1 Cours 2010-2011 diaporama 12 Ingénierie didactique des curriculums (2) Rationnels et Décimaux

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Cours 2010-2011diaporama 12

Ingénierie didactique des curriculums (2)

Rationnels et Décimaux

cours de Sao Paolo 2009 2

I. Rationnels et leurs représentations

1. Représentations mathématiques

2. Questions de didactique


introduction

Des notions anciennes et qui paraissent élémentaires, comme celles de fractions, de rationnels ou de décimaux sont en fait très complexes.

Elles offrent un bon champ pour observer les différents types de représentations que nous

avons envisagés précédemment et le rôle qu’ils peuvent jouer dans l’enseignement:

les facilités et les difficultés…


Types de représentations envisagés I. Ostension d’éléments dits « équivalents » * II. Classe et éléments ** III. Représentations d’une même structure* IV. Définitions équivalentes d’un même objet*ou problèmes ayant la même solution V. Représentation par un voisin (en topologie) VI. Changements de « langage » de cadre ou de

registre VII. Représentation de situations et de processus VIII. Et la même dénomination pour des objets

différents ?


fractions, rapports, fonctions Les « fractions » ont été d’abord un moyen d’exprimer des

mesures non entières à l’aide d’entiers. Elles doivent être alors accompagnées d’une unité:

Définition 1 Nombre de quantièmes, unité intermédiaire. Ex. 7/3 d’acre exprime 7 fois le quantième 1/3 d’acre.

Définition 2: la « commensuration »: ex. 3 fois la quantité mesurée coïncide avec 7 acres (pas de division explicite)

Elles ont exprimé des rapports (ratios) Soit, scalaires, sans unité, (dits rapports internes)

Ex. 1203 et 2807 sont dans le rapport de 3 à 7. Soit avec une dimension ± complexe (rapport externe) Ex. : 3m/s

Elles expriment des applications linéaires: ex: Cet actionnaire prélèvera 21/100 des bénéfices obtenus


des Fractions aux… 7/3 est une fraction 14/6 en est une autre, ainsi que 21/9 etc.

Ces fractions, et toutes celles obtenues en multipliant le numérateur et le dénominateur par un même nombre ont certaines propriétés en commun: dans les opérations arithmétiques ou dans les mises en

ordre, on peut toujours en remplacer l’une d’elle par une autre, sans changer autre chose que la longueur des calculs. Les résultats sont équivalents

De ce point de vue, ces fractions, toutes différentes, (donc pas égales) sont équivalentes : 7/3 28/12


… rationnels 7/3 peut représenter ( (sens I: remplacer dans les calculs )

chacune des fractions de cette classe La classe (l’ensemble) de toutes ces fractions est

le rationnel [7/3]. Il peut être représenté (sens II) par n’importe laquelle des fractions

qui le composent par ex. par 7/3 ou par 2807/1203 les mêmes calculs seront possibles et donneront des résultats

équivalents On les confond dans la pratique mais on peut être amené à

distinguer la fraction, le rationnel et les rationnels : fraction : 7/3 rationnel : {7/3, 14/6, …}

Ce rationnel peut être aussi « désigné » exactement (sens VI) par des procédés qui ne sont pas formellement des fractions : 2,333. Il peuvent être approchés par un autre rationnel : 233/100 etc.


Les rationnels 1203 et 2807 sont dans le rapport de 3 à 7. Le rapport de 3 à 7 est exprimé par 7/3 mais aussi par 14/6 et par

… 2807/1203! Le rapport 7/3 est donc aussi le rationnel [7/3]

Finalement le rationnel a/b est a/b = { (n, m) N2 : a x m = b x n} Et l’ensemble des rationnels est Q = { a/b, (a, b) N2 : b 0} L’usage qui consiste à calculer sur les rationnels avec les

opérations des rationnels conduit à opérer sur des fractions qui les représentent


Les applications linéaires rationnelles Une application de Q dans Q, est linéaire si elle fait correspondre

la somme des images de deux nombres à l’image de la somme de ces deux nombres:

f(a+b) = f(a) + f(b) ex. : 7/3(a +b) = 7/3 a + 7/3 b La somme de deux applications linéaires f et g est l’application

qui fait correspondre au nombre a le nombre f(a) + g(a).(f+g)(a) = f(a) + g(a). ex. : (7/3 + 2/5)(a) = 7/3 a + 2/5 a

Elle est linéaire : (f+g)(a+b) = (f+g)(a) + (f+g)(b) La composition g ° f de deux applications linéaires f et g est une

application qui au nombre a fait correspondre le nombre g(f(a)) elle est linéaire et elle a toutes les propriétés nécessaires pour être une multiplication de deux applications rationnelles (distributivité, commutativité, etc.) son unité est l’identité 1(a) = a


Une représentation

Application linéaire 7/3

3 7

9 21

12 28

7/3 est une représentation

Un petit puzzle est représenté par un grand


Une autre représentation

Mesure 7/3 u

Application linéaire 7/3

3 7

9 21

12 28

7/3 est une représentation

L’application linéaire 7/3 représente aussi la mesure 7/3


Beaucoup de représentations

L’ensemble des applications linéaires représente l’ensemble des mesures

Mesures rationnelles

Applications linéaires rationnelles

7/3 u 7/3

3/4 u 3/4


Beaucoup de représentationsMesures rationnelles

Applications linéaires rationnelles

7/3 u x(7/3)

3/4 u x(3/4)

7/3 + 3/4 x (7/3) + x (3/4)

7/3 x 3/4 (3/4) (7/3)


Représentation de L(Q) dans Q L’ensemble des applications linéaires de Q dans Q est le

groupe linéaire, L(Q).

