- TURBOMACHINES - ENERGIES HYDRAULIQUE ET ...energie.mines-nancy.univ-lorraine.fr/fluides/turbo2a.pdfUne turbine à apveur de centrale thermique ou nucléaire tourne, dans le cas d'un

Deuxième année

Département Énergie - Parcours Fluides

Module ENRS8AC

- TURBOMACHINES -

ENERGIES HYDRAULIQUE ET EOLIENNE

Mathieu Jenny

Année universitaire 2018 - 2019

Table des matières

Cours de turbomachines de Mathieu Jenny, ENSMN Introduction 5

1 Eets des forces d'inertie - Problématique de l'équilibrage 71.1 Cinétique des masses et inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.1.1 Distribution de masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.1.2 Centre d'inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.1.3 Résultante et moment cinétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.1.4 Tenseur d'inertie d'un solide indéformable : généralités . . . . . . . . . . . . 91.1.5 Tenseur d'inertie : théorème de Huyghens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.1.6 Tenseurs d'inertie de solides homogènes de forme simple . . . . . . . . . . . 11

1.2 Lois fondamentales de la dynamique - Bilans d'eorts . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.3 Problème de l'équilibrage d'un rotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 Rappels sur les pertes de charges 192.1 Bilan énergétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2 Pertes de charge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2.1 Bernoulli avec pertes de charge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.2.2 Bernoulli avec pertes de charge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.3 Circuits avec des pompes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.4 Circuits avec des turbines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.5 TD : circuits hydrauliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.5.1 Charge d'une pompe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.5.2 Aquasplash . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.5.3 Circuit hydraulique avec piston . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.5.4 Alimentation de réservoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.5.5 Filtrage de piscine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.5.6 Puissance d'une turbine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.5.7 STEP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3 Pompes 373.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.1.1 Résultats du cours de mécanique des uides . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.1.2 Pompes volumétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.1.3 Conguration d'une turbopompe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.2 Triangle des vitesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.3 Principe de quantité de mouvement angulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.4 Notions de charge relative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.5 Caractéristique d'une pompe centrifuge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.5.1 Caractéristique théorique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.5.2 Caractéristique réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.5.3 Bilan de rendements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2 TABLE DES MATIÈRES

3.6 Pompes à hélices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.7 Problèmes généraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.7.1 Point de fonctionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.7.2 Hauteur d'aspiration et amorçage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.7.3 Groupement de pompes : série et parallèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.7.4 Cavitation - rudiments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.8 Étude dimensionnelle et similitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.9 NPSH (Net positive Suction Head) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.10 TD : Pompes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.10.1 Répartion de pompes sur un oléoduc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.10.2 Choix d'une pompe par similitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.10.3 Étude d'une pompe centrifuge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.10.4 Étude d'une pompe multicellulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.10.5 Exemple d'utilisation du NPSH (R. Joulié, Mécanique des uides appliquée) 58

4 Turbines hydrauliques 614.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.1.1 Les turbines à action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.1.2 Les turbines à réaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.2 Bilan d'énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.3 Turbine à action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.3.1 La turbine Pelton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.3.2 Turbine Crossow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.3.3 Non-Pelton wheel impulse turbine (Dental drill) . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.4 Turbines à réaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.4.1 Organes communs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.4.2 Triangle des vitesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.4.3 Caractéristiques générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.4.4 Diuseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824.4.5 Cavitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844.4.6 Limite de la hauteur d'aspiration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.5 TD : Turbines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 864.5.1 Turbine Pelton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 864.5.2 Dental drill . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874.5.3 Tourniquet hydraulique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 884.5.4 Étude d'une turbine Francis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 884.5.5 Turbine aux enchères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

5 Notions théoriques sur les éoliennes 915.1 Le vent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5.1.1 Variation de la vitesse du vent dans le temps . . . . . . . . . . . . . . . . . 915.1.2 Les variations de vitesse de vent dans l'espace . . . . . . . . . . . . . . . . . 935.1.3 Etude statistique du vent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

5.2 Notions d'aérodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 945.2.1 Dénitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 945.2.2 Actions de l'air sur l'aile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 965.2.3 Paramètres inuant sur les Cz et Cx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

5.3 Calcul aérodynamique d'une éolienne à axe horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . 975.3.1 Théorie de Betz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 975.3.2 Eets de la rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 985.3.3 Prise en compte de l'élément de la pale d'hélice . . . . . . . . . . . . . . . . 100

TABLE DES MATIÈRES 3

5.3.4 Corrections de Prandtl et de Glauert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1035.3.5 Dimensionnement optimal des pales pour une puissance maximale . . . . . 103

Bibliographie 105

4 TABLE DES MATIÈRES

Introduction

Ce document de cours-TD de

Turbomachines - Applications aux énergies hydraulique et éolienne

est destiné aux élèves de deuxième année de l'école nationale supérieure des Mines de Nancy ayantchoisi le parcours Fluides du département Énergie. Il correspond au module ENRS8AC. Une versionpdf de ce document est accessible sur Arche.

Ce cours se situe évidemment dans la continuité du cours de mécanique des milieux continussolides et uides de première année, et de ceux de mécanique des uides I et II de deuxièmeannée. Nous utilisons les mêmes notations : les caractères gras surmontés d'une barre (exemple :

v) désignent les vecteurs, les caractères gras surmontés de deux barres (exemple : D) désignent lestenseurs d'ordre 2.

Pour échanger de l'énergie entre un uide et un système mécanique, on utilise ce qu'on appelledes machines à uides. Ce sont souvent des machines tournantes ou turbomachines. Le transfert del'énergie de la machine vers le uide se fait grâce à des pompes. La transformation inverse est faitepar des turbines. Ces dernières peuvent alors, soit transmettre directement l'énergie mécanique àune autre machine à faire fonctionner, soit, à leur tour, échanger leur énergie mécanique avec unalternateur pour la transformer en électricité. L'énergie des uides provient soit de leur énergiepotentielle, dans le cas d'une chute d'eau et de l'énergie - renouvelable ! - hydraulique, soit deleur énergie cinétique dans le cas des éoliennes, soit encore d'une source d'énergie thermique :énergie nucléaire ou énergie de combustion. Les turbomachines sont donc en première ligne pour laproduction d'énergie utilisable par la société que ce soit à des ns industrielles ou de consommationdomestique.

On présente dans le chapitre 1, rédigé par Emmanuel Plaut, la problématique de l'équilibragedes machines tournantes. Le chapitre 2 est un rappel de la notion de perte de charge. Le bilandes charges d'un circuit hydraulique permet de déterminer la puissance d'une pompe ou d'uneturbine et sa charge. Le dimensionnement de la turbomachine elle-même (taille de rotor, vitessede rotation) est l'objet des chapitres suivants. Les chapitres 3 à 4, présentent les pompes puisles turbines hydrauliques. Ces chapitres sont très largement inspirés du cours de Souhar (20092010). On présentera les notions théoriques nécessaires au choix des turbomachines en fonctiond'un cahier des charges et de leur intégration dans un circuit hydraulique. Le chapitre 5 est uneintroduction aux éoliennes qui peuvent être considérées comme des turbines qui utilisent le vent.Ce chapitre est une reprise de la présentation théorique du TP éolienne rédigé par Ophélie Caballinaet Alexandre Labergue (cours ENSEM, 3A énergie).

Les cinq premières séances de ce cours porteront sur les chapitres 1 à 4. La sixième séance seraconsacrée à l'introduction aux éoliennes. Le test écrit aura lieu pendant la septième séance.

Le bureau d'études Hydroélectricité aura lieu pendant la semaine banalisée de mars ou mai2019. Pendant cette journée, vous ferez l'étude de aménagement d'un barrage hydroélectrique sur

6 Introduction

un torrent de montagne. Le bureau d'études sera encadré par Quentin Morel, chef de projet hy-droélectricité développement et construction chez Quadran. On passera à cette occasion en revueplusieurs problématiques de la petite hydraulique, du prédimensionnement du barrage, à la gestionde la retenue et aux diérents calculs de production d'énergie et de rentabilité en fonction descontraintes économiques et environnementales. Ce bureau d'études sera évalué par des rendus àremettre du jour au lendemain. L'évaluation de l'ensemble du module reposera sur la moyenne dutest écrit (coe. 0.5) et de l'évaluation du bureau d'étude (coe. 0.5).

Je remercie très vivement Emmanuel Plaut pour la rédaction du chapitre 1, complété utilementpar l'annexe A du cours de mécaniques des milieux continus solides et uides de première année(Plaut 2017b), Mohamed Souhar, professeur à l'ENSEM, chercheur au LEMTA, pour m'avoir per-mis de reproduire en grande partie dans mes chapitres 3 et 4 son cours de turbomachines et OphélieCaballina, maître de conférences à l'ENSEM et au LEMTA, pour son cours sur les éoliennes. Enn,je remercie Quentin Morel pour le bureau d'étude qu'il propose en complément de ce module.

Nancy, le 25 janvier 2019.

Mathieu Jenny.

Chapitre 1

Eets des forces d'inertie sur les

turbomachines - Problématique de

l'équilibrage

Une machine à uides tournante est un objet solide en interaction avec un ou plusieurs uidesenvironnants, à qui elle communique ou de qui elle tire son énergie cinétique de rotation. Dans cechapitre on s'intéresse à un aspect important de la mécanique des solides qui constituent desmachines tournantes, à savoir l'eet de la force d'inertie centrifuge sur ces solides. On montred'après les équations (A.38) de (Plaut, 2017b) et (1.39) que, si ω est la vitesse (constante dansle temps) de rotation angulaire de la turbomachine autour de l'axe xe Oz, dans le référentieltournant lié à cette machine la force volumique d'inertie d'entraînement centrifuge

fie = −ργe (1.1)

avec ρ le champ de masse volumique de la machine,

γe = ωez ∧ (ωez ∧OM) (1.2)

le champ d'accélération d'entraînement, M désignant le point de l'espace où ces champs sont consi-dérés. En utilisant un système de coordonnées cylindriques (r, θ, z) d'origine O et d'axe Oz, onobtient

γe = −ω2rer =⇒ fie = ρω2rer (1.3)

qui est d'autant plus grande que ω est grande. Cette force d'inertie va devoir être équilibrée par desréactions de liaison des paliers qui supportent l'arbre de la machine. Minimiser la contribution decette force d'inertie à ces réactions de liaison est exactement le but de l'équilibrage des rotors,que l'on présentera ci-après dans la cadre de la mécanique des solides indéformables. Sepréoccuper de la résistance des matériaux déformables constituant la machine tournanteaux contraintes internes engendrées par la force volumique (1.3) serait l'étape suivante, que nousne pourrons malheureusement pas aborder, faute de temps. Nous renvoyons le lecteur intéressé àGéradin & Rixen (1996).

Un calcul d'ordre de grandeur montre l'importance des forces (1.3). Une turbine à vapeur decentrale thermique ou nucléaire tourne, dans le cas d'un couplage avec alternateur à 2 pôles, à3000 tr/mn, ce qui donne, en unités SI,

ω = 30002π rad

60 s= 314 rad/s .

Les pales de cette turbine étant de taille métrique, l'accélération d'entraînement correspondanteest

γe ' (314 rad/s)2 1 m ' 98700 m/s2 ' 10000 g

8 Chapitre 1 Eets des forces d'inertie - Problématique de l'équilibrage

avec g l'accélération de la pesanteur, qui constitue une référence...

Une approche scientique du problème de l'équilibrage des rotors nécessite des bases en méca-

nique des solides indéformables ; c'est l'objet de ce chapitre que de les donner. On ne se limitepas strictement aux notions qui seront utilisées pour l'équilibrage, de façon à fournir un documentde cours un peu étoé, qui pourra être utile dans d'autres contextes 1. L'équilibrage proprementdit sera traité en TD, lors de l'étude du problème de la section 1.3.

Les notions de cinématique du solide, i. e. la composition des mouvements par changement deréférentiel, nécessaires à ce chapitre se trouvent dans l'annexe A du cours de mécanique des milieuxcontinus uides et solides de première année (Plaut, 2017b).

1.1 Cinétique des masses et inertie

Les objets de la mécanique des solides sont pesants. On va dénir et caractériser précisémentcette distribution de masse, notamment grâce à la notion de centre d'inertie. D'autre part onpeut noter qu'un solide indéformable possède, en vertu de la structure de champ de moments deson champ de vitesse, 6 degrés de liberté : 3 degrés de liberté de translation et 3 degrés de libertéde rotation. Il faut donc dénir, pour caractériser précisément son mouvement autour d'un point Ode référence, sa quantité de mouvement de translation ou résultante cinétique 2 et sa quantité demouvement de rotation ou moment cinétique 3. C'est ce que nous allons faire dans cette section,en terminant par l'introduction du tenseur d'inertie, outil commode pour le calcul du momentcinétique.

1.1.1 Distribution de masse

En général la masse est distribuée dans le volume de la machine considérée, volume que nousnoterons Ωt. La masse totale peut donc s'écrire

m =

∫∫∫Ωt

d3m (1.4)

avecd3m = ρ d3x (1.5)

l'élément de masse, d3x étant l'élément de volume, ρ la masse volumique.Dans certains cas on pourra modéliser une partie du système, très mince dans une ou deux di-rections, en considérant qu'elle est à distribution surfacique ou linéique de masse ; on remplaceral'intégrale triple dans des formules dénissant des quantités extensives du type (1.4) par une in-tégrale double ou simple, l'élément de masse étant proportionnel à un élément de surface ou delongueur. On pourra aussi considérer que certaines masses sont ponctuelles ; alors l'intégrale seraune somme discrète.

1.1.2 Centre d'inertie

Le centre d'inertie du système est déni comme le point G barycentre de la distribution demasse du système, tel que

∀O, mOG =

∫∫∫Ωt

OM d3m . (1.6)

1. On ignore aussi volontairement le fait que certains, en fonction de leur classe préparatoire, ont déjà vu telle

ou telle notion ; cela ne leur fera pas de mal de réviser ...

2. `Linear momentum' en anglais.

3. `Angular momentum' en anglais.

1.1 Cinétique des masses et inertie 9

1.1.3 Résultante et moment cinétiques

Dans le référentielR0 où O est xe, nous dénissons la quantité de mouvement de translationtotale du système,

p(t) :=

∫∫∫Ωt

v(M,t) d3m =

∫∫∫Ωt

˙OM(t) d3m = m ˙OG(t) . (1.7)

La commutation de la dérivée par rapport au temps et de l'intégrale sur la distribution de masse,

p =

∫∫∫Ωt

dOMdt

d3m =d

dt

∫∫∫Ωt

OM d3m , (1.8)

résulte en fait de la conservation de la masse, et de la formule de transport d'une densité massique,

d

dt

∫∫∫Ωt

e d3m =

∫∫∫Ωt

de

dtd3m , (1.9)

démontrée dans la sous-section 3.1.3 de Plaut (2017b).Comme on l'a expliqué au début de cette section, on doit aussi introduire la quantité de mouvementde rotation du système par rapport à ce point O, soit

σ(O,t) :=

∫∫∫Ωt

OM(t) ∧ v(M,t) d3m (1.10)

En utilisant la relation de transitivité AM = OM −OA ainsi que la dénition (1.7), on observeque

∀O,A, σ(A,t) = σ(O,t) + p(t) ∧OA (1.11)

ce qui montre que σ est un champ de moments de résultante p. On désigne pour cette raison σ(O,t)comme le moment cinétique du système par rapport au point O, et p(t) comme la résultante

cinétique du système.

1.1.4 Tenseur d'inertie d'un solide indéformable : généralités

On se place toujours dans un référentiel R0 où un point O du solide S étudié est xe. Si Sest un solide indéformable, on peut utiliser le fait que son champ de vitesse est un champ demoments. La formule des champs de moments donne alors

v(M ∈ S,t) = v(O ∈ S,t) + ω ∧OM(t) = ω ∧OM(t) , (1.12)

avecω = ωS/R0

(t) (1.13)

le vecteur vitesse de rotation instantanée de S dans R0. Le produit OM∧v à intégrer pour obtenirle moment cinétique (1.10) s'écrit donc

OM ∧(ω ∧OM

)= OM2ω −

(OM · ω

)OM =

[OM21−OM⊗OM

]· ω .

Introduisons le tenseur d'inertie de S par rapport au point O,

I(O,t) =

∫∫∫Ωt

[OM2(t)1−OM(t)⊗OM(t)

]d3m . (1.14)


Ce tenseur d'inertie est de fait l'application linéaire qui, au vecteur vitesse de rotation instantanéeω, associe le moment cinétique en O,

I(O,t) : R3 −→ R3

ω 7−→ σ(O,t) = I(O,t) · ω .. (1.15)

On a intérêt à expliciter ce tenseur dans un repère Oxyz lié à S, car il y aura des composantesindépendantes du temps. En coordonnées cartésiennes, le vecteur OM étant repéré par

OM = xex + yey + zez ,

l'équation (1.14) s'explicite selon

Mat[I(O),

ex,ey,ez

]=

Ixx Ixy IxzIxy Iyy IyzIxz Iyz Izz

(1.16)

où apparaissent les moments d'inertie par rapport aux axes x, y, z,

Ixx =

∫∫∫Ωt

(y2 +z2) d3m , Iyy =

∫∫∫Ωt

(z2 +x2) d3m , Izz =

∫∫∫Ωt

(x2 +y2) d3m ,

(1.17)et les produits d'inertie :

Ixy = Iyx = −∫∫∫

Ωt

xy d3m ,

Iyz = Izy = −∫∫∫

Ωt

yz d3m ,

Izx = Ixz = −∫∫∫

Ωt

zx d3m . (1.18)

On peut noter que

Izz =

∫∫∫Ωt

HM2 d3m (1.19)

avec H le projeté orthogonal de M sur l'axe Oz. Ainsi Izz est d'autant plus grand que la massede S est en moyenne loin de l'axe Oz. D'autre part Ixy > 0 (resp. < 0) indique qu'en moyenne lamasse de S est dans le demi-espace xy < 0 (resp. > 0) ; Ixy = 0 indique que la masse de S estéquirépartie entre les demi-espaces xy < 0 et xy > 0.

Le calcul des intégrales (1.17) et (1.18) ne pose pas de problèmes dans son principe ; des résultatstypes seront donnés en sous-section 1.1.6. En pratique, dans le cas de solides de forme compliquée,les logiciels de Conception Assistée par Ordinateur eectuent automatiquement et numériquementtous ces calculs.

