01 (1) 電信方程式pe.gxk.jp/wp-content/uploads/2016/06/transmissionline.pdfD RG , E Z LC, Z0 vpは位相速度 01．伝送線路（一般論）倉西技術士事務所伝送

伝送 01０１．伝送線路（一般論）

(1) 電信方程式

伝送線路の単位長あたりの一次定数を抵抗分…Ｒ [Ω/m]コンダクタンス分…Ｇ [Ω/m]インダクタンス分…Ｌ [Ｈ/m]容量分…Ｃ [Ｆ/m]

と置いて、位置x、時間ｔに対する、微小長さ部分dxについての回路方程式を立てる。

位置xでの電流と電圧を各々I, Vとし、位置x+dxでのそれをI+dI, V+dVとする。

t

txVCtxGV

x

I

t

txILtxRI

x

V

),(),(,

),(),(

]m[)})({( 1 jCjGLjR

上記を電信方程式と呼び、これを解くのに、以下のパラメータ（二次定数）を導入する

γ伝搬定数、αを減衰定数、βを位相定数と呼ぶ。これらはさらに、

倉西技術士事務所

伝送 02

(2) 定数の計算

]rad/m[)())((

]nepa/m[)())((

LCRGCGLR

LCRGCGLR

2222222

2222222

2

1

2

1

と書ける。一方。特性インピーダンスＺ０は、

222

2

222

222

0

222

2

222

222

0

4222

222

000

0

0

2

1

2

1

1

CG

LCRG

CG

LRX

CG

LCRG

CG

LRR

CG

LRZjXR

CjG

LjR

YZ

,

C

G

L

R の時＋

C

G

L

R の時－

０１．伝送線路（一般論）


伝送 03

(3) 無歪み条件と損失の少ない近似

さらに、損失が無視できる、すなわちＲ＝Ｇ＝０ならば、α＝０

通常の伝送線路では、損失が少ない条件、Ｒ≪ωＬかつＧ≪ωＣが成り立つので、

LCv

C

G

L

R

L

Cj

C

LZ

C

G

L

RLC

C

LG

L

CR

C

G

L

R

C

G

L

RjLCj

p

1

22

8

11

22

8

1

221

0

2

2

,

,

無歪条件は、

C

G

L

R で、このとき、

C

LZLCRG 0,,

ｖｐは位相速度



伝送 04

(4) 反射係数これらを解いて、次を得る。（下記の式は損失のある線路Ｒ＞０，Ｇ＞０でも成り立つ）

（実は、計算上、ここで原点を負荷端にして波の進行方向を逆に取る）

xrx

fx

rx

f eVeVZ

xIeVeVxV 0

1)(,)(

Ｖｆは進行波電圧、Ｖｒは反射波電圧、ｘは負荷端からの距離。電圧の式を変形して、

)()( xeVeV

eVeVxV x

fxf

xrx

f

11

ここでΓ(ｘ)を位置ｘで負荷を見込む反射係数（複素数）と定義し、

x

f

r eV

Vx 2)(

と書ける。特に、負荷端での反射係数Γ０は、

0

00 0

ZZ

ZZ

V

Vx

L

L

f

r

