1 DOUZE AFFIRMATIONS VRAI FAUX JUSTIFIER

Questionsàréponsescourtes(sujetpage163)

Annales2014COPIRELEM Page199

QUESTIONSÀRÉPONSESCOURTES

PARTIE1:DOUZEAFFIRMATIONS:VRAI‐FAUX?JUSTIFIER!

1) ABCDestunrectanglede longueuracmetde largeurbcm.Lesnombresaetbsontdeuxentiersstrictementsupérieursà1.Affirmation1: lamesuredel’airedurectangle, l’unitéd’aireétantlecm²,n’est jamaisunnombrepremier.

VRAI

Justification:

Lamesuredel’airedurectanglevaut .Commelesnombresaetbsontstrictementsupérieursà1,lesnombres 1, a et ab sont distincts. Le nombre a donc au moins trois diviseurs distincts, parconséquentcen’estpasunnombrepremier.

2) Lechienmangeuntiersdesapâtée.Lechatluimangealorslamoitiédecequirestedanslagamelle.

Affirmation:ilreste delapâtéedanslagamelle.

FAUX

Justification

Parlecalcul:

Lechienmangeuntiersdesapâtée,doncaprèssonpassageilenrestelesdeuxtiers.Aprèslepassagedu

chat,ilrestelamoitiédecesdeuxtiers,soit delapâtée.

Parleschéma:

Pâtée

Partdu chien

Part duchat

Leschémamontrequelapartrestantereprésenteuntiersdelapâtée.

3) Lesnombrespetqsontdesnombresentiersstrictementpositifs.

Affirmation3:lenombre esttoujoursunnombredécimalnonentier.

FAUX

Justification:

Ilsuffitd’exhiberuncontre‐exemple,c'est‐à‐diredeproposerdeuxvaleursdepetqentiersstrictementpositifsquidonnentunnombredécimalentier:Sip=q=1,lenombreestégalà10548quiestunentier.

4) ABCDestunrectanglede longueuracmetde largeurbcm.Lesnombresaetbsontdeuxentiersstrictementsupérieursà1.Affirmation4: lamesurede la diagonale du rectangle, avec le cm commeunité de longueur, esttoujoursunnombrerationnel.

FAUX



Justification:

Ilsuffitd’exhiberuncontre‐exemple,c'est‐à‐diredeproposerdeuxnombresdeaetbentiersstrictementsupérieursà1quidonnentunnombrenonrationnel(irrationnel):sia=3etb=2,d'aprèslethéorèmedePythagore,lecarrédelamesuredelalongueurdeladiagonaledurectangle est 32+22 = 13. Or, 13 n'est pas un carré parfait donc lamesure de la diagonale,√13 est unnombreirrationnel(eneffet,onsaitquelaracinecarréed’unentiernaturelnestunentiernaturelsietseulementsinestuncarréparfait,etquesinon,c’estunnombreirrationnel).

5) ABCDestunrectanglede longueuracmetde largeurbcm.Lesnombresaetbsontdesnombresréelspositifstelsquea+b=7.Affirmation5: lamesurede l’airedurectangle, l’unitéd’aireétant le cm²,est toujours inférieureà10.

FAUX

Justification:

Il suffit d’exhiber un contre‐exemple, c'est‐à‐dire deproposerdeuxnombresde a et b entiers vérifianta+b=7ettelsquelamesuredel’airedurectangleencm²soitsupérieureouégaleà10:Sia=4etb=3,onabiena+b=7maislamesuredel'airedurectanglevauta×b=3×4=12,cequiestsupérieurà10.

6) Affirmation6:toutquadrilatèrenoncroisédontlesdiagonalessontperpendiculairesetdemêmelongueuretquiadeuxcôtésopposésparallèlesetdemêmelongueurestuncarré.

VRAI

Justification:

Tout quadrilatère non croisé qui a deux côtés opposés parallèles et de même longueur est unparallélogramme. Si de plus ses diagonales sont perpendiculaires, alors c’est un losange. Enfin, si sesdiagonalessontaussidemêmelongueur,alorsc’estuncarré.

7) Affirmation7: en traçant lesdiagonalesd’unquadrilatère convexe, onpartage celui‐ci enquatrepartiesd’aireségales.

FAUX

Justification:

Ilsuffitd’exhiberuncontre‐exemplecommeci‐dessous:

8) On considère un parallélogramme ABCD, de centre O. On appelle M le milieu de [AB] et Rl’intersectionde[DM]et[AC].Affirmation8:RC=2AR.

VRAI



Justification:

Oétantlecentreduparallélogramme,Oestmilieude[DB]etde[AC]DansletriangleADB,[AO]et[DM]sontdeuxmédianes;parconséquentleurpointd’intersection,R,estlecentredegravitédutriangleIlsesituedoncaux2/3de[AO]enpartantdeA.Ona:AR=2/3AOetAO=1/2AC,doncAR=1/3AC,parconséquentRC=2AR

9) Affirmation 9: la mesure du volume d’un cube, l’unité de volume étant le cm3, est toujours unnombresupérieuràlamesuredel’aired’unefacedececube,l’unitéd’aireétantlecm2.

FAUX

Justification:

Ilsuffitd’exhiberuncontre‐exemple.Prenonsuncubedontlamesuredel’arête,encm,est0,1.Lamesuredel’aire,encm²,d’unedesesfacesest0,01,lamesuredesonvolume,cm3est0,001Or0,001<0,01

10) Onconsidèreuneconfigurationde9pointsainsiconstituée:lessommetsd’uncarré,lesmilieuxdescôtésdececarréetlecentredececarré.Onveuttracertouslescerclesayantpourcentreundecesneufpointsetpassantparaumoinsunautredeces9points.Affirmation10:lenombredecerclesquel’onpeuttracerest38.

VRAI

Justification:

Ilya5cerclesdecentreA:celuiderayonABpassantparBetH,celuiderayonAOpassantparO,celuiderayonACpassantparCetG,celuiderayonADpassantparDetF,etceluiderayonAEpassantparE.Ilyadelamêmemanière5cerclesdecentresC,EetG(autressommetsducarré).Ilyadoncautotal20cerclesdontlecentreestl’undessommetsducarré.

Ilya4cerclesdecentreB:celuiderayonBApassantparA,OetC,celuiderayonBHpassantparHetD,celuiderayonBFpassantparFetceluiderayonBGpassantparGetE.Ilyadelamêmemanière4cerclesdecentresD,FetH(milieuxdescôtés).Ilyadoncautotal16cerclesdontlecentreestlemilieudel’undescôtés.Enfin,ilya2cerclesdecentreO,centreducarré:celuiderayonOBpassantparB,D,FetH,etceluiderayonOApassantparA,C,EetG.

Onaainsipasséenrevuetouslescentrespossibles,ettouslesrayonspossibles.20+16+2=38.Ilyadoncautotal38cercles.

11) Ondéposeunsaladierenterrecuitevidesurunebalanceàaffichagedigital.Onconstatealorsque:

quand on verse dans le saladier vide deux verres d'eau identiques pleins, la balanceaffiche950g;

quandonversedans le saladiervide cinqmêmesverresd'eau identiquespleins, labalanceaffiche1325g.



Affirmation11:labalanceaffiche2275glorsquel'onversedanslesaladiervideseptverresd'eauidentiquespleins.

FAUX

Justification:

2275g=950g+1325g.2275gcorresponddoncàlamassetotaledescontenusdesdeuxpesées,soitlamassedeseptverresd'eauetdedeuxsaladiersvides,etnond'unseulsaladier.Unsaladiervideayantunemassenonnulle,l’affirmationestfausse.

On indique ensuite deuxméthodes permettant de déterminer ce que la balance affiche quand on verse 7verresd’eaupleins(cequin’étaitpasnécessairepourrépondreàlaquestionposéedanscevrai/faux,maisquipourraitfairel’objetd’unautreexercice).

Méthode1(méthodearithmétique)

950gestlamassedusaladieretdel’eaudedeuxverrespleins.1325gestlamassedusaladieretdel’eaudecinqverrespleins.Ladifférenceentre1325get950gcorresponddoncàlamassedel’eaude3verrespleins:1325g–950g=375g;375g:3=125g.Lamassedel’eaud’unverrepleinestdonc125g.Onajoutel’eaudedeuxverrespleinsdanslesaladierencontenantdéjàcinq:1325g+2×125g=1575g.Labalanceaffiche1575glorsquel’onverse7verrespleinsdanslesaladieretnon2275g.

Méthode2(méthodealgébrique)

Notons lamesure en gramme de lamasse de l’eau contenue dans un verre plein, et lamesure engrammedelamassedusaladier.Lerésultatdesdeuxpeséessetraduitselonlesystèmesuivant:

2 9505 1325

Onsoustraitmembreàmembrelesdeuxéquationsetonobtient:5 2 1325 950,soit3 375etdonc 125.Ondétermineensuiteyenutilisantlapremièreéquation:2 125 950donc 950 2 125 700.Lamassedel’eaud’unverrepleinestdonc125getlamassedusaladierestdonc700g.700g 7 125g 700g 875g 1575gLamassed’unsaladiercontenantl’eaude7verrespleinsestdonc1575getnon2275g.

12) Ons'intéresseauxmassesd'unecitrouille,d'unepastèqueetd'unmelon.Affirmation12:lapastèquepèse5,9kg.

VRAI

Justification:

Lestroislégumespèsentensemble15kg,etlacitrouilleetlapastèquepèsentensemble13kget800g.Onendéduitlamassedumelon:15kg‐(13kg+800g)=2kg‐800g=1kg+1000g‐800g=1kg+200g.Lemelonpèsedonc1kget200g.Lapastèqueetlemelonpèsentensemble7kget1hg,soit7kget100g.Onendéduitlamassedelapastèque:7kg+100g‐(1kg+200g)=6kg+100g‐200g=5kg+1000g+100g‐200g=5kg+900g.Lapastèquepèse5,9kg.

PARTIE2:DOUZEQUESTIONSÀCHOIXMULTIPLESPourchaquequestionousituationproposée,ilpeutyavoiruneouplusieursbonnesréponses.Donnerlaoulesbonnesréponses.



1) Lepgcd(plusgrandcommundiviseur)dedeuxnombresentiersnaturelsest54.Leplusgranddesdeuxnombresest810.Quelpeutêtrel’autrenombre?A:162 B:108C:405 D:2E:378

Réponse:BetE.

Justification:

Méthode1:

Notonsnunnombrepossible.810 54 15,donc54est lePGCDde810etnsi,etseulementsi,d’unepart n est un multiple de 54, et d’autre part 15 et sont premiers entre eux (c’est‐à‐dire qu’ils nepossèdentpasdediviseurcommunautreque1).

162 54 3,mais3et15nesontpaspremiersentreeux:onélimine162;108 54 2,et2et15sontpremiersentreeux,donc108estsolution;405n’estpasunmultiplede54,donconl’élimine;2n’estpasunmultiplede54,donconl’élimine;378 54 7,et7et15sontpremiersentreeux,donc378estsolution.

Ilyadoncdeuxsolutions:108et378.

Méthode2:

Pourchacundesnombresproposés,onpeutchercherlePGCDde810etdecenombreetvérifiers'ilestounonégalà54.

2) a,b,cetddésignentquatrenombresnonnuls.

Lenombre estégalà:

A: B: C: D: E:

RéponseD.

Justification:

Parréductionaumêmedénominateurona,quellesquesoientlesvaleurs(nonnulles)dea,b,c,etd:1 1 1 1

L’expressionCconvient.

Oninvalidelesautresexpressionsenlestestantavecdesvaleursparticulièresdea,b,c,d:

En donnant la valeur 2 à chacun des nombres a, b, c, et d, on obtientque vaut

alors2,alorsqueAvaut ,Bvaut ,Dvaut etEvaut2.

Enfin,endonnantlavaleur1àchacundesnombresa,b,c,etdonobtientque vaut

alors4,alorsqueEvaut16.L’expressionCestdonclaseulequiconvient.

3) ABCDestuncarré.LespointsI,J,K,L,M,N,O,Psonttelsque:I ∈ AB , J ∈ AB , K ∈ BC , L ∈ BC ,M ∈ CD , N ∈ CD , O ∈ DA , P ∈ DA ettelsque:AI=IJ=JB;BK=KL=LC;CM=MN=ND;DO=OP=PA.ParmilesaffirmationssuivanteslesquellessontFAUSSES?

A:l’octogoneIJKLMNOPestrégulier;B:lequadrilatèreIJOPestuntrapèze;C:lequadrilatèreJKNOestunrectangle;D:lequadrilatèreIKMOestuncarré;E : le quadrilatère BLDP est un parallélogramme.



L’affirmationAestfausse.

Justification:

LetriangleBJKest isocèleenB.CetriangleestégalementrectangleenBdonc il n’est pas équilatéral. Par conséquent KJ≠BJ. Comme BJ=IJ, on aaussiKJ≠IJ.L’octogone IJKLMNOPn’estpas régulier car ses côtés [KJ] et [IJ]ne sontpasdemêmelongueur.

L’affirmationBestvraie.

Justification:

AI=IJetIappartientà[AJ],doncIestlemilieude[AJ].Demême,AP=POetPappartientà[AO]doncPestlemilieude[AO].DansletriangleAJO,ladroite(IP)passeparlesmilieuxdedeuxcôtés,elleest donc parallèle au troisième côté [OJ]. Le quadrilatère IJOP est untrapèzecarsescôtés[IP]et[OJ]sontparallèles.

L’affirmationCestvraie.

Justification:

AppelonsElecentredesymétrieducarréABCD.Cherchonsl’imageJ’deJpar la symétrie de centre E. Par cette symétrie, l’image de B est D etl’imageducôté[AB]est[CD].CommeJestsur[AB], J’estsur[CD]. J’estdonclepointde[CD]telque[BJ]et[DJ’]sontdemêmelongueur:c’estN.Parunraisonnementanalogue,onmontrequelesymétriquedeKestO.Le quadrilatère JKNO possède un centre de symétrie, c’est donc unparallélogramme.LestrianglesBJKetAJOsontrectanglesetisocèles,respectivementenAetenB.Parconséquent,lesangles et sontégauxà45°.CommelespointsA,JetBsontalignés,l’angle mesure180°.Onadonc: 180° 45° 45° 90°LeparallélogrammeJKNOpossèdeunangledroit,parconséquentc’estunrectangle.

L’affirmationDestvraie.

Justification:

De la même manière que pour l’affirmation C, on montre que lequadrilatèreIKMOestunrectangle.Considérons maintenant les triangles IBK et OAI. Ils sont rectanglesrespectivement en B et en A, leurs côtés [BK] et [AI] d’une part, [IB] et[OA] d’autre part, sont de même longueur. Par conséquent, ils sontsuperposables,etleurscôtés[IK]et[IO]sontdemêmelongueur.LerectangleIKMOasescôtésconsécutifs[IK]et[IO]demêmelongueur,c’estdoncuncarré.

L’affirmationEestvraie.

Justification:

Notonsclamesuredelalongueurducôtéducarré.

OnaBL=DP= .

Lescôtés[BC]et[AD]ducarrésontparallèles.CommeLestsur[BC]etPestsur[AD],lescôtés[BL]et[DP]duquadrilatèreBLDPsontparallèles.Ce quadrilatère non croisé possède deux côtés opposés parallèles et demêmelongueur,parconséquentc’estunparallélogramme.



4) Onconsidèrelescinqnombressuivants:

4 10 5 103 10

3 √10 6√10

5

23

112

216

74291955

2

13

12

Parmilesaffirmationssuivantes,lesquellessontjustes?A:a=bB:a=cC:a=dD:a=e

Seulel’affirmationDestvraie.

Justification:

Écrivonslesnombresproposéssousformedefractionirréductible:

20 103 10

20 103 10

203

9 6√10 10 6√105

195

23

112

216

2332

126

16

263

136

4136

2413

74291955

17 19 235 17 23

195

213

12

5314

203

Onpeutmaintenantaisémentcomparercesnombresetaffirmerque .

