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LES CONCOURS DE LA FFJM (*) OU LES

CHEMINS DU CERVEAU

(*) FFJM = Fédération Française des Jeux Mathématiques

Claude Villars

12 avril 2009

Version 1.0

‘’There is no substitute for intelligence’’

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Note pour la version 1.0

Par rapport à la version précédente, remettant l’ouvrage sur le métier, nous avons ajouté une analyse des problème 17 et 18.

Pour le problème 17, c’est en faisant un dessin en géométrie descriptive que l’on obtient un modèle permettant de calculer les 3 côtés du triangle. La gd me fut enseignée au Collège Scientifique du Pont Bessière, par M. Marguerat. Terreur des uns, bonheur des autres, la gd a passé aux oubliettes. On apprenait, entre autres, à déterminer par le dessin la plus courte distance entre deux droites gauches, à dessiner l’intersection d’un cône avec un cylindre avec les ombres portées. Aujourd’hui, les ingénieurs qui sortent de l’école d’Yverdon, dessinent des pièces de machine avec SolidWork, les font tourner en 3D, c’est magnifique.

Pour le problème 18, j’ai puisé largement dans la méthode proposée sur le site de la FSJM (http://homepage.hispeed.ch/FSJM) par M. JC Favre..

En annexe, nous avons aussi ajouté un chapitre de questions/réponses. A bon entendeur,…!

Et encore une fois un grand merci pour toutes contributions ou corrections.

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… mais ça demande un effort.

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1. Introduction

2. Modèles et visualisation

3. Le facteur temps

4. Problème 1. L’addition de l’année.

5. Problème 2. Labyrinthe

6. Problème 3. Les losanges

7. Problème 4. Le calendrier de Mathilde

8. Problème 5. Partage littéral

9. Problème 6, Les quatre cartes.

10. Problème 7. Circuit sur cubes

11. Problème 8. Les seize disques

12. Problème 9. Produits en croix

13. Problème 10. Les trois nombres

14. Problème 11. Le tournoi déchecs

15. Problème 12. Coloriage du disque

16. Problème 13. Quadrillage du plan

17. Problème 14. Les jetons

18. Problème 15. Le diamant

19. Problème 16. Le cadeau

20. Problème 17. Un triangle dans un cube

21. Problème 18. Dans le sens de la largeur

22. Epilogue

Annexes:

Annexe A: Les solutions

Annexe B: Questions/Réponses

Annexe C: L’auteur

Table des matières

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1. Introduction

L’intelligence fait progresser l’humanité, mais qu’est-ce que c'est ?

L’intelligence, un sujet fascinant. Essayer d’en comprendre les mécanismes en utilisant les problèmes des concours de la FFJM, en les disséquant, en analysant les démarches qui aboutissent à la solution. Un laboratoire appliqué de neurologie.

Pour chacun des problèmes des demi-finales suisses, nous essayerons de montrer un ou plusieurs chemins qui permettent d’obtenir la solution. Nous espérons que notre démarche trouvera un écho auprès d’autres ‘’accrochés’’ de logique mathématique. Tous les commentaires sont bienvenus.

Toute description d’un objet ou d’un événement du monde réel est une modélisation. Homa sapiens, grand singe nu, parle. Il a inventé des mots pour décrire son environnement, il dessine des gazelles et des bisons. Il invente l’écriture. Pour faire entrer le monde dans les ordinateurs, on dispose de langages de programmation, récemment de langages orientés objet. Pour résoudre nos problèmes, il faudra, à partir de l’énoncé qui est déjà une première modélisation trouver d’autres modèles plus apte à apporter la solution.

On verra que l’on peut cataloguer les approches en plusieurs grands groupes:

• la solution se présente par simple inspection, elle saute aux yeux. Parfois il faut essayer plus d’une possibilité avant de trouver la bonne. ‘’Trial and error’’. Dans d’autres cas, l’inspection devient un comptage de figures. Le problème est alors de les voir toutes. Encore que ce qui paraît évident pour les uns, peut être ‘la nuit’’ complète pour les autres. Ref. problèmes 2, 3, 5.

