά αποτελεί την τεχνική προσαρμογής των σημείων ολοκλήρωσης για τον υπολογισμό των σχεδόν ιδιόμορφων ολοκληρωμάτων στην αξονοσυμμετρική ΜΣΣ και είναι αντίστοιχη με αυτή που έχει προταθεί από το Bu (1997) για τις τρεις διαστάσεις.

4.3.2 Ιδιόμορφα ολοκληρώματα

Όταν οι κόμβοι k και β ταυτίζονται, τα ολοκληρώματα (4.41) και (4.42) γίνονται αντίστοιχα ασθενώς και ισχυρώς ιδιόμορφα και για τον υπολογισμό τους χρησιμοποιείται μια ειδική τεχνική αντιμετώπισης ιδιόμορφων ολοκληρωμάτων.

Σύμφωνα με την τεχνική αυτή, ένα τρισδιάστατο συνοριακό στοιχείο, έστω abcd (σχήμα 4.6), δημιουργείται γύρω από την ιδιομορφία. Το στοιχείο αυτό, κατά την περιφερειακή διεύθυνση έχει αρχικά ένα μέγιστο πλάτος ίσο με το μήκος le του υπό ολοκλήρωση στοιχείου e. Δηλαδή αυτό που ουσιαστικά επιδιώκεται είναι το στοιχείο που δημιουργείται να είναι σχεδόν τετράγωνο. Το πλάτος του w(z) είναι τέτοιο ώστε να αντιστοιχεί σε μια σταθερή πολική γωνία 2ϕe = le /ρmax ∀ z ∈ Γe, όπου ρmax είναι η μέγιστη ρ κυλινδρική συντεταγμένη του στοιχείου e.

Σχήμα 4.6: Γεωμετρία του τρισδιάστατου στοιχείου που δημιουργείται για τις ιδιόμορφες

ολοκληρώσεις.

Κεφάλαιο 4: Αξονοσυμμετρική μέθοδος συνοριακών στοιχείων 76

Όπως και στα ομαλά ολοκληρώματα, το διάστημα [0, 2π] διαιρείται σε M ίσα τμήματα, τα οποία ορίζουν και τη βηματική γωνία Δφ= 2π / M. Ο αριθμός M προσδιορίζεται και εδώ αυτόματα χρησιμοποιώντας την (4.47), όπου τώρα η μέγιστη και η ελάχιστη απόσταση είναι αντίστοιχα

krX

ρ2max = και )cos(1(2min ekr ϕρ −=X

. Το τελικό πλάτος w(z) του στοιχείου abcd καθορίζεται

από την απαίτηση ενός μη περιοδικού αλγόριθμου FFT, που χρησιμοποιείται αμέσως μετά, και σύμφωνα με αυτή η πολική γωνία ϕe, πρέπει να είναι ακέραια πολλαπλάσια της βηματικής γωνίας Δφ. Σύμφωνα με τον περιορισμό αυτό η γωνία ϕe γίνεται ίση με jΔφ, όπου j είναι ένας ακέραιος τέτοιος ώστε j ≤ M / 2 και δίνεται από την ακόλουθη σχέση:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Δ

+=ϕ

ϕ ej INT1 . (4.51)

Το επόμενο βήμα είναι να διασπασθεί το ως προς ολοκλήρωση διάστημα [0, 2π] σε δύο τμήματα. Το πρώτο, από –jΔφ έως jΔφ, αντιστοιχεί στο δημιουργηθέντα στοιχείο abcd και το δεύτερο, από jΔφ έως 2π - jΔφ στο υπόλοιπο του αρχικού διαστήματος. Με τον τρόπο αυτό τα ολοκληρώματα (4.43) και (4.44) γράφονται:

( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )( ) ,~~~,~~~

21

21

nek

nek

nek

nek

nek

nek

hhh

ggg

+=

+= (4.52)

όπου k∈e και

( )( )

( )( )( )( )( )( )∫

Δ

Δ− ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ϕ

ϕ

ϕ ϕϕξϕξj

j

inekc

ekc

nek

nek de

,,~,,~

~~

1

11

1

YXqYXφ

hg

, (4.53)

( )( )

( )( )( )( )( )( )∫

Δ−

Δ ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ϕπ

ϕ

ϕ ϕϕξϕξj

j

inekc

ekc

nek

nek de

2

1

12

2

,,~,,~

~~

YXqYXφ

hg

. (4.54)

Τα ολοκληρώματα (4.41) και (4.42) με πυρήνες τους (4.53), έστω )1)((nkkG και )1)((n

kkH αντίστοιχα, αντιμετωπίζονται ως επιφανειακά ολοκληρώματα πάνω στο τρισδιάστατο στοιχείο abcd με τη χρήση της μεθόδου του Guiggiani (1992). Για την προσαρμογή της μεθόδου στην παρούσα αξονοσυμμετρική περίπτωση, εισάγεται μια δεύτερη τοπική μεταβλητή, έστω ξ2, με την οποία η πολική γωνία ϕ περιγράφεται μέσω της ακόλουθης γραμμικής σχέσης:

( ) [ ]1,1, 222 −∈Δ= ξξϕξϕ j . (4.55)

Με τον μετασχηματισμό αυτό τα ολοκληρώματα )1)((nkkG και )1)((n

kkH στο τοπικό επίπεδο ξ1 - ξ2 γράφονται ως εξής:

( )( )( ) ( )( ) ( )( )[ ] ( ) ( ) ( ) 211

1

1

1

11221

1 2

1

~,,~~ ξξξξξϕξξρ ϕξϕ

ξddJJNe eainekn

kk e∫ ∫− −

⋅= DyXφGY

, (4.56)

( )( )( ) ( )( ) ( )( )[ ] ( ) ( ) 21

1

1

1

11221

11

2

1

~,,~~ ξξξξϕξξρ ξϕξϕ

ξddJJNe ainekn

kk e∫ ∫− −

⋅= DyXqHY

, (4.57)

4.3 Αριθμητικός υπολογισμός ολοκληρωμάτων 77

όπου Jϕ = jΔϕ είναι η Ιακωβιανή του μετασχηματισμού (4.55). Στη συνέχεια, αντίστοιχα με τις τρεις διαστάσεις (παράγραφος 3.3.2), τα παραπάνω ολοκληρώματα μετασχηματίζονται ξανά σε ένα τοπικό πολικό σύστημα συντεταγμένων R - θ με αρχή αξόνων τον ιδιόμορφο σημείο Xk (σχήμα 4.7) και το παραμετρικό τετράγωνο ξ1 - ξ2 χωρίζεται σε P τρίγωνα, ανάλογα με τη θέση του κόμβου k.

Σχήμα 4.7: Τοπικά συστήματα συντεταγμένων του στοιχείου: παραμετρικό (ξ1 - ξ2), πολικό (R - θ ).

Με τον μετασχηματισμό στις πολικές συντεταγμένες τα ολοκληρώματα (4.56) και (4.57) γράφονται:

( )( ) ( )( )

∑∑ ∫ ∫==

==P

p

pP

p

Rn

kk

p

p

ddRRR11 0

1 ~,~~ 2

1

max

GGGθ

θ

θ

θθ , (4.58)

( )( ) ( )( )

∑∑ ∫ ∫==

==P

p

PP

p

Rn

kk

p

p

ddRRR11 0

1 ~,~~ 2

1

max

HHHθ

θ

θ

θθ , (4.59)

με

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]

( )[ ] ( )[ ]RRJJRN

eRRRRea

RinekRe

θξθξ

θξϕθξθξρθ

ϕ

θξϕθξ

,,

,~,,,,~,~

11

,221,

2

1

×

⋅= DyXφGY , (4.60)

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]

( )[ ] ( )[ ]RRJJRN

eRRRRea

RinekRe

θξθξ

θξϕθξθξρθ

ϕ

θξϕθξ

,,

,~,,,,~,~

11

,221,

2

1

×

⋅= DyXqHY , (4.61)

Στην (4.58) τα ολοκληρώματα πάνω σε κάθε τρίγωνο pG~ είναι πλέον ομαλά (η ιδιομορφία έχει αρθεί από την Ιακωβιανή R του μετασχηματισμού στις πολικές συντεταγμένες) και υπολογίζονται με την μέθοδο Gauss-Legendre.

Για τον υπολογισμό των ολοκληρωμάτων pH~ στην (4.59), αντίστοιχα με τις τρεις διαστάσεις (παράγραφος 3.3.3), το ιδιόμορφο κομμάτι ( )θ,~ RF της ολοκληρωτέας ποσότητας ( )θ,~ RH αναπτύσσεται σε σειρά Taylor στη γειτονιά του ιδιόμορφου σημείου Χk.και τελικά προκύπτει:

Κεφάλαιο 4: Αξονοσυμμετρική μέθοδος συνοριακών στοιχείων 78

( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )∑ ∫∑ ∫ ∫

==

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

P

p

P

p

Rn

kk

p

p

p

p

p

dRdRdR

R1

max

1 0

12

1

2

1

ln~~,~~ θ

θ

θ

θ

θ

θθβ

θθθθθ ffHH , (4.62)

όπου ( )θf~ είναι μια συνάρτηση που εξαρτάται μόνο από την πολική γωνία θ και προέκυψε από τα

αναπτύγματα Taylor όλων των όρων της ( )θ,~ RF . Τα αναπτύγματα αυτά καθώς και όλες οι άλλες ποσότητες που εμφανίζονται στην (4.62) δίνονται στο παράρτημα D. Τελικά όλα τα ολοκληρώματα της (4.62) είναι πλέον ομαλά και υπολογίζονται με την Gauss–Legendre.

Τα ολοκληρώματα που έχουν απομείνει ως προς υπολογισμό, είναι αυτά που αναφέρονται διάστημα (jΔφ, 2π - jΔφ) και είναι τα (4.41) και (4.42), έστω )2)((n

kkG και )2)((nkkH αντίστοιχα, με

πυρήνες τα ολοκληρώματα ( )( )2~ nekg , ( )( )2~ n

ekh της (4.54). Όλα τα παραπάνω ολοκληρώματα είναι ομαλά

και τα μεν )2)((nkkG και )2)((n

kkH υπολογίζονται με τη μέθοδο Gauss–Legendre, όπως ακριβώς

περιγράφηκε στην παράγραφο 4.3.1, ενώ τα ( )( )2~ nekg , ( )( )2~ n

ekh υπολογίζονται με τη χρήση ενός μη-περιοδικού αλγόριθμου FFT ταυτόχρονα για όλες τις αρμονικές n. Σύμφωνα με αυτόν, η ολοκλήρωση γίνεται ξανά στο διάστημα [0, 2π], όπως σ’ έναν τυπικό αλγόριθμο FFT (παράγραφος 4.3.1), μόνο που εδώ μηδενίζονται οι τιμές των ολοκληρωτέων ποσοτήτων που αντιστοιχών σε γωνίες ϕm που ανήκουν στο διάστημα (-jΔφ, jΔφ). Περισσότερες λεπτομέρειες για τον μη-περιοδικό αλγόριθμο FFT μπορούν να βρεθούν στο βιβλίο των Press et al. (1992) (σελ. 577-584).

4.4 Πιστοποίηση αξιοπιστίας κώδικα ηλεκτρονικού υπολογιστή

Στο υποκεφάλαιο αυτό, επιλύονται μια σειρά γνωστών προβλημάτων σκέδασης ΗΜ ακτινοβολίας από διηλεκτρικά σωματίδια, με σκοπό την πιστοποίηση της αξιοπιστίας του κώδικα ηλεκτρονικού υπολογιστή, ο οποίος αναπτύχθηκε με βάση την αξονοσυμμετρική μεθοδολογία συνοριακών στοιχείων, όπως αυτή αναλυτικά περιγράφηκε στα προηγούμενα υποκεφάλαια.

4.4.1 Σκέδαση από σφαιρικό σωματίδιο επίπεδου ΗΜ κύματος με διεύθυνση διάδοσης παράλληλη στον άξονα συμμετρίας

Θεωρούμε ένα απομονωμένο στον άπειρο χώρο διηλεκτρικό σφαιρικό σωματίδιο ακτίνας a, με μια σχετική ως προς τον περιβάλλοντα χώρο διηλεκτρική σταθερά εr = 1.1025, όπως επίσης και ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων OX1X2X3 ορισμένο στο κέντρο του. Το σωματίδιο ακτινοβολείται από ένα επίπεδο ΗΜ κύμα, το οποίο διαδίδεται κατά μήκος της διεύθυνσης του άξονα συμμετρίας 3x ενώ το ηλεκτρικό του πεδίο ταλαντώνεται με μοναδιαίο πλάτος κατά την

διεύθυνση 1x . Η αδιάστατη συχνότητα του προβλήματος είναι kexa = 50, όπου kex είναι ο κυματικός

4.4 Πιστοποίηση αξιοπιστίας κώδικα ηλεκτρονικού υπολογιστή

79

αριθμός του προσπίπτοντος κύματος στο μέσο διάδοσης. Για την αριθμητική επίλυση του προβλήματος η γενέτειρα του σκεδαστή διακριτοποιήθηκε σε 277 συνεχή και μερικώς ασυνεχή τρίκομβα συνοριακά στοιχεία, τα οποία αντιστοιχούν σ’ ένα σύνολο 554 κόμβων και για τα δυο υποχωρία (εξωτερικά και εσωτερικά του σκεδαστή). Η διακριτοποίηση της γενέτειρας έγινε με τέτοιο τρόπο, ώστε το μήκος των συνοριακών στοιχείων να αντιστοιχεί περίπου στο 1 / 5 του μήκους προσπίπτοντος κύματος.

Στη συγκεκριμένη αριθμητική εφαρμογή, η διαφορική διατομή σκέδασης υπολογίσθηκε σύμφωνα με την (2.83) πάνω στο X3 - X1 επίπεδο (παράλληλο επίπεδο σκέδασης). Τα αριθμητικά αποτελέσματα του προβλήματος, κανονικοποιημένα με το τετράγωνο της ακτίνας του σκεδαστή, παρουσιάζονται στο διάγραμμα του σχήματος 4.8, ως συνάρτηση της γωνίας σκέδασης θ sc, με θ sc = 0ο στην διεύθυνση της απευθείας σκέδασης (forward direction). Στο ίδιο διάγραμμα φαίνεται η αναλυτική λύση, όπως αυτή προκύπτει από την εφαρμογή της θεωρίας Mie (Bohern and Hoffman 1983). Από την σύγκριση των δυο καμπυλών είναι φανερή η πλήρη συμφωνία μεταξύ των αριθμητικών των αναλυτικών αποτελεσμάτων.

0 20 40 60 80 100 120 140 160 18010-7

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102

103

Θεωρία Mie Παρούσα αξονοσυμμετρική ΜΣΣ

Κανονικοποιημένη διαφορική διατομή σκέδασης

Γωνία σκέδασης θ sc (μοίρες) Σχήμα 4.8: Διαφορική διατομή σκέδασης σφαιρικού σωματιδίου ακτίνας a, κανονικοποιημένη με a2,

πάνω στο παράλληλο επίπεδο σκέδασης, ως συνάρτηση της γωνίας σκέδασης θ sc (kexα= 50, εr = 1.1025). Το σωματίδιο ακτινοβολείται από επίπεδο ΗΜ κύμα με διεύθυνση διάδοσης

παράλληλη στον άξονα συμμετρίας του.

4.4.2 Σκέδαση από σφαιρικό σωματίδιο επίπεδου ΗΜ κύματος με διεύθυνση διάδοσης κάθετη στον άξονα συμμετρίας

Με σκοπό να πιστοποιηθεί η αξιοπιστία της μεθόδου, στην περίπτωση όπου ένας μεγάλος αριθμός αρμονικών πρέπει να ληφθούν υπόψη στην ανάλυση, το παράδειγμα της προηγούμενης

Κεφάλαιο 4: Αξονοσυμμετρική μέθοδος συνοριακών στοιχείων

80

παραγράφου επιλύεται ξανά εδώ, με τη μόνη διαφορά ότι τώρα το προσπίπτον κύμα διαδίδεται κάθετα στον άξονα συμμετρίας z, έστω κατά την 1x διεύθυνση, ενώ είναι πολωμένο κατά την 3x . Αριθμητικά, η θεώρηση αυτή παρουσιάζει μεν το μειονέκτημα της ανάλυσης των πολλών αρμονικών, συνολικά 113 αρμονικές, αλλά παρουσιάζει και το πλεονέκτημα μιας επιπλέον συμμετρίας. Πιο συγκεκριμένα, η γεωμετρία είναι συμμετρική ως προς το Χ1 -Χ2 επίπεδο ενώ τα πεδία είναι αντισυμμετρικά ως προς το επίπεδο αυτό και έτσι για την αριθμητική επίλυση του προβλήματος του αρκεί η διακριτοποίηση μόνο της μισής γενέτειρας του σώματος.

Όπως και στο προηγούμενο παράδειγμα, έτσι και εδώ, υπολογίστηκε η διαφορική διατομή σκέδασης (εξ. 2.83) πάνω στο X3 - X1 επίπεδο (παράλληλο επίπεδο σκέδασης), ως συνάρτηση της γωνίας σκέδασης θ sc, με θ sc = 0ο στην διεύθυνση της απευθείας σκέδασης (forward direction). Τα αποτελέσματα, κανονικοποιημένα με a2, παρουσιάζονται στο σχήμα 4.9 και συγκρίνονται με αυτά θεωρίας Mie, όπου η άριστη συμφωνία τους είναι φανερή.

0 20 40 60 80 100 120 140 160 18010-7

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102

103

Θεωρία Mie Παρούσα αξονοσυμμετρική ΜΣΣ

Κανονικοποιημένη διαφορική διατομή σκέδασης

Γωνία σκέδασης θ sc (μοίρες) Σχήμα 4.9: Διαφορική διατομή σκέδασης σφαιρικού σωματιδίου ακτίνας a, κανονικοποιημένη με a2,

πάνω στο παράλληλο επίπεδο σκέδασης, ως συνάρτηση της γωνίας σκέδασης θ sc (kexα= 50, εr = 1.1025). Το σωματίδιο ακτινοβολείται από επίπεδο ΗΜ κύμα με διεύθυνση διάδοσης κάθετη

στον άξονα συμμετρίας του.

4.4.3 Σκέδαση από σφαιρικό σωματίδιο με ομόκεντρο σφαιρικό έγκλεισμα

Το τρίτο παράδειγμα πιστοποίησης, αναφέρεται στην σκέδαση ενός επίπεδου ΗΜ κύματος από ένα σφαιρικό σωματίδιο, ακτίνας a1, το οποίο εμπεριέχει ένα ομόκεντρο σφαιρικό έγκλεισμα ακτίνας a2. Τόσο το σωματίδιο όσο και το έγκλεισμα είναι διηλεκτρικά υλικά, με σχετικές διηλεκτρικές

4.4 Πιστοποίηση αξιοπιστίας κώδικα ηλεκτρονικού υπολογιστή

81

σταθερές εr1 = 1.1 και εr2 = 2.0, αντίστοιχα. Η ΗΜ ακτινοβολία είναι ένα επίπεδο ηλεκτρικό κύμα με διεύθυνση διάδοσης 3x και πόλωση 1x . Οι αδιάστατες συχνότητες του προβλήματος είναι kexa1 = 12.0 για το σωματίδιο και kexa2 = 4.8 για το έγκλεισμα. Για την αριθμητική επίλυση, οι δυο γενέτειρες, του σωματιδίου και του εγκλείσματος, διακριτοποιούνται σε 84 δευτεροβάθμια μονοδιάστατα στοιχεία, τα οποία αντιστοιχούν σε ένα σύνολο 172 κόμβων. Στο σχήμα 4.10 παρουσιάζεται η διαφορική διατομή σκέδασης (εξ. 2.83) κανονικοποιημένη με a1

2, υπολογισμένη στο παράλληλο (Χ3 -Χ1) και στο κάθετο (Χ3 -Χ2) επίπεδο σκέδασης, ως συνάρτηση της γωνίας σκέδασης θ sc. Και εδώ τα αριθμητικά αποτελέσματα βρίσκονται σε άριστη συμφωνία με την αναλυτική λύση, όπως αυτή προέκυψε με την χρήση της θεωρίας Mie (Aden and Kerker 1951).

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

1E-4

1E-3

0.01

0.1

1

10

X3-X1 επίπεδο: θεωρία Mie Παρούσα αξονσυμμερτική ΜΣΣX3-X2 επίπεδο: θεωρία Mie Παρούσα αξονσυμμερτική ΜΣΣ

Κανονικοποιημένη διαφορική διατομή σκέδασης

Γωνία σκέδασης θ sc (μοίρες) Σχήμα 4.10: Διαφορική διατομή σκέδασης σφαιρικού σωματιδίου ακτίνας a1 με ομόκεντρο σφαιρικό

έγκλεισμα ακτίνας a2, κανονικοποιημένη με a12, ως συνάρτηση της γωνίας σκέδασης θ sc

(kexa1 = 12.0, kexa2 = 4.8, εr1 = 1.1 και εr2 = 2.0).

4.4.4 Σκέδαση από διαμήκες σφαιροειδές σωματίδιο με πολύ λεπτή επικάλυψη σταθερού πάχους

Στο παράδειγμα αυτό, επιλύεται το πρόβλημα της σκέδασης ΗΜ ακτινοβολίας από ένα διαμήκες σφαιροειδές σωματίδιο, με μεγάλο και μικρό ημι-άξονα a1 και b1, αντίστοιχα. Το σωματίδιο επικαλύπτεται από μια ομόκεντρη διαμήκη σφαιροειδή επικάλυψη με ημι-άξονες a2 και b2. Το πρόβλημα έχει επιλυθεί για a1 / b1 = a2 / b2 = 1.88, kexa1 = 12.5891, kexa2 = 12.9952, εr1 = 1.092025 και εr2 = 1.205604, ενώ το προσπίπτον κύμα διαδίδεται παράλληλα με το άξονα συμμετρίας z του σωματιδίου. Οι δυο γενέτειρες του σωματιδίου και της επικάλυψης, διακριτοποιούνται σε 104 δευτεροβάθμια μονοδιάστατα στοιχεία, τα οποία αντιστοιχούν σε ένα σύνολο 212 κόμβων. Στο σχήμα 4.11, παρουσιάζεται η διαφορική διατομή σκέδασης (εξ. 2.83), κανονικοποιημένη με το

Κεφάλαιο 4: Αξονοσυμμετρική μέθοδος συνοριακών στοιχείων

82

τετράγωνο του μεγάλου ημι-άξονα της επικάλυψης a22, υπολογισμένη πάνω στο παράλληλο

επίπεδο σκέδασης, ως συνάρτηση ως συνάρτηση της γωνίας σκέδασης θ sc. Τα αριθμητικά αποτελέσματα, όπως αυτά προκύπτουν από την παρούσα αξονοσυμμετρική ΜΣΣ συγκρίνονται με αυτά της ημι-αναλυτικής μεθόδου generalized point-matching technique (GPMT) (Tranquilla 1995).

