1

2

Les contraintesLes contraintes

• Consensus sur les objectifs et les méthodes à respecter

• Cohérences à préserver (progressivité, continuités)

• Volume des contenus assez lourd

• Des clarifications à apporter (exemple : fonction)

• Prise en compte de l ’existence du socle commun

3

Les objectifs généraux

Comme dans les classes antérieures, l'enseignement des mathématiques renforce la formation intellectuelle des élèves, et concourt à celle du citoyen, en développant leur aptitude à chercher, leur capacité à critiquer, justifier ou infirmer une affirmation, et en les habituant à s'exprimer clairement aussi bien à l'oral qu'à l'écrit.

4

À la fin de cette classe terminale du collège, la maîtrise par les élèves de plusieurs types de savoirs est visée :dans le domaine des nombres et du calcul : calcul numérique (nombres entiers, décimaux et fractionnaires, relatifs ou non, proportionnalité) et premiers éléments de calcul littéral dans le domaine de l’organisation et la gestion de données : premiers éléments de base en statistique descriptive et en probabilitédans le domaine géométrique : figures de base et propriétés de configurations du plan et de l'espacedans le domaine des grandeurs et de la mesure : grandeurs usuelles, grandeurs composées et changements d’unitésdans le domaine des TICE : utilisation d’un tableur-grapheur et d’un logiciel de construction géométrique.

Les savoirs visés

5

– poursuivre l’étude des paramètres de position d’une sériestatistique, – aborder l’étude de paramètres de dispersion en vue d’initierles élèves à la lecture critique d’informations chiffrées, - mettre en pratique sur des exemples simples la notion de probalité

- approcher la notion de fonction- acquérir une première connaissance des fonctions linéaires et affines - synthétiser le travail conduit sur la proportionnalité dans les classes antérieures

dans la partie “ organisation et gestion de données, fonctions ” 

6

- assurer la maîtrise des calculs sur les nombres rationnels– amorcer les calculs sur les radicaux et poursuivre les calculs sur les puissances– faire une première synthèse sur les nombres avec un éclairagehistorique et une mise en valeur de processus algorithmiques– compléter les bases du calcul littéral et en conforter le sens notamment par le recours à des équations ou à des inéquations du premier degré pour résoudre des problèmes- et approcher le concept de fonction

dans la partie “ nombres et calculs ”  

7

– compléter la connaissance de propriétés et de relations métriques dans le plan et dans l’espace

dans la partie “ géométrie ”

8

dans la partie “ grandeurs et mesures ” :

- compléter les connaissances relatives aux aires et volumes ;- étudier des situations dans lesquelles interviennent des grandeurs composées, notamment du point de vue des changements d’unités.

9

Le calcul numérique

• Un réel problème

• Progressivité des apprentissages

• Des situations qui donnent du sens aux nombres et aux opérations

10

Le calcul littéral

11

Les différents statuts de la lettre au cours des quatre années

6ème 5ème 4ème 3ème

Variable

I ndéterminée

I nconnue

Paramètre

- Variation du statut en fonction de la tâche

- Variation du statut au cours de la résolution d’un même problème

12

Les expressions littérales

En 6ème En 5ème En 4ème En 3ème Utilisation d’un symbole oud’une lettre pour désigner unegrandeur variable dans uneformule

Utilisation et productiond’expressions littérales àl’occasion de l’élaboration deformules ou de la traductiond’un programme de calcul. Mise en place desconventions d’écriture bc pourb xc, 3a pour 3xa ou a x3 etdes notations a2 et a3, sansrendre leur utilisationimmédiatement obligatoire Travail sur l’aspect« structural » d’uneexpression, traduction du f aitqu’un nombre est le suivantd’un nombre, qu’un nombre estmultiple de 7… Test avec des valeursnumériques de l’égalité dedeux expressions littérales.