• la solution s’obtient par déduction logique. Repérer les prémisses, en déduire les conclusions. Ref. problème 6.

• décrire le problème par un jeu d’équations à une ou plusieurs inconnues, du premier degré ou d’un degré supérieur. Souvent il y aura plus d’inconnues que d’équations, mais la mise en équations permet de faire ressortir les liens entre les variables et de limiter le nombre de choix possibles. Ref. problème 15.

• la méthode que j’appelle ‘’laborieuse’’, en anglais ‘’brute force’’ . Dans ce cas, on énumère tous les cas possibles, on calcule le résultats et on contrôle s’il satisfait les conditions demandées. Souvent, on peut réduire le nombre de cas à considérer au moyen de filtres ou d’autres astuces.

• Une autre approche est de faire une simulation. Modeler une situation initiale et faire avancer le modèle pas à pas. Cette approche est souvent également laborieuse. Mais on peut restreindre le nombre de pas suivant la pratique des artilleurs, tirer une première fois trop loin, une deuxième fois trop court et mettre le troisième coup au but.

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En pratique on combinera les méthodes, on emploiera la méthode laborieuse, à défaut de voir, par inspection, la méthode élégante. Ref. problème 12 – Coloriage du disque.

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2. Modèles et visualisation

Tout est dans la tête. Pouvoir d’abstraction, on se construit des modèles de la réalité comme support de la réflexion. L’importance d’un bon modèle est énorme. On raconte que Christophe Colomb, avant son départ pour aller découvrir l’Amérique, est allé consulter, quelque part en Allemagne, un vieux moine qui avait construit une mappemonde, la Terre représentée comme une boule ronde et non pas comme un disque plat où l’on risquait de passer par-dessus bord en arrivant à ses limites. Avec la boule, pas de problèmes, il suffisait de partir à l’ouest, de rester sur la même latitude (hauteur du soleil à midi ou hauteur de l’étoile polaire) et l’on devait arriver aux Indes. En fait, entre l’Europe et les Indes, en passant par l’ouest, il y a encore, entre les deux, un autre continent. L’histoire du monde ouvre un nouveau chapitre.

Un autre modèle célèbre est celui du système solaire. Les savants de l’époque mettaient la Terre au centre du monde et tout tournait autour d’elle. Avec ça pour expliquer le mouvement des planètes par rapport aux étoiles, c’est quasi impossible. On connaît la suite, Gallilée prétend que la Terre tourne autour du Soleil, tout devient clair, mais on lui fait un procès, il se rétracte pour sauver sa peau, ‘’ et pourtant elle tourne ‘’.

Dans notre démarche pour résoudre les problèmes de la FFJM, la visualisation, la mise en place d’un modèle aura la plus grande importance.

Einstein: L’imagination est plus importante que les connaissances.

Walt Disney: If you can dream it, you can make it.

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3. Le facteur temps

Au moment des concours, enfermé pour trois heures dans une salle de classe, ayant 16 problèmes à résoudre, le facteur temps va jouer un rôle.

Pour un individu donné, il y a plusieurs sortes de problèmes, les faciles où l’on trouve la solution sans trop de difficultés, les suivants qui demandent une plus grande concentration, ceux où on a atteint sa limite d’incapacité et ceux sans espoir, étant au-delà de la limite citée.

Les problèmes à la limite d’incapacité sont intéressants. En général, si on donne plus de temps à l’individu, il arrivera à les résoudre. Le problème doit ‘’mûrir’’ dans sa tête. Einstein se promenait des heures durant dans les rues de Berne en retournant dans sa tête les aspects de la relativité restreinte. Je ne suis pas Einstein, mais souvent un problème qui semblait difficile le soir, devient transparent au réveil. C’est, paraît-il le facteur temps qui départage les concurrents en finale, car il devient difficile d’inventer des problèmes encore plus difficiles que ceux des quarts er des demi-finales. En demi-finale, le problème 16 ‘’Le diamant’’ abordé une demi-heure avant la fin du concours me semblait impénétrable, le lendemain, à tête reposée, il se résolvait en 5 minutes.

