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Année scolaire 2010-2011
GRANDEURS
et
MESURES
J-L GUEGUEN CPC PONTIVY
2
L’apprentissage des grandeurs joue un grand rôle dans les mathématiques pour le développement du raisonnement et le renforcement de l’esprit critique.
Il construit un chemin entre les insuffisances du perceptif, l’intérêt des instruments de mesure et la puissance du raisonnement.
C’est un domaine prétexte à l’interdisciplinarité (sciences, EPS, histoire, géographie …). Il nous faut profiter de cette richesse.
Catherine HOUDEMENT
33
Qu'est-ce qu'une grandeur ?
44
Une grandeur est une caractéristique
d’un objet qui est comparable entre
deux objets et qui est quantifiable
une fois que l’on définit une unité
pour la mesurer.
Des exemples pour un crayon de
couleur ( grandeurs / pas grandeurs )?
55
GrandeurSa taille, son poids, son volume, son
prix.
Pas une grandeurPas une grandeur sa couleur, sa forme.
6
Grandeurs repérables et grandeurs mesurables
On associe des nombres à certaines grandeurs pour les repérer : dates, température, échelle de Richter.
Les correspondances sont des repères, ce ne sont pas des mesures : le 3 mars ne peut pas s’ajouter au 14 mars, seule la durée (= intervalle de temps) se mesure ;
Si je mets dans un même plat un steak à 5 degrés et des haricots verts à 15 degrés, l’ensemble ne sera pas à 20 degrés… seul se calcule l’écart des températures.
Avec des élèves, on préférera le terme "relever la température" au terme "mesurer la température".
77
• Ne pas confondre l’objet qui est le support de plusieurs grandeurs et la grandeur qu’on étudie. La grandeur est abstraite !
• Ne pas confondre une grandeur et sa mesure qui est un nombre.
• Toutes les mesures sont des nombres qui peuvent « masquer » les grandeurs qu’ils sont censés représenter.
88
Exemples de confusion entre mesure et grandeur :
Au cycle 2 : Des élèves peuvent déclarer que : « 15 cm c’est plus que 3 m parce que 15 c’est plus que 3 »
Au cycle 3 : L’introduction des décimaux à partir des conversions décimales du système métrique peut provoquer des confusions profondes dans la conception d’un nombre décimal :
De la conversion : 1254 m = 1,254 km, des élèves déduisent que 1254 = 1,254 !
99
Quel remède ?
• Le seul chemin possible est celui de la construction du sens.
• Nos élèves sont tous intelligents, mais différents dans leurs apprentissages. Ils doivent construire un parcours cohérent, individuellement et collectivement, sans précipiter les étapes, pour se l’approprier et devenir autonomes.
1010
Rappel des programmes
et
attendus au socle commun
1111
Quelles grandeurs ?
au CYCLE 2• Temps• Longueur• Masse• prix
au CYCLE 3• Temps• Longueur• Masse• prix• Angle• Aire• Volume• Capacité
1212
Dans les programmes Cycle 2 Les élèves apprennent et comparent les
unités usuelles de longueur (m et cm ; km et m), de masse (kg et g), de contenance (le litre), et de temps (heure, demi heure), la monnaie (euro, centime d’euro).
Ils commencent à résoudre des problèmes portant sur des longueurs, des masses, des durées ou des prix
1313
Dans les programmes Cycle 2
Cours préparatoire Cours élémentaire
première année
Grandeurs et
mesures
- Comparer et classer des objets selon leur longueur et leur masse.
- Repérer de évènements de la journée en utilisant les heures et les demi-heures
- Utiliser un calendrier pour comparer les durées
- Connaître la relation entre heure et minute, mètre et centimètre, kilomètre et mètre, kilogramme et gramme, euro et centime d’euro.
- Utiliser la règle graduée pour tracer des segments, comparer des longueurs.
- Mesurer des segments, des distances.