Réduction d’une expressionlittérale à une variable, ce quinécessite d’une part demaîtriser les conventionsd’écriture mises en place etd’autre part les diff érencesde signification d’écriturescomme a, a2 et a3

Travail sur l’aspect« structural » d’uneexpression : désignation d’unnombre impair, nombres qui sesuivent… Reconnaissance de la f ormed’une expression algébrique :somme, produit Développement d’uneexpression de la f orme(a + b) (c + d)

Distinction du rôle joué parles parenthèses dans lesécritures comme f (x) et k(a +b). Détermination del’expression algébrique d’unefonction linéaire ou affi ne. Factorisation d’uneexpression algébrique danslaquelle le f acteur estapparent. Mise en place et utilisationdes identités fi gurant auxprogrammes.

13

Deux situations d’étude

• Résoudre par l ’algèbre

• Démontrer en calcul littéral

14

Equations : Les différentes étapes au cours des quatre années

En 6ème En 5ème En 4ème En 3èmeUtilisation d’égalitésà trou.Première approchede la notion desolution d’uneéquation, notammentà l’occasion du travailsur la notion dequotient non décimal.L’emploi du motéquation n’est pasindispensable.

Notion de solutiond’une équation :tester à l’occasion dela résolution deproblèmes si uneégalité où fi gure(nt)un ou deux nombresindéterminés estvraie quand on leurattribue des valeursnumériques.

Résolution d’uneéquation du premierdegré à une inconnue.

Résolution d’unsystème de deuxéquations du premierdegré à une inconnue. Résolution d’uneéquation de la f ormeA(x).B(x) = 0 où A(x)et B(x) sont deuxexpressions dupremier degré Résolution d’uneinéquation du premierdegré à une inconnue.

15

La géométrie

16

Deux problèmes récurrents : La formalisation d’une démonstration

- La rédaction obéit à des règles strictes de structuration. (appui sur les connecteurs de langage de la langue

française)

- Pas un seul modèle admissible

- Problème des implicites (conventions liant l'émetteur et le récepteur)

Importance des problèmes de construction

17

– ''On sait que ABCD est un parallélogramme. Or, dans un parallélogramme, les côtés opposés sont de même longueur. Donc, AB = CD.' ’

– '' ABCD est un parallélogramme. Dans un parallélogramme, les côtés opposés sont de même longueur. Donc, AB = CD.' ’

– ''Dans un parallélogramme, les côtés opposés sont de même longueur. On sait que ABCD est un parallélogramme. Donc, AB = CD.' ’

– ''Dans le parallélogramme ABCD, les côtés opposés [AB] et [CD] sont de même longueur.' ’

– ''Dans un parallélogramme, les côtés opposés sont de même longueur.

Donc, AB = CD.' ’

– ''Dans le parallélogramme ABCD, AB = CD.' ’

– ''Si ABCD est un parallélogramme, les côtés opposés sont de même longueur. Donc, AB = CD.''

– ''Comme ABCD est un parallélogramme, ses côtés opposés sont de même longueur''

18

Deux problèmes récurrents : L ’évaluation en géométrie 1- Elle repose trop souvent uniquement sur la production du seul produit fini, par exemple, la figure à construire ou la démonstration rédigée.

2- Il est indispensable, compte tenu des objectifs d'apprentissage fixés en terme de démarches, de travailler aussi à évaluer les procédures mises en œuvre par les élèves.

3- A cette fin, il faut donc encourager leur explicitation. Ainsi, la valorisation du codage des figures, de certaines remarques du type : '' Je reconnais deux triangles en situation de Thalès'','' Je connais plusieurs propriétés qui pourraient marcher''…peut figurer dans le contrat passé avec les élèves à propos de l'évaluation de leurs compétences. De même, dans le cas des problèmes de construction, la prise en compte du schéma d'analyse codé doit être pris en compte.

4- Les exigences en terme de formalisation des démonstrations évoluent aussi dans le temps et en fonction du niveau du cursus. Il est impossible d'attendre la même rédaction d'un élève de 6ème et d'un élève de 4ème et par ailleurs d'un élève de 4ème en début et en fin d'année scolaire.

