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Journées Scientifiques du CNFRS 24 - 25 février 2005

INTERACTION ANTENNES - STRUCTURES

ETAT DE L ’ ART

ORIENTATIONS DES RECHERCHES FUTURES

Frédéric Molinet Société MOTHESIM

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SOMMAIRE

Introduction

Etat de l ’art des méthodes numériques

Etat de l ’art des méthodes asymptotiques

Problèmes non résolus et orientations des recherches futures

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INTRODUCTION

L ’interaction antennes - structures est un problème fondamental qui intervient dans les domaines suivants

- antennes radar embarquées sur avion ou bateau

- télécommunications terrestres, maritimes ou par satellite

- compatibilité électromagnétique entre équipements

Ce problème se distingue du calcul de la SER par le fait que la source est à distance finie des obstacles qui sont le plus souvent en champ proche.

En outre l ’interaction antennes - structures est essentiellement bistatique

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Calcul de SER Rayonnement d ’une antenne

(a) (b)

Ces différences sont à l ’origine de développements d ’algorithmes spécifiques pour les antennes tenant compte des interactions en champ proche

En général la modélisation d ’une antenne dans son environnement nécessite l ’emploi de plusieurs méthodes dépendant de la taille et de la complexité de l ’antenne et des obstacles artificiels ou naturels

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Notre analyse sera limitée aux obstacles artificiels :

- mât, tour, immeuble, véhicule terrestre- bateau, satellite- avion

La présence des obstacles a pour effet :

(1) La déformation du diagramme de rayonnement de l ’antenne

(amplitude, phase, polarisation, directivité)

(2) La modification du découplage de l ’antenne avec d ’autres

antennes situées sur le même porteur

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Depuis l ’usage intensif de l ’ordinateur, à partir des années 60, de nombreuses techniques de résolution ont vu le jour. Les techniques qui ont été développées peuvent être classées en deux grandes catégories :

- Les méthodes de résolution numériques dites exactes des équations de Maxwell

- Les méthodes asymptotiques hautes fréquences

Nous allons donner pour chaque méthode :

- une brève description historique

- les performances actuelles

- une présentation de quelques codes de calcul

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ETAT DE L ’ART DES METHODES NUMERIQUES

Les méthodes numériques se subdivisent en 3 grandes classes :

- La méthode des équations intégrales

- la méthode des éléments finis

- la méthode des différences finies

Les méthodes numériques sont actuellement les techniques les plus utilisées dans de nombreux domaines d ’application : furtivité, compatibilité é.m., conception d ’antennes.

L ’interaction antennes - structures échappe encore en grande partie à ces méthodes, notamment en présence de scènes de très grandes dimensions par rapport à la longueur d ’onde. Mais cette situation est en train d ’évoluer rapidement.

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LA METHODE DES EQUATIONS INTEGRALES

Elle est fondée sur la résolution numérique dans le domaine fréquentiel des équations intégrales de l ’électromagnétisme dont l ’inconnue est la densité de courant de surface.Elle a débuté il y a plus de 30 ans par la mise en œuvre de la Méthode des Moments (MM) ( Harrington 1968).L ’équation intégrale est transformée en un système d ’équations algébriques. La MM a d ’abord été appliquée à des structures filiformes, puis à des géométries 3D Représentation géométrique du corps 3D : facettes triangulaires planes dont les côtés ont des dimensions de l ’ordre de /10. Les fonctions de base sont des éléments finis de Raviart et Thomas (1977) plus couramment désignés éléments finis RWG (Rao, Wilton, Glisson 1982). Ils assurent la continuité de la composante normale du courant à travers les côtés de l ’élément triangulaire : pas d ’accumulation de charges

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Il existe plusieurs équations intégrales habituellement désignées par leurs abréviations américaines

EFIE : Electric Field Integral Equation

MFIE : Magnetic Field Integral Equation

CFIE : Combined Field Integral Equation

Ces équations résultent de l ’application du théorème d ’équivalence et des conditions aux limites.

L ’équation combinée permet d ’éliminer les résonances parasites.

La résolution de ces équations a donné naissance à un grand nombre de codes qui ont été constamment perfectionnés.

