01-Turbomachines aéro - Généralités

1

ESTACA 2ième Année du 2nd cycle - 2007

Conception des turbomachines aéronautiques

Turbines et compresseurs

Partie 1 : Notions de base

Clément DEJEU

ESTACA 4eme Année

2

ESTACA 4eme année Aéro - 2010


Plan partie 1: notions de base de turbomachines

Définition et exemples de turbomachines aéronautiques • Classification

• historique

Rappels de thermodynamique (premier et second principes) • Notion de pertes

Ecoulements isentropiques

Equations de la mécanique des fluides

Notion de rendement • Rendement isentropique

• Rendement polytropique

Similitude ; coefficients adimensionnels • Débit réduit

• Condition de blocage

Relation fondamentale des machines tournantes: théorème d’Euler

Ecoulement dans une grille fixe et dans une grille mobile • Coefficient de pertes

Ordre de grandeurs (turbine et compresseur)

3



Un turboréacteur est un système

complexe…constitué de plusieurs turbomachines

Turbine HP

Compresseur BP

Compresseur HP Fan

Turbine BP

4



Définition d’une turbomachine Ensemble mécanique comportant un axe de révolution avec une ou

plusieurs roues mobiles équipées d’aubes

Sous l’action de forces aérodynamiques, un échange d’énergie a lieu entre le fluide et le rotor mobile variation d’énergie (enthalpie totale)

Eléments incontournables dans le domaine de l’énergétique et de la propulsion

Nombreuses applications

• Propulsion aéronautique

• Turboréacteurs, turbopropulseurs, Propfans, etc (restriction de ce présent cours)

• Turbopompes de moteur fusée, …

• Propulsion marine: hélices de bateau, Turbine marine

• Transports automobile: Turbocompresseur de moteur Diesel

• Organes de moteurs de camions, voiture

• Applications énergétiques:

• Pompes, ventilateurs, réfrigération,…

• Génération électrique; turbine à gaz , usine marémotrice, éoliennes, hydroliennes

• Autres:

• Pompe de cœur artificiel, turbine de roulette de dentiste; …

5



Bref aperçu historique:

Aeolipile de Heron

Environ 100 Av JC

Turbine à gaz de Parsons (1923) 50000 kW rendement~30%; aujourd’hui 60%

Premiers Turboréacteurs

Whittle (GB) et Von Ohain (proto 1939)

6



Classifications principales des turbomachines

Machines réceptrices Machines motrices

Compresseurs (HP)

ventilateurs

Pompes

hélices

Turbines haute

pression

Turbines

hydrauliques

éoliennes

=cte

=cte

Fluides utilisés:

• Gaz: air, vapeur H2O, NH3, Ar, He, Fréon

• Liquides: H2O, liquides cryogéniques, sang, hydrocarbures

7



Classification des turbomachines d’après B. Lakshminarayana

« Consomme » de l’énergie « Produit » de l’énergie

Hélice

ventilateur

éolienne

Compresseurs – pompes - ventilateurs Turbine, moulin à vent

Compresseurs axiaux , mixtes et centrifuges turbines axiales , mixtes et centripètes

8



Quelques exemples…

Fan

CoBP =

Booster CoHP TuHP

TuBP

Turboréacteur Double corps HP/BP; double flux CFM56-7B

Taux de dilution ~6

OPR~25 à 30

9



Turboréacteur CFM56-7 (1996); Motorisation B737

Une conception modulaire…

10



Turbopropulseur: application aéronautique Source Lakshminarayana 1996

11



Pompe Haute pression –US Space Shuttle Source Lakshminarayana 1996

12



Turbo Pompe basse pression –US Space Shuttle (inducer) Source Lakshminarayana 1996

13



Turbine à gaz industrielle: machine axiale

Turbine hélicoptère: Co Centrifuges,

Tu axiale

14



Usine Marémotrice de la Rance (35)

Fonctionnement réversible:

• marée descendante : turbinage direct

• marée montante : turbinage inverse

• fonctionnement possible en pompe pour remplir le bassin de la Rance

Stator distributeur + roue mobile

Calage variable Débit max: 6 600 m3/s

Puissance totale installée: 240 Mw

Equivalent consommation: 223 000 hab

45% de la consommation bretonne !

15



Nature des écoulements rencontrés

Tri-dimensionnel et visqueux

• Sillages, couche limite

• Écoulements secondaires

Compressible et incompressible

• Gaz, vapeur eau

• Liquides (eau), fréon

instationnaire

• Rotation des aubages

• Sillages défilants, …

Subsonique, transsonique et supersonique

Intéraction fluide / structure*

• Aéroélasticité (vibration engendrées par l’écoulement fluide)

16



Ecoulement aérodynamique complexe: 3D instationnaire

17



L’étude des turbomachines est par nature pluridisciplinaire

Thèmes traités

pendant le cours:

Sujet trop

complexe pour

être couvert de

manière

exhaustive…

18



L’étude des Turbomachines est multidisciplinaire

Aérodynamique et hydraulique (écoulements)

Mécanique (durée de vie, résistance des pièces, vibrations,…)

Thermodynamique: étude des cycles

Transferts thermiques

Combustion dans les turbomachines thermiques (turboréacteur par ex)

Matériaux

Ecoulements diphasiques

Acoustique

Ingénieurie de production

Métrologie

Régulation et automatisme Un « challenge » pour le concepteur d’une nouvelle machine …

19



Fluide utilisé: air Fluide utilisé = air ou gaz brûlés résultant de la combustion d’un hydrocarbure (kérosène)

Gamme T : de –70°C à 2000°C

Gamme de P: de quelques Mbars à 40 bars

Air ou Gaz brulés assimilés à un « Gaz Parfait »

• Loi d’état:

P: Pression, T Température en K , r masse volumique (kg/m3)

r: ‘constante’ massique de l’air=Rgp/M

Rgp=constante universelle des Gaz Parfaits =8,314 J/mol/K

M: masse molaire du gaz pour l’air M~29g/mol r~287 J/kg/K

• Caractéristiques Capacités calorifiques Cp, Cv sont fonction de la température et du degré d’hygrométrie !!!

