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Les aimants, ainsi que les courants électriques (en fait les déplacements de charges électriques) sont sources de champs magnétiques, c’est à dire de zones d’espace où il est possible d’observer des interactions (électro)magnétiques.

1 . Champ magnétique des courants.

Tout courant crée un champ magnétique de module B proportionnel à l’intensité I . B dépend également de la « géométrie » du courant et de la perméabilité magnétique du vide (ou de l’air) soit µ0 = 4�×10-7 H/m

Le champ est tangent aux lignes de champ ; l’orientation du vecteur B est donnée par diverses règles (bonhomme d’Ampère, tire bouchon de Maxwell …)

Courant rectiligne : Les lignes de champ sont circulaires, centrées sur le conducteur.

A une distance r du conducteur, le champ est donné par : rI

.2

B 0π

µ=

Courant circulaire : Le champ sur l’axe est de direction constante. Soit r le rayon de la spire

Au centre de la spire : rI

.2

B 0µ=

Bobine plate : La bobine possède N spires, de rayon r

Le champ en son centre est : rI

.2

B 0µ=

Bobine longue ou solénoïde : Soit une bobine de N spires réparties sur une longueur L ;

Le champ sur l’axe est donné par : LNI

B 0µ=

Note : Le champ est sensiblement constant dans le solénoïde. Faces Nord et Sud d’une spire.

����� �� � � �� � � ������ � �� �������� �� �

B

I

B

I

I

B

N spires

I

I I

I

L

B

I N spires

����������� ���� ����� ������������

2 . Exemples de spectres de champs magnétiques

Un, deux, trois ou quatre courants rectilignes de mêmes intensités

Un courant dans une spire circulaire Un aimant droit

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Deux aimants droits opposés Deux spires avec des courants de sens contraires

Deux aimants droits de même sens Deux spires avec des courants de même sens

Bobinage torique Bobinage long ou solénoïde

Deux spires en position de Helmholtz

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3 . Grandeurs magnétiques. Champ magnétique B. C’est une grandeur vectorielle ( B ), dépendant de l’espace (position) et du temps. Le module B s’exprime en tesla (T) Le champ magnétique traduit l’effet du mouvement des charges électriques dans l’espace qui les entoure. Si le vecteur champ est identique en tout point de l’espace, le champ est dit uniforme. Excitation magnétique H. C’est également une grandeur vectorielle ( H ), liée à la source de champ B . Le module H s’exprime en ampère par mètre (A/m). On s’intéresse à l’excitation dans le cas où le champ B est produit par des courants. Dans le vide (et dans l’air), l’excitation et le champ sont colinéaires : B = µ0H (µ0 = 4� × 10-7 H/m) Flux magnétique Φ. Le flux Φ du champ magnétique B au travers d’une surface S est défini par l’intégrale double : ��=Φ dS.n.B

où n est un vecteur unitaire, normal à la surface S. Le flux Φ se mesure en weber (Wb) Exemple simple : Surface S plane et champ magnétique uniforme, incliné d’un angle � par rapport à S : Φ = B.S.cos� 4 . Lois fondamentales du magnétisme. - Lien entre les courants et l’excitation magnétique qui en résulte : Théorème d’Ampère Circulation du vecteur excitation H, le long d’une courbe fermée (C) : �=

Cdl.H)H(Circ

Énoncé du théorème d’Ampère : La circulation du vecteur champ d’excitation magnétique H le long d’un contour fermé (C) orienté par sa normale (règle du tire-bouchon) est la somme algébrique des courants traversant la surface s’appuyant sur le contour (C). �� == n

Cidl.H)H(Circ

La somme est algébrique : Un courant iN est compté positivement s’il est dirigé dans le sens de la normale n, négativement dans le sens inverse. (Dans le cas de la figure, on aura ainsi � −= 21 iidl.H )

La quantité ΣiN est nommée force magnétomotrice. (exprimée en A) Exemple : Champ magnétique créé par un courant rectiligne. L’excitation est tangente à tout cercle de rayon r, centré sur le conducteur ; son module est constant en tous points de ce cercle.

Le th. d’Ampère s’écrit : � =π=cercle

irH2dl.H�

d’où r2

iH

π= ;

dans l’air, B = µ0H, d’où r2i

B 0)r(

πµ=

n n

n

B

�

(S)

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- Lien entre le flux magnétique embrassé et la tension aux bornes d’un circuit : Lois de Lenz et de Faraday. Soit une spire circulaire baignant un flux Φ(t) ;

à ses bornes existe une fém induite dtd

)t(eΦ−=

Exemple : Spire plane de surface S dans un champ B uniformément variable : Φ = BScos� (� inclinaison de la spire par rapport à B)

soit α−= cos.S.dtdB

)t(e

Remarque : Cette fém induite n’existe que si Φ varie dans le temps ! (Soit B varie dans le temps, soit le circuit se déplace dans le champ magnétique) - Forces magnétiques : Lois de Lorentz et Laplace. *Action subie par une charge en mouvement dans un champ magnétique B : Bv.qF

