MECANIQUE DES FLUIDES __________________ Jean-Franois SINI 2008 cel-00356205, version 1 - 26 Jan 2009cel-00356205, version 1 - 26 Jan 2009 AVANT-PROPOS Ce document polycopi correspond au support de cours de Mcanique des Fluides enseign en premireanne lcoleCentrale.Ilconstitueuneintroductionltudedesphnomnesdetransportdemasse,dequantitde mouvement et dnergie dans les coulements de fluides. Lapremirepartie(chapitres29)prsentelesnotionsetprincipesgnrauxdelathermodynamiqueetdela Mcanique qui permettent dtablir les quations de bilans dans un fluide. Leur formalisation en criture locale dans le cas des fluides usuels aboutit aux quations dites de Navier-Stokes. Ces dveloppements gnraux, associs un formalisme rigoureux, peuvent apparatre quelque peu thoriques aux yeux dun lve ingnieur, mais ils constituent labaseindispensabledelanalysedessystmesfluides.Ilspermettentdecernerlesapproximationsusuelles gnralementutilisesdansltudesimplifiedescoulementsindustrielscomplexes.cepropos,lechapitre10 prsente les notions essentielles permettant de rduire consciemment le systme de Navier-Stokes et de justifier au cas par cas les hypothses simplificatrices qui conduisent aux diffrentes classes dapproximations de la Mcanique des Fluides. La deuxime partie du document (chapitres 11 15), aprs quelques lments de Statique et des (rares) solutions exactesdesquationsdeNavier-Stokes,prsenteunaspectplusappliqu,adaptlaformationduningnieur gnraliste. Les quations de bilans intgraux de masse, de quantit de mouvement et dnergie, illustres ici sur le cassimpledescoulementsdeconduites,permettentdaborderdunpointdevueglobal,denombreuxproblmes courantsdelaMcaniquedesFluidesIndustrielle.LessentieldesmanipulationsdeTravauxPratiquesportesur lillustration de ces notions. Un enseignement complmentaire lectif est propos en 2me anne aux lves qui le souhaitent(*). Il sagit non pas tant dtendre les concepts ou le contenu au-del de ce qui est prsent ici, mais de mettre en uvre les acquis sur des applications industrielles concrtes par ltude de quelques classes dapproximations. Pourlardactiondececourspolycopi,jaiutilislibrementdenombreuxouvragesclassiquesetquelques documentsdecertainscollgues,tousdisponibleslabibliothquedelcoleCentrale.Jesprequecepolycopi constituera une invitation la lecture de ces livres. Jean-Franois Sini Nantes, le 4 juillet 2006 (*) Cetenseignementlectif(MFLAP),incontournablepourlesoptionsHydrodynamiqueNavaleetGnieOcaniqueet McaniquedesFluidesNumrique,estfortementrecommandpourleslvessorientanten3meanneverslesoptions Energtique & Environnement et Gnie Civil les autres sont aussi les bienvenus! cel-00356205, version 1 - 26 Jan 2009cel-00356205, version 1 - 26 Jan 2009 I I SOMMAIRE Chapitre 1 Vecteurs et tenseurs................................................................................................................ 1 1.1 Vecteurs........................................................................................................................................................ 1 1.1.1 Espace vectoriel Euclidien......................................................................................................................... 1 1.1.2 Convention de lindice muet...................................................................................................................... 2 1.1.3 Changement de base .................................................................................................................................. 2 1.2 TENSEURS........................................................................................................................................................... 3 1.2.1 Dfinitions ................................................................................................................................................. 3 1.2.2 Changement de base .................................................................................................................................. 4 1.2.3 Oprations sur les tenseurs ........................................................................................................................ 5 1.2.4 Le tenseur dorientation............................................................................................................................. 7 1.3 OPRATEURS VECTORIELS ET TENSORIELS ......................................................................................................... 8 1.3.1 Notations.................................................................................................................................................... 8 1.3.2 Dfinitions ................................................................................................................................................. 8 1.3.3 Notation dyadique.................................................................................................................................... 10 1.3.4 Identits ................................................................................................................................................... 11 1.3.5 Relations intgrales.................................................................................................................................. 11 PREMIERE PARTIE Chapitre 2 Introduction .......................................................................................................................... 15 2.1 CONCEPTS GNRAUX...................................................................................................................................... 15 2.1.1 Ltat fluide ............................................................................................................................................. 15 2.1.2 Le concept de milieu continu................................................................................................................... 16 2.1.3 Limites de lhypothse de continuit ....................................................................................................... 18 2.1.4 Surfaces de discontinuit ......................................................................................................................... 18 2.2 PROPRITS THERMODYNAMIQUES DES FLUIDES.............................................................................................. 18 2.2.1 Axiome de lquilibre local ..................................................................................................................... 18 2.2.2 quation dtat......................................................................................................................................... 19 2.2.3 Premier principe et nergie interne .......................................................................................................... 20 2.2.4 Second principe et entropie...................................................................................................................... 23 2.2.5 Forme diffrentielle de lnergie interne et de lentropie ........................................................................ 24 2.2.6 quations dtat canoniques, enthalpie.................................................................................................... 26 2.2.7 Quelques dfinitions ................................................................................................................................ 26 cel-00356205, version 1 - 26 Jan 2009 II II Chapitre 3 Cinmatique .......................................................................................................................... 29 3.1 DESCRIPTION DU MOUVEMENT..........................................................................................................................29 3.1.1 Notions de rfrentiel et de configuration ................................................................................................29 3.1.2 Description Lagrangienne ........................................................................................................................30 3.1.3 Description Eulerienne .............................................................................................................................31 3.2 DRIVE PARTICULAIRE....................................................................................................................................31 3.2.1 Taux de variation dune grandeur matrielle............................................................................................31 3.2.2 Acclration dune particule fluide ..........................................................................................................33 3.3 RFRENTIEL INERTIEL ET RFRENTIEL RELATIF.............................................................................................33 3.4 LIGNES FLUIDES ................................................................................................................................................34 3.4.1 Trajectoires...............................................................................................................................................34 3.4.2 Lignes de courant .....................................................................................................................................35 3.4.3 Lignes dmission.....................................................................................................................................36 Chapitre 4 Dformation et rotation........................................................................................................ 37 4.1 TRANSLATION...................................................................................................................................................37 4.2 ROTATION.........................................................................................................................................................38 4.3 DILATATION......................................................................................................................................................39 4.4 CISAILLEMENT..................................................................................................................................................40 4.5 DCOMPOSITION DU MOUVEMENT GNRAL DUNE PARTICULE........................................................................42 4.5.1 Cas 2D......................................................................................................................................................42 4.5.2 Cas 3D......................................................................................................................................................43 4.5.3 Taux de dallongement dun segment fluide ............................................................................................43 4.6 TENSEUR DES TAUX DE DFORMATION ET TENSEUR DES TAUX DE ROTATION ...................................................44 Chapitre 5 Thormes de transport ....................................................................................................... 