• Nécessité d’être précis dans les caractéristiques physiques utilisées

rTP

20



Cas des gaz parfaits

T

To

o

T

To

o

dTCphThh

dTCveTee

.)(

.)(Cv(T) : Capacité calorifique à volume constant e: énergie interne

Cp(T) : Capacité calorifique à pression constante en J.kg-1.k-1 h :

enthalpie

Relation de Mayer MRrcc vp /

M: Masse molaire du gaz

Pour l’air M~29g/mol r ~287 (SI)

r est fonction du gaz

R=8,314 J.mol-1.K-1: constante des gaz parfaits

v

p

c

cOn pose

1....

1

.

rcet

rc vp

Gaz calorifiquement parfait: = cte Cp et Cv indépendants de T

Compresseur =1,4

« air frais »

Turbine =1,3

« gaz brulés »

21



Premier Principe de la Thermodynamique Système matériel Sm: système délimité par une frontière fermée

Et: Energie totale= E + Ec + Ep

E: fonction d’état; ne dépend que de l’état 1 ou 2

Pour une transformation élémentaire Si Ep uniquement pesanteur (négligeable pour un gaz)

Convention: W>0 ou Q > 0 Energie reçue par le système

W<0 ou Q < 0 Energie cédée par le système à l’extérieur

dzgV

ddeQW )2

(2

1221EtEtQW

W: travail (hors pesanteur), Q: Chaleur

W, Q = fonction de la transformation 1->2

Comment se traduit le

premier principe en

système ouvert ?

22



Travail de transvasement: système ouvert

Bilan sur un système matériel entre t et t+dt:

: système matériel en t

: système matériel en t+dt

: masse entrant et sortant du système ouvert étudié entre t et t+dt

Travail nécessaire pour déplacer la masse entre l’entrée et la sortie (transvasement)

Pression P1

Pression P2

2211)( VPVPPVWtrans 1)( vavecPvdWtrans

Travail global Travail élémentaire par unité de masse

23



Premier Principe de la Thermodynamique:

système ouvert en régime permanent

Pour une transformation élémentaire Si Ep uniquement pesanteur

Wt représente le travail utile => fourni au fluide par un compresseur Wt>0

(travail sur l’arbre machine) => cédé par le fluide dans une turbine Wt<0

Système ouvert: débit massique m0

Enthalpie H (Joule)

Enthalpie massique h=H/m (J/kg)

h est une fonction d’état

PveP

eh

dzgV

ddhQWt )2

(2

Expression du Premier Principe dans une Turbomachine

v=1/ : volume massique (m3kg-1)

EpEchHt

HtHtQWt

EpEpEcEcHHQWt

1221

12121221

Wt : travail utile (arbre machine)

Q: Chaleur

= enthalpie totale

W transvasement

24



Deuxième Principe de la Thermodynamique:

eS: apport extérieur

iS : production d’entropie à l’intérieur du système telle que

• iS=0 pour une transformation réversible

• iS>0 pour une transformation irréversible (frottements par ex)

Avec f=T.iS: travail « non compensé »

Relations (e,s) et (h,s) sous forme massique

dh: travail T.dS : pertes dP/ : variation de pression (compression, détente)

• Traduit les pertes intervenant dans une transformation réelle cad irréversible

Exemple: mélange m1 à T1 + m2 à T2 (m1+m2) à Tf comprise entre T1 et T2

• On définit une fonction d’état ENTROPIE S telle que pour une transformation élémentaire

ENTROPIE S (Joule/K)

fQdST .

dPvdSTdh

dvPdSTde

.

..

Relation de Jouguet

SSdS ie

T

QSe

25



Synthèse premier principe et second principe en cycle ouvert

dzgdhdzgV

ddhQWt t )2

(2

Pour un gaz, on néglige la gravité

(FAUX pour une pompe hydraulique) tdhQWt Wt : travail utile

Q : chaleur échangée

fluide extérieur

>0 énergie du fluide < 0 énergie du fluide

(compression, chauffage) (détente, refroidissement)

Travail utile et travail de transvasement:

WdvdPWt

WdPdvW

PvdWWt

))((

vdPdhtTdS

WdQTdS

Relation de Jouguet

• W: travail total

• Wt: travail utile (cycle ouvert)

• Wd: dissipation, irréversibilités

• -d(Pv) : travail de transvasement

vdPWtideal

1v

26



Relations entropiques - Cas des gaz parfaits

dTcdPdSTdh

dTcPddSTde

p

v

./.

.)/1(.

Pour un gaz calorifiquement parfait e=Cv.T et h=Cp.T

Ecoulement isentropique

Cas du gaz calorifiquement parfait: Cp=cte et Cv=cte

cteP

cS v )ln(

On montre que dS=Cv(dP/P-.d /) d’où

P

dPr

T

dTcdS

dr

T

dTcdS

p

v

.

.

)ln()ln(.1

)ln()ln(.1

1

2

1

22

1

2

1

22

P

Pr

T

TcSS

rT

TcSS

p

v

0 SdS iT

Q

Transformation adiabatique +

réversible

Relation de Laplace

cteP

27



Diagramme de Mollier: exemple

Les isobares sont des exponentielles divergentes pour un gaz parfait

H: enthalpie travail

H=W’+Q

S: entropie pertes , qualité de la transformation

28




0 SdS iT

Q Toujours vérifiée si:

• q = 0 Ecoulement adiabatique

• iS = 0 Transformation réversible (pas de frottements, chocs, ..)