)(

と表せる。つまり、xex 2

0)(

となる。ここで、Γ０はＶｒとＶｆの位相差を含むので、複素数であることに注意



伝送 05

(4) 反射係数（続き）

位置ｘにおける、Ｖ(ｘ)とＩ(ｘ)の比Ｚ(ｘ)を考える。まず、電流を反射係数を用いて書けば、

)()( xZ

eVe

V

V

Z

eVxI

xfx

f

rx

f

11

00

)exp(

)exp(

)(

)(

)(

)()(

x

xZ

x

xZ

xI

xVxZ

21

21

1

1

0

000

xZZ

xZZZxZ

L

L

tanh

tanh)(

0

00

任意の場所（負荷端から距離ｘ）で負荷を見たインピーダンスは、

と求められる。別の表現では、



伝送 06

(5) 無損失線路におけるパラメータ

以下、損失が無視できる線路の特性インピーダンスがＺ０、つまりγ＝jβであるとする。また、負荷のインピーダンスはＺＬ、負荷端からの距離をｘとする。

1

1

1

10

0

0

,電圧定在波比ρは、

電圧腹でのインピーダンスＺmaxは、0ZZ max

電圧節でのインピーダンスＺminは、 0ZZ min

負荷端での電圧反射係数Γ０は、

0

00

ZZ

ZZ

L

L

ρは入射電力Ｐｆと反射電力Ｐｒによっても表せて、

rf

rf

fr

fr

PP

PP

PP

PP

1

1

電圧腹での電圧・電流をＶmax，Ｉmin、電圧節での電圧・電流をＶmin，Ｉmaxとすると、負荷に供給される電力Ｐは、

0

0

ZIIZ

VVP minmax

minmax



伝送 07

(6) スタブ

長さｄの、特性インピーダンスがＺ０無損失伝送線路の先に付いた、負荷ＺＬを見込むインピーダンスＺを考える。

djZZ

djZZZZ

L

L

tan

tan

0

00

特別な場合として、先端を短絡したＺＬ＝０（ショートスタブ）の場合は、

djZZ tan0

また、先端が開放の場合ＺＬ＝∞（オープンスタブ）の場合は、

djZZ cot0



伝送 08

同様に、入力電力Ｐｉと反射電力Ｐｒの比（反射係数）Ｒを考える。

1

12020

1

11

22

loglog, dB

i

r RP

PR

－ＴｄＢを伝送損失、－ＲｄＢをリターンロスという。

(7) 透過電力・反射電力

ある伝送線路で、電圧定在波比がρのとき、入力電力Ｐｉと透過電力Ｐｔの比（透過係数）Ｔを考える。

22

2

1

41010

1

41

)(loglog,

)(

i

tdB

i

t

P

PT

P

PT

(8) 伝送線路を用いた整合器（Ｑマッチ）

特性インピーダンスＺ０の伝送線路を、負荷インピーダンスＺＬに整合させるためのλ/4線路に求められるインピーダンスＺＱは、

LQ ZZZ 0

で与えられる。



伝送 09

(9) 伝送線路を共振器として用いる

伝送線路を共振器として用いる時は先端は開放か短絡。線路に損失がある場合の特性どうなるか、を考える。線路の長さをｄ、伝達係数をγ＝α＋ｊβ、特性インピーダンスをＺ０