De manière générale, I(O,t) étant symétrique peut se diagonaliser dans une certaine baseorthonormée liée au solide S. Les axes Ox, Oy, Oz correspondants sont appelés axes principaux

d'inertie du solide, tandis que les éléments diagonaux correspondants Ixx, Iyy, Izz sont appelésmoments principaux d'inertie du solide.

Sans aller éventuellement jusqu'à cette diagonalisation complète, on a souvent intérêt à calculerle tenseur d'inertie dans une base où le solide présente certaines symétries.Par exemple, si le solide admet xOy comme plan de symétrie, on observe, en faisant le changementde variable z 7→ −z dans les intégrales, que

Ixz = Iyz = 0 .


Ceci prouve que l'axe Oz est axe principal d'inertie du solide ; alors les deux autres axes principauxse trouvent forcément dans le plan xOy.Si l'un des axes de base, par exemple Oz, est axe de symétrie du solide, alors le changement devariable (x,y) 7→ (−x,− y) montre qu'on a aussi

Ixz = Iyz = 0 .

Là encore l'axe Oz est axe principal d'inertie.Si Oz est axe de révolution on aboutit aux mêmes résultats. De plus, en faisant le changementde variable (x,y) 7→ (−y,x) correspondant à une rotation de π/2, on montre que

Ixy = 0

etIxx = Iyy .

Ceci signie que les axes Ox, Oy, Oz sont axes principaux d'inertie, et que les deux premiersmoments principaux d'inertie sont égaux.

1.1.5 Tenseur d'inertie : théorème de Huyghens

An d'examiner le lien entre les tenseurs d'inertie en deux points origines diérents O et A,insérons la relation de transitivité

OM = OA+AM

dans le tenseur élémentaire à intégrer pour calculer I(O) équation (1.14). Il vient

OM21−OM⊗OM =(OA2 + 2OA ·AM+ AM2

)1

−(OA⊗OA+AM⊗OA+OA⊗AM+AM⊗AM

).

On en déduit par intégration, et en utilisant l'équation (1.6) pour A à la place de O, la relation

I(O) = m[(OA2 + 2OA ·AG

)1−OA⊗OA+AG⊗OA+OA⊗AG

]+ I(A) . (1.20)

Cette relation se simplie remarquablement si A coïncide avec le centre d'inertie G du solide ; onaboutit alors au théorème de Huyghens :

I(O) = m(OG21−OG⊗OG

)+ I(G) (1.21)

Ce théorème, qui permet de déduire I en un point quelconque O de la connaissance de I(G), justie

que l'on ne donne dans le formulaire de la section 1.1.6 que les valeurs de I(G).

1.1.6 Tenseurs d'inertie de solides homogènes de forme simple

Donnons les tenseurs d'inertie de solides homogènes de forme géométrique simple. Pour lepremier exemple ci-dessous, les calculs se font en coordonnées cartésiennes, avec lesquelles

OM = xex + yey + zez , d3x = dx dy dz . (1.22)

Un calcul préliminaire de la masse totale, selon l'équation (1.4), donne la valeur de ρ. On peut alors

calculer I(G) à partir de l'équation (1.14).


Exemple 1 : parallélépipède rectangle droit :

z

x

yG

2a

2c

2bV = (x,y,z) ∈ [−a,a]× [−b,b]× [−c,c] , ρ =

m

8abc,

Mat[I(G),

ex,ey,ez

]=

m

3

b2 + c2 0 00 c2 + a2 00 0 a2 + b2

.

(1.23)

Pour les exemples 2 à 5 suivants, les calculs se font en coordonnées cylindriques, avec lesquelles

OM = r(

cos θ ex + sin θ ey)

+ zez , d3x = r dr dθ dz . (1.24)


Exemple 2 : cylindre creux de révolution :

x

y

z

G

2b2a

2h

V = (r,θ,z) ∈ [a,b]× [0,2π]× [−h,h] , ρ =m

2π(b2 − a2)h,

Mat[I(G),

ex,ey,ez

]= m

a2 + b2

4+h2

30 0

0a2 + b2

4+h2

30

0 0a2 + b2

2

.

(1.25)

Exemple 3 : cylindre de révolution : ce cylindre plein peut être vu comme un cylindre creuxavec a = 0 :

G

x

z

y

2b

2h

V = (r,θ,z) ∈ [0,b]× [0,2π]× [−h,h] , ρ =m

2πb2h,

Mat[I(G),

ex,ey,ez

]= m

b2

4+h2

30 0

0b2

4+h2

30

0 0b2

2

.

(1.26)

Exemple 4 : anneau torique :

G

z

x

2b

a

V = (r,θ,z) ∈ [b−√a2 − z2,b+

√a2 − z2]× [0,2π]× [−a,a] ,

ρ =m

2π2a2b,

Mat[I(G),

ex,ey,ez

]= m

5a2

8+b2

20 0

05a2

8+b2

20

0 03a2

4+ b2

.

(1.27)


Exemple 5 : cerceau :

G

y

x

2b

Se déduit du précédent dans la limite a→ 0, d'où

Mat[I(G),

ex,ey,ez

]= m

b2

20 0

0b2

20

0 0 b2

. (1.28)

Pour les derniers exemples, les calculs se font en coordonnées sphériques, avec lesquelles

OM = r[

sin θ(

cosφ ex + sinφ ey)

+ cos θez], d3x = r2 sin θ dr dθ dφ . (1.29)

Exemple 6 : sphère creuse :

y

x

G

z

a

bV = (r,θ,φ) ∈ [a,b]× [0,π]× [0,2π] ,

ρ =3m

4π(b3 − a3),

I(G) =2

5m

b5 − a5

b3 − a31 . (1.30)

Exemple 7 : sphère :

Dans le cas a = 0 on obtient pour une sphère pleine de rayon b que

I(G) =2

5m b2 1 . (1.31)

1.2 Lois fondamentales de la dynamique - Bilans d'eorts

On se place dans un premier temps dans un référentiel R0 réputé galiléen, où les seules forcesagissant sur un système S sont les forces physiques :

• densité volumique de forces fvol agissant dans le volume Ωt, par exemple fvol = ρg pour lepoids, g étant le champ gravitationnel, fvol = ρe(E+v∧B) pour la force électromagnétique,ρe étant la densité volumique de charge, E le champ électrique, B le champ magnétique ;

• densité surfacique de forces T agissant sur la frontière ∂Ωt de Ωt.

La première loi de Newton est la loi d'évolution de la résultante cinétique,

p = Rext résultante des eorts extérieurs appliqués (1.32)

Rext =

∫∫∫Ωt

fvol d3x +

∫∫∂Ωt

T d2S . (1.33)

D'après les équations (1.7) et (1.9), on peut écrire la dérivée par rapport au temps de la quantitéde mouvement de deux façons diérentes,

p =

∫∫∫Ωt

γR0(M) d3m = mOG . (1.34)

1.3 Problème de l'équilibrage d'un rotor 15

La deuxième loi de Newton est la loi d'évolution du moment cinétique,

σ(O) = Γext(O) moment en O des eorts extérieurs appliqués (1.35)

Γext(O) =

∫∫∫Ωt

OM ∧ fvol d3x +

∫∫∂Ωt

OM ∧T d2S . (1.36)

D'après (1.9), la dénition (1.10) et la formule (1.15), on peut écrire la dérivée par rapport autemps du moment cinétique de deux façons diérentes,

σ(O) =

∫∫∫Ωt

OM ∧ γR0(M) d3m =

d

dt

[I(O) · ωS/R0

]. (1.37)

Il importe de constater que le champ de vecteurs Γext(O) présente une structure de champ demoments, de résultante Rext :

∀A,O, Γext(A) = Γext(O) +Rext ∧OA = Γext(O) +AO ∧Rext . (1.38)

Ceci justie le terme moment des eorts ; on parle aussi de couples appliqués pour désignerdes contributions à Γ.

Si maintenant on se place dans un référentiel non galiléen R dont le mouvement est connupar rapport au référentiel absolu galiléen R0, on peut injecter dans les membres de gauche des loisde Newton, à savoir (1.34) et (1.37), la formule de composition des accélérations. On observe queles lois de Newton restent valables dans le référentiel R à condition d'introduire des forces d'inertievolumiques dans les membres de droite,

fi = fie︸︷︷︸force d'inertie d'entrainement

+ fic︸︷︷︸force d'inertie de Coriolis

= −ργe − ργc . (1.39)

1.3 Problème de l'équilibrage d'un rotor

On considère un rotor S solide indéformable, de masse totale m, comprenant un axe Oz enrotation sur un chassis grâce à des liaisons pivots situées aux points P1 et P2 :

P2P1

G

x

zy

S

On choisit un repère de travail Oxyz lié au solide S, d'origine O = P1 . On a alors OP2 = lez.D'autre part le centre de gravité G de S est repéré par OG = OH+HG avec H projeté orthogonalde G sur l'axe Oz, OH = cez, HG = aex + bey.On s'intéresse au régime de rotation où la vitesse angulaire ω de S dans le référentiel absolu dulaboratoire R0 est constante. Dans ce référentiel, le rotor est soumis à des eorts au niveau desliaisons pivots :

• le champ de forces exercé au niveau de la liaison P1 a une résultante égale à la réaction de

liaison R1 et un couple en P1 égal au couple de liaison Γ1 ;

• le champ de forces exercé au niveau de la liaison P2 a une résultante égale à la réaction de

liaison R2 et un couple en P2 égal au couple de liaison Γ2.


D'autre part des eorts dûs à l'environnement, par exemple l'action de uides, existent ; onnote Renv leur résultante, Γenv leur couple en O. Enn l'action de la gravité terrestre constitueune troisième source d'eorts.

La moitié des mini-groupes de TD traitera la question 1 ci-dessous par la voie a, l'autre moitiépar la voie b.

1 Explicitez les lois fondamentales de la dynamique de ce système

1.a soit dans le référentiel R0 du laboratoire,

1.b soit dans le référentiel R lié à S, donc en rotation par rapport à R0 avec le vecteur vitesseinstantanée de rotation ω = ωez.

Dans les deux cas faites intervenir les composantes Ixz et Iyz de la matrice représentant le tenseur

d'inertie I(O) de S dans la base tournante ex,ey,ez.

1.c On fait l'hypothèse que les liaisons pivots sont parfaites au sens où, en l'absence d'actionsdues à l'environnement, les couples de liaison Γ1 et Γ2 sont nuls. Observant d'autre part que lesystème d'équations que l'on vient d'obtenir est linéaire vis-à-vis de tous les eorts appliqués, ons'intéresse dans ce qui suit aux réactions de liaison R1 et R2 qui compensent seulement les termesinertiels, dûs aux membres de gauche des équations de la dynamique (1.32) et (1.35) dans le calculde 1.a, ou aux forces d'inertie dans le calcul de 1.b. Montrez que ces réactions sont dénies par lesystème

R1 + R2 = ω2 R ,

OP1 ∧R1 + OP2 ∧R2 = ω2 S , (1.40)

en donnant la dénition des vecteursR et S tournants liés à S, qui ne dépendent que de la géométriede la distribution des masses de S. Proposez une interprétation physique expliquant l'origine et lanature des termes −ω2 R et −ω2 S.

2.a Déterminez autant que possible les composantes de R1 et R2, en notant qu'il demeure unecomposante inconnue de liaison.

2.b Montrez que l'équilibrage complet du rotor, i.e. l'annulation des termes sources R et S dansle système (1.40), revient aux conditions suivantes :

• condition d'équilibrage statique : le vecteur balourd mHG = 0, i.e. a = b = 0,i.e. le centre d'inertie G se trouve sur l'axe de rotation Oz ;

• condition d'équilibrage dynamique : les moments d'inertie Ixz = Iyz = 0, i.e. l'axe derotation Oz est axe principal d'inertie de S.

Montrez en sus que la condition d'équilibrage statique revient à assurer que le terme de couple dûau poids, OG ∧mg, est eectivement statique au sens où il est indépendant du temps.3 On désire équilibrer le rotor en disposant sur S une masse ponctuelle mα au point A de son bordrepéré par OA = xαex + yαey + zαez et une autre masse ponctuelle mβ au point B de son bordrepéré par OB = xβex + yβey + zβez.

3.a Calculez les coordonnées a′, b′ et c′ du centre de gravité G′ du système S′ = S ainsi modié,et explicitez la condition d'équilibrage statique de S′.

3.b Calculez les produits d'inertie en O, I ′xz et I ′yz, du système S′, et explicitez la conditiond'équilibrage dynamique de S′.

3.c Pourquoi ne doit-on pas en général disposer les masses mα et mβ dans un même plan perpen-diculaire à l'axe de rotation, d'équation z = constante ?

1.3 Problème de l'équilibrage d'un rotor 17

4 D'un point de vue pratique, comme on n'a pas accès directement à la position du centre d'inertieou aux moments d'inertie, on utilise la méthode des coecients d'inuence pour équilibrerun rotor. Pour cela on caractérise quantitativement le déséquilibre du rotor, en régime de rotationà vitesse angulaire constante ω, en mesurant dans le référentiel R0 une des composantes de R1 etR2 grâce à deux capteurs de forces, placés en P1 et P2 , et orientés perpendiculairement à l'axede rotation. Si on appelle eX la direction de mesure de ces capteurs, on peut former une base xedans R0 à l'aide des vecteurs

eX , eY , eZ

=eX , ez ∧ eX , ez

.

Dans cette base xe la base liée au rotorex, ey, ez

est tournante, avec un angle de rotation

φ(t) :=(

eX , ex(t))

= ωt ,

et on mesure donc

s1(t) = R1 · eX grâce au capteur 1, s2(t) = R2 · eX grâce au capteur 2.

4.a En utilisant les résultats de la question 2.a, donnez l'expression générale de s1 et s2. Montrezque l'on peut associer naturellement à ces signaux temporels oscillants des amplitudes complexesz1 et z2 dont on donnera l'expression. Vous introduirez enn les amplitudes complexes normaliséesZ1 = z1/ω

2 et Z2 = z2/ω2.

Indication-commentaire : vous constaterez que la règle utilisée en traitement de signaux oscillants,

s(t) = sx cos(ωt)− sy sin(ωt) = Re[z exp(iωt)] ←→ amplitude z = sx + isy ,

se marie harmonieusement, ici, avec la règle utilisée en analyse complexe pour associer un complexeà un vecteur.

4.b Quelles conditions doit-on réaliser pour équilibrer le rotor ?

4.c La stratégie proposée par la méthode des coecients d'inuence consiste à équilibrer le systèmeen positionant des masses à la périphérie de deux disques faisant partie de S, situés l'un en z = zα,l'autre en z = zβ 6= zα . On repère la valeur de ces masses et leur position dans les plans de cesdisques par les balourds

bα = mα(xα + iyα) , bβ = mβ(xβ + iyβ) en notations complexes.

On commence par mesurer les amplitudes complexes normalisées Z1 et Z2 sur S tournant seul ; onnote les valeurs correspondantes Z0

1 et Z02 .

On arrête alors S, et on place mα en un point A du premier disque de S. On mesure - après retourau régime de rotation permanent - les nouvelles valeurs Z1α et Z2α des amplitudes complexesnormalisées des signaux s1 et s2. Montrez que l'on a alors

Z1α = Z01 + c1αbα , Z2α = Z0

2 + c2αbα

où l'on peut faire apparaître (i.e. mesurer pratiquement) des coecients d'inuence c1α et c2α donton donnera la valeur théorique.On arrête à nouveau le système, on enlève mα, et on dispose mβ en un point B du deuxième disquede S. On mesure ensuite les nouvelles valeurs Z1β et Z2β des amplitudes complexes normalisées dessignaux s1 et s2. Montrez que l'on peut introduire des coecients d'inuence c1β et c2β de sorteque

Z1β = Z01 + c1βbβ , Z2β = Z0

2 + c2βbβ .


Dans le cas général où on dispose mα en A point du premier disque et mβ en B point du deuxièmedisque, montrez que les amplitudes vibratoires de s1 et s2 sont données par :

Z1αβ = Z01 + c1αbα + c1βbβ , Z2αβ = Z0

2 + c2αbα + c2βbβ .

Décrivez à partir de ces résultats une méthode pratique d'équilibrage.Vous noterez que, d'un point de vue théorique, cette méthode fonctionne si la matrice des coecientsd'inuence

[C] =

(c1α c1β

c2α c2β

)est inversible ; vous vérierez théoriquement que cela est bien le cas.

5 En prenant un peu de recul par rapport à ce problème, on peut remarquer que l'on a privilégiéun point particulier O de l'axe de rotation dans tout le traitement. Montrez donc que si le rotor Sest équilibré vis à vis de O, alors il est équilibré vis à vis de tout autre point O′ de l'axe de rotation.

Chapitre 2

Rappels sur les pertes de charges

2.1 Bilan énergétique

On considère ici un uide newtonien incompressible. La puissance développée PF par un eort~F qui s'exerce sur un système matériel à la vitesse ~v est donnée par le produit PF = ~F .~v. Si onfait le produit scalaire entre les termes du bilan de quantité de mouvement et ~v, on obtient doncun bilan local de variation d'énergie cinétique :

ρ∂ec∂t

= −~v.~∇(p+

ρv2

2+ ρgz

)+ µ~v.∇2~v (2.1)

avec ec = v2/2 la densité massique d'énergie cinétique.On fait maintenant un bilan global sur un volume Dt, sachant que :

∇2~v = ~∇(~∇.~v)− ~∇∧ (~∇∧ ~v) (2.2)~∇.(~a ∧~b) = ~b.(~∇∧ ~a)− ~a(~∇∧~b), (2.3)

l'équation locale 2.1 intégrée sur Dt devient :∫∫∫Dt

∂

∂t(ρec) d

3x =

∫∫∂Dt

[−(p+ ρgz + ρ

v2

2

)~v + µ~v ∧ (~∇∧ ~v)

]~ndS −

∫∫∫Dt

µ(~∇∧ ~v)2d3x

(2.4)

S lat

S s

S e

v e

v s

nn

Fig. 2.1 Tube de courant.

