52
ΓΙΑ ΝΑ ΕΙΣΑΙ ΣΕ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΚΙΝΕΙΣΑΙ! Η ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ H ΚΥΜΑΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ K. EYTAΞΙΑΣ

Η ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ HΚΥΜΑΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣusers.uoa.gr/~ceftax/lectures/Kymatiki exiswsi-Diaforiki exisosi... · ΠΟΥ ΠΕΡΙΓΡΑΦΕΙ ΤΟ

  • Upload
    others

  • View
    12

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Η ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ HΚΥΜΑΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣusers.uoa.gr/~ceftax/lectures/Kymatiki exiswsi-Diaforiki exisosi... · ΠΟΥ ΠΕΡΙΓΡΑΦΕΙ ΤΟ

ΓΙΑ ΝΑ ΕΙΣΑΙ ΣΕ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ

ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ

ΚΙΝΕΙΣΑΙ!

Η ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ

ΤΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣH ΚΥΜΑΤΙΚΗ

ΕΞΙΣΩΣΗ

K. EYTAΞΙΑΣ

Page 2: Η ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ HΚΥΜΑΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣusers.uoa.gr/~ceftax/lectures/Kymatiki exiswsi-Diaforiki exisosi... · ΠΟΥ ΠΕΡΙΓΡΑΦΕΙ ΤΟ

NA ΣΥΝΔΕΘΟΥΜΕ

ΜΕ ΤΟ ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ

Page 3: Η ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ HΚΥΜΑΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣusers.uoa.gr/~ceftax/lectures/Kymatiki exiswsi-Diaforiki exisosi... · ΠΟΥ ΠΕΡΙΓΡΑΦΕΙ ΤΟ

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΜΑΣ ΕΙΝΑΙ ΟΙ

ΗΠΙΕΣ ΔΙΑΤΑΡΑΧΕΣ

Page 4: Η ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ HΚΥΜΑΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣusers.uoa.gr/~ceftax/lectures/Kymatiki exiswsi-Diaforiki exisosi... · ΠΟΥ ΠΕΡΙΓΡΑΦΕΙ ΤΟ

EIXAME ΟΡΙΣΕΙ ΤΗΝ ΗΠΙΑ ΔΙΑΤΑΡΑΧΗ

Μια διαταραχή λογίζεται ως ήπια όταν:1. Mπορούμε να διακρίνουμεΙΣΟΦΑΣΙΚΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΟΜΑΛΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ, S,

που συνιστούν γεωμετρικό τόπο σημείων του χώρου,

όπου το φυσικό μέγεθος, Φ, που περιγράφει τη διαταραχή

έχει την ίδια τιμή μια δεδομένη χρονική στιγμή t.

Φs (x, y, z, t) = const.

ΗΠΙΕΣΔΙΑΤΑΡΑΧΕΣ

ΙΣΟΦΑΣΙΚΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ

ΟΙ

Page 5: Η ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ HΚΥΜΑΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣusers.uoa.gr/~ceftax/lectures/Kymatiki exiswsi-Diaforiki exisosi... · ΠΟΥ ΠΕΡΙΓΡΑΦΕΙ ΤΟ

2. Μπορούμε να ορίσουμε «ΤΑΧΥΤΗΤΑ» διάδοσης

των νοητών ισοφασικών επιφανειών, TH ΦΑΣΙΚΗ ΤΑΧΥΤΗΤΑ, υφ

διάδοσης του κύματος.

ΗΠΙΕΣΔΙΑΤΑΡΑΧΕΣ

ΙΣΟΦΑΣΙΚΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ

υφ

ΟΙ

Οι ΙΣΟΦΑΣΙΚΕΣΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣδιαδίδονται

με τη φασική ταχύτητα.

Page 6: Η ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ HΚΥΜΑΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣusers.uoa.gr/~ceftax/lectures/Kymatiki exiswsi-Diaforiki exisosi... · ΠΟΥ ΠΕΡΙΓΡΑΦΕΙ ΤΟ

H MH HΠΙΑ ΑΥΤΗ ΔΙΑΤΑΡΑΧΗ

ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΤΗΣ ΜΕΛΑΤΗΣ ΜΑΣ!

Page 7: Η ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ HΚΥΜΑΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣusers.uoa.gr/~ceftax/lectures/Kymatiki exiswsi-Diaforiki exisosi... · ΠΟΥ ΠΕΡΙΓΡΑΦΕΙ ΤΟ

υφ

Η δυνατότητα διάκρισης ισοφασικών επιφάνειών και ορισμού της ταχύτητας διάδοσής τουςείναι αυτή που καθιστά ΕΠΩΦΕΛΗ την τη γνώση της διαταραχής Φ (x, y, z, t)

σε κάθε σημείο του χώρου κάθε χρονική στιγμή.Έχει ένα σημαντικό πλεονέκτημα:

Εάν η διαταραχή ήταν διαφορετική από σημείο σε σημείο, τότε και αν ακόμη ήταν δυνατή η γνώση της Φ (x, y, z, t),

δεν θα ήταν δυνατή η συγκράτηση στο μυαλό μας μιας «εικόνας» που συνεχώς μεταβάλλεται με το χρόνο σε άπειρα σημεία.