- Connaître et utiliser l’euro. - Résoudre des problèmes de longueur et de masse
- Résoudre des problèmes de vie courante.
1414
Dans le socle – Palier 1 CE1
• Utiliser les unités usuelles de mesure; estimer une mesure
• Être précis et soigneux dans les tracés, les mesures et les calculs
• Résoudre des problèmes de longueur et de masse
1515
Dans les programmes Cycle 3 Les longueurs, les masses, les volumes : mesure, estimation, unités
légales du système métrique, calcul sur les grandeurs, conversions, périmètre d’un polygone, formule du périmètre du carré et du rectangle, de la longueur du cercle, du volume du pavé droit.
Les aires : comparaison de surfaces selon leurs aires, unités usuelles, conversions ; formule de l’aire d’un rectangle et d’un triangle.
Les angles : comparaison, utilisation d’un gabarit et de l’équerre ; angle droit, aigu, obtus.
Le repérage du temps : lecture de l’heure et du calendrier.
Les durées : unités de mesure des durées, calcul de la durée écoulée entre deux instants donnés.
La monnaie
La résolution de problèmes concrets contribue à consolider les connaissances et capacités
1616
Dans les programmes Cycle 3 Cours élémentaire Cours moyen Cours moyen
deuxième année première année deuxième année
Grandeurs et mesures
- Connaître les unités de mesure suivantes et les relations qui les lient : . Longueur : le mètre, le kilomètre, le centimètre, le millimètre ; . Masse : le kilogramme, le gramme ; . Capacité : le litre, le centilitre ; . Monnaie : l’euro et le centime ; . Temps : l’heure, la minute, la seconde, le mois, l’année.
- Connaître et utiliser les unités usuelles de mesure des durées, ainsi que les unités du système métrique pour les longueurs, les masses et les contenances, et leurs relations.
- Calculer une durée à partir de la donnée de l’instant initial et de l’instant final.
- Reporter des longueurs à l’aide du compas.
- Formule de la longueur d’un cercle.
- Formules du périmètre du carré et du rectangle.
- Formule du volume du pavé droit (initiation à l’utilisation d’unités métriques de volume).
1717
Dans les programmes Cycle 3
Cours élémentaire Cours moyen Cours moyen
deuxième année première année deuxième année
Grandeurs et mesures
- Utiliser des instruments pour mesurer des longueurs, des masses, des capacités, puis exprimer cette mesure par un nombre entier ou un encadrement par deux nombres entiers.
Aires
- Mesurer ou estimer l’aire d’une surface grâce à un pavage effectif à l’aide d’une surface de référence ou grâce à l’utilisation d’un réseau quadrillé.
- Calculer l’aire d’un carré, d’un rectangle, d’un triangle en utilisant la formule appropriée.
- Vérifier qu’un angle est droit en utilisant l’équerre ou un gabarit.
- Classer et ranger des surfaces selon leur aire.
- Connaître et utiliser les unités d’aire usuelles (cm2, m2 et km2).
- Calculer le périmètre d’un polygone.
Angles
- Lire l’heure sur une montre à aiguilles ou une horloge.
- Comparer les angles d’une figure en utilisant un gabarit.
- Reproduire un angle donné en utilisant un gabarit.
- Estimer et vérifier en utilisant l’équerre, qu’un angle est droit, aigu ou obtus.
1818
Dans les programmes Cycle 3
Cours élémentaire Cours moyen Cours moyen
deuxième année première année deuxième année
Problèmes
Grandeurs et mesures
- Résoudre des problèmes dont la résolution implique les grandeurs ci-dessus.
- Résoudre des problèmes dont la résolution implique éventuellement des conversions.
- Résoudre des problèmes dont la résolution implique des conversions.
- Résoudre des problèmes dont la résolution implique simultanément des unités différentes de mesure.
