02 05 Formulaire

8/7/2019 02 05 Formulaire

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5. FORMULAIRE

Les units utilises dans le prsent formulaire et recommandes pour les calculs sont :

m, m

2

(ou cm

2

pour les aires d'acier), MN, MPa.

5.1. DTERMINATION DE LA SECTION D'ACIER DANSUNE DALLE SOLLICITE EN FLEXION

5.1,1. l'tat-limite ultime

Moment de flexion ultime : Mu par mtre de largeur de dalle.

Calculer u =bu

2u

fd

M

avec fbu =

5,1f85,0 28c

(voir chapitre 1, titre 2.1,2) et d hauteur utile des

fils de treillis dans le sens de flexion considr ( voir fig.2.2 ).

L'abaque donne k en fonction de u ( k =e

4

f1015,1

avec

dz

= et fe = 500 MPa)

La section d'acier cherche est :

Exemple : Soit MG = 13 kNm/m et MQ = 17 kNm/m.

On a Mu = 1,35 MG + 1,5 MQ = 43 kNm/m = 4,3. 10-2MNm/m

Avec fc28 = 25 MPa

et = 1 : fbu = 14,2 MPa et pour d = 0,18 m

093,02,1418,0

103,42

2

u =

=

. Pour cette valeur : k = 24,3

et m/cm81,518,0

103,43,24A 2

2

=

=

ce qui correspond un panneau standard ST 60 (6,36 cm2/m)

dM

kA u= (cm2/m, MNm/m, m)


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90

)d

MkA;

fd

M( u

bu2

uu ==

Pour u 0,17 on peut prendre k =u6,01

23

( valeur approche par lger excs )

Fig.2.44


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Dans tous les cas o la connaissance de la valeur numrique de la contrainte de compression dubton en service est ncessaire, on pourra utiliser l'abaque de la fig. 2.46, valable que la fissurationsoit peu prjudiciable ou non, c'est--dire dans tous les cas.

Exemple 2: Reprenons l'exemple du paragraphe 5.1,1, o l'on a choisi

A = 6,36 cm2/m

On a:

Mser = MG + MQ = 30 kNm/m = 3 . 10-2 MNm/m

353,01836,6

dA

== valeur pour laquelle l'abaque donne kb = 7,95

d'o bc = MPa4,718,0

10395,7

2

2

=

Si la fissuration est prjudiciable ou trs prjudiciable les sections des TS sont

dtermines partir des valeurs de la contrainte s (page 30)et de l'abaque de la figure2.47.

Cet abaque donne directementdA (A en cm2/m et d en m) en fonction de

s2

ser3

d

M10

(MNm/m, m2, MPa)

Exemple : Mser = 2,75 . 10-2 MNm/m d = 0,185 m fc28 = 30 MPa

a) Fissuration prjudiciable, 6 mm : s = 250 MPa

s2

ser3

dM10

= 3,21 d'o 35

dA = et A = 35 x 0,185 = 6,49 cm 2/m

(1 ST 30 + 1 ST 35 superposs paralllement 6,68 cm2 > 6,49 cm2 )

b) Fissuration trs prjudiciable, 8 mm : s = 200 MPa

s2

ser3

d

M10

=4,02 d'o 45

dA

= et A = 45 x 0,185 = 8,32 cm 2/m

1 ST 50 + 1 ST 35 superposs paralllement ( 8,88 cm2

> 8,32 cm2

), le panneau ST 50en premier lit ( = 8 mm )


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VRIFICATION DU BTON

)m,m/MNm,MPa(d

Mbk

22

serbc =

cm)m/cm(

dA 2


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(Valeur approche : ).d

M10885,10

dA

s2

ser3

=

Fig. 2.47


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5.2. CALCUL DES PANNEAUXDE DALLE RECTANGULAIRES

5.2,1. charge p uniformment rpartie

et couvrant entirement le panneau de dalle

On suppose :

14,0y

x =

Moments flchissants dvelopps au centre du panneau suppos articul sur son contour(Rgles BAEL, annexe E3) :

- Sens de la petite porte : Mx = x. p .2x

- Sens de la grande porte : My = y Mx

Le tableau ci-aprs diffre quelque peu de celui figurant dans les Rgles BAEL lannexe E 3. Dunepart, il est plus prcis, toutes les valeurs numriques ayant t recalcules par ordinateur [2.3].