Ecoulement isentropique = écoulement de référence (idéal, sans pertes)

Valable dans un turboréacteur dans les zones éloignées des parois (extérieur de la couche limite)

Couche limite

Sillage

EQUATIONS DE BASE

• Conservation de la masse

• Conservation de la qdm

• Conservation de l’énergie

• Entropie constante 0

2

0

2

dScteS

ctev

h

vdvdP

ctevA

29




Définition du nombre de Mach: c

VM

Avec v=vitesse de l’écoulement

C= célérité locale du son

cteS

Pc

2 Pour un gaz parfait: P=A. d’où

Pour T=300K c=347 m/s

TrP

c

2

On démontre alors que:

V

dVM

d 2

A

dA

MV

dV21

1

Pour M <<1 d / ~0 écoulement incompressible

0V

dV

P

dPP et v varient en sens contraire

v ralentissement ou diffusion P compression

v accélération P détente

ctegzVP

2

2

Cf Bernoulli : incompressible

Célérité du son calculée avec la

température STATIQUE

30



Ecoulements isentropiques: relations pour un gaz parfait

Définition des grandeurs totales

V

P, , T

V=0

Pt, t , Tt

Conditions statiques

(P= r T)

Conditions totales ou d’arrêt

(v=0 prise en compte de l’énergie cinétique du fluide)

S=cte

Tube de Pitot

P,T V 0

V = 0

Pt, Tt

Cp

VTsTt

VHHt

2

²

2

1 2

P1, T1, 1

P2, T2, 2

S=cte

Si M<<1 DL

Incompressible

Pt=Ps+1/2 V²

²2

11

²

2

11 M

rTs

v

Ts

Tt

T

dTd

T

dT

P

dP

1

1

1

1

2

2

11

M

P

P

s

t

1

1

2

2

11

M

s

t

1

1

2

1

2

T

T

P

P

1

1

1

2

1

2

T

T

31



Rappels de mécanique des fluides : les bilans

K: force de volume = gravité t= forces de surface (Pression + viscosité)

Équation de Navier Stokes (Fluide Newtonien)

Utile en

turbomachines

32



Conservation de la masse (équation de continuité)

Soit :

En écoulement permanent, le débit massique se conserve entre 2 sections.

On écrit : cteSVm .. Débit massique en (kg.s-1)

0

vdiv

t

Pour un régime permanent on a : 0

tPour un écoulement unidimensionnel on a :

0

0

21

SS

S

SdvSdv

Sdvfermée

222111 SvSv

33



Loi fondamentale de la dynamique: équations de Navier-Stokes

divgpgraddt

vd

j

ij

i

i

i

xg

x

p

dt

dv

Composante i :

Autre forme : forme conservative

mmmm Vj

jii

Ajji

V

i

Vi dV

x

vv

t

vdAnvvdV

t

vdVv

dt

d

Soit :

divgpgradvvdivt

v

xg

x

p

x

vv

t

v

j

ij

i

ij

jii

Forme vectorielle

34



Transformation thermodynamique dans les turbomachines

Hypothèse; Ecoulement adiabatique (faible surface d’échange vs débit s’écoulant)

Cas idéal : sans pertes = isentropique

Cas réel: adiabatique , irréversible

Premier Principe en cycle ouvert

)0....()2

²('

)2

(2

Qhv

hW

gzv

hdQW

t

Travail sur l’arbre = variation

d’enthalpie totale entre la sortie et l’entrée machine

Si Ep pesanteur négligeable

)1()('1

211212

Tt

TtTtCTtTtCHHW pptt

)1(1'

1

1

1

1

21

TtCPt

PtTtCW pp

• = Pt2/Pt1 : taux de compression ou de détente

• COMPRESSION: >1 Tt2>Tt1 W’>0

• DETENTE: <1 Tt2<Tt1 W’<0

Importance de la température d’entrée:

Minimiser Tt1 pour un compresseur et maximiser Tt1 pour une turbine

35



Application 1: travail dans un turbomachine parfaite

Soit un compresseur et une turbine avec

• =1,4 ; Cp=1005 J/kg/K

• Température totale en entrée: Tt1=27°C

• Pour le compresseur: Pt1 (entrée)=1 bar , Pt2(sortie)=6 bars

• Pour la turbine Pt1 (entrée)=6 bars ; Pt2(sortie)=1 bar

• Calculer le travail isentrope fourni au gaz par le compresseur et fourni

par le gaz à la turbine

• Comparer et commenter

• quelle devrait être la température en entrée turbine pour obtenir le

même travail ?

36



Application 1: travail dans un turbomachine parfaite

)1(1'

1

1

1

1

21

TtCPt

PtTtCW pp

• AN Compresseur:

Pt1= 1 bar ; Pt2=6 bars =6 (taux de compression)

W’c=1005*300*(6^(0.4/1.4)-1)=201556 j/kg; Tt2=500,5K=227,5°C

• AN Turbine

Pt1= 6 bar ; Pt2=1 bars =1/6 (taux de détente)

W’t=1005*300*((1/6)^(0.4/1.4)-1)=-120800 j/kg; Tt2=180K=-93,2°C

• Donc |W’t| < W’c

• Pour que |W’t| = W’c , il faudrait que Tt1=227,5°C

S

H

Pt=1bar

Pt=6bars

W’

c

W’t

Pour un rapport de pression donné, le travail échangé dépend du

niveau de température auquel il est échangé

37



Notion de rendement isentropique

S>0

S

H Pt1

P1

P2

Pt2

V2²/2

V1²/2 Wt Wt

is

1

2is

2

is

ispisis

p

WtWt

TtTtCHtHtWt

TtTtCHtHtWt

)(

0)(

1212

1212

)(21

21 cteCpTtTt

TtTt

Wt

Wt

isis

is

TURBINE COMPRESSEUR

S>0

S

H

Pt1 P1

P2

Pt2

V1²/2

V2²/2

Wc Wc is

1

2is

2

is

ispisis

p

WcWc

TtTtCHtHtWc

TtTtCHtHtWc

)(

0)(

1212

1212

)(12

12 cteCpTtTt

TtTt

Wc

Wc isisis

Irréversibilités: frottements Tt2 > Tt2is

38



Problème du rendement isentropique

Hypothèse:

is i = ai/bi =const

Pour tous les

étages identiques

is t

t

turbine

compresseur

Cause: divergence des isobares Rendement isentropique dépend du

rapport de compression !