として、入力端から終端を見たインピーダンスをＺとすると、

ddj

djdZdZZ

tantanh

tantanhtanh

100

共振時はtanβｄ＝0、反共振時はtanβｄ＝∞となる。また、損失が少ない線路では、tanhαｄ≒αｄなので、各々のインピーダンスをＺＲ、ＺＡとすると、

d

Z

dZZdZdZZ AR

0

000

1

tanh,tanh

共振周波数ω０に対してのズレ、⊿ωについて、インピーダンスの変化を考える。結果だけ示せば、

0

0

0

00

1

jdZ

dj

jdZZ

となる。



伝送 10

(9) 伝送線路を共振器として用いる（続き）

回路のＱは、

2Q で表される。

共振時、反共振時、各々のインピーダンスをＺＲ、ＺＡをＱを使って表すと、

),,,(

),,,,(

53142

321022

000

000

nn

QZ

d

QZ

d

ZZ

mQ

mZ

Q

dZdZZ

A

R

(10) 電磁的に結合している伝送線路


作成中


伝送 11０２．伝送線路（各論）

(1) 平行２線

線の半径をａ、線間隔をｄ、線間物質の比誘電率はεｒ、比透磁率は１とする。（導体自体の比透磁率も1とする）

・特性インピーダンスＺ０

a

dZ

r2

11 1

0

00

cosh

ａ≪ｄの時は

a

dZ

r

log

2760

いつでも成り立つ

a

dZ

r2

120 10

cosh

・単位長あたりの導体抵抗Ｒ及びコンダクタンスＧ導体の導電率をσ、線間物質の誘電正接をtanδ（＝ε"/ε'）、信号の周波数をｆとす

ると、

]S/m[

cosh

],Ω/m[

a

d

fG

f

aR

2

21

1

20

この後で伝搬定数を計算するのに必要になる。


伝送 12

(1) 平行２線（続き）

・伝搬定数γ＝α＋ｊβ（減衰定数αと位相定数β）伝送損失は十分小さいものと仮定する。減衰定数αは、

22

0

0

GZ

Z

R

第１項は導体（抵抗）損で、

a

d

f

aZ

R

2240

1

2 1

0

0

cosh

tan

0

00

2f

GZ

第２項は、誘電体損で、

第２項は小さく、通常は無視して構わない。そこで、

a

d

f

aZ

R r

2240

1

2 1

0

0

cosh

と近似される。一方、位相定数β [rad/m]は、

0

2

で求められる。

jr

０２．伝送線路（各論）


伝送 13

(1) 平行２線（続き）

・放射損失Ｐｒ/Ｐ空間に放射されてしまう電力Ｐｒと伝送電力Ｐの比は、

2

0

160

d

ZP

Pr


(2) 同軸線路

内導体の外半径をａ、外導体の内半径をｂ、絶縁体の比誘電率はεｒ、比透磁率は１とする。（導体自体の比透磁率も1とする）

・特性インピーダンスＺ０

a

b

a

b

a

bZ

rrr

loglnln

138601

2

1

0

00

・単位長あたりの導体抵抗Ｒ及びコンダクタンスＧ導体の導電率をσ、線間物質の誘電正接をtanδ（＝ε"/ε'）、信号の周波数をｆとす

ると、

]S/m[)(ln

],Ω/m[ab

fG

ba

fR

20 411

2

1



伝送 14

・伝搬定数γ＝α＋ｊβ（減衰定数αと位相定数β）伝送損失は十分小さいものと仮定する。減衰定数αは、

22

0

0

GZ

Z

R

第１項は導体（抵抗）損で、

a

bba

f

Z

R

ln60

11

4

1

2

0

0

tan

0

00

2f

GZ

第２項は、誘電体損で、

第２項は小さく、通常は無視して構わない。そこで、

a

bba

f

aZ

R r

ln240

111

2

0

0

と近似される。一方、位相定数β [rad/m]は、

0

2


jr

(2) 同軸線路（続き）



伝送 15

(2) 同軸線路（続き）

・使用周波数の上限原理的に上限はないが、高周波ではTEモード、或いはTMモードが立ち上がるため、これ

らの存在し得ない周波数までで用いるのが原則。遮断波長が最も長いのがTE11モード。TEmnモードとTMmnモードの遮断周波数は、

)()(

),()(

21

21

n

n

abn

m

bacc

TEmnモード

TMmnモードn

abc

)(

2

)( bacTE 11TE11モードの遮断波長λCTE11は

・伝送電力の上限内導体の表面にできる電界での絶縁破壊と、導体抵抗による温度上昇が伝送電力の上限

を決める。ここでは、絶縁破壊によるものを考える。絶縁耐力の電界強度をＥmaxとすると、伝送電力の上限Ｐmaxは、

2

0

22

2

a

b

Z

EaP lnmaxmax



伝送 16

(3) ストリップライン

・特性インピーダンス導体の厚みｔを無視し、比誘電率εｒの絶縁体の厚みがｂで、その中央に幅Ｗの導体が

埋まっている構造を考える。特性インピーダンスは厳密には複雑な式になるが、簡易的に以下の式で与えられる。

W

bZ

r 0

00

4

1

・減衰定数α抵抗損と誘電体損に分けられる。抵抗損αＣは、ｂに対してＷが十分大きい時は、

fWZC

02

1