5) Onconsidèrela«divisionàtrous»poséeci‐dessous:

8 5 1

4 2

1 4

Danscettedivision,ledividendeest:A:21B:8356C:8456D:8454

RéponseC

Justification:

Enremplaçantlespointspardeslettresdanslesnombresdel'opérationposée,onobtient(encodantavecunebarrelesécritureschiffréesenbasedix):8 5 1 4 2 14où , , , désignentdeschiffres.Ledividendeestunnombreà4chiffrescommençantpar8:onéliminedonclaréponseA.Lechiffredesmilliers(8)s'obtienteneffectuantleproduit 4,d'où 2.OntestelespropositionsB,CetDrestanteseneffectuantladivisioneuclidiennede8356,8456et8454par21.Onobtientlereste14seulementaveclenombre8456.

6) OnposeN=63042.Parmilesaffirmationsci‐dessousindiquezcelle(s)quiest(sont)exacte(s):A:Nestdivisiblepar7.B:Nestunmultiplede4.C : 9 est un diviseur de N. D : N est divisible par 6.



L’affirmationAestvraie.

Justification:

63042 63 1000 42 7 9 1000 6 7 9006 N est bien divisible par 7.

L’affirmationBestfausse.

Justification:

Méthode1:

63042 63 1000 42. 1000 est bien divisible par 4 mais 42 ne l'est pas donc 63042n'est pas divisible par 4.

Méthode2:

63042 2 31521 ; or 31 521 n'est pas divisible par2 donc N n'est pas divisible par 4.

Méthode3:Critèrededivisibilitépar4.

Un nombre est divisible par 4 si et seulement si le nombre formé par ses deux derniers chiffres l'est. Ici 42 n'est pas divisible par 4 donc N n'est pas divisible par 4.

L’affirmationCestfausse.

Justification:

Méthode1:

63042 63 1000 42. 63 est divisible par 9 mais 42 ne l'est pas donc N n'est pas divisible par 9.

Méthode2:

On décompose Nenfacteurspremiers ∶ 63042 2 3 7 19 79. N n'est pas divisible par 9.


Un nombre est divisible par 9 si et seulement si la somme des chiffres qui le composent est elle-même divisible par 9. Ici 6 + 3 + 4 + 2 = 15 et 15 n'est pas divisible par 9 donc N n'est pas divisible par 9.

L’affirmationDestvraie.

Justification:

Méthode1:

63042 60000 3000 42 60 000, 3 000 et 42 sont divisibles par 6 donc N est divisible par 6.

Méthode2:

On reprend la décomposition de Nenfacteurspremiers ∶ 63042 2 3 7 19 79. N est divisible par 2 3 donc par 6.


Un nombre est divisible par 6 si et seulement si il est divisible à la fois par deux et par trois. Il est divisible par 2 car son dernier chiffre est pair. Il est divisible par 3 car la somme de ses chiffres est 15 lui-même divisible par 3.



7) Lasomme2 3 peutaussis'écrire:A:5 B:5 C:6 D: 3 2

RéponseD.

Justification:

Quelle que soit la valeur de �, 2 3 2 3 2 3 2 3 . Pour les autres expressions, on peut vérifier que par exemple pour 2 elles ne sont pas égales à la valeur prise par 2 3 , à savoir 8 + 24 = 32. A vaut 40, B vaut 160, et C vaut 192.

8) Lesystème

34

692

12

4 3

A:admetuneinfinitédesolutions B:admetunesolution C:admetdeuxsolutions D:n'apasdesolution

RéponseA.

Justification:

Méthode1:Transformerlesdeuxéquationssouslaforme

Pourtous ,34

692

12

4 3⇔

634

92

412

3⇔

324

912

18

34

⇔

18

34

18

34

On reconnaît les équations réduites, dans un repère du plan, de deux droites confondues. Le systèmepossèdedoncuneinfinitédesolutions.

Méthode2:Transformationetsimplificationdel’écrituredesdeuxéquations.

Pourtous et ,34x 6y

92

12x 4y 3

⇔3x 24y 18x 8y 6 ⇔

x 8y 6x 8y 6

Lesystèmeestcomposédedeuxéquationséquivalentes,ilpossèdedoncuneinfinitédesolutions.

9) SiABCestuntrianglerectangleenAavecBC=5cmetABC 30°,alors:A:lesdonnéessontinsuffisantespourcalculerAB B:AB 2,5cm C:AB 4,33cm D:AB 5cm cos 30°

RéponseD.

Justification:

DansletriangleABCrectangleenA,cosABC

cequidonneAB BC cos 30° 5 cm cos 30° 4,33cmà0,01cmprès.

Remarque:

4,33 étant seulement une valeur approchée, l’affirmation C est fausse.



10) Unentierestégalàvingt‐cinqcentainesetdix‐huitdizaines.Sonécritureenbasedixest:A:2518 B:25180 C:268 D:2680

RéponseD.

Justification:

Vingt‐cinqcentainesvalent2500etdix‐huitdizainesvalent180.Vingt‐cinqcentainesetdix‐huitdizainesvalent2500+180,soit2680.

11) LenombreNdontladécompositionenproduitdefacteurspremiersestégaleà: 2 3 5 7 13A:estdivisiblepar21. B:estunmultiplede100. C:estdivisiblepar55.D:estunmultiplede640.E:possèdeexactement540diviseurs.

Réponses:A,B,D,E

Justification:

2 3 5 7 13 3 7 2 3 5 7 13 21 2 3 5 7 13Nestdivisiblepar21.2 3 5 7 13 2 2 5 5 2 3 7 13 100 2 3 7 13Nestunmultiplede100.2 3 5 7 13 n’est pasmultiple de 11 (car sinon 11, qui est un nombre premier, apparaitraitdanscettedécomposition),doncn’estpasmultiplede5×11.Nn’estpasmultiplede55.640 2 2 2 2 2 2 2 5 2 5N 2 3 5 7 13 640 3 5 7 13Nestmultiplede640.N 2 3 5 7 13 .Sonnombredediviseursest:5 1 4 1 2 1 2 1 1 1 =6 5 3 3 2 540Npossèdeexactement540diviseurs.

12) √

est:

A:entier B:rationnel C:décimal D:irrationnel

Réponses:BetC.

Justification:

√168

48

0,5

C’estundécimal,nonentier(etdoncCestvraieetAestfausse),etparconséquent,c’estunrationnel(etdoncBestvraieetDestfausse).

Probabilités–Bases–Systèmesd’équations–Techniquesopératoires‐Décimaux(sujetpage166)


EXERCICESD’APRÈSDIVERSSUJETSD’EXAMEN

EXERCICE1Ilya16pairesdeboulespossibles,quel’onpeutreprésenterparletableauàdoubleentréesuivant.Lavaleurdansunecaseindiquelasommedesnombresprésentssurlesdeuxboules.

Premièreurne2 4 7 9

Deuxième

urne 1 3 5 8 10

11 13 15 18 2013 15 17 20 2220 22 24 27 29

1) Probabilitéquelerésultatsoitunnombrepair

Oncompte8résultatspairssurles16possibles,onadonc1chancesur2d’obtenirunrésultatpair.La

probabilitéquelerésultatsoitpairest .

2) Probabilitéquelerésultatsoitunnombrepremier

Ilya5nombrespremiers(3,5,13,17,29),laprobabilitéd’obtenirunrésultatquiestunnombrepremier

estdonc .

3) Est‐ilpossiblequelaprobabilitéd'obtenirunrésultatmultiplede17soit ?

C’estpossible.Avec les boules initiales, un seul résultat est unmultiple de 17, c’est 17. Il est obtenu avec les boulesmarquées4et13.

Laprobabilitéd’obtenirunrésultatmultiplede17estdonc .Pouravoiruneprobabilitéde (soitdeux

foisplusgrande),ilfautavoirdeuxrésultatsmultiplesde17(unautre17ouun34).On peut donc par exemple remplacer la boulemarquée 7 dans l’urne 1 par une boulemarquée 6, onobtiendraainsiunetunseulnouveaurésultat17lorsqu’elleseraassociéeaveclaboulemarquée11(lesautresrésultatsinduitsnesontpasdesmultiplesde17).

Premièreurne2 4 6 9

Deuxième

urne 1 3 5 7 10

11 13 15 17 2013 15 17 19 2220 22 24 26 29

Onpourraitdemêmeremplacer laboulemarquée9parunemarquée14pourobtenir34aveclaboulemarquée20.Ilexistebiensûrd’autrespossibilités,ilfautsimplementveillerànepasmodifierlesboulesmarquées4et13pourgarderlepremierrésultat17etaussiàobtenirunetunseulnouveaumultiplede17.

4) Est‐ilpossiblequelaprobabilitéd'obtenirunrésultatmultiplede3soitnulle ?

Cen’estpaspossible.Sixrésultatssontmultiplesde3:3,15(obtenudeuxfois),18,24et27.Ilssontrépartissuraumoinsdeuxlignesoudeuxcolonnes.Enmodifiantuneseuleboule,onn’agitquesur une seule ligne ou une seule colonne. Il est donc impossible de n’avoir aucunmultiple de 3 en nechangeantquelavaleurd’uneseuleboule.



EXERCICE2

1) Rangementdesrésultatsdu1erau6e

Pour ranger les équipes, on compare les nombres de jetons verts obtenus, puis, en cas d’égalité, oncomparelesnombresdejetonsbleus,puisrouges,puisjaunes.

1er équipe1 1V3B4J2e équipe5 1V2J3e équipes4et6 2B2R2J5e équipe3 2B6e équipe2 2R2J

Remarque:

L’énoncéimposelaprocédure;enparticulieronn’estpasautoriséiciàexprimerlesscoresdechaquejoueurenfonctiondunombredejetonsjaunesparexemple!

2) Écritureduscoredechaqueéquipedansunsystèmedenumérationenbasecinq

Onconsidèrechaquecouleurcommereprésentantuneunité:lejetonjaunepourl’unitédupremierordre,lejetonrougepourl’unitédudeuxièmeordre,etc.Puisquecinqunitésd’unordredonnésontéquivalentesàuneunitéd’ordresupérieuretqueceprocessusseréitère,ilestpossibledeconstruireunsystèmeenbasecinqenutilisantleschiffres0,1,2,3et4.Ainsiaprèsavoirréaliséleséchangessuccessifs,ilestpossiblepourchaqueéquiped’écrireunnombretelquesonchiffredesunitéscorrespondeaunombredejetonsjaunes,lechiffrejusteàsagauchelenombredejetonsrouges,lechiffrejusteàlagauchedecelui‐cilenombredejetonsbleusetenfin,lechiffrejusteàlagauchedecedernierlenombredejetonsverts.

Ainsil’équipe1severraattribuerlenombre1304 ,l’équipe2lenombre22 ,l’équipe3lenombre

200 ,leséquipes4et6lenombre222 ,l’équipe5lenombre1002 .Enutilisantl’algorithmedecomparaisondesnombres,onobtient

1304 1002 222 200 22 cequipermetderetrouverlaréponsedonnéeàlaquestionprécédente.

3) Écritureenbasecinqdelaquantitétotalede jetonsobtenueenregroupanttousles jetonsdessixéquipes.

Ilnousfautcalculerlasomme 1304 1002 222 222 200 22 . Enposantl’opérationetsansreveniràlabasedix,oncalculepourlechiffredesunités:

4+2+2+2+2=22 . On écrit 2 pour les unités et on retient 2 pour les unités du deuxième ordre(groupementsde5).Pourlasuiteonécriraengraslesretenues.

Puispourlerangdesgroupementsdecinq:2+0+0+2+2+0+2=13 .Onécrit3etonretient1pourlesunitésdutroisièmeordre.

Puis1+3+0+2+2+2=20 ;

2+1+1=4 (basecinq);

Laréponseestdonc .

4) Quelleauraitdûêtrelacollectiondejetonsenfindepartieavec37jaunes?

Premièreméthode:divisionssuccessives.

Onpeut travailleruniquementsur lenombre37écritenbasedixetprocéderpardivisionssuccessivespar5:

37 5 7 puis7 5 1 puis1 5 0

Cequel’onpeutégalementprésenterainsi:



Onobtient37=122

Deuxièmeméthode:utiliserlespuissancesde5(37 5 5 )pourl’écrireenbasecinq.

Cequel’onpeutaussiprésenterdansuntableau:

52 51 50

1 2 2

Onobtient:37=122 .

Pourcesdeuxméthodeslenombreobtenu122 correspondentermesdecouleursdejetonsà:1jetonbleu,2jetonsrouges,et2jetonsjaunes.

EXERCICE3

Méthode1:Techniquealgébrique

D’après l’énoncé,touslesbadgesnoirssontaumêmeprix,notonsNceprix(eneuros).Touslesbadgesblancssontaumêmeprix,notonsBceprix(eneuros).Lebadgenuméro1estcomposéde3trianglesnoirset5trianglesblancs.Sonprixestdonc3 5 etilvaut17,5euros.Ainsi3 5 17,5.Lebadgenuméro2estcomposéde4trianglesnoirset4trianglesblancs.Sonprixestdonc4 4 etilvaut16euros.Ainsi4 4 16.Cesdeuxéquationsdonnentunsystèmeàrésoudre:

3 5 17,5 14 4 16 2

Résolutionparcombinaisons:

Enmultipliant(1)par4et(2)par3onobtientlesystème:12 20 70 112 12 48 2

Ensoustrayant(2)à(1)onobtient: 12 20 70 18 22 2

d'où 12 20 2,75 70 1 2,75 2

soit 1,25 12,75 2

Untriangleenmétalnoircoûte1,25euroetunbadgeenmétalblanccoûte2,75euros.Orlebadgenuméro3estconstituéde5trianglesenmétalnoiret3trianglesenmétalblancdoncsonprixest5 1,25 32,75 14,5(eneuro).Lebadgenuméro3revientà14,5euros.



Résolutionparsubstitution:

Del’équation(2)ontire enfonctionde etonremplaceBparcettevaleurdansl’équation(1)3 5 4 17,5 1

4 2

Onendéduit 2 2,5 1

4 2

Oùencore 1,25 12,75 2

Untriangleenmétalnoircoûte1,25euroetunbadgeenmétalblanccoûte2,75euros.Orlebadgenuméro3estconstituéde5trianglesenmétalnoiret3trianglesenmétalblancdoncsonprixest5 1,25 32,75 14,5(eneuro).Lebadgenuméro3revientà14,5euros.

Méthode2:Techniquealgébriquesanscalculerleprixdechaquetriangle

Onsupposequelesystèmedonnéenméthode1aétéétabli:3 5 17,5 14 4 16 2

Laquestiondel’exerciceestdetrouverleprixdubadgenuméro3constituéde5trianglesenmétalnoiret3 triangles enmétal blanc, c’est‐à‐dire trouver ce que vaut 5 3 . Or, la combinaison2 2 1 donnedirectement:

5 3 2 16 17,5Donc5 3 14,5.Lebadgenuméro3revientà14,5euros.

Remarque:

Lechoixdesinconnues (pourNoir)et (pourBlanc)aulieude et n’estpasanodin.Ilestplusaisédetraduirel’énoncéetdere‐contextualiserlasolutionlorsquelesinconnuessontenliendirectaveclecontextedel’énoncé.

Méthode3:Techniquedeséchanges

Lebadgenuméro1estconstituéde3trianglesnoirset5trianglesblancs,lebadgenuméro2estconstituéde4trianglesnoirset4trianglesblancs.Pourpasserdubadgenuméro1aubadgenuméro2onsubstitueun triangleblancparuntrianglenoir.Lecoûtdiminuede1,5euro.Pourpasserdubadgenuméro2aubadgenuméro3, on effectue lamême transformation (on échangeun triangle blanc contreun trianglenoir), le coût du badge numéro 3 diminuera de 1,5 euro par rapport au prix du badge numéro 2. Or16 1,5 14,5,donclebadgenuméro3revientà14,5euros.