���Λ=

soit, en module : F |q|.v.B.sin�, où � est l’angle entre v et B. * Action subie par un élément de courant placé dans un champ magnétique B Soit une longueur élémentaire dl de conducteur, parcourue par un courant d’intensité I, et placée dans un champ magnétique B. Bld.IFd

���Λ=

soit, en module : dF = I.dl.B.sin�, où � est l’angle entre dl et B

v

q>0

B

F

I

B

dl

F

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5 . Les milieux magnétiques. Dans le vide et dans l’air, les vecteurs B et H sont colinéaires et liés par B = µ0 .H . Un milieu isotrope est dit magnétique si les vecteurs B et H restent alignés, et on écrit B = µ.H ; µ est la perméabilité magnétique de ce milieu ; par comparaison avec µ0, on pose µ = µR. µ0, où µR, sans dimension, est la perméabilité relative du milieu (s.e, par rapport au vide !) Pour traduire le fait que le champ B résultant dépend de l’excitation H et du milieu dans lequel on se trouve, on peut également poser : B = µ0.H + µ0.M , où M est l’aimantation induite dans le milieu. M et H sont également colinéaires : On pose M = χ .H ; χ est appelée susceptibilité magnétique (sans dimension) Il vient aussitôt : µR = 1 + χ Du point de vue magnétique, les milieux peuvent être classés en 3 groupes :

- Matériaux diamagnétiques. Le diamagnétisme est à priori observable dans tous les matériaux, sauf s’il est couvert par un autre phénomène magnétique. Un matériau diamagnétique soumis à un champ B est le siège de « courants » induits dans les atomes, qui s’opposent à ce champ externe (cf. loi de Lenz) . De ce fait, le champ résultant est inférieur au champ externe. La susceptibilité χ est négative et très faible : -10-4 < χ < -10-9 et varie en 1/T; µR est très légèrement inférieur à 1. (Exemples de matériaux diamagnétiques : Cuivre, or, argent, zinc, plomb , silicium…)

- Matériaux paramagnétiques. Dans ces matériaux, l’aimantation M est de même sens que l’excitation H, mais elle est très faible. La susceptibilité χ est positive : 10-6 < χ < 10-4 et varie en 1/T ; µR est ainsi très légèrement supérieur à 1. (Exemples de matériaux paramagnétiques : Aluminium, tungstène, platine, étain…) Conclusion : Diamagnétisme et paramagnétisme n’entraînent aucune propriété technologique intéressante.

- Matériaux ferromagnétiques. Ces matériaux sont caractérisés par une susceptibilité χ positive et très élevée (donc µR>>1) ; malheureusement, χ (et donc µR) dépendent fortement de l’excitation H. Il s’en suit un magnétisme non linéaire dans ces matériaux. D’autre part, le ferromagnétisme est particulièrement influencé par la température : Au delà d’une température �C (température de Curie), le ferromagnétisme disparaît et le matériau devient paramagnétique.

Loi de Curie Weiss : CT

Cθ−

=χ ; C : Cte dépendant du matériau ; ex : �C= 770°C pour le fer.

Par contre, compte tenu de l’énorme augmentation des phénomènes magnétiques observée, les matériaux ferromagnétiques présentent un intérêt fondamental en électrotechnique. (Principaux matériaux ferromagnétiques : Fer, cobalt, nickel et leurs alliages) A noter : Les matériaux ferrimagnétiques. Ce sont des matériaux ferromagnétiques particuliers, constitués par les ferrites. Une ferrite est une sorte de céramique obtenue par moulage à haute température (>1000°C) et à haute pression (oxydes ternaires fer-cobalt, fer-nickel par exemple) Les ferrites ne sont pratiquement pas conducteurs électriques ; en conséquence, ces matériaux ne favorisent pas l’apparition de courants de Foucault en régime variable (donc pertes énergétiques moindres), ce qui les destine aux applications hautes fréquences

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6 . Magnétisme dans les milieux ferromagnétiques. Organisation en micro-domaines : Un matériau ferromagnétique s’organise en petites zones (dimension < 1mm), dites domaines de Weiss, dans lesquelles existe une aimantation homogène. L’orientation de ces aimantations étant aléatoire, l’aimantation macroscopique moyenne est nulle. Lorsqu’un tel matériau est soumis à une excitation H croissante, les domaines de Weiss s’orientent progressivement sur l’excitation, comme le montre la figure ci-dessous : L’évolution du champ B dans un tel matériau avec l’excitation H a ainsi l’allure suivante : On distingue 3 zones : A partir d’un état démagnétisé, la croissance de B suit d’abord celle de H (zone linéaire) ; l’augmentation de B s’infléchit ensuite pour se stabiliser (zone de saturation) Dans la zone de saturation, B augmente avec H de la même façon que dans l’air. (droite en pointillés sur la figure). Le matériau étant initialement démagnétisé, la courbe porte le nom de courbe de 1ère aimantation. Ci-dessous : Courbes de 1ère aimantation de quelques substances ferromagnétiques courantes (à gauche) et variation de leur perméabilité relative µR avec l’état magnétique (à droite).