Ça ne veut pas dire ue si on donne un temps très long, on puisse trouver toutes les solutions: Il arrive toujours, pour chaque individu, aussi génial soit-il, le moment où il atteint sa limite d’incapacité. Il est sage de savoir l’accepter.

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4. Problème 1

C’est le premier problème, celui que tout le monde devrait savoirt faire, les enfants dès 10 ans. La grande majorité des participants auront certainement su le faire. Il faudrait étudier toutes les feuilles de réponse !

La démarche à employer est une déduction partant des unités, ensuite les dizaines, les centaines, les milliers. Il faut tenir compte de reports éventuels.

On pourrait employer ce problème pour classer les gens en deux catégories: ceux ayant un entendement normal et ceux qui auraient plus de succès comme chanteur de rue, planteur de choux ou ténor à l’opéra. Il faut de tout pour faire un monde.

Dans mon âge mûr, quand je dirigeais un département de ‘’Recherche et Développement’’, c’est ce genre de problèmes que je posais lors d’entretiens d’engagement.

5. Problème 2. Labyrinthe

Essayer, rebrousser chemin si nécessaire, je pense que la grande majorité des jeunes et des vieux devraient être capable du minimum de concentration nécessaire à la rechercher de la solution. La méthode employé ? L’inspection.

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6. Problème 3. Les losanges

La difficulté a juste un peu augmenté. Le problème demande un peu plus de concentration, il s’agit de ne pas oublier un losange, le résultat serait faux. Le bon outil est d’utiliser des crayons de couleur, admis par le règlement.

Méthode: inspection, comptage.

7. Problème 4. Le calendrier de Mathilde

D’abord comprendre le problème, lire l’énoncé 5 fois, au besoin 10 fois. Quand on peut expliquer de tête l’énoncé à son petit frère ou à sa grand-mère, c’est que l’on a compris l’énoncé.

Ensuite, sur sa feuille de papier commencer au 1er mars, 44 secondes

après on tombe sur la solution. La méthode ? Enumération.

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8. Problème 5. Partage littéral

Il faut ‘’voir’’. On peut faire un petit raisonnement, chaque partie doit contenir 5 lettres, donc une solution ‘’verticale’’ est exclue. Un point pas trop difficile à glaner.

9. Problème 6. Les quatre cartes

Le problème est diabolique. Enfantin à première vue et pourtant beaucoup se trompent . Lire et relire l’énoncé, raisonner juste. Que prétend Mathias exactement ? Un vrai test d’intelligence Où en est votre QI ?

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10. Problème 7. Circuit sur cubes

Pas vraiment difficile. Demande de la concentration et l’emploi de crayons de couleur.

11. Problème 8. Les seize disques

Même remarque que pour le problème précédent. ‘’Trial and error’’. S’armer d’un crayon et d’une gomme. Si la personne n’est pas stressée et si on lui donne le temps, elle doit trouver la solution.

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12. Problème 9. Produits en croix

Premier essai

1 2 24 A B 20 C D E 15

On essaie B=4 , alors E=3 // okMais si B=4, alors A=2 // erreur 2 est déjà // utilisé

Doubler la mise B=8, E=6 // ça marche, jusqu’au // bout de carré en carré

Mais malheur, il y a une 2ème solution (voir réponses), j’ai atteint mon niveau d’incapacité.

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13. Problème 10. Les trois nombres

La difficulté augmente. Il y a

(9!)/(3!)*(6!) = 24 // façons de combiner 9 chiffres // 3 à 3

En plus tous les chiffres de la somme sont impairs, donc les chiffres pairs (2,4,8) doivent apparaître une fois dans chacun des nombres. Ensuite ‘’brute force’’ essayer les posibilités, un peu laborieux, on trouve

152 684 + 739 1575

C’est facile d’inverser dizaines et unités pour trouver le résultat.Encore faudrait-il prouver qu’il n’y a qu’une solution.