一方、誘電体損αＤは、

0

0

2

1

D



伝送 17

(4) マイクロストリップライン

・特性インピーダンス誘電体（比誘電率εｒ）は、導体とグランドプレーン間の「下半分」にしかないので、

「実効充填率」ｑを導入し、実効的な誘電率εｅｆｆとの間に、

)( 11 reff q

なる関係があるものとする。導体の厚さｔ→０の近似で、特性インピーダンスＺ０は下記のようになる。

2

2

0

884130

W

h

W

h

W

hZ ln

・減衰定数α抵抗損と誘電体損に分けられる。抵抗損αＣは、ストリップラインのαＣの式のεｒをε

ｅｆｆに置き換えれば求められる。また、誘電体損αＤも1/√εｒをｑ/√εｅｆｆに置き換えれば求められる。



伝送 18

(5) 矩形導波管

・伝送モードと管内電磁界TEmnモード、TMmnモードがあり、m=0,1,2,…、

n=0,1,2,…であるが、m=n=0は存在しない。m

やnの意味は、ｍ：ｘ方向に存在する定在波の数ｎ：ｙ方向に存在する定在波の数

である。管内電磁界の様子は【マイクロ波工学(*) p.159-160】のようになる。

TEmnモードは電界がTMmnモードは磁界が

それぞれ進行方向の成分を持たないことを意味する。

・遮断周波数（波長）と管内波長導波管には、管の寸法と伝送モードで決まる、ある周波数ｆｃ以下の周波数の電磁波は

伝搬できない。この周波数を遮断（カットオフ）周波数といい、この周波数の自由空間での波長を遮断波長λｃという。

cc

f

c 最もλｃが長いのはTE10モードで、 ac 2 である。

この他、モードによる遮断波長は以下のようになる。



伝送 19

(5) 矩形導波管（続き）

21

2

)( ba

ac

モード

ac 2

TE11とTM11やTE21とTM21は異なるモードで同じ遮断波長→縮退しているという。

管内波長λｇは、以下の式で表される

TE10

遮断波長

TE21

TE11

221 )( ba

ac

21

2

)( ba

ac

モード

TM11

遮断波長

TM22

TM21

21 )( ba

ac

221 )( ba

ac

2

1

c

g

λ→λｃでλｇ→∞となり、λｃ＜λｇでは伝搬できなくなる。正確には伝搬できないのではなく、エバネッセント的に伝搬（入口からどんどん減衰）する。また、自由空間波長をλとすると、λ/λｇ＝cosθ



伝送 20


・伝搬定数γ

ＴＥmnモードの場合、

22

2

b

n

a

mkc

と置くと、このモードの伝搬定数γは、

自由空間での波長がλの電磁波の伝搬定数をｋとして、 22 2 k

222

22 2

b

n

a

mkkc

ｋ＜ｋｃの時はγが実数となるので、入射電磁波は距離とともに減衰し、伝搬できない。

・特性インピーダンスＺｇ

0ZZg

g

自由空間での波長がλ、特性インピーダンスをＺ０、管内波長をλｇとして、導波管内の特性インピーダンスは、

基本モードＴＥ10では、λｇ/λが2

21

1

a

g

なので、



伝送 21


2cvvc

vcv cppg

cos

,cos

と表せる。

・群速度ｖｇと位相速度ｖｐ

2

21

a

cos と置くと、

内部が真空か空気の矩形導波管の群速度ｖｇ・位相速度ｖｐは、

ＴＥ10モードの場合、

2

0

21

a

ZZ g

分母＜１だから、必ずＺｇ＞Ｚ０となり、管内のインピーダンスは自由空間中のそれより大きくなる



伝送 22


・伝送可能な最大電力Ｐｍａｘ

ＴＥ10モードの場合、ｘ＝ａ/2において最大電界強度Ｅｙｍａｘを取る。この値が管内の絶縁が破壊されずに伝送可能な最大電力Ｐｍａｘを与える。

2

0

2

44ymax

gymax

gmax E

Z

abE

Z

abP

gmaxymax

ab

PZE 04

・伝送損失α

σを管壁導体の導電率、δを表皮深さ、Ｚ０を自由空間のインピーダンス、λｃを遮断波長とすると、ＴＥmnモードでｍもｎも０でない場合、

b

n

a

mba

abZ

cc

c

44

1

2 2222

2

2

0

)(



伝送 23


ＴＥmnモードでｍ≠０、ｎ＝０の場合、

a

mba

abZ

cc

c

42

1

2 222

2

2

0

)(

ＴＭmnモードでｍ≠０、ｎ＝０の場合、

2

2

2

2

3

2

2

0 1

2

na

bm

na

bm

bZc



伝送 24

(6) 円形導波管

・伝送モードと管内電磁界管の直径（内径）を２ａとする。TEmnモード、TMmnモードがあり、m=0,1,2,…、n=1,2,…

である。mやnの意味は、ｍ：電磁界の満たすべき境界条件とその解であるベッセル関数の次数ｎ：ｍ次のベッセル関数のｎ番目の解

である。管内電磁界の様子は【マイクロ波工学(*) p.175-176】のようになる。

・遮断周波数（波長）と管内波長円形導波管の遮断波長λｃは以下のようになる。

ac 4123.

モード

ac 6401.TE01

遮断波長

TE21

TE11

ac 0572.

ac 6132.

モード

TM01

遮断波長

TM21

TM21

ac 2241.

ac 6401.

