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25 - Fonctions affines

I. DéfinitionSoit a et b deux nombres donnés.

La fonction f qui à x fait correspondre le nombre ax + b s’appelle fonction affine.

La représentation graphique de la fonction affine f est la droite d’équation y = ax + b.

a est le coefficient directeur de la droite.

b est l’ordonnée à l’origine. (pour x = 0, y = b)

O x

y

b

y = ax + b

f : x f(x) = ax +b

2

Cas particuliers

y = ax + b

Si b = 0, y = ax

Une fonction linéaire est une fonction affine particulière.

Si a = 0, y = b

Une fonction constante est une fonction affine.

y = 0 est l’équation de l’axe des abscisses x’x

x = 0 est l’équation de l’axe des ordonnées y’y et n’est pas une fonction affine.

I. Calcul du coefficient directeur a

Soit f une fonction affine f définie par :fx y ax b

f1 1 1x y ax b

f2 2 2x y ax b

y1 – y2 = ax1 + b – (ax2 + b)

= ax1 + b – ax2 – b

= ax1 – ax2

= a(x1 – x2)

3

y1 – y2 = a(x1 – x2)

1 2

1 2

y ya

x x--

Variation de x x1 – x2

Variation de y y1 – y2

a

Les variations de x sont proportionnelles aux variations de y.

Remarque

Si x1 – x2 = 1, alors

a = y1 – y2

1

a

O x

y

soit variation de y

avariation de x

αa = tan α

x

y

O

2 4

4

b = 2

a = 4/4 = 1

y = x + 2

Exemple 1

x

y

O

-4

3

6

b = -4

a = 6/3 = 2

y = 2x – 4

Exemple 2

x

y

O

2

6

-3

b = 2

a = -3/6 = -0,5

y = -0,5x + 2

Exemple 3

x

y

O

-4

4

-8

b = -4

a = -8/4 = -2

y = -2x – 4

Exemple 4