1919
Dans le socle – Palier 2 CM2
• Utiliser des instruments de mesure; effectuer des conversions
• Connaître et utiliser les formules du périmètre et de l’aire d’un carré, d’un rectangle, d’un triangle
• Utiliser les unités de mesures usuelles
• Résoudre des problèmes dont la résolution implique des conversions
2020
Évaluations CM2 2011résultats nationaux
Lire
Ecrire
Vo
cabu
laire
Gram
maire
Orth
og
raph
e
No
mb
res
Calc
uls
Géo
métrie
Gran
deu
rs et mesu
res
Org
anisatio
n et g
estio
n d
e d
on
née
s
Nombre d'items 15 10 10 15 10 7 13 7 6 7
Médiane 58% 58% 55% 57% 61% 57% 61% 68% 58% 55%A titre indicatif, la médiane de 58% en GM correspond à une moyenne de 51%.
2121
Lire l’heure sur un cadran à aiguilles.
Item 77 : 43%
Calculer des durées
Item 79 : 42 %
Lecture correcte des 2 pendules.
13h50 ou en-deçà vraisemblable
2222
calcul de périmètre
item 80 : 60%
Item 87 : 66%
Exercice 14
Résous le problème suivant : Un jardinier achète 9 rosiers à 4 € pièce
et 3 sapins à 17 € pièce. Quel est le montant de sa dépense ?
2323
Résoudre des problèmes dont la résolution implique éventuellement des conversions
Item 91 : 72%
Item 98 : 25%
2424
Autre exercice non comptabilisé mais qui utilise le champs grandeurs et mesures.
Exercice 15 A/ Le directeur doit acheter des cahiers et des livres pour l’école. 6 livres coûtent 150 €. Combien coûtent 9 livres ? Item 88: 51%
B/ 10 objets identiques coûtent 22 €. Combien coûtent 15 de ces objets ? Item 89: 31%
2525
Autre exercice non comptabilisé mais qui utilise le champs grandeurs et mesures.
A/ Pierre et Catherine, accompagnés de leur fille Léa de 7 ans et de leur chien, installent leur caravane dans ce camping. Ils souhaitent y rester trois semaines. Combien paieront-ils pour une semaine ? Item 96: 59%
B/ Jacques et Henri, âgés de 17 et 20 ans plantent leur tente pour deux semaines dans le camping des Trois Chênes. Combien paieront-ils ? Item 97: 48%
2626
CONSTATS- Le champ de compétence « grandeurs et mesures », même s’il n’est pas explicitement évalué intervient dans presque tous les problèmes concrets ainsi que dans certains exercices de géométrie.
- Les compétences développées dans ce champ sont réutilisées dans beaucoup d’autres disciplines comme l’histoire (Chronologie), la géographie (température, précipitations, distances, aires, …)
2727
- Les items évalués sont peu nombreux.
- grandeurs évaluées : temps, longueur, masse, prix.
- grandeurs non évaluées : angle,aire, volume, capacité.
Évaluations CE1 2010résultats ACADEMIE de
RENNES
• 8 items : 79, 80, 81, 82, 97, 64, 65, 66
• MOYENNE : 61,75%
Exercice 10 : Utiliser un calendrier pour comparer les durées (item 79)Cette année le premier match de la coupe de monde de football a lieu le 11 juin. Le dernier match a lieu le 11 juillet.Combien de jours durera cette compétition ?
32%
item 79
?
Exercice 11 : Utiliser les unités usuelles de mesures ; estimer une mesure ( items 80, 81, 82)
Item 80 : 79%
Item 81 : 56%
Item 82 : 73%
Item 97 : 79 %
Exercice 4 : Résoudre un problème de la vie courante avec de l’argent en euros (items64, 65, 66)• Maman veut acheter des gâteaux.• Elle a dans son porte-monnaie :- un billet de 10 €- un billet de 5 €- deux pièces de 2 €- trois pièces de 1 €.• Elle achète 3 gâteaux qui coûtent 7 € chacun.• Combien d'argent lui reste-t-il après avoir payé?• Explique tes recherches et tes calculs. Donne une phrase de réponse.
