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Modélisation de l’élève en algèbre dans un contexte technologique

Jean-François Nicaud

Équipe MTAH, IMAG-Leibniz

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Première partie : le logiciel Aplusix

Démonstration http://aplusix.imag.fr

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Caractéristiques de base

• L’élève effectue les calculs qu’il veut• Fidélité visuelle (même langage qu’au tableau)• Fonctionnalité d’édition : sélection, couper,

copier, coller, glisser-déposer ayant un comportement algébrique

• Intuitif, proche du papier/crayon

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Fonctionnalités de niveau supérieur

• La vérification des calculs• La vérification du « résolu »• Des indicateurs d’état ou de progression• Des commandes de type calcul formel• Un résolveur pas à pas (en cours de

développement)

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Domaine

Une très grosse partie de l’algèbre de l’enseignement secondaire– Expressions polynomiales et rationnelles

– Équations et inéquations polynomiales de degré inférieur ou égal à 4

– Équations rationnelles se ramenant aux précédentes

– Systèmes linéaires (maxi 10 équations, 10 inconnues)

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Pour l’enseignant

• Très fortement paramétrableL’enseignant peut l’adapter à ses désirs

• Un magnétoscope• Permet de faire des fichiers d’exercices• Permet de faire des scénarios• Un logiciel d’administration (en cours de réalisation)

– Gestion des classes

– Statistiques

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Deuxième partie : modélisation de l’élève

Projet de l’ACI « école et sciences cognitives »

Deux équipes de Grenoble (informatique et didactique)

Une équipe de Montpellier (didactique)

Une équipe de Paris 8 (psychologie)

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Les données

• Les élèves utilisent Aplusix dans des conditions choisies, par exemple :– 3 séances d’une heure

– En salle informatique (un élève par machine)

– Encadrement par le professeur

• A partir des fichiers d’interaction– Des analyses « manuelles » (magnétoscope, étude de

fichiers extraits)

– Des analyses automatiques

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Les objectifs

• Construire une bibliothèque de règles erronées• Diagnostiquer les transformations d’élève par une

suite de règles• Construire des conceptions prototypiques • Modéliser l’élève par des conception• Élaborer des stratégies d’enseignement s’appuyant sur

les modèles d’élèves

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Construction d’une bibliothèque de règles erronées

• Par analyse des comportements d’élèves et analyse épistémique

• Exemple :

A+B = C A = B+C

aB < C B<C/a quand a<0

A(B+C) AB+C

A2+B2 (A+B)(A+B)

A+B=0 A=0 ou B=0

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Diagnostic de transformations d’élèves

• L’algorithme de diagnostic– Un algorithme de recherche heuristique– Il développe un arbre de recherche en

appliquant des règles correctes et erronées– Il utilise une distance entre les expressions

algébriques

forte explosion combinatoire, différents éléments heuristiques pour la contrôler

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Exemple

passage de (49x2-28x+4)-(9x2-144) à 40x2-28x-140

49x2-28x+4-(9x2-144) ParenthesesArgDePlus

49x2-28x+4-9x2-144 ER_Nb_Fois1erDeSomme

40x2-28x+4-144 GrouptAdditifCoefRationnel

40x2-28x-140 PlusEntier

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Construction de « clusters » d’élèves à l’aide d’algorithmes de classification

• Un ensemble de comportements d’élèves sur des moments sélectionnés

• Mis sous la forme d’un vecteur de traits avec ajout de propriétés calculéesExercice résolu, calcul juste, sorte de transformation,

diagnostic, etc.