Η ύπαρξη ισοφασικών επιφανειών ΟΜΑΔΟΠΟΙΕΙ τα άπειρα σημεία του χώρου. Δεν μας ενδιαφέρει η συμπεριφορά κάθε σημείου από από τα άπειρα,

αλλά η συμπεριφορά – διάδοση των ισοφασικών επιφανειών. .

Στη φυσική δεν επιδιώκουμε πολλές φορές το ιδανικό! Το ιδανικό στη γνώση της κατάστασης του αερίου θα ήταν να γνωρίζουμε

την ταχύτητα κάθε μορίου κάθε χρονική στιγμή!

Page 8: Η ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ HΚΥΜΑΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣusers.uoa.gr/~ceftax/lectures/Kymatiki exiswsi-Diaforiki exisosi... · ΠΟΥ ΠΕΡΙΓΡΑΦΕΙ ΤΟ

ΠΟΙΑ ΕΙΝΑΙ

Η ΕΞΕΙΔΙΚΕΥΜΕΝΗ

ΜΟΡΦΗ

Φ(x, y, z, t)

ΠΟΥ ΠΕΡΙΓΡΑΦΕΙ

ΚΥΜΑΤΙΚΗ

ΔΙΑΔΟΣΗ;

Page 9: Η ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ HΚΥΜΑΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣusers.uoa.gr/~ceftax/lectures/Kymatiki exiswsi-Diaforiki exisosi... · ΠΟΥ ΠΕΡΙΓΡΑΦΕΙ ΤΟ

Η ΔΙΑΙΣΘΗΣΗ ΛΕΕΙ ΟΤΙ Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΥΤΗ ΕΚΦΡΑΣΗ ΘΑ ΕΧΕΙ ΟΡΙΣΜΑ ΜΙΑ ΕΚΦΡΑΣΗ ΠΟΥ ΘΑ ΑΝΤΙΚΑΤΟΠΤΡΙΖΕΙ ΤΗ ΓΕΦΥΡΩΣΗ

ΧΡΟΝΟΥ – ΧΩΡΟΥΠΟΥ ΕΠΙΒΑΛΛΕΙ Η ΥΠΑΡΞΗ ΤΗΣ ΦΑΣΙΚΗΣ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ.

ΣΤΟΧΟΣ ΜΑΣ ΕΙΝΑΙ ΛΟΙΠΟΝΝΑ ΒΡΟΥΜΕ ΤΗΝ ΕΞΕΙΔΙΚΕΥΜΕΝΗ ΕΚΦΡΑΣΗ

ΠΟΥ ΠΕΡΙΓΡΑΦΕΙ ΤΟ ΚΥΜΑ.

Η ΑΦΕΤΗΡΙΑ ΕΙΝΑΙ ΟΤΙ ΜΙΑ ΕΓΚΑΡΣΙΑ ΔΙΑΤΑΡΑΧΗ

ΕΧΕΙ ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΘΕΙ ΣΕ ΜΙΑ ΤΕΝΤΩΜΕΝΗ ΕΛΑΣΤΙΚΗ ΧΟΡΔΗ ΤΗ ΣΤΙΓΜΗ t= 0 ΚΑΙ ΔΙΑΔΙΔΕΤΑΙ ΚΑΤΑ ΜΗΚΟΣ ΤΟΥ ΑΞΟΝΑ x ΧΩΡΙΣ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗ

ΠΡΟΣ ΤΑ ΔΕΞΙΑ ΜΕ ΦΑΣΙΚΗ ΤΑΧΥΤΗΤΑ υ.

)()0,( 0 xytxy

ANAZHTOYME ΤΗΝ ΕΞΙΣΩΣΗ y (x, t) που δίνει την εγκάρσια απομάκρυνη y

σε κάθε θέση x κάθε στιγμή t.

)()0,( 0 xytxy

Page 10: Η ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ HΚΥΜΑΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣusers.uoa.gr/~ceftax/lectures/Kymatiki exiswsi-Diaforiki exisosi... · ΠΟΥ ΠΕΡΙΓΡΑΦΕΙ ΤΟ

ΤΗ ΔΙΑΔΟΣΗ ΤΗΝ ΠΑΡΑΚΟΛΟΥΘΟΥΝ ΔΥΟ ΠΑΡΑΤΗΡΗΤΕΣ.

Ο ΕΝΑΣ (0) ΠΑΡΑΜΕΝΕΙ ΑΚΙΝΗΤΟΣ.

Ο ΔΕΥΤΕΡΟΣ ΚΙΝΕΙΤΑΙ (0’) ΜΕ ΤΗΝ ΤΑΧΥΤΗΤΑ ΔΙΑΔΟΣΗΣ ΤΗΣ ΔΙΑΤΑΡΑΧΗΣ υ.