Cette équation 2.4 traduit le fait que la variation d'énergie cinétique dans un volume de uidenewtonien incompressible est égale au bilan de ux entrants et sortants d'énergie moins les pertes.Cela apparait clairement si on dénit les puissances entrantes et sortantes d'un tube de courant(voir gure 2.1) par :

Pe = −∫∫

Se

(p+ ρgz + ρ

v2

2

)~v · ~ndS (2.5)

Ps =

∫∫Ss

(p+ ρgz + ρ

v2

2

)~v · ~ndS (2.6)

20 Chapitre 2 Rappels sur les pertes de charges

la puissance perdue par frottement sur les bords :

Pfrot = −∫∫

Slat

µ~v ∧ (~∇∧ ~v)~ndS (2.7)

et la puissance dissipée par la viscosité dans le volume :

Pdiss =

∫∫∫Dt

µ(~∇∧ ~v)2d3x (2.8)

L'énergie cinétique du volume de uide Dt est donnée par :

Ec =

∫∫∫Dt

ρecd3x (2.9)

Du fait de l'incompressibilité du uide, la variation d'énergie cinétique dans le volume Dt s'écrit :

dEcdt

=

∫∫∫Dt

(∂

∂t(ρec) + ~∇(ρec).~v

)d3x (2.10)

On obtient alors : ∫∫∫Dt

∂

∂t(ρec) d

3x = Pe − Ps − Pfrot − Pdiss (2.11)

Les équations 2.4 - 2.11 sont écrites sous forme d'intégrale du champ de vitesse. Malheureuse-ment, ce dernier n'est pas forcement bien connu. C'est pourquoi on préfère utiliser des grandeursmoyennes. On dénit donc la vitesse débitante sortante qui traverse une surface S :

〈v〉 =1

S

∫∫S~v · ~ndS (2.12)

avec ~n la normale sortante. Cela fournit naturellement le débit volumique :

qv = S〈v〉 (2.13)

Le débit massique sortant qm est déni par :

qm =

∫∫Sρ~v · ~ndS (2.14)

On introduit la masse volumique moyenne du volume de uide sortant par S par unité de temps :

〈ρ〉 =1

qv

∫∫Sρ~v · ~ndS (2.15)

On a donc pour le débit massique :qm = 〈ρ〉qv (2.16)

La charge H au niveau d'une surface S est dénie par :

H =1

qmg

∫∫S

(p+ ρgz + ρ

v2

2

)~v~ndS, qm 6= 0. (2.17)

avec g l'accélération de pesanteur. On peut réécrire la charge en utilisant les grandeurs moyennes :

H =〈p〉〈ρ〉g

+ 〈z〉+〈v3〉

2〈v〉g(2.18)

2.2 Pertes de charge 21

On dénit le coecient :

α =〈v3〉〈v〉3

(2.19)

On a nalement la charge en fonction des grandeurs moyennes :

H =〈p〉〈ρ〉g

+ 〈z〉+ α〈v〉2

2g(2.20)

Dans les conduites, α dépend du régime d'écoulement : α = 1 pour les uides parfaits. α = 2 pour les uides newtoniens en écoulement laminaire. α = 1.07 pour les uides newtoniens en écoulement turbulent.

Enn, on peut écrire le bilan d'énergie 2.11 en introduisant les charges :

∫∫∫Dt

∂

∂t(ρec) d

3x = qmg(He −Hs −Hfrot −Hdiss) (2.21)

avec Hfrot = Pfrot/(qmg) et Hdiss = Pdiss/(qmg).

Exercice : Calcul

Démontrer 2.2 et 2.3 en utilisant les dénitions des opérateurs ∇2 et ~∇. En déduire 2.4.

2.2 Pertes de charge

On considère un uide newtonien, incompressible et visqueux. Il a donc une viscosité dynamiqueµ non nulle et c'est sa diérence avec un uide parfait. Les uides réels sont des uides visqueux,c'est-à-dire que leur écoulement dissipe de l'énergie. Cela implique qu'il faut apporter de l'énergieau uide pour maintenir un écoulement.

2.2.1 Bernoulli avec pertes de charge

On considère que l'écoulement est stationnaire, ou le cas échéant, on travaille avec des moyennestemporelles. Dans ce cas, le bilan énergétique dans un tube de courant devient :

He −Hs −Hfrot −Hdiss = 0 (2.22)

Le problème consiste à obtenir une expression des pertes de charge Hpertes = Hfrot + Hdiss.D'après le bilan locale 2.1, on a par intégration sur un tube de courant :

Hpertes =1

qmg

∫∫∫Vµ~v.∇2~vd3x (2.23)

Nous allons chercher à écrire les pertes à partir de la vitesse débitante et du nombre de Reynoldscar l'expression 2.23 nécessite de connaitre l'écoulement. Nous nous limitons aux écoulements enconduite.


L

D v

Fig. 2.2 Tuyau droit.

Pertes de charge régulières

Les pertes de charge régulières sont les pertes dans un tuyau droit sans variation brutale desection (gure 2.2). Cette conguration est donc telle que la géométrie est presque invariante suivantla direction de l'écoulement. Si on introduit les grandeurs sans dimension et en prenant commelongueur de référence le diamètre D du tuyau (conduite circulaire) et pour volume V = πD2L/4avec la longueur L du tuyau dans la direction de l'écoulement, on obtient :

Hpertes =

(2

Re

∫∫∫V ?

~v?.∇2?~v?d3x?

)L

D

v2

2g(2.24)

On constate que V ? = 1 et, qu'en conséquence, l'intégrale ne dépend que du type d'écoulement. Letype d'écoulement est donné par l'équation de Navier-Stokes. Si on néglige les eets de pesanteur(donc le nombre de Froude), on constate que l'écoulement est déterminé par le nombre de ReynoldsRe. En pratique, cet écoulement dépend aussi des conditions limites sur la paroi du tube quisont caractérisées par la rugosité e du tuyau. En général, on adimentionnalise la rugosité de laconduite par son diamètre et l'on considère donc e/D. Ainsi, on note le coecient de perte decharge régulière :

λ(Re, e/D) =2

Re

∫∫∫V ?

~v?.∇2?~v?d3x? (2.25)

On obtient alors la forme générique des pertes de charge régulières que l'on note maintenant ∆Hr :

∆Hr = λ(Re, e/D)L

D

v2

2g(2.26)

On montre que dans le cas d'une conduite de section non circulaire, on remplace le diamètre de lasection par un diamètre hydraulique Dm déni par :

Dm =4S

P(2.27)

avec S la surface de la section et P son périmètre.Dans le cas d'un écoulement laminaire en conduite cylindrique, on a, en résolvant l'équation :

∆Hr =64

Re

L

D

v2

2g(2.28)

On considère que l'écoulement est laminaire tant que Re < 2000. L'écoulement est turbulent quandRe > 4000. Pour un nombre de Reynolds compris entre 2000 et 4000, l'écoulement est dans unrégime de transition où les zones de turbulence ne remplissent pas entièrement le tuyau. Ainsi, laformule 2.28 n'est valable que pour Re < 2000. Au-delà, il existe encore des formules empiriques ousemi-empiriques. La formule de Blasius, valable pour les régimes turbulents modérés, c'est-à-direpour 4000 < Re < 105 et pour des rugosités faibles e/D ≤ 10−3, est donnée par :


λ(Re) = 0.316Re−0.25 (2.29)

La formule de Colebrook-White permet de tenir compte de la rugosité (pour Re > 4000) :

1√λ

= 1.74− 2 log10

(2e

D+

18.7

Re√λ

)(2.30)

En pratique on utilise des abaques comme celui donné par la gure 2.3. Ces derniers sont obtenussoit grâce à des mesures expérimentales, soit à l'aide de formule comme celle de Colebrook-White.

La détermination du coecient de perte de charge régulière nécessite de calculer le nombre deReynolds, c'est-à-dire de connaître la viscosité cinématique de l'eau. Dans les conditions standardde température et de pression (105 Pa et 20°C), la viscosité dynamique de l'eau est µ = 1 cP =10−3 Pa.s (cP = centipoise). Sa masse volumique est de ρ = 1000 kg/m3. Sa viscosité cinématiqueest donc de ν = 1 cSt = 10−6 m2/s (cSt = centistokes). La viscosité de l'eau dépend de latempérature, il faut donc parfois utiliser un abaque (voir 2.4) pour corriger la valeur de sa viscositéen fonction de la température.

Pertes de charge singulières

Lorsque la canalisation change brusquement de forme (élargissement, rétrécissement de section)ou de direction (coude), l'écoulement est perturbé par l'obstacle que constitue cette modicationgéométrique. Cela entraine la formation de tourbillons dans l'écoulement et donc de la dissipationinterne Hdiss. En eet, cette dernière dépend du rotationnel de la vitesse qui peut être interprétécomme l'intensité des tourbillons. La zone où se produisent les pertes de charge singulière estdonc limitée au voisinage de l'obstacle. La longueur de canalisation pertinante est donc maintenantL = D. De la forme de 2.26, on en déduit la forme des pertes de charge singulières ∆Hs :

∆Hs = Kv2

2g(2.31)

avec

K =2

Re

∫∫∫V ?

~v?.∇2?~v?d3x? (2.32)

Cette fois-ci, V ? dépend de la géométrie de l'obstacle mais reste de l'ordre de 1. En général, K estfourni par des abaques en fonction du type d'obstacle (coude, etc ...) et du nombre de Reynolds.Il existe des formules qui donnent K dans une gamme de nombre de Reynolds pour des obstaclesde géométrie simple comme des coudes, des élargissements, etc ... (voir les exemples donnés dansla suite).

Coecients de pertes de charge singulières

On donne ici quelques exemples de coecients de pertes de charge. La plupart du temps, onutilise les abaques fournis par le fabriquants des éléments de canalisation (vannes, coudes, etc ...)plutôt que des formules se basant sur les caractéristiques géométriques de l'obstacle.Coudes et angles :

Pour un angle, on a une formule valable pour les grands nombre de Reynolds (Re > 4000) àdéfaut de mieux :

K = sin2(θ/2) + sin4(θ/2) (2.33)

Pour le coude de rayon R, on a, toujours en régime turbulent :


Fig. 2.3 Coecient de perte de charge régulière en conduite.


Fig. 2.4 Viscosité et masse volumique de l'eau en fonction de sa température.


θ

v

D

R

θ

v

D

Fig. 2.5 Angle et coude.

K =

(0.13 + 3.7

(D

2R

)3.5)θ

π(2.34)

Si le coude est long (L D), on doit aussi tenir compte des pertes de charge régulières sur lalongueur L du coude. On a alors :

K ′ = K + λL

D(2.35)

et la perte de charge s'écrit alors :

∆Hs = K ′v2

2g(2.36)

λ peut être pris en première approximation comme le coecient de perte de charge régulière d'uneconduite supposée droite. Il vaut toujours mieux utiliser des abaques pour avoir le coecient Kde perte de charge singulière. Les formules ci-dessus sont utilisables à défaut de mieux pour uneestimation des pertes de charge.Élargissements et rétrécissements brusques :

S 1 S 2v 1 S 1 S 2

v 2

Fig. 2.6 Élargissement et rétrécissement brusque.

Formule de Bordat-Carnot pour les élargissements brusques :

Re ≥ 3500, K =

(1− S1

S2

)2

(2.37)

avec la perte de charge dénie par :

∆Hs = Kv2

1

2g(2.38)

Formule pour un rétrécissement brusque :

Re ≥ 104, K = 0.5

(1− S2

S1

)(2.39)


avec la perte de charge dénie par :

∆Hs = Kv2

2

2g(2.40)

Diuseurs et rétrécissements progressifs :

θ/2

S 1 S 2v 1 v 2

θ/2

S 1 S 2v 1 v 2

Fig. 2.7 Diuseur et convergent.

Pour les diuseurs dont l'angle 10° < θ < 70°, la variation de K est linéaire avec l'angle θ pourles grands nombres de Reynolds avec :

θ ≤ 10°, K ≈ 0

θ ≥ 70°, K ≈ 0.8(2.41)

Pour les convergents progressifs, K dépend à la fois de l'angle θ et du rapport des sectionsS1/S2. En général, on le met sous la forme :

K = 1−(S2

S1

)2

+ f

(S2

S1

)(2.42)

f dépend de la géométrie du convergent. Cette fonction est tabulée dans les documentations tech-niques du convergent.

Comme pour les coudes progressifs, si la longueur de l'obstacle L D, il faut tenir compte despertes de charge régulières dans le convergent ou le diuseur.Bilan sur les pertes de charge singulières

On constate que pour de grands nombre de Reynolds (écoulement turbulent), K est presqueconstant pour un obstacle donné sur de grands intervalles de nombre de Reynolds. Le plus simpleest donc de se baser sur des données constructeur valables dans les régimes d'utilisation du matériel.Les gures 2.8 donnent des exemples de documentation que l'on peut rencontrer.

2.2.2 Bernoulli avec pertes de charge

De ce qui a été dit précédemment, on retient que les pertes de charge dans un écoulement enconduite sont de deux types : perte de charge régulière ∆Hr et perte de charge singulière ∆Hs. Aunal, entre la section d'entrée d'une canalisation et la section de sortie, on a :

He −Hs −∆Hr −∆Hs = 0 (2.43)

De plus, la conservation du débit (uide incompressible) donne :

qv,e = qv,s (2.44)

Enn, on peut remarquer que dans la majorité des cas pratiques le régime d'écoulement estturbulent. On peut donc utiliser α = 1 (α déni par 2.19), soit :

H =p

ρg+ z +

v2

2g(2.45)


Fig. 2.8 Exemples de documentation pour les coecients de perte de charge singulières.

2.3 Circuits avec des pompes 29

La valeur de α a, en général, peu d'importance car la conservation du débit dans une canalisationde section constante impose que la vitesse débitante est la même partout. Le terme correspondantà l'énergie cinétique disparaît donc du bilan 2.43.

2.3 Circuits avec des pompes

Nous avons vu que les uides viscqueux dissipent de l'énergie lorsqu'ils s'écoulent. Il faut doncleur apporter en permanence de l'énergie pour maintenir l'écoulement. Cela peut être l'énergiepotentielle de pesanteur : le uide descend d'un point haut vers un point plus bas. Un châteaud'eau utilise cette énergie pour faire couler l'eau dans le réseau de distribution. Cependant, pourremplir notre château d'eau, il faut monter l'eau vers le réservoir. Cela ne peut se faire sans pompe.Une pompe est donc le dispositif qui va apporter au uide l'énergie nécessaire à son écoulement.Cet apport est donné sous forme de charge Hp dans le bilan d'énergie. Il s'agit d'une source, ce quipermet d'écrire le bilan sur un circuit comprenant une pompe :

He +Hp −Hs −∆Hs −∆Hr = 0 (2.46)

Fig. 2.9 Technologies de pompes.


Le charge de la pompe Hp dépend du débit, c'est sa caractéristique. La détermination de lacaractéristique d'une pompe et l'étude des technologies de pompes disponibles (voir les gures 2.9)fait l'objet des chapitres suivants. Le chapitre 3 détaille les bilans qui permettent de déterminerHp(qv). Cette courbe est fournie par les fabriquants de pompes pour chacun de leurs modèles. Onappelle le point de fonctionnement de la pompe, le débit qv tel que :

Hp(qv) = Hs + ∆Hs + ∆Hr −He (2.47)

Le terme de droite dans l'expression représente la caractéristique du circuit hydraulique. Cettedernière dépend aussi du débit qv. Le point de fonctionnement est donc le débit solution de 2.47(courbes 3.19).

circuit

pompe

q v

H

point de fonctionnement

Fig. 2.10 Point de fonctionnement d'un circuit avec une pompe.

Les problèmes rencontrés sont de deux types : soit on connait le circuit et la pompe, soit onconnait le circuit et le débit à assurer. Dans le premier cas, on calcule le débit de fonctionnementet dans le deuxième cas, on cherche le modèle de pompe qui sera capable d'atteindre la chargesouhaitée au débit nominal.

Le coût d'exploitation d'une pompe dépend de son rendement énergétique ηp déni par :

ηp =Puissance hydrauliquePuissance mécanique

(2.48)

La puissance hydraulique de la pompe est donnée par :

Phyd = ρgqvHp (2.49)

2.4 Circuits avec des turbines

La gravité permet l'écoulement naturel d'un uide, comme par exemple dans le cas d'une retenued'eau ou d'un château d'eau. Une usine hydroélectrique récupère une partie de l'énergie du uidequi s'écoule grâce à une turbine. La turbine a le rôle inverse de la pompe : elle retire de l'énergieau uide. On a donc pour le bilan énergétique :

He −Hs −HT −∆Hs −∆Hr = 0 (2.50)

avec HT la charge de la turbine. Il existe plusieurs types de turbines (voir les exemples 2.11).Certaines peuvent être aussi utilisées en mode pompe, mais la plupart du temps leur rendementn'est alors pas bon. À l'inverse d'une pompe, le rendement d'une turbine ηT est donné par :

ηT =Puissance mécaniquePuissance hydraulique

(2.51)

avec la puissance hyraulique donnée par :

Phyd = ρgqvHT (2.52)

2.5 TD : circuits hydrauliques 31

Fig. 2.11 Types de rotor pour les turbines.

2.5 TD : circuits hydrauliques

2.5.1 Charge d'une pompe

Une pompe débite 9000 L/min d'eau. La conduite d'aspiration à un diamètre D = 30 cm, laconduite de refoulement un diamètre de d = 20 cm. A l'entrée de la pompe, règne une pression depe = 0.3 bar, à la sortie de la pompe à 1.22 m au dessus de la pompe, la pression est de ps = 1.7 bar.Calculer le gain de charge de la pompe.

2.5.2 Aquasplash

Fig. 2.12 Tobogan de piscine.

L'installation ci-dessous (gure 2.12) fait partie d'un parc d'attractions. La pompe transfèrel'eau de la piscine jusqu'en D. La vitesse de sortie souhaitée est vD = 3.5 m/s. Les dimensions sontdonnées sur la gure.

1. Calculer le débit en volume, le débit massique et la vitesse dans AB (aspiration).

2. Calculer le nombre de Reynolds à l'aspiration et au refoulement.

3. Sachant que la rugosité de la paroi est e = 3 mm, déterminer les pertes de charge linéiquesà l'aspiration et au refoulement en utilisant l'abaque en annexe.


4. Calculer la perte de charge totale. On donne kA = 0.5 et kcoude = 0.2.

5. Calculer le gain de charge de la pompe.

6. Calculer la puissance utile et la puissance absorbée pour un rendement η = 0.8.

2.5.3 Circuit hydraulique avec piston

Un système hydraulique sert à alimenter un élévateur. La course maximum du piston est de1 m. On veut pouvoir maintenir 1300 kg au maximum. La pression relative admissible maximumdans le cylindre est de 200 bar.

10 m

2 m

1m

pompe

filtre

réservoir à huilemasse volumique = 0.78 kg/lviscosité cinématique 1E-5 m^2/s

1

2

3

4

Fig. 2.13 Circuit hydraulique alimentant un piston.