39



Rendement polytropique

• Ecoulement isentropique:

• Transformation réelle : assimilée à un processus polytropique:

dPvdp

TdSdh

vctePvP

i

0

/1,

ctenctePvn

,

H

S

i

(i+1)is i+1

Rendement de la transformation élémentaire (i i+1)

• détente:

• Compression:

tt

t

isii

iipt

dPv

dh

htht

htht

)1(

1

t

tt

ii

iisi

pcdh

dPv

htht

htht

)1(

)1(

Travail réel:

Travail isentropique:

Travail polytropique:

11

1)(

1)(

1

1

21

2

1

1

1

2112

1

1

2112

nn

pol

pispis

nn

pp

Pt

PtTt

n

nrvdPW

Pt

PtTtcTtTtcW

Pt

PtTtcTtTtcW

1

1

2

1

2

T

T

P

P is

n : exposant polytropique supposé constant tout au long de la transformation

40



Rendement polytropique TURBINE COMPRESSEUR

p

p

is

isWt

Wt

Wt

Wt

p

pis

isWc

Wc

Wc

Wc

On peut démontrer les relations suivantes

pn

n

11

pn

n

111

1

1

1

1

21

1

1

21

Pt

PtTtcW

Pt

PtTtcW

pis

nn

p

)1()1(

)1(

1

)1(

1

TtcTtc

WtWt

pisp

isis

p

pis

p

1

11

)1(

)1()1(

1

1

1

1

pTtcTtc

WcWc

pisp

isis

pis

p

1

11

1

p

T

T

P

P

)1(

1

2

1

2

1

1

2

1

2

p

T

T

P

P

1

1

2

1

2

T

T

P

P is

1

1

2

1

2

n

n

T

T

P

P

41



Comparaison Rendements isentropique / polytropique

Compresseur Turbine

• Pour une turbine: Les pertes par frottements engendrent un échauffement qui a tendance à améliorer le travail réel is = pol*(1+f) > pol : effet bénéfique

• Pour un compresseur: Les pertes par frottements engendrent un échauffement qui a tendance à dégrader le travail réel is = pol/(1+f) < pol : effet défavorable

Le rendement polytropique caractérise mieux le fonctionnement aérodynamique

42



Exercice application 2 : is / pol

On considère un compresseur tri-étages pour lequel chaque étage a

un taux de compression et un rendement isentropique connu.

On demande de compléter le tableau suivant :

Taux de compression Eta is Eta pol

Etage 1 1.6 0.87

Etage 2 1.4 0.89

Etage 3 1.3 0.9

Global

= 1.4

43



Exercice application 2 : is / pol

gl = 1.6 * 1.4 * 1.3 = 2.91

is 1 = ( Tt2is - Tt1 ) / ( Tt2 - Tt1 ) = ( 1 (-1)/

- 1 ) / ( Tt2/Tt1 - 1 )

d ’où Tt2 / Tt1 = ( 1 (-1)/

- 1 ) / is 1 + 1 = 1.1652 et pol 1 = ( - 1) / Log 1 / Log(Tt2/Tt1) = 0.878

Tt3 / Tt2 = ( 2 (-1)/

- 1 ) / is 2 + 1 = 1.1134 et pol 2 = ( - 1) / Log 2 / Log(Tt3/Tt2) = 0.895

Tt4 / Tt3 = ( 3

(-1)/ - 1 ) / is 3 + 1 = 1.0865 et pol 3 = ( - 1) / Log 3 / Log(Tt4/Tt3) = 0.904

Tt4 / Tt1 = 1.1652 * 1.1134 * 1.0865 = 1.4096

d ’où is gl = ( gl (-1)/

- 1 ) / ( Tt4/Tt1 - 1 ) = 0.871

pol gl = ( - 1) / Log gl / Log(Tt4/Tt1) = 0.889

1

1

2

1

2

p

T

T

P

P

44



Similitude: coefficients adimensionnels

INTERET:

essais avec conditions de fonctionnement différentes

changement de fluide

changement (P,T) entrée

variation des conditions d’entrée en fonction de l’altitude et du Mach de vol (turboréacteur)

essai sur maquette

ANALYSE DIMENSIONNELLE: théorème ou de Vaschy-Buckingham

Soit un phénomène décrit par n-1 grandeurs physiques : i: n =f(1, 2,…., n-1) et

p le nombre de grandeurs dimensionnellement indépendantes : nombre d’unités

Alors il existe une relation entre (n-p) grandeurs sans dimension j, telle que:

0),....,,( 21 pnh n-p-1 groupements indépendants

Exemple:

pour une turbomachine : 8 grandeurs physiques => Diam, w ou N, m, P1, T1, m, R, Cp

pour un fluide compressible : 4 unités suffisent à décrire l’écoulement => m, kg, s, K.

n=9 & p=4 n-p-1=4 groupements adimensionnels à trouver

•

45




DEMARCHE

On choisit 4 paramètres de base employant les p=4 dimensions du problème

par exemple: D (diamètre), .P1, .r.T1 , Cp

On cherche les groupements adimensionnels sous la forme

Avec Mi : coeff adimensionnel et Qi : grandeur physique à adimensionner

On obtient:

Finalement, on choisit :

2= débit réduit

3= vitesse de rotation réduite

4= nombre de Reynolds (influence faible sur les performances)

D’où

4321 )()( 11

pii crTPDQM

1

1

4

1

3

1

1

21 ;;²

;1

PD

rTM

rT

NDM

DP

rTmMM

m

m

²;;

²; 1

4

1

3

1

1

21

ND

rT

ND

DP

rTm

),²

,(11

1

1

2

1

2

rT

ND

DP

rTmfunesontou

T

Tou

P

P

46




Interprétation physique:

u

axial

MrT

U

rT

ND

MfDP

Tm

DP

rTm

11

1

1

1

1

~

)(²

~²

Débit réduit représentatif du nombre de Mach axial

Mach associé à la vitesse périphérique U

Si on travaille avec le même fluide et avec la même machine (iso D), on simplifie les coefficients ci-dessus:

NrT

N

rT

ND

DrP

Tm

DP

rTm

11

1

1

1

1

²

Débit réduit

Régime réduit

Paramètres dimensionnels

Pour se ramener aux unités usuelles, on introduit les grandeurs standards:

min)/(

).(

01

1

01

01

trN

TT

NN

skgm

PP

TTmD

std

std

Avec To=288,15 K et Po=101325 Pa

=Ttentrée/To et =Ptentrée/Po

47




Machines hydrauliques (fluide incompressible) : coefficients de Rateau

Débit:

Coefficient manométrique:

Coefficient de puissance:

Nombre de tours spécifiques: 43

21

53

3

)(

²²

m

vs

m

v

Hg

QNN

DN

P

DN

gH

ND

Q

m

Qv: débit volumique (m3/s)

N : régime ou vitesse de rotation (tr/s)

Hm: hauteur d’eau

g.Hm=travail massique (J/kg)

P: Puissance machine en Watt

Hélices ou éoliennes:

Avancement:

Coefficient de traction:

Coefficient de puissance: 53

4²

DN

PC

DN

TC

ND

VJ

P

T

V N: tr/s

48



TA

UX

DE

CO

MP

RE

SS

ION

Maxi montée

DEBIT REDUIT

105 %

95 %

T / O

Croisière

sol vol

Similitude: exemple du champ compresseur (Fan)

Pts/Pte taux de

compression

101325/)(

15,288)(

PaPt

KTtDDr

e

e

NrT

N

te

15.288/

Lignes iso régimes

100%=Nn régime

point de dessin

(ADP)

49



Aérodynamique monodimensionnelle: débit réduit

Ps, Ts, s, V

Pt, Tt, t,

V=0

S=cte

Conditions statiques

Conditions d’arrêt ou totales

²2

11

²2

11

1

MT

T

MPs

Pt

s

t

²2

11

²2

11

1

MT

T

MPt

Ps

t

s

ts Tr

VM

Tr

VM

;Nombre de Mach

Nombre de Mach total

A

V Ps,Ts,

Pt,Tt

DEBIT REDUIT SPECIFIQUE

s

s

rT

P

VAD

)1(2

)1(

spec ²2

11

MM

rAP

TDD

t

t

r

)1(2

1

spec

²2

11)(

)(

MMMM

MMr

D

D

Dr

Unité: Dr spec s’exprime en m-1.s.K 1/2

50



Débit réduit

)1(2

)1(

spec ²2

11

MM

rAP

TDD

t

t

r

Dr

M

0,0404 pour

(=1,4 et r=287)

1

t

tr

T

APDD

Débit massique (kg/s)

Dr est maximum pour M=1

• Dr s’exprime à partir des grandeurs totales Pt et Tt

• Fixer Dr revient à choisir le nombre de Mach (2 solutions M>1 ou M<1)

ou à choisir une section si Pt, Tt et D sont fixés

• Pour Pt et Tt fixés, le débit massique s’exprime par

Le débit massique est donc maximum (pour une section A et des conditions génératrices données) lorsque Dr est maximum , c’est-à-dire pour M=1.

La section A est alors qualifiée de bloquée ou critique (choked en anglais)

t

tD

t

tr

T

APMM

rT

APDD ).(

51



Dréduit fct Mach

0,00

0,01

0,02

0,03

0,04

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5

Mach

Dr Dr 1,4

Dr 1,33

)1(2

1

2

2

11**

cos*

*

MM

raAP

TDDr

52



Conditions critiques ou de blocage: M=1 ; A=A*=Ac

Ae

V Pt,Tt

As

Les conditions critiques sont atteintes lorsque le nombre de Mach atteint la valeur 1 dans la section minimale appelée « col » (throat en anglais)

Exemple du convergent:

Le débit massique va augmenter lorsque la pression statique diminue tant que les conditions statiques ne sont pas atteintes en sortie

Conditions critiques: M=1 en As As=A*ou Ac )4,1(893,1

2

1²

2

11

11

1

MMPs

Pt

D

Ps/Pt 0,528=1/1.893 1

Débit bloqué pour Ps < 0,528Pt

Conservation du débit massique entre (A,M) et (A*,M=1)

)1(2

1

2

*

)1(2

1

)1(2

1

1

2)

2

11(

1*

2

1²

2

11

M

MA

A

T

AP

rT

APMM

rt

t

t

t

53




)()1(1

11

1

1

2)

2

11(

1 )1(2

1

2)1(2

1

2

*MM

MM

MA

A

A,M

col

A=A*si M=1


A Ae, Me

Pt,Tt

As; Pt,Tt

Ae/A*=f(Me)

A/A*

M

M=1=> A=A*

1 M1 M2

Si A*<As la section col n’est pas critique

si A*>=As la section col est critique débit bloqué

Nécessité de définir une section minimale pour « passer » le débit

54




• effet d’augmentation du Mach d’entrée: Me1 < Me2 < 1

A* augmente risque de blocage lorsque

• effet d’augmentation Aentrée: Ae2 > Ae1 avec Me1 = Me2 condition 1 non critique


A Ae, Me

Pt,Tt

As; Pt,Tt

Ae/A*=f(Me) fonction décroissante du mach pour M<1

*

1

*

21*

1

2*

2

)()( AAMA

AM

A

Ae

ee

e

s

eee

A

A

A

AM

*2 )(

*

1

1

2*

1

*

2*

1

1

*

2

2 )( AA

AAAM

A

A

A

A

e

ee

ee A* augmente risque de blocage lorsque

s

ee

A

AM 2)(

55



Fonction ( M)= A/A* A/A* fct du Mach

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5

Mach

A/A

* A/A* 1,4

A/A* 1,33

)1(2

1

2

*)1(*

1

11*

1

M

MA

A

)1(2

1

2

*)

2

11(*

1

2*

1

M

MA

A

56



Exercice Application 3: réglage d’un moteur au banc d’essai

• on considère un moteur militaire type M88.

• Pour assurer la poussée maxi au décollage point fixe M=0 / z=0, le cycle thermodynamique fixe une valeur en entrée de Wr=65 kg/s pour un régime nominal Nn=12 325 tr/min (du compresseur BP)

• Calculer la surface frontale en entrée moteur avec une hypothèse de Mach axial entrée moteur de M1=0,4 puis M2=0,6

• Calculer le régime de rotation mécanique à assurer sur le compresseur BP pour un essai par jour chaud 20°C (en Mai) et par jour froid –5°C en janvier (à Villaroche !)