47 5.1 VOLUMES ET SURFACES DE CONTRLE..............................................................................................................47 5.2 FORMULATION DES THORMES DE TRANSPORT ...............................................................................................48 5.2.1 Cas gnral dun volume de contrle arbitraire........................................................................................48 5.2.2 Cas dun volume de contrle fixe.............................................................................................................50 5.2.3 Cas dun volume de contrle matriel Vm(t) ...........................................................................................50 5.2.4 Expression du thorme de transport en vitesse relative ..........................................................................50 5.2.5 Thorme de transport pour un champ vectoriel ......................................................................................50 5.3 FORMES ALTERNATIVES DES THORMES DE TRANSPORT.................................................................................50 5.4 THORMES DE TRANSPORT EN PRSENCE DUNE SURFACE SINGULIRE...........................................................51 5.5 APPLICATIONS...................................................................................................................................................52 5.5.1 Le taux de dilatation volumique ...............................................................................................................52 5.5.2 Lquation de continuit...........................................................................................................................53 Chapitre 6 Le tenseur des contraintes.................................................................................................... 55 6.1 EFFORTS DISTANCE - EFFORTS DE CONTACT...................................................................................................55 6.1.1 Schma macroscopique des contraintes ...................................................................................................55 6.1.2 Proprit des contraintes locales...............................................................................................................56 6.2 LE TENSEUR DES CONTRAINTES.........................................................................................................................57 6.2.1 Reprsentation des forces de surface par le tenseur des contraintes.........................................................57 6.2.2 Composantes du tenseur des contraintes ..................................................................................................59 6.2.3 Symtrie du tenseur des contraintes .........................................................................................................59 6.2.4 Notion de pression statique ......................................................................................................................60 6.2.5 Le tenseur des contraintes visqueuses ......................................................................................................62 Chapitre 7 quations de bilans............................................................................................................... 65 7.1 FORME GNRALE DUN PRINCIPE DE BILAN .....................................................................................................65 7.2 QUATION DE BILAN DE MASSE.........................................................................................................................66 cel-00356205, version 1 - 26 Jan 2009 III III 7.3 QUATION DE BILAN DE QUANTIT DE MOUVEMENT ........................................................................................ 66 7.3.1 Formes macroscopiques........................................................................................................................... 66 7.3.2 Formes locales ......................................................................................................................................... 68 7.4 THORME DE LNERGIE CINTIQUE............................................................................................................... 69 7.5 QUATION DE BILAN DE LNERGIE .................................................................................................................. 71 7.6 QUATION DE BILAN DE LNERGIE INTERNE.................................................................................................... 73 7.7 FORME ENTHALPIQUE DU BILAN DNERGIE..................................................................................................... 74 7.8 QUATION DE BILAN DE LENTROPIE ................................................................................................................ 74 Chapitre 8 Lois de comportement .......................................................................................................... 77 8.1 PRINCIPES GNRAUX ...................................................................................................................................... 77 8.1.1 Introduction ............................................................................................................................................. 77 8.1.2 Axiomatique des lois de comportement................................................................................................... 78 8.2 RELATIONS LINAIRES ENTRE FORCES ET FLUX................................................................................................ 79 8.2.1 Cas de la quantit de chaleur - Loi de Fourier ......................................................................................... 80 8.2.2 Cas de la quantit de mouvement - Loi de Newton ................................................................................. 81 8.3 LES FLUIDES NON NEWTONIENS........................................................................................................................ 85 8.3.1 Les fluides non newtoniens indpendants du temps ................................................................................ 86 8.3.2 Les fluides non newtoniens dpendants du temps ................................................................................... 87 8.3.3 Les fluides visco-lastiques ..................................................................................................................... 87 8.4 QUELQUES PROPRITS PHYSIQUES DES FLUIDES ............................................................................................. 88 8.4.1 La viscosit .............................................................................................................................................. 88 8.4.2 La conductivit thermique ....................................................................................................................... 88 8.4.3 La diffusivit matrielle........................................................................................................................... 89 8.4.4 Les nombres adimensionnels du transport diffusif .................................................................................. 89 Chapitre 9 Les quations de Navier-Stokes........................................................................................... 91 9.1 TABLISSEMENT DES QUATIONS ..................................................................................................................... 91 9.1.1 Introduction ............................................................................................................................................. 91 9.1.2 Quantit de mouvement ........................................................................................................................... 91 9.1.3 nergie interne......................................................................................................................................... 92 9.2 TABLEAU RCAPITULATIF ................................................................................................................................ 93 9.2.1 Le systme dquations complet .............................................................................................................. 93 9.2.2 Cas dun fluide parfait ............................................................................................................................. 94 9.2.3 Cas dun fluide isovolume ....................................................................................................................... 94 9.3 LES DIFFRENTES APPROCHES DE RSOLUTION ................................................................................................ 94 Annexe du chapitre 9........................................................................................................................................ 97 Chapitre 10 Analyse dimensionnelle ...................................................................................................... 99 10.1 INTRODUCTION............................................................................................................................................... 99 10.1.1 chelles caractristiques et estimations a priori .................................................................................. 100 10.1.2 Nombres sans dimension ..................................................................................................................... 101 10.2 PRINCIPE DE LANALYSE DIMENSIONNELLE.................................................................................................. 103 10.2.1 Exemple............................................................................................................................................... 103 10.2.2 Le Thorme ou thorme de Vaschy-Buckingham........................................................................ 104 10.3 QUATIONS DE NAVIER-STOKES ADIMENSIONNELLES.................................................................................. 107 10.3.1 tablissement des quations ................................................................................................................ 107 10.3.2 Interprtation du nombre de Reynolds................................................................................................. 109 10.3.3 Interprtation du nombre de Froude .................................................................................................... 110 10.3.4 quation adimensionnelle pour lnergie ............................................................................................ 110 10.4 ANALYSE DE SIMILITUDE.............................................................................................................................. 112 10.4.1 Cas des coulements isovolumes ......................................................................................................... 112 10.4.2 Cas des coulements compressibles..................................................................................................... 