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Lois normales
1. Loi normale centrée réduite N(0 , 1)
a. Définition
Une variable aléatoire T suit une loi normale centrée réduite, notée N(0 , 1) lorsque sa densité de probabilité est la
fonction f définie sur par
2
21
( ) e2
x
f x
−
= .
La fonction f est continue, dérivable et strictement positive sur .
Pour tout réel 𝑥,
2
21
'( ) ( )2
x
f x x e
−
= − ; '( )f x est donc du signe de – 𝑥.
2
lim et lim 02
x
x x
xe
→+ →−− = − = donc par composition,
2
2lim 0x
xe−
→+= puis lim ( ) 0
xf x
→+= ;
On a de la même manière lim ( ) 0x
f x→−
= .
Son tableau de variation est donc le suivant :
Sa courbe représentative est appelée « courbe de Gauss » ou « courbe en cloche » ; elle est symétrique par rapport à l’axe
des ordonnées.
On ne peut pas exprimer une primitive de f sur à l’aide de fonctions connues. Les calculs de probabilités se feront donc à
la calculatrice.
On admet que l’aire totale sous la courbe est égale à 1.
b. Propriété
𝑓 est paire, en effet le domine de définition R de 𝑓 est symétrique par rapport à 0 et on a 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥).
fC est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées, on a :
• 1
( 0)2
p T = et 1
( 0)2
p T =
• Pour tout réel u, ( ) ( )p T u p T u = −
c. Calculs de probabilités
Pour tous réels a et b tels que a < b, ( ) ( )db
ap a T b f t t =
• Avec la calculatrice : obtenir ( )p a X b
CASIO Texas
Syntaxe Touche OPTN Puis choisir STAT, puis DIST, puis
NORM
Menu distrib(2nde var) Puis choisir normalFRép ou FracNormale
( )p a X b Choisir Ncd : NormCD(a, b) normalFRép(a, b)
Certaines calculatrices ne fournissent que des probabilités sous la forme ( )p a T b , pour les
autres calculs, on peut utiliser les méthodes ci-dessous :
Probabilité ( )
pour a<0
p X a
( )
pour a>0
p X a
( )
pour a<0
p X a
( )
pour a>0
p X a
Graphique
Calcul 0,5 ( 0)p a X− 0,5 (0 )p X a+ 0,5 ( 0)p a X+ 0,5 (0 )p X a−
Vous pouvez regarder les vidéos sur Maths et Tiques, il y a des tutoriels pour Casio et TI, dans
le cas de la loi normale centrée réduite, l’espérance vaut 0 et l’écart-type vaut 1(on le verra
plus loin). https://youtu.be/qD1Nt5fkQa4.
Exemple : calcul de ( 2,5)p X
99( 2,5) ( 10 2,5) 0,994p X p X = −
Exercice résolu 1
La variable aléatoire T suit la loi normale centrée réduite.
1. Calculer (les résultats seront arrondis au millième le plus proche)
a. ( 1)p T = b. ( 1,5 2,2)p T− c. ( 1,3)p T d. ( 2, 2)p T
2. On note A l’événement « T > - 0,38 » et B l’événement « T < 1,02 ». Calculer ( )Ap B .
On utilise la calculatrice
1. a.
2
12
1
1( 1) 0
2
x
p T e
−
= = = b. ( 1,5 2,2) 0,919p T−
c. ( 1,3) 0,903p T d. ( 2, 2) 0,014p T
2. ( ) ( 0,38) 0,648p A p T= − ; 𝑝𝐴(𝐵) =𝑝(𝐴∩𝐵)
𝑝(𝐴)=
𝑝(−0,38<𝑇<1,02)
𝑝(𝑇>−0,38)≈
0,494
0,648≈ 0,763.
• Avec la calculatrice : obtenir le nombre k tel que ( )p X k c = où c est donné.
CASIO Texas
Syntaxe Touche OPTN Puis choisir STAT, puis DIST,
puis NORM
Menu distrib(2nde var) Puis choisir normalFRép ou
FracNormale
Nombre réel k tel que
( )p X k c =
Choisir InvN : InvNormCD(c) FracNormale(c)
Vous pouvez regarder les tutoriels pour Casio et TI ( inverse normale).
Exercice résolu 2
La variable aléatoire T suit la loi normale centrée réduite.