Q et L(Q) sont « isomorphes » autrement dit on peut nommer une application linéaire par son rationnel canonique (ou par l’une de ses fractions) et calculer sur les applications comme sur les rationnels, comme sur les rapports et comme sur les fractions.

Q et L(Q) sont représentants l’un de l’autre (au sens III), c’est une même structure (un anneau unitaire)

Nous rencontrerons par la suite d’autres formes de

représentations des mêmes concepts


Conclusion

Ainsi les représentations sont omni présentes dans les mathématiques, non seulement comme une variété d’expressions de chaque objet, mais comme moyen de construction progressive des connaissances.

Il est essentiel de les étudier dans ce rôle constitutif

Et de considérer quelques uns des problèmes qu’elles posent à l’enseignement

C’est ce que se proposaient les recherches que je vais évoquer maintenant


Représentations et Rationnels

2. Questions de didactique


Des notions et des interprétations… Ainsi sous des aspects différents, les rationnels sont un seul

et même objet. Mais par contre il existe un très grand nombre d’autre possibilités d’interprétation (et encore plus de formulation)

Par exemple une fraction peut être : Le résultat d’une décimation (quantième) un programme de partage en parts égales d’une grandeur

naturelle (une division) que l’on ne calcule pas, mais sur lequel on peut calculer…

une échelle, un agrandissement une correspondance linéaire entre deux ensemble de

mesures (non exprimée numériquement) etc.


…Polymorphes et polysémiques

Nous sommes habitués à considérer toutes ces conceptions comme équivalentes – comme des représentations différentes d’un même objet mathématique et à passer de l’une à l’autre selon les circonstances pour concevoir plus facilement un problème ou un calcul.

Pourtant il a fallu des siècles pour inventer toutes ces significations particulières adaptées à toutes sortes de situations et des siècles encore pour établir en quoi elles étaient équivalentes.


Conséquences pour l’enseignement Aujourd’hui, dans les mêmes conditions qu’autrefois, les élèves

développent des connaissances aussi variées : l’équivalence entre les différents aspects ne leur apparaît pas et les obstacles épistémologiques ressurgissent

D’ailleurs notre culture porte la trace de cette complexité et des tâtonnements historiques pour la résoudre. Elle donne aux élèves des termes pour exprimer ces différences : les mots presque synonymes abondent mais l’imprécision est quasi systématique

Par contre les enseignants, qui connaissent les équivalences, les utilisent couramment et voudraient que les élèves les trouvent évidente, comme eux:

Il s’ensuit des malentendus et des difficultés :


sujet de recherches : vérifier ou contredire ces assertions

Exemples : Le professeur Voudrait, dès que possible, illustrer la notion par toutes ses

formes et ses propriétés particulières Et donc utiliser la terminologie approximative, ambiguë,

contradictoire même, fournie par la culture Mais il voudrait aussi que l’élève utilise correctement les

algorithmes liés a la notion la plus générale dans tous les usages et exemples concrets,

Et donc reconnaisse « spontanément » ce qui est équivalent et ce qui ne l’est pas

Pour soutenir ce désir il adhère à des «croyances épistémologiques » favorables:

il naturalise les représentations


Résultats connus Les élèves ne disposent que de « représentations »

particulières, inadéquates hors des conditions d’un champ très limité.

Exemple : les fractions bien connues des élèves sont des mesures simples, et suffisamment inférieures à l’unité (1/2, 1/3, 3/4,…). Elles se réfèrent au partage en parts égales (quantièmes), c’est-à-dire au mesurage d’une grandeur « grande » avec une unité « petite »…

Leurs propriétés ne s’étendent pas bien aux rapports externes, aux fractions supérieures à l’unité ou très voisines de l’unité, la compréhension des décimaux est limitée aux mesures

Même dans des conditions très familière les conceptions peuvent être totalement inappropriées, métaphoriques.


méthodes didactiques classiques

Les propositions habituelles opposent volontiers diverses « méthodes didactiques »

Ex. « Du général au particulier » (concrétisation) Vs « Du

particulier au général » (abstraction) méthode axiomatique Vs heuristique (problématique) Méthode axiomatique déductive (C Condition nécessaire)

Vs inductive (C C. Suffisante) Méthode descriptive Vs méthode constructive. etc. Toutes ces méthodes sont utiles et présentent un intérêt

certain…


Mode d’emploi ? Mais aucune n’est satisfaisante, toutes présentent des

difficultés. Exemples. L’analogie comme moyen officiel d’enseignement

(Diénès), les absurdités et les abus qui en découlent

L’option constructiviste radicale et ses conséquences

La méthode axiomatique et ses limites Elles paraissent opposées, elles ne sont incompatibles que

localement Mais ce sont les utilisations systématiques qui le sont En fait, elles peuvent être conjuguées et intervenir à divers

moments opportuns dans un même processus


Proposition d’études expérimentales Nous avons montré dans l’expérience présentée plus loin

qu’on peut alors corriger les erreurs dues aux utilisations aveugles et systématiques des méthodes classiques.