EXERCICE4

1) Calculdedifférencesselonlesdeuxtechniques

TechniquedeRamus

1 2 8 5 6 → 1 9 8 9 9‐ 8 3 7 8 → ‐ 1 5 4 2 1 4 4 7 8 ← 4 4 7 8

1 0 0 5 → 1 9 9 9‐ 8 4 7 → ‐ 1 8 4 1 1 5 8 ← 1 5 8



Techniqueparemprunt

7 14 1 12 8 5 16‐ 8 3 7 8 4 4 7 8

9 9 1 0 0 15‐ 8 4 7 1 5 8

2) Descriptiondestechniques

LatechniquedeRamusestunesoustractionposéeencolonne.Cettetechniqueconsisteàtransformerparajoutleterme«duhaut»deladifférenceafinqu'ilcomporteun9àchaquefoisquelechiffrecorrespondantdansleterme«dubas»eststrictementsupérieur.Parexemple,pour12856–8376,ilfauttransformerparajoutd’unnombreleschiffresdesmilliers,desdizainesetdesunitésdefaçonàobtenirdes«9»auxchiffresdesmilliers,desdizainesetdesunités.Celarevientdoncàajouter7043autermeduhaut.Ensuite,onajoutelemêmenombreautermedubasetoneffectuelanouvellesoustractionposée.Ontrouveladifférence,quel'onrecopiesouslasoustractioninitiale.Cettetechniquepermet,grâceàuneaddition,d’effectuerunesoustractionsansretenue.

Latechniqueparempruntestunesoustractionposéeencolonne.On soustrait les chiffres colonne par colonne. Lorsque, pour une colonne, le calcul est impossible, on«emprunte» une unité au rang supérieur dans le nombre du haut. Le chiffre de la colonne de rangsupérieurdunombreduhautsevoitdoncdiminuéd’uneunité.Celarevientdoncàtransformerlenombreduhautdansuneécriturenonconventionnellecar12856devient(12)milliers(7)centaines(14)dizaines(16)unitéscequipermetainsid'effectuerlasoustractionsanspasserparles«retenues».

3) Propriétésmathématiquesquijustifientcestechniques

LatechniquedeRamusconsisteàtransformerunesoustractionenunenouvellesoustractionpourlaquelleleproblèmedesretenuesneseposepas.Commeonaajoutélemêmenombreàchaquetermedelasoustractioninitiale,ladifférenceestlamême.Cettepropriétésetraduitalgébriquementpar:

Pourtoutnombrea,betcona

Remarque:

Cettepropriété,appelée«larègledesécarts»décritl’invariancedesdistancespartranslation.

Latechniqueparempruntreposesurlasignificationdeschiffresdansl’écritured’unnombredansnotresystèmedenumérationécrite(systèmedécimal).Cettetechniqueestbaséesurlesgroupements–échangesfondamentaux:1 10 é ; 1 10 …Lenombrequis’écrit enbasedécimale(a,b,cdésignantdeschiffres,adifférentde0)correspondaunombre100 10 .Orcettedernièreécriturepeutêtretransforméedelamanièresuivante:

100 10 100 10 1 10 Cettedécompositionestutiliséelorsquel’onsoustraità unnombredontlechiffredesunitéseststrictementsupérieurà .Cetravaileffectuéàl’ordredesunitéspeutêtreréaliséàn’importequelautreordre.

EXERCICE5

1) a) Écriture« àvirgule »dunombre3①7②5③9④

Nous écririons 0,3759 car 3① est egal à 3 dixièmes, 7② est egal à 7 centièmes, 5③ est egal à 5millièmeset9④estegalà9dix‐millièmes.



1) b) Justificationdel’égalitéentre7①12②et8①2②.

Stévinaraisondedirequelesdeuxnotationsdésignentlemêmenombre:710

12100

710

10100

2100

710

110

2100

810

2100

0,82

Remarque:

Celaillustreunedifférenceentresonsystèmedenotationdesnombresdécimauxetlenôtre:contrairementànous,ildoitajoutercomme«règle»que«lenombredemultitudedessignes,excepté(0),n’excèdejamais9»,sansquoiunmêmenombredécimaladmettraitplusieursécrituresdistinctes.

1) c) Lessavoir‐fairemathématiquesqueStevinsupposeconnusdeseslecteurs

Stévin suppose ses lecteurs familiers des fractions décimales, de leur addition et de leur simplification

(parexemple =1).

2) a) « 27 8471000

, , fontensemble[…]

278471000

376751000

8757821000

93923041000

93920001000

3041000

939 23041000

=9413041000

2) b) Lastratégiede« démonstration »deStevin

Stévin cherche à vérifier la techniquede calcul posédes trois nombresqu’il propose en revenant à uncalculsur les fractionsdécimales.Cela luipermetderetrouver lerésultatde l’addition,cequiconstituepourluiunepreuvedelavaliditédelatechniqueproposée.Ausensactuel,lavérificationàpartird’unexempleneconstituepasune«démonstration».Aujourd’hui,pourdémontrer lavaliditéducalculposédans lecasgénéral il seraitnécessaired’utiliserdesécrituresalgébriques.

Remarque:

Onpeutmême remarquer que Stévinn’utilisepas explicitement l’exemplepour justifier les étapesde soncalculposé–auquelcasonauraitunedémarchede justificationd’unalgorithmesurunexempleàvaleurgénérique–maisseulementpourvérifierlaréponse.Parexemple,ilnejustifiepaslesretenueseffectuéesàchaqueétapeducalculen s’appuyant sur les relationsentreunités:7③5③2③=14③=1②4③justifielaretenuede1aurangdescentièmes(②).

3) a) Calculduproduitde3,07par0,102.

⓪ ① ② 3 0 7 1 0 2 ③ Ce③designe ledernierordred’unite (millième)du

multiplicateur. 6 1 4

0 0 0 3 0 7

3 1 3 1 4

① ② ③ ④ ⑤

3) b) Justificationparlecalculalgébrique

Danscetalgorithmedecalculduproduit,lesnombrescercléssontadditionnésetnonmultipliés.Danslecalcul ci‐dessus, on ajoute② (dernier ordred’unité dumultiplicande) et③(dernier ordred’unite dumultiplicateurpourobtenir⑤quiestledernierordred’uniteduproduitobtenu.Lesautresordress’endéduisentdeprocheenproche.OnpeutjustifierAvec nos notations actuelles, on peut écrire: 7 10 2 10 14 10 14 101 10 4 10 . On retrouve sous le chiffre 4 obtenu au dernier rang du produit le ⑤ quicorrespondà10 .Celasejustifieparcetterèglegénéralesurlesexposants:pourtoutnombreréelaettoutnombreentiernetm,ona .

Exercicesdegéométrie(sujetpage170)


EXERCICESD’APRÈSDIVERSSUJETSD’EXAMENGéométrieplane–Géométriedansl’espace

EXERCICE1

1) Choixdelaconfiguration

Pourproposerunesolutionauproblèmeréel,onpeutchoisirlaconfigurationn°3.

Remarques:

Aucunejustificationn’estattendue.Laconfigurationn°1n’estpaslaplusadaptéepourrésoudreleproblèmeréelcarsanscodaged’angledroit,onn’apasleparallélismede(AB)avec(CD).Cecinepermettrapasd’appliquerlethéorèmedeThalèspourtrouverlalongueurdeslames.Delamêmefaçon,laconfiguration2neconvientpascarl’alignementdespointsA,O,D,demêmequeceluideB,O,Cnesontpasvérifiés.La configuration 4 ne convient pas non plus car les égalités de longueursAO=BO etOC=OD ne sont pasvérifiées.Laconfiguration3estdonclaplusadaptée.

2) Calculdelalongueurdeslames

Sousleshypothèsesassociéesàlaconfigurationn°3,lesconditionsd'applicationduthéorèmedeThalèssontréunies:d'unepart,lesdroites(AB)et(CD)sontperpendiculairesàunemêmedroite,ellessontdoncparallèles, etd'autrepart, lespointsA,O,DsontalignésdanscetordreetB,O,C sontalignésdanscetordre.

Ceciconduitalorsà .

OrAB=14cm,CD=50cmetOA=10cm,onobtientalors

cequiconduitàOD5014

10cm50014

cmsoit35,7cmarrondiaumillimètre.Pour que l'écartement de 14 cm des poignées corresponde à une ouverture de 50 cm des lames, lalongueurdeslamesdoitdoncêtreenvironégaleà35,7cm.

EXERCICE2

Remarque:

Iln’estpasattendudeprogrammedeconstruction.Nousdonnonscependanticidesindicationssurunprogrammedeconstructionpossible.

Tracerlamédiatrice(d1)de[AC]PlacerlepointF,milieude[AC]TracerletriangleéquilatéralABF.PlacerlepointD,distinctdeB,intersectiondeladroite(BF)etducercledecentreFetderayonAF.Tracerlesegment[AD].Ilcoupe(d1)enJ.Tracerladroite(CD).Ellecoupeladroite(d1)enE.

Laconstructiondemandéeestsurlapagesuivante.



EXERCICE3

1) ReprésentationenperspectivecavalièredusolideS

On complète la représentation donnée dans l’énoncé entraçantenpointilléslesarêtescachées.On les trace en respectant la convention suivante, liée à lareprésentationenperspectivecavalière:leparallélismeestconservé,autrementditdesarêtesparallèlesdanslaréalitédoiventêtreparallèlessurlareprésentation.

Remarque:

On ne fait pas apparaître d’arête au niveau du recollemententrelabaseduprismedroitetlaface«avant»ducube,carces deux faces sont coplanaires et ne forment donc qu’uneseule facedunouveausolide. Idemauniveaudurecollemententrelabaseduprismeetlaface«arrière»ducube.



2) Nombresdefaces,d’arêtesetdesommetsdusolideS

Pourcettequestion,onnommelessommetsdusolideScommeindiquéci‐dessousàdroite.

NombredefacesdusolideS:7.

Il y a 6 faces pour le cube et 5 faces pour leprismedroitàbase triangulaire, auxquellesonretranche:

‐ les 2 faces carrées (BFGC) suppriméeslorsdurecollement;

‐ 2 faces car les faces GFJ et EFGH d’unepart, et BIC et BCDA d’autre part, neforment qu’une seule face aprèsrecollement(voir laremarquefaitedanslaréponseàlaquestion1).

6+5–2–2=7.

Nombred'arêtesdusolideS:15.

Ilya12arêtespourlecubeet9arêtespourleprismedroit,auxquellesonretranche:

‐ 2 2 arêtes au niveau des jonctions en[FG] et [BC] entre faces qui deviennentcoplanaires;

‐ 2arêtes([BC]et[GF])quisontcomptéesdeux fois au niveau de la jonction entrelesfacesadjacentesmaisnoncoplanairesaprèsrecollement.

12+9‐4‐2=15.

NombredesommetsdusolideS:10.

Ilya8sommetspourlecube,6sommetspourle prisme droit, auxquels on retranche 4sommets qui sont comptés deux fois aprèsrecollement(enB,C,GetF).8+6–4=10.

3) UnpatronenvraiegrandeurdusolideS(construitavecrèglegraduée,compasetéquerre)

Unedémarchepossiblequin’estpasdemandéeestdécriteci‐dessous.

Onpeutcommencerpartracerlestroisfacescarréesprovenantducube.Cesontdescarrésdontlescôtésmesurent3cm.

On peut ensuite compléter avec les deux faces obtenues par recollement d’une face carrée du cube etd’unebasetriangulaireduprisme.Onsaitquecesbasessontdestrianglesisocèlesdontlabasemesure3,etdontlahauteurrelativeàcettebase(etdonclamédiane,puisquelestrianglessontisocèles)mesure2aveclecmpourunitédelongueur:onpeutdoncconstruirecestriangles,enconstruisantleurstroisièmessommetsrespectifsàpartirdeshauteursassociées.

On peut enfin terminer avec les deux faces rectangulaires du prisme droit qui sont intactes après lerecollementdesdeuxsolides.Cesontdesrectanglesdontunedimensionest3cm,etl’autrecorrespondàla longueurdescôtés issusdessommetsprincipauxdestriangles isocèlesprécédemmentconstruits(onreporteleslongueursaucompas).



EXERCICE4

1) NaturedutriangleEGC

Les trois côtésdu triangleEGCsont tousdesdiagonalesd’une facedu cube. Ilsontdonc tous lamêmelongueur.LetriangleEGCestdoncéquilatéral.

2) CalculdegrandeursdansletriangleEGC

a) CalculdupérimètredutriangleEGC

Commeonvientdeledire,EGCestuntriangleéquilatéral.Sonpérimètreestégalà3×EG.OrEGestlalongueurd’unediagonaled’unedesfacesducubeABCDEFGH.Lesarêtesdececubeontpourlongueura.Grâceàl’égalitédePythagore,onpeutendéduirequeEGestégaleà √2.LepérimètredutriangleEGCestdoncégalà3 √2.

b) Calculdel’airedutriangleEGC

Onsaitquel’airedutriangleEGCestégaleà GC EH,oùHestlepieddelahauteurissuedeEdansle

triangleEGC.OnconnaîtGC,égaleà √2.IlrestedoncàdéterminerEH.



Par définition d’une hauteur dans un triangle, le triangleEHG est rectangle en H. L’égalité de Pythagore permetdoncd’écrire:

EH EG GH a√2 GH 2 GH

Le triangleEGCest équilatéral, donc lahauteur relativeà[GC]estaussilamédianerelativeà[GC]:Hestdoncaussilemilieude[GC],etparconséquent:

GH12GC

12

√2

Ainsi,EH 2 √ 22 ²4

3 ²2,

etdoncEH=√

√.

Onendéduitl’airedutriangleEGC:12GC EH

12

√2√3

√2

√32

3) NaturedusolideECGF

ECGFestuntétraèdrecarsesquatrefacessontdestriangles.

Remarque:

Onpeutajouterqu’ilesttrirectangle,ausensoùtroisdesesfacessontdestrianglesrectanglesenFEneffet,lestrianglesEFG,EFCetGFCsontrectanglescarlesfacesEFGH,EFCDetBGFCducubesontdescarrés.

4) VolumedusolideECGFTapezuneéquationici.

DansletétraèdreECGF,[EF]estlahauteurrelativeàlabaseFGC.

OnendéduitquelevolumedeECGFestégalà FGC EFoù estl’airedutriangleFGC.

FGCestuntrianglerectangleenF,donc12

FC FG12

.

LevolumedeECGFestdoncégalà: 2 3.

5) Unpatrondusolide construitàpartirdupatronducubedonnédansl’énoncé

Unedémarchepossiblequin’estpasdemandéeestdécriteci‐dessous:

Étape1:

Oncommenceparnommerlessommetsdechacundescarrésdupatronducubedonnédansl’énoncé,enprocédantdeprocheenproche.Par exemple, on voit sur la représentation en perspective cavalière que pour le cube, l’arête [AH] estpartagéeparlesfacesAHGBetAHED,doncsurl’amorcedupatronoùlecarréAHEDestdéjàrepéré,onpeut identifier lessommetsducarréquiestadjacentàcecarréauniveaudusegment[AH] :cesont lessommetsGetB(quel’onplacedetellesortequel’ordredeparcoursdessommetsA,H,G,Bsoitpréservé).Onpoursuitainsicarréparcarré,deprocheenproche.

Étape2:

OnpeutensuiteénumérerlesfacesdusolideS,endonnantleurnature:‐ ABCD,AHEDetABGH:troisfacescarréesducube;‐ BCG,EHG,EDC:troisfacesquisontdestrianglesrectanglesisocèlesdontlescôtésdel’angledroit

sont pour chacundeux côtés adjacentsde faces carréesdu cube (respectivementBGFC, EFGHetEDCF);

‐ enfin, la seule face qui n’est coplanaire avec aucune des faces du cube initial: la face EGC, qui,commeon l’a vuplushautestun triangleéquilatéraldont lesdiagonales sontdesdiagonalesdefacesducube.



On adapte alors le patrondu cubedonnédans l’énoncé en lemodifiant facepar face, et en ajoutant lafaceEGC.Onobtient alorsdansunpremier temps la figureprésentée ci‐dessousà gauche.On constatealorsqueletriangleB3CG2nepartagequ’unsommetaveclerestedelafigure.Onmodifiedoncsaposition,detellesortequ’ilpartageuncôtéavecundesautrespolygonesdéjàtracés.OnobtientalorsunpatrondusolideS,présentéci‐dessousàdroite PatrondusolideS :

6) Volumedusolide

LevolumedusolideSestégalàladifférenceentrelevolumeducubeetlevolumedusolideECGFcalculésplushaut:

16

56

7) Airetotaledusolide

Pourdéterminerl’airedusolideS,onpeuts’appuyersurl’inventairedesfacesdusolideréaliséci‐dessuspourenconstruireunpatron.L’airedusolideSesteneffetégaleàlasommedesairesdechacunedesesfaces.