114 10.5 LES PRINCIPAUX NOMBRES SANS DIMENSION ............................................................................................... 115 cel-00356205, version 1 - 26 Jan 2009 IV IV DEUXIEME PARTIE Chapitre 11 Statique des fluides ........................................................................................................... 119 11.1 GNRALITS................................................................................................................................................119 11.1.1 Le thorme dArchimde....................................................................................................................120 11.1.2 quilibres pseudo-statiques ..................................................................................................................122 11.1.3 Fluides compressibles...........................................................................................................................123 11.2 HYDROSTATIQUE ..........................................................................................................................................125 11.2.1 Hypothses de base ..............................................................................................................................125 11.2.2 Rsultante de pression sur une paroi ....................................................................................................125 11.2.3 Application la mesure de la pression statique....................................................................................127 11.2.4 Phnomnes de tension superficielle....................................................................................................129 Chapitre 12 Quelques solutions exactes de Navier-Stokes ................................................................. 133 12.1 LES COULEMENTS PARALLLES...................................................................................................................133 12.1.1 quations pour les coulements parallles en canal .............................................................................133 12.1.2 quations pour les coulements parallles en rotation.........................................................................135 12.1.3 quations pour les coulements parallles en conduite........................................................................136 12.2 COULEMENTS ENTRE DEUX PLAQUES PLANES .............................................................................................136 12.2.1 coulement dans un canal bidimensionnel...........................................................................................136 12.2.2 coulement de Couette.........................................................................................................................139 12.2.3 Premier problme de Stokes.................................................................................................................140 12.3 DIFFUSION DUN FILAMENT TOURBILLONNAIRE............................................................................................142 12.4 COULEMENT DE POISEUILLE DANS UNE CONDUITE CYLINDRIQUE ...............................................................145 12.4.1 Grandeurs cinmatiques et dynamiques ...............................................................................................146 12.4.2 Grandeurs nergtiques ........................................................................................................................147 12.4.3 Limites de validit ................................................................................................................................148 12.5 NOTIONS DE TURBULENCE ............................................................................................................................149 12.5.1 Gnralits............................................................................................................................................149 12.5.2 Formules empiriques pour les coulements en conduites.....................................................................150 Chapitre 13 Notions de bilans intgraux.............................................................................................. 155 13.1 INTRODUCTION .............................................................................................................................................155 13.2 BILAN INTGRAL DE MASSE ..........................................................................................................................158 cel-00356205, version 1 - 26 Jan 2009 V V Chapitre 14 Bilans dnergie cintique................................................................................................ 161 14.1 FORMULATION GNRALE............................................................................................................................ 161 14.1.1 Bilan macroscopique sur un volume arbitraire .................................................................................... 161 14.1.2 Formulation pour les coulements internes ......................................................................................... 163 14.2 RELATION DE BERNOULLI POUR LES FLUIDES VISQUEUX.............................................................................. 164 14.2.1 tablissement de la relation intgrale .................................................................................................. 164 14.2.2 Exemple et interprtation graphique.................................................................................................... 169 14.3 RELATION DE BERNOULLI POUR LES FLUIDES PARFAITS............................................................................... 172 14.3.1 La formulation locale pour un fluide isovolume.................................................................................. 172 14.3.2 coulements irrotationnels de fluides parfaits isovolumes .................................................................. 174 14.3.3 Le cas des fluides barotropes ............................................................................................................... 175 14.4 EXEMPLES DAPPLICATION........................................................................................................................... 176 14.4.1 coulements par des orifices ............................................................................................................... 176 14.4.2 Pression darrt .................................................................................................................................... 178 14.4.3 Mesures de la pression dans un coulement ........................................................................................ 179 14.4.4 Mesures des dbits............................................................................................................................... 181 Chapitre 15 Bilans de quantit de mouvement ................................................................................... 187 15.1 THORME DES QUANTITS DE MOUVEMENT POUR LES COULEMENTS STATIONNAIRES ISOVOLUMES......... 187 15.1.1 tablissement de la relation intgrale .................................................................................................. 187 15.1.2 Cas particulier des coulements internes ............................................................................................. 188 Cas des coulements internes stationnaires de fluides isovolumes................................................................. 189 15.2 EXEMPLES DAPPLICATION........................................................................................................................... 191 15.2.1 Pousse dans un coude......................................................................................................................... 191 15.2.2 Perte de charge dans un largissement brusque ................................................................................... 193 15.2.3 Puissance dune hlice......................................................................................................................... 195 Annexe 1 Coordonnes cartsiennes .................................................................................................... 200 Annexe 2 Coordonnes cylindriques .................................................................................................... 202 Annexe 3 Coordonnes sphriques....................................................................................................... 204 Annexe 4 Proprits physiques des fluides .......................................................................................... 206 Index........................................................................................................................................................ 209 Bibliographie sommaire ........................................................................................................................ 213 Ouvrages conseills pour les Travaux en Autonomie......................................................................... 213 cel-00356205, version 1 - 26 Jan 2009 VI VI cel-00356205, version 1 - 26 Jan 2009 Chapitre 1 Vecteurs et tenseurs Ce chapitre prsente lessentiel des notions mathmatiques portant sur les oprateurs vectoriels et tensoriels et la notation indicielle, qui est largement utilise dans le cours de Mcanique des Fluides. On consultera les rfrences [1] ou [6] pour une prsentation plus rigoureuse et plus dtaille. 1.1 Vecteurs 1.1.1 Espace vectoriel Euclidien La Cinmatique Classique est construite partir de lespace euclidien E de dimension 3 dont les lments sont despointsetdunedfinitiondutemps,ouchronologie,letempstantreprsentparlavariablerellet.un coupledepoints(P,Q)correspondunlmentxrdunespacevectorieleuclidienEdedimension3,soit (P,Q) x PQr. On dfinit le produit scalaire dexr et deyr , not x yr rg , comme lapplication bilinaire symtrique de (ExE) dans lensemble des rels R dont la forme quadratique est dfinie positive: (ax by) z a(x z) b(y z) + +r r r r r r rg g g ,(a, b) R , x y y x r r r rg g 2x x x 0 r r rg Ayantfaitlechoixdunebase 1 2 3e , e , er r rou ier(i=1,2,3)deE,xrsexprimesousformedelacombinaison linaire: 31 1 2 2 3 3 i ii 1x x e x e x e x e + + r r r r r(1.1) o les xi sont les composantes dexr. La base est orthonorme si et seulement si i j ije . er r (i, j = 1, 2, 3) o ijest le symbole de Kronecker 11 22 33ij12 21 321si i j ( 1)0si i j ( ... 