1206w Rapport Theorie de La Fiabilite

Introduction .......................................................5

PARTIE 1 MTHODOLOGIE..............................7

Chapitre I Lvaluation structurale des ouvrages dart ...................................................9

Chapitre II Introduction la thorie de la fiabilit .............................................................15

Chapitre III Mthodologie de ltude..............21

Chapitre IV Outils et rfrences.....................31

PARTIE 2 EXEMPLES DAPPLICATION.........37

Chapitre I Pont poutres des Bouillres ......43

Chapitre II PICF de Challuy ............................63

Chapitre III VIPP de Merlebach.......................79

Chapitre IV Solution caisson BP du pont sur la rivire Saint tienne....................................99

Conclusions et perspectives........................115

Annexes .........................................................125

= O M NO

Rapport dtudes

q==~=~=^~==~~=~===~=~=

La gestion du patrimoine douvrages dart reprsente un enjeu majeur pour les matres douvrage. Elle pose la question du dveloppement de lingnierie de lexistant.

La thorie de la fiabilit propose une valuation des structures base sur la thorie des probabilits. Elle est utilise dans laronautique, lindustrie offshore, lindustrie nuclaire et, plus rcemment, dans le domaine du btiment et des ouvrages dart.

Lobjectif de cette tude est de mettre en application la thorie de la fiabilit pour : prciser la dmarche pour valuer les ouvrages dart

neufs ou existants par approche probabiliste ; tablir des grilles de coefficients partiels de scurit

pour lvaluation des ouvrages existants.

Ce rapport se dcompose en deux parties : une 1e partie prsentant la dmarche ; une 2e partie illustrant cette dmarche sur quatre cas

dtude douvrages dart.

p~ =

Page laisse blanche intentionnellement

Collection les rapports

Document dit par le Stra dans la collection les rapports .Cette collection regroupe les rapports d'tudes, de recherche,

d'exprimentation, les synthses de connaissances.

Thorie de la fiabilitApplication l'valuation structurale des ouvrages d'art

Thorie de la fiabilit Rapport dtudes

Collection Les rapports Stra 4 fvrier 2012

Ce rapport prsente les rsultats de ltude sur les Mthodesavances dvaluation structurale , ralise au sein du RseauScientifique et Technique du Ministre de lcologie, duDveloppement durable, du Transport et du Logement.

Cette tude a t mene par un groupe de travail compos de : Arnold Ballire, CETE de Lyon ; Yacine Ben Milad , DRIEA (ex- Stra) ; Anne-Sophie Colas, Stra ; Christian Cremona, Stra ; Denis Davi, CETE Mditerrane ; Jean-Bernard Humeau, CETE de lOuest ; Claude Le Qur, EGIS (ex- Stra) ; Claire Marcotte, CETE Nord-Picardie ; Jrme Michel, Stra ; Andr Orcesi, IFSTTAR ; Benot Poulin, CETE de lOuest ; Bruno Vion, CETE Mditerrane. Le rapport a bnfici des relectures attentives de : Jacques Berthellemy, Stra ; Jean-Michel Lacombe, Stra.



Introduction Contexte Ltude sur lapplication de la thorie de la fiabilit lvaluation des ouvrages dart a t lance en 2009. Elle rpond au besoin de dvelopper les connaissances en matire dingnierie de lexistant. Elle sinscrit dans le programme dactions scientifiques et techniques du Stra (sujet 41-03-02) : Orientation scientifique et technique : 4 Agir sur les infrastructures et les systmes pour amliorer la

scurit des dplacements Projet : 1 Analyser et matriser les risques sur ouvrages dart Action : 3 Matriser les risques dinsuffisance de capacit portante Sujet : 2 Mthodes avances dvaluation structurale des ouvrages

Action Matr iser les r isques d insuff isance de capacit portante

Laction Matriser les risques dinsuffisance de capacit portante rpond une forte attente des matres douvrage, confronts un patrimoine vieillissant et un corpus technique franais encore peu dvelopp sur le sujet. Loptimisation des mthodes dvaluation des ouvrages existants constitue donc un enjeu important pour : la scurit des dplacements, afin dassurer aux usagers un haut niveau de scurit ; le dveloppement durable, afin de limiter les impacts cologiques lis des interventions non justifies sur

les ouvrages ; lconomie, afin de grer les dpenses par loptimisation des interventions ; le plan juridique, afin de proposer un cadre permettant dassurer la responsabilit des intervenants lors des

valuations douvrages existants.

Compte tenu du vieillissement du patrimoine, de lvolution de lagressivit du trafic, du dveloppement des transports exceptionnels et de lvolution de la rglementation applicable aux ouvrages neufs le champ dapplication des Eurocodes ne couvrant pas les ouvrages existants, la mise au point dun corpus technique permettant dvaluer prcisment les ouvrages existants est un enjeu important pour les annes venir.

Cest pourquoi le CTOA renforce son implication dans lingnierie des ouvrages existants notamment en pilotant une action majeure pour ltablissement de recommandations, proposant plusieurs niveaux de sophistication, pour lvaluation des ouvrages. Lobjectif de cette action est de mettre au point le corpus technique de lvaluation des ouvrages existants.

Sujet Mthodes avances dvaluation structurale des ouvrages

Le sujet Mthodes avances dvaluation structurale des ouvrages vise dvelopper la mise en application des mthodes probabilistes pour lvaluation des ouvrages dart ainsi que ladaptation des coefficients partiels de scurit, pour aider lvaluation courante des ouvrages existants par mthode semi-probabiliste. Il est ainsi men en lien avec le sujet 1 Mthodes courantes dvaluation structurale des ouvrages [11].

Cette tude est mene par un groupe de travail associant les CETE et le CTOA, avec lappui de lIFSTTAR. La thorie de la fiabilit a ainsi t mise en pratique par chaque CETE sur un ouvrage rel ou fictif pour : prciser la mthodologie dapplication de la thorie de la fiabilit lvaluation des ouvrages neufs ou

existants sur un exemple concret ; tablir des grilles de coefficients partiels permettant de rvaluer la performance des ouvrages existants au

moyen dune mthode semi-probabiliste.



Prsentation du rapport Ce rapport prsente la mthodologie dveloppe par le groupe de travail pour mettre en application la thorie de la fiabilit lvaluation des ouvrages dart ainsi que les exemples de calculs sur ouvrage rel ou fictif.

Il ne traite pas : des phases antrieures (surveillance, entretien, inspection, diagnostic) ou postrieures (rparations,

renforcements) lvaluation qui font lobjet dautres tudes dans le programme daction du Stra ; des mthodes dvaluation dites courantes qui font lobjet du sujet 1 Mthodes courantes dvaluation

structurale des ouvrages [11] de cette action.

Ce rapport ne fournit pas de grilles de coefficients partiels actualiss directement utilisables pour lvaluation dun ouvrage existant : ici seule la mthodologie de calcul de ces coefficients est prsente, ltablissement de grilles fera lobjet de la prochaine tude sur ce sujet.

Le rapport se dcompose en deux parties.

La Partie 1 dcrit la dmarche adopte au cours de cette tude : le Chapitre I prsente le contexte et les enjeux de ltude ; le Chapitre II expose les principes de la thorie de la fiabilit ; le Chapitre III dveloppe la mthodologie pour appliquer les principes de la fiabilit lvaluation des

ouvrages dart ; le Chapitre IV recense la bibliographie et les outils utiliss dans ltude. La Partie 2 regroupe les exemples dvelopps par les CETE sur quatre ouvrages dart rels ou fictifs : le pont poutres en bton arm des Bouillres (CETE de lOuest) ; le pont-cadre PICF en bton arm de Challuy (CETE de Lyon) ; le VIPP de Merlebach (CETE Nord-Picardie) ; la solution caisson en bton prcontraint du pont sur la rivire Saint-tienne (CETE Mditerrane). Elle permet dillustrer les principes exposs en Partie 1 sur des exemples concrets.



PARTIE 1

MTHODOLOGIE



Chapitre I Lvaluation structurale des ouvrages

dart Lvaluation de la performance dune structure est en enjeu important qui se pose ds la construction de cette structure et reste prsent tout au long de sa vie.

On se propose dans ce premier chapitre de prsenter le contexte et les enjeux de ltude. On dfinira ainsi les notions de performance structurale, puis on prsentera les mthodes dvaluation de cette performance ainsi que les objectifs attendus.