Il ne s’agit pas de proposer la diffusion de notre expérience dans des classes ordinaires

Car les professeurs ne peuvent pas Ignorer ou changer la culture ni se passer d’applications et de problèmes :

Dans les relations didactiques, ils ont hérité, par tradition, d’un jeu très complexe de représentations, qu’ils doivent, soit utiliser, soit rejeter soit ignorer selon les circonstances.

Quels sont leurs stratégies ? Quels en sont les effets ? Quels rôles y jouent les représentations, correctes ou abusives ?


Comment?

1. Étudier a priori les effets prévisibles des divers abus signalés ici dans l’usage des diverses formes de représentations

2. Puis les repérer dans des ouvrages et par l’observation clinique de pratiques scolaires

3. Ensuite, les étudier, expérimentalement, c’est-à-dire à l’aide de d’observations cliniques et statistiques de leçons d’expériences d’enseignement bien définies De problèmes et de questionnaires posés aux élèves et à leurs

professeurs (prévision des réponses)


II. Le curriculum « Rationnels et décimaux

de 9 à14 ans»

Introduction

1. Les fractions-mesures


Les expériences de 73-90 Présentation rapide du plan général de l’étude

« expérimentale » menée à ce propos au COREM le processus s’étend sur 65 leçons La méthode utilisée consistait à choisir des processus

d’enseignement « alternatifs » aux choix traditionnels et à en comparer les effets.

Par exemple: nous avons enseigné les rationnels alors que nous pensons

que cette connaissance est obsolète et inutile pour ce niveau : l’enseignement des décimaux suffirait.

Nous avons choisi une définition inhabituelle des fractions pour savoir si elle constituait un obstacle à l’apprentissage de la conception usuelle.


Principes

Ainsi les divers aspects des rationnels (fractions, rapports, fonctions) étaient présentés séparément et successivement avec leurs opérations, suivant une « logique » des questions posées par les

situations, suivant leurs fonctions mathématiques réciproques, de façon à former une genèse mathématique cohérente, justifiée du point de vue épistémologique et psychologique dans un quête attractive.


Le Plan Première grande partie : les rationnels-mesures, La deuxième: les rationnels applications linéaires, (cas III) Ces parties sont enseignées séparément avec leurs

opérations « signifiantes », Dans chacune de ces parties les fractions précèdent les

décimaux, qui sont inventés pour les décrire, pour les approcher : est-ce que 0,33 représente 1/3 ? (Cas V)

Les rapports restent des nombres naturels jusqu’au moment de l’identification finale. Alors les calculs peuvent ignorer la nature mathématique des objets.

La troisième partie étudie les situations des différentes conceptions des opérations arithmétiques, (cas IV)

La quatrième fait l’identification de toutes les conceptions, abstraction et introduit à l’algèbre (cas VI et VII)


1. Rationnels pour Mesurer

a) L’épaisseur d’une feuille de papier


L’épaisseur d’une feuille de papier… Le dispositif

A BC

Jeanne

Nicolas

A Jeanne est attribué le papier CNicolas ne voit pas Jeanne


L’épaisseur d’une feuille de papier… la consigne 1

Jeanne

Jeanne doit exprimer l’épaisseur de la feuille C (sans lettres) et l’écrire sur le message bleu

A BC



Jeanne

Nicolas

Elle envoie le message à Nicolas

A BC



Jeanne

Nicolas

Nicolas doit deviner quelle sorte de papier a Jeanne

?

A BC



Jeanne

Nicolas

Ils gagnent si Jeanne a bien « représenté » le papier C par son épaisseur et si Nicolas a su lire cette représentation…

A BC



Jeanne

Nicolas

A BC

Rq. Un autre élève pourrait contester le résultat et montrer qu’avec ce message on pouvait choisir une autre feuille de papier


A BC

… Jeanne et Nicolas étudient ensemble la façon de représenter l’épaisseur d’une feuille de papier

Dès qu’ils ont compris le jeu…

La solution

25 f ; 3mm


Solutions trouvées par les élèves Le message 25;3 indique qu’il a fallu empiler 25 feuilles

pour atteindre 3 millimètres. Il s’agit bien d’une commensuration, Elle représente la mesure 3/25 de mm.

le partage d’une si petite unité était inconcevable… Il y a plusieurs méthodes : fixer une épaisseur entière ou non

ou fixer un nombre de feuilles Toutes les équipes trouvent une solution. Mais il suffirait qu’il

y ait deux ou trois réussites. Il y a plusieurs variantes (fixer une épaisseur entière, ou le nombre de feuilles).

