II-5 Théorèmes de Thévenin et de Norton

Modèle de Thévenin

E

i

R.i

u

R

E = Tension mesurée à vide (i=0)

R = résistance équivalente lorsque

toutes les sources d’énergie sont éteintes

Modèle de Norton

Iccu/R

uR

Icc = Intensité du courant mesuré

en court-circuit

R = résistance équivalente lorsque

toutes les sources d’énergie sont éteintes

21

Exemple

E2

R2

I1

R1

On donne :

R1=R2=50 ΩI1=0,5 A

E2=10 V

Modèle Norton

équivalent ?

I

U

Modèle Thévenin

équivalent ?

II-6 Théorème de superposition

Le théorème de superposition permet de simplifier l’étude descircuits « complexes » (comportant plusieurs sources de tensionet/ou de courant).

U

R2

I1

R1

R

Dans le cas des circuits électriques composés exclusivement

d'éléments linéaires la réponse dans une branche (tension ou

courant) est égale à la somme des réponses pour chaquegénérateur indépendant pris séparément, en désactivant(passivant) tous les autres générateurs indépendants.

E2

u

i

II-6 Théorème de superposition

Passivation des sources ?

i

u

i i

La tension deux points A et B d’un circuit linéaire comportant plusieurssources est égale à la somme des tension obtenues entre les deux pointslorsque chaque source agit seule.

u u

L’intensité du courant dans une branche d’un circuit linéaire comportantplusieurs sources est égale à la somme des intensités des courantscirculant dans cette branche lorsque chaque source agit seule.

Exemple

E2

R2

I1

R1

R

On donne :

R=50 ΩR1=R2=30 ΩI1=0,5 A

E2=10 V

Req U = ?

III Point de fonctionnement d’un circuit ?

Lorsque l’on associe un dipôle générateur et un dipôle récepteur, ils ont en commun la tension à leurs bornes et le courant qui les traverse.

GENERATEUR

RECEPTEUR

I

La tension U et le courant I dépendent des caractéristiques du

générateur et du récepteur. L’intersection des deuxcaractéristiques U=f(I) correspond au point de fonctionnement.

GENERATEUR

U

RECEPTEUR

III Point de fonctionnement d’un circuit ?

Générateur U=E-r.I

Récepteur U=R.I

Point de fonctionnement UF=E-r.U/R et IF=UF/R

r

I

Gé

né

rate

ur

Ré

cep

teu

r

U

UF

R

r

U

EGé

né

rate

ur

Ré

cep

teu

rI

F

IF

Exemple

R

r

U

I

EGé

né

rate

ur

Ré

cep

teu

r

On donne :

E = 20 V

r = 1 ΩR = 99 Ω

U = ?

I = ?I = ?

Exemple

On a I1 = 2 mA ; R = 1 kΩ Ω Ω Ω on cherche à calculer I et E

A I3

I4

E

I I1R R R

R2R

2R

I2

B C D

M

Exemple

Relation reliant U à E, R1 et R2 ?

R2R1 U

I2

I

E

I

R1

2 U

Relation reliant I2 à I, R1 et R2 ?

ER2 U

Pont diviseur de tension Pont diviseur de courant

2

1 2

RU E

R R= ⋅

+1

2

1 2

RI I

R R= ⋅

+

IV Puissance électrique

Lorsque l’on relie un dipôle

générateur à un dipôle récepteur,

ils ont en commun l’intensité I du

courant électrique et la tension à

leurs bornes U. La puissance

électrique échangée par les deux

dipôles s’exprime par la relation :

R

r

U

I

EGé

né

rate

ur

Ré

cep

teu

rQuelques ordres de grandeur :

µµµµW mW W kW MW

micro-électronique, électronique électronique de puissance

électrotechnique, production et transport énergie électrique

P = U . IW V A

IV Puissance électrique

R

r

U

I

EGé

né

rate

ur

Ré

cep

teu

rr.i

Générateur : Récepteur :

Pfournie = PE - Ppertes

Pfournie = U.I = E.I – r.I²

PE = E.I

Ppertes = r.I.I = r.I²

Preçue = Pfournie

Preçue = U.I

Preçue = U²/R

Preçue = R.I²

IV Puissance électrique

De même que le courant est défini par convention par le sens de

déplacement des trous, il est nécessaire de prendre une convention

pour la puissance électrique.

