1

Nouveaux programmes de mathématiques

Les différentes formes de calculLes différentes formes de calcul

2

Nouveaux programmes de mathématiques

Calcul mentalCalcul mental

Calcul poséCalcul posé

Calcul instrumentéCalcul instrumenté

Calculessentiellementmental

 

    résultats mémorisés   procédures automatisées

    procédures construites ou reconstruites  choix des arrondis

 calcul

papier-crayon

 

    techniques opératoires (calcul posé)

   procédures construites ou reconstruites  choix des arrondis  

calculmachine

 

    calculs usuels

 Ex : division

euclidienne avec calculatrice

ordinaire

 

  résultat exact résultat approché

  CALCUL AUTOMATISÉ

CALCUL RÉFLÉCHI ou RAISONNÉ

Les différentes formes de calcul

4

Le calcul posé

Le calcul instrumenté

5

recentré sur une maîtrise des cas « simples »

travail sur la compréhension et la justification des techniques

Le calcul posé

6

Pour une utilisation contrôlée de la machine

Il a sa place dans la résolution de problèmes

Il a sa place comme source de problèmes

Le calcul instrumenté

7

Le calcul mental

utile dans la vie ordinaire

nécessaire à la mise en place d’automatismes

indispensable pour un calcul posé

un outil de contrôle

le lieu d’établissement de relations entre calcul et raisonnement

indispensable à l’acquisition de nouvelles connaissances, à la construction de leur représentation mentale

une aide à la construction d’exemples génériques

Le calcul mental

il doit être travaillé tout au long du collège il peut se travailler à tous les niveaux

9

connaître les tables d’addition, de multiplication calculer des sommes ou différences de nombres entiers ou

décimaux, des produits de deux nombres entiers, d’un nombre entier par un nombre décimal et de deux nombres décimaux dans des cas simples

établir un ordre de grandeur d’une somme, d’une différence, d’un produit

connaître le vocabulaire : somme, différence, terme, produit, facteur, dividende, diviseur, quotient, reste

Le calcul mentalDes compétences à développer en sixième

10

calculer le quotient et le reste d’une division d’un entier par un entier dans des cas simples

multiplier un nombre entier ou décimal par un quotient de deux entiers sans effectuer la division

calculer un quotient décimal de deux nombres entiers ou d’un décimal par un entier dans des cas simples

multiplier un nombre par 10, 100, 1 000 et par 0,1 ; 0,01 ; 0,001

diviser par 10, 100, 1 000

Le calcul mental Des compétences à développer en sixième et au-delà…

11

1) Dans chaque cas, parmi les réponses proposées, choisis mentalement celle qui approche le plus le bon résultat.

2) Ensuite, avec ta calculatrice, donne les réponses exactes.

53 % de 360112 ; 191 ; 280

75 % de 8 2129 100 ; 6 150 ; 2 050

Le calcul mental

Un exemple

12

I) Les tables de multiplication :

67 98 mais aussi 12 : 4 18 : 3 24 : 6

Enchaînements d’opérations :

1+23 6-(2+3) 6-2+3 9+3

4

Le calcul mental

Des exemples en cinquième

13

Opérations avec les nombres en écriture fractionnaire

58 +

38

12 +

14

etc…

-

58

-28

23

–-26 etc…

125

x 43

13

x6 3 x

17

etc…

I) II) Calcul littéral :

si x = 4, calculer 2x, x+6, x2

, 5x-3, etc…

Si a = 2 et b = 3, calculer ab, b-a, 5a-2b, 3a+1, etc…

III) Addition et soustraction de nombres relatifs : 5 + (-2) -6 + 4 3 + (-1,5) etc… 2 - (-4) -5 - (-2) 10 - (+12) etc… –5 - 4 3 - 8 -5,5 - 1,5 10 - 11,5 etc…

IV) Conversions : convertir en m² : 5dm² 20dam² 6 000cm² etc… convertir en cm3 12m3 6mm3 50cm3 etc…

Le calcul mental

Des exemples en cinquième

14

I) II) Calcul littéral :

si x = 4, calculer 2x, x+6, x2, 5x-3, etc…

Si a = 2 et b = 3, calculer ab, b-a, 5a-2b, 3a+1, etc…

III) Addition et soustraction de nombres relatifs : 5 + (-2) -6 + 4 3 + (-1,5) etc… 2 - (-4) -5 - (-2) 10 - (+12) etc… –5 - 4 3 - 8 -5,5 - 1,5 10 - 11,5 etc…

IV) Conversions : convertir en m² : 5dm² 20dam² 6 000cm² etc… convertir en cm3 12m3 6mm3 50cm3 etc…

Le calcul mental

Des exemples en cinquième

15

Le calcul mental

Des exemples en cinquième

Calculer l’aire des triangles et des parallélogrammes sans oublier de préciser l’unité du résultat

16

Associer le carré et le double d’un même nombre4 8

36 2

64 18

9 4

49 12

100 16

81 6

1 14

Le calcul mental

Des exemples en quatrième

Citer dix nombres élevés au carré, les élèves devant écrire leur double, au fur et à mesure.

