Grandeurs unités mesures  

 

On mesure des grandeurs physiques de différentes sortes. On ne peut pas additionner des grandeurs physiques de natures différentes. 

Tout  résultat  expérimental  s’exprime  par  un  nombre  et  par  ce  qui  désigne  le  type  de grandeur mesurée : l’unité. 

On  a  déterminé  le  nombre  minimum  de  grandeur  auxquelles  toutes  les  autres  se rattachent à travers des formules traduisant les lois physiques. Par exemple : 

€

vitesse =longueur parcourue

longueur de parcours⇒ unité de vitesse =

unité de longueurunité de temps  

 

I. Grandeurs 

1. Grandeurs fondamentales 

 

Grandeur  Symbole (dimension) 

Longueur  L 

Masse  M 

Temps, durée  T 

Courant électrique  I 

température  Θ 

Quantité de matière  N 

Intensité lumineuse  J 

 

Il y a deux grandeurs géométriques supplémentaires : 

 

Angle plan  α 

Angle solide  Ω 

 

 

2. Grandeurs dérivées 

 

Toutes les autres grandeurs. Exemple : 

• la masse volumique 

€

ρ =mV  (dimension 

€

ML−3) 

• l’énergie (dimension 

€

ML2T−2) 

• cf. le site internet à l’URL suivante : 

http://www.uel.education.fr/consultation/reference/physique/outils_nancy/index.htm  

(il faut cliquer ensuite sur « apprendre », puis sur « grandeurs‐symboles‐dimensions » (10 pages de cours) ainsi que sur « systèmes et unités de mesures (8 pages de cours). 

 

II. Unités 

 

L’unité est une grandeur de référence bien déterminée. 

Mesurer, c’est comparer avec la grandeur de référence de la même espèce. 

Les unité légales sont celles du « Système International » (S.I.). On utilise encore des unités « hors‐système » ; il faut savoir convertir le résultat de mesures en fonction de l’unité utilisée. 

 

1. Système S.I. 

a. Unité de base 

 

Unité  symbole 

Mètre  m 

Kilogramme  kg 

Seconde  s 

Ampère  A 

Kelvin  K 

Mole  mol 

candela  cd 

Et également : 

Radian  rad 

stéradian  sr 

 

 

b. Multiples et sous‐multiples des unités 

 

 

Facteur  Nom  Symbole 

101  déca  da 

102  hecto  h 

103  kilo  k 

106  méga  M 

109  giga  G 

1012  téra  T 

 

 

Facteur  Nom  Symbole 

10‐1  déci  d 

10‐2  centi  c 

10‐3  milli  m 

10‐6  micro  µ 

10‐9  nano  n 

10‐12  pico  p 

 

 

 

Exemple : longueurs d’onde lumineuses 

€

4. 10−7 à 8. 10−7 m  

€

0,4 à 0,8 µm  

€

400 à 800 nm  

 

2. Autres systèmes d’unité – facteur de conversion 

a. Il existe d’autres systèmes d’unités 

Par exemple : 

• CGS (Centimètre‐Gramme‐Seconde) avant 1919 

• MTS : légal de 1919 à 1961 

 

b. Pour exprimer les valeurs mesurées expérimentalement dans un système en  fonction  des  unités  d’un  autre  système,  on  utilise  les  facteurs  de conversion entre unités : 

Ex : on mesure une longueur 

€

l 

€

l = l cm ×1cml = l m ×1ml = l cm ×10−2m car 1cm =10−2ml = l m ×102cm car 1m =102cm

 Ainsi : 

€

l m =10−2 × l cml cm =10−2 × l m

 

 

On  trouvera  tous  les  facteurs  de  conversion  dans  Michel  CERR,  « Instrumentation industrielle » tome1 (Technique et Documentations, Ed. Lavoisier). 

 

3. Exercices 

a. Vérifier que : 

•

€

1 mg =10−6 kg 

•

€

1 µg =10−9 kg   

(on donne 

€

1 kg =103g) 

•

€

1 cc =1 cl =10 cm3  

•

€

1 cl =10−2 l  

(on donne 

€

1 cm3 =1 ml) 

•

€

1 cm2 =10−4 m2

=10−2 dm2 

•

€

1 cm3 =10−4 m3

=10−3 dm3 

b. Le  volume  occupé  par  une  mole  de  gaz  parfait  dans  les  conditions normales est 

€

VM = 22,4 l . Exprimer 

€

VM  en 

€

m3 . 

On donne 

€

1 m3 =103 l1 l =1 dm3

. 

c. La masse volumique de l’air à 

€

O °C  est 

€

ρ ≈1,3 kg.m−3. Quelle est la valeur de 

€

ρ  en 

€

g.m−3  ? En 

€

g.cm−3  ? 

d. Vérifier que la masse volumique a la même valeur en 

€

kg. l−1 et en 

€

g.cm−3 . 

e. La tension superficielle de l’eau à 20°C est 

€

γ = 73 dyn.cm−1. L’exprimer en 

€

N.m−1. 

On donne 

€

1 dyn. cm−1 =10−3N.m−1

1 N.m−1 =103 dyn.cm−1. 

 

III. Mesures 

1. Précision d’une mesure 

a. Incertitude absolue 

Il  n’y  a  pas  de  mesures  parfaites :  les  appareils,  les  méthodes  de  mesures,  les expérimentateurs  ne  sont  pas  parfaits.  De  plus,  le  phénomène  mesuré  peut  parfois fluctuer au hasard. 

Le  résultat des mesures donne seulement une valeur approchée de  la « vraie valeur ». Celle‐ci  reste  inconnue  au  terme des mesures,  qui  en donnent une  estimation plus  ou moins précise. 