En utilisant la calculatrice, déterminer des valeurs approchées au centième le plus proche des réels
suivants :
a. Le réel a tel que ( ) 0,1256p T a =
b. Le réel b tel que ( ) 0, 2347p T b =
c. Le réel c tel que (0 ) 0, 4988p T c = .
a. Pour déterminer le réel a, avec la calculatrice, on choisit InvNormCD (Casio) ou FracNormale
(TI)
On trouve 1,15a − , cela signifie que l’aire du domaine limité par la courbe de Gauss, l’axe
des abscisses à gauche de la droite d’équation x = a est égale à 0,125 6 , lorsque a vaut
environ -1,15.
b. La plupart des calculatrices ne permettent pas de calculer b directement, on doit se ramener
à une expression de la forme ( )p X k c = ;
( ) 0,2347 ( ) 1 0,2347 0,7653p T b p T b = = − = . Avec la calculatrice, on trouve
0,72b , cela signifie que l’aire du domaine limité par la courbe de Gauss, l’axe des
abscisses à droite de la droite d’équation x = b est égale à 0,2347, lorsque b vaut environ
0,72.
c. Pour calculer, (0 ) 0, 4988p T c = , on doit aussi se ramener à ( )p X k connu = ;
( ) ( 0) (0 ) 0,5 (0 ) 0,5 0,4988 0,9988p T c p T p T c p T c = + = + = + =
La calculatrice donne 3,04c .Cela signifie que l’aire du domaine limité par la courbe de
Gauss, l’axe des abscisses et les droites d’équation x = 0 et x = c, est égale à 0,4988 , lorsque c
vaut environ 3,04.
• Avec une table
On définit la fonction de répartition de X
par ( ) ( )x p T x =
( )x est l’aire sous la courbe ci-dessous
Exemple : ( 1, 24)p T
On lit la réponse à l’intersection de la ligne 1,2 et de la colonne 0,04 : ( 1, 24) 0,8925p T
d. Théorème : Intervalle centré en 0 de probabilité donnée
Si T est une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite N(0 , 1) , alors pour
tout réel de l’intervalle ]0 ; 1[, il existe un unique réel strictement positif u tel que
( ) 1p u T u − = − .
L’aire du domaine coloré est égale à 1 − .
La preuve (exigible) est dans le livre p 382 ; la démonstration est intéressante mais difficile.
Valeurs à connaître :
0,05 0,011,96 et 2,58u u
( )1,96 1,96 0,95p T− ( )2,58 2,58 0,99p T−
Remarque : ces valeurs seront utilisées dans le prochain chapitre.
Preuve à lire car la méthode sera utilisée dans les exercices
0,95 1 0,05= − , on cherche donc le réel 0,05u , il vérifie 0,05 0,05( ) 0,95p u T u− = ;
La courbe de Gauss étant symétrique par rapport à l’axe des ordonnées, 0,05 0,05 0,05( ) 2 (0 )p u T u p T u− = ;
0,05 0,05 0,05
0,95( ) 0,95 (0 ) 0,475
2p u T u p T u− = = = ,
0,05 0,05( ) ( 0) (0 ) 0,5 0,475 0,975p T u p T p T u = + = + = ;
La calculatrice donne alors 0,05 1,96u . (On utilise InvNormCD (Casio) ou FracNormale (TI))
On fait le même raisonnement pour obtenir 0,01u
0,99 1 0,01= − , on cherche donc le réel 0,01u , il vérifie 0,01 0,01( ) 0,99p u T u− = ;
La courbe de Gauss étant symétrique par rapport à l’axe des ordonnées, 0,01 0,01 0,01( ) 2 (0 )p u T u p T u− = ;
0,01 0,01 0,01
0,99( ) 0,99 (0 ) 0,495
2p u T u p T u− = = = ,
0,01 0,01( ) ( 0) (0 ) 0,5 0,495 0,995p T u p T p T u = + = + = ;
La calculatrice donne alors 0,0 2,58u .
Exercice résolu 3
T suit la loi normale centrée réduite N(0 ; 1). Déterminer à 0,001 près.
- le réel positif r tel que ( ) 0,8p r T r− = ;
- le réel 0,1u , c’est-à-dire le réel qui vérifie : ( )0,1 0,1 0,9p u T u− = .
Conseil, refaites les petits dessins en traçant la courbe de Gauss à main levée
On cherche le réel positif r tel que ( ) 0,8p r T r− =
La courbe de Gauss étant symétrique par rapport à l’axe des ordonnées, ( ) 2 (0 )p r T r p T r− = ;
0,8( ) 0,8 (0 ) 0,4
2p r T r p T r− = = = ,
( ) ( 0) (0 ) 0,5 0,4 0,9p T r p T p T r = + = + = ;
La calculatrice donne alors 1,282r .
0,9 1 0,1= − , on cherche donc le réel 0,1u , il vérifie
0,1 0,1( ) 0,9p u T u− = ;
La courbe de Gauss étant symétrique par rapport à l’axe des ordonnées, 0,1 0,1 0,1( ) 2 (0 )p u T u p T u− = ;
0,1 0,1 0,1
0,9( ) 0,9 (0 ) 0,45
2p u T u p T u− = = = ,
0,1 0,1( ) ( 0) (0 ) 0,5 0,45 0,95p T u p T p T u = + = + = ;
La calculatrice donne alors 0,1 1,645u .
e. Espérance, variance
Théorème
Si une variable aléatoire T suit la loi normale centrée réduite N(0 ; 1) alors ( ) 0 et ( ) 1E T T= = .