0) ' Les ijsont les lments de la matrice unit. Sauf mention explicite contraire, nous nutiliserons dans ce cours que des bases orthonormes. cel-00356205, version 1 - 26 Jan 2009 2 2 1.1.2 Convention de lindice muet On convient dcrire la relation (1.1) sous la forme: i ix x e r r(1.2) Seloncetteconvention(diteconventiondEinstein),lorsquunindiceestrpt2foisdansunmonme,ce monme reprsente en fait la somme de tous les termes obtenus en donnant cet indice les valeurs 1, 2, 3. Lindice i dans(1.2)estditmuetcarlalettrequilereprsenteestsansimportance;parexemple, i i j jx y et x y dsignentle mme produit scalairex yr rg . Il nest pas inutile de prciser ici quelques indications sur lutilisation de cette convention dcriture. Dansunerelation,unindicenonmuetestditfranc;ilnepeutapparatrequuneseulefoisdansunmme monme. Ainsi dans la relation i ij jT n (1.3) i est un indice franc alors que j est un indice muet. ? Il faut toujours dsigner un indice muet par une lettre diffrente de celles qui sont utilises pour les indices francs. Notons que (1.3) exprime queTr est une forme linaire denr et la matrice ijreprsente dans la base considre loprateur linaireT n rr. En supposant quon ait aussi i ij jn A m alors la substitution dans (1.3) devra scrire i ij jk kT A m ?Cecimontreclairementque2indicesmuetsquiinterviennentdanslemmemonmedoiventtoujourstre dsigns par 2 lettres diffrentes. 1.1.3 Changement de base Soient *ieret ierdeuxbasesorthonormesdeE.Lesvecteurs *ierpeuventnaturellementsexprimercommedes combinaisons linaires des vecteurs 1 2 3e , e et er r r: *i ij je P e r r(1.4) En multipliant scalairement les deux membre de (1.4) par ker il vient *i k ij j k ij jk ike .e P e .e P P r r rr et lon observe que ikPest la fois la composante de *ier sur ker dans la base 1 2 3(e , e , e )r r r et aussi la composante de ker sur *ier dans la base * * *1 2 3(e , e , e )r r r. On peut donc crire: *i ji je P e r r(1.5) cel-00356205, version 1 - 26 Jan 2009 3 3 Lacomparaisonde(1.4)et(1.5)montrequelesmatricestransposes ijP et jiP sontgalementrciproques; elles sont donc orthogonales. Ceci scrit en notation indicielle: ik jk ij ki kj ijP P ; P P et en notation matricielle:P PT = PT P = 1 Dsignons par ixet *ixles composantes dun mme vecteurxr dans les bases ier et *ier; on obtient en utilisant (14) et (15): * * *i i i ij j j j* * *i i i ji j j jx x e x P e x ex x e x P e x e r r r rr r r r ce qui donne les relations de changement de base: *i ij j*i ji jx P xx P x et en notation matricielle: ** Tx xx xr rr rPP 1.2 Tenseurs 1.2.1 Dfinitions Un tenseurdu second ordre est un oprateur linaire qui fait correspondre tout vecteurnr de E un vecteur Tr de E et lon critT (n) L rr. Il est dfini de manire unique par les 3 vecteurs: i ij j(e ) T e L r r cest--direparles9nombres ijT appelscomposantesdutenseurdanslabaseorthonorme ier,ouencoreparla matrice T dlments ijT . La donne de 2 vecteursAr etBr permet de dfinir un tenseur par lapplication linaire n A(B.n) r rr r(1.6) Ce tenseur est le produit tensoriel deAr etBr. On le noteA B r r et ses composantes sont simplement i jA B . Lesproduitstensorielsde2vecteursformentunsous-ensembledelespacevectorieldestenseursdordre2 (espace 9 dimensions) qui contient en particulier les 9 lments i je e r r, (i, j = 1, 2, 3) qui sont linairement indpendants dans lespace des tenseurs dordre 2. On peut en particulier crire un tenseur du second ordre quelconque sous la forme ij i je e r r(1.7) cel-00356205, version 1 - 26 Jan 2009 4 4 Le tenseur dfini par lapplication identit est dit tenseur unit ou tenseur disotropie et not1. Il est reprsent dans toute base orthonorme par ses composantes ij(matrice unit): 1 1 2 2 3 3 ij i j1 e e e e e e e e + + r r r r r r r r Les notions prcdentes se gnralisent facilement pour dfinir les tenseurs dordres suprieurs. Ainsi un tenseur dordre3estunoprateurlinairequitoutvecteurnrdeEfaitcorrespondreuntenseurdusecondordre.Les critures suivantes gnralisent respectivement (1.6) et (1.7) n A B(C.n) r r rr r ijk i j ke e e r r r(1.8) De la mme manire, on peut considrer quun vecteur est un tenseur dordre 1: n (A.n) rr r i iA A e rr et quun scalaire est un tenseur dordre 0: n (n.n) r r r i in n n r 1.2.2 Changement de base Il sagit de dterminer les composantes dun tenseur dans une base orthonorme *ier connaissant ses composantes dans une autre base orthonorme ier. On crit: * * *ij i j ij i je e e e r r r r. Or, compte tenu de (1.4) et (1.5) et de la linarit du produit tensoriel * *i j ik j ke e P P e e l lr r r r * *i j ki j ke e P P e e l lr r r r on obtient * *k ki j ij k ik j ijP P et P P l l l l quon peut encore crire k* *ij ik j ij ki k jP P et P P ll l l(1.9) soit en notation matricielle * * T Tet P P P P cel-00356205, version 1 - 26 Jan 2009 5 5 1.2.3 Oprations sur les tenseurs a) Multiplication tensorielle Soient un tenseurA B r r dordre 2 et un tenseurVr dordre 1. On dfinit le produit tensoriel deet deVr par V (A B) V A B V r r r r r r r(1.10) oV r est un tenseur dordre 3 que nous noterons . On crira donc sous forme indicielle dans la base orthonorme ier ijk i i j j k k i j k i j k( V) (A e B e ) (V e ) A B V e e e rr r r r r r ou encore ijk ij i j k k ij k i j k( e e ) (V e ) V e e e r r r r r r(1.11) Les composantes du tenseursobtiennent donc par simple produit des composantes deetVr dans la base commune ijk ij kV V r(1.12) Le rsultat du produit tensoriel de 2 tenseurs respectivement dordre n et m est un tenseur dordre n+m. b) Contraction un tenseur dordre n on peut faire correspondre un tenseur dordre n-2 par contraction de deux indices francs voisins en deux indices muets. La convention de sommation (cf. 1.1.2) est alors applique. Remarque 1:La contraction du tenseur unit du second ordre ij i j1 e e r r est le scalaire ii3 .(1.13) Remarque 2:Lescalairereprsentparlacontractiondes2indicesduntenseur dordre2estappella trace de ce tenseur et not Tr{ };Tr{ }=kk .(1.14) c) Transposition partir dun tenseur du second ordre ij i je e r r, on dfinit letenseur transpos Tpar transposition des 2 indices: ij j i ji i jTe e e e r r r r Les matrices reprsentantet Tdans la base ier sont dites transposes lune de lautre cel-00356205, version 1 - 26 Jan 2009 6 6 ij jiT (1.15) Un tenseur est dit symtrique sil est gal son transpos: ij ji (1.16) Un tenseur est dit antisymtrique sil est gal loppos de son transpos: ij ji (1.17) Lapartiesymtrique(oupaire)etlapartieantisymtrique(ouimpaire)duntenseur sontdfinies respectivement par sT1( )2 + ou ijs ij ji1( )2 + (1.18) aT1( )2 ou ija ij ji1( )2 (1.19) si bien que s a + ets aT d) Multiplication contracte Leproduittensorielcontractsintroduitnaturellementenoprantdanslamultiplicationtensorielleune contraction sur le dernier indice du 1er tenseur et le1er indice du deuxime. Lopration correspondante est note par un point. Notation intrinsque:R S T g Notation matricielle:R = S T Notation indicielle: ij ik kjR S T En reprenant lexemple du 1.2.3-a, la relation (1.10) devient: V (A B) V A B V r r r r r r rg g g (1.20) oV rgest un tenseur dordre 1 (un vecteur) que nous noteronsUr. On crira donc sous forme indicielle dans la base orthonorme ier i i i i j j k k i j j iU e ( V) (A e B e ) (V e ) A B V e rr r r r rg gou encore i i ij i j k k ij j iU e ( e e ) (V e ) V e r r r r rg (1.21) Les composantes deUr dans la base ier sont donc i ij jU V . Le rsultat du produit contract de 2 tenseurs respectivement dordre n (n=1) et m (m=1) est un tenseur dordre n+m-2. cel-00356205, version 1 - 26 Jan 2009 7 7 Deux tenseursSetTsont dits inverses ou rciproques si les produitsS T getT S gsont tous deux gaux au tenseur unit S T T S 1 g g ; ik kj ik kj ijS T T S (1.22) Remarque 1:La contraction de i je e r r est i j ije er rg (1.23) Remarque 2:Le produit scalaire de 2 vecteursUr etVr est le rsultat de la multiplication contracte des 2 vecteursUr etVr: i i j j i j ij i iU V (U e ) (Ve ) U V U V r rr rg g Remarque 3:Le rsultat du produit doublement contract de 2 tenseurs respectivement dordre n (n=2) et m (m=2) est un tenseur dordre n+m-4. Cette opration est note par un double point: ij i j k k ij i j ij jiD ( e e ) (D e e ) ( e ) (D e ) D : :l l l lr r r r r rg (1.24) Remarque 4:Le produit contract de 2 tenseurs symtriques nest en gnral pas symtrique. 1.2.4 Le tenseur dorientation a) Dfinition Le tenseur dorientation ijk i j ke e e r r r est dfini partir du symbole de Lvi-Civita,not ijk , qui est une fonction alterne des indices ijk telle que 123= 1. Par transposition de 2 indices ijkprend une valeur oppose. ijk1si (i, j, k)est unepermutation pairede(1, 2, 3); 231par ex.1si (i, j, k)est unepermutationimpairede(1, 2, 3); 213par ex.0si deuxindices au moinssont gaux; 122par ex.+ '(1.25) b) Produits contracts du tenseur dorientation ijk pqk ip jq iq jp (1.26) ijk pjk ip2 (1.27) ijk ijk6 (1.28) On trouvera la dmonstration de ces identits dans la rfrence [1]. c) Produit vectoriel de 2 vecteursA, Br r En effectuant le produit doublement contract du tenseur dorientation parB A r r on obtient les composantes du produit vectorielA B r r ijk i j k k k j j ijk j k i(B A) ( e e e ) (B e A e ) A B e :r rr r r r r r ainsi i ijk j k(A B) A B r r(1.29) cel-00356205, version 1 - 26 Jan 2009 8 8 d) Produit mixte de 3 vecteursA, B, Cr r r Son expression indicielle rsulte directement de (1.29) ijk i j kA (B C) A B C r r rg (1.30) e) Vecteur associ un tenseur antisymtrique Siest un tenseur antisymtrique du second ordre ij ji( ) , i ijk kj12 (1.31) dfinitlescomposantesduvecteurassoci(ouvecteuraxial) .Rciproquement,toutvecteurr,onpeut associer un tenseur antisymtrique ij jik k (1.32) 1.3 Oprateurs vectoriels et tensoriels 1.3.1 Notations DansunespaceeuclidienorthonormdaxesOxi, ierdsignantlesvecteursunitairesdelabasedelespace vectoriel associ, on dfinit les oprateurs gradient, divergence, laplacien et rotationnel par leurs composantes. Dune manire gnrale, les objets de la Physique (et de la Mcanique des Fluides) sont des champs, cest--dire des fonctions de lespace et du temps associant un pointxr et un instant t un scalaire(x, t) r, un vecteurV(x, t)rr ouuntenseurdordre2(rarementplus)(x, t) r.Leschampssont(saufdiscontinuitslocalestraites spcifiquement) continus et supposs drivables jusqu lordre utile. Pourcompacterleformalismelesoprateursdedrivationpartiellescriventlaidedelanotationvirgule. Ainsi , t(x, t)tr; ,ii(x, t)xr; 2,iji j(x, t)x x r dsignent respectivement la drive partielle par rapport au temps, par rapport la variable despace xi et la drive seconde par rapport xi et xj. 1.3.2 Dfinitions a) Gradient Loprateur gradient associe au champ scalaire(x, t) r le champ vectoriel dfini par ,i igrad e uuuurr(1.33) cel-00356205, version 1 - 26 Jan 2009 9 9 Il sensuit que les composantes du gradient sont ,i igrad e uuuurrgsoit ,1 11, 2 22,3 33not (direction e )xnot (direction e )xnot (direction e )x ' rrr Si(x, t) r est, par exemple, un champ de pression, le vecteurgrad uuuur est orient dans la direction o la pression varieleplusvite,ilestdirigversleshautespressionsetsonmoduleindique,chaqueinstant,lintensitdela variation de pression par unit de distance dans cette direction. Plusgnralementlegradientduntenseurdordrenestuntenseurdordren+1;parexemplegrad Vrestle tenseur dordre 2 (dit tenseur gradient deVr) dfini par i, j i jgrad V V e e rr r(1.34) et qui a pour composantes i, jVsoit 1,1 1, 2 1,32,1 2,2 2,33,1 3,2 3,3V V VV V VV V V _ ,(1.35) b) Divergence Loprateur divergence associe un champ de vecteursV(x, t)rr la fonction de points valeurs scalaires i,idivV V r(1.36) Lacomparaisonde(1.34)et(1.36)montrequeladivergence i,iV estlaformecontractedutenseurgradient i, jV , cest--diredivVr = Tr{ grad Vr}. SiV(x, t)rr est, parexemple, le champ de vitesse dans un fluide, le champ scalairedivVr indique lintensit des contractions ou des expansions locales au sein du fluide. Cette notion peut tre illustre en considrant la quantit de fluide qui entre ou sort dun lment de volume infinitsimal dV pendant llment de temps dt. dV dV dV dV dV dV divV 0 r Zone de divergence Dtente ou dilatation locale Plusgnralementladivergenceduntenseurdordrenestuntenseurdordren-1;parexempledivuuurestle vecteur dfini par cel-00356205, version 1 - 26 Jan 2009 10 10 ij, j idiv e uuurr(1.37) Notons que siest un champ scalaire, puisque ij , j ,i( ) , on a lidentit div( 1) grad uuur uuuur.