1. Déduire du cahier des charges et des caractéristiques du circuit hydraulique la surface (mi-nimum) du piston.

2. On suppose qu'on maintient 200 bar en 4 et que la vitesse du piston est de 10 cm/s. Calculerle débit volumique d'huile dans le circuit.

3. Le diamètre de la conduite qui alimente le piston est de 1 cm. En déduire le nombre deReynolds et le type de régime d'écoulement dans la conduite.

4. Donner le coecient de perte de charge linéique entre 3 et 4. Calculer les pertes de chargeentre 3 et 4.

5. Le coecient de perte de charge singulière dans le ltre est de kf = 3. En appliquant lethéorème de Bernoulli, donner la puissance de la pompe. On suppose que l'huile est à lapression atmosphérique dans le réservoir. On néglige les autres pertes de charge (coude,canalisation entre 1 et 2).

2.5.4 Alimentation de réservoir

Un système de pompe hydraulique sert à alimenter un réservoir. On veut obtenir un débit de50 L/s.

1. Le diamètre de la conduite qui alimente le réservoir est de 10 cm. En déduire le nombre deReynolds et le type de régime d'écoulement dans la conduite.

2. Calculer les pertes de charge linéaires entre 1 et 4 en utilisant la gure (3.25). On néglige leslongueurs du ltre et de la pompe (10 m de canalisation entre 1 et 3). On donne e = 0.1 mm.


3 m

10 m

pompe

filtre

réservoir à eaumasse volumique = 0.99 kg/lviscosité cinématique 1E-6 m^2/s

1

2

3 4

Fig. 2.14 Circuit hydraulique alimentant un réservoir.

3. Le coecient de perte de charge dans le coude (3) est de kc = 0.2, à l'aspiration de ka = 0.5 etdans le ltre de kf = 5. Calculer les pertes de charge singulières dans le coude, à l'aspiration(réduction brusque de section) et dans le ltre.

4. En appliquant le théorème de Bernoulli, donner la charge Hp de la pompe. On suppose quel'eau est soumise à la pression atmosphérique dans les réservoirs.

5. Donner la puissance consommée par la pompe sachant que son rendement η vaut 0,8.

6. Calculer la charge de la pompe dans le cas ou les pertes de charge sont nulles (uide parfait).Qu'elle serait alors la puissance consommée par la pompe (η = 0.8) et l'économie d'énergiequi serait réalisée.

2.5.5 Filtrage de piscine

On souhaite dimensionner la pompe du circuit de ltrage d'une piscine municipale. Les dimen-sions du bassin sont 50× 25× 2.2 en mètre. Le cahier des charges précise que la totalité du volumedu bassin doit être ltré en 12h.

P

Filtre0.5m

1.5m2.2m

1m

0.6m

0.6m

0.1m 0.6mA

BC

D

E

FG

H I J K

Fig. 2.15 Piscine avec son sytème de ltrage.

1. Calculer le débit volumique qv du circuit de ltrage.

2. Sachant que l'on utilise une canalisation de 16 cm de diamètre, calculer la vitesse v del'écoulement dans le circuit de ltrage. On considère que l'eau est à 20°C, donc que ν =10−6 m2/s. Calculer le nombre de Reynolds Re dans la canalisation.

3. La rugosité de la canalisation vaut e = 0.1 mm. Calculer la perte de charge régulière entrel'entrée B et la sortie K (utiliser l'abaque 3.25).


4. Le coecient de perte de charge dans les coudes à 90°vaut k90 = 0.3. Le coecient du ltrevaut kf = 6. Enn, à l'aspiration B, on a kB = 0.5 et au refoulement K kK = 1.06. Calculerla pertes de charge singulière entre B et K.

5. En faisant le bilan sur tout le circuit, calculer la charge Hp de la pompe.

6. Calculer la puissance utile de la pompe (ρ = 1000 kg/m3, g = 9.81 m/s2) et sa puissanceconsommée (rendement η = 0.85).

Maintenant, vous pouvez choisir une pompe dans un catalogue...

2.5.6 Puissance d'une turbine

À l'entrée de la canalisation, le coecient de perte de charge vaut ke = 0.5. Le coecient deperte de charge à la sortie vaut ks = 1.06. On néglige les pertes de charge linéiques. Le débit estqv = 20 m3/s.

1

2

E S

h1=30m

h2=5mD=2.5m

Fig. 2.16 Barrage hydroélectrique.

1. Écrire le théorème de Bernouilli entre l'entrée et la sortie de la turbine.

2. Donner la charge de la turbine.

3. Donner la puissance disponible sur l'arbre de la turbine sachant que son rendement vautη = 0.8.

2.5.7 STEP

Soient un bassin amont à l'altitude z1 = 1695 m et un bassin aval à l'altitude z2 = 740 m,tous deux à la pression atmosphérique. Entre les 2 bassins est installée une usine hydroélectriqueéquipée de turbines et de pompes. Les turbines permettent de récupérer l'énergie potentielle del'eau descendant du bassin amont au bassin aval. Les pompes permettent, en cas de besoin, detransférer de l'eau du bassin aval au bassin amont.

Turbinage

La conduite forcée à un diamètre D = 3 m, le débit est qv = 70 m3/s.

1. Calculer la vitesse de l'écoulement.

2. Calculer le nombre de Reynolds (ν = 10−6 m2/s).

3. Connaissant la puissance fournie aux turbines par l'eau Pt = 490 MW , déterminer la pertede charge dans la turbine Ht.


Fig. 2.17 Barrage hydroélectrique.

4. En appliquant Bernoulli généralisé entre 1 et 4, calculer la perte de charge linéique H14 (onnégligera les pertes de charge singulières).

5. Sachant que la longueur de canalisation est L = 4 km, déterminer le coecient de perte decharge linéique.

Pompage

Le débit souhaité est qv = 40 m3/s, la canalisation est celle de la gure 2.17 (D = 3 m etL = 4 km).

1. Déterminer le coecient de perte de charge linéique (utilisation de l'abaque) ; calculer laperte de charge linéique H14.

2. Calculer le gain de charge des pompes.

3. Calculer la puissance utile.

4. Calculer le rendement des pompes sachant que la puissance fournie est P = 500 MW .


Fig. 2.18 Coecient de perte de charge.

Chapitre 3

Pompes

3.1 Introduction

Une pompe est une machine hydraulique qui permet d'augmenter la charge H d'un uidemoyennant une puissance extérieure Pext > 0 fournie au uide. Cette puissance est en généralfournie par un rotor en rotation.

3.1.1 Résultats du cours de mécanique des uides

v e

v s

S s

S e

ω

Fig. 3.1 Section d'une turbopompe.

On considère un tube de courant de uide incompressible en régime permanent (gure 3.1). Ona donc la loi de conservation de la masse qui s'applique :∑

δΩ

v.ndS = 0 ⇒ qv = veSe = vsSs (3.1)

Le bilan énergétique dans un tube de courant qui contient une source (ou un puits) d'énergies'écrit en l'absence de perte de charge :

Pext = ρgqv (Hs −He) (3.2)

avec les charges d'entrée He et de sortie Hs du tube de courant. On rappelle la dénition de lacharge H (voir l'équation (1.33) du cours de mécanique des uides Plaut 2017a) :

H =p

ρg+ z + α

〈v〉2

2g(3.3)

p est la pression du uide au point d'altitude z. La vitesse 〈v〉 désigne la vitesse débitante à traversune surface S et α est le coecient d'énergie cinétique qui sont dénis par les relations (1.34) du

38 Chapitre 3 Pompes

cours de mécanique des uides Plaut 2017a. Si la puissance extérieure est échangée via un rotor enrotation, alors elle peut s'exprimer comme :

Pext = Cextω (3.4)

ce qui fait intervenir le couple appliqué au rotor Cext et sa vitesse angulaire de rotation ω.On appellera Hth = Hs −He > 0 la charge théorique atteinte lorsqu'il n'y a pas de perte dans

la pompe. D'après la dénition de la charge, on en déduit que :

ps − pe = ρgHth +ρ

2

q2v

S2e

[1−

(SeSs

)2]

(3.5)

En général dans une pompe, Se . Ss ce qui rend le deuxième terme négligeable. On a donc uneaugmentation de pression à travers une pompe (∆p = ps − pe > 0).

Placée dans un circuit, une pompe peut-être considérée comme une singularité qui augmente lacharge.

Dans une turbopompe (en général hydromachines qui incluent les turbines), il n'y a aucunorgane d'étanchéité entre l'entrée et la sortie. On peut traverser la machine par un chemin continutracé dans le uide. Il y a d'autres classes de pompes où ce n'est pas le cas, par exemple, les pompesvolumétriques.

3.1.2 Pompes volumétriques

1 2e s

piston

Fig. 3.2 Schéma d'une pompe à piston (volumétrique). Clapet d'aspiration 1, clapet de refoulement 2.

En phase d'aspiration, le clapet 1 est ouvert et le 2 fermé. En phase de refoulement, le clapet 1 est fermé et le 2 ouvert.Dans ce cas l'entrée est déconnectée de la sortie et on ne peut pas passer par un chemin continu

entre les points e et s.Il existe d'autres types de pompes volumétriques : pompes à palettes, pompes à engrenages, pompes à écrasement de tuyaux, ...

dont les principales caractéristiques sont un faible débit mais de grandes pressions de refoulement.De plus, ces pompes conduisent à des débits uctuants dans le temps, ce qui nécessite assez souventla mise en place de capacité pneumatique pour stabiliser le débit (gure 3.3).

Les machines volumétriques sont surtout utilisées comme organes de puissance (∆p grands) oucommande de puissance.

3.1 Introduction 39

P

air

eau

q fluctuant q presque constant

Fig. 3.3 Capacité pneumatique.

3.1.3 Conguration d'une turbopompe

Il existe plusieurs technologies de pompes. On peut les classer en deux catégories principales :les pompes volumétriques et les turbopompes. Les pompes volumétriques sont celles qui permettentle saut de pression le plus important mais cela n'est vrai qu'avec des uides incompressibles et celase fait en général au détriment du débit et de sa régularité. Enn, du fait de l'étanchéité interne àla pompe (le volume de uide capturé ne doit pas pouvoir s'échapper), ce sont souvent des pompesfragiles qui tolèrent mal les uides chargés en particules solides et abrasives comme, par exemple,du sable. C'est pourquoi les turbopompes sont très largement utilisées dans un contexte industriel.

Dans une turbopompe, le transfert d'énergie s'eectue entre le uide et une roue mobile. Lathéorie générale est la même quelque soit le sens de transfert (pompe ou turbine). On distingue :

les machines à passage tangentiel, surtout pour la turbine Pelton où l'on peut encore rai-sonner en turbomachine car il existe des pompes à passage tangentiel, mais il est dicile deles considérer comme des turbomachines.

ω H

q v

Les machines à passage radial (pompes centrifuges).

entree

sortie

Les machines à passage axial ou hélicoïdal (pompes à hélices).

ω


Fig. 3.4 Exemples de pompes volumétriques.

3.2 Triangle des vitesses 41

La disposition générale d'une turbomachine comporte : Une roue mobile où se fait le transfert d'énergie. Des dispositifs xes (dans certains cas orientables) d'entrée - sortie destinés à amener ou à

évacuer le uide en lui donnant une orientation convenable. La roue mobile est munie soit d'augets (généralement à l'air libre) soit d'aubes généralement

noyées dans le uide.

3.2 Triangle des vitesses

Considérons une pompe centrifuge :

R 1

R 2

b

ω

u

vw

R 1

R 2

S 2

S 1

ω

r

M M’

O

e

Fig. 3.5 Triangle de vitesse sur une roue de pompe centrifuge.

Soit un point M du rotor (aube), sa vitesse d'entrainement est u :

u = ω ∧OM; |u| = rω (3.6)

avec w la vitesse relative du uide telle que sur le rotor w.nrotor = 0. La vitesse absolue est donnéepar v = u + w. On dénit l'angle β = (u,w) ce qui permet de dessiner le triangle des vitesses àl'entrée et à la sortie.

u 1

v 1w 1

β 1

n 1

S 1

R 1

v n1

R ω 1

u 2

v 2w 2

β 2

n 2

S 2

R 2

v n2

R ω 2

entree sortie

Fig. 3.6 Triangle des vitesses entrée et sortie

Le débit qv =∫∫S v.ndS se conserve. Si n est le nombre d'aubes, on a donc :

qv = vn1(2πR1 − ne1)b1 = vn2(2πR2 − ne2)b2 (3.7)

avec ei l'épaisseur des aubes à l'entrée (1) et à la sortie (2).


On fait une hypothèse importante : le triangle des vitesses dans le uide au point M' situéentre 2 aubes est le même au point M situé sur le rotor si |OM| = |OM′|. En réalité ceci n'est pastout à fait exact et même en uide parfait, de part et d'autre d'une aube, wintrados 6= wextrados.De plus, comme les uides sont visqueux, on a w(M) = 0 (adhérence). Ainsi, la théorie qui suit estune théorie approchée.

3.3 Principe de quantité de mouvement angulaire

Le principe de quantité de mouvement angulaire s'écrit :

d

dt

∫∫∫VOM ∧ (ρv)dV =

∫∫∫V

∂

∂t

[OM ∧ (ρv)

]dV +

∫∫S

[OM ∧ (ρv)

]v.ndS =

∑Γext(O)

(3.8)On fait l'hypothèse que le régime est quasi-permanent, c'est-à-dire que ∂/∂t = 0. Considérons unvolume de contrôle uide V limité par une surface fermée S =

⋃6i=1 Si en pointillé sur la gure 3.7.

S 2

S 1

S 3

S 4

S 5S 6

M

n 2

O

Fig. 3.7 Volume uide de contrôle autour du rotor.

Calculons le terme ∫∫S

[OM ∧ (ρv)

]v.ndS

de la relation de conservation de quantité de mouvement 3.8. Sur S5 et S6, n5 = −n6 donc la contribution est nulle. Sur S3 et S4, on a∫∫

S3∪S4

[OM ∧ (ρv)

]v.ndS =

∫∫S3

[OM ∧ (ρv)

]u.ndS +

∫∫S4

[OM ∧ (ρv)

]u.ndS

(3.9)car v = u+w et w.n = 0. De plus, si l'on fait l'hypothèse que l'aube est de faible épaiseur,alors, u3 = u4, w3 ' w4 ⇒ v3 ' v4 et n3 ' −n4. On en déduit que∫∫

S3∪S4

[OM ∧ (ρv)

]v.ndS ' 0 (3.10)

Enn, on trouve :∫∫S

[OM ∧ (ρv)

]v.ndS =

∫∫S1∪S2

[OM ∧ (ρv)

]v.ndS (3.11)

Calculons maintenant le terme∑Γext(O) =

∫∫S

OM ∧ t(M)dS

de l'équation 3.8. t(M) = −pn désigne la contrainte au point courant M.

3.4 Notions de charge relative 43

Sur S5 et S6,∫∫S5∪S6

OM ∧ t(M)dS = 0 car n5 = −n6.

Sur S3 et S4,∫∫S3∪S4

OM ∧ t(M)dS = Crotor→fluide.

Sur S2 (ou S1),∫∫S2

OM ∧ t(M)dS =∫∫S2

OM ∧ (−p2n2)dS avec OM = R2n2 d'où∫∫S1∪S2

OM ∧ t(M)dS = 0

Ainsi, on trouve la relation qui existe entre le bilan de quantité de mouvement angulaire et lecouple qu'exerce le rotor sur le uide :∫∫

S1∪S2

[OM ∧ (ρv)

]v.ndS = C (3.12)

En multipliant les termes de l'équation 3.12 par ω et en utilisant la propriété du produit mixte :

ω.(OM ∧ ρv) = OM.(ρv ∧ ω) = ρv.(ω ∧OM) = ρv.u

D'où l'expression de la puissance hydraulique :

Pext = C.ω =

∫∫S1∪S2

(ρu.v)v.ndS (3.13)

Comme u et v sont constants sur S1 et S2, que −∫∫S1v1.n1dS =

∫∫S2v2.n2dS = qv et que

Pext = ρgqvHth, on en déduit que :

Hth =u2.v2 − u1.v1

g(3.14)

On voit donc que Hth est directement liée aux triangles des vitesses et donc à la conguration(dessins des aubes). Hth ne dépend pas du uide véhiculé.

Remarque 1 : Si u et v ne sont pas constants sur S1 et S2, on prend une valeur moyenne.C'est le cas des pompes à hélices par exemple.

Remarque 2 : On trouve le même résultat pour les turbines avec un signe −, c'est-à-dire queHth = (u1.v1 − u2.v2)/g.

3.4 Notions de charge relative

On a Hth = Hs−He, donc Hs− u2.v2g = He− u1.v1

g . Comme ui.vi = ui.(ui +wi) = u2i +uiwi,

Hi −ui.vig

=piρg

+ zi +w2i − u2

i

2g(3.15)

en posant H1 = He et H2 = Hs. On appelle la charge relative, la quantité :

Hr =p

ρg+ z +

w2 − u2

2g(3.16)

et on a alors,

Hr(2) = Hr(1) (3.17)

La charge relative se conserve dans une turbomachine.


3.5 Caractéristique d'une pompe centrifuge

3.5.1 Caractéristique théorique

Compte tenu de la conguration d'une pompe centrifuge (3.5), on peut concevoir que l'écoule-ment est radial en R1. On admet qu'il reste radial à l'entrée de S1, d'où le triangle des vitesses àl'entrée 3.8.

w 1 v 1

u 1

v n1β 2

Fig. 3.8 Triangle théorique à l'entrée.

On a u1.v1 = 0 d'où :

Hth =u2.v2

g(3.18)

w 2 v 2

u 2

v n2β 2

Fig. 3.9 Triangle théorique à la sortie.

u2.v2 = u22 + u2w2 cos(β2) (3.19)

Comme on a w2 = vn2/ sin(β2), vn2S2 = qv et ω = 2πN avec N le nombre de tour par seconde, onpeut écrire :

Hth =(2πR2)2

gN2 +

2πR2

gS2

cos(β2)

| sin(β2)|Nqv (3.20)

Ainsi, la caractéristique théorique Hth(qv, Nxée) est donnée sur la gure 3.10.

3.5.2 Caractéristique réelle

Perte par choc

À la sortie de S2, on installe des éléments xes (redresseurs) qui permettent de mieux canaliserle uide vers la sortie de la pompe (gure 3.11).

Pour le cas a, on voit que l'écoulement rentre sans chocs dans les redresseurs. Ceci se produitpour un débit qv = qa (débit d'adaptation).