1 - Notions de performance structurale On appelle performance structurale la capacit de la structure remplir les exigences pour lesquelles elle est conue et exploite. On rpartit ces exigences de performance en trois catgories : la scurit structurale, qui assure la rsistance de la structure aux actions prvues en situation normale ainsi

que sa robustesse en situation exceptionnelle ; laptitude au service, qui assure le maintien de lexploitation de la structure ; la durabilit, qui dcrit laptitude de la structure demeurer en tat daccomplir ses performances de scurit

structurale et daptitude au service dans des conditions donnes dutilisation et de maintenance sur une dure de service dfinie.

La mesure de la performance structurale vise quantifier lcart entre les modes de fonctionnement acceptables de la structure et les modes de fonctionnement viter, en fonction des caractristiques de rsistance de la structure et des actions susceptibles de conduire sa ruine.

2 - Mthodes dvaluation de la performance 2.1 - Approche dterministe

Jusquau XIXe sicle, les rgles de construction reposaient sur lempirisme et lexprience. Le principe de scurit adopt tait celui dit des contraintes admissibles.

Le principe des contraintes admissibles consiste sassurer que la contrainte maximale , calcule en une section donne sous une combinaison dactions dfavorables, reste infrieure une contrainte dite admissible adm. La valeur de la contrainte admissible est dtermine par le rapport de la contrainte de ruine rupt du matriau sur un coefficient de scurit K fix de manire conventionnelle :

ruptadm =

K

Ce principe prsente lavantage dtre facile mettre en uvre mais il reste insuffisant. En effet, il ne permet pas de prendre en compte la dispersion de chacun des paramtres intervenant dans le calcul puisquun mme



coefficient leur est affect, ce qui peut conduire des sur-dimensionnements. Dautre part, la vrification en contraintes nest pas le seul critre intervenant dans lvaluation de la scurit dune construction.

Lapproche dterministe a t adopte dans les rglements franais antrieurs 1970.

2.2 - Approche semi-probabiliste On appelle approche semi-probabiliste la mthode reposant sur les notions dtat limite et de coefficients partiels de scurit. Cest cette mthode que lon retrouve dans de nombreux rglements, notamment les Eurocodes.

Le mode de fonctionnement de la structure est dcrit par un tat limite liant rsistance des matriaux et sollicitations imposes la structure, sous la forme :

>R S On distingue deux types dtat limite : tat limite ultime, pour un mode de fonctionnement extrme de la structure ; tat limite de service, si la structure est inapte au service mais rparable. On value la dispersion de certains paramtres partir dtudes statistiques que lon intgre sous forme de valeur caractristique. On retient gnralement comme valeur caractristique un fractile de la distribution de lchantillon mesur, cest--dire une valeur telle quune part donne de lchantillon soit suprieure cette valeur (Figure 1). Lorsque la dispersion peut tre nglige, les valeurs caractristiques peuvent tre values de manire dterministe.

Figure 1 : Valeur caractristique Rk dfinie comme le fractile 95% de la distribution (Rk a 95% de chance dtre dpasse).

Les incertitudes qui ne sont pas prises en compte sont intgres dans des coefficients partiels de scurit qui minorent les valeurs caractristiques des rsistances Rk et majorent celles des sollicitations Sk en introduisant des valeurs de calcul Rd et Sd :

kd d S kR

etRR S S

= =



Lapproche semi-probabiliste consiste alors sassurer que ces valeurs de calcul Rd et Sd respectent la marge de scurit dfinie par ltat limite :

k d d S kR

R R S S

= =

La mthode des coefficients partiels est qualifie de semi-probabiliste car elle combine, au sein dun mme tat limite, des valeurs estimes statistiquement et des valeurs dterministes, tout en adoptant un formalisme dterministe. Cette approche offre un bon compromis entre facilit de mise en uvre et informations sur la dispersion des donnes. Nanmoins, les coefficients partiels, tablis pour couvrir une large gamme dincertitudes, peuvent savrer peu reprsentatifs pour certaines structures particulires ou endommages.

La dmarche semi-probabiliste a t introduite dans les rglements franais par les Directives Communes au Calcul des Constructions (Circulaire n71-145 du 13 dcembre 1971 puis Circulaire n79-25 du 13 mars 1979); elle a t reprise dans les rgles de calcul BAEL et BPEL puis dans les Eurocodes.

2.3 - Approche probabiliste On appelle approche probabiliste la mthode qui sappuie sur la thorie de la fiabilit pour valuer la probabilit de dfaillance ou lindice de fiabilit de la structure.

Le mode de fonctionnement de la structure est, comme pour lapproche semi-probabiliste, dcrit par un tat limite mais les incertitudes lies aux paramtres dentre sont introduites sous forme de loi de probabilit affecte chaque variable. Ces lois de probabilit sont tablies partir dtudes statistiques sur les paramtres concerns.

Lapproche probabiliste consiste alors calculer la probabilit de dpassement du critre dtat limite, appele probabilit de dfaillance Pf, que lon compare une probabilit de dfaillance acceptable Pf 0 :

0( )= < f fP P R S P Lapproche probabiliste est sduisante puisquelle permet de prendre en compte un trs large spectre dincertitudes. Cependant, elle est limite par le manque dtudes statistiques concernant les diffrentes variables dentre et la complexit des calculs de probabilit. De plus, les diffrentes variables dentre prsentent souvent des corrlations difficiles dtecter et pouvant varier dans de fortes proportions dun ouvrage un autre ; le traitement de ces corrlations ncessiterait des calculs complexes et surtout la collecte dune volumineuse quantit de donnes pour chaque ouvrage trait. Par ailleurs, lapproche probabiliste ncessite la dfinition dune probabilit de dfaillance acceptable qui est une notion difficile apprcier et donc quantifier.

On prsente dans le Tableau 1 un comparatif des trois approches introduites prcdemment dtaillant la nature des paramtres, des incertitudes et du calcul dans chacun des cas.

Dterministe Semi-probabiliste Probabiliste

Paramtres Dterministe Fractile Variable alatoire

Incertitudes Coefficient global Coefficients partiels Lois de probabilit

Calcul Dterministe Dterministe Probabiliste

Tableau 1 : Comparatif des diffrentes approches d'valuation de la performance des structures.



3 - Principes de lvaluation de la performance des ouvrages dart

3.1 - Performance des ouvrages neufs Lvaluation de la performance des ouvrages neufs est motive par leur dimensionnement en vue de leur construction. La dmarche consiste valuer les charges que doit supporter louvrage pour remplir sa fonction et choisir les matriaux et la gomtrie de la structure permettant de supporter ces charges selon des critres de fonctionnement de louvrage prdfinis.

La performance de louvrage sa conception est rgie par un rglement, qui fixe les matriaux et les charges envisager ainsi que les critres de fonctionnement acceptables. Le formalisme semi-probabiliste est bien adapt la conception des ouvrages dart car il permet dtablir des rglements faciles mettre en uvre. De plus, il couvre une large gamme dincertitudes et permet donc dintgrer les carts entre les grandeurs prvues et celles rellement mises en uvre ainsi que lvolution des diffrents paramtres au cours de la vie de louvrage. Par ailleurs, les cots induits par les marges introduites par le rglement restent assez faibles devant le cot total de louvrage neuf.

3.2 - Performance des ouvrages existants Lvaluation de la performance des ouvrages existants peut intervenir au cours de la vie de louvrage pour diverses raisons : modifier les conditions dexploitation de louvrage ; prvenir les risques lis lvolution de lenvironnement ou de la rglementation ; diagnostiquer des pathologies observes sur louvrage. Lapproche de lvaluation des ouvrages existants est diffrente de celle adopte pour les ouvrages neufs. Les rglements, conus pour dimensionner les ouvrages neufs, ne savrent pas toujours adapts pour lvaluation des ouvrages existants et les marges de scurit peuvent dpasser celles quil est raisonnable dattendre dun ouvrage existant. En effet, le rglement en vigueur peut fixer des marges plus svres ou imposer des caractristiques de matriaux et de charges plus strictes que celles prises la conception de louvrage. De plus, le rglement ne permet pas de tenir compte du fait que louvrage soit construit, et notamment de la possibilit de mesurer certains paramtres par une auscultation ou une instrumentation de louvrage. Par ailleurs, si on peut intgrer une nouvelle valeur de paramtre dans lvaluation, il est difficile de tenir compte de la prcision de cette mesure.