Dautres part, les valeurs de My de la colonne Etat-limite ultime ELU ne sont pas systmatiquementprises gales 0,25 lorsque < 0,55, et ce, pour la raison suivante :

Une dalle supportant des charges localises supporte galement des charges rparties ( au moins, sonpoids propre ). Pour lvaluation des moments en trave Mtx et Mty dus aux seules charges rparties, lescoefficients x et y interviennent. Mais limiter infrieurement la valeur du coefficient y et donc la part dumoment dans le sens y due aux seules charges rparties serait alors une erreur. En effet, la

vrification Mty > Mtx /3 exige par les Rgles BAEL vise le moment global et non chaque moment partiel,et cela nimplique donc aucune condition sur le coefficient y .


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y

x

=

tat-limite ultime ELU ettat-limite de service ELS

(sauf dformations)tat-limite de dformation

x y x y

0,400,450,500,550,600,650,700,750,800,850,900,951,00

0,11010,10360,09660,08940,08220,07510,06840,06210,05610,05060,04560,04100,0368

0,09060,13190,18030,23450,29480,36130,43200,51050,59590,68640,78340,88751,0000

0,11210,10510,10000,09360,08700,08050,07430,06840,06280,05760,05280,04830,0441

0,28540,32340,36710,41500,46720,52350,58170,64470,71110,77940,85020,92361,0000

5.2,2. charge localise P applique la surfacede la dalle ou de son revtement

Les cts a0 et b0 du rectangle d'application de la charge sont supposs respectivement parallles xet y.

La charge P est considre comme applique au niveau du feuillet moyen sur le rectangle ab avec,si le revtement est aussi rsistant que le bton :

a = ao + h + 2 h1

et b = bo + h + 2 h1

Si le revtement est moins rsistant que le bton : remplacer 2 h1, par 1,5 h1.Certains tableaux ou abaques (ceux de Pigeaud [2.2], [2.3] sont les plus connus) donnent lesmoments Mxet My au centre de la dalle pour une charge localise centre.


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Si la charge n'est pas centre, on se ramne au cas de la charge centre par une superposition decas de charge correspondant des rectangles centrs chargs positivement ou ngativement par lamme densit de charge.

Exemple : au centre de la dalle.

5.2,3. efforts tranchants

1) Charge rpartie p par unit d'aire

Au milieu de y: Vx =+2

p x

Au milieu de x: Vy =3

p x

(Vx et Vy s'expriment en MN/m)


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2) Charge localise centre P applique sur un rectangle d'impact de dimensions a

paralllement x et b paralllement y (fig. 2.51).

Si a < b, utiliser les formules prcdentes en remplaant :

p parba

P

x par a y par b par a/b

Vx devient Va et Vy devient Vb

ce qui signifie que Va et Vb sont obtenus en ne considrant qu'une dalle de dimensions a x barticule sur son contour (de primtre 2 (a + b)).

On admet que l'effort tranchant au milieu d'un des cts de la dalle est la somme des effortstranchants calculs prcdemment en 1) et 2) soit :

V = Vx + Va ou Vy + Vb

Si a > b prendre

a

b=

3pb

Va = +

=2pb

Vb (p conservant la valeur baP

)


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5.3. MTHODE FORFAITAIRE POUR LE CALCULDES POUTRES-DALLES CONTINUES

DANS LE CAS DE CHARGES D'EXPLOITATIONMODRES (BAEL annexe E1)

5.3,1. conditions respecter

Les conditions gnrales d'application sont celles qui sont nonces en tte du paragraphe2.1,3,1.

Soit pour une trave quelconque :

Mo la valeur du moment flchissant de la trave indpendante de mme porte correspondant,suivant le cas envisag, l'ELU ou lELS.

Mw et Me les valeurs absolues des moments sur appuis de gauche et de droite de la traveconsidre.Mt le moment maximal en trave admis en prenant en compte la continuit,

Soit encoreB

BO QG

Q+

=

avec G charges permanentes.

QB charges d'exploitation.

On peut choisir arbitrairement les valeurs des moments M t, Mw et Me mais de manire respecterconditions suivantes :

1) OOew

t M)3,01(2

MMM +

++

et Oew

t M05,12

MMM

++

2) O0

t M2

3,01M

+ si la trave est une trave intermdiaire.

et O0

t M2

3,02,1M

+ si la trave considre est une trave de rive.

3) La valeur absolue de chaque moment sur appui intermdiaire (du ct de la traveconsidre) ne doit pas tre choisie infrieure :

0,60 Mo s'il s'agit d'une poutre-dalle deux traves,0,50 Mo sur appuis voisins des appuis de rive d'une poutre-dalle plus de deux

traves,

0,40 Mo pour les autres appuis s'il s'agit d'une poutre-dalle plus de trois traves.