ΠΑΡΑΚΟΛΟΥΘΟΥΝ ΚΑΙ ΟΙ ΔΥΟ ΕΝΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΟ ΣΗΜΕΙΟ ΤΟΥ ΠΑΛΜΟΥ, ΤΗΝ ΚΟΡΥΦΗ ΤΟΥ.

Η ΙΣΟΦΑΣΙΚΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ ΕΧΕΙ ΕΚΦΥΛΙΣΤΕΙ ΣΕ ΣΗΜΕΙΟ ΣΤΗ ΜΟΝΟΔΙΑΣΤΑΤΗ ΑΥΤΗ ΔΙΑΔΟΣΗ.

ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ ΘΕΣΗΣ - ΧΡΟΝΟΥ ΤΩΝ ΔΥΟ ΥΠΑΡΧΕΙ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΠΟΥ ΜΑΣ ΟΔΗΓΕΙ ΣΤΗΝ ΕΥΡΕΣΗ ΤΗΣ

ΜΟΡΦΟΛΟΓΙΑΣ ΤΗΣ y (x, t).

Page 11: Η ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ HΚΥΜΑΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣusers.uoa.gr/~ceftax/lectures/Kymatiki exiswsi-Diaforiki exisosi... · ΠΟΥ ΠΕΡΙΓΡΑΦΕΙ ΤΟ

xx ,

yy ,

oo ,

oxx ,x x

υt yy ,

yytxx

tt

)(),(),(),(

)()(),(

txftxytxytxy

txfxftxy

yy ,

H KYMATIKH EΞΙΣΩΣΗ

o

t=0

yy ,

Page 12: Η ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ HΚΥΜΑΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣusers.uoa.gr/~ceftax/lectures/Kymatiki exiswsi-Diaforiki exisosi... · ΠΟΥ ΠΕΡΙΓΡΑΦΕΙ ΤΟ

H KYMATIKH EΞΙΣΩΣΗ

)(),( txgtxy

)(),( txftxy ΚΑΘΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΕΙ ΜΙΑ ΔΙΑΤΑΡΑΧΗ ΠΟΥ ΟΔΕΥΕΙ ΠΡΟΣ ΤΑ ΔΕΞΙΑ ΑΝΑΛΛΟΙΩΤΗ

ΜΕ ΤΑΧΥΤΗΤΑ υ.

ΔΕΙΞΤΕ ΟΤΙ ΑΝ Η ΔΙΑΔΟΣΗ ΓΙΝΕΤΑΙ ΠΡΟΣ ΤΑ ΑΡΙΣΤΕΡΑ Η ΚΥΜΑΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΙΝΑΙ:

Page 13: Η ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ HΚΥΜΑΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣusers.uoa.gr/~ceftax/lectures/Kymatiki exiswsi-Diaforiki exisosi... · ΠΟΥ ΠΕΡΙΓΡΑΦΕΙ ΤΟ

xtfxtxytxy

tftxy

,0),(

)(),0(

ty

x+υ

)(),(xtgtxy

xtftxy ),(

ΔΕΙΞΤΕ ΟΤΙΓΙΑ ΔΙΑΔΟΣΗ ΠΡΟΣ ΤΑ ΑΡΙΣΤΕΡΑ ΕΙΝΑΙ:

ΑΛΛΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ

Page 14: Η ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ HΚΥΜΑΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣusers.uoa.gr/~ceftax/lectures/Kymatiki exiswsi-Diaforiki exisosi... · ΠΟΥ ΠΕΡΙΓΡΑΦΕΙ ΤΟ

H KYMATIKH EΞΙΣΩΣΗ

)(),(

)(),(

txgtxy

txftxy

)(),(

)(),(

xtgtxy

xtftxy

xtftxftxy )(),(

Page 15: Η ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ HΚΥΜΑΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣusers.uoa.gr/~ceftax/lectures/Kymatiki exiswsi-Diaforiki exisosi... · ΠΟΥ ΠΕΡΙΓΡΑΦΕΙ ΤΟ

H KYMATIKH EΞΙΣΩΣΗ

)(),()(),(txgtxytxftxy

)(),(

)(),(

xtgtxy

xtftxy

OΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΥΤΕΣΠΟΥ ΤΟ ΟΡΙΣΜΑ ΤΟΥΣ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΕΙ ΤΗΝΙΔΙΑΖΟΥΣΑΣYΣΧΕΤΙΣΗ

ΧΡΟΝΟΥ-ΧΩΡΟΥΠΟΥ ΕΠΙΒΑΛΛΕΙ

Η ΥΠΑΡΞΗ ΦΑΣΙΚΗΣ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΟΥΝΔΙΑΔΟΣΗ ΔΙΑΤΑΡΑΧΗΣΧΩΡΙΣ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗ

ΜΕ ΤΑΧΥΤΗΤΑ υ

Page 16: Η ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ HΚΥΜΑΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣusers.uoa.gr/~ceftax/lectures/Kymatiki exiswsi-Diaforiki exisosi... · ΠΟΥ ΠΕΡΙΓΡΑΦΕΙ ΤΟ

222 2 tbbxtx

22210 tbx 22 Ttx

3 3sin btx

btx 32

Ποιές από τις 5 συναρτήσεις

y(x, t);Μπορεί, κατ’ αρχάς,

να είναιΚυματικές Εξισώσεις

ΑΣΚΗΣΗ

Page 17: Η ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ HΚΥΜΑΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣusers.uoa.gr/~ceftax/lectures/Kymatiki exiswsi-Diaforiki exisosi... · ΠΟΥ ΠΕΡΙΓΡΑΦΕΙ ΤΟ

ΗΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ

ΤΟΥΚΥΜΑΤΟΣ.

ΕΙΝΑΙ ΑΡΚΕΤΗΗ ΓΝΩΣΗ ΤΗΣ

txftxy ,ΟΧΙ!

Page 18: Η ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ HΚΥΜΑΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣusers.uoa.gr/~ceftax/lectures/Kymatiki exiswsi-Diaforiki exisosi... · ΠΟΥ ΠΕΡΙΓΡΑΦΕΙ ΤΟ

ΠΟΙΟ ΕΙΝΑΙ ΤΟΑΙΤΗΜΑ;

txftxy ,

«ΔΥΝΑΜΙΚΟ» ΚΡΙΤΗΡΙΟ

ΤΟ ΕΥΡΗΜΑ

ΕΙΝΑΙ ΚΑΤΙ ΣΑΝ ΟΡΙΣΜΟΣ.

Αυτό που θέλουμε να γνωρίζουμε είναιεάν μετά τη διέγερση ενός συστήματος ηδιάδοση της διαταραχής θα περιγράφεταιαπό την εξίσωση του κύματος.

Page 19: Η ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ HΚΥΜΑΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣusers.uoa.gr/~ceftax/lectures/Kymatiki exiswsi-Diaforiki exisosi... · ΠΟΥ ΠΕΡΙΓΡΑΦΕΙ ΤΟ

ΠΟΙΟ ΕΙΝΑΙ ΤΟΑΙΤΗΜΑ;

txftxy ,

ΧΡΕΙΑΖΟΜΑΣΤΕ ΕΝΑ«ΔΥΝΑΜΙΚΟ»ΚΡΙΤΗΡΙΟ

ΜΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ

που θα προκύπτει από την εφαρμογή των νόμων που

περιγράφουν τις επιδράσεις πάνω στο σύστημα και θα έχει σαν λύση

την:

Page 20: Η ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ HΚΥΜΑΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣusers.uoa.gr/~ceftax/lectures/Kymatiki exiswsi-Diaforiki exisosi... · ΠΟΥ ΠΕΡΙΓΡΑΦΕΙ ΤΟ

y

0)()(

sin)(

2

2

tkxdttxdm

tAtx

Θ.Ν.Δ

ΑΝΑΛΟΓΟ ΑΙΤΗΜΑΕΙΧΑΜΕ ΜΕΤΑ ΤΟΝ ΟΡΙΣΜΟ ΤΗΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΡΜΟΝΙΚΗΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ

Ο ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΡΜΟΝΙΚΗΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ

ΤΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΚΡΙΤΗΡΙΟ

Το σώμα κάνει γ.α.τ γιατί σε μια τυχαία θέσημετά την εφαρμογη του F = mγ (Θ.Ν.Δ)

ικανοποιείται το δυναμικό κριτήριο που έχει σαν λύση την

tAtx sin)(

Page 21: Η ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ HΚΥΜΑΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣusers.uoa.gr/~ceftax/lectures/Kymatiki exiswsi-Diaforiki exisosi... · ΠΟΥ ΠΕΡΙΓΡΑΦΕΙ ΤΟ

Στην περίπτωση της διάδοσης εγκάρσιου παλμού σε χορδή το ίδιο πρέπει να κάνουμε.

Να απομονώσουμεένα τυχαίο στοιχειώδες τμήμα της

μια τυχαια χρονική στιγμή, να βρούμε τις δυνάμεις που ασκούνται πάνω του

και να δούμε αν ικανοποει μια διαφορική εξίσωση – δυναμικό κριτήριο

που έχει σαν λύση την:

txftxy ,

Page 22: Η ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ HΚΥΜΑΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣusers.uoa.gr/~ceftax/lectures/Kymatiki exiswsi-Diaforiki exisosi... · ΠΟΥ ΠΕΡΙΓΡΑΦΕΙ ΤΟ

x

dxx

dx

y

x txF ,

tdxxF ,

t

ΠΡΟΤΥΠΟdxdm

T

T

y(x, t)

Page 23: Η ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ HΚΥΜΑΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣusers.uoa.gr/~ceftax/lectures/Kymatiki exiswsi-Diaforiki exisosi... · ΠΟΥ ΠΕΡΙΓΡΑΦΕΙ ΤΟ

Οι αλληλεπιδράσεις – δυνάμεις στη μηχανική περιγράφονται από τις δυνάμεις

2

2

dtrdm

Συνεπώς το δυναμικό κριτήριο που αναζητούμε θα πρέπεινα έχει αυτόν τον όρο.