Remarque : ceci justifie l’expression « loi centrée ( ) 0E T = et réduite ( ) 1T = ».
Preuve pour l’espérance p 382, on admet le résultat pour l’écart-type.
3. Loi normale 2( ; )N
a. Définition
Soit un réel et un réel strictement positif.
La variable aléatoire X suit la loi normale 2( ; )N si et seulement si la variable aléatoire X
Y
−= suit la
loi normale centrée réduite.
Remarques :
- On centre lorsqu’on soustrait la moyenne et on réduit lorsque l’on divise par l’écart-type
- Si X suit une loi normale 2( ; )N , ( )a b
p a X b p Y
− − =
où Y suit la loi N(0 ; 1).
En effet, ( 0)a X b
a X b a X b
− − − − − − .
- On ne cherche pas à connaître la fonction densité, c’est inutile la calculatrice faisant les calculs et si nécessaire, on
se ramène à la définition (cf paragraphe e))
-
b. Espérance, écart-type
Propriété (admise)
Si X suit la loi normale 2( ; )N , alors son espérance est ( )E X = et son écart-type est ( )X = .
c. Allure des courbes de densité
Soit X une variable aléatoire qui suit une loi normale 2( ; )N , alors
• La courbe représentative de la fonction de densité est une courbe en cloche qui admet la droite d’équation x =
pour axe de symétrie
• Plus l’écart type est grand, plus la courbe est « étalée » (l’écart type mesure la dispersion )*
Pour visualiser l’influence de l’espérance, de l’écart-type sur la courbe :
https://www.geogebra.org/m/sSEBGMks#material/uRZ5DKGn, où vous pouvez faire varier l’espérance et l’écart-type
Regarder la vidéo sur « Maths et tiques » : reconnaître une courbe associée à une loi normale
d. Calculs de probabilités
CASIO Texas
Syntaxe Touche OPTN Puis choisir STAT, puis DIST, puis
NORM
Menu distrib(2nde var) Puis choisir normalFRép ou FracNormale
( )p a X b Choisir Ncd : NormCD(a, b, , ) normalFRép(a, b, , )
Nombre réel k tel que
( )p X k c =
Choisir InvN : InvNormCD(c, , )
FracNormale(c, , )
Remarque : comme pour la loi normale centrée réduite, on a : ( ) ( ) 0,5p X p X = = .
Probabilité ( )
pour
p X a
a
( )
pour a>
p X a
( )
pour a<
p X a
( )
pour a>
p X a
Graphique
Calcul 0,5 ( )p a X − 0,5 ( )p X a+ 0,5 ( )p a X + 0,5 ( )p X a−
Exercice résolu 4
Une cantine sert des repas en nombre très important. Soit X la variable aléatoire qui donne le poids en
grammes des rations de viande. On suppose que X suit la loi normale N(120 ; 225).
Les résultats seront arrondis au millième le plus proche.
1. Quel est le poids moyen d’une ration de viande ?
2. Quelle est la probabilité pour que le poids d’une ration de viande soit compris entre 110 g et 135 g ?
3. Le 21 mai, la cantine a servi 850 repas. A combien peut-on évaluer le nombre de rations de viande dont
le poids dépassait 130g ?
X suit la loi normale N(120 ; 225), cela signifie que l’espérance est égale à 120 et l’écart-type à 225 15= , en
effet 225 est le carré de l’écart-type…
1. L’espérance est égale à 120, donc le poids moyen d’une ration est 120 g.
2. On cherche (110 135)p X ; la calculatrice donne (110 135) 0,589p X .
3. On calcule d’abord la probabilité qu’une portion dépasse 130 g, c’est-à-dire ( 130)p X . Avec la
calculatrice ( 130) ( 120) (120 130) 0,5 (120 130) 0,252p X p X p X p X = − = − . Le
nombre de rations dont le poids dépassait 130 g est alors égal à 850 0,252 soit environ 215 rations.
Regarder la vidéo « utiliser la loi normale »
Exercice résolu 5
La variable aléatoire X suit la loi normale 2( ; )N avec 90 = et 20 = .