ＴＥモードの遮断波長λｃTEとＴＭモードの遮断波長λｃTMの正確な値は、ρmnをｍ次の第1種ベッセル関数のｎ番目の解ρ'mnをｍ次の第1種ベッセル関数の微分関数のｎ番目の解

として、以下の式で与えられる。



伝送 25

(6) 円形導波管（続き）

・伝送損失α

ＴＥmnモードの場合、

22

22

2

0 1

1

m

m

aZmnc

c

遮断波長λｃと管内波長λｇ、自由空間中の波長λも矩形導波管と同じ関係にある。

円形導波管の基本モードは、ＴＥ11

2

1

c

g

mncTM

mncTE

aa

22

,



伝送 26

(7) 導波管デバイス

(6) 円形導波管（続き）

その他の伝搬定数、伝送可能電力、特性インピーダンス等は矩形導波管とほとんど同じ。

ＴＭmnモードの場合、 2

0 1

1

c

aZ

ＴＭmnモードのなかでも、ＴＭ01モードは周波数の増加とともに減衰量が減少する。このモードでは、管壁での損失は、ｚ方向の電流によってのみ生ずるが、ｚ方向の電流は周波数に増加とともに減少するため。

右図のように矩形導波管に付加するデバイスのサセプタンスＢ

b

dbB

g 2

4

csclnＡ：

b

dbB

g 2

8

csclnＢ：



伝送 27

(7) 導波管デバイス（続き）

1

2

2

1

12

BB

b

rbB

g

,

Ｃ：

Ｄ：

12

12

2

2

a

d

a

d

aB

a

d

a

d

aB

g

g

,tan

,cot

Ｇ：

Ｅ：

Ｆ：

a

d

a

d

aB

g

221 22

cotcsc

12

22

12

a

r

r

aaB

g

ln

badd

abB

g,

32

3



伝送 28

(8) 空洞共振器

・直方体空洞の共振周波数

ａ，ｂ，ｃを３辺の長さとする直方体空洞に対して、ｍ,ｎ,ｐを整数とする時、共振モードは、ＴＥmnpモード、ＴＭmnpモードがあるが縮退しているので、共振周波数（波長）は同じ。共振波長λmnpは、

222

222

1

c

p

b

n

a

mmnp

・円柱空洞の共振周波数

半径ｒ，長さＬの円柱空洞に対して、ｍ,ｎ,ｐを整数とする時、共振モードは、ＴＥmnp

モード、ＴＭmnpモードがある。ＴＥmnpモードの共振波長λは、ρ'mnをｍ次のベッセル関数の微分＝０となるｎ個目の解として、

22

22

1

L

p

rmn

mnp



伝送 29

(8) 空洞共振器（続き）

ＴＭmnpモード共振波長λは、ρmnをｍ次のベッセル関数＝０となるｎ個目の解として、

22

22

1

L

p

rmn

mnp


(*) 「マイクロ波工学」岡田文明（学献社 1993）倉西技術士事務所

伝送 30０３．Ｓパラメータ

(1) Ｓパラメータの基本

直列素子ＺｓのＳパラメータ

s

s

s ZZ

ZZ

ZZS

0

0

0 2

2

2

1

(2) 回路構成とＳパラメータ

logRL 200

011

ZZ

ZZ

P

PS

i

i

f

r

1portで入射電力がＰｆ、反射電力がＰｒ、系のインピーダンスがＺ０、ポートのインピーダンスがＺｉとする。この時のＳ１１は反射係数Γと等しい。

並列素子ＺｐのＳパラメータ

0

0

02

2

2

1

ZZ

ZZ

ZZS

p

p

p

特性インピーダンスＺの無損失伝送線路のＳパラメータ

tan)()tan(

)tan(tan)(

tan)(

20

200

0020

2

20

2

2

2

2

1

ZZjejZZZ

ejZZZZZj

ZZjZZS

j

j

s


伝送 31０３．Ｓパラメータ

特にＺ＝Ｚ０の時は

0

0

j

j

e

eS

(2) 回路構成とＳパラメータ（続き）

ここでθは L2

（Ｌ：線路長 λ：波長）

(3) ＡＢＣＤ行列とＳパラメータ

DCZBYA

DCZBYAS

DCZBYAS

DCZBYA

BCADS

DCZBYA

DCZBYAS

00

0022

00

21

00

12

00

0011

2

2 )(

21

21122211

21

21122211

0

21

211222110

21

21122211

2

11

2

111

2

11

2

11

S

SSSSD

S

SSSS

ZC

S

SSSSZB

S

SSSSA

))(())((

))(())((

ここでＹ０＝1/Ｚ０


Documents

01 (1) 電信方程式pe.gxk.jp/wp-content/uploads/2016/06/transmissionline.pdfD RG , E Z LC, Z0 vpは位相速度 01．伝送線路（一般論） 倉西技術士事務所 伝送

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