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2.5 Champ électrique produit par une distribution continue de charges.
Pour quelles raisons devons-nous calculer ces champs?
Notre tâche va consister à calculer le champ électrique autour de ces objets en différents points de l’espace?
Pour déterminer la force électrique exercée par ces champs sur des particules chargées et prédire leurs mouvements d’une part et d’autre part pour calculer les différences de potentiel en différents points autour de ces objets et prévoir ainsi les effets électriques.
Dans plusieurs situations , les champs électriques sont produits par des tiges, des sphères , des anneaux ou des plans chargés.
Comment calculer des champs électriques en utilisant des techniques d’intégration simples?
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2.5 Champ électrique produit par une distribution continue de charges ( Calcul intégral)
Comment allons-nous faire ?
Nous allons procéder par sommation, autrement dit , par calcul intégral.
En fait, pourquoi devons-nous procéder par calcul intégral?
Pour déterminer la force électrique exercée par ces champs sur des particules chargées et prédire leurs mouvements d’une part et d’autre part pour calculer les différences de potentiel en différents points autour de ces objets et prévoir ainsi les effets électriques.
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2.5 Champ électrique produit par une distribution continue de charges ( Calcul intégral)
En fait, pourquoi devons-nous procéder par calcul intégral?
Parce que chaque objet peut-être décomposé en petites parties et que chaque petite partie produit un petit champ électrique.
De façon simple, l’intégration consiste à faire la sommation sur un très grand nombre de petits termes dE
dEdq
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2.5 Champ électrique produit par une distribution continue de
charges ( Calcul intégral)
Calculons le champ électrique à une distance « d= 10 cm » de l’extrémité droite d’une tige de 10 cm de longueur uniformément chargée de 5,0 C.
Forme des lignes de champ autour de la tige.
d
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2.5 Champ électrique produit par une distribution continue de
charges ( Calcul intégral)
Commençons par calculer le champ comme si toute la charge était concentrée au centre
E1
5,0 C
,15 m
Nous aurions alors le champ produit par une charge ponctuelle
N/C 10000,215,
100,5109 62
69
21 xxx
r
kqE
approximatif
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2.5 Champ électrique produit par une distribution continue de
charges ( Calcul intégral)En divisant la tige en deux
E2
2,5 C
,125 m
Nous aurions alors le champ produit par deux charges ponctuelles
2,5 C
,175 m
N/C 10444,1125,
105,2109 62
69
22 xxx
r
kqE a
N/C 107347,0175,
105,2109 62
69
22 xxx
r
kqE b
approximatifN/C x101747,2 6
22 ba EEE
a b
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2.5 Champ électrique produit par une distribution continue de
charges ( Calcul intégral)
approximatif
En divisant la tige en cinq
E5
Nous aurions alors le champ produit par cinq charges ponctuelles
N/C x10237,2 6555555 edcba EEEEEE
En divisant en 50
N/C x10245,2 650 E approximatif
50
12
i ir
qk
Pour avoir une valeur exacte ….???
N/C x10237,2 6222225
edcba r
kq
r
kq
r
kq
r
kq
r
kqE
1,0 C 1,0 C
a b c d e
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2.5 Champ électrique produit par une distribution continue de
charges ( Calcul intégral)La valeur exacte du champ résultant sera la somme infinie , autrement dit, l’intégrale des champs de chacune des petites charges « dq » placées à différentes valeurs de « x »
dq dE
x
dE dE dE dE dEdq dq dq dq dq dq
Chacun des éléments de charge dq est considéré comme une charge ponctuelle. Chaque élément de charge produit un élément infinitésimal de champ donné comme nous l’avons vu par :
N/C 22 x
kdq
r
kdqdE
2x
kdqdEE xx
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dq dE
x
dE dE dE dE dE
Chacun des éléments de charge dq est considéré comme une charge ponctuelle. Chaque élément de charge produit un élément infinitésimal de champ donné comme nous l’avons vu par :
N/C 22 x
kdq
r
kdqdE
Pour trouver le champ électrique total, il faut faire la somme ( l’intégrale ) de tous les éléments dE, en tenant compte de la nature vectorielle du champ, on écrira :
xx dEE
10
dq dE
x
dE dE dE dE dE
N/C 22 x
kdq
r
kdqdE
Pour trouver le champ électrique total, il faut faire la somme ( l’intégrale ) de tous les éléments dE, en tenant compte de la nature vectorielle du champ, on écrira :
xx dEE
2x
kdqdEE xx
Pour trouver la solution, nous utiliserons une technique d’intégration
Mais avant que manque-t-il?
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dq
x
dE dE dE
Où la densité linéique de charge est C/m lambda
On peut écrire
LQ
Étant donné que la tige est chargée uniformément, on procède de la façon suivante,
Il faut transformer les dq en dx puisque c ’est la position « x » des dq qui varie lorsque l ’on fait la somme des dEx
Q
L
dq
dx
On obtientdx
dq
dl
dq
L
Q d ’où dq =
dx dx élément de longueur
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Reconsidérons la tige ayant une longueur de 10,0 cm et portant une charge de 5,0 C répartie uniformément sur toute sa longueur.
On demande de déterminer le champ électrique résultant à 15,0 cm du centre de la tige ou à 10 cm de l’extrémité droite.
Problème : Je cherche la valeur de E à 10 cm de l’extrémité droite
Situation
dq
x
dE dE dE
0,100,15
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Solution possible: J’utilise l’intégrale et l’expression du champ d’une charge ponctuelle.
xx dEE EdE
Pour un élément de charge dq, nous aurons
N/C 22 x
kdq
r
kdqdEx
dq
x
dE dE dE
0,10 0,10
Quelle sera la variable d ’intégration ?
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C ’est la position « x » des dq qui varie lorsque l ’on fait la somme des dEx
Nous avons donc maintenant une relation entre les dq et les dx les éléments de longueur afin de calculer l’intégrale.
dq
x
dE dE dE
0,10 0,10
2x
dxkEx
22 x
dxk
r
kdqdEx
Il faut la même variable partout pour utiliser les techniques d’intégration
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C ’est la position « x » des dq qui varie lorsque l ’on fait la somme des dEx
Nous avons donc maintenant une relation entre les dq et les dx les éléments de longueur afin de calculer l’intégrale.
dq
x
dE dE dE
0,10 0,10
2x
dxkEx
22 x
dxk
r
kdqdEx
Nous pouvons procéder maintenant et utiliser les techniques d’intégration
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dq
x
dE dE dE
0,10 0,10
N/C x
dxkb
a2x
E
20,
10,2
20,
10,2 x
dxk
x
dxkEx
20,0
10,0
1
xkEx
)-( n sauf )(n
xdxx
nn 1
1
1
x est la variable de position
N/C 22 x
kdq
r
kdqdE
Il nous reste à placer les bornes d’intégration
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)
10,0
1()
20,0
1(kEx
)
20,0
2()
20,0
1(kEx
)
20,01
(kEx
20,0
10,0
1
xkEx
E
On obtient
+ + + + + + + + + +
)20,01
(10,0100,5
1096
9 xxxE
x
Avec les chiffres
N/C 1025,2 6xEx
Finalement
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Résultat probable : D’après mes calculs, le champ électrique à 15 cm du centre de la tige est donné par :
MN/C 25,2 iE
E0,15
La force électrique qui s’exercerait sur une charge q placée à cet endroit sera donnée par :
EqF
Justification : Nous avons procédé par intégration, à partir du champ produit par une charge ponctuelle.