Item 64: 63% Item 65 : 71% Item 66: 41%Une démarche écrite une réponse rédigée + unité réponse exacte
3333
Des propositions
1. Equilibrer, dans la démarche, perception/mesure/raisonnement
2. Mettre en place des moments de manipulation et d’expérimentation pour préparer, consolider, remédier.
3. Utiliser les TUIC.
4. Analyser les obstacles rencontrés par les élèves et les intégrer dans la démarche
5. Développer l’utilisation de l’ordre de grandeur en identifiant correctement le but (entrée, régulation, degré de validation).
3434
Des propositions ( suite )
6 - Entretenir les connaissances acquises en faisant lien avec les activités des autres disciplines.
7 - Pour toutes les évaluations, réfléchir à leur pertinence, leurs interprétations et aux conditions psychologiques de passation.
8 - Diversifier, explicitement pour les élèves, les conditions des tâches à effectuer
9 - Utiliser le calcul mental en relation avec les grandeurs travaillées
10 – Clarifier le vocabulaire utilisé.
3535
11-Travailler des procédures personnelles aux procédures expertes, collectivement et
individuellement, en liaison avec le sens.
3636
Quelle démarche mettre en place ?
3737
Une triple approche
Perception
Mesure
Raisonnement
Il faut toujours privilégier une approche sensible dans un premier temps, en comparant par exemple des grandeurs et seulement ensuite passer à la mesure (en définissant correctement l’unité de mesure et les instruments).
Il faut habituer l’élève à donner une mesure « à l’œil » avant de faire la mesure ou le calcul qui permet d’obtenir la mesure.
38
SITUATION 3
Quelle est l’épaisseur d’une feuille de papier ?
3939
Quelle est l’épaisseur d’une feuille de papier ?
Perception Moins de 1 mm
Très petit
Mesure
Impossible à la règle
Utilisation d’un pied à coulisse, d’un palmer.
Raisonnement On mesure 100 feuilles et on divise.
4040
Passage de la perception à la mesure
Pour pouvoir mesurer il faut :
Définir une unité de mesure.
Se doter d’instruments pour réaliser cette mesure
4141
Les relations entre les unités avant le tableau de conversion
Le tableau de conversion doit être connu et
utilisé mais pas systématiquement. Les
relations entre les unités usuelles doivent se
faire sans recourt à ce tableau (passage du m
au km, du g au kg ou au mg, …).
4242
Plan général de l’approche d’une grandeur :
• 1- Comparaisons (directes et indirectes) permettant de « faire apparaître la nouvelle grandeur que l’on veut étudier ».
• 2- Mesurages en utilisant un « objet » choisi arbitrairement, appelé objet étalon (la grandeur de cet objet est l’unité choisie pour effectuer le mesurage).
• 3- Introduction d’une unité « légale ».• 4- Utilisation de tout un système d’unités• 5- Établissement de formules (calcul d’aires, de
périmètres).Progression proposée par D. Pernoux.
4343
La mesure d’une grandeur a pour but de remplacer les
manipulations sur les objets par des opérations sur des
nombres (comparaison, addition, rapport…), elle reste
donc un objectif essentiel de notre enseignement.
Mais lorsqu’elle est abordée trop tôt ou trop rapidement,
elle s’érige en obstacle à la perception de la grandeur
qu’elle est censée représenter.
4444
• A la moitié du parcours, pour des besoins de communication, une unité de référence doit être choisie.
• Des conversions peuvent devenir nécessaires.
La construction et l’utilisation d’instruments de mesure, la nécessité d’utiliser des sous-unités, entrent aussi dans cette dernière étape accompagnant les calculs.
• Mais, cette étape occupe souvent 95% du temps consacré à l’étude d’une grandeur au détriment du peu de temps consacré à sa construction conceptuelle.
4545
Quelle est la place et
le rôle de la manipulation ?