14. Problème 11. Le tournoi d’échecs

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On peut faire les remarques suivantes:

• Si N est le nombre de joueurs, chaque joueur jouera (N-1) parties

• Il n’y a pas de matchs nuls, donc le nombre de joueurs gagnants doit être égal au nombre de joueurs perdants.

• Puisque 3 joueurs ont perdu exactement 7 parties il y a eu au minimum 7 sessions, donc au moins 8 joueurs

sessions -> 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 . . . . .

Joueurs A g g g g p p p p p p // g gagnant B g g g g p p p p p p // p perdant C g g g g g p p p p p D p p p p p p p g g g E p p p p p p p g g g F p p p p p p p g g g G p g g g g g g g g g H p g g g g g g g g g I p g g g g g g g g g

Si on fait le compte 8 joueurs (A-H), 7 sessions, on trouve 24 gagnants, 32 perdants.

Rajoutons 1 joueur (9 joueurs, 8 sessions), on trouve 36 gagnants, 36 perdants, c’est la bonne réponse.

15. Problème 12. Coloriage du disque

Il y a deux méthodes possibles: la 1ère, tout calculer, des segments de cercles

S = (r^2)*(alpha – sin(alpha))/2 // alpha en radians

Mais il y a aussi une méthode élégante, nous verrons plus loin

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Pour r=10; a=120° ou 2*pi/3, le segment vaut 61.4 cm2

Pour r=10; a=60° ou pi/3, le segment vaut 9.05 cm2

La différence, trois fois donne: 157.05 cm2

Et maintenant la méthode élégante

On tire les 6 traits marqués en rouge, on voit que les parties coloriées ont exactement une contre-partie blanche. La surface coloriée est donc la moitié de la surface du cercle, soit 314/2 = 157 cm2.

Ça prend 30 secondes, il fallait le voir. Honneur aux intelligents.

Si besoin est, on prendra 3.14 pour pi. Besoin n’est pas.

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16. Problème 13. Quadrilage du plan

A défaut de mieux, la méthode laborieuse

4 droites rouges, 2 verticales, 2 horizontales, 1 rectangle, 8 surfaces ouvertes

5 v, 5 h, 4*4 rectangles, 20 surfaces ouvertes

De façon générale

Nbr(rect)=(v-1)*(h-1); Nbr(s.ouv)= 2*((v-1)+(h-1))+4

On essaie des valeurs pour v et h.

Pour v=9; h=11 Nbr(rect)= 8*10=80; Nbr(s.ouv)= (2*18)+4=40C’est une solution. Reste à trouver les autres.

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17. Problème 14. Les jetons

L’astuce est d’écrire les jetons sur deux lignes de telle sorte que la somme verticales des valeurs des jetons soit constante (=21).

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

20 19 18 17 16 15 14 13 12 11

On voit que l’on peut prendre 2, 5 ou 10 boîtes.

Un point et des coefficients gagnés facilement.

18. Problème 15. Le diamant

Le problème se laisse résoudre par l’algèbre, donc avantage à ceux qui ont fait une maturité.

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2 équations

(1) 11200/7000 = m1^2/(m2^2+m3^2)

(2) m1 = m2 + m3

11200/7000 = (m2+m3)^2/m2^2+m3’2)

Posons m3/m2 = x

11200*(1+x^2) = 7000*(1+x^2+2*x)

3*x^2 – 10*x + 3 = 0

X = (10 +- sqrt(100-36))/6

X1 =3; x2 = 1/3

Sans trop se creuser les méninges. Un problème honnête.

19. Problème 16. Le cadeau

Ce n’est pas un cadeau. J’ai vraiment atteint mon niveau d’incompétence.

On peut écrire

(4*x)+(4*y)+(4*z)= ((2*x*y)+(2*x*z)+(2*y*z))/2

Ensuite essayer des valeurs, un travail de bénédictin. Ou autre chose ?