• Une distance entre les vecteurs• Un algorithme de classification

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Exemple 1 : sans diagnostic• Exercice « Développer-réduire (9x-5)(-6x+2) »• 197 élèves, 12 traits utilisés

– nombre d’exps équivalentes à énoncé– nombre d’exps équivalentes à la précédente– nombre d’exps mal formées– nombre d’actions modifiantes– nombre d’exps non équivalentes à la précédente– nombre d’actions/exps total– nombre d’étapes supprimées– nombre d’étapes créées– temps passé dans des exps équivalentes – temps passé dans des exps mal formées– temps passé dans des exps non équivalentes – temps total passé sur l’exercice

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Résultats : 4 groupesa) Succès rapides (48)

temps faible faible interaction avec le logiciel calculs corrects

b) Succès « actifs » (15) plus lents que le groupe a) forte interaction avec le logiciel calculs corrects

c) Echecs pour faute de parcours (20)  très similaire à groupe a) en termes de temps et d’actions beaucoup de calculs erronés

d) Echecs lents (18) beaucoup de temps dans des expressions mal formées ou non

équivalentes beaucoup de calculs erronés

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Exemple 2 : avec diagnostic

Exercice « Développer-réduire (9x-5)(-6x+2) » – Un diagnostic est une suite de règles– Chaque sorte de diagnostic est un trait– Prise en compte seulement des étapes

N° #card_clust$nom_medioide ResoluAn D1* D2* D3* D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10 interprétation1 72 yass_ouannou 100% 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 juste en 2 étapes2 4 HUGO_Parthonnaud 100% 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 juste en 1 étape3 2 sisine_bouchaib 100% 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 "superdévelopppent" puis simplifient4 2 decrecy_de crecy 100% 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 développent, effacent puis juste direct5 4 LEENHARDT_LEENHARDT100% 2 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 erreur non identifiée au départ puis autocorrection6 2 goncalves_Goncalves100% 2 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 erreur de calcul au départ puis autocorrection7 12 rahhali_RAHHALI 0% 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 rien fait8 2 Gasset_Gasset 0% 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 dével OK puis arrêt9 3 Karine_Baud 0% 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 dével OK puis erreur de factorisation

10 2 VIOLET_VIOLET 0% 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 dével OK puis oubli du carré en factorisant11 9 perrois_Perrios 0% 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 echec diag sur dével (erreur de calcul/signe du -54x²) puis facto OK12 4 mae.va_Nicot 0% 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 échec diag sur dével (erreur de signe du -30x) puis facto OK13 5 Marine_Vernerey 0% 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 échec diag sur oubli du carré, puis facto OK des 3 termes en x14 3 azerty_abdallah 0% 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 échec diag sur dével (erreurs calcul/signe diverses) puis facto fausse15 6 LAGAF_TAHIRI 0% 1,2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ou 2 échec diag puis arrêt : les exotiques

TOT 132

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Étape suivante (1)

• Décomposition des règles des diagnostics en traits– SousTache : la sous-tâche en cours– RegleAbstraite : la règle à niveau abstrait– RegleFine : la règle à niveau fin– Regle : la règle elle-même– Statut : parmi (correct, errone)– Source : l'expression transformée– OperateurSource– TypeSource – Resultat : le résultat de la transformation– Etc.

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Étape suivante (2)

• Sélection des comportements sur une même sous-tâche (réduire, développer, factoriser, opérations sur équation)

• Construction de « clusters » qui regroupent les élèves ayant les mêmes conceptions

• Extraction des conceptions

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ANNEXES

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Le logiciel Aplusix

• Apprécié des élèves et des professeurs– Des tests auprès de 300 élèves en 2002– Environ 10 000 résolutions d’exercices par des élèves

en 2002• Langue

– français, anglais, portugais, italien– japonais et espagnol en cours

• Disponibilité – Libre actuellement (durée limitée)

http://aplusix.imag.fr – En cours de valorisation

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La classification non supervisée• But : détecter au sein d’un ensemble de données non

étiquetées des groupes d ’objets «similaires»

• Large éventail d’algorithmes existants. Notre choix : le SuperParamagnetic Clustering [Domany 97]

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Le SuperParamagnetic Clustering

• Basé sur une analogie physique : l’orientation du spin de particules ferromagnétiques sous l ’effet d ’une variation de température

• Résultat : continuum de classifications

• Exemple