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Lorsque pour un appui, les valeurs des moments aux nus de gauche et de droite de cet appuisont diffrentes, on retient pour le calcul des armatures sur appuis la plus grande des valeursabsolues de ces deux moments.Suivant que Mo a t valu par l'ELU ou lELS, on obtient ainsi les valeurs de Mt, Mw et Me pour ltatlimite correspondant.

5.3,2. construction de la courbe des moments

1 - Courbe des moments isostatiques (fig. 2.52)

Aprs avoir dtermin la valeur Mo du moment maximal mi-porte, on porte MOO' = OMO. Les droitesO'W et O'E sont les tangentes en W et E. Un point M quelconque de la parabole, l'abscisse WM' = xs'obtient en prenant le milieu P' de WM', le milieu Q' de M'E, en rappelant P' et Q' en P et Q sur lestangentes O'W et O'E puis en joignant PQ qui coupe la verticale de M' au point M cherch. La figure2.52 montre qu'il n'est pas ncessaire de recommencer cette construction un grand nombre de fois (2ou 3 suffisent) pour avoir un trac trs acceptable de la demi-parabole, et de son ensemble ensuite, parsymtrie.

2 - Courbe-enveloppe des moments d'une trave de poutre continue (fig. 2.52 bis)

Pour obtenir la courbe-enveloppe des moments de flexion, on effectue une construction par

points homologues. On trace dabord la courbe des moments isostatiques selon le procddcrit ci-dessus. On trace ensuite une droite reliant les points W sur la verticale de W et Esur la verticale de E tels que WW = Mw et EE = Me. On trace galement une deuxime droite


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obtenue en dcalant vers le haut tous les points de la droite de la quantit 0,3 0 M0 (voirfigure 2.52 bis).

La courbe-enveloppe, compose des arcs (Ct), (Cw) et (Ce), se dduit de la courbe des momentsisostatiques en portant :

- pour larc (Ct), en prenant pour base la droite , des segments a1 a2, ou b1 b2, etc., telsque a1a2=a1a2, b1b2=b1b2, etc.,- pour les arcs (Cw) et (Ce), en prenant pour base la droite , des segments c1c2 tels quec1c2=c1c2, etc.

La figure 2.52 bis donne la construction de la courbe partir de laquelle sont dtermins les arrtsdes panneaux de treillis souds aprs que l'on ait effectu sur elle le dcalage de 0,8 h prvu parles Rgles BAEL (Art. A.4.1,5).

5.3,3. abaques (w + e) = f (t)

Pour dterminer Mt, Mw et Me on peut poser :

Mt = t MoMw = w MoMe = e Mo

Les abaques ci-aprs (Fig. 2.53 et 2.54) donnent (w+ e) si l'on s'est fix t ou inversement.

2

MM ew +

Fig. 2.52bis

0,3% Mo


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102

! ! "

"#

"

#

!

!

"

"

#

!

$


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5.3,4. exemple d'utilisation

Soit la poutre-dalle quatre traves :

Donnes :

Charges permanentes : g = 12,5 kN/mCharges variables : q = 8,75 kN/m

Les portes sont telles que :

2/1 = 0,8753/2 = 1,074/3 = 1,20

Tous ces rapports sont compris entre 0,8 et 1,25. La mthode forfaitaire est applicable, la conditionq 2g tant galement remplie.

Les moments isostatiques ultimes ((1,35g+1,5q) 2 /8) valent respectivement :

M01 = 60 kNmM02 = 46 kNmM03 = 52,7 kNm

M04 = 76 kNmTrave 1

Sur lappui de rive 1, on retient comme valeur du moment 0,15M 01= 9 kNm

Sur lappui 2, voisin de lappui de rive, on peut retenir comme valeur du moment,

Max [0,5 x 60 ; 0,5 x 46 ] = 30 kNm

Donc, pour la trave 1 :

e = 0,15 w =

= do e + w = 0,65

Pour K = 0,7, labaque des traves de rive, fig 2.54, donne t = 0,795 0,8

Do, pour la trave 1 : Mw = 9 kNmMt = 0,8 x 60 = 48 kNmMe = 30 kNm

27,0gq

K


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Trave 2

Sur l'appui 2 :

65,04630

w ==

Sur l'appui 3 (intermdiaire) on peut retenir comme valeur du moment

Max [0,4 x 46 ; 0,4 x 52,7]= 21,1 kNm

Donc pour la trave 2 :

46,046

1,21e == et w + e = 1,11

L'abaque des traves intermdiaires fig. 2.53 donne, pour K = 0,756,0t =

d'o, pour la trave 2 :