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20. Problème 17. Un triangle dans un cube

Ça devient vraiment difficile. Faire un dessin en perspective cavalière et noter ce que l’on sait.

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Faisons un dessin en géométrie descriptive,

A’ est l’intersection de la médiane et du côté BC, on peut dessiner le côté BC en vue de dessus, puis en vue de face, finalement en vue de côté. Reportons ces résultats dans la perspective cavalière et nous pouvons calculer les 3 côtés du triangle.

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Pour les côtés BC, AC et AB,

BC=sqrt(16+32)=6.928

AC=sqrt(64+64+16)=12.0

AB=sqt(80+16)=9.797

P=(6.928+12+9.797)/2=14.362 // le demi-périmètre

S=sqrt(14.362*7.434*2.362*4.572)=33.95 cm2

Prendre une décimale de plus dans les calculs pour obtenir la solution proposée.

Le principal, c’est la démarche.

21. Problème 18. Dans le sens de la largeur

Je n’en mène pas large. Pour essayer de trouver des relations , je commence par considérer un rectangle de 3 cm, puis un de 5, etc, avant d’arriver à 2009

Pour 3 dominos, L=3; III; I=; =I // % horizontaux 4/9=44.4 %Pour 5 dominos, L=5; IIIII; III=; II=I; I=II; I==; =I=; ==I; =III // 40 dominos posés, 20 horizontaux, soit 50 %

Pour la suite, la montée à 2009, veuillez m’aider. Ou bien y a-t-il une meilleure méthode ?

L’aide est venue: …..l’espoir changea de camp, le combat changea d’âme.

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Nous étions sur la bonne voie, commencer par 3 dominos et monter. L’aide est venue en consultant le site de la FSJM, la solution est dûe à M. JC Favre.

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Mystère des mathématiques, le nombre de façon de poser les dominos est une suite de Fibonacci (1175-1250), chaque terme est la somme des deux termes précédents, ça augmente vite.

Fibo(2009)= // un nombre astronomique, le nombre de //Avec combinaisons C

Mais M. Favre développe une formule valable pour les grands nombres:

p[x]=1/(1+2*(C[x-2]/C[x-1]))

Avec C[x-2]/C[x-1] tendant verfs une limite, on obtient la réponse désirée.

Voilà pour la logique du problème.

C’est un peu compliqué pour Estelle et Lara (14 et 12 ans). Alors qu’elles me calcule le rapport des dominos verticaux au total des dominos pour une largeur de bande de 8 cm et je serais content, prêt à leur donner en récompense un lapin en chocolat. Elles auront compris la logique du problème.

NB – si on applique la formule ci-dessus pour N=7, on trouve

p[7]=13/(13+16)=.448 // et non .48, mais proche de la réponse // de la réponse pour 2009

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22. Epilogue

S’intéresser à la fois aux mathématiques, à l’informatique et au cerveau, de la neuro-informatique. De plus en plus, on découvre des analogies entre cerveau et ordinateur:

• système binaire,

• cluster de processeurs, traitement en parallèle,

• mémoire de travail et mémoire d’archivage,

• entrées/sorties

• interrupts ?

• etc

Reste à décrypter le jeu d’instructions du cerveau, le langage. Ensuite écrire un assembleur. Du pain sur la planche pour les générations à venir.

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Annexe A: les solutions

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Annexe B: Questions/Réponses

Q: Qui a une bonne méthode pour le problème 16, le ‘’Cadeau’’ ( empoisonné) ? YC le nombre de solutions. Pourquoi 5 solutions ?

R:

Q: Même question pour le problème 13 – Quadrillage du plan. Pourquoi 4 solutions ? Inspection, essayer, ou mieux ?

R:

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Annexe C: L’auteur

Adresse postale: chemin de Gérénaz 4 1814 La Tour-de-Peilz

Adresse e-mail: cp.villars@tele2.ch

Sur demande, je vous enverrai volontiers gratuitement un CD de ce diaporama (MicroSoft Power Point Presentation), actuellement en version 1.0 beta.