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

1E-7

1E-6

1E-5

1E-4

1E-3

0.01

0.1

1

GPMT Παρούσα αξονοσυμμετρική ΜΣΣ

Κανονικοποιημένη διαφορική διατομή σκέδασης

Γωνία σκέδασης θ sc (μοίρες) Σχήμα 4.11: Διαφορική διατομή σκέδασης διαμήκoυς σφαιροειδούς σωματιδίου ημι-αξόνων a1 και

b1 με ομόκεντρη διαμήκη σφαιροειδή πολύ λεπτή επικάλυψη ημι-αξόνων a2 και b2, κανονικοποιημένη με a2

2, πάνω στο παράλληλο επίπεδο σκέδασης, ως συνάρτηση της γωνίας σκέδασης θ sc (a1 / b1 = a2 / b2 = 1.88, kexa1 = 12.5891, kexa2 = 12.9952, εr1 = 1.092025 και

εr2 = 1.205604).

4.4.5 Πολλαπλή σκέδαση από δυο όμοια σφαιρικά σωματίδια

Το τελευταίο παράδειγμα πιστοποίησης, αφορά την πολλαπλή σκέδαση ΗΜ ακτινοβολίας από δυο όμοια σφαιρικά σωματίδια, ακτίνας a και σχετικής διηλεκτρικής σταθεράς εr = (2.592 - i 0.001288). Οι δυο σκεδαστές είναι συμμετρικά τοποθετημένοι πάνω στον X3 άξονα ενός καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων, όπως φαίνεται στο σχήμα 4.11. Η απόσταση των κέντρων των δυο σφαιρών s, αντιστοιχεί σε μια αδιάστατη παράμετρο kexs = 8.030. Το προσπίπτον κύμα είναι επίπεδο, με μια αδιάστατη συχνότητα kexα= 3.083 και διαδίδεται στην 1x διεύθυνση, ενώ η

πόλωση του d προσδιορίζεται από την γωνία τ που σχηματίζει με τον X2 άξονα (σχήμα 4.12). Το πρόβλημα αυτό, έχει επιλυθεί για δυο διαφορετικές διευθύνσεις πόλωσης, την τ = 0ο και την τ = 90ο. Λαμβάνοντας υπόψη στην αριθμητική ανάλυση, την καρτεσιανή συμμετρία του προβλήματος ως προς το Χ1 -Χ2 επίπεδο (συμμετρική γεωμετρία, συμμετρικά και αντισυμμετρικά πεδία για τ = 0ο

4.4 Πιστοποίηση αξιοπιστίας κώδικα ηλεκτρονικού υπολογιστή

83

και τ = 90ο, αντίστοιχα), διακριτοποιήθηκε μόνο η γενέτειρα της μιας από τις δυο σφαίρες, σε 16 δευτεροβάθμια στοιχεία, που αντιστοιχούν σε 34 συνολικά κόμβους.

1x

Σχήμα 4.12: Δυο όμοιες σφαίρες ακτινοβολούμενες από ένα ΗΜ επίπεδο κύμα: γεωμετρία.

Στο σχήμα 4.13, παρουσιάζεται η διαφορική διατομή σκέδασης (εξ. 2.83), κανονικοποιημένη με α2, υπολογισμένη πάνω στο Χ1 -Χ2 επίπεδο, ως συνάρτηση της αζιμουθιακής γωνίας σκέδασης ϕ. Τ’ αριθμητικά αποτελέσματα συγκρίνονται με τις πειραματικές μετρήσεις που έγιναν από τους Wang and Gustafson (1984). Με δεδομένο ότι η σύγκριση γίνεται με πειραματικά μετρήσεις η συμφωνία μεταξύ αριθμητικών και πειραματικών αποτελεσμάτων κρίνεται πάρα πολύ καλή.

0 20 40 60 80 100 120 140 160 1801E-3

0.01

0.1

1

10

100

τ = 0ο : Παρούσα αξ. ΜΣΣ Πειραματικές μετρήσεις

τ = 90ο: Παρούσα αξ. ΜΣΣ Πειραματικές μετρήσεις

Κανονικοποιημένη διαφορική διατομή σκέδασης

Αζιμουθιακή γωνία σκέδασης φ (μοίρες) Σχήμα 4.13: Διαφορική διατομή σκέδασης δυο όμοιων σφαιρικών σωματιδίων ακτίνας a,

κανονικοποιημένη με a2, πάνω Χ1 -Χ2 επίπεδο, ως συνάρτηση της αζιμουθιακής γωνίας σκέδασης ϕ (kexs = 8.0300, kexα= 3.083 και εr = (2.592 - i 0.001288), όπου s είναι η απόσταση των κέντρων των

δυο σφαιρών).

85

Κεφάλαιο 5

Σκέδαση ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας από απαραμόρφωτα ερυθρά αιμοσφαίρια

Η πλειοψηφία των σύγχρονων αιματολογικών αναλυτών έχει ως αρχή λειτουργίας το φαινόμενο της σκέδασης ηλεκτρομαγνητικής (ΗΜ) ακτινοβολίας. Σε ένα τυπικό αιματολογικό αναλυτή τύπου κυτόμετρου (flow cytometry) τα έμμορφα συστατικά του αίματος, ερυθροκύτταρα, λευκοκύτταρα και αιμοπετάλια, βρίσκονται υπό μορφή εναιωρήματος σε διάλυμα, το οποίο είναι συνήθως ισοτονικό και υψηλής αραίωσης, ώστε να αποφεύγονται τα φαινόμενα της οσμωτικής αντιρρόπησης και της πολλαπλής σκέδασης. Τα έμμορφα στοιχεία του αίματος προσανατολίζονται σε μια κυψελίδα (flow chamber) με τη χρήση υδροδυναμικής τεχνολογίας ροής και διαπερνούν ένα-ένα μια λεπτή ζώνη στην οποία είναι εστιασμένη μια ακτίνα ΗΜ ακτινοβολίας laser. Η ακτινοβολία που προσπίπτει στα σωματίδια σκεδάζεται σε διάφορες διευθύνσεις του χώρου και συλλέγεται από ειδικούς ανιχνευτές (photo-detectors). Η ανάλυση του λαμβανόμενου σήματος δίνει πληροφορίες για τον όγκο, το σχήμα καθώς και για τη σύνθεση του ακτινοβολούμενου σωματιδίου. Είναι φανερό ότι η ακριβής επίλυση του ευθέως προβλήματος σκέδασης ΗΜ ακτινοβολίας από τα έμμορφα στοιχεία του αίματος, είναι αναγκαία για την αξιοποίηση των πληροφοριών που περιέχονται στο λαμβανόμενο σήμα της σκεδαζόμενης ακτινοβολίας. Επιπλέον, επειδή το 97% του συνολικού αριθμού των έμορφων συστατικών του αίματος αποτελείται από ερυθροκύτταρα, οι πληροφορίες για τον όγκο, το σχήμα και τη συγκέντρωσης της αιμοσφαιρίνης που περιέχουν, κρίνονται ιδιαίτερα σημαντικές για την αξιολόγηση της ποιότητας του αίματος.

Στο παρόν κεφάλαιο επιλύεται αριθμητικά το πρόβλημα της σκέδασης ΗΜ ακτινοβολίας από ένα ανθρώπινο, υγιές και απαραμόρφωτο ερυθρό αιμοσφαίριο. Στην παρούσα αριθμητική ανάλυση λαμβάνεται υπόψη για πρώτη φορά η πραγματική γεωμετρία του ερυθροκυττάρου, το οποίο προτυποποιείται ως αξονοσυμμετρικός αμφίκοιλος διηλεκτρικός δίσκος, με μέση διάμετρο 2a = 7.65μm, μέσο πάχος t στο διάστημα 1.42 ≤ t ≤ 2.84μm (Tsang 1975) και σχετικό δείκτη

Κεφάλαιο 5: Σκέδαση ΗΜ ακτινοβολίας από απαραμόρφωτα ερυθρά αιμοσφαίρια

86

διάθλασης ως προς το ισοτονικό διάλυμα m = 1.05 (Streekstra et al. 1994). Το πρόβλημα επιλύεται για δυο συχνότητες ΗΜ ακτινοβολίας. Η πρώτη αντιστοιχεί σε μια υπέρυθρη ΗΜ ακτινοβολία με μήκος κύματος στο κενό λ0 = 1.523μm και η δεύτερη στην ακτινοβολία ενός ηλίου-νέου (He-Ne) laser με λ0 = 0 .6328μm. Λαμβάνοντας υπόψη την ακτίνα a του ερυθροκυττάρου, το μήκος κύματος της προσπίπτουσας ακτινοβολίας λ0, καθώς και τον δείκτη διάθλασης ενός ισοτονικού διαλύματος NaCl mex = 1.335 (Streekstra et al. 1994), προκύπτει ότι η αδιάστατη συχνότητα του προβλήματος σκέδασης ισούται με kexα= 21 για την υπέρυθρη ακτινοβολία και kexα= 50.5 για την ακτινοβολία του He-Ne laser. Στο σημείο αυτό θα πρέπει να ειπωθεί, ότι η δυσκολία επίλυσης του προβλήματος σκέδασης από ένα ερυθρό αιμοσφαίριο, έγκειται κατά κύριο λόγο στις παραπάνω υψηλές τιμές των αδιάστατων συχνοτήτων kexα, καθώς και στην σχετικά πολύπλοκη γεωμετρία του σωματιδίου. Στην παρούσα διατριβή το πρόβλημα αυτό σκέδασης αντιμετωπίζεται με τη χρήση του κώδικα της αξονοσυμμετρικής μεθοδολογίας συνοριακών στοιχείων, όπως αναλυτικά περιγράφηκε στο κεφάλαιο 4.

Η δομή του παρόντος κεφαλαίου είναι η εξής. Στο πρώτο υποκεφάλαιο γίνεται η τοποθέτηση του προβλήματος, όπου περιγράφεται η γεωμετρία και οι διηλεκτρικές ιδιότητες του ερυθροκυττάρου, καθώς και οι διευθύνσεις διάδοσης της προσπίπτουσας ακτινοβολίας. Στο δεύτερο υποκεφάλαιο παρουσιάζονται αριθμητικά αποτελέσματα που αφορούν τις κατανομές της σκεδαζόμενης ακτινοβολίας ως προς τη γωνία σκέδασης για διάφορους προσανατολισμούς του ερυθροκυττάρου. Στο τρίτο υποκεφάλαιο, η γεωμετρία του ερυθρού αιμοσφαιρίου προσεγγίζεται από πιο απλά σχήματα, όπως είναι η σφαίρα και το πεπλατυσμένο σφαιροειδές, με σκοπό να διερευνηθεί αν είναι δυνατή η απλοποίηση του προβλήματος όσον αφορά την γεωμετρία του. Τέλος στο τέταρτο υποκεφάλαιο παρουσιάζεται η παραμετρική μελέτη με την οποία διερευνάται η ευαισθησία της σκεδαζόμενης ακτινοβολίας, πρώτον ως προς το μήκος κύματος της προσπίπτουσας ακτινοβολίας και δεύτερον ως προς τον δείκτη διάθλασης του ερυθροκυττάρου.

5.1 Τοποθέτηση του προβλήματος

5.1.1 Φυσιολογία και γεωμετρικά χαρακτηριστικά ερυθροκυττάρου

Ένα ανθρώπινο, υγιές ερυθροκύτταρο έχει σχήμα αμφίκοιλου δίσκου, όπως φαίνεται στο σχήμα 5.1. Η δομή του αποτελείται από μια μεμβράνη και στο εσωτερικό του υπάρχουν η πρωτεΐνη αιμοσφαιρίνη (hemoglobin) σε ποσοστό 32% και νερό σε ποσοστό 65%. Ένα από τα χαρακτηριστικά των ανθρώπινων ερυθροκυττάρων είναι ότι δεν περιέχουν πυρήνα. Η ερυθροκυτταρική μεμβράνη πάχους περίπου 0.05μm (Fung 1981), αποτελείται από πρωτεΐνες, υδατάνθρακες και λιπίδια σε ποσοστό 3% και είναι αυτή που δίνει στο κύτταρο την μορφή αμφίκοιλου δίσκου. Επιπλέον η ελαστικότητα της επιτρέπει μεγάλες αλλαγές στο σχήμα του κυττάρου όταν αυτό περνά μέσα από τριχοειδή αγγεία πολύ μικρότερης διατομής σε σχέση με το πάχος του. Τέλος θα πρέπει να σημειωθεί, ότι η ερυθροκυτταρική μεμβράνη είναι ημιδιαπερατή, με συνέπεια όταν τα ερυθρά βρεθούν σε υποτονικό διάλυμα να λαμβάνει χώρα το φαινόμενο της

5.1 Τοποθέτηση του προβλήματος

87

αιμόλυσης. Κατά την διάρκεια του φαινομένου της αιμόλυσης η αιμοσφαιρίνη διαπερνά την μεμβράνη και το σχήμα του αδειανού πλέον κελύφους (ghost) γίνεται σφαιρικό με όγκο αυξημένο περίπου κατά 75% (Fung 1981). Για το λόγο αυτό στους αιματολογικούς αναλυτές χρησιμοποιούνται ισοτονικά διάλύμα για την αραίωση των υπό εξέταση δειγμάτων αίματος. Περισσότερες λεπτομέρειες για την φυσιολογία του ερυθρού αιμοσφαιρίου μπορούν να βρεθούν στο βιβλίο των Junqueira et al. (1971).

Σχήμα 5.1: Ερυθρά αιμοσφαίρια σε κεντρική αρτηρία.

Οι Εvans και Fung (Fung 1981) πραγματοποιώντας πειραματικές μετρήσεις με ένα ηλεκτρονικό μικροσκόπιο (interference microscope), προσδιόρισαν τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά ενός απαραμόρφωτου ερυθροκυττάρου και συμπέραναν ότι η αξονοσυμμετρική γεωμετρία του μπορεί να περιγραφεί στο ρ - z επίπεδο ενός κυλινδρικού συστήματος συντεταγμένων, από την αναλυτική σχέση:

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

4

4

2

20

2/12

1a

Ca

CCa

z ρρρρ , (5.1)

όπου a είναι η ακτίνα του ερυθροκυττάρου, z ο άξονας συμμετρίας του και C0, C2 και C4 είναι σταθερές που εξαρτώνται από τις συνθήκες οσμωτικότητας του διαλύματος στο οποίο βρίσκονται τα ερυθροκύτταρα. Αργότερα ο Tsang (1975), ακολουθώντας μια παρόμοια πειραματική διαδικασία με αυτή των Εvans και Fung (Fung 1981) αλλά συγκεντρώνοντας περισσότερα δεδομένα, συμπέρανε ότι ένα απαραμόρφωτο ερυθροκύτταρο μέσου μεγέθους, σε ένα ισοτονικό διάλυμα NaCl με συνθήκες οσμωτικότητας 300 mOsm / L και pH 7.4, έχει ακτίνα a = 3 .825μm, ελάχιστο και μέγιστο πάχος tmin = 1.42μm και tmax = 2.84μm, αντίστοιχα και όγκο V = 97.91μm3 (σχήμα 5.2).

Σχήμα 5.2: Διαστάσεις ενός μέσου μεγέθους απαραμόρφωτου ερυθροκυττάρου.

Κεφάλαιο 5: Σκέδαση ΗΜ ακτινοβολίας από απαραμόρφωτα ερυθρά αιμοσφαίρια

88

Με αντικατάσταση στην (5.1) των πειραματικών μετρήσεων του Tsang (1975) που αφορούν την ακτίνα α, το ελάχιστο πάχος tmin και τον όγκο V του ερυθροκυττάρου, προκύπτει ένα μη γραμμικό σύστημα τριών εξισώσεων με αγνώστους τις σταθερές C0, C2 και C4. Το σύστημα αυτό μπορεί εύκολα να επιλυθεί αριθμητικά και τελικά η (5.1) παίρνει την μορφή:

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

422/12

3.426 152.472.01aaa

z ρρρρ . (5.2)

Στην παρούσα διατριβή η επίδραση της ερυθροκυτταρικής μεμβράνης στην σκεδαζόμενη από αυτό ακτινοβολία θεωρείται αμελητέα και συνεπώς το ερυθρό αιμοσφαίριο μοντελοποιείται ως ένας ομογενής αξονοσυμμετρικός σκεδαστής, η γεωμετρία του οποίου περιγράφεται από την (5.2).

5.1.2 Διηλεκτρικές ιδιότητες ερυθροκυττάρου

Ο δείκτης διάθλασης m ενός ερυθρού αιμοσφαιρίου εξαρτάται άμεσα από την συγκέντρωση της αιμοσφαιρίνης που περιέχεται στο εσωτερικό του. Οι Streekstra et al. (1994), μετρώντας με ένα διαθλόμετρο (refractometer) τον δείκτη διάθλασης της αιμοσφαιρίνης, κατάφεραν να τον συσχετίσουν με την συγκέντρωση της αιμοσφαιρίνης Hb μέσω ενός πολυωνύμου δευτέρου βαθμού:

26106526.8001823.0 HbHbmm ex−×++= , (5.3)

όπου η συγκέντρωση της αιμοσφαιρίνης Hb είναι εκφρασμένη σε g/dL και mex = 1.335 είναι ο δείκτης διάθλασης του ισοτονικού διαλύματος NaCl. Σύμφωνα με την (5.3) και γνωρίζοντας ότι η συγκέντρωση της αιμοσφαιρίνης σε φυσιολογικά ερυθρά αιμοσφαίρια κυμαίνεται από 31.4 έως 36.3 g/dL, προκύπτει ότι ο σχετικός δείκτης διάθλασης m του ερυθρού ως προς το ισοτονικό διάλυμα παίρνει τιμές στο διάστημα από 1.049 έως 1.058.

Στην παρούσα διατριβή για την επίλυση του ευθέως προβλήματος σκέδασης ο σχετικός δείκτης διάθλασης m του ερυθρού σωματιδίου παίρνεται ίσος με 1.05. Τέλος πρέπει να αναφερθεί ότι η απορρόφηση της αιμοσφαιρίνης στις συχνότητες ακτινοβολίας που επιλύεται το πρόβλημα (λ0 = 1.523 και 0.6328μm) είναι αμελητέα (Streekstra et al. 1994).

5.1.3 Προσπίπτουσα HM ακτινοβολία

Όπως έχει ήδη αναφερθεί στην εισαγωγή του κεφαλαίου, το πρόβλημα της σκέδασης του ερυθροκυττάρου επιλύεται για δυο συχνότητες ΗΜ ακτινοβολίας. Η πρώτη αντιστοιχεί σε μια υπέρυθρη ΗΜ ακτινοβολία με μήκος κύματος στο κενό λ0 = 1.523μm και η δεύτερη στην ακτινοβολία ενός He-Ne laser με λ0 = 0 .6328μm. Το προσπίπτον κύμα θεωρείται ότι είναι επίπεδο και διαδίδεται στην 3x διεύθυνση, όπου 1x , 2x και 3x είναι τα τρία μοναδιαία διανύσματα ενός καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων OX1X2X3 με αρχή στο γεωμετρικό κέντρο του σωματιδίου (σχήμα 5.3). Το ηλεκτρικό πεδίο Εin του ΗΜ κύματος είναι πολωμένο στην 1x

5.1 Τοποθέτηση του προβλήματος

89

διεύθυνση και το μέτρο της ταλάντωσης του είναι μοναδιαίο. Ο προσανατολισμός του ερυθροκυττάρου σε σχέση με την διεύθυνση διάδοσης της προσπίπτουσας HM ακτινοβολίας καθορίζεται από την γωνία τ που σχηματίζει ο άξονας X3 του καρτεσιανού συστήματος με τον άξονα συμμετρίας z, όπως φαίνεται στο σχήμα 5.3.

Σχήμα 5.3: Συστήματα συντεταγμένων για την μοντελοποίηση του ερυθροκυττάρου: κυλινδρικό

(ρ, ϕ, z) για την γεωμετρία και καρτεσιανό (Χ1, Χ2, Χ3) για το προσπίπτον ΗΜ κύμα. Ο προσανατολισμός του κυττάρου καθορίζεται από την γωνία τ που σχηματίζει ο άξονας Χ3 με τον

άξονα συμμετρίας z.

5.2 Σκέδαση ΗΜ ακτινοβολίας από αμφίκοιλο δισκοειδές ερυθροκύτταρο

Στο παρόν υποκεφάλαιο παρουσιάζονται αριθμητικά αποτελέσματα του προβλήματος της σκέδασης ΗΜ ακτινοβολίας από ένα αμφίκοιλο δισκοειδές ερυθροκύτταρο. Για την επίλυση του προβλήματος χρησιμοποιείται ο αξονοσυμμετρικός κώδικας συνοριακών στοιχείων, σύμφωνα με τον οποίο μια γενέτειρα του κυττάρου διακριτοποιείται σε μονοδιάστατα συνοριακά στοιχεία δευτέρου βαθμού. Η πυκνότητα του πλέγματος των στοιχείων καθορίζεται από το μήκος κύματος της προσπίπτουσας ακτινοβολίας στο ισοτονικό διάλυμα λex = λ0 / mex. Στην παρούσα διατριβή η διακριτοποίηση γίνεται έτσι ώστε σε μήκος της γενέτειρας ίσο με το μήκος κύματος λex να αντιστοιχούν 5 συνοριακά στοιχεία. Σύμφωνα με τις παραπάνω απαιτήσεις το πλέγμα των

Κεφάλαιο 5: Σκέδαση ΗΜ ακτινοβολίας από απαραμόρφωτα ερυθρά αιμοσφαίρια

90

συνοριακών στοιχείων που χρησιμοποιείται αποτελείται από 84 στοιχεία, τα οποία αντιστοιχούν σ’ ένα συνολικό αριθμό 170 κόμβων για την υπέρυθρη ακτινοβολία και από 216 στοιχεία με 434 συνολικά κόμβους για την ακτινοβολία του He-Ne laser.

Τα αριθμητικά αποτελέσματα που παρουσιάζονται αφορούν στην διαφορική διατομή σκέδασης, όπως αυτή δίνεται από την εξίσωση (2.83), ως συνάρτηση της γωνίας σκέδασης θ sc. Η γωνία σκέδασης θ sc ορίζεται έτσι ώστε να έχει μηδενική τιμή στην διεύθυνση της απευθείας σκέδασης (forward direction). Η διαφορική διατομή σκέδασης υπολογίζεται τόσο στο X3 - X1 όσο και στο X3 -X2 επίπεδο. Από εδώ και στο εξής το X3 - X1 επίπεδο, το οποίο σχηματίζεται από την διεύθυνση διάδοσης 3x του ΗΜ κύματος και την διεύθυνση πόλωσης 1x του ηλεκτρικού πεδίου Ε, θα αναφέρεται ως παράλληλο επίπεδο σκέδασης, ενώ το κάθετο σε αυτό επίπεδο, X3 - X2, θα αναφέρεται αντίστοιχα ως κάθετο επίπεδο σκέδασης.