Il est donc ncessaire de dvelopper une mthodologie dvaluation spcifique aux ouvrages existants. Lvaluation de louvrage passe, dans un premier temps, par une collecte dinformations sur louvrage (documentations existantes, investigations sur site). Ensuite, diffrents niveaux de calculs de complexit croissante peuvent tre envisags selon les besoins. Le rglement britannique BA 79 [2] classe les mthodes de calcul en 5 niveaux selon leur degr de sophistication et les ncessits lies au fonctionnement de louvrage (Figure 2) ; ce modle 5 niveaux a t repris dans le projet europen BRIME [4] : Niveau 1 : application directe du rglement en vigueur pour les ouvrages neufs sur un modle simple. Niveau 2 : application directe du rglement en vigueur pour les ouvrages neufs sur un modle complexe. Niveau 3 : application du rglement en vigueur pour les ouvrage sneufs avec prise en compte dune

meilleure connaissance des rsistances et des charges (rsultats de linspection, rserve de capacit portante).

Niveau 4 : modulation des coefficients partiels de scurit du rglement en fonction du type douvrage, du rgime dentretien et de maintenance, des rsultats de linspection.

Niveau 5 : valuation probabiliste de louvrage.



Les niveaux 1 3 ne sont pas traits dans cette tude ; ils font lobjet de ltude portant sur les Mthodes courantes dvaluation structurale [11]. Une premire approche du niveau 4 y est galement prsente. La prsente tude vise dvelopper les outils mthodologiques ncessaires pour complter le niveau 4 et mettre en application le niveau 5 de lvaluation structurale.

Lors dune valuation, on commence par le niveau le moins complexe et on passe au niveau suprieur si la performance de louvrage nest pas assure et si la vrification nest pas trop coteuse vis--vis de lobjectif vis pour louvrage.

La procdure dvaluation de louvrage existant conduit une prise de dcision : pas dintervention ; surveillance plus ou moins avance ; restriction de trafic ; renforcement/rparation ; remplacement.

Figure 2 : Mode opratoire de lvaluation des ouvrages existants selon le rglement britannique BA 79 tir de Cremona, 2005 [7].



Chapitre II Introduction la thorie de la

fiabilit La thorie de la fiabilit repose sur une approche probabiliste de la scurit structurale. Elle vise valuer la probabilit de dfaillance de la structure : connaissant un critre dtat limite de la structure ainsi que la variabilit des paramtres qui interviennent dans ce critre, la probabilit de dfaillance est dfinie comme la probabilit que ce critre soit dpass. La structure est finalement considre comme sre si cette probabilit de dfaillance est infrieure une valeur rfrence appele probabilit de dfaillance acceptable.

Ce chapitre prsente les principes qui sous-tendent cette thorie ainsi que ses possibilits dapplication lvaluation de la scurit des structures. Les notions introduites dans ce chapitre sont dtailles dans lAnnexe 1, plus dinformations pouvant tre trouves dans Cremona, 2005 [7].

1 - Principes de la thorie de la fiabilit 1.1 - Mode de dfaillance et fonction dtat limite

Lvaluation de la scurit structurale commence par la dfinition du mode de dfaillance que lon veut tudier, cest--dire la localisation de llment de structure concern, les proprits mcaniques des matriaux, les sollicitations soumises ainsi que le modle liant rsistance et sollicitations. Notons que le niveau de fiabilit obtenu dpendra donc du mode de dfaillance choisi.

Le mode de dfaillance permet ainsi de dfinir la marge de scurit ou fonction dtat limite respecter. Cette fonction dtat limite, note g, fait intervenir diffrents paramtres gomtriques ou physiques du systme tudi.

Notons : R la rsistance du matriau constitutif de la structure ; S les sollicitations imposes la structure. On peut crire la marge de scurit M et la fonction dtat limite g sous la forme gnrale :

( ),=M g R S En se plaant dans lespace physique, espace form par R et S, on remarque que la fonction dtat limite permet de diviser lespace physique en 3 domaines (Figure 3) : g (R, S) < 0 : domaine de dfaillance ; g (R, S) = 0 : tat limite ; g (R, S) > 0 : domaine de scurit.



Figure 3:Domaine de dfaillance, tat limite et domaine de scurit.

1.2 - Variables alatoires et lois de probabilit Dans le cadre de la thorie de la fiabilit, les paramtres intervenant dans la fonction dtat limite peuvent tre dfinis comme alatoires pour tenir compte des incertitudes qui planent sur leur valeur. On les appelle alors variables alatoires et on leur affecte une loi de probabilit qui dcrit leur variabilit (Figure 4) . On caractrise gnralement les lois de probabilit par leur valeur moyenne et leur cart-type ou leur coefficient de variation CdV, dfini comme le rapport de lcart-type sur la moyenne.

Dans lvaluation des structures par la thorie de la fiabilit, on utilise couramment : la loi normale : elle apparat naturellement dans les phnomnes alatoires dont la base physique est de

nature microscopique mais observe lchelle macroscopique. En dautres termes, la distribution gaussienne est la loi de toute variable dont les valeurs rsultent de la contribution dune multitude de facteurs indpendants. Elle traduit gnralement bien les erreurs de prcision dimplantation et les grandeurs gomtriques. La loi normale est enfin souvent adopte comme approximation dautres lois ;

la loi lognormale : elle apparat dans les phnomnes issus du produit dune multitude de facteurs. Elle est trs utilise dans la modlisation de donnes hydrologiques, mais galement dans la construction de modle liant lamplitude des sismes avec leurs intervalles doccurrence. Elle est parfois utilise par dfaut, pour reprsenter les caractristiques physiques des matriaux et certaines sollicitations permanentes ne changeant pas de signe ;

les lois de valeurs extrmes : la modlisation des variables dans une analyse de la fiabilit ncessite souvent de considrer des valeurs extrmes (par exemple, la plus grande charge quune structure aura subir pendant une priode donne ou la rsistance la plus petite dans un matriau fibr). Il est possible dtablir que seules six lois dextrmes existent, trois pour les maxima et trois pour les minima, appeles lois de Gumbel, lois de Frchet et lois de Weibull.



Figure 4 : Distribution dune variable alatoire Z suivant une loi normale ( gauche) et lognormale ( droite).

Notons que toutes les variables intervenant dans la fonction limite ne sont pas ncessairement alatoires, certaines pouvant tre dfinies comme dterministes.

1.3 - Probabilit de dfaillance et indice de fiabilit La thorie de la fiabilit permet donc, partir dune fonction dtat limite et des lois de probabilit associes ces variables alatoires, de connatre la probabilit Pf de se trouver dans le domaine de dfaillance :

( )( ), 0 ( 0)= < =



On peut donner une interprtation gomtrique de lindice de fiabilit en se plaant dans un espace normalis correspondant lespace physique, cest--dire en considrant que les variables alatoires suivent une loi normale de moyenne nulle et dcart-type unitaire1. On peut alors reprsenter gomtriquement lindice de fiabilit comme la distance entre lorigine O de lespace normalis et la courbe dtat limite. Le point de ltat limite ainsi identifi est appel point de fonctionnement Z (Figure 6). On note

r le vecteur unitaire portant

(ZO) :

RS

ZO

= =

uuur r

Les composantes R et S de r

sont appeles cosinus directeurs : elles donnent le poids relatif de chacune des variables sur lindice de fiabilit . On peut galement mesurer la sensibilit de cet indice aux variations de la moyenne (respectivement de lcart-type ) de R ou de S en tudiant leur coefficient de sensibilit Sm (respectivement Ss) :

m set S S

= =

Figure 6 : Reprsentation gomtrique de lindice de fiabilit , du point de fonctionnement Z0 et des cosinus directeurs .

1.4 - Mthodes de calcul En pratique, on recourt des mthodes destimation pour calculer lindice de fiabilit . On distingue deux types de mthode (Figure 7) : Mthodes de niveau II : on reprsente la fonction dtat limite g par une surface approchante :

un hyperplan dans le cas de la mthode FORM (First Order Reliability Method) ; une hyperparabolode dans le cas de la mthode SORM (Second Order Reliability Method).