(1.38) c) Rotationnel Loprateur rotationnel associe un champ de vecteursVr le champ de vecteurs dfini par ijk k, j irot V V e uur rr(1.39) Remarque :Le vecteur associ grad Vr a pour composantes ijk k, j1V2 ; cest donc le vecteur 1rot V2uur r. d) Laplacien Le laplacien, not, dun champ scalaire(x, t) r est le scalaire dfini par ,iidiv(grad ) uuuur(1.40) Le laplacien, notV r, dun champ vectorielV(x, t)rr est le vecteur dfini par i, jj iV div(gradV) V e uuur r rr(1.41) ou encore i iV ( V) e rr 1.3.3 Notation dyadique Onsimplifielescrituresenutilisantlanotationdyadiquequiintroduitlevecteursymboliquenabla,notr, dont les composantes formelles sont les oprateurs de drivation partielle par rapport aux variables despace x1, x2, x3. ,11,22,33notxnotxnotx ' r OprateurNotation gradientgrad uuuurr tenseur gradientgrad VrV r r divergencedivVrV r rgvecteur divergencedivuuurrgrotationnelrot Vuur rV r r laplacien 2 r Laplacien vectorielV r 2V r r cel-00356205, version 1 - 26 Jan 2009 11 11 1.3.4 Identits IdentitNotation dyadique grad( ) grad grad + + uuuur uuuur uuuur( ) ++r r r grad ( ) grad grad + uuuur uuuur uuuur( ) +r r r rot (U V) rot U rot V + +uur uur uur r r r r(U V) U V + +r r r r r r r rot (grad ) 0 uuruuuur r0 r r r rot ( V) rot (V) grad V + uur uur uuuur r r r( V) V V +r r r r r r div(U V) divU divV + +r r r r(U V) U V + +r r r r r r rg g gdiv(rot V) 0 uur rV 0 r r rgdiv( V) div(V) grad V + uuuur r r rg ( V) V V +r r r r r rg g gdiv(U V) Vrot U Urot V uur uur r r r r r r(U V) ( U) V U V r r r r r r r r rg g gdiv( 1) grad uuur uuuur( 1) r rg 1.3.5 Relations intgrales a) Formules de Green-Ostrogradski SoitV un domaine volumique (connexe ou pas), de frontire V sur laquelle est dfini en tout point rgulier le vecteur unitaire extrieurnr . VV nnx1x2x3VV nnnnx1x2x3x1x1x2x2x3 Si 1 2 3(x , x , x ) estunchampscalaire, 1 2 3V(x , x , x )runchampvectorielet 1 2 3(x , x , x ) unchamptensoriel dordre 2, continus dans ( ) V V + ayant des drives premires dansV , alors ndS grad dV VV uuuurrsoit i ,in dS dV VV (1.42) V n dS divVdV VV r rrg soit i i i,iV n dS V dV VV (1.43) n dS div dV VV uuurrg soit ij j ij, jn dS dV VV (1.44) Ces formules (ou thorme de la divergence) stendent naturellement des tenseurs dordre suprieur 2. b) Formule de Stokes cel-00356205, version 1 - 26 Jan 2009 12 12 Soit S undomainesurfaciquedefrontire S surlequelestdfinientoutpointrgulierlevecteurunitaire extrieurnr . SnSSnnS Si 1 2 3V(x , x , x )r est un champ vectoriel continu dans( ) S S + ayant des drives premires dans S , alors V d (rot V) ndSS S uur r rr rg l gsoit i i ijk k, j iV d V n dSS S g l(1.45) o le premier membre est la circulation du vecteurVr le long de S (parcouru dans le sens direct autour denr) et le second membre le flux du rotationnel deVr traversS . cel-00356205, version 1 - 26 Jan 2009 PREMIRE PARTIE cel-00356205, version 1 - 26 Jan 2009cel-00356205, version 1 - 26 Jan 2009 Chapitre 2 Introduction 2.1 Concepts gnraux OnappelleMcaniqueltudedesdplacementsetdesdformationsdescorpsaucoursdutemps,ycompris ltudedesconditionsquientranentcesmouvements.NousconsidreronsicilaMcaniqueausensrestreinto ninterviennentnichangementsdtatphysique,nitransformationschimiques(vaporisation,cavitation, combustion). La dynamique est la partie de la Mcanique qui tudie (sans expliciter la variable temprature) les mouvements ou le repos dans leurs rapports avec les forces qui les engendrent. La cinmatique fournit le cadre spatio-temporel dans lequel sont dcrits les mouvements dans lespace euclidien 3 dimensions. La cintique se construit partir de la cinmatique en introduisant la notion de masse. 2.1.1 Ltat fluide Lephysiciendistingueclassiquement3tatsdelamatire,solide,liquideetgazeux,enregroupantsousle vocable fluide les gaz et la plupart des liquides. lchelle microscopique, ce qui caractrise les fluides, cest que les molcules ne sont pas bloques dans leurs orientations relatives; elles ont ce degr de libert (de dsordre) que nont pas les molcules dans les solides. Leurs proprits communes sont quils nont pas de forme propre, cest--dire quils sont dpourvus de rigidit; les forces ncessaires pour engendrer des dformations par glissement et assez lentes sont extrmement petites. Cettedistinctionentresolidesetfluidesnestpasparfaitementnette,puisquontrouvedescorpscommeles geles,lespeintures,lesptes,certainessolutionsconcentresdepolymres,quimanifestentlafoisdes comportements de solides (pendant des temps courts) et des comportements de liquides (pendant des temps longs). Les liquides: Les molcules sont lies en distance ce qui en limite le dsordre. Ils occupent un volume dfini et sontsusceptiblesdesorganiserengouttes.Leurdensitesttellequondfinitdordinaire(assezmal)lesliquides parlefaitquensituationderepos,ilsprsententunesurfacelibrediscernableetperpendiculaireauchampde gravit local. Lesgaz:Lesmolculesnesontpasliesendistanceetlesgazoccupenttoutlevolumedisponible.Lesforces permettant dengendrer des dformations volumiques (contraction ou dilatation) sont faibles.cel-00356205, version 1 - 26 Jan 2009 16 16 2.1.2 Le concept de milieu continu La matire a une structure discontinue et la notion de milieu continu est un pur schma. Elle consiste admettre quelamasseettoutessespropritssontrpartiescontinmentdanslematriau(cequinexclutpasles discontinuits aux interfaces). Bien entendu ce schma ne prtend reprsenter que les phnomnes macroscopiques dont les chelles caractristiques sont trs grandes devant la distance intermolculaire moyenne. Comme il nest pas questiondignorercompltementlesphnomnesdontlesigeestlchellemolculaire(commeceluidela diffusion), ceux-ci devront tre reprsents travers une description macroscopique de leurs consquences grande chelle. Le concept du continuum prsente limmense avantage dautoriser le calcul diffrentiel et intgral dont les outils sont prsents au Chapitre 1. La premire question concerne la dfinition de valeurs locales pour des grandeurs matrielles comme la masse, lenthalpie,lavitesseoulacontrainte.Imaginonsquuninstrumentdemesuredunegrandeurgpuissetre miniaturis volont, et portons la mesure de g en fonction de la dimension l du volume dobservation3l . Si l est du mmeordrequeladistancemoyenned(quelque10-10m)entremolcules,gdpenddunombredemolcules observes (quelques units), elle oscille et semble mal dfinie. Si l >>d, le nombre de molcules observes est trs grandetgestunevaleurstatistiquedesobservationsquinedpendplusde l .Cettevaleur l doitcependantrester trspetitedevantlatailleL(1 m)delexpriencepourjustifierquelonconsidrelamesurecommelocaleou ponctuelle. valeur locale de ggL d lL rg ; on crira donc loprateur drive particulaire de faon symbolique ( )dV graddt t> +rg gg g (3.10) et sous forme indicielle 1 2 31 2 3dV V Vdt t x x x _ + + + ,g gg (3.11) Interprtation Illustronslanotiondedriveparticulaireparlexempleduchampdetemprature(considrecommeun marqueur passif) dans un coulement rectiligne dans la direction 1er . VgradPVgradPe1 1 1(V grad) V / x 0 . >uuuuur r La temprature diminue au point P. V grad> r La temprature nvolue pas au point P. La variation au cours du temps de la temprature en un point P fix scrit daprs (3.11) 11dVdt t x + Dans le cas du repos (V1=0), le taux de variation local de temprature au point P est gal celui de la particule qui sy trouve ddt t Ce terme peut tre non nul en prsence dun phnomne physique comme un transfert de chaleur radiatif ou une ractionchimiqueparexemple.Cependant,mmeenlabsencedetelsphnomnes,lepointPpeutvoirsa tempraturevoluerenprsenceduncoulement(V1?0)silesdiffrentesparticulesquipassentenPportentdes cel-00356205, version 1 - 26 Jan 2009 33 33 tempraturesdiffrentes 1( / x 0) .Cettemodificationlocaledelatempratureestpurementdorigine cinmatique; on parle dadvection et le terme(V grad )>rgest appel terme dadvection. 3.2.2 Acclration dune particule fluide Lacclration en point P est la drive particulaire du vecteur vitesse en ce point, soit daprs (3.10) ( )dV VV grad Vdt t> +r rr rg (3.12) et sous forme indicielle i i i i i1 2 31 2 3dV V V V VV V Vdt t x x x + + + (3.13) coulement permanent LetermeV/ t restletermedacclrationtemporelle.Lemouvementestditpermanent(onparleausside rgime stationnaire) sil se reproduit identique lui-mme au cours du temps, cest--dire si V0trr Onnoteraquedansuncoulementpermanent,letermedacclrationspatiale(V grad )V>r rg (advectiondu vecteur vitesse) est, en gnral, non nul. Onpourramontrer,titredexercice,quelacclrationduneparticulefluidepeutsemettresouslaformede Lamb: 2dV V 1grad V ( rot V) Vdt t 2> > + + r rr r(3.14) 3.3 Rfrentiel inertiel et rfrentiel relatif Les lois de la mcanique ne sont strictement applicables que dans un rfrentiel absolu (ou galilen ou inertiel), cest--direaureposouentranslationuniformeparrapportaurfrentieldeCopernicquiestliunsystme stellaireconsidrcommefixe.Ilestpourtant,leplussouvent,intressantdechoisirunrfrentielrelatifnon inertiel (ou repre entran) comme ceux qui sont lis la Terre. 112332AxRPVxeexx112332eOXEEEXX112332AxRPVxeexx112332eOXEEEXX Exprimonslesrelationsentrelesgrandeurscinmatiquesdansunrfrentielrelatif i(O, e )vcaractrisparune cel-00356205, version 1 - 26 Jan 2009 34 34 vitesseangulaireretlesgrandeurscinmatiquesabsolues(voirlafigure).Enremarquantque iideedtvrv,on obtient: Positions:X R x +r rr Vitesses: adX dRV V xdt dt + +r rr r rr Acclrations: 2 2a 2 2d X d R d2 V x ( x)dt dt dt + + + +r r rr r r rr r r r o aVr et ar sont respectivement la vitesse et lacclration dans le rfrentiel absolu i(A, E )r. 22d Rdtrest lacclration de lorigine O du repre relatif, 2 V r rest lacclration complmentaire dite de Coriolis dxdtrrest lacclration angulaire dite dEuler ( x) r rrest lacclration centrifuge dinertie 212grad ( x)> rr Lacclration dentranement est dfinie par la somme de ces 4 termes qui nont pas gnralement tous la mme importance. Lacclration de Coriolis est dominante dans les coulements gophysiques de grande chelle, mais le repreterrestrepeuttreconsidrcommegalilenpourltudedescoulementsdepetitechellecommeles coulementsdelaboratoire.NousverronsquelenombreadimensionneldeRossbyestlecritrequipermet dvaluer lapproximation qui consiste ngliger ces effets. 3.4 Lignes fluides 3.4.1 Trajectoires Onappelletrajectoirelacourbeorientedcriteparuneparticuleaucoursdesonmouvement,cest--dire lensemble de ses positions occupe successivement entre deux instants. 