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Aux USA le code NEC reste un des codes MoM les plus populaires : antennes filiformes, plaques sous forme de grille

TRIMoM : géométries 3D, utilise des fonctions de base RWG sur des facettes triangulaires planes et la méthode de Galerkin

WIPLD : code MoM (Univ. de Syracuse, Univ. de Belgrade) fils et plaques parfaitement conductrices ou

diélectriques PICASSO : EMAC Industries FERM : (MIT-Lincoln) ESP4 : Université de Ohio

En France : ASERIS-B (EADS), ARLENE (CEA/CESTA), SUMERF (CEA/CEL), DIFFRA (MOTHESIM), GESC (CERFACS), IEROS (IEEA)Codes inclus dans les logiciels plus généraux combinant différentes méthodes :SPECTRE (Dassault Aviation), ANTENNA DESIGN (THALES), HEM3D (ONERA).

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CARACTERISTIQUES DES CODES Leur handicap majeur est leur limitation aux objets de taille moyenne (q.q. dizaines de longueurs d ’onde). Leur représentation par des éléments finis RWG conduit à un système linéaire dont la matrice est pleine.

Inversion directe d ’une matrice pleine : O(N3) opérations, O(N2) place mémoire N = nb d ’inconnues.La parallélisation des algorithmes a permis d ’augmenter les dimensions maximales au prix d ’équipements onéreux (grand nombre de processeurs).

Le développement de méthodes itératives (gradient conjugué ou biconjugué) a permis de réduire le nombre d ’opérations à O(pN2) où p = nb d ’itérations mais la place mémoire reste O(N2) du fait que la matrice entière doit être stockée. L ’étape la plus coûteuse dans la méthode du GC étant la multiplication de la matrice par un vecteur, les chercheurs ont essayé de réduire la complexité de ce produit.

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Rokhlin dans un rapport de recherche de l ’Université de Yale de 1985 a été le premier à proposer la méthode des multipoles rapides (Fast Multipoles).

Elle repose sur une décomposition de la fonction de Green de l ’espace libre en multipoles, donnée par le théorème d ’addition de Gegenbauer.

Cette méthode a eu un essor considérable depuis les années 1994-95, principalement aux USA, grâce aux travaux de W.C. Chew et de son équipe à l ’Université d ’Urbana Champaign.

Elle a conduit à l ’algorithme MLFMA (Multi-Level Fast Multipole Algorithm) qui permet de réduire le nombre d ’opérations à O(pN LogN) où p est le nombre d ’itérations et la place mémoire à O(N Log N).

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Performances de la MLFMM comparées à la MoM

Diffraction bistatique d ’une sphère parfaitement conductrice : d ’après une étude EMSS pour l ’ESA (Nov. 2004)

Performance de la MLFMM (CFIE sans préconditonneur, maillage en /10) comparée à laMoM. Le temps CPU est pour un AMD Opteron 248, 2.2 GHz

On constate que pour un nombre d ’inconnues 25050 correspondant au diamètre 5.132 , la FMM est 48 fois plus rapide que la MoM et la place mémoire est 58 fois plus petite

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Récapitulation des performances

Dimensions Pas d ’échantillonnage Inconnues Bande X

MoM 50 x 50 /10 250 000 1,6 m x 1,6 m

MLFMM/EFIE 500 x 500 /10 25 millions 16 m x 16 m

Faut-il en déduire que la MLFMM/CFIE remplacera toutes les autres méthodes ?

Objections : résultats prévus pour des surfaces parfaitement conductrices, favorables pour les méthodes

intégrales L ’emploi de matériaux complexes (absorbants, anisotropes, inhomogènes) est de plus en plus fréquent

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ETAT DE L ’ART DES METHODES ASYMPTOTIQUES

Les méthodes asymptotiques comprennent principalement :

(1) L ’Optique Géométrique (OG) et la Théorie Géométrique de la Diffraction (GTD) donnant directement le champ diffracté le long d ’un rayon.

(2) La méthode des courants asymptotiques donnant le champ et les courants sur la surface.

Autour de ces méthodes ont été développées d ’autres techniques permettant de remédier localement à certains de leurs défauts :

- Théorie Uniforme de la Diffraction (UTD) : frontières d ’ombre- Théorie Spectrale de la Diffraction (STD) : ondes non localement planes - Théorie Incrémentale de la diffraction : champ au voisinage d ’une arête - Méthode des Courants Equivalents : caustique de rayons diffractés - Optique Physique (OP) : caustique de rayons réfléchis - Théorie Physique de la Diffraction : correction de l ’OP aux arêtes

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Généralités sur les solutions asymptotiques

Les solutions asymptotiques se présentent sous la forme de développements asymptotiques par rapport à un petit paramètre, obtenu par une méthode de perturbations appliquée aux équations à résoudre (ici les équations de Maxwell).