FacesABCD,AHEDetABGH(troisfacescarréesducube):lasommedeleursairesestégaleà3 .

FacesBCG,EHG,EDC:chacunedesfacesacommeaire 2;lasommedeleursairesestdoncégaleà32

.

FaceEGC:onacalculésonairedanslaquestion2.b):√

Onendéduitl’airetotaledusolideS:

332

√32

9 √32

.

Exerciced’aprèsunconcoursblancdeLyon(sujetpage174)


PROBLÈMED’APRÈSUNCONCOURSBLANCDELYON

CARGOÀVOILE(d’aprèsunexercicedePisa2012)

1) Vitesseapproximativeàlaquelleleventsoufflesurlepontducargo

Lavitesseducerf‐volantestapproximativementde25%supérieureàcelleauniveaudupontducargoonadonclarelationsuivante:Vauniveauducerf‐volant=Vauniveaudupont+ Vauniveaudupont=1,25×VauniveaudupontDonc30km/h=1,25×VauniveaudupontetVauniveaudupont=30km/h:1,25=24km/h

2) Longueurdelacordeducerf‐volant

Méthode1:

Parcommodité,dansceparagraphe, si [AB]estunsegment,ABdésignera lamesuredesa longueurenprenantlemètrecommeunitédelongueur.NommonsABC le triangle rectangle enA. Il possèdeunanglede90° etundeuxièmeanglede45°, sontroisièmeangleestaussiégalà45°(lasommedesanglesdansuntriangleestégaleà180°).LetriangleABCestdoncisocèleetonaBA=AC=150.EnappliquantlethéorèmedePythagoredanscetriangle,onaBC²=AB²+AC²=150²+150²=45000doncBC=√45000≈212,13.Lalongueurdelacordeestapproximativementde212m.

Méthode2:

DansABCrectangleenAona:sin45°= d'oùBC=

°=

°≈212,13m.

3) Amortissementducerf‐volant

Chaqueannéelaconsommationpourraitêtreréduitede:20%×3500000L=700000LL’économieréaliséeparannéeseraitalorsde:700000L×0,42zed/L=294000zedsLecoûtducerf‐volantseraitalorscouverten:2500000zeds:294000zeds/année≈8,5(enannée)

4) a) Diminutiond’émissionsdeCOVréalisée

Ladiminutiond’émissionsdeCOVréaliséesurlanavigationauraitétéentonnesparannéede: 20%×1270=254.



Enpourcentagedel'ensembledesémissionsdeCOVgénéréesparl’ensembledestransportscettebaisseseraitde: 254:50400≈0,005soit0,5%

Remarques:

Ilfautêtrevigilantdanscegenredequestionsauxensemblesderéférenceconsidérés. Le pourcentage se calcule en rapport du total avant diminution (254:50400) et non pas après

(254:50146). lepourcentagedediminutionn’estpastoutàfaitégalàladifférencedespourcentagesd’émissionsde

COVavantetaprèsréduction(1270/50400–1016/50146)

4) b) Formulespourtableur

Formulesàsaisir:EnB7:=B4/B6 EnB8:=B4*0,2 EnB9:=B8/B6

Remarque:

Parexemple,78%estunnombredontuneautreécritureestparexemple0,78;cesdeuxnombresexprimentunpourcentage.Onpeutchoisirdans lemenuFormatdutableur, letyped'affichagevoulupour lenombreobtenuparcalculgrâceàlaformule.Sil'onsaisitlesformulesci‐dessous,onobtientdesnombresdepourcent:

EnB7:=B4/B6*100ouEnB8:=B4*20/100ouEnB9:=B8/B6*100

78estlenombredepourcentset78%estlepourcentage.

4) c) Retrouverlenomdesgaz

Pouridentifierlesgazquereprésententleschiffresdupremiergraphique:

Méthode1:Onpeutcalculer,enpourcentagesparrapportautotaldesémissions, lesémissionsduesàlanavigationpourchaquegaz,puislesordonnercequirevientàrangerlesfractions.Encomparantcerangementàceluiobtenuparlalecturedugraphiqueonobtientlacorrespondance:

SO2 NO2 COV CO CO2

5 2 3 4 1

Méthode2:

Onpeutaussiutiliser laproportionnalitépourcalculer lesanglescorrespondantsauxpourcentagesdesémissionsdechaquegazduesàlanavigationetlesmettreencorrespondanceavecceuxindiquéssurlegraphique(lasommedespourcentagesdoitêtrecalculée,c’estpluslong!)Parexemple,oncalcule:

782150

65882300

127050400

3340319000

10000014600000

Donc 0,0868DecenombrelapartdelanavigationdanslesémissionsdeSO2représente:

7821500,0868

0,418 41,8%

Lesecteurangulairecorrespondantadoncpourmesure360 0,418 150,5(endegré)(chiffre5delalégende).



Pouridentifierlesgazquereprésententleslettres:

Méthode1:

Onpeutcalculer,pourchaquegaz,lespourcentagesdediminutionetendéduirelacorrespondance

SO2 NO2 COV CO CO2

0,73% 0,16% 0,50% 0,21% 0,14%

e b d c a

Méthode2:

Onpeutplussimplementremarquerqu’unediminutiondesémissionsentonnesd’ungazde20%entraîneenpourcentageparrapportauxémissionstotalesunediminutiondumêmetauxpourchaquegazetqueparconséquentlerangementselonlesgazdonnésurlesecondgraphiqueestidentiqueàceluidonnésurlepremiergraphique

SO2 NO2 COV CO CO2

5e 2b 3d 4c 1a

Exerciced’aprèsunconcoursblancdeNantes(sujetpage177)


PROBLÈMED’APRÈSUNCONCOURSBLANCDENANTES

1) Populationen1901

LapopulationdeLoireAtlantiqueaaugmentéde95%entre1901et2011.Lapopulationde1901adoncétémultipliéepar1,95.Lapopulationen1901étaitdoncégaleàcellede2011diviséepar1,95.1 296 364:1,95≈664 802LapopulationdeLoireAtlantiqueétaitdoncvoisinede665 000habitantsen1901.

Remarques:

Onnepeutpas interprétercettequestionparunediminutionde95%de lapopulationde2011.Letauxde95%appliquéàlapopulationde1901ou2011nedonnepaslemêmerésultat.

Pourretrouverlecoefficientde1,95,onpeutposerl’équation(Pestlapopulationen1901):P+P×0,95=1296364P×(1+0,95)=1296364P×1,95=1296364P=1296364:1,95

2) Populationen2050

1 282 052:1 050 539≈1,220375.LapopulationdeLoireAtlantiqueaaugmentéd’environ22%danslapériode1990‐2010.Ensupposantqu’elleaugmentedumêmepourcentagelorsdechacunedespériodesde20anssuivantes,lapopulationen2050seravoisinede1 282 052x1,22x1,22.Ilyauraitdoncenviron1 910 000habitantsenLoireAtlantiqueen2050.

Remarque:Si le pourcentage était rigoureusement égal sur chaque période, le calcul à effectuer serait 1 282 052 x(1 282 052:1 050 539)x(1 282 052:1 050 539)Cependant, cette recherchedeprécisionn’apasd’intérêt car lesdonnées initialesne sontpas certainesàl’unitéprès,etl’hypothèsedelaconservationdupourcentaged’augmentationestellemêmetrèsfragile.Lerésultatobtenun’adesensqu’entantqu’ordredegrandeur.

3) SuperficiedudépartementdelaLoireAtlantique

Nous montrons ci‐dessous (figure 1)un tracé possible, parmi beaucoup d’autres (voir remarque etfigure2)pourapprocherl’airedelaLoireAtlantiqueàl’aidededeuxtrianglesdemêmebase.Oncalculed’abordl’airesurledessinàpartirdesvaleursmesuréesàlarègledelabaseetdelahauteurcorrespondantedechaquetriangle.(12,3×6,4):2+(12,3×5,2):2=(12,3×11,6):2=12,3×5,8=71,34L’airedelafiguredessinéeestdoncenviron71cm².Uncmreprésentant10km,chaquecentimètrecarréreprésenteuncarréde10kmdecôté,soit100km².LasuperficiedelaLoireAtlantiqueestdoncd’environ7100kilomètrescarrés.(Lasuperficieréelleestd’environ6815km²).

Remarque:

Parmilesautrestracéspossibles,onpeutévoquerl’utilisationd’unquadrillage.Onobtientunevaleurpardéfautendénombrant lescarrésentièrementsituésà l’intérieurde lasurfaceàévaluer.Onobtientunevaleurparexcèsendénombranttouslescarréscontenantunepartiedelasurfaceàévaluer.Ici,enprenantdescarrésde1cmdecôté,onobtientpardéfaut40cm²(soit4000km²)etparexcès94cm²(soit9400km²).Pourobtenirunencadrementplusfin,onréduitlesdimensionsdescasesduquadrillage.



Figure1



Figure2

4) EmpreinteécologiquedelaLoireAtlantique

La superficie nécessaire pour couvrir l’ensemble des besoins du département en 2010, calculée enhectaresétaitd’environ1 282052×4,6soitenviron5 900 000ha.Unhectareestlasuperficied’uncarréde100mdecôté,soit1ha=100m×100m=10 000m2.Unkm2équivautà1 000 m × 1 000 m = 1 000 000m2,donc1km2=100ha.Lasuperficienécessaireestdoncd’environ59 000km2.

5) a) RangementdesdensitésdepopulationdescinqdépartementsdesPaysdelaLoireLa densité de la Loire Atlantique est proche de 200 car 200 x 6800 = 1 360 000 (sans calcul, on peuttoutefoisestimerquec’estlaplusfortedensité: lessuperficiessontsensiblementégalesauregarddelapopulationdecedépartementquiestbeaucoupplusimportante).CelleduMaineetLoireestlégèrementsupérieureà100:790343estsupérieurà100×7166maislesdeuxnombressontdel’ordrede700000;c’estladeuxièmedensitélaplusimportantepuisquelesautressontinférieuresà100.LadensitédelaMayenneestvoisinede60car5 000x60=300 000.LaSartheetlaVendéeontdesdensitéscomprisesentre80et100.90×6200=558000, 91×6200=558000+6200=564200. La densité de la Sarthe est donc prochede91.90×6700=603 000.5×6700=33500.95×6700=603000+33500=636500.LadensitédelaVendéeestdoncvoisinede95.

L’ordrecroissantdesdensitésestdonc:Mayenne,Sarthe,Vendée,Maine‐et‐Loire,Loire‐Atlantique.

5) b) FormuleàsaisirenD2

Onpeutentrerlaformulesuivante:=B2/C2



5) c) FormuleàsaisirenD7

Onpeutentrerlaformulesuivante: =(B2+B3+B4+B5+B6)/(C2+C3+C4+C5+C6)Ilestévidemmentpossibleaussid’utiliserlafonctionsomme,laformuleestalors: =somme(B2:B6)/somme(C2:C6)OnpeutaussiplacerenB7lasommedespopulationsparlaformule: =(B2+B3+B4+B5+B6)deplacerenC7lasommedessuperficiesparleformule: =(C2+C3+C4+C5+C6)etdecalculerensuiteladensitéàl’aidede: =B7/C7.

Problèmed’aprèsunconcoursblancdeNice(sujetpage179)


PROBLÈMED’APRÈSUNCONCOURSBLANCDENICE

Remarque:

Lesprogrammesdeconstructionnesontpasattendus.Nouslesdonnonspourfaciliterlacompréhensiondesfiguresconstruites.Lestraitsdeconstructiondoiventêtrelaissésapparents.

1) Constructiondedeuxparallélogrammesvérifiantlespropriétés1et2

Tracerunsegment[AB]delongueur6cmetunsegment[BC]delongueur3cm.TracerlecercledecentreAetderayon3cm.TraceruncercledecentreCetderayon6cm.SoitDlepointd’intersectiondesdeuxcerclestelqueABCDnesoitpascroisé.

Pour obtenir un parallélogramme vérifiant les mêmes propriétés mais non superposable, on suit leprogrammedeconstructionci‐dessusenmodifiantl’angle .

2) Constructiond’unparallélogrammevérifiantlespropriétés1,2et3

Tracerunsegment[AB]telqueAB=6cm.TracerlecercledecentreAetderayon4cm.TracerlecercledecentreBetderayon3cm.



LepointCestl’undesdeuxpointsd’intersectiondecesdeuxcercles.LepointDestconstruitcommedanslaquestion1.

3) Longueurdeladiagonale[AC]

a=3cmetb=9cm.

Remarque:

Ilestpossibledejustifierladéterminationdesvaleursdeaetdebenutilisantl’inégalitétriangulaire.EnconsidérantqueletriangleABCn’estpasplat,l’inégalitétriangulairedonne:AB–BC<AC<AB+BCd’où(6–3)cm<AC<(6+3)cm.Onobtientbiena=3cmetb=9cm.

4) Constructiond’unparallélogrammevérifiantlespropriétés1et2et4

Tracerunsegment[AD]telqueAD=3cm.Tracerlaperpendiculaireà(AD)passantparA.TracerlecercledecentreDetderayon6cm.SoitCl’undespointsd’intersectionducercledecentreDetderayon6cmetdelaperpendiculaireà(AD)passantparA.LepointBseconstruitcommelepointDdanslaquestion1.

Calculdelalongueurdeladiagonale[AC]

LetriangleDACestrectangleenA.D’aprèslethéorèmedePythagore,CD2=AC2+AD2.OnadoncAC2=CD2–AD2.CommeABCDestunparallélogramme,sescôtésopposésontlamêmelongueur.DoncCD=AB=6cmetAD=BC=3cm.OnendéduitqueAC2=36–9=27.DoncAC=√27=√9 3=3√3.OnadoncAC=3√3cm.



Calculdel’aireduparallélogrammeABCD

DACétantrectangleenA,l’airedeDACestégaleà √

.OnadoncAire(DCA)=932

cm2.Ladiagonale[AC]partageleparallélogrammeendeuxtrianglesDACetBACdemêmeaire.Doncl’aireduparallélogrammeABCDest9√3cm2.

5) a) Constructiond’unparallélogrammevérifiantlespropriétés1et2ettelqueladistancedeAà(DC)estde2cm

Tracerunsegment[AB]de6cmpuislaperpendiculaireà(AB)passantparA.PlacerunpointPsurcettedroitetelqueAP=2cm.Tracerlaparallèleà(AB)passantparP.TracerlecercledecentreAetderayon3cm.Ilcoupelaparallèleà(AB)passantparPendeuxpoints.SoitDl’undecespoints.LecercledecentreBetderayon3cm.Cestlepointd’intersectiondececercleavecladroite(PD)quisesitueà6cmdeD.

5) b) Calculdel’aireduparallélogrammeABCD

Onpeutprendre[AB]commebaseduparallélogramme.LahauteurestalorsladistancedeAà(CD),soitAP.L’airedeABCDestdoncAB AP=6 2 =12.L’airedeABCDest12cm2.

5) c) Calculdel’airedutriangleABO

Premièreméthode:

DansletriangleABO,onnoteKlepieddelahauteurissuedeOetK’l’intersectiondelahauteur(KO)avec(CD).Comme(OK)estperpendiculaireà(AB),etdoncà(CD),ladistanceKK’estégaleàladistanceentreAet(CD).DoncKK’=2cm.Deplus,Oestlecentredesymétrieduparallélogramme,doncOestlemilieude[KK’].Onendéduitque

OK= =1cm.

Enconsidérant[AB]commebasedutriangle,l’airedeABOest

=3cm².

L’airedeABOest3cm².

Secondeméthode:

[AC]estunediagonaleduparallélogrammeABCD.ParconséquentlestrianglesACDetACBontlamêmeaire.

L’airedeABCestdonclamoitiédel’aireduparallélogrammeABCDsoit cm²=6cm2.

LestrianglesABOetCBOont lamêmehauteur issuedeBet leursbasesrespectives [AO]et [CO]ont lamêmelongueurpuisqueOestlemilieude[AC](Onpeutaussiutiliserlefaitqu’unemédianepartageuntriangleendeuxtrianglesdemêmeaire).Parconséquent,ABOetCBOont lamêmeaire.Doncl’airedeABOestégaleà lamoitiédel’airedeABC.

