RESUME DES EQUATIONS ET FORMULAIRE DE MECANIQUE DES FLUIDES

DEPARTEMENT HYDRAULIQUE - MECANIQUE DES FLUIDESMcanique des fluides

2Rsum des quations et formulaire

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PADmcanique des fluidesEcoulements turbulentsJacques GEORGE

48Ecoulements turbulents

48.1Ecoulements turbulents. Etude locale, modlisation 3D

58.2quation de l'nergie cintique turbulente

68.3Proprits des coulements turbulents

68.4Modlisation, hypothses de fermeture, mthodes de rsolution

88.5Conditions aux limites

8 Ecoulements turbulents

8.1 Ecoulements turbulents. Etude locale, modlisation 3D

Quand le nombre de Reynolds caractristique augmente, des perturbations samplifient, donnent naissance des instabilits et lcoulement devient turbulent.

8.1.1 Exprience de Reynolds

En faisant varier successivement le diamtre D de la conduite, la vitesse dbitante V de lcoulement et la viscosit du fluide, Reynolds a montr quun coulement en conduite cylindrique horizontale, initialement laminaire se transforme brutalement, aprs une courte priode de transition en un coulement turbulent ds que le nombre adimensionnel baptis nombre de Reynolds Re dpasse une valeur critique. Ce passage dun coulement laminaire un coulement turbulent se manifeste par une amplification brutale des perturbations, un filet color horizontal (et peu diffusif, c'est--dire aux frontires bien marques) se met osciller puis disparat du fait et lintensification du mlange.

Un enregistrement local montre que la vitesse instantane vi prsente des fluctuations Vi et oscille autour dune valeur moyenne note (ou plus communment ). Par dfinition, la moyenne temporelle (au sens de la turbulence) des fluctuations de vitesse est nulle: (ce qui implique que les variations temporelles des grandeurs moyennes se font des chelles de temps grandes devant les chelles de temps caractristiques de le turbulence)..8.1.2 quations de Reynolds

Les corrlations des fluctuations de vitesse et les couplages vitesse/temprature entranent une modification des quations moyennes qui sont baptises quations de Reynolds.

Continuit:

et

Mouvement:

Chaleur:

Concentration:

Lquation de continuit est valable aussi bien instantanment quen moyenne, ce qui signifie que lincompressibilit nest pas affecte par lagitation mais quen outre, la turbulence prsente un caractre au moins bidimensionnel (le plus gnralement tridimensionnel) puisque lexistence dun gradient de fluctuation dans une direction impose que, dans une autre direction au moins, le gradient soit non nul lui aussi.

Les termes , et reprsentent respectivement les valeurs moyennes des contraintes turbulentes et des flux turbulents de chaleur et de masse.

Si un coulement turbulent est permanent en moyenne on dira que lcoulement est stationnaire.

8.2 quation de l'nergie cintique turbulente

Le produit par Vi de l'quation du mouvement donne en moyenne :

Le premier membre caractrise le transport ou advection de k.

Dans cette quation, reprsente la production de turbulence. Le premier terme est gnr par laction des termes de frottement par agitation dans des zones gradient de vitesse moyenne, on parle de production par gradient de vitesse moyenne. Le second caractrise leffet dstabilisateur (production) ou stabilisateur (destruction de turbulence) gnr par les fluctuations de densit gT et leur capacit entretenir (respectivement attnuer) les tourbillons verticaux car cette dernire scrit, dans un repre o laxe z est vertical dirig vers le haut:

On remarque que la production par gradient de vitesse moyenne est cre majoritairement dans les zones fort gradient, c'est--dire dans les zones proches des parois, dans les couches de mlange, au voisinage des lignes de jet (dans les sillages par exemple).

Le second groupement de termes du second membre, sous forme de divergence, traduit la diffusion de k sous laction de la viscosit et de lagitation turbulente elle mme ainsi que la diffusion turbulente des fluctuations de pression

Enfin le dernier, toujours ngatif, reprsente le taux de dissipation de k sous leffet de la destruction des petits tourbillonspar la viscosit :

On voit donc quil existe un quilibre advection, production, diffusion, dissipation et que, sans une production importante, la turbulence se disperse et disparat rapidement sous leffet des autres termes.

8.3 Proprits des coulements turbulents

On remarque que les quations moyennes se sont enrichies de termes diffusifs dorigine fluctuante, ce qui a pour effet daugmenter considrablement les flux:

la turbulence a donc pour effet de faciliter les changes en favorisant le mlange ainsi que les transferts de quantit de mouvement, de masse et dnergie

Comme les termes de diffusion sont augments:

on assiste une homognisation des proprits, on constate en particulier une uniformisation des profils de vitesse moyenne

on constate une forte augmentation des frottements donc de la perte dnergie mcanique par dissipation

8.4 Modlisation, hypothses de fermeture, mthodes de rsolution

Le systme des quations de Reynolds constitue un systme dit ouvert car la prise de moyenne des termes quadratiques a fait apparatre de nouvelles inconnues caractristiques des flux turbulents.

Sans avoir la prtention dapporter ici des mthodes de rsolution, on peut exposer brivement les diverses approches possibles. Quelle que soit la stratgie adopte, vu la complexit des quations, on aura en principe recours une simulation numrique dun systme discrtis dquations.