Les résultats sont affichés dans un tableau, les élèves y relèvent les incohérences et des erreurs en

utilisant des arguments de proportionnalité:


Les comparaisons de couples

Exemples du tableau 30 f ; 2 mm Type C 30 f ; 3mm, Type C “ça ne va pas : pour un même type de feuilles, au même

nombre de feuilles doit correspondre la même épaisseur

30 f ; 3 mm Type C 15 f ; 1 mm Type C “ça ne va pas” , s’il y a 2 fois plus de feuilles, l’épaisseur doit

être 2 fois plus grande.


Les épaisseurs d’une feuille

Pour un même type de papier : 19 f ; 3 mm 20 f ; 4 mm « ça ne va pas parce qu’une feuille ne peut pas mesurer 1

mm » Des différences sur le nombre de feuilles ne doivent pas

correspondre à des différences égales de mesures. Les élèves finissent par identifier les classes de couples

représentant une même épaisseur;


(45;3) et 3/45

Il leur faut bien distinguer

l’épaisseur d’un tas de 45 feuilles qui mesure 3 mm

et l’épaisseur (45; 3) en mm d’une feuille,

(couple et classe) Alors le professeur introduit une convention (45;3) représente un tas de 45 feuilles et l’épaisseur du tas 3/45 représente l’épaisseur d’une feuille

Aucun élève ne fait allusion au fait que ce nombre pourrait représenter le résultat du partage de 3 mm entre les 45 feuilles.

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Leçons suivantes…

Pourriez vous trouver d’autres écritures pour désigner l’épaisseur de chaque différent type de papier ?

Les élèves finissent par identifier les classes de couples représentant une même épaisseur;

Le processus se poursuit par l’étude de ce qu’on peut savoir avec la représentation écrite des épaisseurs de feuilles de papier, sur les papiers eux-mêmes

Chaque défi prend du temps mais les élèves proposent et discutent des solutions. De temps à autre des jeux opposent des équipes où chaque joueur doit effectuer une part de travail. Ce procédé conduit les élèves à à s’aider et à s’encourager a apprendre.



b) Les résultats des mesurages sont ils des nombres ?

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Est-ce que 3/25 est un nombre?

E: Oui disent les élèves, il y en a deux …

P: Est que 3/25 est UN nombre

E: … ???

P : Si on peut faire avec ces mesures tout ce que l’on fait habituellement avec les nombres, nous dirons que ce sont des nombres, d’accord?

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Pour Compter ?

P: Est-ce qu’on peut compter avec ? Quel est le premier de ces nombres? …

E: ??? P : On ne peut pas compter avec les fractions. Les fractions ne sont pas des nombres entiers Est-ce qu’on peut les ajouter? Que faudrait-il faire

pour que l’on doive ajouter deux épaisseurs

E: … ah oui, il faudrait « ajouter les feuilles », … coller deux feuilles pour en faire une

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On peut les additionner ? P: Et bien voilà, je colle une feuille du paquet (50,

6) avec une feuille de (100; 10), quelle sera l’épaisseur de la nouvelle feuille? Si on sait le faire ce sera l’épaisseur somme de

(50, 6) et de (100; 10) : 6/50 + 10/100

• E. il faut le même nombre de feuilles de chaque sorte !• P: oui, et combien, pour que vous connaissiez l’épaisseur du

tas ?• E : 100 ! Qui mesureront 10 + 6 + 6 mm = 22 mm • E : 50 ! Qui mesureront 5 + 6 = 11 mm• P: alors (50, 6) collée avec (100; 10) (100; 22)• E: ou encore (50, 6) collée avec (100; 10) (50;11)• P: l’épaisseur 6/50 + 10/100 = 22/100

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et « ajouter deux épaisseurs de feuilles ». On colle une feuille de chaque sorte et on veut mesurer l’épaisseur de cette nouvelle feuille.

Il faut que les enfants distinguent bien :«ajouter » deux tas de feuilles : on obtient bien un paquet de 150 feuilles qui mesure une épaisseur de 16 mm, mais les feuilles n’ont pas toutes la même épaisseur et aucune n’est collée avec aucune. Et …

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Le tas (45;3) et l’épaisseur 3/45

Le professeur leur fait bien distinguer à nouveau La description d’un tas de 45 feuilles qui mesure 3 mm et l’épaisseur en mm d’une seule feuille qu’il écrit 3/45 Et que les élèves lisent : « une feuille d’épaisseur : 3 mm pour

45 feuilles » Il introduit une convention (45;3) représente, un tas de 45 feuilles et l’épaisseur de ce

tas l’épaisseur seule d’une feuille s’écrira alors 3/45

Évidemment aucun élève ne fait allusion au fait que ce nombre pourrait représenter le résultat du partage de 3 mm entre les 45 feuilles.

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Et les multiplier ? Le processus se poursuit par l’étude de ce qu’on peut savoir

avec la représentation écrite des épaisseurs de feuilles de papier, sur les papiers eux-mêmes

Comment peut on savoir avec les écritures si une feuille est plus épaisse qu’une autre?