1Po234oPnttttt1Po234oPnttttt Son quation, pour une particule oxr, est directement donne par: o ox x(x , t t ) r rr(3.15) o to est fix arbitrairement. cel-00356205, version 1 - 26 Jan 2009 35 35 Les trajectoires permettent de visualiser le champ de vitesse en mode de Lagrange. 3.4.2 Lignes de courant a) Dfinition La description Eulerienne conduit elle aussi une reprsentation image du champ de vitesse, un instant t, sous laformedunefamilledelignestangentesenchaquepointauvecteurvitesse,quelonappellelignesdecourant. Elles reprsentent une visualisation instantane du champ de vitesse. VV VV Lquationdeslignesdecourantsedduitdirectementdecettedfinitionencrivantquunpetitdplacement dxr sur la ligne de courant est colinaire au vecteur vitesse: V dx 0 r rrsoit ijk j kV dx 0 En explicitant cette relation, on obtient: 2 3 3 23 1 1 31 2 2 1V dx V dx 0V dx V dx 0V dx V dx 0 ' Les lignes de courant sont donc les intgrales du systme diffrentiel 3 1 21 2 3dx dx dxV (x, t) V (x, t) V (x, t) r r r(3.16) dans lequel t a la valeur fixe (et joue donc le rle dun paramtre). Contrairementauxtrajectoires,leslignesdecourantnepeuventpassecouper.Ellesnesontpasdfiniesun point darrt ( V 0 r r). Dans le cas gnral elles se dforment au cours du temps et sont donc distinctes des trajectoires qui sont, elles, dfinies pour un intervalle de temps fini. Dans le cas particulier des coulements permanents, cest--dire tels que le champdevitessesoitindpendantdutemps,leslignesdecourantsontelles-mmesindpendantesdutempsetla particule qui parcourt le chemindx Vdt rr pendant la dure dt reste toujours sur la mme ligne de courant; celle-ci est donc aussi une trajectoire. cel-00356205, version 1 - 26 Jan 2009 36 36 b) Tube de courant Ondsigneainsiunesurfacetubulaireengendreuninstantdonnpartoutesleslignesdecourantqui sappuient sur une courbe arbitraire ferme. Tube de courant Si le contour du tube de courant dlimite une section droite infinitsimale on parle de filet de courant. 3.4.3 Lignes dmission Une ligne dmission est lensemble des positions un instant t de toutes les particules fluides qui sont passes par un point P un instant quelconque prcdent. PLigne d'missionTrajectoires Si lcoulement est permanent, les trajectoires issues du point P sont toutes confondues; les lignes dmissions et les trajectoires concident donc. Cest seulement dans ce cas particulier que les 3 familles de lignes concident. Une ligne dmission est visualise en injectant un colorant de faon continue en un point fix de lcoulement cel-00356205, version 1 - 26 Jan 2009 Chapitre 4 Dformation et rotation Ladformationdunmilieucontinuestcaractriseparledplacementrelatifdesdiverspointsmatrielsqui constituentcemilieu.Nousprsentons,danscechapitre,laspectgomtriquedesdformationsparladescription desmouvementssimples:translation,rotation,dilatation,dformationangulaire.Ilsagitdunsimplerappeldes notions prsentes dans le cours de Mcanique des Milieux Continus. EnMcaniquedesFluides,leparamtreimportantnestpastantladformationquelavitesselaquellela dformation intervient, et nous introduisons ici la notion de taux de dformation et de taux de rotation . 4.1 Translation Dfinition:Unetranslationpureestunmouvementdanslequeltouteslesparticulessubissentlemme dplacement. Ennotantxrlapositionduneparticulefluideuninstantdonn,x'rsapositionuninstantultrieuretarle dplacement: x' x a(t) +r r r(4.1) La figure reprsente la translation dun lment fluide de forme gomtrique simple. Le volume matriel initial conserve sa forme. Le mouvement de translation seffectue sans dformation. eeeaA BC DE FGHxyxzyzOA' B'C' D'E' F'G' H'aeeeaA BC DE FGHxyxzyzOA' B'C' D'E' F'G' H'a Le vecteur vitesse, dfini par (3.5): a(t) daV(x, t) V(t)t dt r rr rr est le mme pour toutes les particules. cel-00356205, version 1 - 26 Jan 2009 38 38 4.2 Rotation a)Dfinition:Unerotationpureestmouvementdanslequeltouteslesparticulestournentdunmmeangle autour dun axe donn. b) Illustration: Soit par exemple la rotation dun angle (t) autour de laxe Oz; une particule initialement en B se dplace au point B tel que AB = AB et = BAB' . On peut donc crire: x ' xcos ysiny' xsin ycosz' z + ' ou encore sous forme matricielle:x ' x Rr r o R est la matrice antisymtrique de la rotation cos sin 0sin cos 00 0 1 _ ,ReeeBOAxyxyzB'zeeeBOAxyxyzB'zeeeBOAxyxyzB'z c) Taux de rotation: Considrons le dplacement de la ligne fluide AB. Si Vy est la vitesse du point A dans la direction yer, la vitesse du point B est yyVV dxx+. Le dplacement du point B pendant lintervalle de temps dt est yyVV dt dxdtx+ et le segmentfluideABsubitdoncunerotationdangle y yV Vdxdt / dx dtx x Onpeutdoncexprimerletauxde rotation instantan du segment fluide AB: y yV Vdt / dtx x eeexyxA'B'C'D'yinstantt+dtC DxyxyA Bi nst ant tdxdyexVdydtyyVdx dtxeeexyxA'B'C'D'yinstantt+dtC DxyxyA Bi nst ant tdxdyexVdydtyyVdx dtx DemmeletauxderotationinstantandusegmentfluideACest x xV Vdydt / dydty y etletauxde rotation moyen autour de laxe Oz est donc: yxzVV 12 x y _ , On peut aisment gnraliser ce rsultat au cas dune rotation tridimensionnelle: cel-00356205, version 1 - 26 Jan 2009 39 39 yzxx zyyxzVV 12 y zV V 12 z xVV 12 x y _ , _ ' , _ , (4.2) d) Vecteur tourbillon: Levecteur ijk k, j iV e rot V> rrestsouventappelvorticitdelcoulement.Onappellevecteurtourbillonle vecteurr dfini par (4.2) comme la moiti de la vorticit 1rot V2>r r(4.3) et qui sinterprte comme une vitesse angulaire locale. Uncoulementestditirrotationnelsi0 r r.Lerotationnelduchampdevitessetantnulcelui-cidrivedun potentiel: V grad> r et lanalyse de lcoulement peut tre faite laide de cette fonction potentiel . 4.3 Dilatation a)Dfinition:Onappelledilatationladformationunitaireassocieunevariationdelavitessedansla direction du mouvement. b) Illustration: On observe une dilatation pure dans la direction x sur le schma ci-dessous. xA' B'C' D'yinstantt+dtC DxyxyABinstanttdxdyyeeexexVdx dx dtx+xA' B'C' D'yinstantt+dtC DxyxyABinstanttdxdyyeeexexVdx dx dtx+ Si Vx dsigne la vitesse au point A, on peut exprimer la vitesse en B par: xxVV dxx+ et la longueur du segment ABpar xVdx dx dtx+.LavariationrelativedelongueurdusegmentABseradonc: x xV V(dx dx dt) dx / dx dtx x 1+ 1 ]. On dfinit donc le taux de dilatation linaire dans la direction x par xVx(4.4) cel-00356205, version 1 - 26 Jan 2009 40 40 Onobserve,parexemple,unedilatation(dansladirectiondelcoulement)desparticulesfluidesdansune sectionconvergenteduneconduite.Autauxdedilatation xV / x dansladirectionxcorresponduntauxde contraction yV / y dans la direction y. A BC DA'B'C' D'i nst ant t i nst ant t +dtxyA BC DA'B'C' D'i nst ant t i nst ant t +dtxy De faon gnrale, on appelle taux de dilatation volumique (ou cubique) la somme yx zVV VdivVx y z + + r 4.4 Cisaillement a)Dfinition:Onappellecisaillementladformationangulaireassocieunevariationdelavitessedansla direction normale au mouvement. b) Illustration: Un cisaillement a lieu par exemple dans une conduite coude puisque lcoulement est alors plus rapide dans la partie intrieure du coude que dans sa partie extrieure. Le segment fluide CD se dplace plus rapidement que le segment fluide AB. La dformation angulaire est proportionnelle la diffrence de vitesse. A BC DA'B'C'D'A BC DA'B'C'D' Considrons par exemple la dformation reprsente sur le schma de droite de la figure de la page suivante. Si VxestlavitessedupointA, xxVV dyy+reprsentecelledupointC.PendantlintervalledetempsdtlepointA parcourtladistanceVxdtalorsquelepointCparcoureladistance xxVV dt dydty+.Danscesconditionsle segment AC pivote autour de A dun angle x xV Vdydt / dy dty y la vitesse angulaire x xV Vdt / dty y . De la mme manire si la vitesse du point B diffre de celle du point A, le segment AB pivote autour de A avec cel-00356205, version 1 - 26 Jan 2009 41 41 une vitesse yVx. La vitesse de dformation de langle CABest la somme de ces deux vitesses angulaires: yxVVx y+ (4.5) Surleschmaconsidrnousavonspris yVxet xVygaux.Danscecasparticulierladirectiondela bissectriceprincipaleestconserveetlarotationmoyenneestnulle.Onditquelaparticulefluidesubitun cisaillement pur. xy ee xyA'B'C'D'Rotation sans cisaillementC Dxy eexyABdxdyxye xA'B' C'D'yxy ee xyA'B'C'D'Rotation avec cisaillementCisaillementsansrotationexVdydtyyxyxVV0x yVV0x y + yxyxVV0x yVV0x y + yxyxVV0x yVV0x y + yVdxdtxxVdydtyyVdx dtxxy ee xyA'B'C'D'Rotation sans cisaillementC Dxy eexyABdxdyxye xA'B' C'D'yxy ee xyA'B'C'D'Rotation avec cisaillementCisaillementsansrotationexVdydtyyxyxVV0x yVV0x y + yxyxVV0x yVV0x y + yxyxVV0x yVV0x y + yVdxdtxxVdydtyyVdx dtx Si les deux taux de dformation yVx et xVy ne sont pas gaux la particule subit la fois une rotation et une dformation (schma du bas sur la figure). cel-00356205, version 1 - 26 Jan 2009 42 42 Danslecasoulestauxdedformationsontgauxetopposs(schmaduhautdelafigure)onretrouvela rotation pure dcrite au 4.2-c. 4.5 Dcomposition du mouvement gnral dune particule 4.5.1 Cas 2D Nousallonsvoirquedanslecasgnralunmouvementquelconquepeuttredcomposenmouvements simplespurs:translation,dilatation,dformationangulaire(cisaillement)etrotation.Considrons,poursimplifier lexpos, un mouvement bidimensionnel quelconque (figure). La gnralisation au cas tridimensionnel ne prsentera aucune difficult. Vitesse au point A(x,y): xyAVVV'r Vitesse au point D(x+dx, y+dy): x xxy yyDV VV dx dyx yVV VV dx dyx y + + ' + + r CDABA'B'C'D'Oexxyeydxdyx+dxy+dyx+V dtxy+V dtyCDABA'B'C'D'Oexxyeydxdyx+dxy+dyx+V dtxy+V dtyy+V dty linstantt+dtlepointAestpassenAdecoordonnes: xyx V dty V dt+ '+etlepointDenDdecoordonnes: x xxy yyV Vx dx (V dx dy) dtx yV Vy dy (V dx dy) dtx y + + + + ' + + + + (4.6) Onpeutrcrire(4.6)enfaisantapparatrelexpressiondesmouvementssimplesdetranslation,dilatation, dformationangulaireetrotation;ilsuffitdajouteretretrancher1/2(yV / x )dydtlapremirecoordonneet 1/2(xV / y )dxdt la seconde: y yx x xxPositioninit. TranslationDilatationDformation angulaire Rotationy yxyPositioninit.TranslationDilatationV VV V V 1 1x dx V dt dxdt dydt dydt x 2 y x 2 y xV VV 1y dy V dt dydty 2 y x _ _ + + + + + + , , + + + + + yxDformation angulaire RotationVV 1dxdt dxdt 2 x y ' ; _ _ + , , (4.7) cel-00356205, version 1 - 26 Jan 2009 43 43 4.5.2 Cas 3D Ilestaisdegnraliserlexpression(4.7)aumouvementgnralduneparticulefluidedansuncoulement tridimensionnel. On obtient: yx x x zxy y yz xyyz z x zzVV V V V 1 1x dx V dt dx dt dy dz dtx 2 y x 2 z xV V VV V 1 1y dy V dt dydt dz dx dty 2 z y 2 x yVV V V V 1 1z dz V dt dz dt dxz 2 x z 2 y 1 _ _+ + + + + + + 1 ,1 , ] 1 _ _ + + + + + + + 1 1 , , ] _+ + + + + + + ,dy dtzPosition Dformation angulaireTranslation Dilatationinitiale (Cisaillement)'1 _1 1 , ] yx x zy yz xyz x zVV V V 1 1dy dz dt2 y x 2 z xV VV V 1 1dz dx dt2 z y 2 x yVV V V 1 1dx dy dt2 x z 2 y zRotation 1 _ _+ + 1 ,1 , ] 1 _ _ + + 1 ;1 , , ] 1 _ _+ + 1 ,1 , ](4.8) 4.5.3 Taux de dallongement dun segment fluide Nous allons maintenant dterminer le taux de dallongement d dun segment fluide, cest--dire sa variation de longueur par unit de longueur et de temps. Soitl lalongueurinitialedunsegmentfluidePPorientselonlevecteurunitaireur.Conformmentaux notations indiques sur la figure on a: 2i i( ) x x l (4.8) 12x3xuP'+x3 3x+x2 2x+x1 1xlPx et ii0xu lim l l(4.9) Le taux