Mw= 30 kNmMt = 0,56 x 46 = 25,8 kNmMe= 21,1 kNm

Trave 3

Sur l'appui 3, compte tenu du choix fait prcdemment :

w = 0,4

Sur l'appui 4 (appui voisin de lappui de rive 5) on peut retenir comme valeur du moment :

Max [0,5 x 52,7 ; 0,5 x 76] = 38kNm

Donc pour la trave 3 :

72,07,52

38e == et 12,172,04,0ew =+=+

M02 = 46 kNm

30 Max [0,4 M02 ; 0, 4M03 ]

1 2 3 4

M03

M03 = 52,7 kNm

21,1Max [0,5M03 ; 0,5M04 ]

3 4 5

M04


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L'abaque des traves intermdiaires fig. 2.53 donne :

t = 0,56

d'o, pour la trave 3 :

Mw= 21,1 kNmMt = 0,56 x 52,7 = 29,5 kNmMe= 38 kNm

Trave 4

Sur l'appui 4, compte-tenu du choix fait prcdemment :5,0w =

On suppose que l'appui de rive 5 est organis de manire pouvoir quilibrer un moment gal 15 kNm.

On a donc :

20,07615

e ==

d'o 70,020,05,0ew =+=+

Pour cette valeur, l'abaque des traves de rive fig. 2.54 donne

77,0t =

d'o, pour la trave 4:

Mw= 38 kNmMt = 0,77 x 76 = 58,5 kNmMe= 15 kNm

Remarque :

Pour chacune des traves s'il n'y a que des charges uniformment rparties, on peut alors faire le trac de lacourbe des moments en utilisant par exemple le procd indiqu au titre 5.3,2. La translation permettant depasser de la droite ' la droite sera prise gale :

,M2

MMM O

ewt

++

Mt, Mw, Me, MO, prenant, chaque fois, les valeurs correspondant la trave considre.

M03

38 15

3 4 5

M04 = 76 kNm

4


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5.4. MTHODE DE CALCULDITE MTHODE CAQUOT (BAEL annexe E2)

5.4,1. cas courant (dalle continue d'paisseur constante)

Principe du calcul

Les diffrentes valeurs du moment sur un appui sont dtermines en prenant seulement en compte les travesadjacentes. La poutre continue est remplace par une succession de poutres deux traves dont les momentssont nuls sur les appuis extrmes (fig. 2.55).

Dans ce schma, les portes relles sont remplaces par des portes fictives 'w et'e avec

= pour une trave de rive et = pour une trave intermdiaire.Lorsque les deux traves aboutissant l'appui tudi ont le mme moment d'inertie et que lescharges sont uniformment rparties, l'expression du moment sur l'appui considr est :

)(5,8

ppM

'e

'w

3'ee

3'ww

+

+=

On commence par dterminer, pour chaque appui, les valeurs du moment de flexion (ngatif)correspondant aux cas de charge suivants :


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- charges permanentes seules (rgnant donc sur lensemble des traves) :

pw=pe=g ou pw=pe=1,35g

- charge variable sur la trave gauche de lappui considr :pw=qb, pe=0 ou pw=1,5qb, pe=0

- charge variable sur la trave droite de lappui considr :

pw=0, pe=qb ou pw=0, pe=1,5qb

( Le moment sur appui correspondant une charge variable agissant simultanment sur les deuxtraves encadrant lappui considr sobtient en additionnant les valeurs des moments de flexionpour chacun des deux cas prcdents).

Les valeurs des moments en trave s'obtiennent ensuite en traant la courbe des momentsisostatiques de la trave indpendante complte, de porte , d'abord avec les chargespermanentes seules, puis avec les charges permanentes et les charges variables en prenantcomme lignes de fermeture celles qui correspondent la distribution envisage pour les chargesvariables, comme indiqu ci-dessus.

ll faut donc considrer tous les cas de charge de part et d'autre d'un appui, ou sur une trave seuleet sur les deux traves qui l'encadrent, la trave encadre tant dcharge, afin de pouvoir tracer lacourbe-enveloppe des moments les plus dfavorables, soit l'ELU, soit lELS selon le procdindiqu en 5.3,2 en ne prenant en compte que la droite de base '.

5.4,2. charges localises,ou paisseur variable d'une trave l'autre

Dans le cas de charges concentres ou de poutres-dalles dans lesquelles les paisseurs diffrentd'une trave l'autre, se reporter l'annexe E2 des Rgles BAEL.

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02 05 Formulaire