17...

Le calcul mental

Des exemples en quatrième

18

Entrée

Sortie ?

Le calcul mental

Des exemples en quatrième

Pour entretenir le calcul littéral : un labyrinthe

2(12x – 3) 24x 6 18x 6 – 24x

24x 3 6(-1 + 4x) 63x 6(1 – 4x)

21x 3(8x – 2) -3(-8x + 2) -6 + 24x

3(8x + 2) 24x + 6 3(8x + 2) 6(4x 1)

19

2x = 72 x - 2 = 0

x + 2 = 7 x - 2 = 7

2x + 2 = 7 2x - 2 = 7

2x + 7 = 0 x - 2 = 7 2

2x = 2 7 2x + 7 = 2

Le calcul mental

Des exemples en troisième

Tester si un nombre est solution

Quelles sont les solutions des équations suivantes?

20

a ² 9 2 50d ²

y² 3 3 302z

x² 0 f 2 4 0

x² 9

4

x2 1 0

b² 4 a2 7

3

S’entraîner aux résolutions d’équations

Le calcul mental

Des exemples en troisième

21

537 3 7 21

2

12

2

12

527

5553 6

2

11

1111 535,2

2425 841094

Entretenir le calcul mental

Le calcul mental

Des exemples en troisième

22

En classeQuestions : posées oralement ou retro-projetées ou données sur une ficheRéponses : sur le cahier ou une grille préparée par le professeur Correction : immédiate ou différée

À la maisonFiches d’auto-entraînement suivies d’un contrôle en classe calqué sur les séries d’entraînement.

Le calcul mental

Des modalités pratiques

23

Le calcul sur les grandeurs

24

Calcul sur les grandeurs au collège

Puisque les grandeurs peuvent s’additionner, se soustraire…les écritures suivantes sont correctes et leur utilisation est recommandée :

3 cm + 15 mm = 30 mm + 15 mm = 45 mm = 4,5 cm

3 kg + 500 g = 3,5 kg = 3500 g

3 h 45 min + 1h 28 min = 4 h 73 min = 5 h 13 min

(document d’accompagnement des programmes – école primaire)

Calcul sur les grandeurs et pas seulement sur les nombres

25

Calcul sur les grandeurs au collège

Soit un rectangle de longueur 5 m et de largeur 3 m. Périmètre = 5 m + 5 m + 3 m + 3 m = 16 mAire = 5 m 3 m = 15 m2

Convertir une vitesse de kmh1  en ms1

Calcul sur les grandeurs et pas seulement sur les nombres

10 cm

5 = 2 cm

2

AM

AB = 10 cm

cm = 5

– –72 km h 1 = 72 km 1 h

= 72 1000 m

3600 s =

72000 m3600 s

= 20 m s 1

26

Des documents de référence

27

Des documents d’accompagnement publiés ou à venir

1- Résolution de problèmes : des procédures personnelles aux procédures

expertes

2- Proportionnalité, fonctions

3- Organisation et gestion de données

4- Evolution des nombres tout au long du collège

5- Les différentes formes de calcul

6- Le passage du numérique au littéral

7- Justification, preuve, démonstration

8- Grandeurs et mesures

28

Texte de cadrage sur le calcul au collège de l’inspection

Rapport sur le calcul de la commission Kahane

Documents d’application et d’accompagnement des programmes de l’école

Programme de sixième en application à la rentrée 2005 BO hors série n°4 du 9 septembre 2004Programme du cycle central en application à la rentrée 2006

BO hors série n°5 du 25 août 2005

Documents d’accompagnement des programmes du collège

Des références sur les sites académiques ou sur le site eduscol.education.fr

29

Des références pour le calcul mental

Repères-IREM, n°62 et n°41

Calcul mental et automatismes par une équipe de l’IREM de Clermont-Ferrand

Sur différents sites académiques, réflexions sur les activités mentales et de nombreux exemples de fiches

30

Pour les liaisons « école - collège »

Document à l’attention de l’enseignant(évaluation à l’entrée en sixième)

Lecture comparée des programmes cycle3 – sixièmewww.ac-amiens.fr

Comparaison entre le programme de cycle 3, les anciens et les nouveaux programmes de sixièmewww.ac-reunion.fr

Documents d’accompagnement des programmes (école primaire) Articulation école – collège

Apprentissages numériques et résolution de problèmes (INRP – Hatier Ermel)