Pour le cas b, le débit qv > qa et il se produit un choc entre l'écoulement et les redresseurs.Il y a donc des pertes de charge par choc. De même, dans le cas c, où qv < qa.

3.5 Caractéristique d'une pompe centrifuge 45

H th

q v

β<π/2

β=π/2

β>π/2

Fig. 3.10 Caractéristique théorique d'une pompe centrifuge.

q v

u 2

v 2w 2 β 2

a b c

v 2

w 2

u 2

β 2β

2

v 2w 2

u 2

Fig. 3.11 Redresseurs N xé.

q v

u 1

v 1w 1β 1

a b c

v 1w 1

u 1

β 1β

1

v 1w 1

u 1

Fig. 3.12 a : qv = qa, b : qv > qa et c : qv < qa.

À l'entrée de S1, on a le même scénario, sauf que le choc se fait à l'entrée de l'aube.Comme les pertes de charge s'écrivent en Kq2

v et comme il n'y a pas de perte de charge parchoc pour le débit d'adaptation qa, on admet que les pertes de charge par choc s'écrivent :

∆Hchoc = Kc(qv − qa)2 (3.21)

avec Kc un coecient de perte de charge par choc.

Perte par frottement et par singularité

L'écoulement du uide sur les parois des aubes et les parois des redresseurs induisent une pertede charge par frottement visqueux analogue à celle rencontrée dans les tubes. Pour simplier, onprend une loi de type rugueux (Moody) :

∆Hf = Kfq2v (3.22)

De plus, l'écoulement depuis l'entrée à la sortie traverse plusieurs singularités : coudes, élar-gissement, changement de directions complexes, etc ... Ces singularités causent aussi des pertes de


charge singulières qu'on modélise par :

∆Hs = Ksq2v (3.23)

d'où la perte de charge par frottement et singularité :

∆Hfs = Kfsq2v (3.24)

avec Kfs = Kf +Ks.On appelle alors la perte de charge interne ∆Hi :

∆Hi = ∆Hchoc + ∆Hfs (3.25)

et la charge nette Hn de la pompe est

Hn = Hth −∆Hi (3.26)

Le rendement interne est donné par :

ηi =Hn

Hth(3.27)

Ainsi, on en déduit la caractéristique réelle de la pompe gure 3.13.

0 2 4 6 8 100

5

10

15

qv (x10−2 m3/s)

H (

m)

Hth

∆ Hchoc

∆ Hfs

Hn

qa

qc

Fig. 3.13 Caractéristique réelle à N xé.

En général, on trace Hn et ηi sur la même courbe. La partie ascendante de Hn peut conduireà une instabilité de pompage.

3.5.3 Bilan de rendements

Le bilan d'énergie peut-être schématisé comme suit gure 3.14.Sur la cascade d'énergie, on distingue : Cω la puissance disponible sur l'arbre fournie par le moteur. pm la puissance perdue par frottement mécanique dans les paliers. ρgqvHth la puissance théorique. ρgqv∆Hi la puissance perdue par choc et frottement visqueux. ρgqvHn la puissance réellement récupérée par le uide.On introduit donc trois types de rendement :

3.6 Pompes à hélices 47

Cωρgq H v th

transfert

p m

ρgq ∆H v i

ρgq H v n

Fig. 3.14 Cascade de l'énergie dans une pompe.

Rendement mécanique : ηm = ρgqvHth/Cω. Rendement interne ou hydraulique : ηi = Hn/Hth. Ce rendement peut atteindre 90% pour

les pompes de grandes puissances. Rendement total : η = ηmηi. Ce dernier prend en compte tous les types de pertes aussi bien

mécanique qu'hydraulique.

3.6 Pompes à hélices

L`'écoulement est principalement axial (hélicoïdal dans la roue). Le uide entre par un convergentet ressort par un divergent appelé diuseur. La gure 3.15 présente le schéma de principe.

distributeur redresseur

pales

M

R m

ω

Fig. 3.15 Schéma de principe d'une pompe à hélice.

Une coupe de la pale au point M au rayon moyen Rm conduit à la construction du triangle desvitesses gure 3.16.

On a :

u1 = u2 = Rmω et vn1 = vn2 =qvS

(3.28)

Dans certaines congurations (notamment en turbine), les distributeurs sont orientables, ainsique les pales de l'hélice. Les angles les plus pertinents sont les angles qui indiquent les directionsdes distributeurs et des pales par rapport à la direction principale de l'écoulement, c'est-à-dire α1

et γ2, comptés algébriquement. Dans ce cas, on a :

gHth = u2.v2 − u1.v1 (3.29)

ce qui donne :


distributeurs fixes

pales

redresseurs fixes

v n1

v 1

u 1

w 1

α 1

γ 1

β 1

u 2

v n2

v 2

α 2

γ 2w 2

β 2

Fig. 3.16 Triangle des vitesses dans une pompe à hélice.

gHth = u[u+ vn(tan(γ2)− tan(α1))] = u

(u+ 2vn

sin(γ2 − α1)

cos(γ2 + α1) + cos(γ2 − α1)

)(3.30)

Comme on sait que u ∝ N et vn ∝ qv, on retrouve :

Hth =(2πRm)2

gN2 +

2πRmgSm

Nqv(tan(γ2)− tan(α1)) (3.31)

Selon les valeurs de γ2 et de α1, la caractéristique théorique a l'allure suivante :

H th

q v

tan(γ )-tan(α )>0 2 1

tan(γ )-tan(α )=0 2 1

tan(γ )-tan(α )<0 2 1

Fig. 3.17 Caractéristique théorique pour N xé.

En réalité, il y a des pertes par chocs à l'entrée de la pale. Ces derniers peuvent être limitéssi la direction de w1 est la même que la direction principale de la pale, i. e. si γ1 = γ2. Pour α1

donné et une vitesse de rotation N donnée, il existe un débit qa qui satisfait cette condition. À lasortie, il faut éviter les chocs sur les redresseurs qui ont comme rôle de rendre l'écoulement axial.La condition idéale de sortie est donc α2 = 0. Pour qa donné, il existe un N qui permet d'avoirα2 = 0. En conclusion, pour α1 donné, il existe qa et N pour qu'il n'y ait pas de choc. Étant donnéles nombreux paramètres que l'on peut faire varier (qv, N , α1 et γ2), il est dicile de donner uneforme à l'expression de ∆Hchoc.

Les pertes par frottement sont aussi diciles à quantier. La gure 3.18 donne des exemples del'allure des caractéristiques réelles d'une pompe à hélice.

3.7 Problèmes généraux 49

H n η ηH n

q v q v

80%

80%

zoneinstable

Fig. 3.18 Exemples de carcatéristiques.

3.7 Problèmes généraux

3.7.1 Point de fonctionnement

Le point de fonctionnement F se trouve à l'intersection de la caractéristique du circuit C(qv) etde la charge nette de la pompe Hn(qv) (gure 3.19). Ce point de fonctionnement fournit le débitde fonctionnement qfonct et le rendement de fonctionnement ηfonct.

H nF

C(q ) v

η

q v

η fonct

q fonct

H

Fig. 3.19 Point de fonctionnement.

3.7.2 Hauteur d'aspiration et amorçage

E

S

crepine

h

h asp airz

Lorsque la pompe est pleine d'air sans débit, sa mise en fonc-tionnement fait monter le niveau d'eau d'une hauteur h.

v = 0 ⇒ pS − pE = ρairgHn(0) et pS = patm

p+ ρeaugz = cste dans l'eau : patm + 0 = pE + ρeaugh d'où

h =ρairρeau

Hn(0)

Pour que la pompe s'amorce, il faut hasp ≤ h.

⇒ hasp ≤ρairρeau

Hn(0)


Exemple : si Hn(0) = 50 m ⇒ hasp ≤ 6.25 cm car ρair ' 1.25 kg/m3.Les conséquences sont les suivantes : Il faudra prévoir des dispositifs d'amorçage dans le cas où la pompe est située au dessus

du niveau du réservoir amont. Cela peut se faire, soit par remplissage manuel du corps dela pompe, soit par remplissage avec un réservoir d'amorçage ou encore avec une pompeauxiliaire (pompe de gavage). On peut aussi ajouter une crépine d'aspiration avec un clapetanti retour pour éviter le désamorçage à l'arrêt.

Dans le cas où la crépine d'aspiration n'est pas assez immergée, il se produit une admissionpartielle de l'air à partir de la surface libre. Ceci a pour conséquence une chute de la hauteurde refoulement et du rendement. Cela ne doit pas être confondu avec un phénomène decavitation.

3.7.3 Groupement de pompes : série et parallèle

Série

P 1 P 21 2 3q v

'

q v 1 3P

Le débit traversant chaque pompe q1 = q2 = qv est le même et H1 = H2 − Hn1(qv), H2 =H3 −Hn2(qv) donc

H1 = H3 − (Hn1(qv) +Hn2(qv)) (3.32)

d'où la caractéristique équivalente (gure 3.20).

Parallèle

P 1

P 2

1 2q v

q 1

q 2 '

q v 1 2P

En négligeant les pertes de charge à la bifurcation (1) et à la jonction (2), on a Hn1 = Hn2,mais qv = q1 + q2, d'où la caractéristique gure 3.20.

(s)

H n2

H n1

H eq

q v

H

(p)

H n2

H n1

H eq

q v

H

q critique

Fig. 3.20 Caractéristiques de deux pompes en série (s) et en parallèle (p).

Remarque : Branchée sur un circuit conduisant à qv < qcritique, la pompe 2 fonctionnera enrégime turbine.

3.7 Problèmes généraux 51

3.7.4 Cavitation - rudiments

La cavitation apparaît lorsque la pression du uide devient égale à la pression de vapeur satu-rante psat. C'est donc un phénomène d'ébullition sous faible pression à température ordinaire. Aupoint où la pression devient égale à psat une bulle de vapeur se forme.

Cavitation locale

A

B

Rωv

bulles

pA + ρv2

2 ' pB + ρu2

2 , or u = Rω et v u, donc pB ' pA − ρ (Rω)2

2 . Cela implique que lapression pB diminue quand ω augmente. Ainsi, lorsque pB = psat, il y a formation de bulle devapeur. Les bulles de vapeur sont transportées par l'écoulement et dès qu'elles arrivent dans unezone où la pression est légèrement supérieure à la pression de vapeur saturante, elles implosenten des temps très brefs (microseconde). Pour une bulle de 1 mm de rayon, cela correspond à unevitesse locale du uide de l'ordre de 1 km/s ! Les vitesses sont donc très grandes au voisinagedu point d'implosion et on enregistre des variations de pression de quelques centaines de bars. Lesparois sont donc soumises à des eorts énormes et des coups de belier très destructeurs. Il faut doncfaire travailler les turbomachines dans des conditions où il n'y a pas d'apparition de cavitation.Si la cavitaion apparaît, on injecte des bulles d'air en petite quantité dans le uide. Ces bullescompressibles servent d'amortisseurs et permettent l'élimination de bruits et de vibrations.

Cavitation globale

Lorsque la pompe n'est pas en charge ou en charge, il arrive qu'au point A d'entrée, p(A) = psat.Dans ce cas, il y a cavitation globale à l'entrée de la pompe. Dans les deux cas, on entend un bruitcaractéristique de cailloux roulés 1.

Fig. 3.21 Photo : National Research Council of Canada, Institute for Ocean Technology (NRC-IOT).

1. En TD de mécanique des uides, on montre comment calculer la pression à l'entrée A d'une pompe.


T, (degC) psat, (kpa)0 0.61110 1.22720 2.33730 4.24240 7.37550 12.3460 19.9270 31.1680 47.3590 70.11100 101.33

Tab. 3.1 Pression de vapeur saturante de l'eau.

3.8 Étude dimensionnelle et similitude

L'étude dimensionnelle permet d'avoir une représentation sous forme adimensionnelle et demettre en évidence les nombres sans dimensions à respecter lors de l'examen de la similitude. Àtitre d'exemple, si on fait des essais sur une petite maquette et que l'on souhaite extrapoler lesrésultats pour le prototype, il faut que les nombres sans dimensions pertinents soient les mêmespour le prototype et la maquette.

P

D

N

H

q v

Fig. 3.22 Conguration pour l'étude dimensionnelle.

Dans la conguration de la gure 3.22, on cherche la loi :

gH = F (qv, N,D, ρ, µ, L1, l2, . . . , α1,α2, . . .) (3.33)

On choisit des grandeurs fondamentales D, N , ρ (determinant non nul) et on construit le tableausuivant :

D N ρ gH qv µ Li αiL 1 0 -3 2 3 -1 1 0M 0 0 1 0 0 1 0 0T 0 -1 0 -2 -1 -1 0 0

3.8 Étude dimensionnelle et similitude 53

Exemple :

ΠLi =Li

DαNβργ⇒

α− 3γ = 1−β = 0γ = 0

⇒ α = 1, β = 0, γ = 0

et donc ΠLi = Li/D.Suivant la même méthode, on construit : Le pouvoir manométrique :

m = ΠgH =gH

N2D2(3.34)

Le pouvoir débitant :

δ = Πqv =qv

ND3(3.35)

Le nombre de Reynolds :1

Re= Πµ =

µ

ρND2(3.36)

La relation 3.33 s'écrit, d'après le théorème de Vashy-Buckingham :

m = F (δ, Li/D,αi) (3.37)

car en général, les écoulements sont susamment rapides pour que 1/Re → 0. Ainsi, pour desmachines géométriquement semblables, si δ1 = δ2, alors m1 = m2. On appelle donc m et δ lesinvariants de Rateau. Par conséquent, une seule caractéristique m = f(δ) sut à déterminer lescaractéristiques réelles de toutes les machines géométriquement semblables.

Si on s'intéresse à la puissance P de deux machines 1 et 2, on a :

P1

P2=ρ1q1(gH1)

ρ2q2(gH2)⇒ P1/(ρ1N

31D

51)

P2/(ρ2N32D

52)

=δ1

δ2

m1

m2(3.38)

Or si δ1 = δ2 ⇒ m1 = m2, donc P/(ρN3D5) est aussi un invariant. De même pour le coupleP = Cω ∝ CN , C/(ρN2D5) est un invariant. On remarque que le rendement η est aussi uninvariant.

En pratique, on a un eet d'échelles (gure 3.23).

ηm

δ δ

D 1 D 2

D 1D 2

Fig. 3.23 D1 > D2.


3.9 NPSH (Net positive Suction Head)

Cette notion permet de mieux dimensionner la hauteur d'aspiration qui est d'une grande im-portance quand :

Le liquide est volatile où à température élevée. Le liquide est stocké sous vide.

Un bon fonctionnement de la pompe est caractérisé par le NPSH qui sert à dénir la pressionnécessaire à l'entrée de la roue pour avoir en tout point du uide (y compris à l'intérieur de lapompe) une pression supérieure à la pression de vapeur saturante psat de façon à éviter la cavitation.Cette quantité est donnée par le constructeur sous l'appelation NPSH requis. Elle tient compte dela chute de pression que subit le uide lors de son accélération à l'entrée de la roue.

E

u E

p E

p

u∆p >0 f

Fig. 3.24 u > uE donc p < pE .

Le NPSH requis est le supplément minimal de pression qu'il faut ajouter à psat au niveau del'entrée de la pompe pour avoir p(M) > psat, ∀M à l'intérieur de la pompe. En conclusion, lapompe fonctionne correctement si :

ptE ≥ psat +NPSHrequis (3.39)

qui peut s'écrire aussi :NPSHrequis ≤ ptE − psat (3.40)

où NPSHrequis est donné par le constructeur et ptE−psat est le NPSH disponible, calculé à partirde l'installation.

Exemple de calcul de NPSH disponible

E

E

h 1

h 2

A

Az

On a :

pA + ρgzA +1

2αAρv

2A = pE + ρgzE +

1

2αEρv

2E −∆pconduite

3.10 TD : Pompes 55

Le plus souvent vA vE , donc :

ptE = pE +1

2αEρv

2E = pA + ρg(zA − zE)−∆pconduite (3.41)

Comme NPSHdisp = ptE−psat et si on divise l'équation 3.41 par ρg pour obtenir une expressionqui fait intervenir les charges, on obtient :

NPSHdisp(m) = HA − hsat + zA − zE −∆Hconduite (3.42)

où HA = pA/ρg et hsat = psat/ρg. ∆Hconduite représente les pertes de charge dans la conduite.Si pA = patm, alors au niveau de la mer, HA = 10.33 m et à 1500 m, HA = 8.6 m. hsat est

fonction de la température.Si le NPSH disponible est insusant, on peut : Diminuer la température pour abaisser hsat. Diminuer les pertes de charge ∆Hconduite en augmentant la section des tuyaux et en ouvrant

les vannes. Augmenter h1 = zA − zE . Diminuer h2 = |zA − zE |. Diminuer la vitesse de rotation de la pompe.

3.10 TD : Pompes

3.10.1 Répartion de pompes sur un oléoduc

Une conduite cylindrique horizontale de diamètre d = 0.5 m et de rugosité moyenne e =0.2 mm, transporte une huile lourde de viscosité dynamique µ = 0.35 Pa.s et de masse volumiqueρ = 920 kg/m3. La circulation de l'huile dans loléoduc est assurée par des pompes placées tous les14 km sur la conduite :

1. En supposant l'écoulement d'huile laminaire dans la conduite, donner l'expression de laperte de charge par unité de longueur ∆H/L en fonction du débit volumique qv (dans cetteexpression, les autres paramètres auront été remplacés par leur valeur numérique).

2. On utilise des pompes du type n°1 (caractéristiques jointes). Déterminer le débit d'huiledans l'oléoduc et vérier l'hypothèse faite en 1.

3. On remplace les pompes précédentes par des pompes de type n°2 (caractéristiques jointes)en conservant le même débit. Quelle devra être la nouvelle distance entre deux pompessuccessives ?

4. Sans tenir compte de l'investissement, quelle est la solution la plus économique en fonction-nement ?


3.10.2 Choix d'une pompe par similitude

Une pompe de diamètre D = 0.25 m tournant à 1450 tr/min a les caractéristiques suivantes :

On dispose de pompes géométriquement semblables de diamètres 0.3 m, 0.25 m, 0.22 m et0.19 m pouvant tourner à 1750, 1450 et 1150 tr/min.

1. Quel diamètre et quelle vitesse de rotation doit-on choisir pour obtenir un débit de 0.0523 m3/set une hauteur nette de 15.4 m?

3.10 TD : Pompes 57

2. Calculer la puissance absorbée (ou puissance utile Pi) par la pompe choisie au point defonctionnement de la question 1.