Το πρόβλημα επιλύεται για τρεις προσανατολισμούς του ερυθροκυττάρου σε σχέση με την διεύθυνση διάδοσης της προσπίπτουσας ακτινοβολίας. Ο πρώτος αντιστοιχεί σε γωνία προσανατολισμού τ = 0o (σχήμα 5.3) και από εδώ και στο εξής θα αναφέρεται ως προσανατολισμός όψεως. Ο δεύτερος αντιστοιχεί σε γωνία τ = 45o και θα ονομάζεται πλάγιος προσανατολισμός και ο τρίτος αντιστοιχεί σε γωνία τ = 90o και θα αναφέρεται ως προσανατολισμός πλευράς. Στα σχήματα 5.4(a) ÷ 5.4(c) παρουσιάζονται τα αριθμητικά αποτελέσματα για τους τρεις προσανατολισμούς του ερυθροκυττάρου στην περίπτωση της υπέρυθρης προσπίπτουσας ακτινοβολίας με μήκος κύματος λ0 = 1.523μm και στα σχήματα 5.5(a) ÷ 5.5(c) τα αντίστοιχα αποτελέσματα για την ακτινοβολία του He-Ne laser.

5.2.1 Υπέρυθρη ΗΜ ακτινοβολία με μήκος κύματος λ0=1.523μm

0 20 40 60 80 100 120 140 160 18010-6

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102

103

Προσανατολισμός όψεως

Παράλληλο επίπεδο σκέδασης Κάθετο επίπεδο σκέδασης

Διαφορική διατομή σκέδασης

(μm

2 )

Γωνία σκέδασης θ sc (μοίρες) (a)

5.2 Σκέδαση ΗΜ ακτινοβολίας από αμφίκοιλο δισκοειδές ερυθροκύτταρο

91

0 20 40 60 80 100 120 140 160 18010-7

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102

103

Πλάγιος προσανατολισμός

Παράλληλο επίπεδο σκέδασης Κάθετο επίπεδο σκέδασης

Διαφορική διατομή σκέδασης

(μm

2 )

Γωνία σκέδασης θ sc (μοίρες) (b)

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102

103

Προσανατολισμός πλευράς

Παράλληλο επίπεδο σκέδασης Κάθετο επίπεδο σκέδασης

Διαφορική διατομή σκέδασης

(μm

2 )

Γωνία σκέδασης θ sc (μοίρες) (c)

Σχήμα 5.4: Διαφορική διατομή σκέδασης ως συνάρτηση της γωνίας σκέδασης θ sc από αμφίκοιλο δισκοειδές ερυθροκύτταρο που βρίσκεται σε ισοτονικό διάλυμα και προσπίπτει σε αυτό υπέρυθρη ΗΜ ακτινοβολία με μήκος κύματος στο κενό λ0 = 1.523 μm; (a) προσανατολισμός όψεως (τ = 0o)

(b) πλάγιος προσανατολισμός (τ = 45o) και (c) προσανατολισμός πλευράς (τ = 90o).

Κεφάλαιο 5: Σκέδαση ΗΜ ακτινοβολίας από απαραμόρφωτα ερυθρά αιμοσφαίρια

92

5.2.3 Ακτινοβολία He-Ne laser με μήκος κύματος λ0=0.6328μm

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102

103

104

Προσανατολισμός όψεως

Παράλληλο επίπεδο σκέδασης Κάθετο επίπεδο σκέδασης

Διαφορική διατομή σκέδασης

(μm

2 )

Γωνία σκέδασης θ sc (μοίρες) (a)

0 20 40 60 80 100 120 140 160 18010-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102

103

104

Πλάγιος προσανατολισμός

Παράλληλο επίπεδο σκέδασης Κάθετο επίπεδο σκέδασης

Διαφορική διατομή σκέδασης

(μm

2 )

Γωνία σκέδασης θ sc (μοίρες) (b)

5.2 Σκέδαση ΗΜ ακτινοβολίας από αμφίκοιλο δισκοειδές ερυθροκύτταρο

93

0 20 40 60 80 100 120 140 160 18010-6

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102

103

Προσανατολισμός πλευράς

Παράλληλο επίπεδο σκέδασης Κάθετο επίπεδο σκέδασης

Διαφορική διατομή σκέδασης

(μm

2 )

Γωνία σκέδασης θ sc (μοίρες) (c)

Σχήμα 5.5: Διαφορική διατομή σκέδασης ως συνάρτηση της γωνίας σκέδασης θ sc από αμφίκοιλο δισκοειδές ερυθροκύτταρο που βρίσκεται σε ισοτονικό διάλυμα και ακτινοβολείται από He-Ne

laser; (a) προσανατολισμός όψεως (τ = 0o) (b) πλάγιος προσανατολισμός (τ = 45o) και (c) προσανατολισμός πλευράς (τ = 90o).

5.2.3 Συμπεράσματα

Από τα παραπάνω σχήματα μπορούν να εξαχθούν τα εξής συμπεράσματα:

3 Όσον αφορά την υπέρυθρη ακτινοβολία, προκύπτει ότι η σκεδαζόμενη ενέργεια στην διεύθυνση της απευθείας σκέδασης (θ sc = 0ο) είναι ανεξάρτητη από τον προσανατολισμό του ερυθροκυττάρου, διότι η διαφορική διατομή σκέδασης στην διεύθυνση αυτή είναι ίση για όλες τις γωνίες τ που καθορίζουν τον προσανατολισμό του κυττάρου.

3.1 Στην περίπτωση όμως της ακτινοβολίας του He-Ne laser παρατηρείται ότι η διαφορική διατομή σκέδασης στην διεύθυνση της απευθείας σκέδασης αυξάνει καθώς η γωνία τ μεγαλώνει, και συνάγεται ότι η απευθείας σκεδαζόμενη ενέργεια είναι συνάρτηση του προσανατολισμού του ερυθροκυττάρου.

3.2 Από τις δυο παραπάνω παρατηρήσεις συμπεραίνεται, ότι η ενέργεια της απευθείας σκέδασης είναι ανεξάρτητη από τον προσανατολισμό του ερυθρού μέχρι μια συγκεκριμένη τιμή του φάσματος των συχνοτήτων της προσπίπτουσας ακτινοβολίας, ενώ από τη συχνότητα αυτή και μετά η σκεδαζόμενη ενέργεια αρχίζει να εξαρτάται από τον προσανατολισμό του κυττάρου. Η τιμή της συχνότητας αυτής προσδιορίζεται στην παράγραφο 5.4.1, όπου η παρουσιάζεται παραμετρική μελέτη σχετικά με το μήκος κύματος της προσπίπτουσας ακτινοβολίας.

Κεφάλαιο 5: Σκέδαση ΗΜ ακτινοβολίας από απαραμόρφωτα ερυθρά αιμοσφαίρια

94

4 Αντίθετα με την απευθείας διεύθυνση σκέδασης, στην διεύθυνση της προς τα πίσω σκέδασης (backward direction) (θ sc = 180ο), η σκεδαζόμενη ενέργεια φαίνεται ότι εξαρτάται άμεσα από τον προσανατολισμό του ερυθρού και για τις δυο προσπίπτουσες ακτινοβολίες. Μάλιστα, η διαφορική διατομή σκέδασης έχει σημαντικά μεγαλύτερη τιμή στον προσανατολισμό όψεως σε σχέση με τον πλάγιο προσανατολισμό και τον προσανατολισμό πλευράς. Αξίζει να σημειωθεί ότι οι διαφορές αυτές είναι σημαντικά πιο έντονες στην ακτινοβολία του He-Ne laser εν συγκρίσει με την υπέρυθρη ακτινοβολία.

5 Όσον αφορά την περίπτωση του προσανατολισμού όψεως, τόσο για την υπέρυθρη όσο και για την ακτινοβολία του He-Ne laser, παρατηρείται ότι στην περιοχή της απευθείας σκέδασης (0o ≤ θ sc ≤ 30o) και στην περιοχή της πίσω σκέδασης (160o ≤ θ sc ≤ 180o) η διαφορική διατομή σκέδασης έχει ίσες τιμές στο παράλληλο και στο κάθετο επίπεδο σκέδασης ανά γωνία θ sc .

5.1 Από την παρατήρηση αυτή και λαμβάνοντας υπόψη ότι στον προσανατολισμό όψεως το προσπίπτον κύμα διαδίδεται κατά μήκος του άξονα συμμετρίας z του ερυθρού και συνεπώς ακτινοβολεί συμμετρικά την επιφάνεια του, συμπεραίνεται ότι στις περιοχές της απευθείας και της πίσω σκέδασης η σκεδαζόμενη ακτινοβολία δεν εξαρτάται από την πόλωση του ΗΜ κύματος.

5.2 Επιπλέον συνεπάγεται, ότι αν το σκεδασμένο φως προβληθεί πάνω σε δυο επίπεδα πετάματα τοποθετημένα κάθετα στις διευθύνσεις με θ sc = 0ο και θ sc = 180ο, τα αποτυπώματα που θα σχηματισθούν από τις ισοϋψείς τιμές της σκεδαζόμενης ακτινοβολίας θα αποτελούνται από ομόκεντρους κυκλικούς δακτυλίους.

5.3 Σε αντίθεση με τον προσανατολισμό όψεως, όταν η γωνία προσανατολισμού τ αρχίζει να αυξάνει οι τιμές της διαφορικής διατομής σκέδασης στο παράλληλο και στο κάθετο επίπεδο ανά γωνία θ sc αρχίζουν να διαφοροποιούνται. Από το γεγονός αυτό συνάγεται ότι οι κυκλικοί δακτύλιοι των ισοϋψών της σκεδαζόμενης ακτινοβολίας που σχηματίζονται στην περίπτωση του προσανατολισμού όψεως, με την αύξηση της γωνίας τ αρχίζουν να γίνονται μη-κυκλικοί.

6 Όσον αφορά την περιοχή της πλάγιας σκέδασης (side region) 70o ≤ θ sc ≤ 100o, η διαφορική διατομή στο κάθετο επίπεδο σκέδασης είναι μεγαλύτερη σε σχέση με την αντίστοιχη στο παράλληλο επίπεδο για όλες τις περιπτώσεις της προσπίπτουσας ακτινοβολίας και προσανατολισμού του ερυθροκυττάρου.

6.1 Μάλιστα, οι διαφορές αυτές φαίνεται ότι είναι αρκετά σημαντικές ακόμα και για τον προσανατολισμό όψεως, παρόλο που στην περίπτωση αυτή το ΗΜ κύμα ακτινοβολεί συμμετρικά την επιφάνεια του ερυθρού. Από το φαινόμενο αυτό συμπεραίνεται ότι σε αντίθεση με τις περιοχές τις απευθείας και της πίσω σκέδασης στην περιοχή της πλάγιας, η σκεδαζόμενη ακτινοβολία επηρεάζεται σημαντικά από την πόλωση του ΗΜ κύματος.

5.3 Προσέγγιση του ερυθροκυττάρου από πιο απλά σχήματα ισοδύναμου όγκου

95

5.3 Προσέγγιση του ερυθροκυττάρου από πιο απλά σχήματα ισοδύναμου όγκου

Στο παρόν υποκεφάλαιο, το ευθύ πρόβλημα σκέδασης ΗΜ ακτινοβολίας από το ερυθροκύτταρο επιλύεται ξανά, με την διαφορά ότι εδώ η αμφίκοιλη δισκοειδής γεωμετρία του κυττάρου προσεγγίζεται από τα πιο απλά σχήματα της σφαίρας και του πεπλατυσμένο σφαιροειδούς. Το χαρακτηριστικό των προσεγγιστικών γεωμετριών είναι ότι έχουν όγκο ίσο με τον όγκο V του ερυθροκυττάρου και επιπλέον το πεπλατυσμένο σφαιροειδές έχει ακτίνα μεγάλου ημι-άξονα ίση με την ακτίνα a του σωματιδίου. Τα αποτελέσματα που προκύπτουν συγκρίνονται με τα αντίστοιχα της ακριβούς γεωμετρίας, με σκοπό να εκτιμηθεί το πιθανό λάθος που προκύπτει στον υπολογισμό της σκεδαζόμενης ακτινοβολίας. Η διερεύνηση αυτή κρίθηκε σκόπιμη να πραγματοποιηθεί στα πλαίσια της παρούσας διατριβής διότι, σε όλες τις σχετικές εργασίες της βιβλιογραφίας τα ερυθροκύτταρα αντιμετωπίζονται ως σφαιρικοί ή στην καλύτερη περίπτωση ως πεπλατυσμένοι σφαιροειδείς σκεδαστές (Plasek and Marik 1982; Lee and Tarassenko 1991; Kim and Lin 1998; Gandjbakhche 1994; Steinke and Shepherd 1988; Streekstra et al. 1994; Mazeron and Muller 1996; Nilsson et al. 1998).

5.3.1 Σφαίρα ισοδύναμου όγκου

Στην περίπτωση που το ερυθροκύτταρο προτυποποιείται ως σφαιρικός σκεδαστής με όγκο ίσο με τον όγκο V = 97.91μm3 του ερυθροκυττάρου, προκύπτει ότι η ακτίνα του είναι as = 2.86μm. Η αναλογία των διαστάσεων της σφαίρας ισοδύναμου όγκου με το πραγματικό αμφίκοιλο δισκοειδές σχήμα του ερυθρού αιμοσφαιρίου, φαίνεται στο σχήμα 5.6.

Σχήμα 5.6: Αναλογία των διαστάσεων της σφαίρας ισοδύναμου όγκου με το αμφίκοιλο δισκοειδές

σχήμα του ερυθρού αιμοσφαιρίου.

Στην συγκεκριμένη περίπτωση του προβλήματος σκέδασης από σφαιρικό σωματίδιο, ο υπολογισμός της διαφορικής διατομής σκέδασης γίνεται με εφαρμογή της αναλυτικής θεωρίας Mie (Bohern and Huffman 1983). Όσον αφορά την υπέρυθρη ακτινοβολία με μήκος κύματος λ0 = 1.523μm, τα αποτελέσματα παρουσιάζονται στα σχήματα 5.7(a) και 5.7(b) για το παράλληλο και κάθετο επίπεδο σκέδασης, αντίστοιχα, ενώ για την ακτινοβολία του He-Ne laser τα αντίστοιχα αποτελέσματα φαίνονται στα σχήματα 5.8(a) και 5.8(b). Σε όλα τα σχήματα η διαφορική διατομή σκέδασης της σφαίρας ισοδύναμου όγκου, συγκρίνεται με την αντίστοιχη της ακριβούς γεωμετρίας του ερυθροκυττάρου για τις προσπτώσεις όψεως και πλευράς.

Κεφάλαιο 5: Σκέδαση ΗΜ ακτινοβολίας από απαραμόρφωτα ερυθρά αιμοσφαίρια

96

Υπέρυθρη ΗΜ ακτινοβολία με μήκος κύματος λ0 =1.523μm

0 20 40 60 80 100 120 140 160 18010-6

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102

103

Παράλληλο επίπεδο σκέδασης

Σφαίρα ισοδύναμου όγκου Ερυθροκύτταρο -- προσανατολισμός όψεως Ερυθροκύτταρο -- προσανατολισμός πλευράς

Διαφορική διατομή σκέδασης

(μm

2 )

Γωνία σκέδασης θ sc (μοίρες) (a)

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

10-7

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102

103

Κάθετο επίπεδο σκέδασης

Σφαίρα ισοδύναμου όγκου Ερυθροκύτταρο -- προσανατολισμός όψεως Ερυθροκύτταρο -- προσανατολισμός πλευράς

Διαφορική διατομή σκέδασης

(μm

2 )

Γωνία σκέδασης θ sc (μοίρες) (b)

Σχήμα 5.7: Σύγκριση των διαφορικών διατομών σκέδασης που αντιστοιχούν στην ακριβή γεωμετρία του ερυθροκυττάρου και σε μια σφαίρα ισοδύναμου όγκου για μια υπέρυθρη ακτινοβολία με μήκος

κύματος στο κενό λ0 = 1.523 μm; (a) παράλληλο και (b) κάθετο επίπεδο σκέδασης.

5.3 Προσέγγιση του ερυθροκυττάρου από πιο απλά σχήματα ισοδύναμου όγκου

97

Ακτινοβολία He-Ne laser με μήκος κύματος λ0 = 0.6328μm

0 20 40 60 80 100 120 140 160 18010-6

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102

103

104

Παράλληλο επίπεδο σκέδασης

Σφαίρα ισοδύναμου όγκου Ερυθροκύτταρο -- προσανατολισμός όψεως Ερυθροκύτταρο -- προσανατολισμός πλευράς

Διαφορική διατομή σκέδασης

(μm

2 )

Γωνία σκέδασης θ sc (μοίρες) (a)

0 20 40 60 80 100 120 140 160 18010-6

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102

103

104

Κάθετο επίπεδο σκέδασης

Σφαίρα ισοδύναμου όγκου Ερυθροκύτταρο -- προσανατολισμός όψεως Ερυθροκύτταρο -- προσανατολισμός πλευράς

Διαφορική διατομή σκέδασης

(μm

2 )

Γωνία σκέδασης θ sc (μοίρες) (b)

Σχήμα 5.8: Σύγκριση των διαφορικών διατομών σκέδασης που αντιστοιχούν στην ακριβή γεωμετρία του ερυθροκυττάρου και σε μια σφαίρα ισοδύναμου όγκου για την ακτινοβολία του He-Ne laser; (a)

παράλληλο και (b) κάθετο επίπεδο σκέδασης.

Κεφάλαιο 5: Σκέδαση ΗΜ ακτινοβολίας από απαραμόρφωτα ερυθρά αιμοσφαίρια

98

Συμπεράσματα

Από τα παραπάνω σχήματα συμπεραίνονται τα εξής:

i) Είναι φανερό ότι η κατανομή της σκεδαζόμενης ακτινοβολίας από ένα ερυθροκύτταρο δεν είναι δυνατόν να περιγραφεί ικανοποιητικά από την αντίστοιχη κατανομή του προβλήματος σκέδασης σφαίρας με όγκο ίσο με αυτόν του κυττάρου.

ii) Για την περίπτωση της υπέρυθρης ακτινοβολίας στην διεύθυνση της απευθείας σκέδασης η διαφορική διατομή σκέδασης είναι περίπου η ίδια για τους δυο προσανατολισμούς του κυττάρου και για την σφαίρα ισοδύναμου όγκου. Σε αντίθεση για την ακτινοβολία του He-Ne laser δεν ισχύει κάτι αντίστοιχο.

6.2 Από την παρατήρηση αυτή και λαμβάνοντας υπόψη το συμπέρασμα i) του προηγούμενου υποκεφαλαίου συνάγεται ότι έως μια συχνότητα του φάσματος της προσπίπτουσας ακτινοβολίας, η σκεδαζόμενη ενέργεια στην διεύθυνση θ sc = 0ο εξαρτάται μόνο από τον όγκο του σωματιδίου και είναι ανεξάρτητη τόσο από τον προσανατολισμό αυτού όσο και από το σχήμα του.

iii) Η διαφορική διατομή σκέδασης της σφαίρας του ισοδύναμου όγκου στην διεύθυνση της προς τα πίσω σκέδασης είναι σημαντικά μικρότερη σε σχέση με τις αντίστοιχες των προσανατολισμών όψεως και πλευράς της ακριβούς γεωμετρίας του ερυθροκυττάρου. Η παρατήρηση αυτή ισχύει για όλες τις προσπίπτουσες ακτινοβολίες και για όλα τα επίπεδα σκέδασης.

5.3.2 Πεπλατυσμένο σφαιροειδές ισοδύναμου όγκου και ακτίνας μεγάλου ημι-άξονα

Μια πιο ρεαλιστική προσέγγιση της γεωμετρίας του ερυθροκυττάρου από αυτή της σφαίρας ισοδύναμου όγκου, είναι η προτυποποίηση του ερυθροκυττάρου ως πεπλατυσμένο σφαιροειδές σωματίδιο, με όγκο ίσο με τον όγκο V = 97.91μm3 του ερυθροκυττάρου και ακτίνα μεγάλου ημι-άξονα a1 ίση με την ακτίνα a = 3 .825μm αυτού. Σύμφωνα με αυτή την μοντελοποίηση η ακτίνα του μικρού ημι-άξονα a2 του πεπλατυσμένου σφαιροειδούς προκύπτει ότι είναι a2 = 1.598μm. Η αναλογία των διαστάσεων του πεπλατυσμένο σφαιροειδούς με το αμφίκοιλου δισκοειδές σχήμα του ερυθρού αιμοσφαιρίου, φαίνεται στο σχήμα 5.9.

Σχήμα 5.9: Αναλογία των διαστάσεων του πεπλατυσμένο σφαιροειδούς ισοδύναμου όγκου και ακτίνας μεγάλου ημι-άξονα με το αμφίκοιλο δισκοειδές σχήμα του ερυθρού αιμοσφαιρίου.

5.3 Προσέγγιση του ερυθροκυττάρου από πιο απλά σχήματα ισοδύναμου όγκου

99

Το πρόβλημα της σκέδασης από το πεπλατυσμένο σφαιροειδές, όπως και στην περίπτωση της ακριβούς γεωμετρίας του ερυθροκυττάρου, επιλύεται με τον αξονοσυμμετρικό κώδικα συνοριακών στοιχείων, σημειώνοντας ότι τα πλέγματα των συνοριακών στοιχείων που χρησιμοποιούνται για κάθε προσπίπτουσα ακτινοβολία, είναι παρόμοια σε μέγεθος με αυτά που χρησιμοποιήθηκαν για την διακριτοποίηση του αμφίκοιλου δίσκου.

Τα αριθμητικά αποτελέσματα από το πρόβλημα σκέδασης του πεπλατυσμένου σφαιροειδούς παρουσιάζονται στα σχήματα 5.10(a)÷5.11(b) για την περίπτωση της υπέρυθρης ακτινοβολίας με μήκος κύματος λ0 = 1.523μm και ακριβώς αντίστοιχα στα 5.12(a)÷5.13(b) για την ακτινοβολία του He-Ne laser. Πιο συγκεκριμένα στα 5.10(a), 5.12(a) και 5.10(b), 5.12(b) παρουσιάζεται η διαφορική διατομή σκέδασης υπολογισμένη στο παράλληλο και στο κάθετο επίπεδο σκέδασης, αντίστοιχα για την περίπτωση του προσανατολισμού όψεως ενώ τα 5.11(a), 5.13(a) και 5.11(b), 5.13(b) αναφέρονται στο παράλληλο και στο κάθετο επίπεδο σκέδασης, αντίστοιχα για την περίπτωση του προσανατολισμού πλευράς. Σε όλα τα σχήματα τα αποτελέσματα του προβλήματος σκέδασης από το πεπλατυσμένο σφαιροειδές συγκρίνονται με τα αντίστοιχα της ακριβούς γεωμετρίας του ερυθροκυττάρου.