8.4.1 Simulation directe ou Direct Numerical Simulation (DNS)

Afin dviter davoir modliser les quations, on peut choisir de rsoudre numriquement les quations instantanes de Navier-Stokes (qui restent valables en turbulent). Lennui cest que cela nest possible qu la condition de choisir un maillage suffisamment fin pour que chaque terme prenne son expression locale instantane (donc que le maillage soit plus resserr que la taille des plus petits tourbillons). Il faut alors rsoudre un grand nombre de fois les quations instantanes dans tout le champ de lcoulement afin den extraire des moyennes qui seront seules exploitables par lingnieur.

Donc un maillage trs fin, on associe un grand nombre de rsolutions. Une telle mthode demande un ordinateur trs puissant dot de beaucoup de mmoire et reste lheure actuelle du domaine de la recherche pour des configurations gomtriques simples. Lavantage est nanmoins de permettre de vritables expriences numriques utiles la modlisation.

8.4.2 Modles de fermeture au point, modles de type k-Sinon en revient la rsolution des quations de Reynolds, il faudra fermer les quations, c'est--dire modliser les termes inconnus.

Cest ce que font la plupart des codes industriels qui proposent la rsolution simultane en tout point du maillage dun systme constitu des quations de Reynolds et dquations complmentaires (le plus souvent lquation de k et une quation supplmentaire de comportement du taux de dissipation ).

On parle couramment de modles RANS pour Reynolds Averaged Navier-Stokes Equations.

On a lhabitude de considrer alors: o la viscosit turbulente T est modlise, pour des raisons dimensionnelles, par

On modlise de faon analogue les diffusivits thermiques et massiques turbulentes en fonction des gradients respectifs de temprature et de concentration moyennes. Les flux de chaleur et de masse scrivent: et , les termes de production de k devenant alors: (reprsente ici lcart lquilibre vertical isentropique et le nombre de Prandtl turbulent).

Le systme est alors ferm et donne une solution stationnaire en tout point.

On peut rsoudre des coulements dans des gomtries complexes. Ces modles sont trs couramment utiliss mais ils prsentent linconvnient de ne pas rendre compte des instabilits et de privilgier les phnomnes isotropes.

On peut aussi utiliser dautres modles de fermeture au point selon le type dcoulement.

8.4.3 Simulation des grandes chelles (SGE) ou Large Eddy Simulation (LES)

Une solution davenir consiste peut tre en lapproche, initie par les mtorologues, dans laquelle on a une approche hybride entre les deux mthodes prcdentes.

Lorsqu'il n'est plus possible de rsoudre directement toutes les structures d'un coulement on peut avoir recours la LES : qui consiste ne rsoudre que les plus grandes chelles de l'coulement. Les structures rsolues sont en pratique de taille suprieure un chelle de coupure correspondant la taille de la maille de calcul. Les grandes chelles porteuses d'nergie sont a priori bien calcules condition de bien dcrire la cascade d'nergie jusqu'au plus petites chelles o l'nergie est dissipe. La non rsolution directe des petites chelles ncessite donc la modlisation de leurs effets sur l'coulement. Le modle correspondant est appel modle de sous maille. Il doit entre autre assurer la dissipation non rsolue. L'aspect dissipatif est introduit par une viscosit supplmentaire appele viscosit de sous maille. Pour les modles les plus avancs (modles dynamiques) la viscosit de sous maille est calcule localement en fonction des caractristiques de la turbulence plus grande chelle de sorte que cette viscosit sera nulle dans les zones laminaires de l'coulement ou dans les zones ou le maillage est suffisamment raffin pour capter toutes les chelles de l'coulement.

Donc, dune part on modlise les quations lchelle de la maille (qui na pas besoin dtre trs fine mais qui doit rester plus petite que les plus petits tourbillons dont on voudra suivre les volutions) et dautre part on rsout en tout point et chaque instant le quations instationnaires sur lensemble du domaine. On fait donc en quelque sorte une DNS filtre au niveau sous-maille.

Ce type de modlisation commence tre introduit dans les modles industriels et conduit des solutions intressantes en particulier dans les sillages instationnaires ou pour les phnomnes de mlange pour ne citer queux.

8.5 Conditions aux limites

Comme dans le cas des coulements laminaires, on retrouve la condition dadhrence aux parois et on peut imposer soit des conditions de flux, soit des conditions en temprature ou en concentration. En revanche, on ne peut plus dire que les flux paritaux sont directement proportionnels aux gradients des grandeurs moyennes. En effet, alors que par dfinition, on a toujours exactement , il est impossible de dterminer avec prcision le gradient de vitesse la paroi car la zone dans laquelle on peut ngliger lapport des termes fluctuants dans lexpression des contraintes est de trs faible paisseur (cest la sous couche visqueuse).

En pratique, le plus souvent, on modlisera donc les flux paritaux de faon empirique en tenant compte de facteurs tels que la rugosit des parois.

INSTITUT NATIONAL POLYTECHNIQUE DE TOULOUSE ECOLE NATIONALE SUPERIEURE DELECTRONIQUE, DELECTROTECHNIQUE, DINFORMATIQUE , DHYDRAULIQUE ET DES TELECOMMUNICATIONS

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