• quels sont les problèmes pouvant intervenir liés à ces différences ?

Wr

(kg/s)

Ligne de

fonctionnement :

équilibre compresseur

/turbine

Iso vitesse Nn: 12325 rpm 0,9Nn 0,8Nn

Z=0 /Mn=0

65 kg/s

57



Exercice Application 3: réglage d’un moteur au banc d’essai

Dspécifique fct Mach

0,00

50,00

100,00

150,00

200,00

250,00

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1

Mach

Wr/

A

gamma 1,4

Tref

efMM

rAefP

TrefTW

A

WrDspec

Pr*

2

11**

*)Pr/(

/* )1(2

1

2

Le débit spécifique = débit réduit / surface est

uniquement une fonction du Mach entrée moteur

A

Ps, Ts

atmos

M=0

Me

Mach entrée Co BP=Me

M1=0,4 Dspec=150 kg/s/m²

M1=0,6 Dspec=200 kg/s/m²

58



Exercice Application 3: réglage d’un moteur au banc d’essai • Surface frontale entrée moteur:

• S=Wr/Dspec ; Wr=65 kg/s

• Me1=0,4 Dspec=150 kg/s/m² S=65/150=0,43m² F1=0,743 m

• Me2=0,6 Dspec=200 kg/s/m² S=65/200=0,325m² F2=0,643 m

• Le passage de Me2 à Me1 augmente le diamètre moteur de 10 cm augmentation de la masse moteur + encombrement pour intégration à la cellule avion on privilégie les forts débits spécifique Me~0,6 à 0,65

• Régime jour:

• calcul de Tte:

• Ici Tte= Ts atmos = T génératrice (M=0)

• Ts1=20°C=293K N=Nn*Racine(Tte/288,15)=12428 rpm

• Ts2=-5°C=268K N=Nn*Racine(Tte/288,15)=11886 rpm (écart de 542 tr/min !)

• si on prend Nr pour N Nn1=0,99 Nn et Nn2=1,04Nn (essai en survitesse !)

KTtrN

TT

NNstd 15,288min);/( 0

01

Régime réduit avec T1=Tt entrée moteur

N : régime mécanique moteur

Nn=12325 rpm

TsMTt *²)2

11(

Attention aux régimes

mécaniques interdits

59



Exercice Application 4: adaptation entrée air

L’air s’adapte via le tube de courant et la

nacelle aux conditions de débits imposées

par le fan le nombre de Mach en entrée

moteur est fixé par le diamètre fan , le

régime de rotation et bien entendu le

dessin des aubages

Notion de loi débit / régime Pertes par chocs

60



Exercice application 4: adaptation entrée air

• on considère un moteur militaire type M88 pour 2 cas de vol:

• Mn=0 ; z=0

• Mn=1,2 ; z=0 pénétration Basse altitude

• pour un même point de fonctionnement dans le champ, caractérisé par un même débit réduit Wr=65 kg/s (même point sur la ligne de fonctionnement)

• Calculer les conditions totales en entrée moteur dans les 2 cas de fonctionnement en faisant l’hypothèse de pertes de charge manche de 95% pour le vol supersonique

• Calculer le débit massique ingéré par le moteur pour les 2 points de vol

61



Exercice Application 4: adaptation entrée air

• les conditions atmosphériques sont les conditions statiques de l’écoulement

• z=0 ISA modèle atmosphère: Ts=288,15 K ; Ps=101325 Pa

• Les conditions totales amont manche sont calculées par les formules isentropiques

• Pt=f(Ps,M) et Tt=f(Ps,M)

• Pour M=0 Tt=Ts=288,15 K et Pt=Ps=101325 Pa

• Pour M=1,2 Tt=371 K et Pt=2,457 bars

• En entrée compresseur, il faut prendre en compte les pertes de manche

• Pour M=1,2 Tt inchangée et Pt=2,457*0,95=2,334 bars

• A même régime réduit, la loi débit régime de la machine donne le même débit réduit (sur la ligne de fonctionnement) Wr=65 kg/s

• débit massique M=0 W=65 kg/s

• débit massique M=1,2 W=131,95 kg/s débit multiplié par 2 vs conditions sol

TsMTt *²)2

11(

)/(

)/(

ToT

PoPWW

t

tr

62



Exercice application 5: dimensionnement d’un distributeur bloqué

• Pour une turbine, dans les cas de fortes puissances (plein gaz), la section de sortie du distributeur haute pression est dimensionnée pour être bloquée (cad M=1)

• On contrôle ainsi le débit réduit dans la section d’entrée turbine HP, d’où le nom de « vane » en anglais pour qualifier les stators.

• on suppose connues les conditions de sortie de la chambre de combustion

• Pt40= 30 bars, Tt40=1500 K, =1,3 (gaz brûlés)

•Calculer la section de col du distributeur (plan 41) sachant que

• le débit massique est de 60 kg/s

• on néglige les pertes dans le distributeur , ( quel serait l’effet des pertes ?)

Plan 40 sortie chambre

Plan 41 sortie distributeur

Col sonique

v41 2

63



Exercice application 5: dimensionnement d’un distributeur bloqué

• On néglige les pertes dans le distributeur donc Pt=cte

• Au col, on a donc :

• Pt41=Pt40=30 bars

• Tt41=Tt40= 1500 K

• La section col peut être déduite avec la relation du débit réduit en fonction du Mach

• M=1 et =1,3 Dr spec=0,0394

• nécessité d’une grande précision dans la fabrication !