=3doncl’airedeABOvaut3cm2.



5) d)DémontrerqueEFGHestuncarré

Premièreméthode:

Le pointO est le centrede symétrie duparallélogrammeABCD et du cercle Г de centreO et de rayon√2cm.GestlesymétriquedeEparrapportàO.Eneffet,Eappartientàladroite(AB)etaucercleГ.SonsymétriqueparrapportàOappartientdoncausymétriqueparrapportàOdeladroite(AB)etausymétriqueducercleГ,c’est‐à‐direàladroite(CD)etaucercleГ.LesdeuxpointsGetHvérifientceci.Lasymétriecentraleconservelesdistances.Surlafigureproposée,Eestlepointd’intersectiondeГavec(AB)leplusprochedeA.Doncsonsymétriqueestlepointd’intersectiondeГavec(CD)leplusprochedeC(carCestlesymétriquedeAparrapportàO):c’estdoncG.Demême,HestlesymétriquedeFparrapportàO).DoncEetG(respectivementFetH)sontdespointsdeГdiamétralementopposés.EFGHestunquadrilatèredontlesdiagonalesontdoncmêmelongueuretmêmemilieu,c’estunrectangle.Commel’angle estdroit,ladistanceentreEetHestégaleàladistanceentreAetladroite(CD),doncEH=2cm.Parailleurs, comme le triangleEFHest rectangleenEetqueFH=2√2cm,ona,d’après lethéorèmedePythagore,EF2=FH2–EH2=8–4=4.DoncEF=2cm.LerectangleEFGHadeuxcôtésconsécutifsdemêmelongueur,doncEFGHestuncarré.

Secondeméthode:

EFOestuntriangleisocèleenO.Soit I le pied de la hauteur issue de O. (OI) est perpendiculaire à (AB) et O est le centre du

parallélogrammeABCDdoncOI=22=1cm.

D’aprèslethéorèmedePythagoredansletriangleEIOrectangleenI,EI²=EO²‐IO²=√2 –1².DoncEI=1cm.DemêmeIF=1cm,d’oùEF=2cm.Demême, en se plaçant dans le triangleHGO isocèle en O, avec J le pied de la hauteur issue de O, onobtientHG=2cm.Onaégalement(EF)parallèleà(HG).EFGHestdoncunquadrilatèreayantdeuxcôtésopposésparallèlesetdemêmelongueur,c’estunparallélogramme.Parailleurs, commeEI=HJ=1 cm,EIJHestunquadrilatèreayantdeuxcôtésopposésparallèlesetdemêmelongueur.EIJHestunparallélogramme.Deplus,comme(OI)perpendiculaireà(EF),(OJ)perpendiculaireà(HG)et(EF)parallèleà(HG),(OI)et(OJ) sont deux droites parallèles qui ont un point commun. Donc I, O et J sont alignés et (IJ) estperpendiculaireà(EF).EIJHestunparallélogrammeayantunangledroit,c’estunrectangle.Donc(EF)estperpendiculaireà(EH).EFGHestunparallélogrammeayantunangledroit,c’estunrectangle.Parailleurs,comme(EH)estperpendiculaireà(EF),EHestladistancedeAà(CD)doncEH=2cm.NousavonsdéjàmontréqueEF=2cm.EFGHestdoncunrectangleayantdeuxcôtésconsécutifsdemêmelongueur,c’estuncarré.



Remarque:

D’autresdémonstrationssontpossibles.

5) e) Calculdel’airedeEFGH

CommeEFGHestuncarré,sonairevautEH2=4cm2.

5) f) Calculdel’aireA

NotonsAl’airedelapartiegrisée.L’airedudisquedecentreOetderayon√2cmsedécomposeenl’aireducarréEFGHetquatrefoisl’airedelapartiegrisée.Parconséquent,l’airedudisques’écrit:

√2 ²=2 ²=4cm²+4A.

OnendéduitqueA=( 1)cm2.

Remarque:

Lefaitquel’airedudisquedecentreOetderayon√2cmsedécomposeenl’aireducarréEFGHetquatrefoisl’airedelapartiegriséesedémontreparsymétrieparrapportàO.

5) g) Calculdel’aireB

NotonsB l’airede lapartiegrisée.L’aireduparallélogrammesedécomposeen l’airede lapartiegrisée,l’aireducarréEFGHetdeuxfoisl’airedelapartiegriséeA(voirquestionprécédente).

OnobtientdoncB=12cm²–4cm²–2 A=12cm²–4cm²–2 ( 1)cm².

D’oùB=(10 )cm2.

Nombreàl’écolematernelle(sujetpage180)


ANALYSED’UNESITUATIOND’APPRENTISSAGEENGSD’aprèsunsujetd’examendeLyon

1) Phase1 :leschoixfaitsparl’enseignant

a) Reformulation

Plusieurspointspeuventposerdesproblèmesdecompréhensiondanslaconsigne:

«justecequ’ilfautd’oiseaux»quipeutêtrereformulépar«nitrop,nitroppeud’oiseau»,«tudoispouvoirplacertouslesoiseauxquetuesalléchercher,ilnedoitpasenmanquerdansunnidetilnedoitpast’enresterdanslesmains»

«ilyaitunpèreetunemèreoiseaux»peutêtrereformulépar«ildoityavoirdeuxoiseaux»

«danschaquenid»peutêtrereformulépar«danstouslesnids»,«danschacundesnids»,«ildoityavoirdeuxoiseauxparnid»

b) Lesoiseauxsontidentiques

Silesoiseaux«pères»etmères»n’étaientpasidentiques,l’élèveauraitàconstruiredeuxcollectionsdemêmecardinalplutôtqu’unecollectiondontlecardinalestledoubled’uneautre.Lasituationreviendraitalorsàlaconstructiondedeuxcollectionséquipotentesàunecollectiondonnée.

c) Intérêtsdesnidsamovibles

Lesystèmedenidsamoviblesproposedeuxintérêtsmajeurs,lemaitrepeutjouersurlenombreetsurladispositiondesnids:

Intérêtlorsdeladévolutionduproblème:touslesélèvesdoiventpouvoirsefaireunereprésentationduproblème.Lavariationdunombredenidsestl’élémentessentielquipermetaumaîtreunajustement,pourchaqueélève,desconnaissancesrelativesaudénombrement.Ainsi,uneéventuellenonmaîtrisedecetteconnaissancen’interfèrepasdansletravaildecompréhensionduproblèmetelqu’ilestposéàl’élève:chacunpeutalorss’engagerdanslaconstructiond’unesolutionauproblèmeposé.

Intérêtdansl’individualisationduproblème:lesélèvessontregroupésautourd’unemêmetable,sic’étaittoujourslemêmenombreetlamêmedispositiondesnidssurl’arbre,lesélèvesinitialementspectateurs,neferaientquereproduirecequ’ontfaitleursprédécesseurs,cequi«tuerait»leproblèmepourcesélèves‐là.Ilestdoncimpératifqu’ilpuisseyavoirvariationdunombreet/oudeladispositiondesnidssurl’arbre.

Intérêtdanslagestionconcrètedelaclasse:ilestplussimpleetplusrapidededéposeretramassersuruneaffichedesboutsdecartonreprésentantlesnidsplutôtquedemanipulerdesaffichespourfaireévoluerlasituation.

Intérêtpourl’aspectludiquedelasituation:plusl’élèvemanipulecequiluiapparaîtcommeunjeuplussonintérêtestmarqué.Despetitsnidsetdesoiseauxenpapierssuscitentplusd’intérêtquedesrondsetdesjetons.Attentioncependantànepasmasquerlesobjectifsmathématiquesderrièreunhabillagetropludique.



2) Phase2

a) Deuxprocéduresefficaces

Onpeutenvisagerplusieursprocéduresquimènentàlaréussiteduproblème:

Procédure1:

Compter2danschaquenidmentalementouenpointantdudoigttouslesnidstouràtour:1‐2,3‐4,5‐6,…,11‐12etsesouvenirduderniermot‐nombreénoncé;

Procédure2:

Dénombrerlesnidspuisprendrelesoiseauxparcoupleencomptantjusqu’aunombredenids;

Procédure3:

Dénombrerlesnidspuisprendreunepremièreséried’oiseauxcorrespondantaunombredenidspuisunedeuxièmeséried’oiseaux;

Procédure4:

Distribuer lesoiseauxendeuxtascommedansun jeudecartesencomptant1‐1,2‐2,3‐3,etc. jusqu’aunombreexactdenids.

Remarques:

Dans la procédure 1, les élèves ne connaissent pas le nombre de nidsmais seulement le nombre totald’oiseaux.Danslesprocédures2,3et4lesélèvesconnaissentlenombredenidsmaispasnécessairementlenombre total d’oiseaux, néanmoins ils établissent une relation entre le nombre de nids et l’obtention dunombrerequisd’oiseaux.LaprocédurequiconsisteàdénombrerlesnidsetprendreledoubledecenombrerelèveduCP.

b) Bonnombred’oiseauxsanscompterlesnids

Avec laprocédure1, un élève effectue le comptagedunombred’oiseauxdirectement sur lesnids sansgarderenmémoirelenombretotaldenids.

3) Phase3

a) Deuxmessagesorauxjustes

Remarquepréalable:

Lamodificationentrelaphase2etlaphase3(commandeorale)introduitunecontraintedeformulationdelacommande.L’élèvedoitdoncexprimerdefaçonexpliciteouimplicitelenombred’oiseauxdontilabesoin.Celaconduit,d’unepart,àuneffortd’explicitationde lapartde l’émetteur,et,d’autrepart,àuneffortdedécodagedumessagereçupourlerécepteurquifournitlesoiseaux.Lestechniquesderésolutionduproblèmesontainsimisesaujouretmieuxcomprisesparl’ensembledesélèves.Lesincompréhensionsentreémetteuretrécepteurpeuventgénérerdesdébatsd’explicitation.

Lesmessagesorauxpourraientêtre:‐ Ilfaut12oiseaux;‐ Ilya6nids,ilfaut6oiseauxetencore6oiseaux;‐ Ilfaut2fois6oiseaux;‐ Ilenfaut6et6;‐ Ilfaut6pèreset6mèresoiseaux;‐ Ilfaut6couplesd’oiseaux.

b) Synthèseenphase3

Remarquepréalable:

L’objectifde la séquence est la constructiond’une collectiondont le cardinal est ledoubled’uneautre. Ilparaitessentielque lemaîtreconduise lesélèvesàpercevoircettenotiondedoubleen insistantsur le lienentrelenombredenidsinitialetlafaçondontlenombred’oiseauxpeutêtreexprimé.Lasynthèsedoitdonc



porterd’unepartsurlafaçondetrouverlebonnombred’oiseaux,maiségalementsurlamanièred’exprimercenombreetsurlelienentrelenombredenidsetlenombred’oiseaux.

Synthèsepossible:

‐ «Sij’ai6nids,jedoisallerchercher6etencore6oiseaux,c’est‐à‐dire12oiseaux»‐ «Sij’ai6nids,jedoisallerchercherdeuxfois6oiseaux,c’est‐à‐dire12oiseaux».

4) Variablesdelasituationetimpactdevariation

Onpeutciterplusieursvariablesdontlavariationaunimpactsurlesprocéduresderésolution:

Lenombredenids:cenombredoitresterdansundomaineadaptéàl’élève,s’ilesttrèspetit(1ou2)l’élèven’apasbesoindedénombrerpourobtenirlebonrésultat.S’ilesttropgrandl’élèvenepourrapasdénombrer.

Lesnidssontdéplaçablesounon:s’ilssontdéplaçables,l’élèvepeutlesprendreavecluietfairecorrespondreàchaqueniduncoupled’oiseaux,s’ilsnesontpasdéplaçablel’élèvedoittrouverunmoyendemémoriserlenombred’oiseauxàallerchercher.

Ladispositiondesnidsdansl’arbre:silesnidssont«bienrangés»(parexempleendeuxlignesde3nids)l’élèvepeututiliseruneprocédurebaséesurreconnaissancevisuelleplutôtquesurundénombrement.

L’éloignement des oiseaux: si les nids et les oiseaux sont ensemble dans le champ visuel del’élève,cedernierpeutfairedesallers‐retoursvisuelspourtrouverlebonnombred’oiseausansutiliserledénombrement.

Lesélèvesont‐ilsàallerchercherseullesoiseauxoudoivent‐ilsdonnerunmessageàunautreélève: la formulation d’une commande oblige l’élève à communiquer soit le nombre d’oiseaudésiré(parexemple«12oiseaux»,soitlafaçond’avoirlenombred’oiseaudésiré(parexemple«6oiseauxetencore6oiseaux»).

Lacommandedoitsefaireàl’oraletpasàl’écrit:parécrit,l’élèvepourraitdessinerlescouplesd’oiseauxsouhaitésouencorelesnidsàremplir…

ProblèmedepartageenGS(sujetpage182)


PROBLÈMESDEPARTAGEENGSD’aprèsunsujetd’examendeGrenoble

1) Procéduresdepartagemisesenœuvre.

a)Procéduresindividuelles

Ondésigneainsilesprocéduresoùchaqueenfantsesertsanstenircomptedesonvis‐à‐vis:c’estlecasdugroupe1.Ladistributionesteffectuéeunàun.

b)Procéduresindividuellesdépendantes

Ondésigneainsilesprocéduresdanslesquelleschaqueenfantsesertsanstenircomptedesonvisàvis,maisoùleduocomparelescollectionsentreelles.Ils’agitdesgroupes6et7.Pourcesdeuxgroupes,lemoyendecontrôledel’équipotencedescollectionsestspatial(représentationdans l’espaced’une correspondancepaquets à paquets: paquets dedeuxpour le groupe7, paquets detrois pour le groupe 6). La contrainte de place amène le groupe 7 à substituer à cette représentation,l’égalitédeshauteurs.

c)Procéduresduellessynchrones

Nousdésignonsainsilesprocéduresoùlesenfantss’assurentdel’équipotencedescollectionsenutilisantla synchronisation de leurs gestes. Il s’agit des groupes 2 (placement des objets), 3 et 5 (pour lecomptage).

d)Procéduresduellesalternées

Ondésigneainsilesprocéduresoùlesenfantsseserventàtourderôle.Ils’agitdesgroupes2,4et5.Lesgroupes2 et 5 effectuent unedistributionun à un, alors que le groupe4 effectueunedistributionparpaquetsde2.

2) Moyensdecontrôle

Les enfants s’assurent de l’équipotence des collections obtenues lors du partage soit par unereprésentationtemporelle(simultanéitéoualternance),soitparunereprésentationspatiale(paquetsouobjetsmisfaceàface).Seullegroupe1n’utiliseaucunedecesreprésentationsetn’aainsiaucunmoyendecontrôle.Enoutre,legroupe5s’assuredel’équipotenceparcomptage(simultané).Enrevanche,mêmesi legroupe4utilisecommemoyendecontrôle lareprésentationspatialedessouscollections,cemoyennesemblepasavoirdesenspourlui,puisqu’ilnel’utilisepaspour«interroger»sontravail.

3) Analysedurésultatdugroupe4.

Les enfants appliquent la procédure rappelée lors du bilan, en procédant chacun à leur tour, mais enprenant deux objets à la fois. Le nombre de paires d’objets n’étant pasmultiple de deux (15paires entout),unepaired’objetsestattribuéeenplusàl’undesdeuxalignements.Onpeutsupposerquechaquealignement représente respectivement laquantité attribuée auxpetits et aux grands, lepartageobtenun’estpaséquitable.Le travails’arrêteà lamiseen lignedespairesd’objets,sansaller jusqu’àcontrôlerl’équipotencedesdeuxcollections.

4) Variablesdidactiques

• Unepremièrevariabledidactiqueest,bienentendu,latailledunombre.Unnombred’objetstroppetit(unedizaine)permettraitunpartage «à l’œil» (subitizing), alorsqu’unnombred’objets tropgrand(unecentaine)nepermetpasunereprésentationspatialesimpledelacorrespondance,commeonlevoitaveclegroupe7,seulgroupeàavoireuunesoixantained’objets.