1. Déterminer le réel k tel que ( ) 0,98p X k = .
2. Déterminer le réel l tel que ( ) 0,60p X l = .
3. Déterminer un intervalle I de centre tel que ( ) 0,85p X I = .
1. Pour déterminer le réel k avec la calculatrice, on choisit InvNormCD (Casio) ou FracNormale (TI), on
obtient : 131k
2. La plupart des calculatrices ne permettent pas de calculer l directement, on doit se ramener à une
expression de la forme ( )p X k c = ;
( ) 0,60 ( ) 1 0,6 0,4p X l p X l = = − = , la calculatrice donne 85l
3. Un intervalle I de centre =90 est un intervalle de la forme [90 - c ; 90 + c]. On cherche donc c tel que
(90 90 ) 0,85p c X c− + = .
(90 90 ) 0,85 2 (90 90 ) 0,85
0,85(90 90 ) 0,425
2
( 90 ) ( 90) (90 90 ) 0,5 0,425 0,925
p c X c p X c
p X c
p X c p X p X c
− + = + =
+ = =
+ = + + = + =
La calculatrice donne 90 118,8c+ puis 28,8c . L’intervalle est donc [90 - 28,8 ; 90+28,2] soit
[61,2 ; 118,8].
e. Intervalles « Un, deux, trois sigma »
Propriété : Si la variable aléatoire X suit la loi normale 2( ; )N , alors
(1) ( ) 0,683p X − +
(2) ( 2 2 ) 0,954p X − +
(3) ( 3 3 ) 0,997p X − +
Preuve à lire attentivement, la méthode sera utilisée dans des exercices
Par définition, si la variable aléatoire X suit la loi normale 2( ; )N , alors la variable aléatoire
XY
−= suit la loi normale centrée réduite.
( )( ) 1 1p X p Y − + = − ,
En effet, 1 1X X
X X
− − − −− + − − − − ;
Or X
Y
−= d’où ( )( ) 1 1X Y − + = − puis ( )( ) 1 1p X p Y − + = −
On calcule ( )1 1p Y− avec la calculatrice, Y suit la loi normale réduite N(0 ; 1) et on obtient
( )1 1 0,683p Y− , donc ( ) 0,683p X − +
De la même façon, ( 2 2 ) 0,954p X − + et
( 3 3 ) ( 3 3) 0,997p X p Y − + = −
Regarder la vidéo « utiliser la loi 1 , 2 , 3 »
Exercice résolu
Soit X une variable aléatoire suivant une loi normale 2(30, )N , déterminer la valeur de sachant que
( 50) 0,9p X = .
Comme dans la démonstration précédente, on se ramène à la loi centrée réduite,
On sait que si X suit la loi normale 2(30, )N , alors la variable aléatoire X
Y
−= suit la loi normale centrée
réduite. Ici 30X
Y
−= .
On transforme l’information ( 50) 0,9p X = par une information sur Y.
30 20 2050 30 50 30 30 20
XX X X Y
− − − −
Donc 20
( 50) 0,9 0,9p X p y
= =
où Y suit la loi normale N(0 ; 1)
La calculatrice (InvNormCD (Casio) ou FracNormale (TI),) donne alors 20
1,282
, on en déduit
2015,6
1,282 .
3.Approximation de la loi binomiale par la loi normale
Introduction
Soit nX une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres n et p.
Lorsque n devient très grand, certains calculs de probabilités dépassent les capacités de la calculatrice
On rappelle que ( )nE X np= et ( ) (1 )nX np p = − .
On cherche alors à approximer la variable aléatoire nX , pour cela, on pose (1 )
nn
X npZ
np p
−=
−.
Ou encore ( )
n
n nn
X
X E XZ
−=
, on a donc centré en soustrayant la moyenne puis réduit en divisant par
l’écart-type
On remarque que , lorsque n devient de plus en plus grand, l’histogramme qui représente nZ , se rapproche de
la courbe de Gauss.
Ce phénomène illustre une propriété des probabilités : le théorème de Moivre-Laplace
nX est une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres n et p, alors pour tous réels a et b tels
que a < b,
2
21
lim lim ( ) d(1 ) 2
xb
n
nan n
X npp a b p a Z b e x
np p
−
→+ →+
− = =
−
où nZ suit la loi normale centrée réduite N(0 ; 1).
Ce que vous devez retenir :
Autrement dit, pour les grandes valeurs de n, la loi binomiale B(n, p) est très proche de la loi normale de même
espérance np et de même écart-type √𝑛𝑝(1 − 𝑝).
On admet que lorsque 30 ; 5 et (1 ) 5n np n p − , l’erreur sur les probabilités calculées est faible ;
On ne fera l’approximation que lorsque ces trois conditions seront remplies :
Lorsque 30 ; 5 et (1 ) 5n np n p − ,
( )(1 )
nX npp a b p a Z b
np p
− −
où Z suit la loi normale centrée réduite N(0 ; 1).
Regarder les vidéos « approcher une loi binomiale par une loi normale » et « utiliser le théorème de Moivre
Laplace »