1 Notons que si les variables alatoires suivent une loi quelconque, il existe des transformations dites iso-probabilistes permettant de les ramener des variables normales, centres et rduites.



Lindice de fiabilit est alors donn par la distance entre lorigine O de lespace normalis et cette surface ; on en dduit la probabilit de dfaillance Pf = ( ).

Mthodes de niveau III : on procde un tirage alatoire des couples de valeurs des variables alatoires R et S et on vrifie pour chaque couple sil y a dfaillance ou non ; la probabilit de dfaillance Pf est dfinie comme le rapport entre le nombre de tirages ayant conduit la dfaillance et le nombre total de tirages. Ce type de mthode requiert un grand nombre de tirages pour obtenir des rsultats fiables et peut donc se rvler trs coteuse en terme de temps de calcul.

Figure 7 : Mthodes d'estimation de la probabilit de dfaillance Pf :

mthodes de niveau II ( gauche) et mthodes de niveau III ( droite).

2 - Applications de la thorie de la fiabilit 2.1 - Application directe lvaluation de la structure

La thorie de la fiabilit permet donc de connatre lindice de fiabilit (ou la probabilit de dfaillance) dune structure. Dans le cadre dune application directe de cette thorie lvaluation de la scurit de la structure, il convient de se fixer une valeur rfrence de cet indice de fiabilit, traduisant un niveau de scurit que lon juge acceptable : on appelle cette valeur lindice de fiabilit cible 0. La structure sera alors juge sure, vis--vis dun mode de dfaillance donn, si elle vrifie :

0 La valeur de lindice de fiabilit cible est difficile apprhender puisquelle traduit le niveau de scurit que lon veut se fixer et quelle dpend ainsi, entre autres, de la dure de vie de louvrage, des consquences engendres par sa ruine ou des critres conomiques lis son entretien et son remplacement.

2.2 - Application au dveloppement dune approche semi-probabiliste

La thorie de la fiabilit permet galement de dvelopper une approche semi-probabiliste de la scurit des constructions. En effet, nous avons vu que lindice de fiabilit de la structure tait fonction des variables alatoires et plus particulirement de leur moyenne et de leur cart-type . La vrification de la relation ci-dessus peut donc se transformer de sorte que :

( ) ( ) ( )R R S S 0 d R R 0 d S S 0, , , , , , , f R S = o Rd et Sd sont les valeurs de calcul respectives de la rsistance R et de la sollicitation S.

On peut alors dfinir les coefficients partiels comme le rapport entre les valeurs reprsentatives Rk et Sk fournies au projeteur et les valeurs de calcul Rd et Sd :



dkR Sd k

et SR R S

= =

La thorie de la fiabilit est ainsi la base des normes Eurocodes traduits sous forme semi-probabiliste.

La thorie de la fiabilit permet de dvelopper une approche probabiliste de la scurit des constructions, permettant ainsi la prise en compte dun large spectre dincertitudes sur les diffrents paramtres du systme tudi.

Cette approche prsente nanmoins des difficults dapplication. En effet, elle repose sur la connaissance des lois de probabilit associes aux variables dentre : or, il savre souvent difficile dobtenir des donnes statistiques suffisantes. Dautre part, lorsque ltat limite considr est complexe, les calculs de fiabilit peuvent rapidement devenir insurmontables. Enfin, son application lvaluation de la scurit dune structure passe par la dfinition dun indice de fiabilit cible auquel comparer lindice de fiabilit obtenu pour la structure.



Chapitre III Mthodologie de ltude

Lobjectif de cette tude est de mettre en application la thorie de la fiabilit pour valuer la performance des ouvrages neufs ou existants.

On sattachera dans un premier temps dfinir lindice de fiabilit cible 0 reprsentant le niveau de scurit requis. partir de cet indice de fiabilit cible, la thorie de la fiabilit va permettre : dvaluer les ouvrages neufs ou existants par approche probabiliste ; dactualiser les coefficients partiels de lapproche semi-probabiliste pour lvaluation des ouvrages existants.

1 - Dtermination de lindice de fiabilit cible 0 1.1 - Dfinition de lindice de fiabilit cible

Nous avons vu que la dfinition de lindice de fiabilit cible tait une question complexe. Une approche classique consiste calibrer cet indice de fiabilit cible sur les rglements en vigueur. Cette approche est pertinente si on considre le rglement comme optimal, cest--dire offrant un bon compromis entre conomie et scurit. Il faut toutefois garder lesprit que cet indice dpend du type dtat limite considr, des consquences de la dfaillance et de la priode de rfrence considre.

LEN 1990 dfinit trois classes de consquences de dfaillance, CC1 (faibles) CC3 (leves), afin de diffrencier les niveaux de fiabilit requis. ces classes de consquences sont associes des classes de fiabilit RC1 RC3. Cest la classe CC2 (consquences moyennes) qui est recommande pour les ouvrages dart : la classe de fiabilit associe RC2 prescrit lapplication des coefficients partiels prvus dans les Eurocodes sans modification. Des valeurs dindice de fiabilit cible sont ainsi prescrites dans lannexe C.6 de lEN 1990 selon le type dtat limite considr, pour une priode de rfrence de 1 an et 50 ans (Tableau 2). On peut en dduire les indices 100 ans, dure de projet prescrite pour les ouvrages dart, partir de la formule :

( ) ( ) nn 1 = Ces indices cibles devant tre valides pour une large gamme douvrages, ils peuvent savrer trs scuritaires pour certains dentre eux.

Priode de rfrence

tat limite 1 an 50 ans 100 ans

Ultime 4,7 3,8 3,7

Service 2,9 1,5 1,0

Tableau 2 : Indices de fiabilit cibles 0 en fonction de ltat limite et de la priode de rfrence pour une classe de fiabilit RC2 (valeurs donnes dans le tableau C.2 de lannexe C de lEN 1990 1 an et 50 ans et calcules partir de la formule C.3 100 ans).

Dans les calculs mens dans ce rapport, lindice de fiabilit cible considr nest pas pris gal lindice cible de lEN 1990 (Tableau 2). Ce choix rsulte dune part du fait que les sollicitations dues aux charges de trafic sont



conserves dterministes et gales aux sollicitations de lEN 1991-2. Aussi, cette variabilit ntant pas prise en compte, lindice cible calcul diffrera de lindice cible de lEN 1990. Dautre part, lEN 1990 fixe les indices cibles associs des probabilits de dfaillance socitales acceptables. Ils sont souvent peu reprsentatifs des pratiques de conception qui ont tendance conduire des indices de fiabilit plus levs. Il faut donc les voir comme des valeurs plancher .

Dans un souci de cohrence avec les pratiques de dimensionnement, un indice de fiabilit cible a t recalcul pour chaque ouvrage sur la base dun dimensionnement strict aux tats limites. La performance de louvrage est value en comparant son indice de fiabilit rel cet indice cible.

Un indice cible sera calcul pour chaque tat limite (service et ultime) et pour une priode de rfrence de 100 ans, dure de projet prescrite pour les ouvrages dart neufs dans les Eurocodes.

1.2 - Calcul de lindice de fiabilit cible Lindice de fiabilit cible dun ouvrage est donc dfini comme lindice de fiabilit de cet ouvrage strictement dimensionn aux Eurocodes. Lindice dpendant du type dtat limite considr, deux indices de fiabilit cibles seront calculs pour chaque ouvrage, lun pour ltat Limite de Service (ELS) et lautre pour ltat Limite Ultime (ELU), suivant la mthode dtaille ci-dessous.

1.2.1 - Dimensionnement str ict aux Eurocodes

La premire tape du calcul de lindice de fiabilit cible est de dimensionner strictement louvrage considr aux Eurocodes, cest--dire en dimensionnant ltat limite. On commence par identifier la section et la vrification sur laquelle on va travailler, ainsi que le paramtre qui sera dimensionn, les autres paramtres (gomtriques ou physiques) restant identiques ceux de louvrage tudi.