Et si je colle plusieurs feuilles différentes, est-ce que je peux prévoir l’épaisseur du carton obtenu? addition

Si les feuilles que je colle sont toutes semblables ? multiplication par des entiers

(17; 3)

5 f ?

épaisseur

1 f


A quoi sert la représentation? Comment peut on savoir avec les écritures si une feuille est

plus épaisse qu’une autre? Et si je colle plusieurs feuilles différentes, l’addition me permet

de prévoir l’épaisseur du carton obtenu? Et si je colle des feuilles sont toutes semblables ? La

multiplication par le nombre de feuilles me donne le résultat

3/17

5 f 15/17

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« Peut-on » aussi les diviser ?

Comment diviser 23/17 par 5 ? L’épaisseur 23/17 d’une plaque est telle que 17

feuilles mesurent 23 unités Pour pouvoir diviser pas 5 il faudrait pouvoir diviser

le nombre de plaques par 5 En prenant une écriture équivalente où le nombre

de feuilles est divisible par 5 on trouve l’épaisseur… On ne sait pas partager en une feuille dont

l’épaisseur est 23/17 mm. On saurait peut être pour une plaque de 23/17 cm ?


La commensuration avec d’autres grandeurs

A u 11 A 7 u

Représentation de la définition et des opérations avec…

verre Verre unité

A

=

7/11 u

des capacités …


B Pèse 3/5 de U

L’unité est U

Que pèse B ?

… avec des masses…



c) La mesure des longueursL’équivalence entre fraction et commensuration

Avec des longueurs plus grandes… Le matériel est constitué de bandes de papier de longueurs de

1cm à plus d’un mètre. La « bande-unité » mesure environ 20 cm.

Pour mesurer les bandes plus courtes que l’unité les élèves pratiquent la commensuration

Pour mesurer les bandes longues les élèves reportent spontanément la bande- unité, puis s’approchent en la repliant pour obtenir des demis des quarts d’unités Ils doivent ensuite calculer la somme de ces longueurs.

Le professeur leur demande de mesurer directement cette longueur par commensuration en la reportant sur une longue bande ou le long du mur.

Les mesures sont elles égales ?

Équivalence des définitions

Pour le savoir les élèves comparent les fractions obtenues : elles sont presque égales

Après avoir observé les résultats de plusieurs groupes qui avaient travaillé avec des longueurs différentes les élèves sont « convaincus »

Le professeur entretient le doute et demande « une preuve ». Il faut montrer que les résultats ne devraient pas être différent.


Une première expérience Considérons deux définitions des fractions comme mesure (il

en existe d’autres) : La partition de l’unité :

3/7 est la part obtenue en « partageant » l’unité en 7 unités secondaires et en prenant 3 de ces unités secondaires

La commensuration : 3/7 est la mesure d’une grandeur qui « reportée » 7

fois coïncide avec 3 unités mathématiquement équivalentes: (U : 7) x 3= (Ux3) : 7

le sont elles conceptuellement ? Est-ce une représentation (cas IV) ?


Des conceptions différentes…

unité

unité

1/7 u

3/7 u

Pour réaliser une longueur de 3/7 u

Par partition de l’unité:

Par commensuration :

3 u

3u : 7


… ne permettent pas…

Quelle est la mesure de a ?

a

unité? ?

Par partition de l’unité

Par commensuration


… de résoudre…


a?

unité

Partition de l’unité

Commensuration


… les mêmes problèmes…


a

unité


Commensuration

Essais avec ½ u : échec


…


apuis avec 1/3 u, échec

puis 1/4 u…unité


Commensuration


…


a

unité


Commensuration

Essais avec ½ u, puis 1/3 u, puis 1/4 , puis 1/5 etc.


… aussi facilement !


aIl faut recommencer l’opération à chaque foisunité


Commensuration

S’il y a une solution on la trouve plus vite

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Et si on ne trouve pas de coïncidence ?

L’erreur est visible, elle est de plus en plus petite (inférieure à 1/n). Concrètement, le processus doit s’arrêter

AU

p/n U


Commensuration

L’erreur est multipliée par p

Il est plus visible qu’il n’y a pas égalité, l’ordre de grandeur de l’erreur n’est plus visible

n fois A

p fois U

A mesure moins de p/n U

La première démonstration

Le comptage de parties de l’unité et la commensuration ont des avantages différents suivant les questions et ils semblent donner des résultats voisins.

Sont-ils équivalents? Comment être sûrs que les différences sont

dues aux « erreurs » de manipulations et qu’ils devraient donner le même résultat ?


La preuve de l’équivalence

Regardez et comprenez !

La première ligne porte 3 unités (segments bleus) La troisième ligne porte 7 segments rouges Chaque segment rouge mesure 3/7 unités. Chaque unité est partagée en 7 segments jaunes

qui mesure 1/7 u Un segment rouge comprend 3 segments jaune et

mesure donc 3/7 u. Les deux résultats sont identiques. On le voit. Mais pourquoi ?

La ligne oblique mesure 21 segments de 1/3 u 7 segments de 3 sont égaux à 3 segments de 7 !