Με αφετηρία την

txftxy ,

με διαδοχικές παραγωγίσεις τηςy(x, t) ως προς το t και x

διαμορφώνεται το δυναμικό κριτήριο.

Page 24: Η ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ HΚΥΜΑΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣusers.uoa.gr/~ceftax/lectures/Kymatiki exiswsi-Diaforiki exisosi... · ΠΟΥ ΠΕΡΙΓΡΑΦΕΙ ΤΟ

txftxy ,txh

dhhdf

ttxh

dhhdf

ttxy )()()(,

dhhdf

xtxh

dhhdf

xtxy )()()(,

xtxy

ttxy

),(,

(1)

(2)

ΧΡΟΝΙΚΟΣΡΥΘΜΟΣ

ΧΩΡΙΚΟΣΡΥΘΜΟΣ

Page 25: Η ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ HΚΥΜΑΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣusers.uoa.gr/~ceftax/lectures/Kymatiki exiswsi-Diaforiki exisosi... · ΠΟΥ ΠΕΡΙΓΡΑΦΕΙ ΤΟ

xtxy

ttxy

),(,

ΠΑΡΑΤΗΡΕΙΣΤΕ!Ο χρονικός ρυθμός μεταβολής της yείναι ανάλογος του χωρικού ρυθμού.

ΠΑΡΑΤΗΡΕΙΣΤΕτην αλληλεξάρτηση της χωρικής και της χρονικής

συμπεριφοράς.

Page 26: Η ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ HΚΥΜΑΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣusers.uoa.gr/~ceftax/lectures/Kymatiki exiswsi-Diaforiki exisosi... · ΠΟΥ ΠΕΡΙΓΡΑΦΕΙ ΤΟ

xtxy

ttxy

),(,

ΓΙΑΤΙ

ΔΕΝ ΣΤΑΜΑΤΑΜΕ ΕΔΩ;

ΕΙΝΑΙ ΑΥΤΟ ΕΝΑ

ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΚΡΙΤΗΡΙΟ;

Page 27: Η ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ HΚΥΜΑΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣusers.uoa.gr/~ceftax/lectures/Kymatiki exiswsi-Diaforiki exisosi... · ΠΟΥ ΠΕΡΙΓΡΑΦΕΙ ΤΟ

2

22

2

2 )()()(),(,dhhdf

ttxh

dhhdf

dhd

ttxy

ttxy

t

2

2

2

2 )()()(),(,dhhfd

xtxh

dhhdf

dhd

xtxy

xtxy

x

2

2

22

2 ),(1),(ttxy

xtxy

dhhdf

ttxy )(,

dhhdf

xtxy )(,

(1)

(2)

(3)

(4)

Page 28: Η ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ HΚΥΜΑΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣusers.uoa.gr/~ceftax/lectures/Kymatiki exiswsi-Diaforiki exisosi... · ΠΟΥ ΠΕΡΙΓΡΑΦΕΙ ΤΟ

2

2

22

2 ),(1),(ttxy

xtxy

AYTO EINAI ENA

ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΚΡΙΤΗΡΙΟ!

Η ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ

Page 29: Η ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ HΚΥΜΑΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣusers.uoa.gr/~ceftax/lectures/Kymatiki exiswsi-Diaforiki exisosi... · ΠΟΥ ΠΕΡΙΓΡΑΦΕΙ ΤΟ

2

2

22

2 ),(1),(ttxy

xtxy

ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ

ΣΥΝΟΨΗ

ΜΙΑ ΔΙΠΛΑ ΔΙΑΦΟΡΟΠΟΙΗΣΙΜΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΟΥ ΤΟ ΟΡΙΣΜΑ ΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΖΕΙ ΤΟ ΧΡΟΝΟ ΜΕ

ΤΟ ΧΩΡΟ ΜΕ ΤΟΝ ΤΡΟΠΟy(x,t) =f(x-υt)

ΠΕΡΙΓΡΑΦΟΥΣΑ ΔΙΑΔΟΣΗ ΔΙΑΤΑΡΑΧΗΣ ΠΟΥ ΔΙΑΔΙΔΕΤΑΙ ΧΩΡΙΣ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗ ΜΕ

ΤΑΧΥΤΗΤΑ υΙΚΑΝΟΠΟΙΕΙ ΤΗ

Page 30: Η ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ HΚΥΜΑΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣusers.uoa.gr/~ceftax/lectures/Kymatiki exiswsi-Diaforiki exisosi... · ΠΟΥ ΠΕΡΙΓΡΑΦΕΙ ΤΟ

ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ

«ΑΝΑΚΡΙΝΟΥΜΕ»

ΤΟΥΣ

ΤΥΠΟΥΣ ΦΥΣΙΚΗΣ!