Le rglement impose une vrification liant la rsistance et les sollicitations :

kd S k dR

RR S S

= =

Si on choisit de dimensionner la rsistance R, sa valeur stricte aux Eurocodes R0 sexprime en fonction des coefficients partiels de scurit, de sorte que :

0 R S kR S=

1.2.2 - Calcul de l indice de f iabil i t cible

Le calcul de lindice de fiabilit de louvrage strictement dimensionn aux Eurocodes se fait donc selon les principes exposs au chapitre II section 1. Mode de dfaillance et fonction dtat limite Le mode de dfaillance est impos par la section et par la vrification retenues pour le dimensionnement. La fonction dtat limite se dduit de la prescription du rglement en remplaant les valeurs de calcul (valeurs caractristiques et coefficients partiels) par leur variable alatoire associe :

g R S= Variables alatoires et lois de probabilit Les paramtres intervenant dans la fonction dtat limite sont donc considrs comme alatoires : on leur associe une loi de probabilit, caractrise par sa valeur moyenne et son cart-type (ou son coefficient de variation CdV).

Si les valeurs de mesure donnes par le rglement sont des valeurs caractristiques, on calcule la moyenne de leur variable alatoire associe selon la relation :



R R k S S ket R S= = o R et S sont appels biais.

Les proprits des variables alatoires sont rsumes dans le Tableau 3.

Variable Valeur nominale Loi de

probabilit Biais cart-type Coefficient de variation

Rsistance R R0 = RSSk Loi R R R CdVR

Sollicitation S Sk Loi S S S CdVS

Tableau 3 :Variables alatoires et lois de probabilit associes pour le calcul de 0 (paramtre dimensionn en jaune).

Si le nombre de paramtres intervenant dans la fonction dtat limite est trs important, on pourra conserver comme variables alatoires les paramtres sur lesquels les incertitudes sont les plus grandes et fixer les autres paramtres comme dterministes, afin de limiter la complexit et les temps de calcul. Calcul de lindice de fiabilit cible Lindice de fiabilit cible est alors calcul comme lindice de fiabilit de cet ouvrage strictement dimensionn aux Eurocodes :

( ) ( )( )10 R 0 R S k S , , 0 P R R CdV S S CdV =



2.1 - Performance des ouvrages la conception La performance dun ouvrage neuf est value en comparant lindice de fiabilit de louvrage lindice de fiabilit cible 0.

Lindice de fiabilit cible ayant t dfini la section prcdente, il ne reste donc plus qu calculer lindice de fiabilit de louvrage tudi. Celui-ci est dtermin suivant la mme mthodologie que celle adopte pour le calcul de lindice 0. Mode de dfaillance et fonction dtat limite On conserve le mode de dfaillance et la fonction dtat limite prcdemment tablis :

g R S= Variables alatoires et lois de probabilit On conserve les variables alatoires et leur loi de probabilit ; seule la valeur nominale du paramtre dimensionn change pour retrouver sa valeur de mesure. Notons que cette valeur de mesure doit vrifier les conditions imposes par le rglement lELS et lELU.

Les proprits des variables alatoires sont rsumes dans le Tableau 5.



Rsistance R Rk Loi R R R CdVR

Sollicitation S Sk Loi S S S CdVS

Tableau 5 :Variables alatoires et lois de probabilit associes pour le calcul de (en bleu, le changement par rapport au Tableau 3).

Calcul de lindice de fiabilit Lindice de fiabilit de louvrage neuf est alors donn par :

( ) ( )( )1 R k R S k S , , 0 P R R CdV S S CdV =



2.2 - Actualisation du niveau de performance des ouvrages existants

Lindice de fiabilit traduit le niveau de performance de louvrage sa conception. Toutefois, nous avons vu quil pouvait savrer ncessaire de rvaluer ce niveau de performance au cours de la vie de louvrage. Pour ce faire, on se base sur des relevs et des mesures sur site des paramtres de rsistance (caractristiques physiques et gomtriques des matriaux) et/ou de sollicitations (charges supportes par louvrage).

Dans le cadre de lapproche probabiliste (calculs de niveau 5), on actualise le niveau de performance de louvrage en intgrant dans le calcul de lindice de fiabilit les nouvelles informations obtenues par linspection de louvrage et on compare le nouvel indice de fiabilit 1 obtenu lindice de fiabilit cible 0. Le calcul de lindice de fiabilit actualis 1 suit le mme principe celui de lindice de fiabilit de louvrage neuf. Mode de dfaillance et fonction dtat limite On conserve le mode de dfaillance et la fonction dtat limite prcdemment tablis :

g R S= Variables alatoires et lois de probabilit On conserve les variables alatoires et leur loi de probabilit mais on intgre la nouvelle information en modifiant la valeur moyenne et le coefficient de variation du ou des paramtre(s) mesur(s) linspection.

Supposons que linspection porte sur la sollicitation S, fournissant ainsi une nouvelle valeur de sollicitation S1 avec une prcision de mesure CdVS1. Il faut donc procder au changement de la valeur moyenne de S, ou encore au changement du biais S1 :

S1S1

k

S=

ainsi quau changement de son coefficient de variation. Les proprits des variables alatoires sont rsumes dans le Tableau 7.

Variable Valeur nominale

Loi de probabilit Biais cart-type

Coefficient de variation

Rsistance R Rk Loi R R R CdVR

Sollicitation S Sk Loi S S1 S1 CdVS1

Tableau 7 :Variables alatoires et lois de probabilit associes pour le calcul de 1 (en bleu, les changements par rapport au Tableau 5).

Calcul de lindice de fiabilit Lindice de fiabilit 1 de louvrage existant est alors donn par :

( ) ( )( )11 1 1 , , 0 =



Cosinus directeurs 1 1,R 1,S

Sensibilit la moyenne Sm1 Sm1,R Sm1,S

Sensibilit lcart-type Ss1 Ss1,R Ss1,S

Rsistance R Sollicitation S

Tableau 8 : Rsultats du calcul de lindice de fiabilit 1 de louvrage existant.

Louvrage existant est considr comme sr sil vrifie :

1 0 On peut galement tenir compte dans lactualisation de la reprsentativit de la mesure obtenue lors de linspection : on peut, par exemple, nintgrer que les mesures dinspection dont le coefficient de variation est faible. On parle alors dactualisation conditionnelle ou baysienne ; nous naborderons par ce volet dans cette tude.

3 - Actualisation de coefficients partiels Nous avons vu que, si lapproche probabiliste permettait dactualiser avec prcision la performance dun ouvrage au cours de sa vie, les calculs pouvaient savrer complexes. Dans le cadre de lvaluation dun ouvrage existant, on prfrera, dans un premier temps, adopter une approche semi-probabiliste, plus facile mettre en uvre. Nanmoins, lapplication directe de lapproche semi-probabiliste ne permet de prendre en compte que les valeurs des mesures de linspection et pas leur prcision (calculs de niveau 3).

Dans cette partie, on se propose dactualiser (ou recalibrer) les coefficients partiels des Eurocodes afin quils puissent intgrer les informations fournies par les inspections et quils puissent ainsi tre utiliss pour lvaluation des ouvrages existants avec un formalisme semi-probabiliste, tout en assurant un niveau de scurit identique celui des mthodes probabilistes (calculs de niveau 4). Il a ainsi t retenu le principe selon lequel il est souhaitable que le niveau de performance de louvrage existant lELU soit comparable celui requis pour un ouvrage neuf (cf. norme ISO 13822:2001 [9]).

Ltat Limite Ultime, relatif lintgrit structurale de louvrage, a t privilgi dans cette tude.

3.1 - Choix des coefficients partiels actualiser Dans un premier temps, il faut choisir les paramtres qui feront lobjet dune recalibration, ainsi que les nouvelles valeurs de mesure et de dispersion de ces paramtres. Ce choix peut se baser sur deux facteurs : les paramtres couramment mesurs lors des inspections douvrages existants (et les plages de valeurs et

prcisions couramment obtenues) ; les rsultats des calculs de fiabilit (cosinus directeurs, sensibilits) qui donnent les paramtres ayant une

influence sur lindice de fiabilit de louvrage.

Il a t dcid que chaque recalibration porterait exclusivement sur le coefficient partiel correspondant au paramtre dont la valeur et/ou la dispersion est modifie, en cohrence avec les pratiques des mthodes courantes dvaluation. Si aucun coefficient partiel napparat de manire explicite dans le rglement, il est possible den introduire un en lui fixant une valeur initiale gale 1.

3.2 - Actualisation dun coefficient partiel Considrons par exemple les rsultats dinspection de la sollicitation S prcdemment retenus avec une nouvelle moyenne S1 et un nouveau coefficient de variation CdVS1 ; lactualisation portera donc sur le coefficient partiel S.