Une conception qui fait obstacle à une autre… Il s’agissait entre autres

1. de savoir si l’usage de la commensuration rendait difficile l’apprentissage de la partition et dans quelles circonstances

2. d’étudier les situations favorables à l’une, à l’autre et au changement de point vue

3. De savoir si la connaissance des deux était bénéfique

Tout dépendait de la possibilité de créer les conditions adéquates.

Voici un peu plus en détail les situations retenues pour les expériences


… révèle le fonctionnement caché des connaissances Ces deux notions mathématiques équivalentes n’offrent pas

les mêmes facilités. Chacune est supérieure à l’autre dans certaines conditions: par ex. attribuer une mesure à une quantité est beaucoup plus facile avec la commensuration (il n’y a pas à diviser) par contre, les fractions permettent de mieux contrôler les approximations.

Elles mobilisent les mêmes opérations et les mêmes objets mais avec des connaissances différentes.

Par conséquent leur utilisation simultanées créée des méprises, des difficultés et provoque des erreurs persistantes.

Leur étude nous a conduit à découvrir que l’histoire des mathématiques et l’enseignement pouvaient présenter aussi des obstacles épistémologiques ou didactiques.

La fraction est une division… qu’on n’a pas effectuée

Le professeur demande l’épaisseur que l’on trouve en divisant une bande de 7 unités en 3 bandes égales:

3 fois ce qu’on trouve mesure 7 unités, ce qu’on trouve est donc 7/3 d’unités

Si on divise 7 par 3 le résultat est 7/3 7/3 est la part obtenue en « partageant » l’unité en 3

unités secondaires (de 1/3) et en prenant 7 de ces unités secondaires

Ce qui, multiplié par 3, égale 7 U peut se dire : 7/3 U ou 7 x 1/3 U ou 1/3 de 7U


Résultats de cette 1ère expérience Cette première phase du processus à duré 15 séances Finalement nous avons montré dans cette première

expérience : que les élèves utilisaient facilement la commensuration et

l’utilisaient pour établir les relations et les calculs dans Q : (< , +, -, x et : par un nombre naturel)

qu’effectivement cette première conception était un obstacle épistémologique pour la partition surtout pour les professeurs (moins pour les élèves)

Et aussi qu’une représentation n’enrichit une connaissance que sous certaines conditions

Et nous pouvons observer que la plupart des représentations ont des propriétés importantes qui leur sont spécifiques. Les considérer comme cognitivement équivalentes conduit à des méprises


Attention ! Ici pas de balance !

5 Kg de fruits pour 3Kg de sucre 10 Kg de fruits pour 6 Kg de sucre

15 Kg de fruits pour 9 Kg de sucre

8 kg de mélange avant la cuisson

5/8 de fruits et 3/8 de sucreEt seulement 6 Kg de confiture moitié fruits moitié sucre ! …

pourquoi?

À cette étape du curriculum, le problème ci-dessous est encore inintelligible pour les élèves. Pourquoi ?

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2. Structure topologique de Q+

L’invention des décimaux

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L’invention des décimaux

Le jeu de devinette : encadrer plus étroitement la fraction secrètement choisie par l’adversaire. (17/5)

3 4?

Les premiers encadrements se font seulement entre deux entiers consécutifs (100/7)

14 15?

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3

6/2

4

8/2

6/2 7/2?

Pour resserrer l’encadrement entre deux entiers, il faut intercaler une fraction entre deux autres

(Le procédé a été découvert pour comparer les épaisseurs)

• Le jeu peut continuer par des dichotomies successives• Lorsque le jeu s’arrête (temps limité à l’avance

l’équipe qui tient la fractions de l’adversaire dans le plus petit intervalle a gagné.

Trouver le milieu est facile

77

Division décimale des intervalles

Assez rapidement pour ne pas avoir à refaire des calculs pour chaque question, nouvelles les élèves choisissent les intervalles

en utilisant des dizaines puis des centaines.

30/10 ? 40/10

30/10 < ? < 35/10

30/10 40/10

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La fraction 17/5 est « attrapée » avec les décimaux … 100/7 ne l’est pas

32/10 35/10

17/5 = 34/10

34/10 < ? < 35/10 NON

30/10 < ? < 35/10 OUI

30/10 ? 35/10

32/10 < ? < 35/10 OUI

33/10 < ? < 34/10 NON…!...?

30/10 40/10


Les décimaux représentent les rationnels Finalement, pour faciliter cette recherche et éviter

de fastidieux calculs avec les fractions générales, les élèves découpent les intervalles en 10, 100 ou 1000 et utilisent par conséquent les décimaux pour « approcher » les rationnels.

Pour cela la méthode conduit les élèves à inventer une opération qui « ressemble » à une division classique.

Un rationnel peut être ainsi « représenté » par un décimal voisin plus commode pour les calculs et pour les comparaisons

Les opérations avec les décimaux sont celles définies sur les rationnels. L’écriture habituelle est alors introduite

Conclusions

Les élèves retrouvent et édictent les règles des opérations sur les écritures qu’ils pratiquaient avec le système décimal de mesures connues depuis deux ans.