D = dimension caractéristique de l ’obstacle

Si kD >>1, 1/kD = petit paramètre

Un développement asymptotique a un nombre fini de termes. Il comprend des puissances entières ou fractionnaires de 1/k et tend vers la solution exacte quand k .

Terme d ’ordre zéro : Optique Géométrique Terme d ’ordre 1/k : diffraction par une arête viveTerme d ’ordre 1k1/3 e- : diffraction dans l ’ombre par une surface régulière (ondes rampantes)

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Modélisation des surfacesLes premiers codes réalisés mettant en œuvre l ’UTD ont mis l ’effort sur le calcul des trois contributeurs : réflexion par des surfaces planes ou courbes, diffraction par des arêtes vives,ondes rampantes.Pour le calcul de ces contributeurs sur des surfaces courbes, il est nécessaire de connaître :- les rayons de courbure principaux et les directions principales

de la surface au point de réflexion- les rayons de courbure principaux et les directions principales

des faces courbes au point de diffraction ainsi que le rayon de courbure principal de l ’arête- le rayon de courbure de la géodésique le long du trajet de

l ’onde rampanteComme les courbures dépendent des dérivées secondes de la

surface on voit que le problème de la modélisation géométrique est fondamentalement différent de celui rencontré dans les méthodes numériques.

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Dans les premiers codes réalisés dans les années 80 pour des objets complexes de type avion (code SARGASSES de THALES, code NEC-BSC de l ’Université de l ’Ohio, USA) la modélisation des structures est réalisée à l ’aide de surfaces analytiques élémentaires (cylindre, cône, ellipsoïde, plaques planes, etc…).

Les rayons sont recherchés directement par résolution des équations issues de l ’application du principe de Fermat.

La connaissance des trajets de rayons et des caractéristiques de la surface au point d ’interaction permet de calculer le champ réfléchi ou diffracté.

Pour faciliter cette opération, MOTHESIM a développé la bibliothèque PROMETHEE composée de modules (boîtes noires) traitant chacun un type d ’interaction (réflexion, diffraction d ’arête, onde rampante…) et comportant des entrées/sorties très générales pour pouvoir être utilisées à n ’importe quel endroit de la chaîne des interactions le long d ’une trajectoire de rayon.

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Principe de fonctionnement de PROMETHEE

Ces modules qui tiennent également compte des solutions asymptotiques (UTD) valables dans le voisinage des frontières d ’ombre ont été implantées dans SARGASSES vers la fin des années 80.

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Modélisation par la CAOLa modélisation à l ’aide de surfaces analytiques est une opération coûteuse (3 semaines de travail pour un avion) et la précision obtenue est difficilement contrôlable.Cette technique a été abandonnée au profit des moyens de la CAO.SARGASSES (version 2) utilise une représentation polynomiale biparamétrique de la surface par des courbes de Béziers. (Les logiciels de CAO : CATIA et EUCLID réalisent une telle représentation). Les champs sont calculés par PROMETHEE qui est indépendant de la représentation utilisée.Les rayons sont toujours recherchés par voie directe en résolvant les équations issues du principe de Fermat sur les carreaux de Béziers. La technique est lourde pour les interactions doubles (réflexions doubles, réflexion - diffraction). Pour la recherche systématique des trajets relatifs aux interactions triples sur un objet complexe comme un avion, les temps de calcul restent encore impraticables actuellement sur une station de travail

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Lancer de rayons

Consiste à émettre un rayon ou un mince faisceau de rayons dans une direction donnée et à suivre un parcours en lui appliquant à chaque interaction avec une surface les lois de la réflexion.

En émettant des rayons dans toutes les directions et en triant à l ’arrivée ceux qui atteignent un petit élément de volume autour d ’un point d ’observation, on peut déterminer les trajets des rayons simplement et multiplement réfléchis.

La technique s ’étend aux diffractions d ’arête en lançant de nouveaux faisceaux élémentaires dans les directions des génératrices du cône de Keller.

Cette technique est utilisée dans SPECTRE de Dassault Aviation avec la CAO de CATIA.

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Difficultés du lancer de rayons sur une surface courbe convexe

Dans le cas d ’une surface plane il y a conservation de la divergence par unité de longueur du parcours. La divergence du faisceau peut donc être contrôlée facilement.

Dans le cas d ’une surface courbe la divergence par unité de longueur peut changée très rapidement. Il faut alors affiner le faisceau.