ΠΡΕΠΕΙΝΑ ΑΠΟΚΑΛΥΠΤΟΥΜΕ

ΦΥΣΙΚΕΣ ΕΙΚΟΝΕΣΠΟΥ ΚΡΥΒΟΥΝ.

Page 31: Η ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ HΚΥΜΑΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣusers.uoa.gr/~ceftax/lectures/Kymatiki exiswsi-Diaforiki exisosi... · ΠΟΥ ΠΕΡΙΓΡΑΦΕΙ ΤΟ

ΑΝΑΚΡΙΣΗ

ΤΟΥ ΤΥΠΟΥ

xtxy

ttxy

),(,

ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΑΥΤΟ; ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΑΥΤΟ;

ΓΕΦΥΡΑ

Page 32: Η ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ HΚΥΜΑΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣusers.uoa.gr/~ceftax/lectures/Kymatiki exiswsi-Diaforiki exisosi... · ΠΟΥ ΠΕΡΙΓΡΑΦΕΙ ΤΟ

, ,y x t y x tt x

u+ υ

u+ υx

x

t t+Δt

ΕΓΚΑΡΣΙΑ ΤΑΧΥΤΗΤΑ (u) = -(υ) ΚΛΙΣΗ

MPOΡΕΙ ΝΑ ΕΙΝΑΙ u > c ;

ΑΒ

Βρείτε μια ποιοτική διαφορά των δύο ταχυτήτων.

Page 33: Η ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ HΚΥΜΑΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣusers.uoa.gr/~ceftax/lectures/Kymatiki exiswsi-Diaforiki exisosi... · ΠΟΥ ΠΕΡΙΓΡΑΦΕΙ ΤΟ

, ,y x t y x tt x

+ υφ

Στα κύματα που οδεύουν προς τα δεξιάη εγκάρσια ταχύτητα είναι θετική

όπου η κλίση είναι αρνητική και αντίστροφα.

H ΕΓΚΑΡΣΙΑ TAXYTHTAΤΗΣ ΚΟΡΥΦΗΣ ΤΟΥ ΠΑΛΜΟΥ

ΕΧΕΙ ΜΕΤΡΟ ΜΗΔΕΝ.

Page 34: Η ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ HΚΥΜΑΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣusers.uoa.gr/~ceftax/lectures/Kymatiki exiswsi-Diaforiki exisosi... · ΠΟΥ ΠΕΡΙΓΡΑΦΕΙ ΤΟ

ty

x

ttxy

ttxyu y

),(,

u

x

ΠΡΟΣ ΤΑ ΠΟΥ ΚΙΝΕΙΤΑΙ Ο ΤΡΙΓΩΝΙΚΟΣ ΠΑΛΜΟΣ ΑΝ Η ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΤΩΝ

ΕΓΚΑΡΣΙΩΝ ΤΑΧΥΤΗΤΩΝΣΤΙΣ ΔΙΑΦΟΡΕΣ ΘΕΣΕΙΣ

ΔΙΔΕΤΑΙ ΑΠΟ ΤΟ ΚΑΤΩ ΣΧΗΜΑ;

Page 35: Η ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ HΚΥΜΑΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣusers.uoa.gr/~ceftax/lectures/Kymatiki exiswsi-Diaforiki exisosi... · ΠΟΥ ΠΕΡΙΓΡΑΦΕΙ ΤΟ

Τριγωνικός παλμός διαδίδεται κατά μήκος του άξονα x.Στο στιγμιότυπο, τα μπλε ανύσματα απεικονίζουν τιςεγκάρσιες ταχύτητες στοιχειωδών τμημάτων της χορδής.

Παρατηρείστε την απότομη αλλαγή της ταχύτηταςστη θέση

0x

0x

Σηματοδοτείται ΑΠΕΙΡΗ επιτάχυνση!Επιτρέπεται κάτι τέτοιο;

Page 36: Η ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ HΚΥΜΑΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣusers.uoa.gr/~ceftax/lectures/Kymatiki exiswsi-Diaforiki exisosi... · ΠΟΥ ΠΕΡΙΓΡΑΦΕΙ ΤΟ

Τετραγωνικός παλμός διαδίδεται κατά μήκος του άξονα xπρος τα δεξιά. Να γίνει το διάγραμμα της κατανομής

των εγκάρσιων ταχυτήτων στις διάφορες θέσεις της χορδής.

1x

Σηματοδοτείται αποκατάσταση ΑΠΕΙΡΗΣ εγκάρσιας ταχύτητας

στις θέσεις

κατά τη διάδοση του παλμού! Δικαιολογείστε γιατί δεν είναι εφικτό αυτό.