- « Oui, les décimaux sont des nombres mais dans la division l’unité peut changer si on en a besoin » ??

- La division sert à chercher un nombre décimal aussi près qu’on veut pour remplacer (représenter) la fraction

- Mais diviser, c’est mesurer le dividende en prenant le diviseur comme unité


3. Applications linéaires rationnelles

a) Agrandissement d’un puzzle


3. Une application linéaire C’est la situation bien connue « de l’agrandissement du

puzzle (présentée la semaine dernière).

Remarquez que les élèves n’ont pas besoin de décrire l’application ni de la nommer, seules les intéressent les valeurs correspondant aux dimensions qu’ils veulent agrandir…

Un problème d’agrandissement d’une autre figure posée deux jours plus tard soulève encore des difficultés similaires : une rencontre, même « critique » avec une situation ne suffit pas aux élèves pour construire une connaissance

Le professeur lui, peut croire que la situation exemplaire suffit!


L’agrandissement du puzzle

L’enseignant :

« Vous devez découper un puzzle pour l’école maternelle. Il doit être semblable à celui-là mais plus grand

Le côté de cette pièce du modèle mesure 4 centimètres

Il doit mesurer 7 centimètres sur la reproduction”

Chaque groupe n’agrandit qu’une seule pièce ».

Vous les assemblerez après


6 5

6

5

2

7

2

7

9

4 2 5

7

Figure 1

A




Première idée

2 2 + 3 = 5 4 4 + 3 = 7 6 6 + 3 = 9

Et ce qui en résulte…


D

E

C

B

F

A

Figure 2

Résultat

89

Les élèves s’accusent mutuellement d’avoir mal mesuré, d’avoir mal découpé (ils demandent à la

maîtresse de découper à leur place) d’avoir mal calculé Ils recommencent… ça ne va toujours pas Certains finissent par incriminer leur méthode



Autres idées

4 --> 7, donc 8 -->14 et aussi 12 --> 21

(la proportionnalité, comme unique modèle

familier, mais empirique, sans justification)

4 --> 2 x 4 – 1 = 7 6 --> 2 x 6 – 1 = 11 2 --> 2 x 2 – 1 = 3 Qui parait satisfaisant

Comme aussi des découpages « à l’œil »


a

b

c

Figure 3a


a

A

Figure 3b


bB

Figure 3c


cC

Figure 3d


a

b

c

Figure 3e


A

B

C

Figure 3f


Pourquoi ?

2 2 + 3 = 5 + 4 4 + 3 = 7 + 6 6 + 3 = 9

2 + 4 = 6 mais

5 + 7 9 !!


Modèle

Figure 4

Image

La somme des images doit être

l’imagede la somme !



Le calcul final

4 71 7/47/4 = 7x25/100 = 175/100 = 1.75


Nous pouvons voir ici des exemples de situations des trois principaux types la TSM

i) Action – Les élèves jouent le jeu spécifique qui leur est proposé et essaient des connaissances

ii) Formulation – Ils doivent utiliser le vocabulaire dans leurs communications ordinaires avec les autres élèves pour échanger leurs projets.

iii) Validation – Lorsqu’ils ont conçu un modèle ils doivent le justifier et le prouver auprès de leur camarades.

103

Remarquez que les élèves n’ont pas besoin de décrire l’application ni de la nommer, seules les intéressent les valeurs correspondant aux dimensions qu’ils veulent agrandir…

Un problème d’agrandissement d’une autre figure (un élément de mosaïque) posée quelques jours plus tard soulève encore des difficultés similaires : une rencontre même « critique » avec une situation ne suffit pas aux élèves pour construire une connaissance

Et voici un nouvel objet à reproduire, à agrandir ou à rapetisser


3. Applications linéaires rationnelles

b) L’agrandissement de

« l’optimist »

105

« L’optimist »

Un bateau vraiment utilisé par les enfants


Un agrandissement … Les élèves ont, à leur banc, le dessin d’un bateau. Ils

peuvent mesurer et nommer tous les segments qui le composent : la hauteur du mât, la longueur de la bôme etc.

Son « agrandissement » est affiché au tableau. Le professeur indique la mesure d’un segment sur la reproduction : le mat mesure 30 cm

Les élèves doivent calculer les dimensions des autres segments du tableau depuis leur place en mesurant leur dessin. Ils peuvent aller vérifier leurs prévisions au tableau.

L‘application linéaire est cette fois-ci l’objet d’une étude systématique, occasion d’utiliser les rapports naturels sur un même dessin ou entre deux dessins. Mais l’application n’a pas besoin d’être nommé ou identifiée.


3. Les applications linéaires rationnelles

c) Toute une collection de dessins de l’optmist…

c)


puis beaucoup d’autres Le professeur introduit d’autres agrandissements ou même

des « rapetissements » de ce dessin (obtenus par photographie). Et même des images qui ne sont linéaires que sur une dimension (une affinité obtenue en soulevant le papier sensible)

Il s’agit bientôt pour les élèves de distinguer et nommer ces agrandissements

Ils voient l’utilité de désigner les agrandissements par l’image de 1 cm sur le dessin original

Comment remplacer l’expression « rapetisser de 2 » par « agrandir de 0,5 » ?

