Lecture note 5: 状態空間モデル - oit.ac.jpoku/control/CEII/lec5.pdf= C (sI A) 1 B + D 前者の状態空間モデルに対する伝達関数と等価．相似変換によって伝達関数は不変に保たれる．

Lecture note 5: 状態空間モデル

ロボット工学科奥宏史

制御工学 II

Osaka Institute of Technology

伝達関数モデル

y(s) = G(s)u(s), G(s) =bqs

q + bq−1sq−1 + · · ·+ b1s+ b0

sp + ap−1sp−1 + · · ·+ a1s+ a0

• s領域 (s = jωのとき周波数領域)におけるシステムの表現．

• ブラックボックス的な信号の入出力関係の表現．

• (線形システムのとき) G(s)は sの有理関数 (p ≥ q)．

• 本質的に SISO(単入力単出力)系に対するシステムの表現法．

G(s)U(s)Y(s)

Osaka Institute of Technology 制御工学 II 2

現代制御理論

• R. E. Kalman, “On the general theory of control systems,” in Proceedings ofthe 1st IFAC World Congress, Moscow, 1960.

• 現代制御理論状態空間における制御系の記述 (状態空間モデル)に基づき，時間領域でのシステムの挙動解析をベースとする．

• 可制御性，可観測性

• LQG(Linear Quadratic Gaussian)理論

最適レギュレータ


状態空間モデル

x(t) = Ax(t) +Bu(t)

y(t) = Cx(t) +Du(t)

• t領域 (時間領域)におけるシステムの表現．

• 状態ベクトル x(t)の導入．入力 −→状態 −→出力

• 1階の微分方程式で記述．

• MIMO(多入力多出力)系への拡張が容易．

x=Ax+Bu

y=Cx+Du

u(t)y(t)



x(t) ∈ Rn: 状態ベクトル

u(t) ∈ Rr: 入力ベクトル y(t) ∈ Rm: 出力ベクトル

• 状態方程式

x(t) = Ax(t) +Bu(t)

A ∈ Rn×n: システム行列 B ∈ Rn×r: 制御行列



• 出力方程式

y(t) = Cx(t) +Du(t)

C ∈ Rm×n: 観測行列 D ∈ Rm×r: 直達行列

Remark:

自然界では入力が必ず炉波作用 (フィルタ)を通して出力されるので，D = 0とするときが多い．


状態空間モデルの例 – RLC回路 –

q:電荷量，i:電流，

q =

∫ t

0

idt，

1

Cq = vout に注意すると，

C

L R

vin vout

i

LCd2

dt2vout +RC

d

dtvout + vout = vin


状態空間モデルの例 – RLC回路 –

LCd2

dt2vout +RC

d

dtvout + vout = vin

x1 = vout, x2 =d

dtvout とすると，RLC回路の状態空間モデルは

d

dt

[x1

x2

]=

[0 1

− 1LC

−RL

][x1

x2

]+

[0

1LC

]vin

vout =[1 0

] [ x1

x2

]


状態空間モデルの例 –倒立振子 –

r: 台車の基準位置からの距離

θ: 振子の垂直方向からの角度

M : 台車の質量

m: 振子の質量

c1: 台車の摩擦係数

c2: 振子の回転軸の摩擦係数

l: 振子の回転軸と重心間の距離

J : 振子の重心まわりの慣性モーメント

g: 重力加速度

α = (M +m)(J +ml2)− (ml)2

θ

u

r


状態空間モデルの例 –倒立振子 –

状態方程式は

d

dt

r

r

θ

θ

=

0 1 0 0

0 − c1(J+ml2)α −m2gl2

αc2mlα

0 0 0 1

0 c1mlα

mgl(M+m)α − c2(M+m)

α

r

r

θ

θ

+

0

J+ml2

α

0

−mlα

u


等しい入出力関係をもつ伝達関数モデル

x(t) = Ax(t) +Bu(t)

y(t) = Cx(t) +Du(t)

Laplace変換する．L[x(t)] = X(s)，L[u(t)] = U(s)，L[y(t)] = Y (s)と表す．初期状態を x(0)とする．

sX(s)− x(0) = AX(s) +BU(s)

Y (s) = CX(s) +DU(s)

X(s)について解くと，

X(s) = (sI −A)−1x(0) + (sI −A)−1BU(s)

Y (s) = CX(s) +DU(s)


等しい入出力関係をもつ伝達関数モデル

Y (s) = C(sI − A)−1x(0) +{C(sI − A)−1B +D

}U(s)

A

s1

BC

+

+ U(s)Y(s)