Κεφάλαιο 5: Σκέδαση ΗΜ ακτινοβολίας από απαραμόρφωτα ερυθρά αιμοσφαίρια

100

Υπέρυθρη ΗΜ ακτινοβολία με μήκος κύματος λ0 =1.523μm

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102

103

Παράλληλο επίπεδο σκέδασηςΠροσανατολισμός όψεως

Πεπλατυσμένο σφαιροειδές ισοδύναμου όγκου και ισοδύναμης ακτίνας μεγάλου ημι-άξονα

Ερυθροκύτταρο

Διαφορική διατομή σκέδασης

(μm

2 )

Γωνία σκέδασης θ sc (μοίρες) (a)

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102

103

Πεπλατυσμένο σφαιροειδές ισοδύναμου όγκου και ισοδύναμης ακτίνας μεγάλου ημι-άξονα

Ερυθροκύτταρο

Κάθετο επίπεδο σκέδασηςΠροσανατολισμός όψεως

Διαφορική διατομή σκέδασης

(μm

2 )

Γωνία σκέδασης θ sc (μοίρες) (b)

Σχήμα 5.10: Σύγκριση των διαφορικών διατομών σκέδασης που αντιστοιχούν στην ακριβή γεωμετρία του ερυθροκυττάρου και σε ένα πεπλατυσμένο σφαιροειδές ισοδύναμου όγκου και

ισοδύναμης ακτίνας μεγάλου ημι-άξονα για μια υπέρυθρη ακτινοβολία με μήκος κύματος στο κενό λ0 = 1.523μm και για προσανατολισμό όψεως (τ = 0o); (a) παράλληλο και (b) κάθετο επίπεδο

σκέδασης.

5.3 Προσέγγιση του ερυθροκυττάρου από πιο απλά σχήματα ισοδύναμου όγκου

101

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102

103

Πεπλατυσμένο σφαιροειδές ισοδύναμου όγκου και ισοδύναμης ακτίνας μεγάλου ημι-άξονα

Ερυθροκύτταρο

Παράλληλο επίπεδο σκέδασηςΠροσανατολισμός πλευράς

Διαφορική διατομή σκέδασης

(μm

2 )

Γωνία σκέδασης θ sc (μοίρες) (a)

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

10-3

10-2

10-1

100

101

102

103

Πεπλατυσμένο σφαιροειδές ισοδύναμου όγκου και ισοδύναμης ακτίνας μεγάλου ημι-άξονα

Ερυθροκύτταρο

Κάθετο επίπεδο σκέδασηςΠροσανατολισμός πλευράς

Διαφορική διατομή σκέδασης

(μm

2 )

Γωνία σκέδασης θ sc (μοίρες) (b)

Σχήμα 5.11: Σύγκριση των διαφορικών διατομών σκέδασης που αντιστοιχούν στην ακριβή γεωμετρία του ερυθροκυττάρου και σε ένα πεπλατυσμένο σφαιροειδές ισοδύναμου όγκου και

ισοδύναμης ακτίνας μεγάλου ημι-άξονα, για μια υπέρυθρη ακτινοβολία με μήκος κύματος στο κενό λ0 = 1.523 μm και για προσανατολισμό πλευράς (τ = 90o); (a) παράλληλο και (b) κάθετο επίπεδο

σκέδασης.

Κεφάλαιο 5: Σκέδαση ΗΜ ακτινοβολίας από απαραμόρφωτα ερυθρά αιμοσφαίρια

102

Ακτινοβολία He-Ne laser με μήκος κύματος λ0 = 0.6328μm

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102

103

104

Πεπλατυσμένο σφαιροειδές ισοδύναμου όγκου και ισοδύναμης ακτίνας μεγάλου ημι-άξονα

Ερυθροκύτταρο

Παράλληλο επίπεδο σκέδασηςΠροσανατολισμός όψεως

Διαφορική διατομή σκέδασης

(μm

2 )

Γωνία σκέδασης θ sc (μοίρες) (a)

0 20 40 60 80 100 120 140 160 18010-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102

103

104 Πεπλατυσμένο σφαιροειδές ισοδύναμου όγκου και ισοδύναμης ακτίνας μεγάλου ημι-άξονα

Ερυθροκύτταρο

Κάθετο επίπεδο σκέδασηςΠροσανατολισμός όψεως

Διαφορική διατομή σκέδασης

(μm

2 )

Γωνία σκέδασης θ sc (μοίρες) (b)

Σχήμα 5.12: Σύγκριση των διαφορικών διατομών σκέδασης που αντιστοιχούν στην ακριβή γεωμετρία του ερυθροκυττάρου και σε ένα πεπλατυσμένο σφαιροειδές ισοδύναμου όγκου και

ισοδύναμης ακτίνας μεγάλου ημι-άξονα, για την ακτινοβολία του He-Ne laser και για προσανατολισμό όψεως (τ = 0o); (a) παράλληλο και (b) κάθετο επίπεδο σκέδασης.

5.3 Προσέγγιση του ερυθροκυττάρου από πιο απλά σχήματα ισοδύναμου όγκου

103

0 20 40 60 80 100 120 140 160 18010-6

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102

103 Πεπλατυσμένο σφαιροειδές ισοδύναμου όγκου και ισοδύναμης ακτίνας μεγάλου ημι-άξονα

Ερυθροκύτταρο

Παράλληλο επίπεδο σκέδασηςΠροσανατολισμός πλευράς

Διαφορική διατομή σκέδασης

(μm

2 )

Γωνία σκέδασης θ sc (μοίρες) (a)

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102

103 Πεπλατυσμένο σφαιροειδές ισοδύναμου όγκου και ισοδύναμης ακτίνας μεγάλου ημι-άξονα

Ερυθροκύτταρο

Κάθετο επίπεδο σκέδασηςΠροσανατολισμός πλευράς

Διαφορική διατομή σκέδασης

(μm

2 )

Γωνία σκέδασης θ sc (μοίρες) (b)

Σχήμα 5.13: Σύγκριση των διαφορικών διατομών σκέδασης που αντιστοιχούν στην ακριβή γεωμετρία του ερυθροκυττάρου και σε ένα πεπλατυσμένο σφαιροειδές ισοδύναμου όγκου και

ισοδύναμης ακτίνας μεγάλου ημι-άξονα, για την ακτινοβολία του He-Ne laser και για προσανατολισμό πλευράς (τ = 90o); (a) παράλληλο και (b) κάθετο επίπεδο σκέδασης.

Κεφάλαιο 5: Σκέδαση ΗΜ ακτινοβολίας από απαραμόρφωτα ερυθρά αιμοσφαίρια

104

Στο σημείο αυτό και με σκοπό να γίνει πληρέστερη η σύγκριση μεταξύ της ακριβούς γεωμετρίας του ερυθροκυττάρου και της προσεγγιστικής γεωμετρίας του πεπλατυσμένου σφαιροειδούς, παρουσιάζονται αριθμητικά αποτελέσματα που αφορούν τις ισοϋψείς καμπύλες της έντασης φωτός (light intensity) πάνω σε δυο επίπεδους, τετραγωνικούς ανιχνευτές. Οι ανιχνευτές αυτοί τοποθετούνται κάθετα στις διευθύνσεις με θ sc = 0ο (ανιχνευτής απευθείας σκέδασης) και θ sc = 180ο (ανιχνευτής της προς τα πίσω σκέδασης), σε μια απόσταση z μακριά από το κέντρο Ο του σκεδαστή, όπως φαίνεται στο σχήμα 5.14. Το μήκος της πλευράς των ανιχνευτών είναι τέτοιο ώστε τα σημεία στο μέσο της πλευράς να αντιστοιχούν σε μια γωνία σκέδασης θ = 20ο.

Σχήμα 5.14: Ένταση σκεδαζόμενου φωτός από ένα ερυθροκύτταρο πάνω σε επίπεδους ανιχνευτές; (α) θέσεις των ανιχνευτών της απευθείας και της προς τα πίσω σκέδασης και (b) τοπική γεωμετρία

του ανιχνευτή

Σύμφωνα με την (2.84), η ένταση του σκεδαζόμενου φωτός IA σε ένα σημείο ),,( 21 zxxA AA πάνω στον ανιχνευτή είναι:

IA

AD

A IR

I 2

σ= , (5.4)

όπου RA είναι η απόσταση του σημείου A από την αρχή των αξόνων O και σD η διαφορική διατομή σκέδασης και ΙΙ είναι η ένταση της προσπίπτουσας ακτινοβολίας. Αν θεωρήσουμε ένα σφαιρικό σύστημα συντεταγμένων (R, θ, ϕ) με αρχή το O, η απόσταση RA είναι:

( ) ( ) ( ) ( )[ ]22222

21

22 sintancostan1 ϕθϕθ ++=++= zxxzR AAA . (5.5)

Σύμφωνα με τις (5.4) και (5.5) η ένταση του σκεδαζόμενου φωτός IA γράφεται:

5.3 Προσέγγιση του ερυθροκυττάρου από πιο απλά σχήματα ισοδύναμου όγκου

105

( ) ( ) IR

I

AD

A IzII

zI 2222

1sintancostan1

=++

=ϕθϕθ

σ . (5.6)

Η ΙR έχει μονάδες επιφάνειας και από εδώ και στο εξής θα αναφέρεται ως σχετική ένταση του σκεδαζόμενου φωτός.

Στα σχήματα 5.15(a)÷5.18(b) παρουσιάζεται ο δεκαδικός λογάριθμος της σχετικής έντασης του σκεδαζόμενου φωτός ΙR πάνω στους ανιχνευτές για την περίπτωση της υπέρυθρης ακτινοβολίας και ακριβώς αντίστοιχα στα 5.19(a)÷5.22(b) για την ακτινοβολία του He-Ne laser. Σε όλα τα ζευγάρια σχημάτων το πρώτο (a) αντιστοιχεί στο πεπλατυσμένο σφαιροειδές και το δεύτερο (b) στην ακριβή γεωμετρία του ερυθροκυττάρου, σημειώνοντας ότι για λόγους σύγκρισης σε κάθε ζευγάρι (a), (b) οι κλίμακες της έντασης του φωτός είναι ίδιες. Τα σχήματα 5.15, 5.19 και 5.16, 5.20 αναφέρονται στους ανιχνευτές της απευθείας και της προς τα πίσω σκέδασης, αντίστοιχα για την περίπτωση του προσανατολισμού όψεως, ενώ τα 5.17, 5.21 και 5.18, 5.22 αναφέρονται στους ανιχνευτές της απευθείας και της προς τα πίσω σκέδασης, αντίστοιχα για την περίπτωση του προσανατολισμού πλευράς.

Κεφάλαιο 5: Σκέδαση ΗΜ ακτινοβολίας από απαραμόρφωτα ερυθρά αιμοσφαίρια

106

Υπέρυθρη ΗΜ ακτινοβολία με μήκος κύματος λ0 =1.523μm

(α)

(b)

Σχήμα 5.15: Ένταση σκεδαζόμενου φωτός στην απευθείας περιοχή σκέδασης για μια υπέρυθρη ακτινοβολία με μήκος κύματος λ0 = 1.523μm και για προσανατολισμό όψεως (τ = 0o); (a)

γεωμετρία πεπλατυσμένου σφαιροειδούς (b) ακριβής γεωμετρία ερυθροκυττάρου.

Log10(IR)

Log10(IR)

5.3 Προσέγγιση του ερυθροκυττάρου από πιο απλά σχήματα ισοδύναμου όγκου

107

(α)

(b)

Σχήμα 5.16: Ένταση σκεδαζόμενου φωτός στην προς τα πίσω περιοχή σκέδασης για μια υπέρυθρη ακτινοβολία με μήκος κύματος λ0 = 1.523μm και για προσανατολισμό όψεως (τ = 0o); (a)

γεωμετρία πεπλατυσμένου σφαιροειδούς (b) ακριβής γεωμετρία ερυθροκυττάρου.

Log10(IR)

Log10(IR)

Κεφάλαιο 5: Σκέδαση ΗΜ ακτινοβολίας από απαραμόρφωτα ερυθρά αιμοσφαίρια

108

(α)

(b)

Σχήμα 5.17: Ένταση σκεδαζόμενου φωτός στην απευθείας περιοχή σκέδασης για μια υπέρυθρη ακτινοβολία με μήκος κύματος λ0 = 1.523μm και για προσανατολισμό πλευράς (τ = 90o); (a)

γεωμετρία πεπλατυσμένου σφαιροειδούς (b) ακριβής γεωμετρία ερυθροκυττάρου.

Log10(IR)

Log10(IR)

5.3 Προσέγγιση του ερυθροκυττάρου από πιο απλά σχήματα ισοδύναμου όγκου

109

(α)

(b)

Σχήμα 5.18: Ένταση σκεδαζόμενου φωτός στην προς τα πίσω περιοχή σκέδασης για μια υπέρυθρη ακτινοβολία με μήκος κύματος λ0 = 1.523μm και για προσανατολισμό πλευράς (τ = 90o); (a)

γεωμετρία πεπλατυσμένου σφαιροειδούς (b) ακριβής γεωμετρία ερυθροκυττάρου.

Log10(IR)

Log10(IR)

Κεφάλαιο 5: Σκέδαση ΗΜ ακτινοβολίας από απαραμόρφωτα ερυθρά αιμοσφαίρια

110

Ακτινοβολία He-Ne laser με μήκος κύματος λ0 = 0.6328μm

(α)

(b)

Σχήμα 5.19: Ένταση σκεδαζόμενου φωτός στην απευθείας περιοχή σκέδασης για ακτινοβολία He-Ne laser με μήκος κύματος λ0 = 0.6328μm και για προσανατολισμό όψεως (τ = 0o); (a) γεωμετρία

πεπλατυσμένου σφαιροειδούς (b) ακριβής γεωμετρία ερυθροκυττάρου.

Log10(IR)

Log10(IR)

5.3 Προσέγγιση του ερυθροκυττάρου από πιο απλά σχήματα ισοδύναμου όγκου

111

(α)

(b)

Σχήμα 5.20: Ένταση σκεδαζόμενου φωτός στην προς τα πίσω περιοχή σκέδασης για ακτινοβολία He-Ne laser με μήκος κύματος λ0 = 0.6328 μm και για προσανατολισμό όψεως (τ = 0o); (a)

γεωμετρία πεπλατυσμένου σφαιροειδούς (b) ακριβής γεωμετρία ερυθροκυττάρου.

Log10(IR)

Log10(IR)

Κεφάλαιο 5: Σκέδαση ΗΜ ακτινοβολίας από απαραμόρφωτα ερυθρά αιμοσφαίρια

112

(α)

(b)

Σχήμα 5.21: Ένταση σκεδαζόμενου φωτός στην απευθείας περιοχή σκέδασης για ακτινοβολία He-Ne laser με μήκος κύματος λ0 = 0.6328μm και για προσανατολισμό πλευράς (τ = 90o); (a)

γεωμετρία πεπλατυσμένου σφαιροειδούς (b) ακριβής γεωμετρία ερυθροκυττάρου.

Log10(IR)

Log10(IR)

5.3 Προσέγγιση του ερυθροκυττάρου από πιο απλά σχήματα ισοδύναμου όγκου

113

(α)

(b)

Σχήμα 5.22: Ένταση σκεδαζόμενου φωτός στην προς τα πίσω πλευράς περιοχή σκέδασης για ακτινοβολία He-Ne laser με μήκος κύματος λ0 = 0.6328 μm και για προσανατολισμό πλευράς

(τ = 90o); (a) γεωμετρία πεπλατυσμένου σφαιροειδούς (b) ακριβής γεωμετρία ερυθροκυττάρου.

Log10(IR)

Log10(IR)

Κεφάλαιο 5: Σκέδαση ΗΜ ακτινοβολίας από απαραμόρφωτα ερυθρά αιμοσφαίρια

114

Συμπεράσματα

Σχετικά με την προσέγγιση της γεωμετρίας του ερυθρού αιμοσφαιρίου με ένα πεπλατυσμένο σφαιροειδές ισοδύναμου όγκου και ισοδύναμης ακτίνας μεγάλου ημι-άξονα, από τις κατανομές της διαφορικής διατομής σκέδασης ως προς την γωνία σκέδασης (σχήματα 5.10 ÷ 5.13) και από τις καμπύλες έντασης του σκεδαζόμενου φωτός πάνω στην επιφάνεια των ανιχνευτών της απευθείας και της προς τα πίσω σκέδασης (σχήματα 5.15÷ 5.22), μπορούν να εξαχθούν τα εξής συμπεράσματα:

i) Προσανατολισμός όψεως

6.3 Όσον αφορά τον προσανατολισμό όψεως, τα σκεδαζόμενα πεδία για την προσεγγιστική και την ακριβή γεωμετρία του ερυθροκυττάρου, παρουσιάζουν στο παράλληλο και στο κάθετο επίπεδο σκέδασης (σχήματα 5.10 και 5.12) μια ικανοποιητική συμφωνία περίπου μέχρι την γωνία σκέδασης θ sc = 80ο, κυρίως στις θέσεις των τοπικών ελάχιστων και μέγιστων των κατανομών.

6.4 Για γωνίες όμως μεγαλύτερες από 80ο οι διαφορές στα δυο πεδία αρχίζουν να γίνονται ιδιαίτερα σημαντικές. Εδικά στο διάστημα από 100ο έως 180ο οι κατανομές της σκεδαζόμενης ενέργειας παρουσιάζουν μια τελείως διαφορετική συμπεριφορά και συνεπώς συνάγεται ότι στην περιοχή αυτή σκέδασης η προσέγγιση της γεωμετρίας του ερυθροκυττάρου με τη γεωμετρία του πεπλατυσμένου σφαιροειδούς κρίνεται μη επιτυχής.

6.5 Τα παραπάνω συμπεράσματα που αφορούν το παράλληλο και το κάθετο επίπεδο σκέδασης, μπορούν να επεκταθούν για όλες τις διευθύνσεις του χώρου στις περιοχές της απευθείας σκέδασης (0ο≤ θ ≤ 20ο) και της προς τα πίσω σκέδασης (160ο≤ θ ≤ 180ο), με σύγκριση των τιμών της έντασης του σκεδαζόμενου φωτός στην επιφάνεια των επίπεδων ανιχνευτών. Πράγματι στον ανιχνευτή της απευθείας σκέδασης (σχήματα 5.15 και 5.19) οι εντάσεις φωτός για την προσεγγιστική και την ακριβή γεωμετρία του ερυθροκυττάρου είναι περίπου οι ίδιες, ενώ αντίθετα στον ανιχνευτή της προς τα πίσω σκέδασης (σχήματα 5.16 και 5.20) η ενέργεια που σκεδάζεται από τις δυο γεωμετρίες είναι τελείως διαφορική.

6.6 Πιο συγκεκριμένα στον ανιχνευτή της προς τα πίσω σκέδασης και για την περίπτωση της υπέρυθρης ακτινοβολίας (σχήμα 5.16) η σκεδαζόμενη ακτινοβολία από την προσεγγιστική γεωμετρία του πεπλατυσμένου σφαιροειδούς είναι σημαντικά μεγαλύτερη σε σχέση με την αντίστοιχη της ακριβούς γεωμετρίας του ερυθροκυττάρου. Οι διαφορές στις εντάσεις του φωτός είναι το ίδιο σημαντικές και στην περίπτωση της ακτινοβολίας του He-Ne laser (σχήμα 5.20), μόνο που στην περίπτωση αυτή σε αντίθεση με την υπέρυθρη ακτινοβολία, η ενέργεια που σκεδάζεται από το πεπλατυσμένο σφαιροειδές είναι πολύ μικρότερη εν συγκρίσει με την αντίστοιχη της ακριβούς γεωμετρίας.

6.7 Οι μεγάλες αυτές διαφορές στις εντάσεις του φωτός μπορούν να αποδοθούν στις αντίθετες κλίσεις που έχουν οι επιφάνειες που συναντά η ΗΜ ακτινοβολία προσπίπτοντας πάνω στους δυο σκεδαστές (πεπλατυσμένο σφαιροειδές, αμφίκοιλος δίσκος) στην περίπτωση του προσανατολισμού όψεως. Η υπόθεση αυτή οδηγεί στο γενικό συμπέρασμα ότι η ακτινοβολία που σκεδάζεται στην περιοχή της προς τα πίσω σκέδασης εξαρτάται άμεσα από την κλίση της επιφάνειας του σωματιδίου που συναντά το ΗΜ κύμα προσπίπτοντας πάνω σε αυτό.

6.8 Μάλιστα για την υψίσυχνη ακτινοβολία του He-Ne laser οι παραπάνω διαφορές στις εντάσεις του φωτός μπορούν να εξηγηθούν λαμβάνοντας υπόψη τις κλίσεις των δυο

5.3 Προσέγγιση του ερυθροκυττάρου από πιο απλά σχήματα ισοδύναμου όγκου

115

επιφανειών με βάση τις γενικές αρχές της οπτικής. Πράγματι η ακριβής γεωμετρία του ερυθροκυττάρου συμπεριφέρεται ως ένας αμφίκοιλος φακός (biconcave lens), ο οποίος συγκεντρώνει την ανακλώμενη ακτινοβολία σε μια μικρή περιοχή γύρω από την διεύθυνση της προς τα πίσω σκέδασης. Αντίθετα η γεωμετρία του πεπλατυσμένου σφαιροειδούς, με κλίση ακριβώς αντίθετη από αυτή του αμφίκοιλου δίσκου, συμπεριφέρεται ως ένας αμφίκυρτος φακός (biconvex lens), οποίος διασκορπίζει την ανακλώμενη ακτινοβολία σε μια μεγάλη περιοχή γύρω από την διεύθυνση της προς τα πίσω σκέδασης.

ii) Προσανατολισμός πλευράς

6.9 Όσον αφορά τον προσανατολισμό πλευράς, τα σκεδαζόμενα πεδία για την προσεγγιστική και την ακριβή γεωμετρία του ερυθροκυττάρου παρουσιάζουν στο παράλληλο και στο κάθετο επίπεδο σκέδασης (σχήματα 5.11 και 5.13) μια γενικά παρόμοια συμπεριφορά, σημειώνοντας ότι στο κάθετο επίπεδο σκέδασης παρατηρείται μια πολύ καλή συμφωνία για τις γωνίες 15ο≤ θ ≤ 100ο.