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Modélisation géométrique par des facettes

Le code AAPG 2000 (Aircraft inter-Antenna Propagation with Graphics) de Matis Inc., utilise une représentation des surfaces par des facettes triangulaires planes. La recherche des rayons est effectuée au moyen d ’une méthode directe à partir d ’une collection de rayons possibles. Ceux-ci sont obtenus à l ’aide de critères géométriques.

Par exemple seules les faces vues à la fois de la source et du point d ’observation participent à la recherche du point de réflexion. D ’autres critères plus ou moins heuristiques sont également utilisés.

Le retour aux paramètres géométriques de la surface courbe est indispensable pour retrouver l ’information sur les caustiques traversées par le rayon. A la traversée d ’une caustique régulière l ’onde subit un déphasage de /2.

Autres codes : SPECRAY, FERMAT

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PROBLEMES NON RESOLUS ET ORIENTATION DES RECHERCHES FUTURES

Modélisation de l ’antenne

(1) Centre de phase et diagramme de rayonnement à l ’infini ramené à la distance R par homothétie(2) Résultats de simulation numérique sous forme d ’éléments de

courant électrique et magnétique(3) Transformation champ lointain - champ proche utilisant un

diagramme mesuré et une technique basée sur la méthode multipole rapide (Voir exposé Th. Koleck et al).

Quelle que soit la modélisation de l ’antenne utilisée, les solutions asymptotiques disponibles ne permettent pas de traiter une antenne située très près du support (typiquement h < .

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Recherche de nouvelles solutions asymptotiques

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Prise en compte de la modification des caractéristiques de l ’antenne

Dans les techniques de calcul mettant en œuvre les méthodes asymptotiques, présentées jusqu ’ici, il a été supposé que les caractéristiques électriques de l ’antenne et notamment les courants sur la surface de celle-ci, n ’étaient pas modifiés par la présence du support ce qui est évidemment une approximation d ’autant plus grossière que l ’antenne est située proche de la surface. Il est possible de tenir compte de ce couplage au moyen d ’une méthode hybride numérique - asymptotique s ’appuyant sur l ’équivalence suivante

Solution : méthode d ’équation intégrale, restreinte à la surface extérieure de l ’antenne avec une fonction de Green de l ’espace extérieur au support donnée par les méthodes asymptotiques

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Orientation des codes asymptotiques

Les codes utilisant une représentation paramétrique des surfaces courbes conduisent à des algorithmes beaucoup plus lents quelle soit la méthode de recherche des rayons employée (recherche directe ou lancer de rayons).Mais cette méthode nécessite beaucoup moins d ’éléments de surface pour représenter un objet complexe.10 000 éléments courbes pour un avion à 10 GHz contre plusieurs centaines de milliers de facettes triangulaires.

Cette approche se poursuivra dans le futur, aidée par l ’augmentation de la puissance de calcul des stations de travail, la commercialisation des logiciels effectuant la représentation par des NURBS et par de nouvelles techniques de recherche des rayons.

Les codes utilisant des représentations par facettes seront encore accélérés et destinés au traitement du problème antennes - structures dans de très grandes scènes.

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Nouvelles orientations dans les méthodes numériques

Les nouveaux axes de recherche vont plutôt dans le sens de diminuer le nombre d ’inconnues pour un problème donné, soit par la mise en œuvre d ’éléments finis d ’ordre supérieur soit par l ’emploi de macro-fonctions de base.

La convergence nécessite un nombre d ’é.f. d ’ordre 1 qui augmente avec la précision demandée : 60 éléments pour 0.1 dB contre 30 éléments courbes.

Certaines recherches s ’orientent actuellement vers la mise en œuvre d ’éléments finis d ’ordre plus élevé sur des surfaces modélisées par des B-Splines.

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Une autre façon de limiter le nombre d ’inconnues est d ’inclure une information sur la phase. Malheureusement les fonctions de base dans les éléments finis de surface sont des polynômes dans les coordonnées locales de l ’élément et ne peuvent de ce fait pas suivre correctement les oscillations de la solution. On est alors forcé de prendre un nombre minimum d ’éléments par longueur donde (plus faible cependant pour les éléments d ’ordre supérieur). Une idée simple consiste à introduire une exponentielle avec une phase variant linéairement (onde plane). La direction de propagation le long de l ’élément n ’étant pas connue, on choisit une superposition d ’ondes de directions uniformément réparties ( Voir Cessenat et Després)L ’introduction de la phase dans la fonction de forme permet de choisir des éléments couvrant plusieurs longueurs d ’onde. ( jusqu ’à 6)L ’utilisation de fonctions de forme dérivées de solutions analytiques ou asymptotiques est une autre voie de recherche.