D

+

+


状態方程式の解

• 遷移行列 (transition matrix) Φ(t)

Φ(t) := L−1[(sI −A)−1

]= L−1

[1

s

(I − A

s

)−1]

= L−1

[1

s

{I +

A

s+

(A

s

)2

+

(A

s

)3

+ · · ·

}]

= L−1

[1

s+ (−1)A

d

ds

(1

s

)+

(−1)2A2

2!

d2

ds2

(1

s

)+

(−1)3A3

3!

d3

ds3

(1

s

)+ · · ·

]= I +At+

1

2!(At)2 +

1

3!(At)3 + · · ·

=: eAt



X(s) = (sI − A)−1x(0) + (sI − A)−1BU(s)

• 右辺第 1項の逆 Laplace変換

L−1[(sI −A)−1x(0)

]= Φ(t)x(0) = eAtx(0)

• 右辺第 2項の逆 Laplace変換

L−1[{(sI −A)−1B

}U(s)

]=

∫ t

0

Φ(t− τ)Bu(τ)dτ

=

∫ t

0

eA(t−τ)Bu(τ)dτ



• 状態方程式の解

x(t) = eAtx(0) +

∫ t

0

eA(t−τ)Bu(τ)dτ

• 出力方程式の解

Y (s) = C(sI −A)−1x(0) +{C(sI −A)−1B +D

}U(s)

より，

y(t) = CeAtx(0) +

∫ t

0

CeA(t−τ)Bu(τ)dτ +Du(t)

ゼロ入力応答ゼロ状態応答


演習問題

前述の RLC回路で抵抗 Rとコンデンサ C を入れ替えたときの状態空間モデルと伝達関数を求めよ．


状態空間モデル（まとめ）

• 状態空間モデル

x(t) = Ax(t) +Bu(t)

y(t) = Cx(t) +Du(t)

• 状態方程式の解

x(t) = eAtx(0) +

∫ t

0

eA(t−τ)Bu(τ)dτ

行列指数関数 eAt

eAt =: I + At+1

2!(At)2 +

1

3!(At)3 + · · ·


状態空間モデルの例 – RLC回路 –(revisited)

q:電荷量，i:電流，

LCvout +RCvout + vout = vin

伝達関数

Vout

Vin=

1

LCs2 +RCs+ 1

C

L R

vin vout

i

x1 = vout, x2 = vout[x1

x2

]=

[0 1

− 1LC −R

L

][x1

x2

]+

[01

LC

]vin

vout =[

1 0] [ x1

x2

]


相似変換

物理的な意味をあまり考慮せず，

ξ1 =L

Rvout + LCvout, ξ2 =

L

Rvout − LCvout

を状態とする RLC回路の状態空間モデルを求めると ξ1

ξ2

=

−RL + 1

2RC − 12RC

RL + 1

2RC − 12RC

ξ1

ξ2

+

1

−1

vin

vout =[

R2L

R2L

] ξ1

ξ2


相似変換

伝達関数は

Vout

Vin=

[R2L

R2L

]sI −

−RL + 1

2RC − 12RC

RL + 1

2RC − 12RC

−1 1

−1

=

1

s2 + RL s+

1LC

[R2L

R2L

] s+ 12RC − 1

2RC

RL + 1

2RC s+ RL − 1

2RC

1

−1

=

1

LCs2 +RCs+ 1


相似変換

• 対象とするシステムの入出力関係に着目すると，状態空間モデルの状態の選び方は無数にある．

• 状態 x = [x1 x2]T と状態 ξ = [ξ1 ξ2]

T の間には，正則な行列 T

T :=

LR LC

LR −LC

用いて ξ = Tx が成立する．

• このとき，xを状態とする状態空間モデルと ξを状態とする状態空間モデルはたがいに相似である (similar)という．


相似変換

一般に，次の状態空間モデルを考える．

x(t) = Ax(t) +Bu(t)

y(t) = Cx(t) +Du(t)

ある正則行列 T を用いて ξ(t) = Tx(t)と変数変換すると，次の状態空間モデルを得る．

ξ(t) = TAT−1ξ(t) + TBu(t)

y(t) = CT−1ξ(t) +Du(t)

このとき，二つの状態空間モデルはたがいに相似で，T による (A,B,C)から(TAT−1, TB,CT−1)の変換を相似変換 (similarity transformation)と呼ぶ．