H H

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Ferromagnétisme en régime alternatif : Hystérésis. La figure de droite représente l’évolution du champ B dans un matériau ferromagnétique soumis à une excitation H(t) alternative. Après la 1ère croissance de H(t) (de 0 à 1), le retour à 0 (de 1 à 2) laisse un champ rémanent BR. Il faut que H(t) atteigne la valeur négative –HC (de 2 à 3) pour que l’aimantation s’annule. HC est l’excitation coercitive. L’évolution de B se poursuit alors (de 3 à 4, puis à 5, 6 et de nouveau 1…) Le cycle d’hystérésis obtenu traduit le retard de l’évolution du champ B sur l’excitation H. Aspect énergétique : Le cycle d’hystérésis correspond à une dépense énergétique, afin de modifier les domaines de Weiss ; cette dépense est d’autant plus importante que le phénomène est important, c’est à dire que la surface du cycle est grande. De même, les pertes par hystérésis augmentent avec la fréquence de l’excitation. Matériaux doux et durs : Les matériaux ferromagnétiques sont classés en matériaux doux et durs, selon la forme de leur cycle. Les matériaux durs (ex. : acier) présentent une forte aimantation rémanente et difficile à annuler (Hc est grand). Ils sont utilisés pour faire des aimants permanents. Leur cycle est large. Exemples : Ferrite (oxyde de fer) ;saturation à ≈ 0,6 T ; Br ≈ 0,4 T ; Hc ≈ 200 kA/m

Samarium-Cobalt (Sm-Co);saturation à ≈ 1 T ; Br = 0,8 T Hc = 500 kA/m Les matériaux doux(ex. : fer) possèdent une aimantation rémanente facile à annuler (Hc est petit). Ils sont utilisés pour les carcasses des moteurs et les tôles des circuits magnétiques des transformateurs. Leur cycle est étroit. Exemple d’alliages utilisés pour les tôles des transformateurs

FeSi : Alliage à 3,5% de Si ; saturation à 2 T ; Br ≈ 0 ; Hc ≈ 0 ; �r = 7000 à 50 Hz FeSi à grains orientés : Saturation à 3 T ; Br = 1,4 T ;Hc = 8 A/m ; �r > 40 000 à 50 Hz

Remarque : Pertes par courants de Foucault. Lorsqu’un matériau ferromagnétique est soumis à une excitation alternative, des courants induits, dits courants de Foucault, prennent naissance au sein même de la matière, s’opposant à la cause qui leur a donné naissance (loi de Lenz) Ces courants entraînent un échauffement par effet Joule du matériau, ce qui correspond à une perte énergétique ; les pertes par courants de Foucault augmentent comme le carré de la fréquence de l’excitation. Pour les minimiser , on réduira la taille des noyaux ferromagnétiques par feuilletage (empilement de fines tôles émaillées), ou on utilisera des ferrites, peu conductrices de l’électricité.

0

1

2

3

4 5

6

BR

-HC

HC

-BR

B(T)

H(A/m)

����������� ���� ����� ������������

7 . Circuits magnétiques. Les bobinages, transformateurs et moteurs électriques fonctionnent en utilisant des circuits magnétiques, c’est à dire des ensembles de masses de matériaux ferromagnétiques, destinés à canaliser un flux magnétique. Voir ci-contre l’exemple d’un enroulement sur un circuit magnétique comportant un entrefer. L’emploi de matériaux ferromagnétiques permet l’obtention de champs magnétiques assez élevés (B > 1T) au sein même du circuit magnétique. La morphologie de base d’un circuit magnétique bobiné est représentée ci-dessous à droite : Un bobinage de N spires enserre un circuit de section S constante, formé d’un seul type de matériau (circuit homogène) Dans un premier temps, nous négligeons toute saturation au sein de ce circuit magnétique (circuit linéaire). L’intensité I du courant dans l’enroulement est constante ; ceci correspond à une excitation H, responsable de la création d’un flux Φ dans le matériau. On suppose que la totalité des phénomènes magnétiques est localisée dans le circuit, magnétique (les fuites de flux sont négligées). Le circuit étant ainsi défini, il est légitime de supposer l’excitation H constante en module dans tout le matériau, notamment le long d’une ligne de champ moyenne, de longueur l = 2a + 2b (cf. figure), où H est tangent. Le théorème d’Ampère, appliqué sur le contour formé par cette ligne de champ moyenne s’écrit : NIl.Hld.H ==�

��

Le champ magnétique B dans le matériau est lié à H par B = µ.H, avec µ =Cte, si le circuit est supposé linéaire. Le flux Φ de B à travers une section droite du circuit s’écrit alors :

NI.lS.