6.10 Συγκρίνοντας τις εντάσεις στην επιφάνεια του ανιχνευτή της απευθείας σκέδασης (σχήματα 5.17 και 5.21) είναι φανερό ότι στη προσέγγιση του πεπλατυσμένου σφαιροειδούς οι ισοϋψείς καμπύλες της έντασης σχηματίζουν ομόκεντρα ελλειπτικά αποτυπώματα για κάθε προσπίπτουσα ακτινοβολία. Αντίθετα στην περίπτωση της αμφίκοιλης δισκοειδούς γεωμετρίας, σχηματίζονται ελλειπτικά αποτυπώματα μόνο αν το μήκος κύματος της προσπίπτουσας ακτινοβολία είναι μεγάλο, ενώ για μικρότερα μήκη κύματος οι ελλειπτικές ισοϋψείς καμπύλες αρχίζουν να διαφοροποιούνται. Μάλιστα οι διαφοροποιήσεις αυτές είναι σημαντικά πιο έντονες στις ισοϋψείς καμπύλες που αντιστοιχούν στις μεγαλύτερες γωνίες σκέδασης.

6.11 Γενικά μπορεί να ειπωθεί ότι στην περιοχή της απευθείας σκέδασης η προσέγγιση του πεπλατυσμένου σφαιροειδούς μπορεί να περιγράψει μόνο την γενική μορφή της κατανομής της σκεδαζόμενης ακτινοβολίας από την ακριβή γεωμετρία του ερυθροκυττάρου, ομαλοποιώντας κατά κάποιο τρόπο τις απότομες μεταβολές του πεδίου με ομόκεντρες ελλειπτικές μεταβολές. Επιπλέον η εν λόγω προσέγγιση κρίνεται ιδιαίτερα επιτυχής στην περιοχή που βρίσκεται πολύ κοντά στην διεύθυνση της απευθείας σκέδασης, σημειώνοντας ότι τα όρια αυτής της περιοχής δεν είναι σταθερά και μικραίνουν όσο η συχνότητα της προσπίπτουσας ακτινοβολίας αυξάνει.

6.12 Τέλος στον ανιχνευτή της προς τα πίσω σκέδασης (σχήματα 5.18 και 5.22) παρατηρούνται μεν διαφορές στις κατανομές της έντασης του σκεδαζόμενου φωτός στην επιφάνεια του ανιχνευτή, αλλά σε αντίθεση με τον προσανατολισμό όψεως, τα ποσά της ενέργειας που σκεδάζονται από το πεπλατυσμένο σφαιροειδές και από την ακριβή γεωμετρία του ερυθροκυττάρου είναι περίπου ίδιας τάξης. Η παρατήρηση αυτή είναι σε πλήρη συμφωνία με το συμπέρασμα ότι η σκεδαζόμενη ενέργεια στην περιοχή της πίσω σκέδασης εξαρτάται άμεσα από την κλίση της επιφάνειας του σωματιδίου στην περιοχή που προσπίπτει η ακτινοβολία. Πράγματι στην περίπτωση του προσανατολισμού πλευράς το ΗΜ κύμα προσπίπτει πάνω στις πλευρικές επιφάνειες του πεπλατυσμένου σφαιροειδούς και του αμφίκοιλου δίσκου, οι οποίες έχουν περίπου την ίδια κλίση και συνεπώς σύμφωνα με το παραπάνω συμπέρασμα η σκεδαζόμενη ακτινοβολία στην περιοχή της προς τα πίσω σκέδασης από τους δυο γεωμετρίες πρέπει να είναι της ίδιας τάξης, γεγονός που επιβεβαιώνεται από τις

Κεφάλαιο 5: Σκέδαση ΗΜ ακτινοβολίας από απαραμόρφωτα ερυθρά αιμοσφαίρια

116

εντάσεις του φωτός στην επιφάνεια του ανιχνευτή της προς τα πίσω σκέδασης (σχήματα 5.18 και 5.22).

5.4 Παραμετρική μελέτη για την επίδραση του μήκους κύματος και του δείκτη διάθλασης στο σκεδαζόμενο φως

Στο παρόν υποκεφάλαιο παρουσιάζεται παραμετρική μελέτη όσον αφορά την επίδραση του μήκους κύματος της προσπίπτουσας ακτινοβολίας, καθώς και του δείκτη διάθλασης του ερυθροκυττάρου στην σκεδαζόμενη από αυτό ακτινοβολία. Σε έναν τυπικό ανιχνευτή φωτός η ακτινοβολία συλλέγεται στον κώνο μιας στερεάς γωνίας και τελικά ως πειραματική μέτρηση παρέχεται η τιμή του ολοκληρώματος της έντασης του φωτός στη γωνία αυτή. Όλα τα αριθμητικά αποτελέσματα της παρούσας παραμετρικής μελέτης αναφέρονται στην ένταση του σκεδαζόμενου φωτός ολοκληρωμένη πάνω στην επιφάνεια του φωτο-ανιχνευτή.

Σε έναν ανιχνευτή, τοποθετημένο μακριά από τον σκεδαστή η μετρούμενη ένταση του φωτός σύμφωνα με την (2.84) γράφεται:

I

GR I

RII 2= , (5.7)

όπου R είναι η απόσταση του κέντρου του σωματιδίου από τον ανιχνευτή και GRI είναι η σχετική

ένταση του φωτός ολοκληρωμένη πάνω στην επιφάνεια του ανιχνευτή. Θεωρώντας την επιφάνεια του ανιχνευτή ως ένα σφαιρικό καπάκι ακτίνας R, η G

RI γράφεται:

( ) ( )( ) ( )( )( )

∫ ∫=τγθ τγϕ

ϕθτγθτγϕτγθσ, ,

,sin,,, ddI DGR , (5.8)

όπου σD είναι η διαφορική διατομή σκέδασης και θ, ϕ είναι οι γωνίες ενός σφαιρικού συστήματος συντεταγμένων με αρχή το γεωμετρικό κέντρο του σκεδαστή, όπως φαίνεται στο σχήμα 5.23(α). Οι γωνίες του σφαιρικού συστήματος θ, ϕ είναι συναρτήσεις δυο τοπικών σφαιρικών γωνιών γ και τ, οι οποίες σε συνδυασμό με την απόσταση R, περιγράφουν την σφαιρική γεωμετρία του ανιχνευτή. Όπως φαίνεται στο σχήμα 5.23(b), γωνία τ παίρνει τιμές από 0o έως 360o, ενώ η γωνία γ στην παρούσα παραμετρική μελέτη έχει επιλεγεί να παίρνει τιμές από 0o έως 10o.

Η σχετική ένταση του φωτός ολοκληρωμένη πάνω στην επιφάνεια του ανιχνευτή GRI υπολογίζεται

αριθμητικά για τέσσερις χαρακτηριστικές θέσεις του ανιχνευτή (σχήμα 5.23(α)) σε σχέση με τις διευθύνσεις διάδοσης της προσπίπτουσας ακτινοβολίας, όπως αυτές έχουν ορισθεί στην παράγραφο 5.1.3. Οι δυο πρώτες θέσεις των ανιχνευτών αντιστοιχούν στις περιοχές της απευθείας και της προς τα πίσω σκέδασης και οι άλλες δυο στις περιοχές της πλάγιας σκέδασης στο παράλληλο (ανιχνευτής πλάγιας σκέδασης-1) και στο κάθετο επίπεδο σκέδασης (ανιχνευτής

5.4 Παραμετρική μελέτη για την επίδραση του μήκους κύματος και του δείκτη διάθλασης στο σκεδαζόμενο φως

117

πλάγιας σκέδασης-2). Για τις παραπάνω θέσεις των ανιχνευτών, οι γωνίες θ, ϕ συνδέονται με τις τοπικές σφαιρικές γωνίες γ και τ ως εξής:

( )( ) σκέδασης απευθείας ανιχνευτής

⎭⎬⎫

==

ττγϕγτγθ

,,

, (5.9)

( )( ) σκέδασης πίσω τα προς της ανιχνευτής

⎭⎬⎫

=−=

ττγϕγτγθ

,180,

, (5.10)

( )

( )1-σκέδασης πλάγιας της ανιχνευτής

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=

+−=

−

−

γτγτγϕ

τγτγγ

τγθ

cossinsintan,

cossinsinsincos

tan,

1

2221

, (5.11)

( )

( )2-σκέδασης πλάγιας της ανιχνευτής

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=

+−=

−

−

τγγτγϕ

τγτγγ

τγθ

cossincostan,

sinsincossincos

tan,

1

2221

. (5.12)

Σχήμα 5.23:Υπολογισμός της έντασης του σκεδαζόμενου φωτός, ολοκληρωμένης πάνω στην

σφαιρική επιφάνεια του ανιχνευτή; (a) θέσεις των ανιχνευτών (b) τοπική γεωμετρία του ανιχνευτή

5.4.1 Παραμετρική μελέτη για το μήκος κύματος

Στην παρούσα παράγραφο διερευνάται η εξάρτηση της σκεδαζόμενης ακτινοβολίας από το μήκος κύματος της πρόσπτωσης, όταν αυτό μεταβάλλεται από την υπέρυθρη στην ορατή περιοχή του φάσματος της ΗΜ ακτινοβολίας. Στα σχήματα 5.24(α) και 5.24(b) παρουσιάζεται το ολοκλήρωμα της σχετικής έντασης του σκεδαζόμενου φωτός πάνω στην επιφάνεια των σφαιρικών ανιχνευτών

Κεφάλαιο 5: Σκέδαση ΗΜ ακτινοβολίας από απαραμόρφωτα ερυθρά αιμοσφαίρια

118

GRI , ως συνάρτηση του κυματικού αριθμού kex για τους προσανατολισμούς όψεως και πλευράς,

αντίστοιχα.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 151E-5

1E-4

1E-3

0.01

0.1

1

10

100

Προσανατολισμός όψεως

Ανιχνευτής απευθείας σκέδασης Ανιχνευτής πλάγιας σκέδασης-1 Ανιχνευτής πλάγιας σκέδασης-2 Ανιχνευτής προς τα πίσω σκέδασης

I RG (μm

2 )

Κυματικός αριθμός kex (μm-1) (a)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

1E-5

1E-4

1E-3

0.01

0.1

1

10

100

Προσανατολισμός πλευράς

Ανιχνευτής απευθείας σκέδασης Ανιχνευτής πλάγιας σκέδασης-1 Ανιχνευτής πλάγιας σκέδασης-2 Ανιχνευτής προς τα πίσω σκέδασης

I RG (μm

2 )

Κυματικός αριθμός kex (μm-1) (b)

Σχήμα 5.24: Ολοκλήρωμα της σχετικής έντασης του σκεδαζόμενου φωτός πάνω στην επιφάνεια των

σφαιρικών ανιχνευτών GRI , ως συνάρτηση του κυματικού αριθμού kex; α) προσανατολισμός όψεως

(τ = 0o), b) προσανατολισμός πλευράς (τ = 90o)

5.4 Παραμετρική μελέτη για την επίδραση του μήκους κύματος και του δείκτη διάθλασης στο σκεδαζόμενο φως

119

Από τα παραπάνω σχήματα μπορούν να εξαχθούν τα εξής συμπεράσματα:

i) Η σκεδαζόμενη ΗΜ ακτινοβολία που συλλέγεται από τον ανιχνευτή της απευθείας σκέδασης είναι μια ομαλή συνάρτηση ως προς το μήκος κύματος της προσπίπτουσας ακτινοβολίας, ενώ στους υπόλοιπους ανιχνευτές η λαμβανόμενη ακτινοβολία χαρακτηρίζεται από μια κυματοειδή μορφή, η οποία είναι αρκετά έντονη στον ανιχνευτή της προς τα πίσω σκέδασης.

Μάλιστα η πυκνότητα των κυματισμών στον ανιχνευτή της προς τα πίσω σκέδασης αυξάνει σημαντικά στην περίπτωση του προσανατολισμού πλευράς συγκρινόμενη με την αντίστοιχη που εμφανίζεται στον προσανατολισμό όψεως.

ii) Η ενέργεια που σκεδάζεται στην περιοχή της απευθείας σκέδασης είναι σημαντικά μεγαλύτερη (περίπου κατά 3 έως 4 τάξεις μεγέθους) εν συγκρίσει με αυτή που σκεδάζεται στις περιοχές της πλάγιας και της προς τα πίσω σκέδασης.

iii) Στην περίπτωση του προσανατολισμού όψεως η απευθείας σκεδαζόμενη ενέργεια μεταβάλλεται ως μονότονη συνάρτηση με το μήκος κύματος, ενώ στον προσανατολισμό πλευράς η σκεδαζόμενη ενέργεια παρουσιάζει μέγιστο στον κυματικό αριθμό kex = 10.5 μm-1.

iv) Η ενέργεια που συλλέγεται από τον ανιχνευτή πλάγιας σκέδασης–2 στο κάθετο επίπεδο σκέδασης είναι μεγαλύτερη (περίπου κατά μια τάξη μεγέθους) από την αντίστοιχη που λαμβάνεται από τον ανιχνευτή πλάγιας σκέδασης–1 στο παράλληλο επίπεδο σκέδασης, ανεξάρτητα από τον προσανατολισμού του ερυθρού αιμοσφαιρίου.

v) Τέλος για προσπίπτουσα ΗΜ ακτινοβολία με κυματικό αριθμό kex μικρότερο από 2.5 μm-1, η ενέργεια που σκεδάζεται στην περιοχή της απευθείας σκέδασης είναι ανεξάρτητη από τον προσανατολισμού του ερυθροκυττάρου και σύμφωνα με το συμπέρασμα ii) της παραγράφου 5.3.1 εξαρτάται μόνο από τον όγκο αυτού.

5.4.2 Παραμετρική μελέτη για το δείκτη διάθλασης

Όπως έχει ήδη αναφερθεί στην παράγραφο 5.1.2, ο σχετικός δείκτης διάθλασης m ενός υγιούς ερυθροκυττάρου σε ένα ισοτονικό διάλυμα NaCl παίρνει τιμές στο διάστημα από 1.049 έως 1.058. Όμως σε πολλές παθολογικές καταστάσεις, όπου επηρεάζεται είτε η συγκέντρωση της αιμοσφαιρίνης είτε οι ιδιότητας της μεμβράνης του ερυθροκυττάρου, ο δείκτης διάθλασης του υπάρχει περίπτωση να πάρει τιμές εκτός του διαστήματος των φυσιολογικών τιμών. Σκοπός της παρούσας παραμετρικής μελέτης είναι να διερευνήσει της ευαισθησία της σκεδαζόμενης ακτινοβολίας που συλλέγεται από τους παραπάνω τέσσερις ανιχνευτές σε σχέση με τον δείκτη διάθλασης του ερυθροκυττάρου. Στα σχήματα 5.25(a) και 5.25(b) παρουσιάζεται το ολοκλήρωμα της σχετικής έντασης του σκεδαζόμενου φωτός πάνω στην επιφάνεια των σφαιρικών ανιχνευτών

GRI , ως συνάρτηση του σχετικού δείκτη διάθλασης m για τους προσανατολισμούς όψεως και

πλευράς, αντίστοιχα για την περίπτωση της υπέρυθρης προσπίπτουσας ακτινοβολίας με μήκος κύματος λ0 = 1.523μm και στα σχήματα 5.26(a) και 5.26(b) τα αντίστοιχα αριθμητικά αποτελέσματα για την ακτινοβολία του He-Ne laser.

Κεφάλαιο 5: Σκέδαση ΗΜ ακτινοβολίας από απαραμόρφωτα ερυθρά αιμοσφαίρια

120

Υπέρυθρη ΗΜ ακτινοβολία με μήκος κύματος λ0 =1.523μm

1.02 1.03 1.04 1.05 1.06 1.07 1.08 1.09 1.1010-6

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102

Ανιχνευτής απευθείας σκέδασης Ανιχνευτής πλάγιας σκέδασης-1 Ανιχνευτής πλάγιας σκέδασης-2 Ανιχνευτής προς τα πίσω σκέδασης

Προσανατολισμός όψεως

I RG (μ

m2 )

Σχετικός δείκτης διάθλασης m (a)

1.02 1.03 1.04 1.05 1.06 1.07 1.08 1.09 1.1010-6

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

Προσανατολισμός πλευράς

Ανιχνευτής απευθείας σκέδασης Ανιχνευτής πλάγιας σκέδασης-1 Ανιχνευτής πλάγιας σκέδασης-2 Ανιχνευτής προς τα πίσω σκέδασης

I RG (μ

m2 )

Σχετικός δείκτης διάθλασης m (b)

Σχήμα 5.25: Ολοκλήρωμα της σχετικής έντασης του σκεδαζόμενου φωτός πάνω στην επιφάνεια των

σφαιρικών ανιχνευτών GRI , ως συνάρτηση του σχετικού δείκτη διάθλασης του ερυθροκυττάρου ως

προς το ισοτονικό διάλυμα NaCl για υπέρυθρη ΗΜ ακτινοβολία με μήκος κύματος λ0 = 1.523μm; α) προσανατολισμός όψεως (τ = 0o), b) προσανατολισμός πλευράς (τ = 90o)

5.4 Παραμετρική μελέτη για την επίδραση του μήκους κύματος και του δείκτη διάθλασης στο σκεδαζόμενο φως

121

Ακτινοβολία He-Ne laser με μήκος κύματος λ0 = 0.6328μm

1.02 1.03 1.04 1.05 1.06 1.07 1.08 1.09 1.10

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102

Ανιχνευτής απευθείας σκέδασης Ανιχνευτής πλάγιας σκέδασης-1 Ανιχνευτής πλάγιας σκέδασης-2 Ανιχνευτής προς τα πίσω σκέδασης

Προσανατολισμός όψεως

I RG (μ

m2 )

Σχετικός δείκτης διάθλασης m (a)

1.02 1.03 1.04 1.05 1.06 1.07 1.08 1.09 1.10

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102

Προσανατολισμός πλευράς

Ανιχνευτής απευθείας σκέδασης Ανιχνευτής πλάγιας σκέδασης-1 Ανιχνευτής πλάγιας σκέδασης-2 Ανιχνευτής προς τα πίσω σκέδασης

I RG (μ

m2 )

Σχετικός δείκτης διάθλασης m (b)

Σχήμα 5.26: Ολοκλήρωμα της σχετικής έντασης του σκεδαζόμενου φωτός πάνω στην επιφάνεια των

σφαιρικών ανιχνευτών GRI , ως συνάρτηση του σχετικού δείκτη διάθλασης του ερυθροκυττάρου ως

προς το ισοτονικό διάλυμα NaCl για την ακτινοβολία του He-Ne laser; α) προσανατολισμός όψεως (τ = 0o), b) προσανατολισμός πλευράς (τ = 90o)

Κεφάλαιο 5: Σκέδαση ΗΜ ακτινοβολίας από απαραμόρφωτα ερυθρά αιμοσφαίρια

122

Συμπεράσματα

Από τα παραπάνω σχήματα μπορούν να εξαχθούν τα εξής συμπεράσματα:

i) Σε όλους τους ανιχνευτές φωτός η σκεδαζόμενη ακτινοβολία που συλλέγεται είναι ομαλή συνάρτηση ως προς το δείκτη διάθλασης του ερυθροκυττάρου.

ii) Επιπλέον στους ανιχνευτές της πλάγιας σκέδασης η λαμβανόμενη ακτινοβολία μεταβάλλεται μονότονα με το δείκτη διάθλασης.

123

Κεφάλαιο 6

Ανακεφαλαίωση και προτάσεις για μελλοντική έρευνα

Στην παρούσα διδακτορική διατριβή αντιμετωπίσθηκε το πρόβλημα σκέδασης ηλεκτρομαγνητικής (ΗΜ) ακτινοβολίας από ένα ή περισσότερα διηλεκτρικά σωματίδια. Η επίλυση του εν λόγω προβλήματος έγινε αριθμητικά και επιτεύχθηκε με την ανάπτυξη δυο μεθοδολογιών συνοριακών στοιχείων, μια στις τρεις διαστάσεις που εφαρμόζεται σε σωματίδια τυχαίου σχήματος και μια αξονοσυμμετρική που εφαρμόζεται σε σωματίδια με αξονική συμμετρία. Επιπλέον με τη μεθοδολογία που αναπτύχθηκε, επιλύθηκε με μεγάλη ακρίβεια το πρόβλημα σκέδασης ΗΜ ακτινοβολίας από ένα απαραμόρφωτο υγιές ερυθρό αιμοσφαίριο, προσομοιώνοντας αριθμητικά για πρώτη φορά την ακριβή αξονοσυμμετρική αμφίκοιλη δισκοειδή γεωμετρία του, σύμφωνα με πειραματικές μετρήσεις που είναι διαθέσιμες στην βιβλιογραφία.

Η κυριότερη προσφορά της προτεινόμενης μεθοδολογίας συνοριακών στοιχείων στις τρεις διαστάσεις είναι ότι μπορεί εύκολα να ενσωματωθεί σε ένα κώδικα ηλεκτρονικού υπολογιστή γενικού σκοπού, με τον οποίο θα επιλύονται προβλήματα σκέδασης ακουστικών, ηλεκτρομαγνητικών και ελαστικών κυμάτων. Σε ότι αφορά την αξονοσυμμετρική μεθοδολογία συνοριακών στοιχείων η κύρια προσφορά της είναι ότι (i) οι συναρτήσεις των πεδίων αναπτύσσονται σε διακριτές μιγαδικές σειρές Fourier, (ii) τα ολοκληρωμάτα ως προς την γωνία περιστροφής του αξονοσυμμετρικού σώματος υπολογίζονται με τη βέλτιστη χρήση του αλγόριθμου ταχέως μετασχηματισμού Fourier (FFT), ταυτόχρονα για όλες τις αρμονικές του προβλήματος και (iii) τα ιδιόμορφα ολοκληρώματα αντιμετωπίζονται με τη συνδυασμένη χρήση τεχνικών ιδιόμορφης ολοκλήρωσης τριών διαστάσεων και ενός μη-περιοδικού FFT αλγόριθμου.