相似変換

後者の状態空間モデルに対する伝達関数を計算する．

CT−1(sI − TAT−1

)−1TB +D = CT−1

[T (sI −A)T−1

]−1TB +D

= C (sI −A)−1

B +D

前者の状態空間モデルに対する伝達関数と等価．

相似変換によって伝達関数は不変に保たれる．

つまり，

「異なる状態空間モデルが相似変換で結ばれる」⇒「伝達関数は同一」


演習問題

• R 6= 0, L 6= 0, C 6= 0のとき，行列 T が正則 (逆行列をもつ)ことを示せ．

T :=

LR LC

LR −LC

• 次の状態空間モデルの伝達関数を求めよ． ξ1

ξ2

=

−RL + 1

2RC − 12RC

RL + 1

2RC − 12RC

ξ1

ξ2

+

1

−1

vin

vout =[

R2L

R2L

] ξ1

ξ2


極と固有値

• 極

– システム G(s)に対して，s = aが G(s)の極とは

lims→a

G(s) = ∞

であることをいう．

– N(s), D(s)はそれぞれ sの多項式とする．システム G(s) =N(s)

D(s)が因

果的のとき，特性方程式

D(s) = 0

となる sの値を極と呼ぶ．


極と固有値

• 零点

– システム G(s)に対して，s = aが G(s)の零点とは

lims→a

G(s) = 0

であることをいう．

– システム G(s) =N(s)

D(s)に対して，N(s) = 0となる sの値を零点と呼ぶ．

• 互いに素 (coprime):有理関数 G(s) =N(s)

D(s)に対して，

「極と零点に共通するものがない」def⇔ 「N(s)とD(s)は互いに素」

このとき，G(s)は既約 (irreducible)という．


極と固有値

• (sI −A)−1 =adj(sI −A)

det(sI −A)に注意．(adjは余因子行列を表す)伝達関数

G(s)は

G(s) = C(sI −A)−1B +D =Cadj(sI −A)B

det(sI −A)+D

伝達関数の極はシステム行列 Aの固有値に等しい．

つまり，

「λは伝達関数の極」⇒「λはシステム行列 Aの固有値」

Remark: 逆は言えない．


極と固有値

(演習問題) x1

x2

=

0 −2

1 −3

x1

x2

+

1

1

u

y =[0 1

] x1

x2

の A行列の固有値は −2, −1．一方，伝達関数は

G(s) =[0 1

]sI −

0 −2

1 −3

−1 1

1

=1

s+ 2


状態空間表現の結合則

• 2つの状態空間モデル

G1 G2

x1(t) =A1x1(t) +B1u1(t) x2(t) =A2x2(t) +B2u2(t)

y1(t) =C1x1(t) +D1u1(t) y2(t) =C2x2(t) +D2u2(t)



• 並列結合 G1 +G2 u1(t) = u2(t) = u(t), y(t) = y1(t) + y2(t)

x1 =A1x1 +B1u

x2 =A2x2 +B2u

y =C1x1 + C2x2 + (D1 +D2)u

y(t)u(t)

y1(t)

+

G1(s)

G2(s)

+

y2(t)

⇐⇒

x1

x2

=

A1 0

0 A2

x1

x2

+

B1

B2

u

y =[

C1 C2

] x1

x2

+ (D1 +D2)u



• 直列結合 G1G2 u2(t) = u(t), u1(t) = y2(t), y(t) = y1(t)

x2 =A2x2 +B2u

x1 =A1x1 +B1(C2x2 +D2u)

y =C1x1 +D1(C2x2 +D2u)

y(t)u(t)G1(s)G2(s)

y2(t)

⇐⇒

x1

x2

=

A1 B1C2

0 A2

x1

x2

+

B1D2

B2

u

y =[

C1 D1C2

] x1

x2

+D1D2u



• フィードバック結合 (D1 = 0とする)

u1(t) = u(t)− y2(t), y(t) = y1(t) = u2(t)

x1 =A1x1 +B1(u− y2)

x2 =A2x2 +B2y

y =C1x1

y2 =C2x2 +D2y

y(t)u(t)G1(s)

G2(s)

−

y (t)2

u (t)1

x1

x2

=

A1 −B1D2C1 −B1C2

B2C1 A2

x1

x2

+

B1

0

u, y =[

C1 0] x1

x2


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Lecture note 5: 状態空間モデル - oit.ac.jpoku/control/CEII/lec5.pdf= C (sI A) 1 B + D 前者の状態空間モデルに対する伝達関数と等価． 相似変換によって伝達関数は不変に保たれる．

Lecture note 5: 状態空間モデル - oit.ac.jpoku/control/CEII/lec5.pdf= C (sI A) 1 B + D 前者の状態空間モデルに対する伝達関数と等価．相似変換によって伝達関数は不変に保たれる．