S.H.S.Bµ=µ==Φ

La force magnétomotrice NI est ainsi reliée au flux Φ par une relation dite relation d’Hopkinson, dans laquelle intervient une caractéristique du circuit qui est sa réluctance ����.

On écrit ainsi : NI = ����.Φ , avec ���� = S.l

µ

Remarque : Par analogie avec les circuits électriques, la relation d’Hopkinson est parfois nommée loi d’Ohm magnétique. Les grandeurs correspondantes sont : force magnétomotrice NI ⇔ tension U flux magnétique Φ ⇔ intensité I

réluctance ���� = S.l

µ ⇔ résistance

Sl

Rρ=

On démontrerait de même les lois d’associations de réluctances : en série �����1 + �2 en parallèle 1/�� = 1/ �1 + 1/ �2

v

i

a

b N

ΦΦΦΦ

section S

����������� ���� ����� � ������������

8 . Bobinage en sinusoïdal.

Considérons un enroulement de N spires, bobinées sur un circuit magnétique homogène, de section droite S, de perméabilité magnétique µ, et dont la longueur moyenne est l = 2a + 2b (Cf. ci-contre)

Ce circuit est caractérisé par une réluctance ���� = S.l

µ.

Dans un premier temps, nous négligeons la résistance du fil constituant cet enroulement. Inductance propre L. Le flux total ΦT à travers l’enroulement est proportionnel à l’intensité I du courant qui le traverse. L’inductance propre L est le coefficient de proportionnalité entre ces 2 grandeurs. ΦT = L.I Si Φ désigne le flux du champ B à travers la section droite S, alors ΦT = N.Φ La relation d’Hopkinson NI = ���� Φ amène : ΦT = N2.I / ���� ; d’où l’inductance L : L = N2/ ���� Pour un circuit magnétique idéal (linéaire, sans saturation), µ est indépendant de l’état magnétique, donc de la valeur de I ; l’inductance d’un tel enroulement est ainsi indépendante de l’intensité du courant qui le traverse. Pour un circuit magnétique réel, la courbe d’aimantation n’est pas linéaire et on observe un hystérésis en régime alternatif. On ne peut plus parler d’inductance propre constante. Si le noyau entre en saturation, µ décroît fortement , donc L décroît également fortement ! Exemple : Bobinage de N spires sur un circuit magnétique homogène de section S constante et de longueur l :

l

SNL

2r0µµ=

Relation tension – champ magnétique.

En valeur instantanée, on écrit dtdi

.Lv = soit dtd

Ndt

dv T Φ=Φ=

Avec v(t) = V�2.cos(�t), )tcos(2NV

dtd ω=Φ

, soit S).t(B)tsin(.N

2V)t( =ω

ω=Φ

La valeur crête BMAX se relie à V (efficace) par : f2NS

2VSN2V

Bmaxπ

=ω

=

D’où finalement : V ≈ 4,44.BMAX.N.S.f (relation dite de Boucherot)

Modèle linéaire d’un bobinage. En toute rigueur : - Le circuit magnétique ne canalise pas la totalité du flux magnétique : Il existe des fuites de flux correspondant à des lignes de champ se refermant dans l’air et non pas dans le noyau ferromagnétique. (Cf. page suivante) - Le flux total ΦT s’exprime par ΦT = Φ + �f où �f désigne le flux de fuites et Φ le flux dans le noyau.. - La résistance R du fil de l’enroulement ne peut pas être négligée. - Le circuit magnétique est le siège de pertes (hystérésis et courants de Foucault) ; on peut montrer que ces pertes sont pratiquement proportionnelles au carré de la tension aux bornes de l’enroulement.

v

i

a

b N

ΦΦΦΦ

section S

����������� ���� ������ ������������

La tension v(t) peut s’écrire : v(t) = Ri(t) +e(t) avec e(t) donnée par

la loi de Lenz : dt

dN

dtd

Ndt

dN)t(e fT ϕ+Φ=Φ=

e(t) est ainsi la tension aux bornes de l’association série de 2 inductances : - L’inductance magnétisante Lm, responsable du flux Φ ; - L’inductance Lf, correspondant aux fuites de flux. Les pertes dans le fer seront représentées par une résistance Rfer , en parallèle sur Lm. Dans ces conditions, le modèle linéaire de l’enroulement est donné par le schéma électrique ci-dessous :

Lm

����F R

Rfer v

i

v

i

a

b N

ΦΦΦΦ

�f

section S