19

Organisation et gestion de données Fonction

20

L'un des objectifs est de faire émerger progressivement, sur des exemples, la notion de fonction en tant que processus faisant correspondre, à un nombre, un autre nombre.

Les exemples mettant en jeu des fonctions sont issus de situations concrètes ou de thèmes interdisciplinaires.

Les fonctions linéaires et affines apparaissent comme des exemples particuliers de tels processus.

Introduction de le notion de fonction

21

Une boîte est fabriquée dans une plaque de carton carrée de côté 20 à partir du patron ci-contre (les parties vertes sont des découpes carrées de côté x). Déterminer le volume maximum que la boîte peut contenir.

20

x

Pour travailler la notion de fonction : des problèmes d ’optimisation

Un classique: le volume de la boîte

Intérêts : Introduction d’une relation fonctionnelle x x (20 2x)2 Utilisation d’un calculateur-grapheur Conjecture accessible Max = 591 ….

22

x 20 - 2x V(x) =x(20 - 2x)²0 20 0

0,5 19 180,51 18 324

1,5 17 433,52 16 512

2,5 15 562,53 14 588

3,5 13 591,54 12 576

4,5 11 544,55 10 500

5,5 9 445,56 8 384

6,5 7 318,57 6 252

7,5 5 187,58 4 128

8,5 3 76,59 2 36

9,5 1 9,510 0 0

0

100

200

300

400

500

600

700

0 2 4 6 8 10

23

Déterminer le triangle rectangle AMB inscrit dans le demi-cercle de diamètre AB dont le périmètre est maximum

Pour travailler la notion de fonction : des problèmes d ’optimisation

Un autre classique: le périmètre d ’un triangle rectangle

xA B

M

1

O

h

I n t é r ê t s :

I n t r o d u c t i o n d ’ u n e r e l a t i o n f o n c t i o n n e l l e x xx 242 ( é l a b o r a t i o n d ’ u n e f o r m u l e ) P o s s i b i l i t é d e m a t é r i a l i s e r l e s l o n g u e u r s M A + M B ( p a r r e p o r t d e s s e g m e n t s ) U t i l i s a t i o n d ’ u n c a l c u l a t e u r - g r a p h e u r ( c o u r b e r e p r é s e n t a t i v e n o n t r i v i a l e ) C o n j e c t u r e a c c e s s i b l e p a r l e d e s s i n e t p a r l e t a b l e u r D é m o n s t r a t i o n p o s s i b l e : a v e c u n c h a n g e m e n t d e c a d r e :

( M A + M B ) 2 = M A 2 + M B 2 + 2 M A .M B … . = A B 2 + 4 A i r e ( A M B ) .… = 4 + 2 ( h 2 )M A + M B e s t m a x i m u m l o r s q u e h e s t m a x i m u m …

24

Probabilités du programme de 3e

25

La nouveauté dans les programmes de 3e

les probabilités

Le programme de la classe de troisième a pour objectif de permettre : dans la partie « organisation et gestion de données, fonctions » :- d’approcher la notion de fonction ;- d’acquérir une première connaissance des fonctions linéaires et affines et de synthétiser le travail conduit sur la proportionnalité dans les classes antérieures ;- de poursuivre la mise en place de paramètres (de position et de dispersion) d'une série statistique et d’envisager ainsi la notion de résumé statistique ;- de mettre en pratique sur des exemples simples la notion de probabilité ;...

26

Extrait du bandeau relatif au titre

1. Organisation et gestion de données, fonctions.

Pour les séries statistiques, l'étude des paramètres de position est poursuivie : médiane et quartiles. Une première approche de la dispersion est envisagée. L'éducation mathématique rejoint ici l'éducation du citoyen : prendre l'habitude de s'interroger sur la signification des nombres utilisés, sur l'information apportée par un résumé statistique.

De même, c’est pour permettre au citoyen d’aborder l’incertitude et le hasard dans une perspective rationnelle que sont introduits les premiers éléments relatifs à la notion de probabilité.

27

EXTRAITS de la

présentation du programme de 3ème

Amiens 02/02/2007

André Pressiat- Gérard Macombe