Από την αριθμητική επίλυση του προβλήματος σκέδασης ΗΜ από ένα απαραμόρφωτο υγιές ερυθρό αιμοσφαίριο προέκυψαν τα εξής κύρια συμπεράσματα:

Κεφάλαιο 6: Ανακεφαλαίωση και προτάσεις για μελλοντική έρευνα

124

i) Η ενέργεια που σκεδάζεται στην διεύθυνση της απευθείας σκέδασης εξαρτάται από τον προσανατολισμό του ερυθροκυττάρου.

ii) Η πόλωση της προσπίπτουσας ακτινοβολίας επιδρά σημαντικά στην ενέργεια που σκεδάζεται στην περιοχή της πλάγιας σκέδασης.

iii) Η σκεδασμένη ακτινοβολία στην διεύθυνση της προς τα πίσω σκέδασης είναι σημαντικά μεγαλύτερη στην περίπτωση που το ερυθροκύτταρο ακτινοβολείται στην όψη του εν συγκρίσει με τους άλλους προσανατολισμούς του.

iv) Η κλίση της επιφάνειας του σκεδαστή που συναντά η ακτινοβολία προσπίπτοντας σε αυτόν, επιδρά δραστικά στο σκεδασμένο πεδίο στην περιοχή της προς τα πίσω σκέδασης

v) Στην περίπτωση που το ερυθροκύτταρο είναι προσανατολισμένο με την όψη του ως προς τον προσπίπτον κύμα, η σκεδασμένη ενέργεια στην περιοχή κοντά στην διεύθυνση της απευθείας σκέδασης (0 ≤ θ sc ≤ 10o) είναι μονότονη συνάρτηση ως προς το μήκος κύματος της προσπίπτουσας ακτινοβολίας. Στην περίπτωση όμως του προσανατολισμού πλευράς η παραπάνω παρατήρηση ισχύει μόνο για κυματικούς αριθμούς kex ≤ 10.5μm-1.

vi) Η κατανομή του σκεδασμένου πεδίου στην περιοχή της πλάγιας σκέδασης είναι μονότονη συνάρτηση ως προς τον δείκτη διάθλασης του ερυθροκυττάρου ανεξάρτητα από τον προσανατολισμό του.

Τέλος από την προσέγγιση της γεωμετρίας του ερυθρού αιμοσφαιρίου από τα πιο απλά σχήματα της σφαίρας και του πεπλατυσμένου σφαιροειδούς προέκυψαν τα εξής συμπεράσματα:

i) Η προσέγγιση της γεωμετρίας του ερυθροκυττάρου με σφαίρα ισοδύναμου όγκου είναι γενικά μη ακριβής. Η μοναδική περίπτωση που μπορεί να θεωρηθεί ικανοποιητική είναι σε προβλήματα με προσπίπτουσα ακτινοβολία χαμηλής συχνότητας (kex ≤ 2 .5μm-1) και μόνο για την περιοχή πολύ κοντά στην διεύθυνση της απευθείας σκέδασης.

ii) Η προσέγγιση της γεωμετρίας του ερυθροκυττάρου με πεπλατυσμένο σφαιροειδές με όγκο ίσο με τον όγκο του ερυθροκυττάρου και ακτίνα μεγάλου ημι-άξονα ίση με την χαρακτηριστική ακτίνα αυτού, μπορεί να θεωρηθεί ακριβής ανεξάρτητα του προσανατολισμού του κυττάρου μόνο στην περίπτωση που κάποιος ενδιαφέρεται να συλλέξει πληροφορίες στην περιοχή κοντά στην διεύθυνση της απευθείας σκέδασης (0 ≤ θ sc ≤ 4 o). Βέβαια στην περίπτωση του προσανατολισμού όψεως η προσέγγιση του πεπλατυσμένου σφαιροειδούς κρίνεται ικανοποιητική για όλη την περιοχή της απευθείας σκέδασης. Αντίθετα για τον προσανατολισμό πλευράς μπορεί να ειπωθεί ότι στην περιοχή της απευθείας σκέδασης η προσέγγιση του πεπλατυσμένου σφαιροειδούς μπορεί να περιγράψει μόνο την γενική μορφή της πραγματικής κατανομής της σκεδαζόμενης ακτινοβολίας, ομαλοποιώντας κατά κάποιο τρόπο τις απότομες μεταβολές του πεδίου με ομόκεντρες ελλειπτικές μεταβολές.

Το πρόβλημα της σκέδασης ΗΜ ακτινοβολίας από διηλεκτρικά σωματίδια παρουσιάζει εξαιρετικό ενδιαφέρον από πλευράς εφαρμογών αλλά συγχρόνως η επίλυση του παρουσιάζει μεγάλη πολυπλοκότητα. Σε ότι αφορά την περαιτέρω ανάπτυξη της μεθόδου συνοριακών στοιχείων για την αντιμετώπιση τέτοιου είδους προβλημάτων μπορεί να γίνει έρευνα στα εξής αντικείμενα:

125

Όπως αναφέρθηκε στην παράγραφο 3.1.2, το κύριο μειονέκτημα της ολοκληρωτικής εξίσωσης των Stratton and Chu που επιλύεται αριθμητικά με την παρούσα μέθοδο συνοριακών στοιχείων (ΜΣΣ), είναι ότι αποτυγχάνει να επιλύσει το πρόβλημα της σκέδασης ΗΜ ακτινοβολίας σε ορισμένες χαρακτηριστικές συχνότητες (fictitious eigen-frequencies). Παρόλο που το πρόβλημα αντιμετωπίζεται αριθμητικά με επιτυχία, αφού προστεθεί στο υλικό του άπειρου χώρου διάδοσης μια μικρή ηλεκτρική αγωγιμότητα εν συγκρίσει με την αντίστοιχη διηλεκτρική σταθερά, θα ήταν χρήσιμο να υλοποιηθεί μια μεθοδολογία συνοριακών στοιχείων, η οποία θα στηρίζεται είτε στις ήδη υπάρχουσες διατυπώσεις (Mautz and Harrington 1980; Huddleston et al. 1986; Hall and Mao 1995b) είτε σε μια νέα διατύπωση που να παρέχει μοναδική λύση για όλες τις συχνότητες.

Η παρούσα ΜΣΣ περιορίζεται σε εφαρμογές, στις οποίες ο σκεδαστής είναι ομογενής και ισότροπος ή στην καλύτερη περίπτωση η σύνθεση του αποτελείται από ομογενείς και ισότροπες περιοχές. Θα ήταν λοιπόν χρήσιμο να αναπτυχθεί μελλοντικά μια μεθοδολογία που θα αντιμετωπίζει μη ομογενείς σκεδαστές. Όπως ήδη έχει αναφερθεί στο υποκεφάλαιο 1.1 τέτοιου είδους προβλήματα αντιμετωπίζονται βέλτιστα με την χρήση των υβριδικών μεθόδων. Η πλειοψηφία των μεθόδων αυτών αντιμετωπίζουν τον εξωτερικό άπειρα εκτεινόμενο χώρο με την ΜΣΣ, ενώ για το εσωτερικό του σκεδαστή βασίζονται, είτε στην μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων, είτε στην ΜΣΣ ως μέθοδο όμως ολοκληρωτικών εξισώσεων όγκου.

Τέλος άμεση μελλοντική έρευνα μπορεί να γίνει εφαρμόζοντας την παρούσα ΜΣΣ σε διάφορα προβλήματα σκέδασης ΗΜ ακτινοβολίας. Όσον αφορά τη μελέτη των ερυθρών αιμοσφαιρίων στην παρούσα διατριβή η εφαρμογή της ΜΣΣ περιορίσθηκε σε υγιή απαραμόρφωτα ερυθροκύτταρα. Το επόμενο ερευνητικό βήμα είναι να μελετηθούν προσβεβλημένα ερυθροκύτταρα με αλλοιώσεις είτε στο σχήμα τους είτε στη σύνθεση τους και να διερευνηθεί αν αυτές οι αλλοιώσεις μπορούν να συσχετισθούν με αλλαγές στην κατανομή της σκεδασμένης ακτινοβολίας εν συγκρίσει με την αντίστοιχη κατανομή του υγιούς ερυθροκυττάρου. Τα σημαντικότερα προσβεβλημένα ερυθροκύτταρα που μπορούν να μελετηθούν είναι τα δακρυοκύτταρα, τα δρεπανοκύτταρα, τα ακανθοκύτταρα, τα ελλειπτοκύτταρα και τα στοχοκύτταρα. Τέλος η έρευνα μπορεί να συμπεριλάβει την περίπτωση συγκόλλησης πολλών ερυθρών αιμοσφαιρίων μεταξύ τους, τα οποία ως γνωστό έχουν ως αποτέλεσμα την δημιουργία επικίνδυνων θρόμβων για τον οργανισμό.

127

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ A

Μονάδες ηλεκτρομαγνητικών μεγεθών στο διεθνές σύστημα (S.I.)

Στο παρόν παράρτημα δίνονται οι μονάδες τους στο διεθνές σύστημα (S.I.) όλων των ηλεκτρομαγνητικών μεγεθών που αναφέρονται στο κεφάλαιο 2.

Μέγεθος Σύμβολο Μονάδες σε S.I.

Ηλεκτρικό πεδίο Electric field intensity E Volt / meter

Μαγνητικό πεδίο Magnetic field intensity Η Ampere / meter

Ηλεκτρική μετατόπιση Εlectric flux density or electric displacement D Coulomb / meter2

Μαγνητική επαγωγή Magnetic flux density B Weber / meter2 = Tesla

Πυκνότητα ρεύματος Current density J Ampere / meter2

Επιφανειακή πυκνότητα ρεύματος Surface current density K Ampere / meter

Πυκνότητα φορτίου Charge density ρ Coulomb / meter3

Επιφανειακή πυκνότητα φορτίου Surface charge density ρS Coulomb / meter2

Διηλεκτρική σταθερά Electric permittivity ε Farad / meter

Παράρτημα Α: Μονάδες ηλεκτρομαγνητικών μεγεθών στο διεθνές σύστημα (S.I.)

128

Συνέχεια

Μέγεθος Σύμβολο Μονάδες σε S.I.

Ηλεκτρική αγωγιμότητα Electical conductivity σ Mho / meter

Ωμική αντίσταση Resistance R Ohm

Κυκλική συχνότητα Angular frequency ω Radiant / second

Ταχύτητα διάδοσης κύματος Wave propagation velocity c Meter / second

Κυματικός αριθμός Wave number k Radiant / meter

Μήκος κύματος Wave length λ Meter-1

Δείκτης διάθλασης Refractive index m --

Συντελεστής απόσβεσης Absorbing coefficient a --

Διάνυσμα Poynting ή ροή ισχύος Power flux S Watt / meter2

Ένταση HM πεδίου Irradiance or intensity I Watt / meter2

Ισχύς ΗΜ πεδίου Power W Watt

Πλάτος σκέδασης Scattering amplitude g --

Ενεργειακή διατομή Cross section C meter2

Διαφορική διατομή σκέδασης Differential scattering cross section σD meter2

Οι τιμές της διηλεκτρικής σταθεράς ε0 του μαγνητικής διαπερατότητας μ0 και της ταχύτητας του φωτός στο κενό είναι:

meterFarad/108.854184 120

−×=ε

meterHerny / 104 70

−×= πμ

secondMeter / 10997925.21 8

000 ×==

μεc

129

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ B

Συναρτήσεις σχήματος και παρεμβολής

Στο παρόν παράρτημα δίνονται οι εκφράσεις των συναρτήσεων σχήματος και παρεμβολής, καθώς και οι πρώτες παράγωγοι αυτών, για τα μονοδιάστατα δευτεροβάθμια στοιχεία που χρησιμοποιούνται στην παρούσα διατριβή στην αξονοσυμμετρική ΜΣΣ, και για τα επιφανειακά δευτεροβάθμια τετραγωνικά με 9 κόμβους και τριγωνικά με 6 κόμβους στοιχεία που χρησιμοποιούνται στην ΜΣΣ των τριών διαστάσεων.

B.1 Μονοδιάστατο δευτεροβάθμιο στοιχείο

B.1.1 Συναρτήσεις σχήματος

Θέσεις των κόμβων

Κόμβος 1 2 3

ξ1 -1 1 0

Παράρτημα B: Συναρτήσεις σχήματος και παρεμβολής

130

Συναρτήσεις σχήματος

( ) ( )121

1111 −= ξξξΦ

( ) ( )121

1112 += ξξξΦ

( ) ( )211

3 1 ξξ −=Φ

Πρώτες παράγωγοι συναρτήσεων σχήματος

( )21

11

11

−= ξξ

ξd

dΦ

( )21

11

12

+= ξξ

ξd

dΦ

( )1

1

13

2ξξ

ξ−=

ddΦ

B.1.2 Συναρτήσεις παρεμβολής

Θέσεις των κόμβων

Κόμβος 1 2 3

ξ1 -a1 a2 0

ai =1 - bi , i= 1, 2

Συναρτήσεις παρεμβολής

( ) ( )21

21

2111

1

aaaaN

+−

=ξξξ

( ) ( )21

22

1111

2

aaaaN

++

=ξξξ

Β.3 Επιφανειακό δευτεροβάθμιο τριγωνικό στοιχείο με 6 κόμβους

131

( ) ( )( )21

12111

3

aaaaN ξξξ −+

=

Πρώτες παράγωγοι συναρτήσεων σχήματος

( )21

21

21

1

11 2

aaaa

ddN

+−

=ξ

ξξ

( )21

22

11

1

12 2

aaaa

ddN

++

=ξ

ξξ

( )21

211

1

13 2

aaaa

ddN +−−

=ξ

ξξ

B.2 Επιφανειακό δευτεροβάθμιο τετραγωνικό στοιχείο με 9 κόμβους

B.2.1 Συναρτήσεις σχήματος

Θέσεις των κόμβων

Κόμβος 1 2 3 4 5 6 7 8 9

ξ1 -1 1 1 -1 0 1 0 -1 0

ξ2 -1 -1 1 1 -1 0 1 0 0

Παράρτημα B: Συναρτήσεις σχήματος και παρεμβολής

132

Συναρτήσεις σχήματος

( ) ( ) ( )1141, 221121

1 −−= ξξξξξξΦ

( ) ( ) ( )1141, 221121

2 −+= ξξξξξξΦ

( ) ( ) ( )1141, 221121

3 ++= ξξξξξξΦ

( ) ( ) ( )1141, 221121

4 +−= ξξξξξξΦ

( ) ( )( ) ( )11121, 221121

5 −−+= ξξξξξξΦ

( ) ( )( )( )2211216 111

21, ξξξξξξ −++=Φ

( ) ( )( ) ( )11121, 221121

7 ++−= ξξξξξξΦ

( ) ( )( )( )11121, 221121

8 +−−= ξξξξξξΦ

( ) ( )( )1121, 2

22

1219 −−= ξξξξΦ

Πρώτες παράγωγοι συναρτήσεων σχήματος

( ) ( ) ( )11241,

2211

211

−−=∂

∂ ξξξξ

ξξΦ ( ) ( )( )12141,

2112

211

−−=∂

∂ ξξξξ

ξξΦ

( ) ( ) ( )11241,

2211

212

−+=∂

∂ ξξξξ

ξξΦ ( ) ( )( )12141,

2112

212

−+=∂

∂ ξξξξ

ξξΦ

( ) ( ) ( )11241,

2211

213

++=∂

∂ ξξξξ

ξξΦ ( ) ( )( )12141,

2112

213

++=∂

∂ ξξξξ

ξξΦ

( ) ( ) ( )11241,

2211

214

+−=∂

∂ ξξξξ

ξξΦ ( ) ( )( )12141,

2112

214

+−=∂

∂ ξξξξ

ξξΦ

( ) ( )2211

215

1, ξξξξ

ξξ−=

∂∂Φ ( ) ( )( )2

211

2

215

21121, ξξξ

ξξξ

−−=∂

∂Φ

( )21

2, 2

21

22

11

216

+−−=∂

∂ ξξξξξ

ξξΦ ( ) ( )1,121

2

216

+−=∂

∂ ξξξξ

ξξΦ

Β.3 Επιφανειακό δευτεροβάθμιο τριγωνικό στοιχείο με 6 κόμβους

133

( ) ( )1,221

1

217

+−=∂

∂ ξξξξ

ξξΦ ( )21

2,

22

1

21

22

217

+−−=∂

∂ ξξξξξ

ξξΦ

( )21

2, 2

21

22

11

218

−−+=∂

∂ ξξξξξ

ξξΦ ( ) ( )1212

218

1, ξξξξ

ξξ−=

∂∂Φ

( ) ( )12, 221

1

219

−=∂

∂ ξξξ

ξξΦ ( ) ( )12, 212

2

219

−=∂

∂ ξξξ

ξξΦ

B.2.2 Συναρτήσεις παρεμβολής

Θέσεις των κόμβων

Κόμβος 1 2 3 4 5 6 7 8 9

ξ1 -a4 a2 a2 -a4 0 a2 0 -a4 0

ξ2 -a1 -a1 a3 a3 -a1 0 a3 0 0

ai =1 - bi , i= 1, 4

Συναρτήσεις παρεμβολής

( ) ( ) ( )( ) ( )424311

32221121

1 ,aaaaaaaaN

++−−

=ξξξξ

ξξ

( ) ( ) ( )( ) ( )424311

32221121

2 ,aaaaaaaaN

++−+

=ξξξξ

ξξ

( ) ( ) ( )( ) ( )424311

32221121

3 ,aaaaaaaaN

++++

=ξξξξξξ

Παράρτημα B: Συναρτήσεις σχήματος και παρεμβολής

134

( ) ( ) ( )( ) ( )424311

32221121

4 ,aaaaaaaaN

+++−

=ξξξξ

ξξ

( ) ( )( ) ( )432142

21

232214121

5 ,aaaaaaaaaaN

+−−+

=ξξξξ

ξξ

( ) ( )( )( )4321

2431

231221121

6 ,aaaaaaaaaaN

+−++

=ξξξξ

ξξ

( ) ( )( ) ( )432142

21

322411221

7 ,aaaaaaa

aaaN+

++−=

ξξξξξξ

( ) ( )( )( )4321

2431

231221121

8 ,aaaaaaaaaaN

+−+−

=ξξξξξξ

( ) ( )( )( )( )4321

3212214121

9 ,aaaa

aaaaN −+−+=

ξξξξξξ

Πρώτες παράγωγοι συναρτήσεων παρεμβολής

( ) ( ) ( )( ) ( )424311

3222121

1

1

2,aaaaaaaaN

++−−

=∂∂ ξξξ

ξξξ

( ) ( )( )( ) ( )424311

3221121

1

2

2,aaaaaa

aaN++

−−=

∂∂ ξξξ

ξξξ

( ) ( ) ( )( ) ( )424311

3222121

2

1

2,aaaaaaaaN

++−+

=∂∂ ξξξ

ξξξ

( ) ( )( )( ) ( )424311

3221121

2

2

2,aaaaaa

aaN++

−+=

∂∂ ξξξ

ξξξ

( ) ( ) ( )( ) ( )424311

3222121

3

1

2,aaaaaaaaN

++++

=∂∂ ξξξξξξ

( ) ( )( )( ) ( )424311

3221121

3

2

2,aaaaaa

aaN++

++=

∂∂ ξξξξξξ

( ) ( ) ( )( ) ( )424311

3222121

4

1

2,aaaaaaaaN

+++−

=∂∂ ξξξξξξ

( ) ( )( )( ) ( )424311

3221121

4

2

2,aaaaaa

aaN++

+−=

∂∂ ξξξ

ξξξ

( ) ( ) ( )432142

21

23224121

5

1

2,aaaaaaa

aaaN+

−−+=

∂∂ ξξξ

ξξξ

( )( )( )432142

21

2321415

2

2aaaaaaa

aaaN+

−−+=

∂∂ ξξξξ

( ) ( )( )( )4321

2431

23122121

6

1

2,aaaaaaa

aaaN+

−++=

∂∂ ξξξ

ξξξ

( ) ( )( )4321

2431

21321121

6

2

2,aaaaaaa

aaaN+

−−+=

∂∂ ξξξ

ξξξ

( ) ( ) ( )432142

21

32214221

7

1

2,aaaaaaa

aaaN+

+−−=

∂∂ ξξξξξξ

( ) ( )( )( )432142

21

32411221

7

2

2,aaaaaaa

aaaN+

++−=

∂∂ ξξξξξξ

( ) ( )( )( )4321

2431

23122121

8

1

2,aaaaaaa

aaaN+

−+−=

∂∂ ξξξξξξ

( ) ( )( )4321

2431

21321121

8

2

2,aaaaaaa

aaaN+

−−−=

∂∂ ξξξξξξ

( ) ( )( )( )4321

321224121

9

1

2,aaaa

aaaaN −+−+=

∂∂ ξξξ

ξξξ

( ) ( )( )( )4321

312214121

9

2

2,aaaa

aaaaN −+−+=

∂∂ ξξξ

ξξξ

Β.3 Επιφανειακό δευτεροβάθμιο τριγωνικό στοιχείο με 6 κόμβους

135

B.3 Επιφανειακό δευτεροβάθμιο τριγωνικό στοιχείο με 6 κόμβους

B.3.1 Συναρτήσεις σχήματος

Θέσεις των κόμβων

Κόμβος 1 2 3 4 5 6

ξ1 0 1 0 1/2 1/2 0

ξ2 0 0 1 0 1/2 1/2

Συναρτήσεις σχήματος

( ) ( )( )2121211 1221, ξξξξξξ −−−−=Φ

( ) ( )12, 11212 −= ξξξξΦ

( ) ( )12, 22213 −= ξξξξΦ

( ) ( )211214 14, ξξξξξ −−=Φ

( ) 21215 4, ξξξξ =Φ

( ) ( ) 221216 14, ξξξξξ −−=Φ

Πρώτες παράγωγοι συναρτήσεων σχήματος

( ) 344,21

1

211

−+=∂

∂ ξξξ

ξξΦ ( ) 344,21

2

211

−+=∂

∂ ξξξ

ξξΦ

Παράρτημα B: Συναρτήσεις σχήματος και παρεμβολής

136

( ) 14,1

1

212

−=∂

∂ ξξ

ξξΦ ( ) 0,

2

212

=∂

∂ξ

ξξΦ

( ) 0,

1

213

=∂

∂ξ

ξξΦ ( ) 14,2

2

213

−=∂

∂ ξξ

ξξΦ

( )21

1

214

484, ξξξ

ξξ−−=

∂∂Φ ( )

12

214

4, ξξ

ξξ−=

∂∂Φ

( )2

1

215

4, ξξ

ξξ=

∂∂Φ ( )

12

215

4, ξξ

ξξ=

∂∂Φ

( )2

1

216

4, ξξ

ξξ−=

∂∂Φ ( )

212

216

844, ξξξ

ξξ−−=

∂∂Φ

B.3.2 Συναρτήσεις παρεμβολής

Θέσεις των κόμβων

Κόμβος 1 2 3 4 5 6

ξ1 a3 a3+a4 a3 a3+a4/2 a3+a4/2 a3

ξ2 a1 a1 a1+a4 a1 a1+a4/2 a1+a4/2

a4 = 1 - (a1 +a2 + a3)

Συναρτήσεις παρεμβολής

( ) ( )( )24

214312132121

1 2222,a

aaaaaaN ξξξξξξ −−++−−++=

Β.3 Επιφανειακό δευτεροβάθμιο τριγωνικό στοιχείο με 6 κόμβους

137

( ) ( )( )24

4313121

2 22,a

aaaN −−−=

ξξξξ

( ) ( )( )24

2412121

3 22,a

aaaN ξξξξ −+−=

( ) ( )( )24

214313121

4 4,a

aaaaN ξξξξξ

−−++−=

( ) ( )( )24

311221

5 4,a

aaN −−=

ξξξξ

( ) ( )( )24

214311221

6 4,a

aaaaN ξξξξξ −−++−=

Πρώτες παράγωγοι συναρτήσεων παρεμβολής

( ) 24

4312121

1

1

34444,a

aaaN −−−+=

∂∂ ξξ

ξξξ

( ) 24

4312121

1

2

34444,a

aaaN −−−+=

∂∂ ξξ

ξξξ

( ) 24

43121

2

1

44,a

aaN −−=

∂∂ ξ

ξξξ

( ) 0, 21

2

2

=∂∂ ξξξN

( ) 0, 21

3

1

=∂∂ ξξξN ( ) 2

4

41221

3

2

44,a

aaN −−=

∂∂ ξξξξ

( ) ( )24

2143121

4

1

224,aaaaN ξξξξ

ξ−−++

=∂∂ ( ) ( )

24

1321

4

2

4,a

aN ξξξξ

−=

∂∂

( ) ( )24

1221

5

1

4,a

aN −=

∂∂ ξξξξ

( ) ( )24

3121

5

2

4,a

aN −=

∂∂ ξ

ξξξ

( ) ( )24

2121

6

1

4,a

aN ξξξξ

−=

∂∂ ( ) ( )

24

2143121

6

2

224,

aaaaN ξξ

ξξξ

−−++=

∂∂

139

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ C

Διαίρεση του επιφανειακού παραμετρικού στοιχείου σε ορθογώνια τρίγωνα

Στον παρόν παράρτημα δίνονται οι πολικές γωνίες θip των ακτινικών πλευρών του τρέχοντος

τριγώνου p καθώς και η συνάρτηση Rmax(θ) τόσο για το τετραγωνικό όσο και για το τριγωνικό στοιχείο.