On note : 

•

€

x  la moyenne des valeurs obtenues expérimentalement 

•

€

x  la vraie valeur 

•

€

x − x  l’erreur de mesure (inconnue comme 

€

x) 

On  peut  généralement  estimer  une  marge  d’erreur :  l’erreur  maximum  possible  est l’incertitude absolue, notée 

€

Δx  (

€

Δx > 0). Ainsi : 

€

Δx ≥ x − x  

L’erreur 

€

x − x( )  peut être : 

• par excès : 

€

Δx ≥ x − x  

• par défaut : 

€

Δx ≥ x − x  

Dans tous les cas, on peut écrire : 

€

x −Δx ≤ x ≤ x + Δx . 

La « vraie valeur » 

€

x  se trouve quelque part entre 

€

x − x  et 

€

x + x . 

      

€

x − x       

€

x         

€

x + x  

 

Exemple : 

€

x = 29,7 mm  

€

Δx = 0,5 mm⇒

€

x = 29,7 ± 0,5 mm( ) 

€

29,2 mm ≤ x ≤ 30,2 mm  

 

b. Incertitude relative (taux d’incertitude) 

On exprime l’incertitude absolue comme un pourcentage de la valeur mesurée : 

€

τ =Δxx  

En général, 

€

Δx < x ⇒ τ <1 

Incertitude relative : 

€

incertitude relative =incertitude absolue

valeur 

Plus les mesures sont précises et plus 

€

τ  est petit. 

Remarque : l’incertitude absolue s’exprime dans l’unité de la grandeur mesurée. 

L’incertitude relative est un nombre sans unité. On peut ainsi comparer la précision de 2 résultats différents, même pour 2 grandeurs de natures différentes. 

c. Exercice :  des mesures  donnent  pour  la  distance  parcourue  en  1s  par  la lumière dans le vide : 

€

c = 299792458 ± 0,6 m( )  

i. Exprimer la précision des mesures à l’aide de l’incertitude relative 

ii. Avec  cette  précision,  quelle  serait  l’incertitude  absolue  sur  la mesure d’une distance de 1000 km ? 

iii. Quelle distance pourrait‐on mesurer à 0,1 mm près ? 

 

Remarques :  l’évaluation  d’une  marge  d’erreur  est  souvent  délicate  car  les  erreurs peuvent provenir de différentes sources (précision des instruments, erreurs de lectures, erreurs  systématiques dues  à un défaut d’étalonnage,  etc…). Nous  considérons  ici  que l’erreur provient uniquement de causes pouvant agir dans les deux sens, de façon que si on  fait  un  grand  nombre  de mesures,  les  erreurs  par  excès  tendent  à  compenser  les erreurs par défaut. 

 

2. Chiffres significatifs 

a. Chiffres significatifs du résultat de mesures 

 

Les chiffres significatifs du résultat d’une mesure sont les chiffres réellement accessibles par la mesure. Leur nombre dépend donc de la précision de la mesure. 

Autrement dit :  le nombre de chiffres significatifs est  le nombre de chiffres permettant d’exprimer un résultat expérimentalement compte tenu de la précision des mesures. 

Idéalement, un résultat expérimental devrait être donnée sous la forme « valeur obtenue +/‐ incertitude absolue (unité) » comme suit : 

€

x ± Δx . Mais on omet souvent de donner 

la marge d’erreur 

€

Δx . Il est alors important de garder seulement les chiffres significatifs du résultat 

€

x  pour pouvoir se faire une idée de la précision des mesures. 

Exemple : la constante des gaz parfaits 

€

R = 8,314472 ± 0,00003 J.mol−1.K−1( ) est telle que 

€

8,314472 ≤ R ≤ 8,314502. On écrira : 

€

R = 8,3145 J.mol−1.K−1 car la 5ème et 6ème décimales peuvent  avoir  toutes  les mêmes valeurs de 0 à 9  (pour  la 6ème)  et 4, 5,  6,  7,  8,  9 ou 0 (pour  la  5ème).  On  garde  seulement  les  chiffres  du  compteur  qui  peuvent  varier  au maximum d’une unité entre la limite inférieure et la limite supérieure. Ces chiffres sont « presque sûrs ». 

 

b. Chiffres significatifs du résultat d’un calcul à partir de résultats de mesures 

 

1ère règle : le résultat d’une multiplication ne peut pas avoir plus de chiffres significatifs que le facteur le moins précis (celui qui a le moins de c. s.) 

 

2ème règle :  le résultat d’une addition‐soustraction ne peut pas avoir plus de décimales que le terme qui a le moins de décimales 

 

exemple : 

o

€

3,22 c.s. × 8,67

3 c.s. = 27,344 ≈ 28

2 c.s.  

o

€

2,34 +16,5 =18,84 ≈18,8 

 

En pratique, on peut se contenter d’appliquer la règle suivante : on ne donnera jamais un résultat numérique  final avec plus de 3 chiffres significatifs. Par contre on n’arrondira pas  les  données  numériques  intermédiaires  au  cours  des  calculs,  pour  éviter d’accumuler des erreurs d’arrondi. 

 

Exercice :  on  a  mesuré 

€

G = 6,6726. 10−11m3 .kg−1.s−2  avec  une  incertitude  relative  de 

€

1,5. 10−4 =150ppm( ) 

1. Calculer l’incertitude absolue. 

2. Dans quelle fourchette se situe la vraie valeur de 

€

G  ? 

3. Donner 

€

G  avec le nombre de chiffres significatifs convenable. 

4. On a mesuré 

€

R = 8,31451± 0,00007 J.mol−1.K−1( ) . Vérifier que 

€

R est mesuré avec une meilleure précision que 

€

G .