Comme le courant et la tension, la puissance est une variable

algébrique : positive ou négative.

v

P < 0

P > 0

P > 0

P < 0

v

i Puissance reçue ou fournie ?

IV Puissance électrique

Dipôle Dipôle

I

P < 0

Puissance

fournie

Puissance

reçue

P > 0

Dipôle

source

Dipôle

chargeV

Convention

Générateur

Convention

Récepteur

Puissance

reçue

Puissance

fournie

V Energie

Pendant une durée t, l’énergie transférée est :

Energie : unité le joule

E = P . tJ W s

P = U . IW V A durée t

Energie : unité le joule

1 J = 1 W pendant 1 s

Dans la vie quotidienne, on utilise le Wh ou le kWh :

1 Wh = 1 W pendant 1 heure = 3600 J

1 kWh = 1 kW pendant 1 heure = 3,6.106 J

Partie 2 : Partie 2 :

Régimes transitoiresRégimes transitoiresRégimes transitoiresRégimes transitoires

Régimes Transitoires - Plan

I. Régime transitoire ?II. Rappels équations différentielles d’ordre 1III. Dipôles linéaires

1. Résistance

2. Condensateur

3. Bobine

IV. Etude d’un circuit RC sérieIV. Etude d’un circuit RC série1. Charge du condensateur

2. Décharge du condensateur

3. Etude énergétique

V. Etude d’un circuit RL série1. Etablissement du courant dans la bobine

2. Arrêt du courant dans la bobine

3. Etude énergétique

VI. Circuit RLC ?

I Régime transitoire ?

Dans la première partie, nous avons étudié des circuits en régimepermanent. Nous allons maintenant nous intéresser aux régimestransitoires.

Par exemple, l’établissement d’un courant ou d’une tension dans

un circuit.

u

E

u

t

équations différentielles

III Rappels équations différentielles d’ordre 1

Une équation différentielle est une équation liant une fonction etsa ou ses dérivée(s). La résoudre revient à trouver une expression

générale pour toutes ses solutions.

On se limitera aux équations différentielles linéaires du premierordre à coefficients constants.

( )dy t( ) ( ) ( ).dy t

a y t f tdt

+ =

La résolution se fait en 2 temps :

recherche de la forme générale de toutes les solutions

recherche de celle vérifiant la condition initiale

III Rappels équations différentielles d’ordre 1

Exemple : résolution de

où E est une constante

Equation homogène associée :

solution de l’équation homogène

( ) ( ).dy t

a y t Edt

+ =

( ) ( ). 0dy t

a y tdt

+ =

( ) ( )expHy t K a t= ⋅ − ⋅

solution particulière de l’équation avec second membre (yP(t)=cste)

solution générale

Calcul de K à partir des conditions initiales (à t=0, y(t)=y0)

( )P

Ey t

a=( ) ( )

0P

P

dy ty t cste

dt= ⇒ =

( ) ( ) ( ) ( )expH P

Ey t y t y t K a t

a= + = ⋅ − ⋅ +

( ) ( )0 expE E

y t y a ta a

= − ⋅ − ⋅ +

III Dipôles linéaires

COMPORTEMENT

ÉLECTRIQUE ?ÉLECTRIQUE ?

III-1 Résistance

i(t)

u(t)R

Loi d’Ohm ( ) ( )⋅u t = R i t

III-2 Condensateur

Un condensateur est constitué de deux surface conductrices (lesarmatures) séparées par un isolant électrique (le diélectrique).

A

+ + + + + + + + +

A

B

armatures

diélectrique

III-2 Condensateur

Le fait d’avoir un isolant entre les 2 armatures signifie qu’il n’y apas de courant qui traverse le condensateur …

A

I

R

Principe de fonctionnement du condensateur ?

B

diélectriqueE C UC

A

III-2 Condensateur

Principe de fonctionnement ?