() Hn et (− −) η. Pompe D = 0.25 m, N = 1450 tr/min.

3.10.3 Étude d'une pompe centrifuge

Une pompe centrifuge débite 24 litres d'eau par seconde sous une hauteur nette Hn = 27 mavec un rendement manométrique η = 75%.

On admet que la perte de charge interne totale ∆Hi vaut 5 fois l'énergie cinétique de l'eau dansson mouvement relatif à la sortie de la roue (vitesse relative W2). L'eau entre radialement dans laroue. Le diamètre extérieur de la roue est D2 = 0.20 m et la section utile à la sortie S2 = 0.2D2

2.

1. Calculer les valeurs numériques de la vitesse relative W2 et de la vitesse débitante V2d à lasortie de la roue.

2. Tracer le triangle des vitesses à la sortie et calculer l'angle de sortie β2 = (~U2, ~W2).

3. À partir de la relation d'Euler, calculer la valeur numérique de la vitesse d'entrainement U2

et en déduire la vitesse de rotation N de la roue.

3.10.4 Étude d'une pompe multicellulaire

Une pompe multicellulaire est constituée par 8 roues de diamètres extérieur et intérieur D2 =40 cm et D1 = 20 cm. Ces roues sont disposées en série et tournent à 3000 tr/min.

1. Vide d'eau, à quelle hauteur cette pompe peut-elle aspirer l'eau dans la conduite d'aspiration(on admettra qu'à débit nul, le rendement manométrique est de 50%).


2. Le diuseur est tracé pour annuler les pertes par choc (point d'adaptation) lorsque lesvitesses relatives et absolues sont égales en module à la sortie de la roue (V2 = W2). Dansce cas, le rendement manométrique vaut 90% et l'entrée dans la roue s'eectue radialement.Calculer la hauteur nette au point d'adaptation.

3. L'angle réel de sortie de l'eau des aubes est β2 = 150° et la largeur des roues à la sortie vaut2 cm, la section des aubes occupe 10% de la section de sortie. Calculer le débit et la puissancede la pompe au point de fonctionnement précédent ainsi qu'au point de fonctionnementcorrespondant à une hauteur manométrique nulle.

4. Tracer la courbe de rendement manométrique de la pompe. En déduire le rendement maxi-mal. Calculer la vitesse spécique de chaque roue au point où le rendement est maximal.

3.10.5 Exemple d'utilisation du NPSH (R. Joulié, Mécanique des uides ap-pliquée)

Pour irriguer des jardins on utilise l'eau d'un canal dont le niveau se trouve à 2 m en dessousde l'axe horizontal de la pompe, qui doit débiter 170 m3/h d'eau. Dans ces conditions, le NPSHrequis est de 6.5 mCE. Entre le canal et la pompe on doit installer une canalisation de 80 m de longen tube bitumé de rugosité 0.5 mm, comprenant un coude à 90° de coecient de perte de chargek1 = 0.26, une crépine - ltre placé à l'extrémité de la conduite, donc immergé dans le canal -, etun clapet de pied - pour maintenir la conduite et la pompe pleines d'eau (question d'amorçage) -dont le coecient global de perte de charge est k2 = 0.9. Le NPSH disponible impose le choix dudiamètre de conduite, sachant bien que le prix dépend de cette dimension. Déterminer le diamètreminimal - donc le moins coûteux - à donner à cette conduite, parmi les valeurs commerciales : 100,125, 150, 200, 300 (mm). La température de l'eau ne dépassant pas 20°C dans le canal, on prendrapour pression de vapeur saturante 2338 Pa, pour masse volumique 998 kg/m3 et pour viscositécinématique 10−6 m2/s. Pour le coecient de perte de charge linéaire le long de la conduite,utiliser l'abaque (3.25).

3.10 TD : Pompes 59

Fig. 3.25 Coecient de perte de charge λ(Re,ε).


Chapitre 4

Turbines hydrauliques

4.1 Généralités

Les turbines sont à l'inverse des pompes des machines à uides capables d'en extraire de l'éner-gie. Le uide cède donc de l'énergie dont une partie sera récupérée sur l'arbre de la turbine sousforme d'énergie mécanique : P = Cω. Du point de vue du uide, la puissance mécanique Pm est né-gative. En changeant le signe de Pm, on obtient une quantité positive Pi appelée puissance interneou puissance indiquée :

Pi = ρqv (u1.v1 − u2.v2) (4.1)

en utilisant les mêmes notations que dans le chapitre pompes.

En général, on classe les turbines en deux catégories.

4.1.1 Les turbines à action

La diminution de la charge est due exclusivement à la perte d'énergie cinétique :

∆H = ∆

(v2

2g

), orH ' v2

2g+

p

ρg⇒ ∆p = 0 (4.2)

On dénit alors le degré de réaction par :

r =p2 − p1

ρgHou

p2 − p1

ρN2D2(4.3)

et ici r = 0. Toute l'énergie cinétique du uide est disponible dans un ou plusieurs jets et le passageest tangentiel.

4.1.2 Les turbines à réaction

Dans ce cas, r 6= 0, l'énergie hydraulique transmise se présente sous forme d'énergie cinétiqueet d'énergie de pression. Le transfert d'énergie de pression nécessite une grande surface de contactentre le uide et la roue. C'est pourquoi le rotor et les aubes sont noyés dans le uide.

62 Chapitre 4 Turbines hydrauliques

4.2 Bilan d'énergie

H p

H r

H G HG : hauteur de génératrice. Hp : hauteur de perte (perte de charge régulière

et singulière). Hr : hauteur résiduelle à la sortie de la turbine,

le uide dispose d'une énergie ρgqvHr qui n'estpas récupérée sur l'arbre de la turbine.

On appelle la hauteur nette :

Hn = HG −Hp −Hr (4.4)

Toute cette énergie (Hn) ne sera pas intégralement transférée au rotor. En eet, en traversantles organes xes et mobiles, le uide perd de l'énergie par frottement et par choc. On désigne cespertes par perte de charge interne ∆Hi. Seule l'énergie restante (hauteur interne) est transférée aurotor :

Hi = Hn −∆Hi (4.5)

L'énergie disponible au rotor est :Ciω = ρgqvHi (4.6)

où Ci désigne le couple interne. Sa puissance mécanique disponible en bout d'arbre est :

Cω = Ciω − Pf (4.7)

où Pf est la puissance dissipée par frottement au niveau des paliers.

H G

H n H i

hydraulique mecanique

C ω/(ρgq ) i v Cω/(ρgq )

v

H p

H r

∆H i

P /(ρgq ) f v

Fig. 4.1 Diagramme de transfert d'énergie pour une turbine.

Le bilan d'énergie est illustré par le diagramme 4.1. Ce diagramme dénit plusieurs rendements : Le rendement interne (ou manométrique) : ηi = Hi/Hn. Ce dernier rend compte des pertes

hydrauliques.

4.3 Turbine à action 63

Le rendement mécanique : ηm = Cω/Pi = C/Ci. Ce rendement rend compte des frottementsmécaniques.

Le rendement total : η = Cω/ρgqvHG. Ce rendement rend compte de la dissipation et del'utilisation faite de l'énergie hydraulique disponible.

Le fonctionnement nominal est en général choisi lorsque le rendement total est maximum, c'est-à-dire quand Hp +Hr + ∆Hi est minimum.

4.3 Turbine à action

Dans cette catégorie, un jet libre impacte sur des augets ou des aubes prolées, xées sur lapériphérie de la roue mobile. Ces jets exercent une force sur les augets en mouvement de rotationqui est transformée en couple et puissance mécanique sur l'axe de la turbine.

Les turbines à action sont caractérisées par le fait que l'énergie transformée au niveau desaubages est entièrement sous forme d'énergie cinétique. Le transfert d'énergie entre l'eau et l'aubagea lieu à pression constante, généralement à la pression atmosphérique. La roue de la turbine estdénoyée ou partiellement dénoyée (cross-ow) et tourne dans l'air.

Dans cette catégorie, on trouve la turbine Pelton, la turbine Crossow (Banki-Mitchell), laroulette de dentiste (dental drill), etc ...

4.3.1 La turbine Pelton

Elle travaille à débit relativement faible sous une hauteur de chute élevée (300 m à 1200 m,voire davantage) avec une grande vitesse de rotation.

Schéma de principe

deflecteur

roue

v

jetauget

ω

aiguille

alimentation

H G

Fig. 4.2 Turbine Pelton

Le jet exerce une force F sur l'auget qui conduit à un couple moteur qui fait tourner la roue dela turbine. L'injecteur est relié au réservoir (HG) amont par une conduite forcée.

L'aiguille coulisse dans la partie convergente de l'injecteur soit par une commande manuelle soitpar un servo-moteur. Le déplacement de l'aiguille fait varier la section de sortie et par conséquentle débit qv = vS (v vitesse du jet et S section du jet). En eet, on a :

v2

2g= HG −∆Htuyaux −∆Hinjecteur

Comme HG est très grand et que le tuyau est long, v '√

2g(HG −∆Htuyaux).Quand on veut arrêter rapidement la turbine Pelton, on ne ferme jamais brusquement la vanne

amont ou l'injecteur en raison des coups de belier qui pourraient endommager la conduite d'amenée,


mais, on dévie le jet grâce à un déecteur. Ensuite, on ferme lentement l'injecteur. Le déecteurdoit être xé solidement pour résister aux eorts souvent énormes exercés par le jet.

Exercice : Calculer F en fonction de v et S.

vFS

La roue est à passage tangentiel et le transfert se fait à la périphérie de la roue dans des augetsen nombre et forme calculés. Le jet frappe des augets de forme coquille symétrique. L'angle d'entréeβ1 doit être faible ce qui conduit à construire une arête d'entrée très autée, dont l'usure constituele problème principal.

L'angle de sortie β′2 = π−β2 doit être également faible. Cependant, un retour complet (β′2 = 0)de jet provoque un phénomène de talonnage qui diminue le rendement. Le talonnage est du àl'impact du jet sortant sur l'extrados de l'auget suivant.

v 1 u

u

w 2

β’ 2

β 1

Fig. 4.3 Coupe de l'auget d'une turbine Pelton.

Le nombre de tours spécique Ns est déni par :

Ns =NP1/2

ρ1/2(gHG)5/4(4.8)

Pour les turbines Pelton, Ns = 0.0025→ 0.08. Le meilleur rendement est obtenu pour environNs ' 0.08. Attention : ces valeurs sont données avec N en tr/min et P en chevaux. Si lavitesse spécique est calculée avec d'autres unités, les valeurs numériques données ici doivent êtreconverties.

Il est aussi important de dénir le rapport 2R/d entre le rayon de la roue R et le diamètre dujet d. Pour que le rendement soit convenable, il faut que 9 < 2R/d < 30 avec une valeur optimale


de 12. On peut montrer que Ns ' 0.2d/2R.

Si la roue est munie de plusieurs jets n, sa puissance totale est n fois plus grande et son nombrede tours spécique Ns,

√n fois plus grand. n peut atteindre 6, mais en pratique, les turbines Pelton

possèdent 2 à 4 jets.



Caractéristique de la turbine Pelton

L'écoulement dans l'auget peut se schématiser comme sur la gure 4.3. On en déduit le triangledes vitesses.


v 1

u 1 w 1

w 2 v 2

u 2

β 2

À l'entrée, β1 = 0 et à la sortie β2 ' π si β′2 ' 0. On a alors, u1 ' u2 et |u1| ' |u2| = Rω = u.La puissance interne est donnée par :

Pi = ρqv (u1.v1 − u2.v2) (4.9)

et doncPi = ρqv [uv − u2.(u2 +w2)] = ρqv

[uv − u2 − u2w2 cos(β2)

](4.10)

La charge relative entre 1 et 2 se conserve :

p1

ρg+w2

1 − u21

2g=p2

ρg+w2

2 − u22

2g(4.11)

Si le degré de réaction r = 0, alors p1 = p2 ' patm et u1 = u2 donc w1 = w2 = v − u et

Pi = ρqvu(v − u)(1− cos(β2)) (4.12)

Cela montre que le meilleur transfert a lieu pour β′2 = 0. Mais dans ce cas, on a le phénomènede talonnage. En général, on construit les augets avec β′2 ∼ 4° à 7°.

Si on suppose que v est xée ('√ρgHn), qv est xé (ouverture de l'injecteur xé), u étant

proportionnel à N , alors :

Pi = AρqvN(Nmax −N) (4.13)

où A = (2πR)2(1−cos(β2)) et Nmax = v/(2πR). Nmax correspond à la vitesse de rotation théoriqued'emballement. Dans ce cas, v = u, ce qui signie que l'auget va à la même vitesse que le jet. Il n'ya donc pas de transfert d'énergie. On en déduit les caractéristiques des turbines Pelton.

P i C i

q v

q v

NNN max N max

Fig. 4.4 Caractérisques de turbines Pelton.

On note que Pi = Ciω et donc Ci = A′ρqv(Nmax − N). De plus, si v est xé, alors Nmax l'estaussi. Le rendement interne ηi = Hi/Hn est proportionnel à Pi. Le rendement maximal a donc lieupour u ' v/2 et ηi ∼ 1. qv est xé par l'ouverture de l'injecteur et par la hauteur génératrice. Ledébit est donc indépendant de N .


NN max N

q v3

q v2

q v1

q vη i

N /2 max

Remarque 1 : On remarque que le couple est maximum au démarrage et que la vitesse d'em-ballement reste nie (v). Elle est xée par la hauteur génératrice HG aux pertes de chargeprès.

Remarque 2 : En raison du frottement du uide sur les parois de l'auget qui conduit à uneperte de charge interne et à w2 < w1, on trouve que ηmax est obtenu pour u/v légèrementinférieur à 1/2.

Remarque 3 : Dans les grosses turbines Pelton dont la roue peut atteindre plusieurs mètres dediamètre, la puissance maximale réellement obtenue dépasse les 90% de la valeur théorique(1/2)ρqvv

2 et on réalise des machines qui fournissent 40000 chevaux par roue soit 29.44 MW .

Remarque 4 : La hauteur de chute varie entre 40 m et plus de 1000 m. Cela entraine desvitesses de rotation élevées.

4.3.2 Turbine Crossow

Cette turbine est aussi appelée turbine à ux traversant et turbine de Banki-Mitchell. C'est unemachine à action où l'eau traverse deux fois la roue. C'est une machine de construction simple etson utilisation est très répandue dans les pays en voie de développement. Le schéma de principeest donné sur la gure 4.5.

Elle est constituée de : Un injecteur de section rectangulaire (largeur l) équipé d'une vanne papillon pour régler le

débit qv. Une roue (diamètre D) en forme de tambour munie d'aubes cylindriques prolées qui sont

relativement élastiques et qui sont source de bruit à cause des chocs périodiques de l'eau surles aubes. La roue est autonettoyante parce que l'eau la traverse deux fois.

N est généralement faible ce qui nécessite un multiplicateur à engrenage ou à courroie pourle couplage au générateur.

L'injecteur et la roue sont souvent divisés en 2 secteurs de largeur 1/3 et 2/3 qui peuvent êtremis en fonctionnement séparément ou ensemble. Avec ce système, il est possible d'obtenirun rendement satisfaisant (ηmax = 80% à 83%) sur toute la plage de débits (gure 4.3.2).

On donne quelques formules empiriques. Pour le débit :

qv = 0.25αlD

2

√2gHn (4.14)

α est en radian, π/2 ≤ α ≤ 2π/3 donc lD = 1.13 à 0.75qv/√Hn.


Fig. 4.5 Turbine cross-ow

La vitesse de rotation :

ω = 0.45√

2gHn2

D(4.15)

d'où D = 38√Hn/N , l = 0.02 . . . 0.03qvN/Hn. N est en tr/min.

l/D = 0.3 . . . 4. La vitesse d'emballement est égale à 1.8 fois la vitesse nominale (∼ Pelton). La fréquence principale de vibration est f = nombred′aubes× (N/60). Il y a entre 24 et 32 aubes.

4.4 Turbines à réaction 71

4.3.3 Non-Pelton wheel impulse turbine (Dental drill)

Ce type de turbine à action est couramment utilisé avec des gaz. Son principe de fontionnementest donné sur la gure 4.6.

Fig. 4.6 Images tirées de Fundamentals of Fluid Mechanics (5eme édition), Munson Young Okicshi,Ed. John Whiley & Son (2006).

4.4 Turbines à réaction

4.4.1 Organes communs

Pour ce type de turbines, on utilise à la fois l'énergie cinétique et l'énergie de pression. Cettedernière nécessite pour le transfert une grande surface de contact entre le uide et la roue. C'estpourquoi les aubes sont noyées. Deux principes sont à la base de leur fonctionnement.

La création d'un tourbillon à l'aide d'une bache spirale d'aubages directeurs (directrices) oudes deux à la fois.

La récupération du mouvement tourbillonnaire par les aubes d'une roue mobile en rotationqui épousent les lets d'eau an de leur donner une direction parallèle à l'axe de rotation.

Les aubages se comportent comme une aile d'avion. La portance qui en résulte induit un couplesur l'arbre de la turbine et fait avancer l'aube à une vitesse d'entrainement u.


portanceui

w

Dans cette catégorie de turbines, on distingue : La turbine Francis. La turbine Hélice. La turbine Kaplan (hélice à pales orientables même pendant le fonctionnement).Le système d'alimentation est presque le même pour les trois types de turbines. Il est constitué

d'une bache spirale et d'un distributeur actionné par un cercle de vannage. La bache spirale estraccordée à la conduite amont et elle est en général sous la forme de colimaçon.

Le distributeur sert à régler le débit. Il est constitué par une série de directrices prolées toutessolidaires les unes des autres et actionnées par le cercle de vannage. Ces distributeurs serventégalement à xer l'angle d'entrée. Le principe de fonctionnement est illustré par la gure 4.8.

Les turbines Kaplan ont un nombre de pales compris entre 3 et 8. Les pales sont orientables.La mécanique de commande des pales oblige, lorsque le nombre de pales devient important (68)à augmenter le rapport du diamètre moyen au diamètre D de la roue.

Nombre de pales chute (m) Dm/D3 23 0.384 315 0.405 1520 0.456 2025 0.50

7 à 8 ≥ 30 0.60

À la sortie de la turbine à réaction, l'eau possède toujours une certaine énergie cinétique qu'onpeut récupérer en partie grâce à un diuseur qui est constitué d'une canalisation évasée conduisantl'eau vers le canal (ou lac) de fuite.