• Unedeuxièmevariabledidactiqueestlatailledesobjetsquipermetounonunereprésentationspatialedelacorrespondance.Onenvoitencoreuneillustrationaveclegroupe7:c’estparcequelatailledes



godets est trop grande (relativement à leur nombre) que les enfants sont obligés d’avoir recours àl’empilement.

• Une troisièmevariabledidactique, nonnégligeable, est lanaturedunombred’objets (bien entendu,nombre pair). Si ce nombre n’est ni multiple de 3, ni multiple de 4, ni de 5, les procédures derépartitionparpaquetspeuventêtremisesendéfautcommelemontrel’exempledugroupe4.

5) Lasituationdesgommettes1

Remarque:

On suppose que les gommettes sont données en vrac, et non pas sur des planches de gommettes déjàorganisées.

a) Deuxprocédurespossiblespourlaphase1.

Plusieursprocéduressontenvisageablesdontdeuxseulementsontdemandées.

Procédure1:

L’élève dispose les gommettes une à une de chaque côté du trait. Ensuite il contrôle l’équipotence desdeux collections. Pour cela il peut compter le nombre de gommettes de chaque côté et comparer lesnombresobtenus(comptineoubandenumérique)

Procédure1bis:

L’élève dispose les gommettes une à une de chaque côté du trait. Ensuite il contrôle l’équipotence desdeuxcollections.Pourcelailpeutfaireunecorrespondancetermeàtermeenorganisantspatialementlesgommettesdechaquecollection.

Procédure1ter:

L’élève dispose les gommettes une à une de chaque côté du trait. Ensuite il contrôle l’équipotence desdeuxcollections.Pourcelailpeutorganiserchacunedescollectionssousformedeconstellation.

Procédure2:(Variantedelaprocédure1)

L’élèvedisposelesgommettesdechaquecôtédutraitdeuxpardeux,outroispartrois…puiscontrôledel’équipotenceselonl’unedesprocéduresdécritesci‐dessus.

Procédure3:

L’élèvedénombreparcomptage lacollectioncomplète,puis ils’appuiesursaconnaissancedesdoublespourdéterminerlenombredegommettesàcollerdechaquecôté.

b) Deuxprocédurespossiblespourlaphase2‐émetteurs

Plusieursprocéduressontenvisageablesdontdeuxseulementsontdemandées.

Procédure1:Paressais‐ajustements.

L’élève place le fil de façon perceptive, puis dénombre par comptage chacune des deux collections. Ilcomparelesdeuxnombresobtenus(comptine,filenumérique,etc.).Silesdeuxnombressontégaux,ilafini.Sinon,ildéplacelaficelleetrecommenceàdénombrer…

Procédure2:

L’élèvedénombreparcomptage lacollectioncomplète,puis ils’appuiesursaconnaissancedesdoublespourdéterminer lenombredegommettesdechaquecôtédu fil. Il comptecenombredegommettesetplacelefil.

1Créationd’après«Lesgommettes»;ERMELGS;pp120‐135



Procédure3:

Correspondancetermeàtermeenpartantdechacundesdeuxbouts.Cettecorrespondanceenutilisantlesdoigtss’arrêtequandlesdeuxdoigtsserencontrent.Onplacelefilentrelesdeuxdernièresgommettes.

Procédure4:Essais‐ajustementprenantappuisuruneestimationdelaquantité.

L’élèveestimelenombrecorrespondantàlamoitiédesgommettes,parexemple4.Ilcompte4gommettessurlacarte, ilcomptelaquantitédegommettesrestantes.S’ilyena4, ilplacelefil.Sinon,ilajusteàlahausseouàlabaissesonestimationinitialeetrecommence.

Procédure4bis:Essais‐ajustementprenantappuisuruneestimationdelaquantité.

L’élève estime lenombre correspondant à lamoitiédes gommettes, par exemple4. Il compte, avec sesdeuxindex,4gommettesdechaquecôtédelacarte.S’ilrestedesgommettesnoncomptées,ilajustesonestimationinitialeàlahausse,etilrecommence.S’iln’yapasassezdegommettespourcompter4,ilajusteàlabaisse,etilrecommence.Sinon,ilplacelefil.

Lesmoyensdevalidations:

Dénombrementparcomptagedesgommettesdechaquecôtédutraitetcomparaisondesnombresobtenus.

Contrôleparsynchronisationdesgestes. Parpliagesilematériellepermet(gommettesenligne).

c) Intérêt

Intérêt1:

Chaque élève du binôme émetteur peut être en activité lors de la phase de recherche d’un découpagepossible.Quandilssesontmisd’accordsurunpartage,uneseulebandeestdécoupée.

Intérêt2:

Labandenondécoupéepeutservirdebandetémoinpourvaliderlaproductiondesgroupesrécepteurs.

d) Évaluation.

L’évaluation individuelle porte sur l’activité réalisée. Elle peut donc se composer de deux parties(reprenantlesdeuxaspectsdel’activité):

1‐ Compléterunebandedontonconnaîtlamoitié.Lenombredegommettesproposéinitialementsurlamoitiédebandeestcomprisentre3et10.

2‐ Trouverunelignedepartage,surunebandecomprenantentre6et20gommettes,endeuxcollectionséquipotentes.

Remarque:

Lenombredegommettesproposéainsiqueladispositionspatialedecelles‐cisontdesélémentsimportantsdedifférenciationpourl’évaluation.

Multiplication(sujetpage184)


LAMULTIPLICATIOND’UNNOMBREENTIERPARUNNOMBREÀUNCHIFFRE:ÉTUDED’EXTRAITSDEMANUELS

D’aprèsunsujetd’examendeLyon

1) Àproposdel’annexe1« TousenMaths ! »CE2Nathan2012etdel’annexe2« J’apprendslesmaths »CE2Retz2010

a) Descriptiondelasecondetechniquedemultiplication(celleemployéeaumilieuparNoradansl’annexe1)

Chaquechiffreestmultipliépar41,pourlechiffredesunités,onobtientunnombred’unités(quipourracomporterdeuxchiffres);pourlechiffredesdizaines,onobtientunnombrededizaines;etc.Ladiagonaledechaquecarréséparelechiffredesunitésetceluidesdizainesdurésultat(16unitésc’est1dizaineet6unités,demême,5×4donne20séparéesen2et0,etc.).Pour finir il suffit d’ajouter les unités demême rang ensemble (en suivant les diagonales). En effet ladispositionproposée fait apparaîtreque5dizaines×4donne20dizaines soit 2 centaines et0dizaine(chiffresquisetrouventdanslesdemi‐casesendiagonale).

b) Comparaisondestroistechniquesproposées

Ilyad’unepartdeuxtechniquesposées(annexe2)etunetechniqueenligne(annexe3).Il faut comprendre le rôle des différents signes présents: diagonales, tracés, flèches, cases et ronds, etfaire le lien entre le matériel de numération représenté (valises, boites, jetons) et les écrituresdécomposéesdesnombres.

Similitudes:

Au niveau de la justification de la technique: les trois techniques s’appuient sur la propriété de ladistributivitéde lamultiplicationparrapportà l’additionetconsistentàeffectuer lamultiplicationd’unnombredécomposésuivantlespuissancesde10:(1000+3×100+5×10+4)×4danslesdeuxpremierscaset(100+6×10+8)×4dansletroisième.Au niveau des supports pour la mise en œuvre de la technique: dans les deux premiers cas, des«retenues» apparaissent placées à des endroits bien précis: dans la partie gauche de chaque casepartagéeparunediagonalepourNora,danslesrondsau‐dessusdel’opérationposéepourMax.

Différences:Auniveaude lamiseenœuvrede la technique:Norapeut faire lesmultiplicationsdans l’ordrequ’elleveut car les additions sont gérées après que toutes lesmultiplications ont été effectuées.Max doit leseffectuerdedroiteàgauche, tandisque la techniqueen ligneamèneàeffectuer les calculsdegaucheàdroite , en commençant par multiplier les centaines ,puis les dizaines, puis les unités.. De ce fait, latechniqueen ligneconduità calculer l’addition400+240+32sanscalculde retenuesaucontrairedesautrestechniques.

c) Lesraisonsduchoixdesauteursde« J’apprendslesmaths »

Onpeutvoirdeuxraisonsàcechoix:lelienentrecalculenligneetcalculposé,l’importanceaccordéeaucalculmentalparlesauteursdecemanuel.Il s’agit d’unemultiplication d’un nombre entier de trois chiffres par un nombre à un chiffre. Elle esteffectuéeendécomposant lepremiernombreencentaines,dizaines,unités,décompositionreprésentéepar le matériel. Chaque unité de numération est multipliée séparément et les résultats obtenus sontajoutés.Misàpartlefaitquelescalculss’effectuentdegaucheàdroite,cetteméthodeestsimilaireàcelledelamultiplicationposéeetpeutaideràencomprendrelasignification.Pour les auteurs, cette méthode est importante car c’est celle qui est privilégiée en calcul mental. Ilconvientdoncdel’exposerauxélèves.1Cetteexpressionestunabusdelangage.Ilfaudraitdire:«chaquenombredésignéparlechiffreestmultipliépar4»carunchiffreestunsymbolepermettantd’écriredesnombresetlesopérationsportentsurlesnombres.



2) Àproposdesannexes3« EuroMaths »CE1Hatier2012et4« livredumaitreCapMathsCE1 »Hatier2009

Lesdeuxmanuelsproposentdesapprochesdifférentesdelamultiplication.

a) Descriptiondesdeuxapproches

Annexe3:(manueldel’élève):

Introductiondelamultiplicationd’unnombreàdeuxchiffresparunnombreàunchiffre(37×5).Les auteurs donnent deux supports pour obtenir le résultat de la multiplication; ils amènent lamultiplicationd’unnombreàdeuxchiffresà l’aideducalculde l’aired’unrectangle(dans lesensd’unemesure‐produit)découpéendeuxrectanglesbienchoisis(dontlesairessontplusfacilesàcalculer)oududénombrementdecarrésdansunrectangle,doncendécomposant«37»en«30et7».Laprésentationdans la seconde colonnede lamêmemultiplication cette fois‐ci posée estdonnée sanscommentaireparticulierhormis:«jefaiscommePaco».L’élève doit identifier le lien entre les calculs qui apparaissent dans la multiplication posée et ceuxprésentsdanslerectangle.L’ordredescalculsn’estpaslemêmeetladispositiondesnombresdansuncalculdiffère(30×5et7×5danslesrectangleset5×7et5×30.Unequestionsurlamiseenévidencedelacommutativitéestproposée:«quelestlerésultatde5×37?».Laréponsenepouvants’obtenirqu’enobservantlerectangleplutôtqu’àl’aidedelamultiplicationposée.

Annexe4:(livredumaitre):Un contexte présenté dans une histoire permet de renforcer le sens de lamultiplication (en lien avecl’addition réitérée) et d’inciter à utiliser la décomposition des nombres puisque le contenu chaqueenveloppeestprésentéen séparantdizainesetunités. Ilpermetd’aborderdifférentesprocédurespourtrouver«combiendeperlesdansletrésor?»correspondantàlamultiplication87×5.Ensuiteuneprésentationdelamultiplicationposéeestamenéeparleprofesseurens’appuyantd’abordsurl’additionitérée.Laverbalisationpermetdevoirquel’onestamenéàcalculer7+7+7+7+7cequirevientà«faire5fois7».L’appuisurlanumérationetladécompositionenpuissancede10intervientpourcomprendrelerôledelaboiteàretenue.Oncalculelenombrededizainesentenantcomptedesdizainesdéjàretenues.

b) Différencesentrelesdeuxtechniques

Laprincipaledifférencesesitueauniveaudessensdelamultiplicationprivilégiée:

LemanuelEuroMathss’appuiesuruneconfigurationrectangulaire, ilprésentelamultiplicationdanslesensmesureproduit sur un quadrillage 37x5; elle apparait comme l’outil permettant de calculer lamesuredel’aired’unrectanglede37sur5(nombredecarrésparlignemultipliéparlenombredecarrésparcolonne)sommedesairesdedeuxrectanglesde30sur5etde7sur5.Lacommutativitéesticimiseenévidenceàdifférentsmoments.

LemanuelCAPMathss’appuiesurunproblèmedeproportionnalitésimple:onconnaitlavaleurd’uneunité (1 enveloppe contient 87 perles) et on cherche la valeur de 5 unités. Lamultiplication apparaitcomme une addition réitérée 87+87+87+87+87. Il est plus difficile de mettre en évidence lacommutativitédanscecontexte.

c) Comparaisondesdeuxtechniques

EuroMathsSensmesureproduit CAPMathsSensadditionréitérée

Lamiseenévidencedespropriétésdelamultiplicationounon

• Permet de mettre en évidence lacommutativité et donc de se défaire duproblèmedel’ordredel’écrituredesnombresduproduit

• Permetdemettreenévidenceladistributivitédelamultiplicationparrapportàl’addition.

• Lamiseen évidence delacommutativitén’estpas «évidente» pour concevoir qu’il y aautant de billes dans 58 paquets de 3 billesquedans3paquetsde58billes.

• Permetdemettreenévidenceladistributivitédelamultiplicationparrapportàl’addition.



Leprolongementdelatechniqueopératoireàlamultiplicationdedeuxnombresdécimaux.

• Peut permettre d’illustrer la multiplicationd’un entier par un décimal mais aussi d’undécimalparundécimal

• Permet de montrer que la multiplicationn’agranditpastoujours(0,7×8<8et0,7×0,8<0,7;0,7×0,8<0,8)

• Autorise le prolongement à la multiplicationd’un entier par un décimal(3×4,7=4,7+4,7+4,7)

• Nepermetleprolongementàlamultiplicationd’undécimalparundécimal

• Avec l’addition réitérée, la multiplication estuneopérationquiagrandit«toujours».

3) Àl’issuedecetteétudedudossierenconsidérantlesprogrammes(annexe5)

Troiscompétencesimportantesàfaireacquérirauxélèvesavantd’aborderlamultiplicationposée

Savoir multiplier par 10, 100, 1000: puisque la décomposition d’un des facteurs est celle quicorrespond à la décomposition polynomiale du nombre (parfois désignée par désignationcanonique)selonlespuissancesde10.Danslesproduits intermédiaires,cesfacteursserontdoncprésents.

Connaitrelestablesdemultiplication(aumoinslespremières)ouêtrecapabledelesreconstruirerapidement: puisque dans la mise en œuvre de la technique de la multiplication, ce sont desproduitsd’unnombreàunchiffreparunnombreàunchiffrequiserontutilisés.

Avoir des connaissances en numération: connaitre la valeur des chiffres dans l’écriture desnombres et savoir qu’un groupementdedix unités donneunedizaine, qu’un groupementdedixdizainesdonneunecentaine.

Savoirdécomposerunnombresoussadécompositioncanonique.

Grandeursetmesures(sujetpage189)


GRANDEURSETMESURES

ANNALYSEDEPRODUCTIONSD’ÉLÈVES

ANALYSESDESITUATIONSD’APPRENTISSAGE

EXERCICE1

Élève1

Laprocéduren'estpasrecevableetlaréponsedonnéeestfausse.L'élèveeffectue la sommedesdeuxdonnéesnumériquesde l'énoncé : il ajoute lesheuresdedépart etd'arrivée,enlesinterprétantdemanièreerronéecommedesdurées.

Élève2

Laprocéduren'estpasrecevablemaislaréponsedonnéeestnumériquementcorrecte.L'élèvecalculeunedifférenceentredeuxinstants.Ilsaitprobablementqu'il"doitcalculerunedifférenceentredeuxheures" («l'heured'arrivéemoins l'heurededépart»), et il estpossiblequ'enpratique, il aiteffectuéladifférenceentre"laplusgrandeheureetlapluspetite",soit19h‐7h.Lechoixdesvariablesnumériquesdansl'énoncé(heuresdedépartetd'arrivée)faitquecetélève,avecunmauvaisraisonnement,donneuneréponsecorrecte.Celan'auraitpasétélecas,parexemple,silebateauétaitarrivéà6h.

Élève3

Cetélèvedessine13barresetconclutqueladuréedutrajetestde13heures.Saréponseestdoncfausse.Onpeutpenserqu'iladessinécesbarresenénonçant``19h,20h,...,6h,7h":danscecas,ildénombredesinstants,etnondesintervallesdetemps(procédurefausse).