E

i

R

C uC

A

B

+

-

+ + + + + + + + +

charge +q

B

diélectrique

Accumulation de charges sur les armatures (électrodes)

B + + + + + + + + +

charge -q

III-2 Condensateur

La charge q d’un condensateur est proportionnelle

à la tension à ses bornes :

Capacité d’un condensateur plan ?

C UC

+q

-q

i

Cq C u= ⋅q : charge en coulombs (C)

C : capacité en farad (F)

u : tension en volt (V)

0 r SCe

ε ε⋅ ⋅=

ε0 : permittivité du vide (≈8,854.10-12 F.m-1)

εr : permittivité relative (εr ≥ 1)

S : surface (m²)

e : épaisseur du diélectrique (m)

A

B

diélectrique

III-2 Condensateur

Quelques exemples de valeurs de permittivité relative …

Polymères thermoplastiques

Céramiques

III-2 Condensateur

Courant dans un circuit comportant un condensateur ?

dQi

dt=

E

i

R

C uC

A

+ avec dQ = quantité d’électricité

traversant une section du +q

( ) ( )Cdu ti t C

dt= ⋅

E C

B

-

traversant une section du

circuit pendant dt

Conservation de la charge

dQ=dq

Cq C u= ⋅

-q

En régime continu, le condensateur se comporte comme un circuit ouvert

Discontinuité de tension interdite !

III-2 Condensateur

Association de condensateurs ?

en parallèle : en série :

C1

uC

+q1

-q1

+q2

-q2

i

C2

C1

uC

+q

-q

i

+qC +q

-q

C2

( )1 2

1 2 1 2C C C

q q q

q C u C u C C u

= +

= ⋅ + ⋅ = + ⋅

1 2

1 2 1 2

1 1C

q q q

q qu q

C C C C

= =

= + = ⋅ +

1 2eqC C C= +1 2

1 1 1

eqC C C= +

III-2 Condensateur

Applications :

- Circuits électroniques (fonctions …)

- Filtrage (équaliseur audio, …)

Energie emmagasinée : sous forme électrostatique

21( )

2E C V J= ⋅ ⋅

pF nF µµµµF mF F

Quelques ordres de grandeur :

micro-électronique, électronique électrotechnique

- Filtrage (équaliseur audio, …)

- Stockage d’énergie (flash appareil photo, etc.)

…

III-3 Bobine

Une bobine (inductance, self) est généralement constituée d’unbobinage réalisé sur un circuit magnétique.bobinage réalisé sur un circuit magnétique.

III-3 Bobine

i(t)

uL(t) L

Relation entre la tension et le courant :

( ) ( )L

di tu t L

dt= ⋅

uL : tension en volt (V)

L : inductance en henry (H)

i : courant en ampère (A)

En régime continu, la bobine se comporte comme un fil (court-circuit)

Discontinuité de courant interdite !

III-3 Bobine

Inductance d’une bobine ?

2

0 (H)r

SL n

lµ µ= ⋅ ⋅ ⋅

µ0 : perméabilité du vide (4.π.10-7 H/m)µr : perméabilité relative

S : section du circuit magnétique (m²)

l : longueur du circuit magnétique (m)

section Slongueur l

l : longueur du circuit magnétique (m)

III-3 Bobine

Association de bobines ?

en parallèle : en série :

u L di dt L di dt= ⋅ = ⋅

i(t)uL(t)

L1

L2

i(t)

uL(t)

L1L2

1 1 2 2Lu L di dt L di dt= ⋅ = ⋅

( )

1 2

1 2

L

L

di diu L L

dt dt

diu L L

dt

= ⋅ + ⋅

= + ⋅

1 2

1 1 1

eqL L L= +

1 2eqL L L= +

1 2 1 2i i i di dt di dt di dt= + ⇒ = +

1 2 1 2

1 1L LL

u udiu

dt L L L L

= + = ⋅ +

III-3 Bobine

Applications :

- Circuits électroniques (fonctions …)

- Filtrage (équaliseur audio, …)

- Electro-aimant

Energie emmagasinée : sous forme magnétique

21( )

2E L I J= ⋅ ⋅

nH µµµµH mH H

Quelques ordres de grandeur :

- Electro-aimant

- Stockage d’énergie

…