8/9/2019 12 Les grands thormes
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Les grands thormes
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Soit m un rel et un rel positif.
SoitX1,X2, ,Xnn variables alatoires indpendantes, de mme
esprance m et cart
type
On considre la variable alatoire )...(1
21 nn XXXn
X .
On sait dj queE( nX ) = mnmn
XEXEXEn
n )(
1))(...)()((
121 ; dautre part
X1,X2, Xn tant n variables alatoires indpendantes :
V( nX ) =n
n
n
XVXVXV
nn
22
2212)(
1))(...)()((
1 do nX )=
n
.
On doit retenir que :
)...(1
21 nn XXXn
X est une variable alatoire desprance met dcart typen
.
Cas particulier
Dans le cas oX1,X2, ,Xn sont n variables alatoires indpendantes,
suivant la mme loi
normale N(m ; ), )...(1
21 nn XXXn
X est une variable alatoire qui suit la loi
normale N(m ;
n
).
Thorme de la limite centre
SoientX1,X2, ,Xnn variables alatoires indpendantes, suivant la
mme loi de probabilit,
de mme esprance m et cart type
Pour n suffisamment grand, la variable alatoire )...(1
21 nn XXXn
X suit
approximativementla loi normale N(m ;n
) .
Thorme de la loi faible des grands nombres
Avec les notations du paragraphe, on prcise que :
Avec un rel strictement positif
pour n suffisamment grand, la probabilit P ( m nX m +peut tre
approche par 1.