Fig. 4.7 Bache spirale du lac Hodges (Canada) et schéma de la turbine Francis de la centrale deMartigny-Bourg (Suisse).



Fig. 4.8 Roue de turbine Francis. Cercle de vannage, distributeurs fermés et ouverts et vue schématiqued'une turbine à réaction de type Francis.

4.4.2 Triangle des vitesses

Turbine Francis


Fig. 4.9 Roue de turbine Kaplan.

Fig. 4.10 Diuseur.

Turbine à hélice


4.4.3 Caractéristiques générales

Ce sont les mêmes calculs que pour les pompes.

Hn = Hth + ∆Hchoc + ∆Hf et η =Hth

Hn(4.16)


0q

v

H

Hth

∆ Hchoc

∆ Hf

Hn

0q

v

η

Fig. 4.11 N et ouverture xés.

Exemple de courbes caractéristiques à N xé et ouverture de vannage variable.


Caractéristique à charge constante et N variable.


Caractéristique à charge constante, N et ouverture variables.


Exemples de caractéristiques. ns = nP 1/2/H5/4n avec n en tr/min, P en chevaux et Hn en mètre.


Diagramme de sélection d'une turbine.

4.4.4 Diuseur

Le diuseur (gure 4.10) sert à récupérer de l'énergie cinétique à la sortie de la turbine.


1 2

3

4turbine

diffuseur

z T

L'axe de la turbine est situé à zT positif ou négatif. Si on sort directement à l'atmosphèrep2 = patm et zT = 0. Il reste une charge résiduelle Hres = v2

2/2g. On a P ∝ H1 − H2 avec H1

donné. On obtient donc une puissance maximum pour H2 minimum. S'il n'y a pas de diuseur,

H2 =patmρg

+ zT +v2

2

2g(4.17)

et avec diusueur :

H2 =p2

ρg+ zT +

v′222g

(4.18)

avec v′2 ∼ v2. On a donc intérêt à avoir p2 le plus faible possible, mais tel que p2 ≥ psat pour éviterla cavitation. Pour zT donné, la hauteur résiduelle est mesurée par Hr = (patm − p2)/ρg.

On peut également diminuer la cote zT (négatif) en plaçant la turbine sous le niveau du lac defuite. Dans ce cas :

H2 = H3 + ∆Hreg + ∆Hsing (4.19)

H3 = H4 +v2

3

2g(4.20)

H4 =patmρg

(4.21)

avec ∆Hreg les pertes de charge régulières dans le diuseur et ∆Hsing les pertes de charge singulièreséventuelles. Ainsi,

H2 =patmρg

+ ∆Hreg + ∆Hsing +v2

3

2g(4.22)

et nalement :

p2

ρg=patmρg− zT + ∆Hreg + ∆Hsing +

v23 − v2

2

2g(4.23)

zT étant xé, v2 l'étant aussi par le débit, pour avoir p2 le plus faible possible il faut minimiser∆Hreg + ∆Hsing + v2

3/2g. Ainsi, un bon diuseur doit avoir : Un élargissement important pour que v3 → 0. Une perte de charge ∆Hreg faible.

Évidemment, ces critères sont contraints par le génie civil.L'importance du diuseur se chire par le coecient

K =Hr

Hn=

(patm − p2)/ρg

Hn(4.24)

En utilisant l'équation 4.23, on obtient :

K =zTHn−(

∆Hreg + ∆Hsing

Hn+

1

Hn

v23 − v2

2

2g

)(4.25)


Pour une sortie à l'air libre, zT = 0, ∆H = 0 et v3 = 0, K ' v22/(2gHn). On donne enn

quelques ordres de grandeur : Pour les turbines Francis lentes, K ∼ 10%. Pour les turbines Kaplan très rapides, K ∼ 60%.

4.4.5 Cavitation

La cavitation peut se produire sur les aubes de la turbine, ou à la sortie de la turbine.

Cavitation sur les aubes

L'écoulement sur une aube dans le repère relatif est analogue à un écoulement sur une ailed'avion : dépression sur l'extrados, surpression sur l'intrados. La résultante de ces forces conduit àune force de portance qui fait tourner la roue. Ceci peut être schématisé par la gure 4.12.

portance

ui

w

-

+

AB

C

p sat

+

Fig. 4.12 Sur la zone AB, p < psat, formation des bulles de vapeur et zone BC, p > psat, implosion desbulles de vapeur.

Fig. 4.13 Dégats par cavitation sur les aubes d'une turbine Francis.

Cavitation à la sortie de la turbine (torche à vapeur)

À la sortie de la turbine, un tourbillon se forme. Ce dernier ne disparait complètement qu'aupoint de fonctionnement nominal (v1 axial). Pour des débits inférieurs, entre 40% et 60% du débitnominal, le tourbillon de sortie devient très intense et conduit à des instabilités. L'écoulement dansle tourbillon est presque du type vortex libre : u ∼ A/r ⇒ p quand r → 0.

La pression atteint p = psat et les bulles de vapeur apparaissent sous forme de torche (gure4.14).


Fig. 4.14 Torche de cavitation.

Plus loin, les bulles implosent violemment. Il s'en suit des chocs (coup de belier) qui peuventmettre en danger l'installation. Pour y remédier, on injecte des bulles d'air (par A sur la gure4.14) qui permettent d'amortir les chocs. Mais cela entraîne une baisse de rendement de 1% à 2%.

4.4.6 Limite de la hauteur d'aspiration

La hauteur d'aspiration Hs d'une turbine à réaction est dénie par :

H s H s

H >0 s H <0 s

Si on raisonne en hydrostatique (en négligeant les pertes de charge et les termes v2/2g), lahauteur d'aspiration théoriquement possible est Hsth = Ha − Hv avec Ha = patm/ρg et Hv =psat/ρg. Les dépressions sur l'aubage font que la pression de vapeur saturante est atteinte pourHs < Hsth. Pour tenir compte de ceci, on utilise en pratique un coecient σ, le coecient deThoma. On a alors :

Hs = Hsth − σHn (4.26)

au-delà duquel apparaît une cavitation capable d'endommager la roue. Le coecient σ est déterminéexpérimentalement (voir gure 4.15).


Fig. 4.15 Coecient de cavitation. nq = nq1/2v /H

3/4n avec n en tr/min, qv en m3/s et Hn en m.

Remarque : Ha dépend de l'altitude. Au niveau de la mer Ha = 10.33 m et à 1500 m, Ha = 8 m. Hv dépend de la température.

4.5 TD : Turbines

4.5.1 Turbine Pelton

On dispose d'un jet de diamètre d = 3 cm et de vitesse v = 45 m/s.

1. Calculer la hauteur génératrice HG.

2. Calculer le diamètre de la roue D.

3. Calculer la vitesse de rotation d'emballement Nmax et la vitesse de rotation optimale Nopt.

4. Donner la taille de l'auget.

5. Calculer la puissance maximale Pmax.6. La roue tourne à N = 600 tr/min, calculer la hauteur résiduelle Hr.

7. La roue tourne à N = 1193 tr/min, calculer la hauteur résiduelle Hr.

4.5 TD : Turbines 87

8. Calculer l'eort sur le déecteur.

v

F

d

o45

4.5.2 Dental drill

La turbine Pelton à air comprimé entrainant la roulette de dentiste est schématisée sur la gure4.16 ci-dessous.

Fig. 4.16 Dental drill.

La vitesse de rotation est N = 300000 tr/min. On estime le diamètre du jet à d = 1 mm(justier cette valeur).

1. Calculer la vitesse moyenne u.

2. On souhaite qu'il n'ait pas de choc à l'entrée et que la vitesse de sortie v2 soit axiale. Tracerles triangles des vitesses. On désigne par β2 l'angle de sortie. On note α = (u,v) l'anglede sortie du jet. Calculer v = f(u,α). et en déduire la puissance Pi par jet (pour α petit).Calculer le nombre de Mach Ma.

3. On a 8 jets (justier cette valeur). Quelle est la puissance totale Pit ?4. Les buses de jet sont alimentées par un réservoir à la pression p et à la température T = 18°C.

Calculer la pression p en négligeant les pertes de charge et en faisant l'approximation uideincompressible.

5. Estimer la température de sortie. Qu'en pensez-vous ?


4.5.3 Tourniquet hydraulique

Un tourniquet hydraulique est constitué par un réservoir cylindrique muni à sa base de deuxtuyaux horizontaux diamétralement opposés de même longueur R. Ces bras sont terminés par desorices qui permettent aux jets de s'échapper sous un angle θ par rapport à la tangente de latrajectoire de l'extrémité. Par réaction, le système est mis en rotation.

La hauteur du uide dans le réservoir est maintenue constante à une hauteur H.

1. Calculer la vitesse relative de sortie w de l'eau en fonction de H, de R et de la vitesseangulaire ω supposée constante. Quel est le couple C appliqué au tourniquet ?

2. En admettant qu'il n'ait pas de frottement, quelle vitesse maximale ωm peut atteindre lamachine ? Cette vitesse peut-elle augmenter indéniment ?

3. Dans le cas général, calculer le rendement énergétique de la machine. Discuter suivant lesvaleurs de θ.

4. Application numérique : R = 1 m, θ = 0 pour ω = 0 le tourniquet consomme 3 l/s d'eau etle couple appliqué est de 2 m.kgf . Quels seront le débit qv, le couple C, la puissance P etle rendement η, si la vitesse du tourniquet est de 120 tr/min. On prendra g = 10 m/s2.

4.5.4 Étude d'une turbine Francis

Une turbine Francis tournant à N = 600 tr/min absorbe un débit qv = 1 m3/s. Les diamètresd'entrée et de sortie sont de 1 m et 0.45 m. Les sections de passage corespondantes sont de 0.14 m2

et 0.09 m2. L'angle α1 de sortie des directrices vaut 15° et l'angle de sortie de la roue est de 135°.Sachant que le rendement manométrique de cette turbine est égal à 78%, calculer la hauteur dechute nette, ainsi que le couple et la puissance mécanique sur l'arbre (g = 9.81 m/s2).

4.5.5 Turbine aux enchères

Une turbine hydraulique neuve est mise en vente aux enchères. Le rendement est garanti égal ousupérieur à 70% pour des puissances comprises entre 180 kW et 300 kW , ceci pour N = 300 tr/minet une chute d'eau de 5 m.

1. Quel est le type de cette turbine ?

2. Cette machine intéresse un utilisateur qui ne dispose que d'une chute d'eau de 3 m. Quellespuissances pourra-t-il obtenir dans les mêmes conditions de rendement et quelle sera lavitesse de rotation de la machine ?

3. Désirant obtenir au moins 150 kW , il envisage d'approfondir le bief aval de manière à porterla chute à 3.20 m.

(a) En conservant le rendement de 70 %, quels seraient la vitesse de rotation, les puissanceset les débits correspondants qv1 et qv2 ? Le résultat désiré peut-il être atteint ?

(b) L'installation comporte un diuseur dont la perte de charge est 0.3v20/2g, v0 étant la

vitesse moyenne dans la section d'entrée du diuseur. La surface S0 d'entrée du diuseurse trouve dans le même plan que la surface libre aval. Peut-on craindre la cavitation dansles conditions données par le tableau 3.1 (S0 = 1.05 m2, altitude 0 m et température20°C) ?

4. La roue mobile est à passage axial et ore une section constante S0. Un distributeur xe laprécède et lui envoie l'eau dans une direction indépendante du débit et faisant un angle de70° avec le plan de la roue à son diamètre moyen Dm = 1.10 m.

(a) Construire sur ce diamètre les triangles des vitesses de part et d'autre du rotor dans lesconditions dénies précédemment.

4.5 TD : Turbines 89

(b) En admettant que le rendement maximal soit atteint pour qv = (qv1 + qv2)/2 et qu'ils'obtient lorsque la vitesse absolue de sortie est axiale, calculer ce rendement maximal.On admettra dans les calculs que le rendement mécanique de la machine est égal à 1.


Chapitre 5

Notions théoriques sur les éoliennes

Nomenclature et relations usuelles

R : rayon de la pale λ0 = RωV1

: vitesse spéciquer : distance à l'axe d'une section de paleconsidérée

λ = rωV1

: vitesse spécique locale

l(r) : longueur de la corde de la section depale située à la distance r de l'axe

F : force axiale exercée par l'air sur les pales(poussée)M : moment du couple moteur

B : nombre de pales du rotor ω : vitesse de rotation du rotorθ : angle de vrillageα : angle d'incidence ou d'attaqueφ : angle d'inclinaison avec φ = θ + α

Pelec : puissance électriqueP = F.V ' : puissance captée par les palesPu = M.ω : puissance mécanique

V1 : vitesse du vent en amont de l'éolienneV2 : vitesse du vent en aval de l'éolienneV ' : vitesse du vent traversant les pales

Cp = P0.5ρAV 3

1: coecient de puissance avec

A la surface balayée par le rotor

CM = M0.5ρARV 2

1=

Cp

λ0: coecient de mo-

ment

5.1 Le vent

Le vent est déni par sa direction et sa vitesse. Ces deux grandeurs sont variables dans le temps(turbulence, variations saisonnières,...) et dans l'espace (topologie du terrain,...).

5.1.1 Variation de la vitesse du vent dans le temps

Les phénomènes instantanés : turbulence du vent

La vitesse du vent et sa direction peuvent varier très rapidement. En moins d'une seconde,l'intensité du vent peut doubler et sa direction changer de 20°. Lorsque les uctuations en directionsont trop rapides, il est impossible pour une éolienne d'avoir son axe aligné en permanence dansla direction du vent, en raison de l'inertie de la machine. Il est donc important de tenir compte deces variations qui sont les uctuations les plus gênantes.

De plus, un vent à rafales imposera des contraintes qu'il faudra prendre en compte dans lecalcul du support de l'éolienne, la plupart des systèmes de régulation ayant une inertie largementsupérieure à la durée d'une rafale.

Plusieurs facteurs contribuent à déterminer les variations du vent : le temps qu'il fait la topographie du terrain les obstacles.

92 Chapitre 5 Notions théoriques sur les éoliennes

Ces variations de la vitesse du vent font varier la production énergétique de l'éolienne bien quel'inertie du rotor compense, dans une certaine mesure, les variations les plus courtes. On a intérêtà placer le rotor en dehors de toute zone turbulente et à une hauteur susamment élevée pour quele gradient de vitesse dans le sens vertical ne soit pas trop important.

Les phénomènes journaliers

Les vents subissent les uctuations journalières dues à des eets convectifs. La chaleur spéciquedu sol étant inférieure à celle de l'eau, la terre s'échaue plus rapidement que la mer sous l'eet durayonnement solaire. Ainsi, on peut parler de :

Brise de mer et brise de terre

Fig. 5.1 Illustration de la brise de mer (A) et de la brise de terre (B).

En journée, la terre se réchaue plus rapidement que la mer, ce qui provoque un soulèvement del'air chaud qui s'étend ensuite vers la mer. Ainsi, une dépression se crée près de la surface de la terre,attirant l'air froid provenant de la mer, c'est la brise de mer (Figure 5.1.A). Le soir, le phénomènes'inverse, la terre se refroidissant plus vite que la mer c'est la brise de terre (Figure 5.1.B).

Les vents de montagne Les régions montagneuses donnent naissance à beaucoup de phéno-mènes climatologiques parmi eux la brise de vallée. Le matin, les sommets sont réchauésavant les vallées. L'air commence alors à s'élever vers le sommet de la montagne, produisant ceque l'on appelle une brise montante. La nuit, le phénomène s'inverse et une brise descendante seproduit. Les vents s'écoulant le long des versants des montagnes peuvent être très violents.

Les phénomènes saisonniers

La vitesse et la direction du vent varient en fonction des zones de haute et de basse pression.Ces aires anticycloniques et cycloniques sont liées à la position du soleil par rapport à l'équateur,ainsi le vent subit une variation annuelle plus ou moins cyclique. En France, la vitesse du vent estplus importante en hiver que pendant les mois d'été.

5.1 Le vent 93

5.1.2 Les variations de vitesse de vent dans l'espace

La répartition géographique du vent au sol

Le vent est plus fort sur les océans que sur les continents. Cette disparité s'explique notammentpar le relief et la végétation qui freinent le mouvement de l'air. Aussi, les zones généralement lesplus favorables pour les sites éoliens sont situées en bordure de côtes sur les continents.

De plus, certaines régions sont connues pour la régularité de leur vent : les alizés de part etd'autre de l'équateur, les moussons en Asie du Sud-est,...

La vitesse du vent en fonction de l'altitude (Cisaillement)

La vitesse du vent dépend essentiellement de la nature du terrain au-dessus duquel se déplacentles masses d'air. En eet, la réduction du vent auprès du sol est due à la friction exercée par lavégétation, les obstacles et les bâtiments. Les gradients de vitesse sont donc plus ou moins marquésen fonction de la topologie du terrain. Habituellement, la variation de la vitesse avec l'altitude estreprésentée par la loi :

V1

V2=

(h1

h2

)α(5.1)

V1 et V2 représentent les vitesses de vent horizontal aux hauteurs respectives h1 et h2. Cette loiest une loi statistique qui repose sur de nombreuses observations. Généralement, h2 est voisin de10 m (hauteur moyenne des anémomètres dans les stations météorologiques), α est un coecientqui varie de 0,10 à 0,40.

Cette variation avec l'altitude peut également être représentée par une loi logarithmique enintroduisant la rugosité du terrain par le paramètre h0 :

V1

V2= ln

(h1

h0

)/ln

(h2

h0

)(5.2)

La loi logarithmique donne les meilleurs résultats jusqu'à 30 à 50 m de hauteur au-dessus du solmais au delà de la couche limite, la première relation est la plus utilisée.

L'exposant α caractérise le terrain comme dans le tableau ci-dessous :

Nature du terrain Inégalité du sol h0 en m Exposant αLisse, Plat : neige, glace, mer, herbes courtes 0,001 0,02 0,10 - 0,11Rugosité modérée, peu accidenté : champs et pâ-turages, cultures 0,02 0,3 0,15 - 0,30

Rugueuse, Accidenté : bois, zones peu habitées 0,3 - 2 0,20 - 0,27Très accidenté : villes, immeuble élevés 2 - 10 0,27 - 0,4

Avec α = 0.096lgh0 + 0.016(lgh0)2 + 0.24.Les sites les plus intéressants pour la récupération d'énergie éolienne sont les sites peu ou pas

accidentés pour lesquels l'exposant α est faible. On bénécie dans ce cas de vitesses du vent près dusol élevées et la variation de la vitesse de vent avec l'altitude est faible (la vitesse de vent en hautet en bas de la machine sont sensiblement les mêmes), ce qui à pour conséquence de diminuer lescontraintes cycliques sur les pales du moteur éolien (d'autant plus important lorsque le diamètrede l'hélice est grand).