2x

1x 2x

y

x

Page 37: Η ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ HΚΥΜΑΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣusers.uoa.gr/~ceftax/lectures/Kymatiki exiswsi-Diaforiki exisosi... · ΠΟΥ ΠΕΡΙΓΡΑΦΕΙ ΤΟ

ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΔΙΑΚΡΙΝΟΥΜΕ ΜΕΤΑΞΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΔΙΔΑΚΤΙΚΩΝ

ΔΙΕΥΘΕΤΗΣΕΩΝΚΑΙ

ΦΥΣΙΚΩΝ ΔΙΕΥΘΕΤΗΣΕΩΝ.

Page 38: Η ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ HΚΥΜΑΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣusers.uoa.gr/~ceftax/lectures/Kymatiki exiswsi-Diaforiki exisosi... · ΠΟΥ ΠΕΡΙΓΡΑΦΕΙ ΤΟ

22

3

)(,

txbbtxy

222

32)0,(xbxbtxu

22

3

)0,(xb

btxy

Η ΕΞΙΣΩΣΗ

ΕΙΝΑΙ ΜΙΑ ΚΥΜΑΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ;

ΤΙ ΑΠΕΙΚΟΝΙΖΟΥΝ ΟΙ:

ΑΣΚΗΣΗ

ΔΙΚΑΙΟΛΟΓΕΙΣΤΕ ΤΑ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ.ΤΙ ΑΠΕΙΚΟΝΙΖΟΥΝ;

t t+dt

t

Page 39: Η ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ HΚΥΜΑΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣusers.uoa.gr/~ceftax/lectures/Kymatiki exiswsi-Diaforiki exisosi... · ΠΟΥ ΠΕΡΙΓΡΑΦΕΙ ΤΟ

ty

ΓΙΑΤΙ Ο ΠΑΛΜΟΣ «ΣΠΡΩΧΝΕΤΑΙ» ΝΑ ΚΙΝΗΘΕΙ ΠΡΟΣ ΤΑ ΔΕΞΙΑ;ΕΝΝΟΙΟΛΟΓΙΚΗ ΕΞΗΓΗΣΗ.

Page 40: Η ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ HΚΥΜΑΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣusers.uoa.gr/~ceftax/lectures/Kymatiki exiswsi-Diaforiki exisosi... · ΠΟΥ ΠΕΡΙΓΡΑΦΕΙ ΤΟ

, ,y x t y x tt x

ΕΓΚΑΡΣΙΑ ΤΑΧΥΤΗΤΑ u = -υ ΚΛΙΣΗH εγκάρσια ταχύτητα προσδιορίζει την Κινητική Ενέργεια.

Η κλίση προσδιορίζει τη Δυναμική Ενέργεια.ΓΙΑΤΙ;

Όπου και όταν υπάρχει Κινητική Ενέργειαυπάρχει ανάλογη Δυναμική Ενέργεια.

Συμφωνείτε;Το περιμένατε;

Page 41: Η ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ HΚΥΜΑΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣusers.uoa.gr/~ceftax/lectures/Kymatiki exiswsi-Diaforiki exisosi... · ΠΟΥ ΠΕΡΙΓΡΑΦΕΙ ΤΟ

u+ υ

u+ υx

x

, ,y x t y x tt x

Δ.ΕΚ.Ε

Κ.Ε ~ Δ.ΕΕΞΩΦΡΕΝΙΚΟ

;

Page 42: Η ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ HΚΥΜΑΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣusers.uoa.gr/~ceftax/lectures/Kymatiki exiswsi-Diaforiki exisosi... · ΠΟΥ ΠΕΡΙΓΡΑΦΕΙ ΤΟ

ty

, ,y x t y x tt x

Δ.Ε=0

Κ.Ε=0

Page 43: Η ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ HΚΥΜΑΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣusers.uoa.gr/~ceftax/lectures/Kymatiki exiswsi-Diaforiki exisosi... · ΠΟΥ ΠΕΡΙΓΡΑΦΕΙ ΤΟ

y(x, t) = Acos(ωt-kx) , ,y x t y x tt x

y y

x t

t x

EINAI MΕΓΑΛΟ ΛΑΘΟΣ ΝΑ ΤΑΥΤΙΖΟΥΜΕ ΤΗΝ ΚΙΝΗΣΗΜΙΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΟΥΣ ΜΑΖΑΣ ΤΗΣ ΧΟΡΔΗΣ

ΜΕ ΤΗΝ ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΜΙΑΣ ΜΑΖΑΣΠΟΥ ΕΙΝΑΙ ΔΕΜΕΝΗ ΣΕ ΕΝΑ ΕΛΑΤΗΡΙΟ!