La nouvelle valeur moyenne et la nouvelle dispersion permettent de calculer un indice de fiabilit acceptable 0 qui dpend de S :

( ) ( )( )10 S R R S k R S1 k S1 ( ) , , 0 P R S CdV S S CdV =



On dispose dsormais de grilles de coefficients partiels permettant dactualiser le niveau de performance de louvrage en fonction de la mesure dun de ses paramtres. Se pose dsormais la question de lactualisation simultane ou successive de plusieurs paramtres : en effet, on doit sassurer que les coefficients partiels recalibrs, calculs indpendamment, sont utilisables conjointement, tout en assurant le mme niveau de fiabilit. Pour ce faire, on calcule pour chaque combinaison de coefficients partiels, lindice de fiabilit acceptable correspondant.

Si on veut vrifier la pertinence de la combinaison dune mesure sur la rsistance R de R1 et CdVR1 et dune mesure sur la sollicitation S de S1 et CdVS1 , on calcule lindice de fiabilit cible correspondant ces paramtres :

( ) ( ) ( )( )11 11 1 11 110 R S R1 R S k R1 S1 k S1 , , , 0 P R S CdV S S CdV =



Considrant une inspection qui fournit une nouvelle valeur moyenne S1 et un nouveau coefficient de variation CdVS1 de la sollicitation S, on calcule la valeur du biais correspondant S1 :

S1S1k

S=

et on relve dans le tableau le coefficient partiel recalibr 11S correspondant S1 et CdVS1.

On value finalement la performance de louvrage par application du rglement semi-probabiliste dans lequel on remplace S par 11S . Louvrage est sr sil vrifie :

11k S kR

R S

Notons que la vrification est conduite ici avec les valeurs nominales Rk et Sk de louvrage neuf puisque le coefficient partiel recalibr 11S prend la fois en compte la nouvelle mesure et sa prcision.

Lutilisation des grilles de coefficients ne ncessite pas de calcul de fiabilit.

Notons finalement que les grilles de coefficients partiels dfinies dans cette tude ne sont valables que pour louvrage tudi. Pour pouvoir les utiliser pour lvaluation douvrages existants, il est ncessaire de les valider sur un grand nombre douvrages reprsentatifs et dtablir ainsi des grilles pour chaque famille douvrages courants ; ce point est repris et dvelopp dans les perspectives de ltude.



Chapitre IV Outils et rfrences

1 - Dfinition des modes de dfaillance et des fonctions dtat limite Nous avons choisi de baser notre tude sur les Eurocodes. Les indices de fiabilit cibles seront ainsi calculs en respectant les prescriptions de lEN 1991 pour les sollicitations et de lEN 1992 pour le comportement des ouvrages en bton arm et prcontraint. Pour chaque ouvrage, les vrifications sont conduites lELS et lELU.

Le dimensionnement strict aux Eurocodes, ncessaire au calcul de lindice de fiabilit cible, adopte une dmarche similaire celle adopte couramment pour le dimensionnement des ouvrages neufs ; il peut sappuyer sur les guides du projeteur.

Les fonctions dtat limite dcoulent de la vrification retenue lors du dimensionnement strict aux Eurocodes.

2 - Dfinition des variables alatoires et des lois de probabilit Nous avons vu que lune des tapes les plus complexes de la thorie de la fiabilit rsidait dans le choix des lois de probabilit associes aux paramtres : en effet, les statistiques sur les matriaux et les structures sont souvent difficiles obtenir.

Dans le cadre de cette tude, nous avons identifi les paramtres qui interviennent gnralement dans le calcul des ouvrages dart en bton arm et prcontraint et nous avons entrepris, sur ces diffrents paramtres, une recherche bibliographique sappuyant sur des normes (rglement britannique BD79 [3], normes produits europennes), des documents issus de groupe de travail europens (JCSS Probabilistic model code [10]) et des articles scientifiques.

Les lois de probabilit retenues dans cette tude sont issue de Cremona, 2010 [7] et sont prsentes dans le Tableau 14 ; notons que cette liste est non exhaustive et que les lois de probabilit proposes le sont titre indicatif.

Variable alatoire Type de loi Moyenne Biais cart-type CdV

Dimensions des sections : nom + (o suit la loi donne ici) normale 0 1,00 10 mm

Superstructures normale nom. 1,00 20% Poids propre du bton normale 25 kN/m3 1,00 5% Rsistance en compression du bton - prfabriqu lognormale 1,1 nom. 1,10 5% - coul en place lognormale 1,2 nom. 1,20 10% Rsistance la traction du bton lognormale 0,3 fck2/3 1,00 20%



Module dYoung du bton normale 22000 fck0,3 1,00 8% Limite dlasticit des aciers passifs lognormale 1,15 nom. 1,15 5% Rsistance ultime aciers passifs lognormale 1,15 fe 1,00 5% Allongement ultime aciers passifs lognormale 0,08 1,00 15% Enrobage : nom + (o suit la loi donne ici) - dalle normale 0 1,00 5 mm - poutre normale 0 1,00 5 mm Section darmatures normale nom. 1,00 2% Rsistance ultime des cbles de prcontrainte lognormale nom. 1,00 4% Position de prcontrainte : nom + (o suit la loi donne ici)

- dalle normale 0 1,00 10 mm - poutre normale 5 mm 1,00 20 mm Force prcontrainte initiale normale nom. 1,00 4 ou 6 % Pertes normale nom. 1,00 30% Prcontrainte finale normale nom. 1,00 6 ou 9 %

Tableau 14 : Paramtres intervenant dans lvaluation des ouvrages dart en bton arm et prcontraint et lois de probabilit utilises dans cette tude.

3 - Utilisation de loutil ReliabTbx ReliabTbx est un programme permettant de mener des calculs de fiabilit. Il a t dvelopp dans lunit Scurit et Durabilit des Ouvrages de lIFSTTAR (anciennement Section Durabilit des Ouvrages dArt du LCPC) partir des annes 90. Il se prsente sous la forme dune bote outils utilisable sous Matlab. Dans cette tude, nous avons essentiellement utilis la version ReliabTbx R1.5.

Nous ne prsentons ici que les fonctionnalits qui ont t utilises dans ltude ; pour plus dinformations se reporter la notice dutilisation ReliabTbx Release 1.5 Getting started [8].

3.1 - Principes gnraux dutilisation

3.1.1 - Fichiers sources

Les calculs de fiabilit sous ReliabTbx sont bass sur 3 fichiers Matlab : le fichier dimensionnement, donnant la vrification impose par le rglement ; le fichier tat limite, donnant la fonction dtat limite ; le fichier variables, prsentant les variables alatoires et leurs caractristiques. Fichier dimensionnement

Le fichier dimensionnement, not nomdelouvrage_el0.m, se prsente sous la forme : function Rd0=nomdelouvrage_el0(z) Rd=z(1); Sd=z(2); %dimensionnement Rd0=Sd ;

Il donne lquation liant la variable dimensionne Rd0 aux autres paramtres z(i).



Fichier tat l imite

Le fichier tat limite, not nomdelouvrage_el.m, se prsente sous la forme : function g=nomdelouvrage_el(z) R=z(1); S=z(2); {R,S} ; %fonction d'tat limite g=R-S ;

Il exprime ltat limite g en fonction des paramtres z(i) qui interviennent dans son calcul.

Fichier variables

Le fichier variables, not nomdelouvrage_var.m, se prsente sous la forme : function var=nomdelouvrage_var % Variable rsistance R var(1).nom='Rsistance' ; var(1).type= ; var(1).par1= ; var(1).par2= ; var(1).biais= ; var(1).gamma=[ ; ] ; % Variable sollicitations S var(2).nom='Sollicitations' ; var(2).type= ; var(2).par1= ; var(2).par2= ; var(2).biais= ; var(2).gamma=[ ; ] ;

Il donne pour chaque variable alatoire ses caractristiques : le nom var(i).nom ; la loi de probabilit var(i).type (1, loi normale, 2, loi lognormale, 4, loi de Gumbel) ; la moyenne var(i).par1 ; lcart-type var(i).par2 ; le biais var(i).biais ; le coefficient partiel var(i).gamma, sous la forme dun vecteur dont le premier argument donne la valeur

du coefficient et le deuxime indique sil fait lobjet dune recalibration (0 pour non, 1 pour oui).