Inuence du relief sur l'intensité du vent

L'intensité du vent est inuencée par le relief et tous les obstacles isolés rencontrés par le vent.Le relief peut être à l'origine d'accélération locale du vent (passage de collines par ex.) mais ausside zones de forte turbulence et de décollement de couche limite (phénomènes défavorables). La


zone de turbulence créée par un obstacle s'étend sur une distance d'environ trois fois la hauteurde cet obstacle, cette turbulence est plus forte derrière l'obstacle que devant, on veillera donc àlimiter la présence d'obstacles aux abords d'une éolienne, en particulier dans la direction des ventsdominants (devant l'éolienne).

5.1.3 Etude statistique du vent

A la lumière des informations précédentes, on voit que plusieurs informations sont déterminantesdans l'étude d'un site éolien :

vitesse moyenne du vent direction moyenne du vent la durée des périodes de vent sur l'année pour évaluer la production annuelle et les durées

de vent improductif.On peut en premier ressort s'appuyer sur la rose des vents établie par chaque station météorologiquelocale.

La direction d'où vient le vent est répartie ici sur 360° (gure 5.2). Ainsi, le Nord est parconvention indiqué en haut du diagramme (360°), l'Ouest est à 270°, le Sud à 180° et l'Est à 90°.

Au centre du diagramme, se trouve un cercle à l'intérieur duquel on peut lire 29.6. Ce nombrecorrespond au pourcentage de temps annuel pendant lequel la vitesse du vent a été inférieure à1.5 m/s, toutes directions confondues. Ce temps est considéré comme une période de calme.

Tout autour du cercle central, on retrouve une surface bleue. La longueur des traits contenusdans cette surface, est proportionnelle à la durée annuelle exprimée en pourcentage, pendant laquelleles vents de vitesses comprises entre 1.5 − 4.5 m/s, ont soué dans la direction considérée, avecun écart maximum de 10°. Le contour suivant est relatif aux vents de vitesses comprises entre4.5−8 m/s et le dernier plus petit, de couleur orange, correspond aux vents de vitesse supérieure à8 m/s. L'échelle de pourcentage est portée sur la gure. A Nancy, la direction du vent dominante estNord-est et Sud-ouest. Si un champ d'éoliennes devait être installé dans la région, on disposerait lesmachines, de façon perpendiculaire aux vents dominants, suivant une ligne droite orientée Sud-est,Nord-Ouest.

Les régimes de vent ainsi que la capacité énergétique tendent à varier d'une année à une autre(en général d'environ 10 % au maximum) - par conséquent, pour obtenir un résultat crédible, lesstations basent leurs calculs sur des observations faites sur plusieurs années.

Dans la suite, nous allons nous intéresser aux notions d'aérodynamique régissant le fonctionne-ment d'une éolienne. L'objectif est d'arriver à construire un modèle aérodynamique de l'éoliennepour prédire son rendement en fonctionnement réel.

5.2 Notions d'aérodynamique

Nous allons ici introduire brièvement les notions d'aérodynamique sur une aile portante. En eetl'élément principal de l'éolienne est la pale. Cette dernière n'est autre chose qu'une aile portante.Pour dimensionner de façon optimale les principaux éléments, il est indispensable d'avoir quelquesconnaissances sur les actions aérodynamiques qu'exerce un vent donné sur un prol d'aile.

5.2.1 Dénitions

Si on considère le prol d'aile donné sur la Figure 5.3 ci-dessous.

5.2 Notions d'aérodynamique 95

Fig. 5.2 Rose des vents de la région de Nancy fournie par la station métérologique d'Essey-Les-Nancy.

Fig. 5.3 Schéma d'un prol d'aile.

On appelle bord d'attaque, les points du prol les plus éloignés des points B où se trouve lebord de fuite.

AB est appelée la corde l du prol ; AMB représente l'extrados du prol et ANB l'intrados.

Pour tenir compte de l'inclinaison de l'aile par rapport au vent incident (supposé horizontal surla gure), on introduit plusieurs angles :

Angle d'incidence ou d'attaque : angle i formé par la corde et la direction du vent vu parl'aile

Angle de portance nulle : angle α0 représentant l'angle d'incidence pour lequel la portanceest nulle. Cet angle est généralement négatif pour les prols usuels (représenté de cette façonsur la gure)

Angle de portance : angle α formé par la direction du vent relatif et la direction de portancenulle.

En valeur algébrique, α = α0 + i.


5.2.2 Actions de l'air sur l'aile

Usuellement, la résultante aérodynamique exercée par l'air sur l'aile est projetée suivant unsystème d'axes associés à la vitesse V du vent vu par l'aile. Ceci est illustré sur la Figure 5.4suivante :

Fig. 5.4 Forces s'exerçant sur un prol d'aile.

la composante Fz (perpendiculaire à la direction du vent) est appelée la portance la composante Fx (parallèle à la direction du vent) est appelée la traînée

A partir de cette décomposition, on introduit classiquement deux coecients sans dimension : le coecient de portance : Cz = Fz

12ρAV 2

le coecient de traînée : Cx = Fx12ρAV 2

où A est la surface alaire de l'aile (corde * envergure) et ρ la masse volumique de l'air.

5.2.3 Paramètres inuant sur les Cz et Cx

Les deux paramètres jouant sur les valeurs des coecients de portance et de traînée pour unprol d'aile donné sont le nombre de Reynolds et l'incidence de l'aile en régime incompressible.

La Figure 5.5 ci-dessous illustre l'évolution habituelle de ces deux coecients en fonction del'angle d'incidence i à Reynolds xe.

Fig. 5.5 Polaire d'Eiel d'un prol d'aile.

5.3 Calcul aérodynamique d'une éolienne à axe horizontal 97

On constate que pour les faibles incidences, le coecient de portance évolue de façon quasilinéaire avec l'angle d'incidence. Pour une incidence donnée, le coecient de portance atteint unmaximum, c'est la crise de portance. On appelle cet angle d'incidence particulier, l'angle de dé-crochage. Sur l'exemple donné, l'angle de portance nulle est bien négatif et vaut environ -5°. Enparallèle, le coecient de traînée passe vers un minimum autour de cet angle pour augmenterlégèrement avec l'augmentation de l'incidence.

La courbe portant le coecient de traînée en abscisse et le coecient de portance en ordonnéeest appelée la polaire d'Eiel d'une aille. Elle est généralement graduée en angle d'incidence i.

5.3 Calcul aérodynamique d'une éolienne à axe horizontal

Une première théorie permettant d'estimer la puissance d'une éolienne est la théorie de Betzqui s'applique essentiellement aux machines à axe horizontal.

5.3.1 Théorie de Betz

Cette théorie suppose que l'éolienne est placée dans un air animé à l'inni d'une vitesse amontV1 et à l'aval d'une vitesse V2.

La puissance mécanique captée par le disque rotor est exprimée par la relation suivante (Fi-gure 5.6) :

P =1

2ρA1V

31 −

1

2ρA2V

32 =

1

2ρ(A1V

31 −A2V

32

)[W ] (5.3)

(Diérence de puissance entre les ux d'air amont et aval au rotor)En exprimant la conservation de la masse :

ρA1V1 = ρA2V2 = m [kg/s] (5.4)

on obtient ainsi,

P =1

2m(V 2

1 − V 22

)[W ] (5.5)

Fig. 5.6 Représentation des lignes de courant traversant l'éolienne.


On peut trouver une autre expression de cette puissance, en appliquant le théorème d'Euler autube de courant représenté par le jet d'air. Ainsi, la force F qu'exerce l'air sur le rotor s'exprimepar :

F = m (V1 − V2) [N ] (5.6)

donnant lieu à une puissance mécanique convertie par la rotor :

P = FV ′ = m(V1 − V2)V ′ [W ] (5.7)

où V ′ est la vitesse du vent dans le plan de rotation des pales. Par identication avec les deuxformulations de la puissance récupérée P , on obtient :

V ′ =1

2(V1 + V2) [m/s] (5.8)

Ce qui au nal, nous permet d'écrire la puissance du rotor rapportée à l'aire balayée A par cedernier :

P = FV ′ =1

4ρA(V1 + V2)2(V1 − V2) [W ] (5.9)

On peut à partir de cette relation exprimée le coecient de puissance Cp qui est le rapportentre la puissance récupérée sur le rotor par la puissance disponible dans le ux d'air basé sur lavitesse du vent et la surface balayée par le rotor :

Cp =14ρA (V1 + V2)2 (V1 − V2)

12ρAV

31

=1

2

(1 +

V2

V1

)2(1− V2

V1

)[−] (5.10)

Si on dénit le coecient d'induction b = V2/V1, on obtient l'évolution du coecient de puis-sance (Figure 5.7).

En réécrivant le coecient b comme la fraction de diminution de la vitesse du vent entre lavitesse amont V1 et celle traversant le rotor V ' on obtient un nouveau coecient a :

V ′ = (1− a)V1 (5.11)

On peut montrer que ce coecient est maximum pour a = 1/3, et que dans ce cas Cp = 16/27 ≈0.596. En reportant cette valeur particulière dans l'expression de la puissance P , on obtient pourla puissance maximale susceptible d'être recueillie, la valeur :

Pmax =8

27ρAV 3

1 [W ] (5.12)

5.3.2 Eets de la rotation

Pour le rotor idéal de la théorie de Betz, il n'y a pas de prise en compte de la rotation dans lesillage. Or dans la pratique, le sillage possède une certaine rotation qui peut être prise en compteen appliquant le théorème d'Euler pour les machines tournantes en s'appuyant sur les triangles desvitesses dans les sections entrée-sortie du rotor de la Figure 5.8. Si on applique ce dernier sur unvolume de contrôle innitésimal d'épaisseur dr, on obtient l'expression de la puissance transmise :

dP = dmωrVθ = 2πr2ρV ′ωVθdr (5.13)

avec Vθ la composante azimutale de la vitesse absolue après le rotor et V ' est la vitesse axiale àtravers le rotor. Nous avons vu que la vitesse axiale à travers le rotor peut être exprimée par le


Fig. 5.7 Evolution du coecient de puissance en fonction du rapport des vitesses amont et aval.

coecient d'induction a. De la même manière, on dénit le facteur d'interférence tangentiel a' etla vitesse de rotation Vθ dans le sillage par (conservation du moment cinétique) :

Vθ = 2a′ωr (5.14)

La puissance élémentaire s'écrit donc comme :

dP = 4πρω2V1a′ (1− a) r3dr (5.15)

Fig. 5.8 Triangle des vitesses pour une section du rotor

Après intégration de 0 à R, on obtient la puissance totale récupérée par le rotor :

P = 4πρω2V1

∫ R

0a′ (1− a) r3dr (5.16)

On voit ici que si on veut maximiser la puissance récupérée, il faut maximiser l'expression :


f(a,a′

)= a′ (1− a) (5.17)

Or si les angles d'attaque locaux sont inférieurs à l'angle de décrochage, ces deux coecientsne sont pas indépendants, on a ainsi :

tanφ =a′ωr

aV1=

(1− a)V1

(1 + a′)ωr(5.18)

Ce qui conduit à la relation entre a et a' : (ωr/V1)2 a′ (1 + a′) = a (1− a).L'optimisation conduit donc à :

df

da= (1− a)

da′

da− a′ = 0 (5.19)

et (1 + 2a′) da′

da

(ωrV1

)2= 1 − 2a. Ceci conduit à la relation suivante entre a et a' optimisant la

puissance récupérée :

a′ =1− 3a

4a− 1(5.20)

Ceci permet nalement d'obtenir le tableau de valeurs suivant :

a a′ λ = ωr/V1

0,26 5,5 0,0730,27 2,375 0,1570,28 1,333 0,2550,29 0,812 0,3740,30 0,500 0,5290,31 0,292 0,7530,32 0,143 1,150,33 0,031 2,630,333 0,00301 8,58

A partir de ces relations, le coecient de puissance optimal peut être obtenu par intégration.Ceci a été réalisé par Glauert pour diérentes vitesses spéciques λ0 = ωR/V1 avec une comparaisonavec la limite de Betz de 16/27 (cas qui correspond à a′ = 0). Ces résultats sont reportés dans letableau ci-dessous :

λ0 = ωR/V1 27Cp/16

0,5 0,4861,0 0,7031,5 0,8112,0 0,8652,5 0,8995,0 0,9637,5 0,98310,0 0,987

5.3.3 Prise en compte de l'élément de la pale d'hélice

Jusqu'à présent, la géométrie eective du rotor (nombre de pales B, les lois de vrillage θ (r) etde corde l (r) et le prol de pale) n'est pas prise en compte. Nous allons ici coupler le théorème dequantité de mouvement avec les eorts locaux sur la pale. Nous allons pour cela faire l'hypothèsesuivante :


Chaque élément annulaire est indépendant des autres.Nous pourrons établir que :

la poussée élémentaire vaut : dF = 4πrρV 21 a(1− a)dr

le moment élémentaire : dM = 4πρωV1a′(1− a)r3dr = dP/ω

On peut évaluer ces termes en considérant l'écoulement local autour de la pale en se basant surle triangle des vitesses suivant :


avec θ l'angle de vrillage local de la pale, c'est-à-dire l'angle local entre la corde et le plan derotation du rotor. Puis, α est l'angle d'attaque local, c'est à dire l'angle local entre la corde et ladirection du vent relatif, Vrel. Enn, φ est l'angle d'inclinaison déni par φ = θ + α.

Nous pouvons donc écrire avec ces dénitions que :

L =1

2ρV 2

rell(r)Cz et D =1

2ρV 2

rell(r)Cx (5.21)

pour l'expression des forces de portance et de traînée par unité de longueur, en supposant connusles coecients de portance et de traînée. De façon à obtenir une expression de la poussée et dumoment élémentaire, il faut projeter ces forces suivant les directions normale et tangentielle au plande rotation du rotor. Ce qui conduit à :

pN = L cosφ+D sinφ, pT = L sinφ−D cosφ (5.22)

etCN = Cz cosφ+ Cx sinφ, CT = Cz sinφ− Cx cosφ (5.23)

Après quelques calculs, on obtient que :

dF =1

2ρB

V 21 (1− a)2

sin2 φl(r)CNdr, dM =

1

2ρB

V1(1− a)ωr(1− a′)sinφ cosφ

l(r)CT rdr (5.24)

avec B le nombre de pales et l(r) la loi de corde. Par identication, on obtient que les coecientsd'induction axial et tangentiel doivent satisfaire aux relations suivantes :

a =1

4 sin2 φσCN

+ 1a′ =

14 sinφ cosφ

σCT− 1

(5.25)

où σ (r) = l(r)B2πr représente la solidité locale du rotor.

Ainsi, l'algorithme de calcul pour déterminer la puissance récupérée par le rotor est le suivant :(1) Initialisation des coecients a et a′

(2) Calcul de l'angle φ(3) Détermination de l'angle d'incidence local α(4) Lecture des coecients de portance et de traînée(5) Déduction des coecients normaux et tangentiels(6) Calcul des coecients a et a′ suivant les dernières expressions


(7) Réitération jusqu'à convergence sur les valeurs de a et a′

(8) Détermination des eorts locaux sur l'élément considéréCette approche est la plus simple pour prendre en compte la géométrie du rotor. Pour obtenir

une bonne approximation, il faut cependant faire deux corrections : correction de Prandtl (eetsen bout de pale) et correction de Glauert (eets du décrochage).

5.3.4 Corrections de Prandtl et de Glauert

Correction de Prandtl

Cette correction permet la prise en compte des eets 3D en bout de pale (associés au nombrede pales). Ceci a pour conséquence de modier la vorticité dans le sillage du rotor. Prandtl a doncdéni un facteur correctif f pour la poussée et le couple élémentaire :

dF = 4πrρV 21 a(1− a)fdr dM = 4πρωV1a

′(1− a)r3fdr (5.26)

où f (facteur de réduction de la circulation) a pour expression f = 2π cos−1(e−m), avecm = B

2R−rr sinφ .

Ceci conduit aux expressions corrigées pour les facteurs a et a′ :

a =1

4f sin2 φσCN

+ 1a′ =

14f sinφ cosφ

σCT− 1

(5.27)

Correction de Glauert

Lorsque le facteur d'interférence axial a devient plus grand qu'approximativement 0.4, l'applica-tion du théorème d'Euler tombe en défaut. Des relations empiriques ont été établies pour approcherles mesures expérimentales, parmi lesquelles :

CF =dF

12ρV

21 2πrdr

=

4a(1− a)f a ≤ 1

34a(1− (1/4)(5− 3a)a)f a > 1

3

(5.28)

ou encore :

CF =dF

12ρV

21 2πrdr

=

4a(1− a)f a ≤ ac4(a2

c + (1− 2ac)a)f a > ac(5.29)

ac vaut approximativement 0.2. A ces expressions, correspond une relation modiée pour lecoecient a.

5.3.5 Dimensionnement optimal des pales pour une puissance maximale

La conception d'une forme optimale de la pale d'une hélice implique que la relation a′ = 1−3a4a−1

correspondant à une puissance maximale soit satisfaite. On peut faire l'hypothèse de négliger lesfrottements en prenant Cx = 0. Les expressions de a et a′ deviennent :

a =1

4 sin2 φσCz cosφ + 1

a′ =1

4 cosφσCz

− 1(5.30)

En utilisant la relation reliant les deux facteurs d'interférence a et a′, on obtient une seconderelation exprimant le facteur a :

a =4 cosφ

σCz + 12 cosφ(5.31)

L'égalité des deux expressions de a donne une équation quadratique, dont l'inconnue est leterme σCz :


(σCz)2 + 8 cosφσCz − 16 sin2 φ = 0 (5.32)

dont la racine acceptable est σCz = 4 (1− cosφ). Ceci donne l'expression optimale de la corde lelong de la pale :

l(r) =8πr

BCz(1− cosφ) (5.33)

Si on reprend la relation donnant l'angle φ, tanφ = (1−a)V1(1+a′)ωr = (1−a)

(1+a′)λ , et en substituant a′,nous obtenons :

λ =(4a− 1) (1− a)

a

1

tanφ(5.34)

En remplaçant a par sa valeur et après quelques simplications, on aboutit nalement à la loi devrillage optimale :

φ =2

3tan−1 1

λrθ = φ− αopt (5.35)

où αopt est l'angle d'incidence optimale, qui donne (Cz/Cx)max.

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