109

1

5

0,2

0,81,2

0,5


Original

11,2

0,8

0,5

50,2

Et que se passe-t-il si c’est l’image 0,8 qui prend le rôle d’original?

111

Original

11,2

0,8

0,5

50,2

Et que se passe-t-il si c’est l’image 0,8 qui prend le rôle d’original?

X 1,2

X 0,2X 5

X 0,5


Usages et formulations des applications linéaires

Après l’étude de nombreux problèmes et formulations diverses pour les applications linéaires (pourcentages, échelles, taux, titre, vitesse…) dans lesquels la représentation fait l’objet d’études spécifiques : par exemple l’invention du dessin à l’échelle pour mesurer un segment inaccessible

Il faut l’inclure dans une figure indéformable que l’on peut reproduire en mesurant les segments accessibles pour calculer la longueur entre les drapeaux


4. Les produits de rationnels

Les compositions d’applications linéaires

c)


Le pantographe

115

1. Phase d’étude du pantographe

On peut "agrandir" ou "rapetisser" en échangeant la pointe et le crayon.

L'image ne change pas de forme, quelle que soit la manière dont on dispose le pantographe… mais l’image d’un cercle se ferme rarement, à cause de petites erreurs.

Il vaut mieux savoir ce qu’il faut obtenir et le dessiner que l’obtenir avec votre pantographe

L'"agrandissement" ou le "rapetissement" varie suivant le réglage des pantographes.

- Les nombres qui sont en face des trous indiquent les agrandissements et les rapetissements obtenus en y plaçant les axes….

116

Après quelques utilisations…

Résultats: « Tous les enfants » savent utiliser le pantographe. Tous aussi ont compris les remarques qui ont été faites. Tous savent calculer le résultat attendu. Tous ont éprouvé des difficultés à obtenir ce qu’ils pensent que l’on doit obtenir.

MesureDessin (cm) Reproduction (cm) 3,2 5,4

Calcul 3,2 5,25

117

COMPOSITION d'APPLICATIONS

"Derrière cette feuille blanche, j'ai fait un dessin. Puis, avec ce pantographe, j'ai reproduit ce dessin qui m'a servi

de modèle, sur cette feuille bleue. Enfin, j'ai reproduit le dessin de la feuille bleue sur cette feuille

jaune à l'aide de cet autre pantographe (Les enfants ne voient pas les dessins qui sont au verso des feuilles)…

Dans un moment, vous allez vous aussi, faire la même chose : vous ferez un dessin sur la feuille blanche, vous le reproduirez sur la feuille bleue avec le premier pantographe, puis vous reproduirez ce dernier dessin sur la feuille jaune avec l'autre pantographe.

118

Pour réussir l’agrandissement, il vaut mieux …

Mais avant, je vous donne 2 dimensions du modèle 4

2,5 Pouvez-vous prévoir les dimensions

correspondantes sur la feuille jaune ?" Les enfants disent alors qu'il leur faut d'autres renseignements et demandent :

soit de combien agrandissent les pantographes soit une dimension correspondante sur la feuille

jaune.

119

1ère Méthode :

les rapports

Feuille Blanche

Feuille Bleue

Feuille Jaune

2ème Méthode :

les applications

120

…prévoir d’abord son résultatLe pantographe sert à vérifier

3ième méthode

La composition

L'enseignant écrit alors sur le tableau la conclusion des élèves :

(x3) S (x1,5) = (x4,5) et dit :

x3 suivi de x 1,5 fait comme x4,5

121

La composition

"Pouvez-vous prévoir quel agrandissement feront deux pantographes réglés sur 3,5 et sur 2 ? Vous réfléchirez et vous donnerez le résultat dans la prochaine séance".

122

• La COMPOSITION D'APPLICATIONS LINÉAIRES :

• La DÉSIGNATION DES APPLICATIONS LINÉAIRES COMPOSÉES


Le produit de deux rationnels Finalement le produit de deux rationnels est défini comme la

composition de deux agrandissements effectués « à l’aide » d’un pantographe. Pour dessiner correctement l’image les élèves doivent calculer la composée (parce que le matériel est imprécis).

X 3 X 2

X 6

X 3

X 1/3

Bibliographie Nadine et Guy Brousseau « Rationnels et décimaux

dans la scolarité obligatoire », 1987, sur HAL :

http://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00610769/fr/ Voir une bibliographie complète sur ce sujet dans le

Dossier n°8 : « Les expériences sur l’enseignement des rationnels et des décimaux 1973-1998 » dans http://www.guy-brousseau.com

BROUSSEAU G., (2004) Les représentations, étude en théorie des situations didactiques », Revue des sciences de l’éducation Volume XXX n°2, 2004, 499-536, Montréal, Québec, Canada (Ed. Gisèle Lemoyne)


Bons et mauvais usages des représentations dans

les processus didactiques

un bon sujet de réflexions !!

Documents

1 Cours 2010-2011 diaporama 12 Ingénierie didactique des curriculums (2) Rationnels et Décimaux