3.1.2 - Commandes ReliabTbx

Dans le cadre de cette tude, trois commandes de ReliabTbx ont t utilises : fiabdesign : pour le calcul des indices de fiabilit acceptables ; fiabcom : pour le calcul des indices de fiabilit des ouvrages rels (neufs ou existants) ; calib_coeff : pour la recalibration des coefficients partiels. Les options du calcul ont t finalement fixes avec la commande fiabset.



Fiabdesign

La commande fiabdesign se prsente sous la forme :

fiabB0=fiabdesign(fun,fun0,varfile,[],[],nvd,options)

Elle calcule lindice de fiabilit cible associ : la vrification semi-probabiliste fun0 (fichier Matlab nomdelouvrage_el0.m) ; ltat limite correspondant fun (fichier Matlab nomdelouvrage_el.m) ; les variables alatoires varfile (fichier Matlab nomdelouvrage_var.m). La variable dimensionne est prcise dans nvd.

Cette commande fournit : lindice de fiabilit cible beta ; la valeur de dimensionnement du paramtre choisi vardesign ; le point de fonctionnement z0 ; les cosinus directeurs alpha ; la sensibilit des paramtres aux variations de moyenne sens_m ; la sensibilit des paramtres aux variations dcart-type sens_s. Fiabcom

La commande fiabcom se prsente sous la forme :

fiabcomp=fiabcom(fun,varfile,[],[],options) Elle calcule lindice de fiabilit associ : ltat limite correspondant fun (fichier Matlab nomdelouvrage_el.m) ; les variables alatoires varfile (fichier Matlab nomdelouvrage_var.m). Les rsultats sont comparables ceux obtenus dans fiabdesign ( lexception de la variable de dimensionnement qui nintervient pas ici).

Calib_coeff

La commande calib_coeff se prsente sous la forme :

calib=calib_coeff(fun,fun0,varfile,[],Beta_0c,[],nvd,options)

Elle recalibre le(s) coefficient(s) partiel(s) associ(s) : la vrification semi-probabiliste fun0 (fichier Matlab nomdelouvrage_el0.m) ; ltat limite correspondant fun (fichier Matlab nomdelouvrage_el.m) ; les variables alatoires varfile (fichier Matlab nomdelouvrage_var.m). Lindice de fiabilit cible atteindre est prcis dans Beta_0c et la variable dimensionne dans nvd.

Cette commande fournit : lindice de fiabilit cible (ou lindice le plus proche obtenu) beta ; une matrice des coefficients partiels de scurit recalibrs gamma (si un seul coefficient fait lobjet dune

recalibration, les autres coefficients affichs sont identiques leur valeur initiale).



Fiabset

Les options des calculs de fiabilit sont prcises partir de la commande fiabset.

options=fiabset('type_res',1,'type_prob',6)

Les paramtres utiliss dans ltude sont : le type de rsultat 'type_res' : 1 donne les rsultats complets ; la mthode de calcul 'type_prob' : 6 indique la mthode des surfaces de rponse.

3.2 - Couplages avec des logiciels de calcul de structures ReliabTbx peut tre coupl avec un logiciel de calcul de structures pour dfinir le dimensionnement et ltat limite. Ce type de couplage est bien adapt pour le calcul des ouvrages neufs ou existants exceptionnels pour lesquels la modlisation est complexe et a ncessit lemploi de ces logiciels de calcul de structure. Notons nanmoins que le couplage allonge le temps des calculs de fiabilit et quil nest donc pas recommand pour la recalibration de coefficients partiels.

3.2.1 - Couplage avec Excel

On peut coupler les fichiers dimensionnement et tat limite avec une feuille de calcul Excel 'fichierExcel.xls' sur laquelle est programme le calcul de la structure. Pour ce faire, il faut modifier les valeurs des cellules Excel contenant les variables affectes par les calculs ReliabTbx grce la commande :

xlswrite('fichierExcel.xls',variable,'feuilleExcel','celluleExcel')

On rcupre le rsultat obtenu dans Excel grce la commande :

variable=xlsread('fichierExcel.xls','feuilleExcel','celluleExcel')

3.2.2 - Couplage avec ST1

On peut coupler les fichiers dimensionnement et tat limite avec un fichier ST1 fichierST1.st1 sur lequel est programm le calcul de la structure. Pour ce faire, il faut remplir un fichier de donnes donnees.dat contenant les variables affectes par les calculs ReliabTbx grce la commande : fid1=fopen('donnees.dat','w'); fprintf(fid1,'variable=%g\n',variable); status=fclose(fid1);

Ce fichier de donnes sera lu par ST1 en ajoutant dans le fichier ST1 : LIRE 'donnees.dat'. On lance ensuite ST1 depuis les fichiers dimensionnement et tat limite :

system('\ST1\ST1.exe fichierST1.st1')

On rcupre le rsultat dans le fichier rsultat resultat.txt cr par ST1 grce la commande : fid2='resultat.txt' variable=textread(fid2,'%f')



PARTIE 2

EXEMPLES DAPPLICATION



Prsentation des cas dtude Nous prsentons dans cette partie les tudes douvrages dveloppes par chaque CETE appliquant la mthodologie dtaille en partie I sur : deux ouvrages courants en bton arm : le pont poutres des Bouillres (CETE de lOuest) et le PICF de

Challuy (CETE de Lyon) ; un ouvrage en bton prcontraint : le VIPP de Merlebach (CETE Nord-Picardie) ; un grand ouvrage en bton prcontraint : la solution caisson du pont sur la rivire Saint-tienne (CETE

Mditerrane).

Chaque cas dtude suit le mme plan de prsentation (identique celui repris dans lexemple simple expos en Annexe 2) : Prsentation de louvrage. Calcul de lindice de fiabilit cible 0. valuation de louvrage par approche probabiliste. Actualisation de coefficients partiels. Exemple dapplication lvaluation de louvrage neuf et existant.

Analyse des rsultats Le Tableau 15 rcapitule les principales caractristiques et rsultats de chaque tude.

Les trois ouvrages existants (pont poutres des Bouillres, PICF de Challuy et VIPP de Merlebach) ont t initialement dimensionns suivant des rglements franais antrieurs et recalculs, dans le cadre de cette tude, aux Eurocodes. Pour ces ouvrages, cest la vrification la plus courante qui a t retenue lELS comme lELU dans les calculs de fiabilit, cest--dire la justification vis--vis de la flexion. Le projet du pont caisson sur la rivire Saint-tienne a t calcul initialement aux Eurocodes. Cest la vrification dimensionnante au stade du POA qui a t retenue dans les calculs de fiabilit, cest--dire la justification vis--vis du tranchant. Ltude a permis de formaliser les fonctions dtat limite correspondant aux vrifications retenues et didentifier, parmi les paramtres intervenant dans ces fonctions, les variables considres comme alatoires. Prcisons que les charges dexploitation nont pas t probabilises ce stade de ltude en raison de leur complexit ; un travail complmentaire est envisag pour tudier ce sujet.

Lindice de fiabilit cible 0 de chaque ouvrage est calcul lELS et lELU. Les indices obtenus lELS pour le pont poutres des Bouillres, le PICF de Challuy et le pont caisson sur la rivire Saint-tienne sont du mme ordre de grandeur (lgrement suprieurs 2), alors que celui du VIPP de Merlebach est plus faible (infrieur 1). Les indices obtenus lELU sont beaucoup plus importants que ceux de lELS (suprieurs 8).

La performance de louvrage la conception est value en comparant lindice de fiabilit de louvrage neuf son indice de fiabilit cible 0. On peut estimer la performance de chaque ouvrage tudi par son indicateur de performance probabiliste Ip, dfini comme le rapport entre son indice de fiabilit et son indice cible 0. Tous les ouvrages la conception ont un indicateur suprieur 1 lELS comme lELU, ce qui montre quils sont surs vis--vis de leur vrification respective. On remarque par ailleurs que, bien que leurs indices de fiabilit cibles lELS soient proches, le pont poutres des Bouillres a une rserve de scurit plus importante vis--vis de lELS que le PICF de Challuy et le pont caisson sur la rivire Saint-tienne. lELU en revanche, cest le pont poutres des Bouillres qui a lindicateur de performance le plus faible (trs proche de 1).