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Les méthodes hybrides numériques - asymptotiques dans le sens des macro-fonctions, mais aussi dans le sens classique du couplage entre ces méthodes qui constituent déjà un domaine de recherche important resteront un des axes de recherche important dans le futur.

Parallèlement seront développés des outils industriels du type ADF (Antenna Design Framework) de l ’ESA, qui regroupent dans un ensemble informatique structuré les techniques numériques et asymptotiques utiles pour le calcul du rayonnement des antennes et de l ’interaction antennes - structures sur une plate-forme spécifiée (satellite, bateau , avion).

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LES METHODES DES DIFFERENCES FINIES

La méthode des différences finies repose sur une discrétisation spatio-temporelle des équations de Maxwell. Elle s ’appuie sur un schéma du second ordre à la fois dans le temps et dans l ’espace dû à Kane Yee (1966) combinant un saut dans le temps avec une différentiation centrale décalée de l ’espace.

Les premières applications effectives de cet algorithme sont dues à Taflove (1975) qui étudia sa stabilité numérique et donna une impulsion extraordinaire à cette méthode connue sous l ’acronyme FDTD (Finite Difference Time Domain).

Ses performances ont augmenté rapidement.

Début des années 90, modélisation d ’un avion de combat complet (prototype Lockheed VFY - 218) avec calcul des courants surfaciques jusqu ’à 1 GHz sur CRAY C-90, 16 processeurs, temps de calcul 10 minutes pour un angle d ’illumination.

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Avancée spectaculaire : Couche absorbante parfaitement adaptée découverte par J.P. Béranger (1994) désignée maintenant par PML (perfectly Matched Layer)

La technique PML permet d ’augmenter la précision : réduction de 40 dB du coefficient de réflexion, ou pour une précision donnée de diminuer considérablement le volume de calcul.

Nouveaux développements : coordonnées curvilignes conformées à la forme de l ’obstacle.

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Domaines d ’application privilégiés :

- Pénétration du champ dans des milieux très complexes (tissus humains)

- Pénétration dans des cavités (entrées d ’air)

- C.E.M. : durcissement à IEM d ’origine nucléaire et aux rayonnements de fortes puissances

Autres applications

- Calcul des caractéristiques d ’antennes microrubans ou d ’antennes pastilles isolées ou en réseaux plans ou conformés

L ’application au problème d ’interaction antennes - structures est restée marginale

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Codes FMM existants :

USA : FISC (Fast Illinois Solver Code : 1994-95)

TRMoM/FMM

FISCRAD (Fast Illinois Solver Code for Radiation Calculation :permet de traiter des

antennes filiformes en présence de plates-formes complexes telles que avions, véhicules au sol)

France : Les publications sur les multipoles sont apparues 2000 - 2002 et les premiers codes vers 2001.

CERMICS-INRIA (code ELFIP), CERFACS (code ESC), CEA/CESTA, Dassault-Aviation (code SPECTRE-FMM)

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Exemple d ’application à l ’interaction antennes - structures sur satellite : resultats obtenus par FEKO- FMM

Schéma du satellite GOCE et position de la source

Fréquence F = 1,575 GHz, nombre d ’inconnues 328 035 pour un maillage en /10, antenne bifilaire hélicoïdale

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Diagramme de directivité en dB de l ’antenne dans un plan vertical à 45° par rapport à l ’axe du satellite (axe OX)

Les divergences entre MLFMM/EFIE et MLFMM/CFIE proviennent du mauvais conditionnement de l ’équation EFIE

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Situation typique : antenne complexe multimatériaux, implantée sur une plate-forme parfaitement conductrice

Technique la mieux adaptée à l ’antenne : Méthode des éléments finis volumiques (EF). La structure métallique généralement de grande taille est modélisée par la méthode des équations intégrales.

Couplage EF/équations intégrales : publications depuis une quinzaine d ’années (Angelini, Soize, Soudais 1993).

Plus récemment : (1) incorporation des multipoles (Sheng, Jin,Song, Lu, Chew 1998)

(2) résolution itérative par décomposition de domaines (Voir l ’exposé de Nicolas Zerbib et al)

Orientation : hybridation entre les méthodes numériques avec exploitation de leurs avantages spécifiques.