Élève4

Laprocédureestrecevableetlaréponsedonnéeestjuste.L'élève,commeilleditlui‐même,achoisidereprésenterlasituationparunschéma:ildessineMarseille,laCorseetletrajetdubateau.Surlaligne,ilreprésentel'horlogequiavance(onleremarqueaveclesinstantsnotés``20h,21h,...")etilcompteenmêmetempslenombred'heuresdutrajet(quandilécrit``1h,2h...").L'élèven'écritpastout;ilutiliseleschémajusqu'àminuitpuisilsaitqu'ils’écoule7heuresdeminuità7;enfin,pourterminersonraisonnement,ileffectuel'opération5h+7h.

Élève5

Laprocédureestrecevableetlaréponsedonnéeestjuste.L'élèvedécomposeletrajetpartranchesetajoutelesduréesdestroistranchesobtenues:de19hà24hilya5heures,de1hà7hilya6heuresetde24hà1hilya1heure.Ileffectueensuiteuneadditionpourtrouverladuréedelatraversée(5h+6h+1h).

EXERCICE2

1) Laréponsed’unélève :respectdelaconsigneetappréciationportéesursontravail

Cetélèven’aréponduqu’àunepartiedelaconsignequiluidemandede"convertir".Ils’estcontentédecompléterletableauaveclesunitéssansyindiquerlesnombresattendus.Onpeutsedemanders’ils’enest servi pour effectuer les conversions, il peut l’avoir utilisé mentalement ou avoir utilisé une autretechniquedeconversion.Dans lamesureoù le tableaudevaitêtrecomplété,onpeutpenserque lemaîtresouhaitaitnotammentvérifierlacapacitédesélèvesàrempliruntableaudeconversion.Toutefois,letravaildeconversionaété



correctementeffectué(peuimportelaprocédureutilisée).Onpeutdoncévaluerpositivementletravaildel’élève.

Complément:autrestechniquesdeconversion

Technique1:5m 5 1m 5 100cm 500cm;700cm 7 100cm 7m;

9dm 9 10cm 9 10 10mm.Technique2:1m 100cm.Pourconvertirdemètreencmonmultipliepar100,decmenmètresondivisepar100.

2) Leserreursdetroisélèves

Élève1

Deserreurssontcommisesauxquestionsb),c)ete).

b)L’élèvedoitplacerunnombreàdeuxchiffresdansletableau,ilécritlechiffreleplusàgauchedanslacolonnedesunitéscorrespondantes.Cetteerreurpeutêtredueaufaitderespecterlachronologiedel’écrituredunombre(onécritd’abord3puis6)etparconséquentl’élèvefaitcorrespondrelepremierchiffreàécrireàl’unitéassociée.Illuiestdoncdifficilederompreavecl’ordreusueld’écritureoudel’adapteràlasituation.

c)L’élèveplacecorrectement700cmdansletableaumaisdonnelerésultatenmillimètresaulieudedonnerenmètres.L’élèvesemblevouloir«remplir»letableaujusqu’àladernièrecolonne(mm).Lefaitdeplacercorrectement700dansletableaupeutavoirplusieursorigines:plusgrandefamiliaritésavec lescmou impossibilitédeplacer leszérosdans le tableausi le7estplacédans lacolonnedesdécimètres.

e)Commepourlaquestionb),l’élèvedoitplacerunnombreàdeuxchiffresdansletableau,ilécritlechiffreleplusàgauchedanslacolonnedesunitéscorrespondantes.Cetteerreurpeutêtredueaufaitde respecter la chronologie de l’écriture du nombre (on écrit d’abord 6 puis 2) et par conséquentl’élèvefaitcorrespondrelepremierchiffreàécrireàl’unitéassociée.Illuiestdoncdifficilederompreavecl’ordreusueld’écritureoudel’adapteràlasituation.

Remarques:

Lepremierrésultatestcorrect,ilestécritd’uneautrecouleuretiln’yapasdetraced’utilisationdutableau.Onpeutsupposerquel’élèveautilisélaconnaissanceusuelle(100cm=1m,donc500cm=5m).

L’élèveahésitéaumomentd’inscrirelesunitésdanslescolonnesdutableau:ilabarrépuisamodifiél’ordredesunités.

L’élèvenecommetpasd’erreurdansleplacementde9dm(nombreàunchiffre).



Élève2

Seuleslesréponsesauxquestionsc)ete)sonterronées(dupointdevudes«conversions»effectuées).

Cetélèveplaceplusieurschiffresdanslamêmecolonne,celan’entraînepasd’erreuràlaquestionb)danslamesureoùlemestunesous‐unitédudam.

Pour la question c), l’élève inscrit 700 dans une seule et même colonne puis complète les colonnesjusqu’auxmillimètresavecdeszéros.

La réponse à la question e) est erronée, l’erreur est due aumauvais placement des chiffres de 62m,comme l’élèveprécédent, il écrit lepremierchiffreàgauchedans la colonnede l’unité correspondante.L’erreurprécédentedeplacementdeplusieurschiffresdanslamêmecolonnen’estpasrépétée.

Élève3

Une première remarque préalable: les unités n’ont pas été correctement placées dans le tableau(permutationentremètresetdécimètres).

b) Le nombre est correctement inscrit dans les colonnes du tableau et la réponse donnée est correcte.Néanmoins,ilfautremarquerquel’usagedutableauauraitdûentraineruneréponseincorrecte(3600m).Onpeutdoncfairel’hypothèsequel’élèven’apasutiliséletableaupoureffectuercetteconversion.

c)Sil’onconsidèrequelezéron’estpasbarré,ilyaiciuneerreurdueaumauvaisplacementdesunitésdanslescolonnes(inversionmètresetdécimètres).

d)idem(mauvaisplacementdesunitésdanslescolonnes:inversionmètresetdécimètres).

e)idem(mauvaisplacementdesunitésdanslescolonnes:inversionmètresetdécimètres).

Remarqueàproposdelaquestionc):

Sil’élèveaeffectivementbarrélezéro,onpeutsupposerqu’ilacorrectementluedansletableau70mmaisqu’ill’aensuitecorrigéauregarddelaconnaissancedelarelation:100cm=1m.

3) Donnerunargumentenfaveurdel’utilisationdutableaudeconversionetunensadéfaveur.

Dèslorsquel’élèveacomprislesliensentrelesdifférentesunitésets’estexercéàlesutiliser,letableaudeconversionserévèleêtreunoutilperformantpour le travaildeconversion. Ilconstitue lesupportd’unalgorithmeendeuxétapes:placementdunombre‐mesureavecuneunitédansletableauetlecturedelamesuredanslanouvelleunité.Commetoutetechnique,ilpermetdegagnerenrapidité.Généralisétroptôtetutilisésanslienaveclarelationentre lesdifférentesunitésetavec lanumération,l’utilisationdutableaudevientunetechniquedénuéedesensetentraînerbeaucoupd’erreurs.



Eneffet,utiliserletableaunécessitede: placer correctement lesmultiples et sous‐unités dumètre, en particulier des unités peu usitées

commeledécamètreoul’hectomètre, placercorrectementlesnombres:chiffredesunités(ausensdelanumération)dunombre‐mesure

écritdanslacolonnecorrespondantàl’unitédelamesuredonnéepuisenécrivantunseulchiffreparcolonne,

appliquerlatechniquecorrespondantaucasàtraiteretilyadenombreuxcaspossibles:o celui où la nouvelle unité est une «sous‐unité» de l’unité initiale (dans ce cas on

complètepardeszéros,ici5mencm),o celuioùlanouvelleunitéestune«sur‐unité»decelleinitiale,danscecasilyaplusieurs

sous‐cas:«barrer»deszéros(parexemplepour700cmàconvertirenm),ouplacerlavirgule à droite de la colonne de la nouvelle unité (par exemple 12cm en m) etéventuellementcompléterpardeszérosdanslescolonnesaprèslavirgule(parexemple12cmenhm),voirecombinerplusieursdecescas(120mmenhm).

ANALYSEDEMANUELS(longueursauCP)

1) Analysedel’activitépréparatoirep.46

a) procédureplussimplepourcomparerlataillededeuxenfants

Pourcomparerlataillededeuxenfantsdelaclasse, ilsuffitdelesplacercôteàcôte. Ils’agit làd’uneméthodedecomparaisondirecte.

Remarque:

Silesenfantssontdebout,piedsausol,leproblèmedel'origineneseposepas.

b) procédureplussimplepourcomparerlatailledeplusieursenfants

Pourcomparerfacilementlatailledeplusieursenfantsonpeut:

Procédure1:Utiliserleprincipedestoises

Repérersurunmurleniveaudechaqueenfant.Ils’agitd’uneméthodedecomparaisonindirectepuisquenousallonscomparerlatailledesenfantsparl’intermédiairedeslongueursdéfiniessurlemur.

Procédure2:procéderàunpremierrangement

«derrièrel’élèveA,seplaceunélèveBplusgrandqueA,……».Etàlafin,onprocèdeàquelquesréajustements.

c) DeuxprocéduresauCPpourrangerlesbâtonsenfonctiondeleurlongueur

Lesélèvespeuventcomparerlesbâtonspar: comparaisonglobale par juxtapositionàpartird’unemêmeorigine: lesbâtonssontmis lesuns

contre lesautres«en fagot»en faisantcoïncideruneextrémité:on tireun plusgrand,puisunplusgranddesrestants,….

comparaisondeuxàdeux:encherchantlepluspetit,puislepluspetitdesrestants.JecompareAetB:siAestpluspetitqueB,jegardeAetjelecompareàC,siAestplusgrandqueB,jegardeBetjelecompareàC…Cetteméthodestructuréeneserapeut‐êtrepasutiliséeparbeaucoupd’enfantsdecetâge.

Dans tous les cas, il s’agit de comparaison directe rendue possible par le fait que les bâtons soientdéplaçables.

2) Analysedel’exercicep.46

a) Procédurederésolution

Uneprocédurepossibleestdeprendreunebandedepapier,construireunsegmentdemêmelongueurquel’undesbâtonsetcomparercesegmentauxbâtonsqui«semblent»proches.Recommencerplusieursfoisjusqu’àépuisementdustock.



Remarque:

Afinderespecterlaconsignelejourduconcoursilestrecommandéd’yrépondreprécisémentenn'exposantqu'uneprocédure.Dansunsoucide formation,nousensuggéronsuneautreenvisageable :découperpourchaquebâtonunebandelettedemêmelongueuretcomparerleslongueursdesbandelettes.

b) Variabledelasituationinduisantlaprocédure

Dans l’exercice, lesbâtonssontdessinés sur la feuilledepapier (doncnondéplaçables)etont tousdesorientationsdifférentes.Ilestdoncdifficiledelescomparervisuellement,lesenfantssontdoncconduitsàdescomparaisonsindirectes.

3) Analysedesactivitésp.47

a) Comparerleslongueursdeplusieurstrajetsdanslacour

Dans l’activité préparatoire, la comparaison de plusieurs trajets tracés dans la cour ne peut se fairedirectement:lesenfantsn’ontpasunevisionglobaledestracés.Onnepeutpasrendrelestracés«rectilignes»commeonleferaitavecunobjetmatérieldéformable.Onnepossèdepastoujoursdeficelleassezlonguepourpasserparcetintermédiaire.Onpeutfaireappelàunétalon que l’on reporte régulièrement (comme par exemple le report régulier d’un bout de ficelle, d’unbâton, d’un pas : dans ce dernier cas la difficulté à reproduire l'étalon à l'identique peut motiver lanécessitédeconstruireunétalon"fixe"…).

b) Hypothèsesurleraisonnementdesélèves

Lecheminenvertestconstituéde9segmentstandisquelecheminbleuestconstituéde7segments.Lesélèvespeuventavoirrangélescheminsenfonctiondunombredesegments.

c) L’exercicepermet‐ild’invaliderceraisonnement ?

Sidansl’exerciceproposé,lesélèvesfontlemêmeraisonnement,alorsilsdirontquelecheminlepluslongest lecheminrouge(6segmentsalorsqu’iln’yaque3segmentspour lecheminnoir).En faisantcetteerreurderaisonnement,ilsaurontpourtantjusteàl’exercice:l’exercicenepermetdoncpasd’invaliderleraisonnementfauxmisenœuvre.

d) Propriétémathématiquede lamesuresur laquelles’appuie larecherchedurésultatdel’« Exercice »

Pour chercher les mesures des longueurs des deux chemins, les élèves vont mesurer la longueur dechaque segment constitutif d’un chemin et faire la sommedesmesures obtenues.Cette procédure estbaséesurl’additivitédelamesure:

mesure(AUB)=mesureA+mesureBsiA∩B=ØIcipour les longueursdesegments,onpeutdirequesi l’onconnaît lesmesuresdes longueursdedeuxsegmentsalorslamesuredelalongueurdusegmentobtenuenmettantlesdeuxsegmentsinitiauxboutàboutestlasommedesdeuxmesures.

4) ProgressionpourleCP

Onpeutenvisagerdedemanderauxélèvesdemesureravecdesrèglesutilisantdesunitésarbitrairesetnonconventionnelles(commedesrèglesconstruitesàpartirdetrombonesoud’allumettes).Onpeutfaireconstruireauxélèvesuninstrumentsurlequelsontreportésdesétalons

puisunerèglegraduéequiévitelecomptagedeunenun

01 23456

Larèglegraduéeencentimètresn’estalorsqu’unoutildemesure,parmid’autres,quial’avantaged’êtreconventionnel.Cetteprogressionpermetdeconstruirelanotiondemesureetd’unitédemesure.

Oualors,onpeutproposer l’utilisationdirectede larèglegraduéeencentimètres. Cela relèvealorsplusd’unapprentissagetechnique(unrepéraged’unegraduationaprèsavoirprisconsciencedelanécessitédefairecoïnciderle"0"delagraduationavecl'unedesextrémitésdel'objetàmesurer)qued’unmesurage.

1 111 11



ANALYSEDEMANUELS(aireauCM2)

1) Pertinencedesvaleursnumériqueschoisies

Cesvaleursnesontpasdutoutpertinentes,eneffet2alaparticularitéque2+2=2x2etdefaitn’estpaslemeilleurexemplepourmontrerl’utilitédelamultiplication.Par ailleurs, pour l’aire du rectangle, on voit les trois centimètres carrés, aucune opération n’estnécessaire, lesensde lamultiplicationpar1n’estpasdu toutclair.Unrectanglede5cmsur3cmparexempleauraitétépluspertinent.Dans le calcul d'aire d'un rectangle dont les côtés ont des longueurs s'exprimant à l'aide demesuresentières, le dénombrement des unités d'aire permettant de recouvrir le rectangle mobilise lamultiplication.

2) Explicationdelaformule

Ens’appuyant sur l’exempledurectanglede5cmsur3cmproposéà laquestionprécédente, et sur lapropriétéimplicited'additivitédesaires,onpeutfaireobserverauxélèvesquel'airedurectangleestlamêmequecelledes3rangéesde5centimètrescarrés,oucelledes5colonnesde3centimètrescarrés,sonairepeutdoncsecalculerenmultipliantsalargeur3cmparsalongueur5cmpourobtenir15cm².

Formulationadaptée:

L'airedurectangleestlamêmequecelledes3rangéesde5centimètrescarrés,oucelledes5colonnesde3centimètrescarrés,sonairepeutdoncêtrecalculéeenmultipliantsalargeur3cmparsalongueur5cmpourobtenir15cm².

Onferaensuiteremarquerquesionprendunautrerectangle,parexemplede8cmsur12cm,onpeutlerecouvrirde lamême façonavec8 rangéesde12centimètrescarrés (ou12colonnesde8centimètrescarrés).Laformulations'appuiesurunexemplegénériqueetexplicitelarèglepratique(demultiplicationdelalongueurparlalargeur):onaévitéuneformulationtropformelledetypeformulealgébrique,quiseral'objetducollège.