• en cas de pertes, Ptcol < Pt40 il faut augmenter la section col sinon le débit sera bloqué à une valeur < 60 kg/s

)1(2

)1(

spec ²2

11

MM

rAP

TDD

t

t

r

spec rt

t

DP

TDA

²01966,00394.0300000

1500.60mAcol

64



Relation fondamentale des machines tournantes

f

divgpgradv

gradvvrott

v

2

2

Rappel : équation de Navier-Stokes

Hypothèses : - écoulement stationnaire - force de gravité négligeable

On multiplie chaque membre par déplacement élémentaire sur une ligne de courant dtvMd

f

ff

dpdv

MddpMdpgraddv

Mdv

grad

2

,,22

2

22

Travail massique des forces de viscosité

0f

f

Forces de viscosité par unité de volume

65




fqTds

dpTdsdh

Relation de Gibbs

Ici travail massique des forces de viscosité

Relation de Jouguet avec travail des irréversibilités

0f

qv

hddH

qdhqTdsdpdv

f f

2

2

2

2

Premier principe de la

thermodynamique:

équation de l’énergie

66




Dans les aubages fixes: pas d’apport de travail donc

cteTtctev

hHtdH 2

02 L’enthalpie totale se conserve sur une ligne de courant même en

présence de frottements (viscosité comptabilisée dans dh=TdS+dP/

Relations mécaniques dans un repère tournant

Z: axe moteur U

Ur

U U: vitesse d’entraînement

r

z

urMO

Urotu

urU

2;w

w

Loi de composition des vitesses

UWV

W

r

WgradWWrot

c

e

r

2

²

2

²

w

W

U

V

cera

Absolue=Relative+Entraînement

Accélération Absolue =Relative+Entraînement+Coriolis

Z: axe moteur

b : angle W % axe moteur

: angle V % axe moteur

67



EQUATION DE LA DYNAMIQUE DANS LE REPERE TOURNANT

L’équation de la dynamique en repère tournant s’écrit :

ww

fpgradWr

Dt

WD 22

Accélération relative

Accélération centripète

Accélération de Coriolis

Forces massiques dues à la viscosité

z

x

y y1

x1

w t

rU w w

r

f

a

pgrad

Equation de la dynamique en repère fixe :

)2

(2W

gradWWrott

W

Dt

WD

68



Equation de l’énergie en repère tournant

On obtient l’équation de l’énergie en multipliant l’équation de la dynamique par

pour faire apparaître des puissances

I = Rothalpie

W

fWDt

DST

t

pUWh

Dt

D

.

11)

22(

22

Dt

Dest la dérivée particulaire obtenue lorsque l’on suit une particule sur sa trajectoire

h : enthalpie statique

S : entropie

22

22 UWhI

pgradsgradThgrad

dpTdsdh

En utilisant

On obtient

fSgradTWVrotUW

hgradt

W

1)

22(

22

Équation de Crocco

généralisée

En écoulement stationnaire,

+ relation entropique f

ff

qTdS

W

qUW

hddI )22

(22

69




Pour un aubage fixe: ctec

VTTtcte

vhHt

p

22

22

L’enthalpie totale se conserve sur une ligne de courant

• La température totale se conserve

• Pas de travail échangé dans l’aubage: W’=Ht=0

• Pertes dégradation de la pression totale: Pt diminue

Pour un aubage mobile: cteU

TtcIcteUW

hI r

p 222

222La rothalpie I se

conserve sur une ligne de courant

• La température totale relative ne se conserve pas

• Travail échangé dans l’aubage: W’=Ht0

• Pertes dégradation de la pression totale relative: Pt diminue

Pour un écoulement isentropique

UdUWdWdP

dh

Pour comprimer:

• diminuer W effet axial: déviation de l’écoulement

• augmenter U effet centrifuge ou radial

70



Relation fondamentale des machines tournantes: Théorème d’Euler

Travail dans une roue mobile

2

²VhHt

HtW

Composition des vitesses:

ntentrainemerelativeabs

UWV

Conservation de la rothalpie 0)

222(

0)22

(

222

22

UWVHtd

UWhddI

W

U=r.w

U

V

UVUVW

2²²²

Finalement ).(.).( uu VrVUHt w

THEOREME D’EULER

Vu

Démonstration directe possible par le théorème du moment angulaire: r.Vu=r.V : moment cinétique du fluide

71



Théorème d’Euler: transfert d’énergie

Dans le compresseur et la turbine, l’énergie est transférée par la roue tournante. C’est pourquoi

l’application de la conservation de la quantité de mouvement angulaire permet de déterminer le travail

spécifique W transmis (compresseur) ou récupéré (turbine) par la roue.

Quantité de mouvement angulaire dLe d’un élément de masse dm à l’entrée:

Quantité de mouvement angulaire dLs d’un élément de masse dm à la sortie:

Principe de la conservation de la quantité de moment angulaire:

Avec le débit masse m et M le moment sur l’arbre de la machine

Puissance de l’étage (W ou J/s)

Travail spécifique de l’étage ( J/Kg)

ee VrdmdLe

ss VrdmdLs

)( eess VrVrmM

)( eess VrVrmMP www

).(

)(/

VUW

VUVUmPHW eesst

72



Relation fondamentale des machines tournantes: Théorème d’Euler

Travail dans une roue mobile

2

²VhHt

HtW

Composition des vitesses:

ntentrainemerelativeabs

UWV

Conservation de la rothalpie

0)222

(

0)22

(

222

22

UWVHtd

UWhddI

).(.).( uu VrVUHt wTHEOREME D’EULER

Vu1

W1

W2

U

U

U V1

V2

Vu2

b1

Signe de b relié à U !

Ici b1>0 et b2 <0

Exemple : Aube de turbine

Vu1 > 0 ; Vu2 <0 vu < 0

)222

( 222 UWV

Ht

Pour récupérer du travail sur l’arbre (Wt fluide <0), il faut:

• diminuer V (vitesse absolue) Perte Ec fluide

• augmenter W (vitesse relative) détente dans le repère

mobile

• diminuer U effet centrifuge / centripète

73



Aérodynamique grilles fixes

220

2

22

2

11

vh

vhHt

Cas V2<V1: compression

h2 > h1 T2 >T1 et P2 > P1

Cas V2>V1: détente

h2 < h1 T2 <T1 et P2 < P1

• Vitesse absolue se rapproche de l’axe: REDRESSEUR

• A2>A1 : diffuseur V2 < V1

• Vitesse absolue s’éloigne de l’axe: DISTRIBUTEUR

• A2<A1 : tuyère V2 > V1

A1

A2

V1

V2

V1 V2 Vz1 ~

Vz2

Conservation du débit:

1212

21

222111

~; PtPtPtPt

TtTt

dsVdsVm zz

A1

A2

V1

V2

V1

V2 s

Variation de hauteur de veine d pour conserver Vz ~cte

Echange h V²

d

74



Aérodynamique grilles fixes: Pertes

S

H Pt1 Pt2

P2 P1

V2²/2 V1²/2 1

2is 2

S>0

Tt2=Tt1

Ts2

Ts1

Tt2is

V2is²/2

12

2

2

2

21

212

isis V

V

hH

hH

On définit:

Exemple: cas du distributeur turbine

H: totale

h: statique

Perte d’énergie cinétique en sortie par frottements

12

2 isV

V

Pour les turbines , on utilise plutôt un coefficient de pertes défini par (1-²)

² est un rendement isentropique

(total statique)

Autres définitions:

11

211

PsPt

PtPt

En incompressible

2

1

211

2/1 V

PtPt

1

2

1

21 1Pt

Pt

Pt

PtPt

)(ln);(ln 21

1

22

2

2 TtTtPt

PtrScteP

T

TcS

is

p

75



Aérodynamique grille mobile de compresseur axial

uu VUVUHt .).(Effet axial seul : U=cte (r1=r2)

COMPRESSION: Ht >0 Vu2 > Vu1

W1

W2

U

U

U

V1

V2

Vu1

Vu2

b1

Vu

W

V

U b

• W se rapproche de l’axe

• W2 < W1 ralentissement

• V2 > V1: Ec W’ > 0

• bb2b1 : déviation du fluide

• Vz ~cte réglé par la convergence de veine

1.Vz1.d1=2.Vz2.d2)

2222

2

2

2

22

2

1

2

1121

UWh

UWhII rothalpie r

t

r

t

r

t TTcteW

hHUU 21

2

212

22)

2()

2(

2

1

2

2

2

2

2

1

2

11

2

2212

VVWWVh

VhHH

H total > h statique

> 0 > 0

76



Aérodynamique grille mobile de turbine axiale

uu VUVUHt .).(Effet axial seul : U=cte (r1=r2)

DETENTE: Ht <0 Vu2 < Vu1

Vu

W

V

U b0

0

• W s’éloigne de l’axe

• W2 > W1 accélération

• V2 < V1: Ec W’ < 0

• bb2b1 : déviation du fluide importante ~60 à 80° car b2<0 et b1>0

• Vz ~cte réglé par la divergence de veine

1.Vz1.h1=2.Vz2.h2)

2222

2

2

2

22

2

1

2

1121

UWh

UWhII rothalpie r

t

r

t

r

t TTcteW

hHUU 21

2

212

22)

2()

2(

2

1

2

2

2

2

2

1

2

11

2

2212

VVWWVh

VhHH

Forte variation d’enthalpie

totale

Vu1

W1

W2

U

U

U V1

V2

Vu2

b1

Signe de b relié à U !

Ici b1>0 et b2 <0

< 0 < 0

77



Aérodynamique grilles mobiles: Pertes

S

H

Ptr2is

Ptr2

P2 P1

W2²/2

W1²/2

1

2is 2

S>0

Ttr2=Ttr2is

Ts2

Ts1

Tt2is

W2is²/2

I rothalpie = cte Exemple: cas d’une roue de turbine

h: statique

Si U1U2 Tt1r Tt2

r

La pression totale relative est définie par

Attention:

11

221

11

211 ....

PsPt

PtPtmais

PsPt

PtPtr

rr

is

r

rr

Ptr et Ttr : conditions totales relatives

r

is

r

r

is

rr

is

Pt

Pt

Pt

PtPt

2

2

2

22 1

Ptr1 Ttr1

22

22222

22

2

11

2

2

2

22

2

1

2

11

UTtc

UTtc

UWh

UWh

r

p

r

p

1

s

r

s

r

T

Tt

P

Pt

Autres définitions:

1²

2

2

2

isW

W

Car Tt1r Tt2

r

)(ln);(ln 22

2

22

2

2 rr

isr

is

r

is

p TtTtPt

PtrScteP

T

TcS

78



Allure de la vitesse sur les profils

Forte décélération sur l’extrados:

• risque de décollement de la couche limite sur l’extrados

• On choisit Wmax/W2 2

• Déviation maximum: b ~ 40°

décélération sur l’extrados locale près du bord de fuite:

• On choisit Wmax/W2 1,4

• grande déviation possible (couche limite plutôt accélérée)

b 110° (roue)

b ~ 95° (stator)

79



Allure de la pression sur les profils

Sur [AB] gradient de pression adverse risque de décollement de la couche limite extrados

• obstruction du canal

• risque de pompage !

• limitation du travail par étage à

H comp ~60 kJ/kg

Gradient de Ps adverse proche BF

• Ps= Pintrados – Pextrados important

force sur l’aubage responsable du travail importante

H turbine ~300 kJ/kg par étage

F

80



Ordres de grandeur

COMPRESSEUR:

ralentissement limité: W2/W1 ou V2/V1 > 0,6

déviation limitée = f(Mach)

M <1 b ou max =45° à 50°

0,9 < M < 1,1 b rotor < 15° ou max < 25°

M=1,4 b rotor < 4° à 8°

M=1,5 b rotor < 2° à 4°

exemple du fan:

en tête M~1,5 b~2 à 3

en pied M~0,4 b~40

M

50°

25°

0,9 1,5

Fort vrillage de la pale entre pied et

tête

81



Ordres de grandeur

TURBINE:

pas de ralentissement conditions favorables

déviation importante

< 95° distributeur

b < 110° roue

Mach Mw1 < 0,6 à 0,7 pour limiter les pertes

travail important W=H=Cp(Tt2-Tt1)=U Vu

Vu1 et Vu2 peuvent être de signes contraires

Un étage de turbine peut entraîner plusieurs étages de compresseur

U

W1

W2

W1

U

V1

V2 W2

Vu1 >>0 Vu2 < 0

1

1

12

.50

.300

.

kgkJH

kgkJH

VuVuUH

comp

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01-Turbomachines aéro - Généralités