4646
Manipuler et/ou expérimenter ?
une dialectique plus qu’une opposition
objectif principalaider au passage progressif de la perception à
l'abstraction
De je vois à je sais
De l'objet au concept
4747
Manipuler et/ou expérimenter ?une dialectique plus qu’une opposition
Manipulerdéplacer, manier, toucher, palper, actionner, utiliser
Expérimentercontrôler, essayer, tester, vérifier, éprouver
4848
Manipuler et/ou expérimenter ?
DES ETAPES
4949
0. Des manipulations avec le matériel, avec des outils.
1. Le choix de la situation didactique par le professeur.
2. Une expérimentation avec une résolution du problème conduite par les élèves.
3. Une organisation du travail qui permet les échanges argumentés.
4. Un étayage constant et raisonné par le professeur.
5. Un temps dédié à la structuration des connaissances.
6.Des traces écrites pour se rappeler, pour mémoriser.
7.Des manipulations pour consolider, s’entraîner, aller plus loin, remédier.
5050
un lieu et un matériel dédié aux
manipulations/expérimentations
Liste de matériel possible :
- matériel à manipuler : jetons, bouchons, cartes, pions, cubes, buchettes, planche de bois + clous + élastiques,ficelles, les jeux
de la classe, Tangrams, meccano, légo, récipients, matériel fabriqué …
- supports : calques, feuilles A4, A3, quadrillages, feuilles cartonnées, brouillon, calendrier, grands tableaux, schémas (ou
ébauches de schémas), agrandissements …
- outils : feutres, surligneurs, ciseaux, règles, crayons, colle …
- instruments : Instruments pour tracer, pour mesurer, calculatrices, tables de multiplication, ordinateur, horloges,
balances …
5151
Importance de la manipulation
La manipulation est en général bien utilisée pour introduire les longueurs mais très largement insuffisante pour les autres unités en particulier pour les masses, les volumes et les capacités.
La manipulation permet à l’élève de s’approprier l’unité qu’il utilise et de mettre en évidence la nécessité de l’utilisation des multiples et des sous multiples. Il permet aussi de mettre en évidence des liens entre les différentes grandeurs.
Une manipulation sur les capacités peut être envisagée en comparant les contenances de différents récipients, en les remplissant d’eau par exemple, puis en mettant cette eau dans un récipient de référence sur lequel on pourra noter la hauteur d’eau.
5252
Utiliser les TUICpour
découvrir,consolider, s’entraîner,
aller plus loin, remédier.
Voir Powerpoint joint : Utiliser les TUIC en GRANDEURS et MESURES
5353
Quelques obstacles rencontrés par les élèves
en
GRANDEURS et MESURES
Voir Powerpoint joint
Quelque obstacles en Grandeurs et Mesures
5454
ANALYSE et AIDESpour
EVALUATION CM2 2011
GRANDEURS et MESURES
Voir Powerpoint joint GM EVA 2011
55
et les programmes dans tout ça ? extraits des programmes 2008
• L’apprentissage des mathématiques développe l’imagination, la rigueur et la précision ainsi que le goût du raisonnement.
• La résolution de problèmes joue un rôle essentiel dans l’activité mathématique. Elle est présente dans tous les domaines et s’exerce à tous les stades des apprentissages.
• La résolution de problèmes concrets contribue à consolider les connaissances et capacités relatives aux grandeurs et à leur mesure, et, à leur donner sens.
5656
• Grandeurs et mesure au cycle 3
• Auteur : Groupe École primaire de l'IREM de Lille, coordination Louis ROYECollection : Outils pour les cyclesNiveau(x) : cycle 3Discipline(s) : mathématiquesRef : 590 CY 021Prix : 25€
• En savoir plus.• Compléments en ligne• Sur ce site, vous trouverez, en complément de
l'ouvrage imprimé, des fiches téléchargeables à imprimer :
- travaux sur les longueurs ;
- travaux sur les aires de surfaces planes ;
- travaux sur les angles.