Τα κόκκινα σημεία πόση Κ.Ε και Δ.Ε έχουν;

Page 44: Η ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ HΚΥΜΑΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣusers.uoa.gr/~ceftax/lectures/Kymatiki exiswsi-Diaforiki exisosi... · ΠΟΥ ΠΕΡΙΓΡΑΦΕΙ ΤΟ

«ΑΝΑΚΡΙΣΗ» ΤΟΥ ΤΥΠΟΥ

2

2

22

2 ),(1),(ttxy

xtxy

Page 45: Η ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ HΚΥΜΑΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣusers.uoa.gr/~ceftax/lectures/Kymatiki exiswsi-Diaforiki exisosi... · ΠΟΥ ΠΕΡΙΓΡΑΦΕΙ ΤΟ

2 2

2 2 2

, ,1y x t y x tx t

1

R

ΚΑΜΠΥΛΟΤΗΤΑκ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ

2/32

2

2

1

xyxy

ΑΚΤΙΝΑΚΑΜΠΥΛΟΤΗΤΑΣ

1xy

xtxyk 2

2 ),(

ΥΠΑΡΧΕΙ ΘΕΤΙΚΗ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗΟΠΟΥ Η ΧΟΡΔΗ ΕΧΕΙ ΤΑ ΚΟΙΛΑ

ΠΡΟΣ ΤΑ ΠΑΝΩ.

(u)

Page 46: Η ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ HΚΥΜΑΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣusers.uoa.gr/~ceftax/lectures/Kymatiki exiswsi-Diaforiki exisosi... · ΠΟΥ ΠΕΡΙΓΡΑΦΕΙ ΤΟ

2 2

2 2 2

, ,1y x t y x tx t

1

R

t

ΚΑΜΠΥΛΟΤΗΤΑ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ

1x 2x

Δικαιολογείστε εννοιολογικά τη σχέση καμπυλότητας-ακτίνας καμπυλότητας

με την επιτάχυνση.

xtxyk 2

2 ),(

Page 47: Η ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ HΚΥΜΑΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣusers.uoa.gr/~ceftax/lectures/Kymatiki exiswsi-Diaforiki exisosi... · ΠΟΥ ΠΕΡΙΓΡΑΦΕΙ ΤΟ

ΣΤΟΝ ΤΥΠΟ

ΥΠΑΡΧΕΙ ΤΟ ΑΠΟΤΥΠΩΜΑ

ΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ ΧΡΟΝΟΥ-ΧΩΡΟΥ.

Η ΧΩΡΙΚΗ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ

ΕΙΝΑΙ ΑΝΑΛΟΓΗ

ΤΗΣ ΧΡΟΝΙΚΗΣ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗΣ.

Page 48: Η ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ HΚΥΜΑΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣusers.uoa.gr/~ceftax/lectures/Kymatiki exiswsi-Diaforiki exisosi... · ΠΟΥ ΠΕΡΙΓΡΑΦΕΙ ΤΟ

2/32

2

2

1

xyxy

1

R

t

y

x

yu

1x

Ποια είναι η επιτάχυνση

στη θέση

1x

;

Page 49: Η ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ HΚΥΜΑΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣusers.uoa.gr/~ceftax/lectures/Kymatiki exiswsi-Diaforiki exisosi... · ΠΟΥ ΠΕΡΙΓΡΑΦΕΙ ΤΟ

, ,y x t y x tt x

2 2

2 2 2

, ,1y x t y x tx t

Η ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗΕΧΕΙ ΦΟΡΑ

ΠΡΟΣ ΤΑ ΠΑΝΩΟΠΟΥ

Η ΚΑΜΠΥΛΗΣΤΡΕΦΕΙ

ΤΑ ΚΟΙΛΑΠΡΟΣ ΠΑΝΩ.

t

2/32

2

2

1

xyxy

Page 50: Η ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ HΚΥΜΑΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣusers.uoa.gr/~ceftax/lectures/Kymatiki exiswsi-Diaforiki exisosi... · ΠΟΥ ΠΕΡΙΓΡΑΦΕΙ ΤΟ

, ,y x t y x tt x

1),(

xtxy

ΣΥΝΕΠΩΣu << υ

Η ΦΥΣΙΚΗ ΤΑΧΥΤΗΤΑ u

ΕΙΝΑΙ ΜΙΚΡΟΤΕΡΗ ΤΗΣ‘’MΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ’’

υ

ΗΤΑΝ ΑΥΤΟ ΑΝΑΜΕΝΟΜΕΝΟ;

ΠΡΟΤΥΠΟ

Page 51: Η ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ HΚΥΜΑΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣusers.uoa.gr/~ceftax/lectures/Kymatiki exiswsi-Diaforiki exisosi... · ΠΟΥ ΠΕΡΙΓΡΑΦΕΙ ΤΟ

, ,y x t y x tt x

2 2

2 2 2

, ,1y x t y x tx t

ΠΟΙΑ ΤΜΗΜΑΤΑΤΗΣ ΧΟΡΔΗΣ

ΕΠΙΤAΧΥΝΟΝΤΑΙΕΠΙΒΡΑΔΥΝΟΝΤΑΙ;

t

υ

Page 52: Η ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ HΚΥΜΑΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣusers.uoa.gr/~ceftax/lectures/Kymatiki exiswsi-Diaforiki exisosi... · ΠΟΥ ΠΕΡΙΓΡΑΦΕΙ ΤΟ

ΣΑΣ ΕΥΧΑΡΙΣΤΩ!