dallongement du segment est dfini par: 01 d( )limdt 1 1 ]dlll quon peut encore crire: 2i i i i2 2 20 0 0d( x x ) x d( x ) 1 1 d( ) 1 1lim lim lim2 dt 2 dt dt ( ) ( ) ( ) 111 111 ] ] ]dl l lll l l(4.10) Or, puisque i i ix x (P') x (P) , on a: [ ] [ ]( )i i 2 i ii i i j jjd x (P') d x (P) d( x ) VV(P') V(P) V x O ( x )dt dt dt x + cel-00356205, version 1 - 26 Jan 2009 44 44 o les Vi sont les composantes du vecteur vitesse quon a dvelopp en srie de Taylor autour du point P. En substituant cette dernire expression dans la relation (4.10) on obtient: ji i0jxx Vlimx 1 1 1 ]dl l l, soit encore, en exprimant les composantes deur daprs (4.9) ii jjVu uxd (4.11) ? Ainsi, le taux dallongement dans la directionur est dtermin par le tenseur gradient de la vitesse locale. Remarque 1:Ce rsultat apporte une justification la remarque que nous avions faite la fin du 3.1.2 sur la limitation majeure de la description Lagrangienne du mouvement dans les fluides. Remarque 2:Le taux dallongement ne dpend en fait que de la seule partie symtrique du tenseur gradient des vitesses. Ceci est dmontr au 4.6 o est introduit le tenseur des taux de dformation. En notantG gradV r le tenseur gradient des vitesses, on crira: u G u dr rg g (4.12) avec1,1 1, 2 1,3ij 2,1 2,2 2,33,1 3,2 3,3V V VG V V VV V V _ ,(4.13) 4.6 Tenseur des taux de dformation et tenseur des taux de rotation On dcompose classiquement le tenseur gradient des vitessesGen la somme de sa partie symtriqueDet de sa partie antisymtrique(voir les dfinitions 1.2.3-c): G D + (4.14) avec iijjVGx (4.15) jiijj iVV 1D2 x x _ + , ij jiD D (4.16) et jiijj iVV 12 x x _ , ij ji (4.17) Le tenseurDest justement nomm tenseur des taux de dformation (stetching tensor); il est symtrique. cel-00356205, version 1 - 26 Jan 2009 45 45 1,1 1,2 2,1 1,3 3,1ij 1,2 2,1 2,2 2,3 3,21,3 3,1 2,3 3, 2 3,31 1V (V V ) (V V )2 21 1D (V V ) V (V V )2 21 1(V V ) (V V ) V2 2 _+ + + + + + ,(4.18) Le tenseurest appel tenseur des taux de rotation (spin tensor); il est antisymtrique. 2,1 1, 2 1,3 3,1ij 2,1 1, 2 3,2 2,31,3 3,1 3,2 2,31 10 (V V ) (V V )2 21 1(V V ) 0 (V V )2 21 1(V V ) (V V ) 02 2 _ ,(4.19) Lescomposantescartsiennesdecestenseurssontdonnesencoordonnesrectangulaires,cylindriqueset sphriques en Annexes. Nous allons maintenant montrer que seul Dij intervient dans la dtermination du taux dallongement d. On peut en effet dcomposer lgalit (4.11): ii j i ij j i ij jjVu u u D u u ux + dLe dernier terme de cette expression peut tre crit sous la forme: i ij j i ij j i ij j1 1u u u u u u2 2 + ou encore, en permutant les indices muets du dernier terme: i ij j i ij j j ji i i ij ji j1 1 1u u u u u u u ( ) u2 2 2 + + Commeest antisymtrique ij ji0 +et lon voit que i ij ju u 0 . Endfinitive,letauxdallongementdansladirectionurestdterminuniquementparletenseurdestauxde dformationD(et par les composantes ui de la direction considre): i ij ju D u d (4.20) soit, sous forme intrinsque:u D u dr rg g (4.21) Rappelons galement que le taux de dformation angulaire, donn par la relation (4.5), est aussi dtermin par le tenseurD(au facteur 1/2 prs). cel-00356205, version 1 - 26 Jan 2009 46 46 EXEMPLE: Taux de dformation dans un coulement de Couette. OnappellecoulementdeCouetteuncoulement bidimensionnel dans lequel la vitesse varie linairement; parexemplelcoulementdunfluideentredeuxplans x2 = 0 et x2 = d dont la vitesse est dfinie par: 22 o 1xV V(x ) V eh r rr.ll1l2x1x2h01e2eVoll1l2x1x2h01e2eVo Dans ce cas particulier seules deux composantes du tenseurDsont non nulles: 12 21 oD D V / 2h . valuonsletauxdallongement 1 d( )dtdlldunlmentinfinitsimall orientdansunedirection quelconque dfinie par 1 2u cos e sin e + r r r. On peut utiliser indiffremment la forme indicielle (4.20) i ij j2 211 1 1 12 2 2 21 1 22 22 211 12 21 2212u D uD u u D u u D u D uD cos (D D )sin cos D sin2D sin cos + + + + + + d ou la relation (4.21) ( )oo oV 10 02 hcosV V 1u D u cos sin 0 0 0 sin sin cos2 h h00 0 0 _ _ , ,dr rg g On voit donc que lallongement est maximum pour = /4: o/ 4V2hd mais quil est nul dans la direction 1er (1 i ij j 11e D e D d = 0), ainsi que dans la direction 2er (2 i ij j 22e D e D d ). cel-00356205, version 1 - 26 Jan 2009 Chapitre 5 Thormes de transport 5.1 Volumes et surfaces de contrle Unvolumedecontrleestunvolumeimaginairesurlequelauprocdeaubilanintgraldunegrandeur physiquecommelamasse,laquantitdemouvementouencorelnergie.Onappellesurfacedecontrle lenveloppe dun volume de contrle. Le fluide peut entrer et sortir dun volume de contrle cest--dire traverser la surface de contrle qui peut elle-mme tre fixe ou mobile. Volume de contrle fixeNous dsignerons par Vf un volume de contrle fig dans lespace. Lenveloppe constitue par la surface de contrle correspondante sera note Sf. titre dexemple la figure ci-contre reprsente le volume de contrle comprisS1S2S f V fS1S2S f V f entre deux sections fixes S1 et S2 dun pot de dtente. Volume de contrle matrielUn volume de contrle matriel (quon note Vm) se dplace avec le fluide; chaque point de son enveloppe (quon note Sm) est une particule fluide. Lafigurereprsenteunvolumematrieldeuxinstantsdiffrents dans une tuyre convergente. V m (t1)S mV m (t2)V m (t1)S mV m (t2) Volume de contrle arbitraire: Il est parfois utile de faire le bilan dune grandeur matriellesurunvolumearbitrairedontle dplacement et la dformation sont diffrents de ceux du fluide qui le traverse. (t)VaSa (t)(t)VaSa (t) On note Va ce volume et Sa la surface de contrle correspondante. cel-00356205, version 1 - 26 Jan 2009 48 48 5.2 Formulation des thormes de transport En Mcanique des Fluides, lvolution des grandeurs matrielles est analyse laide dquations intgrales de bilansurdesdomainesfluidesmacroscopiques.Letransportdecesgrandeursdanslcoulementestexpliciten suivantlemouvement;ilestparconsquentncessairedtablirlexpressiondeladriveparticulairedune intgrale volumique. 5.2.1 Cas gnral dun volume de contrle arbitraire SoitunvolumedecontrlearbitraireVa(t)limitparlenveloppefermeSa(t).Soientf (x, t)runefonction scalaire continue et drivable et I(t) son intgrale sur le volume Va aVI(t) f (x, t) dV r Le taux de variation dans le temps de lintgrale I(t) est donn par a a aaV V (t ) S ( t )d d fI(t) f dV dV f (V n)dSdt dt t + rrg (5.1) o aVrdsignelavitesselocaledelasurfacedecontrleet nrlanormaleextrieure.Larelation(5.1),appele parfois rgle de Leibnitz, sinterprte de la faon suivante: Taux de variation de lintgrale def (x, t)r sur le volume Va(t) = Intgrale de la variation temporelle def (x, t)r sur le volume Va(t) + Flux def (x, t)r travers lenveloppe Sa(t) DMONSTRATION: Pour dmontrer lexpression (5.1) on peut remonter la dfinition de loprateur de diffrenciation: a a at 0V ( t ) V (t t ) V ( t )d 1f (x, t) dV lim f (x, t t) dV f (x, t) dVdt t + 1 + 1 1 ] r r r(5.2) o encore, si lon exprime que Va(t+t) = Va(t) + (II) - (III) (voir sur la figure de la page suivante), [a at 0( t ) ( t ) ( )d 1f (x, t) d lim f (x, t t) d f (x, t t) ddt t + + + r r r144424443 144424443k jV VV V VII a( ) ( t )f (x, t t)d f (x, t) d 1 + ] r r1444244431442443l mVV VIII(5.3) cel-00356205, version 1 - 26 Jan 2009 49 49 Considrons maintenant les diffrents termes du second membre de (5.3). Termes j et m:[ ]at 0V ( t )1 flim - dVt t jm [ ]at 0( t )1 flim dt t j mVV (5.4) Terme k:[ ]t 0 t 0( )1lim lim f (x, t t) dt + rk VII Qnn(I)(III)(II)dSPdSV a (t)V a (t+t)aVraVrQnn(I)(III)(II)dSPdSV a (t)V a (t+t)aVraVr Llment de volume (II) au voisinage du point P (en gris sur la figure) a pour valeur adV (V n t) dS rrg . On peut donc crire en substituant cette expression de dV dans k: at 0 t 01 1lim lim f (x, t t) V n dS tt t 11 + ] ] rr rg kSII af (x, t) V n dS rr rgSII(5.5) o SII est la partie de lenveloppe de Va qui balaye (II) pendant le dplacement. Terme l: t 0 t 0( )1lim lim f (x, t t )dt 1 + ]rl VIII Llment de volume (III) au voisinage du point Q (en gris sur la figure) a pour valeur ad (V n t)dS rrg Vet lon peut crire at 0 t 01 1lim lim f (x, t t) V n dS tt t 1 1 + 1 ] 1 ]rr rg lSIII af (x, t) V ndS rr rgSIII(5.6) o SIII est la partie de lenveloppe de Va qui balaye (III) pendant le dplacement. Substituons pour finir les expressions (5.4), (5.5) et (5.6) dans (5.3); on obtient a aa a(t ) ( t )d ff (x, t) d d f (x, t) (V n) dS f (x, t)(V n)dSdt t + + r rr r r r rg gV V S SV VII III soit encore, puisque( ) U S SII III est lenveloppe totale de Va(t) a a aa(t ) ( t )d ff dV dV f (V n) dSdt t + rrgV V S(5.7) cel-00356205, version 1 - 26 Jan 2009 50 50 5.2.2 Cas dun volume de contrle fixe Dans ce cas aV 0 r r et le flux de f travers lenveloppe est nul: a ad ff d ddt t V VV V (5.8) 5.2.3 Cas dun volume de contrle matriel Vm(t) Danscecaslevolumedecontrlesedplaceaveclefluide;lavitesseenunpointdelenveloppeSmestla vitesseVr du fluide: m m m( t ) ( t ) ( t )d ff d d f (V n) dSdt t + rrgV V SV V (5.9) 5.2.4 Expression du thorme de transport en vitesse relative Considrons maintenant un volume de contrle Va(t) qui concide linstant t avec un volume matriel Vm(t). A cet instant t on peut crire: a a aa(t ) ( t )d ff d d f (V n) dSdt t + rrgV V SV V (5.10) et aussi m m ma( t ) ( t ) ( t )d ff d d f (V n) dSdt t + rrgV V SV V (5.11) Puisqu cet instant on a Va(t) = Vm(t) et Sa(t) = Sm(t) on peut retrancher (5.11) de (5.10) et crire m a aa( t ) (t ) ( t )d df d f d f (V V ) n dSdt dt + r rrgV V SV V (5.12) 5.2.5 Thorme de transport pour un champ vectoriel LethormedetransportsegnraliseimmdiatementaucasdunefonctionvectorielleW(x, t)rr.Ilsuffitde considrer le transport de chacune des composantes. On obtient de faon vidente: a a aa( t ) ( t ) ( t )d WWd d W(V n)dSdt t + rr r rrgV V SV V (5.13) 5.3 Formes alternatives des thormes de transport Lesecondmembreduthormedetransportpeuttremissouslaformeduneintgraledevolume.Ilsuffit dutiliser la formule de Green-Ostrogradski (1.43): (t ) ( t )f V ndS div(f V) d r rrgS VVcel-00356205, version 1 - 26 Jan 2009 51 51 On obtient: (t ) ( t )d ff d div(f V) ddt t1 + 1 ] rV VV V (5.14) Lintgrand du second membre peut tre transform en utilisant lidentit adiv(fV) f div(V) V grad f +uuuur r r rg et en introduisant la drive particulairedf fV grad fdt t +uuuur rgOn crira donc (t ) ( t )d dff d f divV ddt dt 1 + 1 ] rV VV V (5.15) 5.4 Thormes de transport en prsence dune surface singulire Ladmonstrationduthormedetransportprsenteau 5.2.1faitlhypothsequelafonctionconsidreest continue dans le volume de contrle. En prsence dune surface singulire o la fonction prsente une discontinuit (2.1.4) il convient de prendre quelques prcautions particulires. Considrons par exemple un volume de contrle matrielVm(t) coup en deux partiesV1 et V2 par une surface de discontinuit (). Dans chaque volume V i la fonction f est suppose continue; on peut donc dans chacun deux utiliser (5.9): i i i ii i(t ) (t ) (t ) ( t )d ff d d f (V n ) dS f (V n ) dSdt t + + r rr rg gV V SV VoVr est la vitesse propre de la surface (). V11()S1S2V22V11()S1S2V222 Vm(t) = V1(t) + V2(t) Sm(t) = S1(t) + S2(t) 1n2n12() Ajoutons et retranchons iV nrrgdans lintgrand du dernier terme i i i ii i i(t ) (t ) (t ) ( t )d ff d d f (V n ) dS f (V V) n V n dSdt t 1 + + + ] r r r rr r rg g gV V SV V i i i ii i(t ) (t )fd f (V n ) dS f (V V ) n dSt+ + r r rr rg gV SVcel-00356205, version 1 - 26 Jan 2009 52 52 Les 2 premiers termes du second membre sont lexpression du thorme de transport appliqu au volume Vi en labsence de surface singulire. Le dernier terme, o apparat la vitesse relative du fluide par rapport (), traduit un flux de f travers (). En utilisant (5.14) i i ii(t ) (t ) ( t )d ff d div(f V) d f (V V ) n dSdt t1 + 1 ] r r rrgV VV V et en remarquant que i2i 1( t ) ( t )d df d f ddt dt 11 1 ] V VV Von obtient finalement: i2ii 1( t ) ( t ) ( t )d ff d div(f V) d f W n dSdt t 11 + 1 1 ] 1 ] r rrgV VV V (5.16) oW V V r r r est la vitesse relative du fluide par rapport la surface de discontinuit (). 