3) Difficultésliéesàl’usagedestermes«base»et«hauteur»

Lestermesbasesethauteursontemployésdanslaviecouranteavecunsensdifférentdeceluiqu’ilsontenmathématiques: labased’unobjetest sapartie laplusbasse, cellequiestencontactavec le sol, sahauteurestladistance,mesuréeàlaverticale,entrelepointleplushautdel’objetetlasurfacehorizontalesurlaquelleilrepose.Certains élèves auront des difficultés dès que la disposition du triangle obligera à distinguer les sensusuelsetmathématiquesdecestermes,parexemplequandlabaseestdansunepositionverticaleet lahauteurhorizontale.Il pourraêtrepertinentde faireprendreconscienceauxélèvesquepourchaque triangle, il existe troischoixdebasepossibleetqu'àchacundeceschoixcorrespondunehauteurrelativeàcettebase.

1cm²

NombresauxCE1(sujetpage194)


ANALYSED’UNESITUATIOND’APPRENTISSAGEAUCE1D’aprèsunsujetd’examendeNantes

1) Lesinformationsquidoiventavoirétédonnéesauparavantparlemaître1.

Les élèves peuvent avoir déjàmanipulé unmatériel de numération similaire en classe. Dans ce cas, lemaître peut y faire référence et pointer les analogies entre le matériel familier des élèves et lesreprésentationsproposéesdanslemanuel.Siaucunmatérielsimilairen’estutiliséenclasse, lemaîtredoitavoirpréciséquetoutes lesbarressontconstituéesdedixpetitscarreaux,etquelesgrandscarréssontconstituésde100petitscarreauxoudedixbarres.Laconsignepeutaussiposerunproblèmedecompréhension.Lemaîtredoitparailleursavoirpréciséque«ledessinquiluicorrespond»signifie«ledessindanslecadreoùilyaexactementlenombredepetitscarreauxindiqué».Ilpeutaussipréciserquechacundes4cadresdoitêtrereliéàundes4nombres.La difficulté peut résider dans le fait que les représentations des nombres sous forme de collectionsorganisées ou d’écritures chiffrées n’apparaissent pas forcément comme un tout pour les élèves: ilspourraientrelier,parexempleunebarreavecunchiffre«1»présentsdansl’unedesécritures…Onpeutaussiremarquerlasuperpositiondesdeuxplaquesdanslepremiercadre

2) Uneprocédurepermettantàunélèvedefournirlaréponseattendue

Lesauteursontchoisitroisnombrescomposésdesmêmeschiffres,probablementdanslebutd’amenerlesélèvesàêtreattentifsàl’ordredeschiffres.Cependant,ladispositiondesobjetsdanslesreprésentationsincitefortementàconsidérerlesobjetsdansl’ordreattendu:l’élèvecomptelesgrandscarrés,puislesbarres,puislescarreauxisolésdansl’ordredelalecture,degaucheàdroiteetdehautenbas,etdéterminel’écrituredunombrequiconvient,sansavoiràfaireréférenceaufaitquedansunnombreàtroischiffres,l’undeschiffresdésignedescentaines,undesdizainesetundesunités.

3) Butprobablementpoursuiviparl’enseignantenproposantchacundecestroiscas

Parrapportà l’exerciceprécédent,pourlestroisexemples, lemaitredemandedeproduire l’écrituredunombre et non pas de choisir parmi des propositions, ce qui complexifie la tâche et évite certainesréponses trouvées par élimination. L’objectif de l’enseignant est encore demontrer l’importance de lapositiondeschiffresdansnotresystèmedenumération,maisausside fairecomprendre lerôleduzérodansl’écriture.

Par rapport au choix des collections, l’exempleA semble avoir pourbutde rappeler que chaque grandcarrécompte100petitscarreaux.Ilsepeutégalementquel’intentionsoitd’empêcherlecomptageeffectifdescarreaux(celui‐ciestinutilepuisque,pourlaplaque,lenombreestindiquéetlescarreauxsontflous).

L’exempleB,danslequelaucunebarrereprésentant«dix»n’apparaît,permettraaumaitredevérifierlacompréhension du «0» dans l’écriture du nombre. En effet, un élève qui compte «2» et «6», devraensuitetraduireen«206»pourtenircomptedufaitquele«2»estaurangdescentaines«6»aurangdesunitésetqu’unzéroaurangdesdizainesestalorsindispensable.Unélèvepeutaussicompter«cent»,«deux cents», «deux cent un», «deux cent deux»… «deux cent six», et avoir à écrire en chiffres sonrésultat(passagedeladésignationoraleàl’écriturechiffréedunombre).

L’exempleCinsistesurl’importancedelaposition.Ici,contrairementàl’exerciceprécédent,lesdizainessontreprésentéesenpremiersionsuit l’ordredela lecture,c’estcependant lechiffredescentainesquidoitêtreécritenpremierdanslenombre.

1NotedelaCOPIRELEM:Dansledocumentoriginal,lesplaquessontvertes,lesbarressontrougesetlespetitscarrésbleus.

NombresauxCE1(sujetpage194)


4) Utilisationd’untableaudenombres

a) Pertinencedelaméthodepouradditionnerdeuxnombresdontlechiffresdesunitésestzéroetdontlasommeestinférieureà1000

Ilsuffitdeproposerunexempled’additioncomportantuneretenueetdontlesdeuxtermesvérifientlesconditions.Parexemple,ilestimpossibled’effectuerenutilisantcetteméthode,560+280.Lapremièreétaped’ajoutde200endescendantdedeuxlignesneposepasdeproblème,maisonnepeutpasajouter80enavançantde8colonnesversladroite(ilneresteque3colonnes:ilfaudraitchangerdelignepourcontinuer(dedixendix)).

Remarque:

Cetteméthode(encadré) limite lechoixdessommesàcalculerpuisqu’ellenes’appliquequ’aux«additionssansretenue».Uneautreméthodepourraitêtredécrite,parexemplepourcecalcul(560+280):descendredetroislignesetreculerdedeuxcolonnes…

b) Une procédure avec laquelle des élèves de CE1 peuvent effectuer 170 + 720 en calculréfléchi,sansseservirdecetableau.

Ilyadenombreusesprocédurespossiblesparmilesquelles:

Procédure1:s’appuyantsurlesécritureschiffréesetlasignificationdeschiffressuivantleurrang

170est vu comme«un‐sept‐zéro», c’est1 centaine, 7dizaines, 0unité. 720, «sept‐deux‐zéro», c’est7centaines,2dizaines,0unités.Enregroupantlesunitésdechaqueordreontrouve8centaines,9dizaines,0unitéquis’écrit890(«huit‐neuf‐zéro»).Cette procédure est assez proche de la technique de l’addition posée dans laquelle les nombres sont«traités»chiffreparchiffre.

Procédure2:s’appuyantsurlecomptageetlanumérationorale

«Cent soixante‐dix» plus «sept cent vingt», on dit: «deux cent soixante‐dix», «trois cent‐soixante‐dix»…«huitcentsoixante‐dix»,«huitcentquatre‐vingt»,«huitcentquatre‐vingt‐dix»etonécrit890.

Remarque:

L’élève peut aller plus vite et dire «Cent‐soixante‐dix» plus «sept‐cent», «huit‐cent‐soixante‐dix» plus«vingt»,«huit‐cent‐quatre‐vingt»,«huit‐cent‐quatre‐vingt‐dix».Ilpeutaussidire«septcentvingt»plus«Centsoixante‐dix»:«septcentvingt»,«huitcentvingt»,«huitcenttrente»,«huitcentquarante»…«huitcentquatre‐vingt»,«huitcentquatre‐vingt‐dix»etécrire890.

Procédure3:s’appuyantsurladécompositionadditivedesnombres

170+720=100+70+700+20=100+700+70+20=800+90=890

Nombresdécimaux(sujetpage196)


LESNOMBRESDÉCIMAUXAUCMD’aprèsunsujetd’examendeParis

1) Niveaudeclasse

LetravailsurlesnombresdécimauxestmenéenCM1etCM2.

Remarque:

LestâchesproposéesdanslesdeuxdocumentssontdéjàtravailléesauCM1;ledomainenumérique(jusqu’au1000ème)relèvedesobjectifsduCM2.

2) Compétencetravailléedanslesdeuxsituations

Lesdeuxdocumentspermettentdetravaillerlepassagedel’écriturefractionnairedécimaled’unnombre

(oùAetnsontdesnombresentiers)àl’écritureàvirgule(quel’annexe1désigneimproprementpar

«nombredécimal»).Cequiestformuléainsidanslesprogrammes«savoirpasserd’uneécriturefractionnaireàuneécritureàvirgule[etréciproquement].»

Remarque:

Dans ledocumentde l’annexe1,on invite lesélèvesà transformer l’écrituredunombreen fournissantunoutild’aideàlaréalisationdestâches:letableaudenumération.Dansledocumentdel’annexe2,cetravailderéécritureestproposéaprèsavoirrepérécesnombressurunedroitegraduée.

3) L’applicationdesrèglesAetBdansledomainedesnombresdécimaux

a) Uneaffirmationerronéeàlaquelleconduitcetteapplication

EnutilisantlarègleApourlesdécimaux,unélèvepeutêtreconduitàpenserque,d’unepart,2,4possèdeunsuccesseur2,5etd’autrepartqu’iln’existepasdenombredécimalentre2,4et2,5.

En utilisant la règle B, il conclura que 6,73 (qui s’écrit avec trois chiffres) est supérieur à 7,2 (deuxchiffres).

b) Utilisationdel’annexe2pourillustrerl’invaliditédecesaffirmationsLadroitegraduéeestunsupportpermettantd’illustrerlespropriétésrelativesàl’ordresurlesnombresdécimaux.L’enseignantpeuttirerdel’annexe2deuxdesexemplesillustrantl’invaliditédesaffirmationsdesélèvesdansledomainedesdécimaux:

concernantlarègleA,entrelesgraduationscorrespondantauxnombres2,7et2,8,onpeutplacerd’autresgraduations (effet«zoom») cequi revientà intercalerdesnombresdécimauxentrecesdeuxnombres(commeparexemple2,73);

pour la règleB, en lisant de gauche à droite sur la droite graduée, on rencontre le nombre2,73avantlenombre2,8donc2,73estinférieurà2,8etpourtantlenombre2,8nes’écritqu’avecdeuxchiffres,alorsquelenombre2,73s’écritavectroischiffres.

4) Additiondesnombresdécimaux

a) Hypothèserelativeàl’originedel’erreurprésentée

L’élève a vraisemblablement additionné séparément les parties décimales (7+5 = 12) et les partiesentières(3+2=5).Celaillustrelareprésentationerronéemaiscouranted’unnombredécimal(enécritureàvirgule)commeétantlajuxtapositiondedeuxnombresentiersindépendants.

Nombresdécimaux(sujetpage196)


b) Aidersesélèvesàdépassercetteerreur

Lesélèvesontapprisdanslesactivitésdel’annexe1àpasserd’uneécriturefractionnaireàuneécritureàvirgule.Pourdépasserleurerreur,ils’agitici:

réciproquementdepasserd’uneécritureàvirguleàuneécriturefractionnaire:

3,7+2,5=3+ +2+

decalculer lasommedesfractionsdécimalesenconvertissantaupassagedouzedixièmesenuneunitéetdeuxdixièmes:

3,7+2,5=3+ +2+ =5+ 5 5 1 6,2

L’aideproposéedoitdoncamener l’élèveà revenir àun calcul sur les fractionsdécimales.Cecipeut sefaire enutilisant les écritures fractionnaires commeci‐dessusmais aussi à l’oral en appui sur lesmots«unité»et«dixième»etlesrelationsquileslient(«dixdixièmeségalentuneunité»).

ProblèmesadditifsauCP(sujetpage198)


ANALYSED’UNESITUATIOND’APPRENTISSAGEAUCPD’aprèsunsujetd’examendeToulouse

1) Lacatégorieàlaquelleappartientchacundesquatreénoncésdel’annexe.

Situation1:

Transformation d’état avec recherche de l’état final(collection de Rémi): sont donnés l’état initial:j[Rémi]’ai27voituresetlatransformationpositive:je[Jeanne]tedonne3voitures.

Situation2:

Transformation d’état avec recherche de l’état final(collection de Jeanne): sont donnés l’état initial:Jeannea37billesetlatransformationnégative:elleendonne6.

Situation3:

Composition d’états avec recherche d’un des états composés: sont donnés la composé des deux états(Rémia14avions)etl’autreétat(onenvoit7).

Situation4:

Comparaisond’étatsavecrecherched’undesétatscomparés:sontdonnéslacomparaisonnégative(Liloua4perlesdemoins)etundesdeuxétats(Jeannea23perles).

2) Un énoncépour lequel la sémantiquede l’énoncén’estpas en cohérence avec l’opérationmathématiqueàeffectuer.

Exempledesituationenconservantlemêmecontexteetlesmêmesdonnéesnumériques(cequin’estpasindispensable):Jeannea23perles,elleena4demoinsqueLilou.CombiendeperlesLiloua‐t‐elle?Iciilfauttraiterl’informationdonnéeendéduisantdecelle‐ciqueLiloua4perlesdeplusqueJeanne;lasémantiquedel’énoncéavecprésencedel’expression«demoinsque»n’estdoncpasencohérenceaveclecalculàeffectuer.Elleconstitueunedifficultéquinécessitechezl’élèvelacapacitéàchoisirsciemmentlabonneopération.

3) Originedel’erreur.Propositiond’uneaidequipourraitpermettreàl’élèvederemettreencausesaproduction.

La présence dumot inducteur «donne» peut être à l’origine de cette erreur, ce terme signifiant pourl’élèvequel’opérationàfaireestuneaddition.Ilpeutaussis’agirdelaproximitéàlafoisducontexteetduchampnumériqueavecl’énoncéprécédentpourlequelils’agissaitbiend’uneprocédureadditiveaveclemêmeverbed’action«donner».Unelecturerapidepeutmeneràconfondrelesdeuxsituations.

Aidespossibles:

Ilestimportantderevenirsurlasémantiquedel’énoncépourpermettreauxélèvesdechoisirl’opérationadaptée avant de faire le calcul. Ici il faut conduire les élèves à bien distinguer les expressions «tudonnes»,«elletedonne»quiamènentàopérerdefaçondifférente.Pourcelaonpeutparexemple:a)Fairevivredifférentessituationsdansdeschampsnumériquesplusrestreintavecprésenceduverbe«donner»maisquicorrespondentsoitàunajout,soitàunretrait:

Tuas4billes,jet’endonne3…Tuas4billes,tum‘endonnes3…

Puisdessituationsplusdécentrées:Lolaa7bonbons,elleendonne3àRémi…Lolaa7bonbons,Rémiluiendonne3….

Et à chaque fois faire anticiper les élèves sur la collection de départ… a‐t‐elle diminué ou augmenté?Validerparl’actioneffective.

ProblèmesadditifsauCP(sujetpage198)


b)Fairereformulerl’énoncéàl’élève(oubienluifaireréaliserunschéma)enl’invitantàrépondreàdesquestionsintermédiaires:est‐cequeJeanneaautantdebillesmaintenant?Qu’est‐cequis’estpassé?Est‐cequ’elleenaplus?Est‐cequ’elleenamoins?

4) Deuxprocéduresderésolutionsusceptiblesd’êtremisesenœuvreparunélèvedeCPpourrésoudreleproblème3

Desprocéduresrelevantducomptage,surcomptage,décomptage:

Procédure1:

Représentation schématique des 14 avions, puis réalisation de la partition: la collection des 9 déjàprésents,etlesautres.Dénombrementensuitedelasecondecollection.

Procédure2:

L’élève peut compter les 9 avions représentés puis surcompter à partir de 9 jusqu’à 14 et doublecomptagesoitenutilisantlesdoigts(celanécessiteradesesouvenirquelesdeuxmainsaurontdéjàétésollicitéespourdire14(10et4)),soitengardant latracedechaquenombreénoncé(entre9et14)enfaisantunpetittraitaufuretàmesuresurunefeuille.

Procédure3:

Repéragedu9etdu14surlabandenumériquepuiscomptagedunombredepaspermettantd’allerde9à14.

Uneprocédurerelevantducalcul:

Procédure4:

Rechercheducomplément,«de9pourallerà14?».Utilisationducomplémentà10(9pourallerà10ilfaut1)puisrechercheducomplémentde10pourallerà14(ens’appuyantsurladécomposition14=10+4).Ontermineparl’ajoutde1et4.

Documents

1 DOUZE AFFIRMATIONS VRAI FAUX JUSTIFIER