C.1 Τετραγωνικό στοιχείο

Σχήμα D.1:Διαίρεση του στοιχείου σε 8 ορθογώνια τρίγωνα με κοινή κορυφή τον ιδιόμορφο κόμβο

),( 21sssk ηη .

Παράρτημα C: Διαίρεση του επιφανειακού παραμετρικού στοιχείου σε ορθογώνια τρίγωνα

140

Τρίγωνο 1

Υπολογισμός γωνιών θ1, θ2 sA 11 η−= , sB 21 η−= :

ABa tan,0 2

o1 == θθ

Υπολογισμός της συνάρτησης Rmax(θ )

θφ = :

( )φ

θcosmax

AR =

Τρίγωνο 2

Υπολογισμός γωνιών θ1, θ2 sA 21 η−= , sB 11 η−= :

o21 90,tan == θθ

BAa

Υπολογισμός της συνάρτησης Rmax(θ )

θθφ −= 2 :

( )φ

θcosmax

BR =

C.1 Τετραγωνικό στοιχείο

141

Τρίγωνο 3

Υπολογισμός γωνιών θ1, θ2 sA 21 η−= , sB 11 η+= :

ABa tan90,90 o

2o

1 +== θθ

Υπολογισμός της συνάρτησης Rmax(θ )

1θθφ −= :

( )φ

θcosmax

BR =

Τρίγωνο 4

Υπολογισμός γωνιών θ1, θ2 sA 21 η−= , sB 11 η+= :

o2

o1 180,tan90 =+= θθ

BAa

Υπολογισμός της συνάρτησης Rmax(θ )

θθφ −= 2 :

( )φ

θcosmax

AR =

Παράρτημα C: Διαίρεση του επιφανειακού παραμετρικού στοιχείου σε ορθογώνια τρίγωνα

142

Τρίγωνο 5

Υπολογισμός γωνιών θ1, θ2 sA 21 η+= , sB 11 η+= :

ABa tan90,180 o

2o

1 +== θθ

Υπολογισμός της συνάρτησης Rmax(θ )

1θθφ −= :

( )φ

θcosmax

AR =

Τρίγωνο 6

Υπολογισμός γωνιών θ1, θ2 sA 21 η+= , sB 11 η+= :

o2

o1 270,tan180 =+= θθ

BAa

Υπολογισμός της συνάρτησης Rmax(θ )

θθφ −= 2 :

( )φ

θcosmax

BR =

C.1 Τετραγωνικό στοιχείο

143

Τρίγωνο 7

Υπολογισμός γωνιών θ1, θ2 sA 21 η+= , sB 11 η−= :

ABa tan270,270 o

2o

1 +== θθ

Υπολογισμός της συνάρτησης Rmax(θ )

1θθφ −= :

( )φ

θcosmax

BR =

Τρίγωνο 8

Υπολογισμός γωνιών θ1, θ2 sA 21 η+= , sB 11 η−= :

o2

o1 360,tan270 =+= θθ

BAa

Υπολογισμός της συνάρτησης Rmax(θ )

θθφ −= 2 :

( )φ

θcosmax

AR =

Παράρτημα C: Διαίρεση του επιφανειακού παραμετρικού στοιχείου σε ορθογώνια τρίγωνα

144

C.2 Τριγωνικό στοιχείο

Σχήμα D.2:Διαίρεση του στοιχείου σε έξι ορθογώνια τρίγωνα με κοινή κορυφή τον ιδιόμορφο κόμβο

sk με συντεταγμένες ),( 21ss ξξ στο παραμετρικό σύστημα συντεταγμένων του τριγωνικού στοιχείου

και με συνταγμένες ),( 21ss ηη στο τοπικό καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων.

Τρίγωνο 1

Υπολογισμός γωνιών θ1, θ2 o

2 30cossA η= , o2 30sinsB η= ,

sBC 1η+= , CD −= 1 , 22 DAE += ,

EAa sin1 =φ , 1

o2 60 φφ −= ,

2sinφEF = ,

ADa tan3 =φ :

( ) o23

o1 30,90 =−−= θφθ

Υπολογισμός της συνάρτησης Rmax(θ )

Αν θθφθ +=< 2o τότε 0

Αν θθφθ −=≥ 2o τότε 0

( )φ

θcosmax

FR =

C.2 Τριγωνικό στοιχείο

145

Τρίγωνο 2

Υπολογισμός γωνιών θ1, θ2 o

2 30cossA η= , o2 30sinsB η= ,

sBC 1η+= , CD −= 1 , 22 DAE += ,

EAa sin1 =φ , 1

o2 60 φφ −= ,

2sinφEG = , 2cosφEF = , FH −= .1 :

GHa tan30,30 o

2o

1 +== θθ

Υπολογισμός της συνάρτησης Rmax(θ )

1θθφ −= :

( )φ

θcosmax

GR =

Τρίγωνο 3

Υπολογισμός γωνιών θ1, θ2 o

2 30cossA η= , o2 30sinsB η= ,

sBC 1η+= , 22 CAD += ,

DAa sin1 =φ , 1

o2 60 φφ −= ,

2cosφDF = , 2sinφDE = , FG −= 1 :

o2

o1 150,tan150 =−= θθ

EGa

Υπολογισμός της συνάρτησης Rmax(θ )

θθφ −= 2 :

( )φ

θcosmax

ER =

Παράρτημα C: Διαίρεση του επιφανειακού παραμετρικού στοιχείου σε ορθογώνια τρίγωνα

146

Τρίγωνο 4

Υπολογισμός γωνιών θ1, θ2 o

2 30cossA η= , o2 30sinsB η= ,

sBC 1η+= , 22 CAD += ,

DAa sin1 =φ , 1

o2 60 φφ −= ,

2sinφDE = ,

2o

3 90 φφ −= :

3o

2o

1 150,150 φθθ +==

Υπολογισμός της συνάρτησης Rmax(θ )

1θθφ −= :

( )φ

θcosmax

ER =

Τρίγωνο 5

Υπολογισμός γωνιών θ1, θ2

o2 30cossA η= , o

2 30sinsB η= ,

sBC 1η+= , CAa tan1 =φ ,

1o

2 60 φφ −= , 2o

3 90 φφ −= :

o23

o1 270,150 =+= θφθ

Υπολογισμός της συνάρτησης Rmax(θ ) θθφ −= 2 :

( )φ

θcosmaxΑR =

C.2 Τριγωνικό στοιχείο

147

Τρίγωνο 6

Υπολογισμός γωνιών θ1, θ2

o2 30cossA η= , o

2 30sinsB η= , sBC 1η+= , CE −= 1 :

AEa tan270,270 o

2o

1 +== θθ

Υπολογισμός της συνάρτησης Rmax(θ )

1θθφ −= :

( )φ

θcosmax

AR =

149

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ D

Αναπτύγματα Taylor των ιδιόμορφων πυρήνων των ολοκληρωμάτων

Στο παρόν παράρτημα, γίνεται η ανάπτυξη σε σειρές Taylor όλων των όρων της ποσότητας ( )θ,~ RF , η οποία αντιστοιχεί στο ιδιόμορφο κομμάτι της ολοκληρωτέας ποσότητας ( )θ,~ RH ,

εξίσωση (3.63) για την τρισδιάστατη και (4.61) για την αξονοσυμμετρική ΜΣΣ και δίνονται οι συναρτήσεις ( )θf~ και ( )θβ που εμφανίζονται στα ολοκληρώματα (3.68), (3.69) και (4.62).

Γενικά το ανάπτυγμα σε σειρά Taylor μιας διανυσματικής συνάρτησης f(n1, n2), στη γειτονιά του ιδιόμορφου σημείου ns, με τοπικές συντεταγμένες ( ss nn 21 , ), είναι:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ...., 21 +−⋅∇+===

sssnn ηηηfηfnff

ηnn , (D.1)

όπου

22

11

ˆˆ nnn nn ∂∂

+∂∂

=∇ . (D.2)

Χρησιμοποιώντας τις σχέσεις μετασχηματισμού (3.58), από το τοπικό καρτεσιανό σύστημα (n1, n2) στο πολικό (R, θ ) σύστημα συντεταγμένων, η (D.1) γράφεται:

( ) ( ) ( )2

21

sincos ROnn

Rss

s +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+∂∂

+===

θθnnnn

ffnfnf . (D.3)

Η σχέση (D.3) είναι το ανάπτυγμα σε σειρά Taylor μιας διανυσματικής συνάρτησης στο πολικό σύστημα συντεταγμένων, και θα αποτελέσει τον ακρογωνιαίο λίθο για τα αναπτύγματα των όρων της ιδιόμορφης ολοκληρωτέας ποσότητας ( )θ,~ RF .

Παράρτημα D: Αναπτύγματα Taylor των ιδιόμορφων πυρήνων των ολοκληρωμάτων

150

D.1 Τρεις διαστάσεις

Στις τρεις διαστάσεις η ιδιόμορφη ποσότητα ( )θ,~ RF σύμφωνα με τις (3.65) και (3.66) γράφεται:

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )RnnJnnNnnnnr

R ea212121213 ,,,ˆ,ˆ

41,~ rnnrF ⊗−⊗−=π

θ , (D.4)

με ( ) ( )sske nnnn 2121 ,, xyr −= και r=r .

• Ανάπτυγμα του r

Σύμφωνα με την (D.3), το ανάπτυγμα σε σειρά Taylor του r είναι

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ).

sin,cos,,,

2

2

2

21

1

212121

ROR

ROn

nnn

nnRnnnnss

eesske

+

=+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+∂

∂=−=

==

θ

θθ

A

yyxyrnnnn

(D.5)

Το διάνυσμα ( )21 ,nney , σύμφωνα με τις (3.25), μπορεί εκφραστεί ως συνάρτηση των κoμβικών

συντεταγμένων του στοιχείου eay και των συναρτήσεων σχήματος Φa. Συνεπώς, η συνάρτηση

( )θA ισοδύναμα γράφεται:

( ) ( ) ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂∂

+∂

∂=

==

θθθ sin,cos,

2

21

1

21

ss nnnΦ

nnnΦ aa

ea

nnnn

yA . (D.6)

Στην περίπτωση του τετραγωνικού στοιχείου όπου το τοπικό σύστημα του στοιχείου (ξ1, ξ2) και το τοπικό καρτεσιανό σύστημα (n1, n2) ταυτίζονται, οι παράγωγοι των συναρτήσεων παρεμβολής έχουν δοθεί απευθείας στο παράρτημα B. Για το τριγωνικό στοιχείο όμως, σύμφωνα με τις σχέσεις μετασχηματισμού (3.57), οι παράγωγοι των συναρτήσεων παρεμβολής ως προς τις μεταβλητές n1, n2 που εμφανίζονται στην (D.6) γράφονται:

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

21

1

212

2

21

1

211

1

21

1

212211 ,,,,,,,,ξ

ξξξξ

ξξξξ

ξξξξ∂

∂=

∂∂

∂∂

+∂

∂∂

∂=

∂∂ aaaa Φ

nnnΦ

nnnΦ

nnnnnΦ , (D.7)

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )o30cos

1,30tan,

,,,,,,,

2

21o

1

21

2

212

2

21

2

211

1

21

2

212211

ξξξ

ξξξ

ξξ

ξξξξ

ξξξξ

∂∂

+∂

∂−

=∂

∂∂

∂+

∂∂

∂∂

=∂

∂

aa

aaa

ΦΦn

nnΦn

nnΦn

nnnnΦ

, (D.8)

όπου οι παράγωγοι των συναρτήσεων παρεμβολής ως προς τις μεταβλητές ξ1, ξ2 έχουν δοθεί στο παράρτημα B. Σύμφωνα με τις (D.6) ÷ (D.8) η συνάρτηση ( )θA για το τριγωνικό στοιχείο τελικά γράφεται:

D.1 Τρεις διαστάσεις

151

( ) ( ) ( ) ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂∂

+−∂

∂=

==o

2

21o

1

21

30cossin,sin30tancos, θθθθ

ss nnnΦ

nnnΦ aa

ea

nnnn

yA . (D.9)

• Ανάπτυγμα του 1/r3

Σύμφωνα με την (D.5) και κάνοντας χρήση του διωνυμικού αναπτύγματος για την n δύναμη του r προκύπτει:

( ) ( ) *1 , ZnROARr nnnn ∈+= +θ , (D.10)

όπου ( ) ( )θθ A=A . Για n = -3, από την (D.10) απευθείας προκύπτει:

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+= 2333

111R

OARr θ

. (D.11)

• Αναπτύγματα των ( )21,ˆ nnn , ( )21,nnN a και ( )21, nnJ e

Με εφαρμογή της (D.3) απευθείας προκύπτει:

( ) ( ) ( )ROnnnn ss += 2121 ,ˆ,ˆ nn , (D.12)

( ) ( ) ( )ROnnNnnN ssaa += 2121 ,, , (D.13)

( ) ( ) ( )ROnnJnnJ ssaa += 2121 ,, . (D.14)

Τελικά η ιδιόμορφη ολοκληρωτέα ποσότητα ( )θ,~ RF (D.4), αντικαθιστώντας σε αυτήν τις (D.5)

και (D.11) ÷ (D.14), γράφεται:

( ) ( ) ( )1,~ OR

R +=θθ fF , (D.15)

με

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) tssessa

ssss

JnnJnnNA

nnnn21213

2121 ,,,ˆ,ˆ41

θθθ

πθ AnnAf ⊗−⊗

−= . (D.16)

Τέλος, η συνάρτηση ( )θβ που εμφανίζεται στα ολοκληρώματα ισούται με:

( ) ( )θθβ

A1

= . (D.17)

153

D.2 Αξονοσυμμετρία

Στην περίπτωση της αξονοσυμμετρίας, η ιδιόμορφη ποσότητα ( )θ,~ RF προκύπτει από την

αντικατάσταση του θεμελιώδους πυρήνα q~ στην (4.61), από το ισχυρώς ιδιόμορφο τμήμα του sq~ , όπως αυτό δίνεται από την (3.66):

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( ) ( )RnJJnnNennnnnr

R eaninn 121221213 ,~,ˆ,ˆ

41,~ 2

1 ϕϕϕρ

πθ DrnnrF Y ⋅⊗−⊗−= , (D.18)

με ( ) ( )0,, 121sk nnn Xyr −= , όπου ( )0,1

sk nX είναι το ιδιόμορφο σημείο (σχήμα 4.7) και οι

μεταβλητές ξ1, ξ2 για λόγους αντιστοιχίας με τις τρεις διαστάσεις συμβολίζονται πλέον ως n1, n2, αντίστοιχα.

• Ανάπτυγμα του r

Το διάνυσμα ( )21,nny , το οποίο ανήκει στο τρισδιάστατο στοιχείο abcd που δημιουργήθηκε (σχήμα 4.6), γράφεται ως εξής

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3221221 ˆˆsinˆcos,111

xxxy YYY nnn znnnn ++= ϕρϕρ , (D.19)

όπου τα ( )1nYρ και ( )1nzY σύμφωνα με την (4.25) είναι:

( ) ( )( ) ( ).1

1

1

1

nΦzz

nΦaa

n

aan

=

=

Y

Y ρρ (D.20)

Αν λάβουμε υπόψη τις (D.19) και (D.20), καθώς και την ακόλουθη έκφραση που προκύπτει από τον μετασχηματισμό (4.55):

ϕϕϕ Jjdnd

=Δ=2

(D.21)

και εφαρμόσουμε το ανάπτυγμα Taylor (D.3), τελικά προκύπτει:

( ) ( ) ( ) )(0,, 2121 RORnnn s +=−= θAXyr , (D.22)

με

( ) ( ) ( )( ) ( )3

1

1211

1

1 ˆcosˆsinˆcos1111

xxxA⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛++

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=

==

θθρθρθ ϕss nn

aasll

nn

aa

dnndΦzJnN

dnndΦ . (D.23)

• Ανάπτυγμα του 1/r3

Παράρτημα D: Αναπτύγματα Taylor των ιδιόμορφων πυρήνων των ολοκληρωμάτων

154

Όμοια με τις τρεις διαστάσεις το ανάπτυγμα του 1/r3 δίνεται από την D(11), όπου τώρα το ( )θA δίνεται από την (D.23).

• Ανάπτυγμα του ( ) ( ) ( ) ϕρ JnJnn en 121 1

,ˆ Yn

Ο όρος ( ) ( ) ( ) ϕρ JnJnn en 121 1

,ˆ Yn γεωμετρικά εκφράζει το διάνυσμα της Ιακωμβιανής του

μετασχηματισμού του στοιχείου abcd από το ολικό καρτεσιανό στο τοπικό παραμετρικό σύστημα συντεταγμένων, δηλαδή

( ) ( ) ( ) ( ) ϕρ JnJnnnn en 12121 1

,ˆ, YnJ = . (D.24)

Σύμφωνα με τις (3.30), (D.19) και (D.3) η Ιακωμβιανή ( )21,nnJ γράφεται:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )ROnn

nnn

nnnn s +=∂

∂×

∂∂

= 10

1

21

2

2121

,,, JyyJ , (D.25)

με

( ) ( ) ( ) ( ) ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=

==

311

111

1

11

0 ˆˆ1111

xxJ ϕϕ ρρρ JnΦdn

ndΦJnΦdn

ndΦzn saa

nn

aasaa

nn

aas

ss

. (D.26)

• Αναπτύγματα των ( )1nN a , ( )[ ]2~ nϕD και ( )2nine ϕ

Με εφαρμογή της (D.3) απευθείας προκύπτει:

( ) ( ) ( )ROnNnN saa += 11 , (D.27)

( )[ ] ( )ROn += ID ~~2ϕ , (D.28)

( ) ( )ROe nin += 12ϕ . (D.29)

Τελικά η (D.18), αντικαθιστώντας σε αυτήν τις (D.11), (D.22), (D.24) και (D.27)÷(D.29), γράφεται:

( ) ( ) ( )1,~ OR

R +=θθ fF , (D.30)

με

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )sa

ss

nNA

nn13

10

10

41

θθθ

πθ AJJAf ⊗−⊗

−= . (D.31)

155

Αναφορές

Aden AL, Kerker M (1951) Scattering of electromagnetic waves from two concentric spheres. J. Appl. Phys. 22: 1242-1246

Al-Rizzo HM, Tranquilla JM (1995) Electromagnetic wave scattering by highly elongated and geometrically composite objects of large size parameters: the generalized multipole technique. App. Opt. 34: 3502-3521

Angelini JJ, Soize C, Soudais P (1993) Hybrid numerical method for harmonic 3-D Maxwell equations: Scattering by a mixed conducting and inhomogeneous anisotropic dielectric medium. IEEE Trans. on Antennas and Propag. 44: 66-76

Antilla GE, Alexopoulos NG (1994) Scattering from complex three-dimensional geometries by a curvilinear hybrid finite-elemet-integral equation approach. J. Opt. Soc. Am. A 11: 1422-1433

Asvestas JC, Bpwman JJ, Christiansen PL, Einarsson O, Kleinman RE, Sengupta DL, Senior TBA Sleator FB, Uslenghi PLE, Zitron NR (1969) Electromagnetic and acoustic scattering by simple shapes. John Willey & Sons, New York

Banerjee PK (1981) The boundary element methods in engineering. Mc Graw-Hill, London

Barber PW (1977) Resonance electromagnetic absorption by non-spherical dielectric objects. IEEE Trans. on Microwave Theory and Techniques 25: 373-381

Barber PW (1978) Scattering and absorption efficiencies for non-spherical dielectric objects-biological models. IEEE Trans. on Biomed. Eng. 25: 155-159

Barber PW, Hill SC (1990) Light Scattering by Particles: Computational Methods, World Scientific Publishing, Singapore

Bessis M, Mohandas N (1975) A diffractometric method for the measurement of cellular deformability. Blood cells 1: 307-313

Bohren CF, Huffman DR (1983) Absorption and Scattering of Light by Small Particles. John Wiley, New York

Bourrely C, Chiappeta P, Lemaire T, Torrésani B (1992) Multidipole formulation of the coupled dipole method for electromagnetic scattering by an arbitrary particle. J. Opt. Soc. Am. A 9: 1336-1340

Brigham EO (1974) The Fast Fourier Transform. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N. Jersey

Bu S (1997) Infinite boundary elements for the dynamic analysis of machine foundations. Int. J. Num. Meth. Engng. 40: 3901-3917

Chao JC, Liu YJ, Rizzo FJ, Martin PA, Upda L (1995) Regularized integral equations and curvilinear boundary elements for electromagnetic wave scattering in three dimensions. IEEE Trans. on Antennas and Propag. 43: 1416-1422

Αναφορές

156

Collins JD, Volakis JL, Jin JM (1990) A combined finite-boundary integral formulation for solution of two-dimensional scattering problems via CG FFT. IEEE Trans. on Antennas and Propag. 38: 1852-1858

Colton D, Kress R (1983) Integral Equation Methods in Scattering Theory. Wiley Interscience, New York

Constantinides GN, Gintides D, Kattis SE, Kiriaki K, Paraskeva CA, Payatakes AC, Polyzos D., Tsinopoulos SV, Yannopoulos SN (1998) Computation of light scattering by axisymmetric non-spherical particles and comparison with experimental results. Appl. Opt. 37: 7310-7319

Cooley JW, Tukey JW (1965) An algorithm for the machine calculation of complex Fourier series. Math. of Comput. 19: 297-301

Correia LM (1993) A comparison of integral equations with unique solution in resonance region for scattering by conducting bodies. IEEE Trans. on Antennas and Propag. 41: 52-58

Dassios G, Kiriaki K (1984) The low-frequency theory of elastic wave scattering. Quart. of Appl. Math. XLII(2): 225-248

Dassios G, Kiriaki K, Polyzos D (1995) Scattering theorems for complete dyadic fields. Int. J. Eng. Science 33: 269-277

Dassios G, Polyzos D (1993) Boundary scattering: A unified approach to the classical theories. In proc. of 2nd International conference on mathematical and numerical aspects of wave propagation, Newark, USA

Dominguez J (1993) Boundary elements in dynamics. CMP, Southampton and Elsevier Applied Science, London.