5.5 Applications 5.5.1 Le taux de dilatation volumique Considrons le cas particulier of (x, t)r est la fonction scalaire constantef (x, t)r = 1. Lintgrale I(t) reprsente dans ce cas le volume du domaine fluide considr: mm( t )I(t) (t) d VV V et la drive particulaire dI(t)/dt est le taux de variation du volume de contrle, soit, daprs (5.9), mm(t )d(t) divVddtrVV V o encore, daprs (5.14) mm(t )d(t) divVddtrVV V (5.17) Si on considre prsent un volume fluide lmentaire Vm la relation prcdente scrit alors: mmddivVdt rVV soit finalement: mmd V 1divVV dtr(5.18) cel-00356205, version 1 - 26 Jan 2009 53 53 Ladivergencedelavitesselocaledufluidereprsentedoncletauxdevariationrelativeduvolumedela particulefluide.Onditquuncoulementdefluideestisovolume2(cest--direincompressibleetindilatable)sile taux de dilatation volumique est nul en tout point coulement de fluide isovolume (incompressible) divV 0 r r (5.19) 5.5.2 Lquation de continuit Examinons prsent le cas of (x, t)r est la masse volumique(x, t) r du fluide. Lintgrale I(t) reprsente dans ce cas la masse du domaine fluide considr: mm( t )M( ) (x, t) d rVV VVm tant un domaine matriel, sa masse est conserve au cours du mouvement et donc mm(t )dM( ) div( V) d 0dt t1 + 1 ]rVV V (5.20) Dans le cadre de lhypothse de continuit cette expression reste vraie sur un volume infinitsimal; on peut donc crire le principe de conservation de la masse (5.20) sous la forme locale div( V) 0t+ r (5.21) appele quation de continuit. En utilisant la dfinition (3.10) de la drivation particulaire, lquation de continuit prend la forme quivalente suivante ddivV 0dt+ r (5.22) Remarque 1:On retrouve lexpression (5.18) m m mmd( m/ ) d 1 d 1divVdt m dt dt rV V VV et linterprtation physique que nous avions faite de loprateur divergence au 1.3.2-b. 2Les variations de volume dans un fluide sont lies travers lquation dtat celles du champ de pression (on parle de compressibilit)etcellesduchampdetemprature(onparlealorsdedilatation).Unabusdelangagebientabliconduit qualifier dincompressible un coulement de fluide isovolume. cel-00356205, version 1 - 26 Jan 2009 54 54 Remarque 2:Appliquonslethormedetransportunegrandeurmatriellef(ofapparatcommeune densit volumique): m m(t ) ( t )d ff d div( f V) ddt t1 + 1 ] rV VV Vet dveloppons le second membre: m m( t ) ( t )d ff d f div( V) V gradf ddt t t 1 _ _ + + + 1 , , ] uuuur r rgV VV V Le premier terme entre crochets est nul daprs (5.21) et le second fait apparatre la drive particulaire de f. On obtient donc une forme particulire du thorme de transport: m m(t ) ( t )d dff d ddt dt V VV V (5.23) Cette expression, trs utilise, est parfois dsigne dans la littrature sous le nom de thorme de Reynolds. Remarque 3:La drive particulaire dune grandeur matrielle quelconque scrit daprs (3.7): jjdVdt t x + Considrons maintenant le produit d/dt; on a j jj jnuld' aprs (5.21)V Vddt t x t x 1 + + 1 1 ]1442443 On pourra donc utiliser lexpression suivante ddiv( V)dt t + r(5.24) cel-00356205, version 1 - 26 Jan 2009 Chapitre 6 Le tenseur des contraintes 6.1 Efforts distance - efforts de contact 6.1.1 Schma macroscopique des contraintes Les particules matrielles qui ont une ralit physique sont les molcules; ce sont elles qui subissent les efforts extrieurs(commelapesanteur)ouquiexercentdeseffortssurlesmolculesvoisines.Cependantleschmadu milieucontinunousconduitoubliercetteralitetintroduireuneschmatisationmacroscopiquedesefforts rels. On distingue 2 types de forces: - celles qui sont exerces par un matriau situ en dehors du domaine fluide tudi et pntrent lintrieur assez loin par rapport aux dimensions microscopiques; -etcellesquisontexercesparlesmolculesdumatriausituendehorsdudomainefluidetudietquiont une porte voisine des dimensions microscopiques. Lexemple le plus courant dans la premire catgorie est la force de pesanteur, mais aussi la force de Coulomb (silefluideportedeschargeslectriques)oulesforcesfictivescommelaforcedeCoriolis(silereprenestpas galilen). Nous crirons la somme de ces forces de volume qui agissent au temps t sur la particule fluide de volume dV situe au pointxr f (x, t) dV r r de sorte quef r reprsente la densit volumique locale des efforts etfr dsigne la densit massique locale. Le forces dorigine molculaire se distinguent des prcdentes par le fait quelles dcroissent trs vite (comme d-7 ou d-8) lorsque la distance d entre les molcules augmente. Pour la cohrence avec le schma du milieu continu, il est clair que ces forces de trs courte porte doivent tre considres comme ponctuelles. Considrons un domaine fluide V . Il faut distinguer deux situations possibles: -oubienlesmolculeseninteraction(considresdeuxdeux)appartiennenttoutesV,etdanscecasles forces quelles exercent lune sur lautre sannulent mutuellement en vertu du principe daction-raction, cel-00356205, version 1 - 26 Jan 2009 56 56 -oubiencertainesdentreellesnappartiennentpasV. Danscecas,onglobaliselactionmolculairedesmolcules extrieuresagissantautempstsurlefluideintrieurV, traversllmentdesurfacedSdelafrontireprisautourdu pointxr et de normale unitaire extrieurenr: xSVf dVTdSnx1er2er3erxxSVf dVTdS TdSnnxx1er2er3er1er2er3er T(n, x, t )dSrrr Le vecteurTr est appel la contrainte locale; il a la dimension dune force par unit de surface. La rsultante des forces extrieures qui sapplique au volume fluide V limit par la surface S scrit donc f (x, t) d T(n, x, t) dS + r rr r rV SV (6.1) et le moment rsultant des forces extrieures est: (x f ) d (x T) dS + r rr rV SV (6.2) DanslecasolasurfaceSreprsenteunesurfacephysique(surfacelibre,interfaceentredeuxfluidesnon miscibles,paroisolide)lacontrainteTrreprsenteeffectivementlactiondesforcesmolculairesdumatriau extrieur.Danslecasdunesurfacefictivearbitraireonaperoitlapossibilitdereprsenterdesforces intrieures. Les interactions dynamiques entre fluide intrieur et fluide extrieur travers llment dS sont dues lafoisauxforcesintermolculairesetdeschangesdemolculesennombregaldanslesdeuxsenslchelle macroscopique,cequiannuletouttransportnetdemasse;cependantlefluxdequantitdemouvementesten gnral non nul. Cette interprtation lchelle macroscopique de la contrainte constitue la reprsentation des forces intermolculaires dans le schma du milieu continu. 6.1.2 Proprit des contraintes locales Mise part la diffrence de leurs dimensions (force par unit de volume et force par unit de surface), il y a une autre diffrence cruciale entrefr etTr:fr est dfini en tout point tout instant alors quxr et t fixsTr dpends de lorientationnr de llment de surface considr. Il faut cependant ne pas confondre le vecteurTr et la directionnr. Nous allons montrer que la contrainte locale change de signe lorsquon change le signe de la normale: T( n, x, t) T(n, x, t) r rr r r r(6.3) DMONSTRATION: Pour cette dmonstration nous utiliserons le thorme de la moyenne que nous rappelons ici: cas monodimensionnel ( [ ] a, b D ): baf (x) dx (b a)f cel-00356205, version 1 - 26 Jan 2009 57 57 cas dune surface (D S ):f dS fSS cas dun volume (D V ):f d fVV V o f est une fonction continue sur le domaine D etfsa valeur en un point du domaine. Considronsmaintenantledomainematriel reprsentpardeuxsurfacesparalllesdaireS connectesparunebandedpaisseurl etdaireA.Si nousadmettonsquelquilibremacroscopiquedu domainematrielestpossible3(situationderepos),la rsultantedeseffortsextrieursestalorsnulle,soiten dcomposant la surface enveloppe en 3 termes: S A exyezeT(n)rrT(n) rrnrn ranrS A exyezeT(n)rrT(n) rrnrn ranr af d T(n, x) dS T( n, x) dS T(n , x) dS 0V S S AV + + + r r r r rr r r r r r Daprs le thorme de la moyenne, on peut aussi crire: af T(n, x) T( n, x) dS T(n ) 0SS A1 + + + ] r r r r rr r r r rlPrenons la limite0 l(en remarquant qualors0 A ) 0lim T(n, x) T( n, x) dS 0S 1 + ] lr r rr r r r Comme la surface S est arbitraire, cette dernire galit nest ralise que si lintgrand est identiquement nul: T(n, x) T( n,x) r rr r r r 6.2 Le tenseur des contraintes 6.2.1 Reprsentation des forces de surface par le tenseur des contraintes NousvenonsdevoirquenchaquepointP( xr,t)dufluide,ilexisteunvecteurcontrainteTrcorrespondant chaque directionnr. Nous allons maintenant montrer que la contrainte peut tre reprsente laide dun tenseurappel tenseur des contraintes et qui caractrise ltat local des contraintes indpendamment de la directionnr: T(n, x, t) (x, t) n rr r r rg (6.4) 3Cette hypothse nest pas indispensable. La dmonstration est identique pour un domaine matriel en mouvement, mais suppose connue lexpression du bilan de quantit de mouvement qui est prsente chapitre 7. cel-00356205, version 1 - 26 Jan 2009 58 58 DMONSTRATION:ConsidronslquilibredunpetitttradredevolumeinfinitsimalVdontlestrois faces orthogonales S1, S2 etS3 sont les projections de la quatrime faceS. Les notations sont explicites dans le tableau ci-dessous: FacetteSurfaceNormale unitaire extrieureContrainte P1P2P3 Snr T(n)rr P2AP3 1S a.n S r r -ar T( a) rr P1AP3 2S b.n S r r -br T( b) r r Le ttradre est assez petit pour quexr soit suppos invariant. La seule variable est doncnr. crivons lquilibre4 de ce ttradre: P1AP2 3S c.n S r r -cr T( c) rr 1 2 3f V T(n) S T( a) S T( b) S T( c) S 0 + + + + r r r r r r rr r r soit, daprs (6.3): 1 2 3f V T(n) S T(a) S T(b) S T(c) S 0 + r r r r r r rr r r et, en utilisant la deuxime colonne du tableau et en divisant par S: T(n) T(a) a n T(b) b n T(c) c n fSV + + r r r r r r rr rr r r rr rg g g AP3T(n)rrnr1S 2S 3S S P2P11er2er3erarbrcrAP3T(n)rrnr1S 2S 3S S P2P11er2er3er1er2er3erarbrcr PrenonslalimiteS 0 (enremarquantqualors/ S 0 V ),onobtientenexplicitantlesproduits scalaires: j j j j j jT(n) T(a) a n T(b) b n T(c) c n + +r r r r rr r r ou, en projection: i i j i j i j jT (n) T (a) a T (b) b T (c) c n 1 + + ]rr r r(6.5) Ainsi,lorsquonsedonneletridreorthonorm( a, b, crr r),lacontrainteT(n)rrvarielinairementavecnr.Le terme entre crochets de lexpression (6.5) apparat alors comme loprateur qui dfinit cette relation linaire entreTr 4Cettefoisencorelhypothsedquilibrenestpasindispensable.Ladmonstrationestidentiquepourundomaine matriel soumis un mouvement (le terme dinertie disparaissant par passage la limite) mais suppose connue lexpression du bilan de quantit de mouvement qui est prsent au chapitre 7. cel-00356205, version 1 - 26 Jan 2009 59 59 etnr.Parailleurs,cesdeuxvecteurssontindpendantsduchoixdurfrentiel(ier)etletermeentrecrochetsdoit donc, lui aussi,jouir de cette proprit dinvariance. Ceci im