Draine BT, Flatau PJ (1994) Discrete-dipole approximation for scattering calculations. J. Opt. Soc. Am. A 11: 1491-1498

Durgey CE, Bohren CF (1991) Light scattering by non-spherical particles: a refinement to the coupled-dipole method. J. Opt. Soc. Am. A 8: 81-87

Flatau, PJ, Stephens GL, Braine BT (1990) Light scattering by rectangular solids in the discrete-dipole approximation: a new algorithm exploiting the Block-Toeplitz structure. J. Opt. Soc. Am. A 7: 593-600

Fung YC (1981) Biomechanics: Mechanical Properties of Living Tissues. Springer-Verlag, New York

Gandjbakhche AH, Mills P, Snabre P (1994) Light scattering technique for the study of orietation and deformation of red blood cells in a concentrated suspension. Appl. Opt. 33: 1070-1078

Glisson AW (1984) An Integral equation for electromagnetic scattering from homogeneous dielectric objects. IEEE Trans. on Antennas and Propag. 32: 173-175

Goggans PM, Kishk AA, Glisson AW (1994) Electromagnetic scattering from objects composed of multiple homogeneous regions using a region-by-region solution. IEEE Trans. on Antennas and Propag. 42: 865-871

Guiggiani M (1992) Computing principal-value integrals in 3D BEM for time-harmonic elastodynamics - a direct approach. Commun. Appl. Numer. Meth. 8: 141-149

157

Guiggiani M, Casalini P (1987) Direct computation of Cauchy principal value integrals in advanced boundary elements. Int J. Numer. Meth. Eng. 24: 1711-1716

Hage JI, Greenberg JM, Wang RT (1991) Scattering from arbitrarily shaped particles: theory and experiments. Appl. Opt. 30: 1141-1152

Hall WS, Mao XQ (1995a) Boundary element method calculation for coherent electromagnetic scattering from two and three dielectric spheres. Eng. Anal. with Bound. Elem. 15: 313-320

Hall WS, Mao XQ (1995b) A boundary element investigation of irregular frequencies in electromagnetic scattering, Eng. Anal. with Bound. Elem.16: 245-252

Hall WS, Mao XQ, Robertson WH (1992) Quadratic isoparametric BEM formulation for electromagnetic scattering from arbitrarily shaped three-dimensional dielectric objects. In: Brebbia CA, Dominquez J, Paris F (eds) Boundary Elements XIV, Vol.1: Field Problems and Applications. Computational Mechanics Publications, Southampton, 565-580

Hammer M, Schweitzer D, Michel B, Thamm E, Kolb A (1998) Single scattering by red blood cells. Appl. Opt. 37: 7410-7418

Hansen RC (ed) (1990) Moment Methods in Antennas and scattering. Artech House, Boston, London

Huber CJ, Rieger W, Haas M, Rucker WM (1997) The numerical treatment of singular integrals in boundary element calculations. IEEE Trans. on Magnetics : 121-126

Huddleston PL, Medgyesi-Mitschang LN, Putnam JM (1986) Combined field integral equation formulation for scattering by dielectrically coated conducting bodies. IEEE Trans. on Antennas and Propag. 34: 510-520

IMSL (1994) IMSL Math/Library User’s Manual, Version 3.0. Visual Numerics, Houston

Ingber MS, Ott RH (1991) An application of the boundary element method to the magnetic field integral equation. IEEE Trans. on Antennas and Propag 39: 606-611

Iskander et al. (1983),

Iskander MF, Lakhtakia A, Durney CH (1983) A new procedure for improving the solution stability and extending the frequency range of the EBCM. IEEE Trans. on Antennas and Propag. 31: 317-324

Jackson JD (1975) Classical Electrodynamics. John Willey & Sons, New York

Jones DS (1964) The theory of Electromagnetism. Pergamon Press, London

Junqueira IC, Carneiro J, Contopoulos A (1971) Basic histology. Lange Medical Publications, California

Khebir A, D’Angelo J, Joseph J (1993) A new finite element formulation for RF scattering by complex bodies of revolution. IEEE Trans. on Antennas and Propag. 41: 534-541

Kim J, Lin JC (1998) Successive order scattering transport approximation for laser light propagation in whole blood medium. IEEE Trans. on Biomed. Eng. 45: 505-510

Kuijpers AHW, Verbeek G, Verheij JW (1997) An improved acoustic Fourier boundary element method using fast Fourier transform integration. J. Acoust. Soc. Am. 10: 1394-1401

Αναφορές

158

Kuik F, De Haan JF, Hovenier JW (1994) Single scattering of light by circular cylinders. Appl. Opt. 33: 4906-4918

Lee VS, Tarassenko L (1991) Absorption and multiple scattering by suspensions of aligned red blood cells. J. Opt. Soc. Am. 8: 1135-1141

Lu N, Jin J (1996) Application of fast multipole method to Finite-element boundary-integral solution of scattering problems. IEEE Trans. on Antennas and Propag. 44: 781-786

Macke A, Mishchenko MI (1996) Applicability of regular particle shapes in light scattering calculations for atmospheric ice particles. Appl. Opt. 35: 4291-4296

Manolis GD, Beskos DE (1988) Boundary Element Methods in Elastodynamics. Unwin-Hyman, London

Marx E (1982) Single integral equation for wave scattering. J. Math. Phys. 23: 1057-1065

Marx E (1984) Integral equation for scattering by a dielectric. IEEE Trans. on Antennas and Propag. 32: 166-172

Marx E (1993) Electromagnetic scattering from dielectric wedge and the single hypersingular integral equation. IEEE Trans. on Antennas and Propag. 41: 1001-1008

Mautz JR, Harrington RF (1980) Boundary formulations for aperture coupling problems. AEÜ 34: 377-384

Mazeron P, Muller S (1996) Light scattering by ellipsoids in a physical optics approximation. Appl. Opt. 35: 3726-3735

Medgyesi-Mitschang LN, Putnam JM, Gedera MB (1994) Generalized method of moments for three dimensional penetrable scatterers. J. Opt. Soc. Am. A 11: 1383-1398.

Mishchenko MI (1993) Light scattering by size-shape distributions of randomly oriented axially symmetric particles of a size comparable to a wavelength. Appl Opt. 32: 4652-4666

Miller EK, Medgyesi-Mitschang LN, Newman EM (eds) (1992) Computational Electromagnetics, Frequency - Domain Method of Moments. IEEE Press, New York

Morse PM, Feshbach H (1953) Methods of Theoretical Physics. Mc Graw-Hill, New York

Morita N (1978) Surface integral representation for electromagnetic scattering from dielectric cylinders. IEEE Trans. on Antennas and Propag. 26: 261-266

Nilsson AMK, Alsholm P, Karlsson A, Andersson-Engels S (1998) T-matrix computations of light scattering by red blood cells. Appl. Opt. 37: 2735-2748.

Patterson C, Sheikh MA (1984) Interelement continuity in the Boundary Element Method. In Brebbia CA (ed) Topics in Boundary Element Research Vol. 1. Springer-Verlag, Berlin

Paulsen KD, Lunch DR, Strohbehn JW (1988) Three dimensional finite, boundary and hybrid element solutions of Maxwell equations for lossy dielectric media. IEEE Trans. on Microwave Theory and Techniques 36: 682-693

Peterson B, Strom S (1974) T-matrix formulation of electromagnetic scattering from multilayered scatterers. Phys. Rev. D 10: 2670-2684

Plasek J, Marik T (1982) Determination of undeformable erythrocytes in blood samples using light scattering. Appl. Opt. 21: 4335-4338

159

Poggio AJ, Miller EK (1973) Integral equation solutions of three dimensional scattering problems. In Mitra R (ed) Computer Techniques for Electromagnetics. Pergamon Press, New York, 159-264

Pogorzelski RJ (1978) On the numerical computation of scattering from inhomogeneous penetrable objects. IEEE Trans. on Antennas and Propag. 26: 616-618

Press WH, Teukolsky SA, Vetterling, WT, Flannery BP (1992) Numerical recipes in Fortran (2nd edition). Cambridge University Press, Cambridge

Putnam JM, Car DD, Kotuski JD (1997) Parallel CARLOS-3D-an electromagnetic boundary integral method foe parallel platforms. Eng. Anal. with Bound. Elem.19: 49-55

Rao SM, Chu CC, Cravey RL, Wilkes DL (1991) Electromagnetic scattering from arbitrary shaped conducting bodies coated with lossy materials of arbitrary thickness. IEEE Trans. on Antennas and Propag. 39: 627-631

Rao SM, Wilton DR, Glisson AW (1982) Electromagnetic scattering by surfaces of arbitrary shape. IEEE Trans. on Antennas and Propag. 30: 409-418

Rego Silva JJ (1994) Acoustic and Elastic Wave Scattering using Boundary Elements. Computational Mechanics Publications, Southampton.

Rucker WM, Schlemmer, Richter KR (1994) The solution of 3D multiple scattering problems. IEEE Trans. on Magnetics 30: 3132-3235

Shapiro AM (1994) Practical flow cytometry (3rd edition). Wiley-Liss, New York.

Shimoda K (1986) Introduction to laser physics. Springer-Verlag, Berlin

Shvalov AN, Soini JT Chernyshev AV, Tarasov pA, Soini E, Maltsev VP (1999) Light scattering properties of individual erythrocytes. Appl. Opt. 38: 230-235.

Singham SB, Bohern CF (1988) Light scattering by an arbitrary particle: the scattering-order formulation of the coupled-dipole method. J. Opt. Soc. Am. A 5: 1867-1872

Soudais P (1994) Iterative solution of a 3-D scattering problem from arbitrary shaped multidielectric and multiconducting bodies. IEEE Trans. on Antennas and Propag. 42: 954-959

Stamatakos GS, Yova D, Uzunoglu NK (1997) Integral equation model of light scattering by an oriented monodisperse system of triaxial dielectric ellipsoids: application in ektacytometry. Appl. Opt. 36: 6503-6512

Streekstra GJ, Hoekstra AG, Heethaar RM (1994) Anomalous diffraction by arbitrarily oriented ellipsoids: applications in ektacytometry. Appl. Opt. 33: 7288-7296

Steinke JM, Shepherd AP (1986) Role of light scattering in spectrophotometric measurements of arteriovenous oxygen difference. IEEE Trans. on Biomed. Eng. 33: 729-

Steinke JM, Shepherd AP (1987) Reflectance measurements of hematocrit and oxyhemoglobin saturation. Am. J. of Physiology 253

Steinke JM, Shepherd AP (1988) Comparison of Mie theory and the light scattering of red blood cells. Appl. Opt. 27: 4027-4033

Stratton JA (1941) Electromagnetic Theory. Mc Graw Hill, New York

Telles JCF (1987) A self-adaptive co-ordinate transformation for efficient numerical evaluation of general boundary integrals, Int. J. Num. Meth. Eng. 24: 959-973

Αναφορές

160

Toyoda I, Matsuhara M, Kumagai N (1988) Extended integral equation formulation for scattering problems from a cylindrical scatterer. IEEE Trans. on Antennas and Propag. 36: 1580-1586

Tranquilla JM, Al-Rizzo HM (1995) Electromagnetic scattering from dielectric-coated axisymmetric objects using the Generalized Point-Matching Technique (GMPT). IEEE Trans. on Antennas and Propag. 43: 63-71

Tsang WCO (1975) The size and shape of human red blood cells. M.S. Thesis, University of California, San Diego, California

Tsinopoulos SV, Polyzos D (1999) Scattering of He-Ne laser light by an average sized red blood cell. Appl. Opt. in press

Tsinopoulos SV, Kattis SE, Polyzos D (1998) Three dimensional boundary element analysis of electromagnetic wave scattering by penetrable bodies. Comput. Mech. 21: 306-315

Tsinopoulos SV, Kattis SE, Polyzos D (1999) An advanced BE/FFT methodology for solving electromagnetic wave scattering problems with axisymmetric dielectric particles. Eng. Anal. with Bound. Elem. 23: 155-165 (1999)

Twersky V (1967) Multiple scattering of electromagnetic waves by arbitrary configurations. J. Math. Phys. 8: 589-610

Umashankar KR (1988) Numerical analysis of electromagnetic wave scattering and interaction based on frequency-domain integral equation and method of moments techniques. Wave Motion 10: 493-525

Umashankar KR, Taflove A, Rao SM (1986) Electromagnetic scattering by arbitrary shaped three-dimensional homogeneous lossy dielectric objects. IEEE Trans. on Antennas and Propag. 34: 758-766

Van de Hulst HC (1981) Light Scattering by Small Particles. Dover Publications, New York

Volakis JL, Chatterjee A, Kempel LC (1994) Review of the finite element method for three-dimensional electromagnetic scattering. J. Opt. Soc. Am. A 11: 1422-1433.

Wang RT, Gustafson BAS (1984) Angular scattering and polarization by randomly oriented dumbbells and chains of spheres. In Farmer J, Kohl R Proc. of the 1983 scientific conference on obscuration and aerosol research. U.S. Army Aberdeen, Md., 237-247

Waterman PC 1979 Matrix methods in potential theory and electromagnetic scattering. J. Appl. Phys. 50: 4550-4566

Yashiro K, Ohkawa S (1985) Boundary element method for electromagnetic scattering from cylinders. IEEE Trans. on Antennas and Propag. 33: 383-389

Yeh C, Colak S, Barber P (1982) Scattering of sharply focused beams by arbitrarily shaped dielectric particles: an exact solution. Appl. Opt. 21: 4426-4433

161

Βιογραφικό υπόμνημα

1. Βιογραφικά στοιχεία

Όνομα: Στέφανος Επώνυμο: Τσινόπουλος Όνομα πατρός: Βασίλειος Ημερομηνία γέννησης: 27 Ιουλίου 1971 Τόπος γέννησης: Καρδίτσα Διεύθυνση κατοικίας: 1η Μάη Αρ. 24, 43 100 ΚΑΡΔΙΤΣΑ Τηλέφωνο κατοικίας: 0441-73848 Διεύθυνση εργασίας: Εργαστήριο Τεχνικής Μηχανικής

Τμήμα Μηχανολόγων & Αεροναυπηγών Μηχανικών Πανεπιστήμιο Πατρών, Πάτρα 26-500

Τηλέφωνο εργασίας: 061-997236 FAX εργασίας: 061-997234 Ηλεκτρονικό ταχυδρ.: Tsinopoulos@tech.mech.upatras.gr

2. Σπουδές

• Ιούλιος, 1989: Απολυτήριο Λυκείου από το 2ο Λύκειο Καρδίτσας, βαθμός 19.4. • Ιούλιος, 1994: Δίπλωμα Μηχανολόγου Μηχανικού από το τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών

του Πανεπιστημίου Πατρών, βαθμός 7.94. • Μάιος, 1999: Διδάκτωρ του Τμήματος Μηχανολόγων & Αεροναυπηγών Μηχανικών του

Πανεπιστημίου Πατρών.

3. Ξένες Γλώσσες

Αγγλικά (First certificate, Ιούνιος 1997)

4. Περιοχές Επιστημονικού Ενδιαφέροντος

• Μέθοδος Συνοριακών Στοιχείων (πεδία συχνοτήτων και χρόνου, δυο και τρεις διαστάσεις, αξονοσυμμετρική ανάλυση)

• Επίλυση ευθέων και αντίστροφων προβλημάτων σκέδασης και διάδοσης ακουστικών, ηλεκτρομαγνητικών, ελαστικών κυμάτων.

• Κυματική διάδοση σε σύνθετα και μη ομογενή υλικά

Βιογραφικό υπόμνημα

162

5. Διδακτορική Διατριβή Σ. Β. Τσινόπουλος,"Μέθοδος Συνοριακών Στοιχείων σε προβλήματα σκέδασης ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας", Διδακτορική Διατριβή, Παν/μιο Πατρών, Μάιος 1999.

6. Δημοσιεύσεις σε περιοδικά με κριτές 1. S. V. Tsinopoulos, S. E. Kattis, D. Polyzos, “Three Dimensional Boundary Element Analysis

of Electromagnetic Wave Scattering by Penetrable Bodies” Computational Mechanics, Vol. 21, No 4/5, pp. 306-315, 1998.

2. D. Polyzos, S. V. Tsinopoulos, D. E. Beskos, “Static and Dynamic Boundary Element Analysis in Incompressible Linear Elasticity” European Journal of Mechanics A/Solids, Vol. 17, No 3, pp. 515-536, 1998.

3. S. V. Tsinopoulos, S. E. Kattis, D. Polyzos, “On the Use of FFT in Solving Electromagnetic Scattering from Axisymmetric Dielectric Particles by the Boundary Element Method”, Engineering Analysis with Boundary Elements, Vol. 23, pp. 155-165, 1999.

4. S. V. Tsinopoulos, S. E. Kattis, D. Polyzos, D. E. Beskos, “An Advanced Boundary Element Method for Axisymmetric Elastodynamic Analysis” Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering (in press).

5. S. V. Tsinopoulos, J. P. Agnantiaris, D. Polyzos, “An Advanced Boundary Element Methodology of Solving Axisymmetric Radiation and Scattering Problems in Acoustics”, Journal of Acoustical Society of America, Vol. 105, No 3, pp. 1517-1525, 1999.

6. G. N. Constantinides, D. Gintides, S. E. Kattis, K. Kiriaki, C. A. Paraskeva, A. C. Payatakes, D. Polyzos, S. V. Tsinopoulos, S. N. Yannopoulos, “Particle Analyzer for Shape, Size and Refractive Index”, Applied Optics, Vol. 37, No. 37, pp. 7310-7319, 1998.

7. S. V. Tsinopoulos, D. Polyzos, “Scattering of He-Ne laser light by an average sized red blood cell”, Applied Optics (in press)

7. Δημοσιεύσεις σε πρακτικά Συνεδρίων

1. Tsinopoulos S.V., Kattis S.E., Polyzos D., “Application of the Boundary Element Method to3-D Elastic Wave Scattering Problems”, Proceedings of 4th National Congress of Mechanics of the Hellenic Society of Theoretical and Applied Mechanics, Xanthi, Greece, 26-29 June 1995, pp. 437-444.

2. Tsinopoulos S.V., Polyzos D., Paipetis S. “Wave propagation in randomly cracked polymers”, Proceedings of 4th International Symposium on Advanced Composites-COMP’95, Corfu, Greece, 18-22 September 1995

3. S. V. Tsinopoulos, S. E. Kattis, D. Polyzos, "Application of 3D Boundary Element Method to Electromagnetic Scattering by dielectric objects" 2nd National Congress on Computational Mechanics, Chania, Greece 1996.

4. S. V. Tsinopoulos, S. E. Kattis, D. Polyzos, “3D Boundary Element Method in Electromagnetic Wave Scattering by Small Biological Bodies” Third Hellenic-European Conference on Mathematics and Informatics, Athens, Greece 1996.

5. Tsinopoulos S. V., Polyzos D., Beskos D.E., “BEM Formulation for 3-D Elastic Incompressible Solids", Proceedings of Computational Structure Technology ’96, Budapest,

163

Hungary, 1996, Vol: Advances in Boundary Element Method, Editor B.H.V. Topping, Civil-Comp Press, Edinburgh, pp. 552-559.

6. G. N. Constantinides, D. Gintides, S. E. Kattis, K. Kiriaki, C. A. Paraskeva, A. C. Payatakes, D. Polyzos, S. V. Tsinopoulos, S. N. Yannopoulos, “ Particle Shape and Size Analyzer” Workshop Applied Mathematics in Science and Modern Technology, Metsovo, Greece 1997.

7. G. N. Constantinides, D. Gintides, S. E. Kattis, K. Kiriaki, C. A. Paraskeva, A. C. Payatakes, D. Polyzos, S. V. Tsinopoulos, S. N. Yannopoulos, “ Particle Shape and Size Analyzer of Non Spherical Particles” (in Greek) First Hellenic Conference on Chemical Mechanics, Patras, Greece 1997.

8. S. V. Tsinopoulos, S. E. Kattis, D. Polyzos, “An Advanced Boundary Element Method for Solving Problems of Electromagnetic Wave Scattering by Axisymmetric Dielectric Particles” IABEM ’98, International Symposium on Boundary Element Methods, Ecole Polytechnique, Paris, France 1998.

9. G. N. Constantinides, D. Gintides, S. E. Kattis, K. Kiriaki, C. A. Paraskeva, A. C. Payatakes, D. Polyzos, S. V. Tsinopoulos, S. N. Yannopoulos, “The inverse scattering problem for dielectric bodies - An application to shape and refractive index analyzer” PIERS 98 Progress in Electromagnetics Research Symposium, Nantes, France, 13-17 June 1998.

10. S. V. Tsinopoulos, S. E. Kattis, D. Polyzos, “Scattering of electromagnetic waves by biological bodies of revolution using an advanced boundary element method” Fifth national congress on mechanics, Ioannina, 25-29 August 1998.

11. S. V. Tsinopoulos, S. E. Kattis, D. Polyzos, D. E. Beskos, “Elastodynamic analysis of axisymmetric structures by the frequency domain BEM”, IUTAM/IACM/IABEM Symposium on Advanced Mathematical and Computational Mechanics Aspects of the Boundary Element Method, Cracow, Poland, May 30-June 3, 1999.