Pont poutres des Bouillres PICF de Challuy VIPP de Merlebach

Caisson BP sur la rivire Saint tienne

Rgle de calcul initiale Circ. Du 19 juillet 1934/ Circ. Du 10 mai 1927 et

du 29 aot 1940 BAEL/Fasc. 61 titre II IP1/Fasc. 61 titre I V Eurocodes

Calcul en fiabilit ReliabTbx ReliabTbx ReliabTbx ReliabTbx + ST1

Type dELS Caractristique Caractristique Caractristique Caractristique Paramtre de

dimensionnement Section darmature As Section darmature As Section de cble de

prcontrainte Ap paisseur dme du

caisson bw

Mode de dfaillance Flexion de la poutre de rive mi-trave Flexion de la traverse suprieure mi-porte

Flexion de la poutre de rive mi-trave

Tranchant des mes des voussoirs

Fonction dtat limite g g = As Ascalc g = Mrsistant Msollicitant g = inf + fct g = lim me

Variables alatoires

1. Hauteur de section h 2. Rsistance en compression du bton fc 3. Limite dlasticit des aciers fy 4. Enrobage des armatures c 5. Section darmatures As 6. Superstructures S 7. Poids volumique du bton b

1. Section darmatures As 2. Limite dlasticit des aciers fy 3. Hauteur de section h 4. Enrobage des armatures c 5. Superstructures S 6. Poids volumique du bton b

1. Contrainte initiale dans les cbles ini 2. Pertes de prcontraintes P 3. Section dun cble Ap 4. Poids volumique du bton b 5. Superstructures S 6. Contrainte de traction limite du bton fct

1. Rsistance en compression du bton fc 2. paisseur de lme du caisson bw 3. Prcontrainte de flau Kp,flau 4. Prcontrainte extrieure Kp,ext 5. Position des cbles e

Indice de fiabilit cible 0 2,5045 2,1310 0,9280 2,1359

ELS

Indice de fiabilit 5,8266 2,8843 2,0692 2,4283

Indicateur de performance Ip = /0 2,3265 1,3535 2,2297 1,1369

Paramtre de dimensionnement Section darmature As Section darmature As

Section de cble de prcontrainte Ap

Section daciers transversaux Asw/s

Mode de dfaillance Flexion de la poutre de rive mi-trave Flexion de la traverse suprieure mi-porte

Flexion de la poutre de rive mi-trave

Tranchant des mes des voussoirs

Fonction dtat limite g g = As Ascalc g = Mrsistant Msollicitant g = Mrsistant Msollicitant g = VR,s VE

Variables alatoires

1. Hauteur de section h 2. Rsistance en compression du bton fc 3. Limite dlasticit des aciers fy 4. Enrobage des armatures c 5. Section darmatures As 6. Superstructures S 7. Poids volumique du bton c

1. Section darmatures As 2. Limite dlasticit des aciers fy 3. Hauteur de section h 4. Enrobage des armatures c 5. Superstructures S 6. Poids volumique du bton c 7. Rsistance la compression du bton fc

1. Limite dlasticit des aciers fp0,1k 2. Section dun cble Ap 3. Poids volumique du bton c 4. Superstructures S

1. Limite dlasticit des aciers transversaux fyw 2. Hauteur utile zw 3. Prcontrainte de flau Kp,flau 4. Section daciers transversaux Asw/s 5. Position des cbles e

Indice de fiabilit cible 0 10,2760 8,1863 8,1100 11,2661

Indice de fiabilit 10,7725 10,2645 9,0497 13,1658 Indicateur de

performance Ip = /0 1,0483 1,2539 1,1159 1,1686

ELU

Coefficients recalibrs 5. Section darmatures A 6. Superstructures S 7. Poids propre G

1. Section darmatures A 5. Superstructures S

2. Section dun cble A 4. Superstructures S

1. Limite dlasticit des aciers transversaux s 4. Section daciers transversaux A

Tableau 15 : Principaux rsultats de lapplication de la thorie de la fiabilit aux ouvrages tudis.



Une actualisation de coefficients partiels est propose pour chaque ouvrage. Seuls les coefficients de lELU ont fait lobjet de cette actualisation ; en effet, lELU tant relatif lintgrit structurale de louvrage, cest cette approche qui a t privilgie. Ltude a permis didentifier les critres de slection des coefficients actualiser ainsi que les plages de variations des valeurs et des prcisions pour lesquelles ces coefficients sont valables. Nous avons retenu prioritairement les coefficients portant sur les sections dacier (passifs ou de prcontrainte) et les charges permanentes (poids propre et surtout superstructures) : on prsente en Tableau 16 les variations des coefficients partiels actualiss par rapport au coefficient partiel de louvrage neuf sur les sections dacier et les superstructures. Avec la mme loi de probabilit et les mmes gammes de variation du biais (de 0,80 1,20) et du coefficient de variation (1% 3%), on obtient des valeurs de coefficients partiels actualiss sur les sections dacier qui sont trs proches. Sur les charges de superstructures en revanche, on constate de plus grande disparits entre les diffrents ouvrages. Rappelons finalement que les coefficients obtenus ne sont valables que pour louvrage et la vrification pour lesquels ils ont t calculs.

Section dacier A Superstructures S

Variation du coefficient partiel A = 0,80 CdVA = 1%

A = 1,20 CdVA = 3%

S = 0,80 CdVS = 10%

S = 1,20 CdVS = 30%

Pont poutres des Bouillres +22% -12% -43% +72%

PICF de Challuy +23% -14% -25% +39%

VIPP de Merlebach +22% -13% -53% +76% Solution caisson du pont sur la

rivire Saint-tienne +21% -11%

Tableau 16 : Variation du coefficient partiel aprs actualisation sur la section d'acier et sur les superstructures.



Chapitre I Pont poutres des Bouillres

1 - Prsentation de louvrage

1.1 - Contexte de ltude Louvrage de rfrence est le pont poutres en bton arm des Bouillres. Il sagit dun ouvrage construit la fin des annes 50.

Louvrage se prsente sous la forme dune trave isostatique droite en bton arm de 8 m douverture et de 8,88 m de porte (Figure 8). Le tablier est compos de trois poutres sous chausse de 3,08 m dentraxe relies entre elles par quatre entretoises et un hourdis de 0,16 m. Les trottoirs de 1 m sont en encorbellement et la chausse fait 6 m de large, soit une largeur utile de 8 m. Les poutres de rive ont une hauteur de 0,90 m et une paisseur de 0,50 m contre 0,95 m et 0,34 m pour la poutre centrale.

Louvrage est constitu dun ciment 250/315 dos 350 kg/cm3 et daciers doux travaillant 1300 kg/cm en traction-compression et 1040 kg/cm sur cisaillement. Les armatures principales des poutres et entretoises prsentent un diamtre important (28 et 25 mm) au regard de leur paisseur dme. La compression admissible est ainsi estime 70 kg/cm (soit 250 kg/cm 90j sur prisme mesurs aux essais) et la traction de rfrence prise 7 kg/cm (soit 35kg/cm mesurs par flexion dprouvettes carres de cot b et de longueur 4 b).

Figure 8 : Coupe transversale du pont poutre des Bouillres.

La note de calcul date de 1952 et les plans de coffrage et ferraillage de 1956. Cette note a t tablie avec les charges dexploitation de la circulaire srie A n3 du 10 mai 1927 et la cirulaire A-1 du 29 aot 1940. Le calcul de bton arm est ralis selon la circulaire srie A n8 du 19 juillet 1934. Lanalyse de cette note de calcul en 1982 a mis en vidence un certain nombre dincohrences entre les plans et des erreurs sur lapplication des hypothses de calculs. Le recalcul de 1982 a montr les insuffisances de portance vis--vis des charges dexploitation du fascicule 61 du 29 dcembre 1971, avec des contraintes dpasses dans les armatures du hourdis et dans les armatures de la poutre centrale. Au regard des conclusions, une limitation de tonnage des charges accessibles cet ouvrage avait t propose 20 tonnes.

Le pont des Bouillres prsent ci-avant, sert de base de rfrence, mais par la suite, cest un ouvrage fictif qui est tudi, utilisant notamment des matriaux aux caractristiques plus courantes. Par ailleurs, dans cette tude, les calculs sont conduits aux Eurocodes.



1.2 - Caractristiques physiques et gomtriques de louvrage Les caractristiques gomtriques de louvrage tudi (porte, nombre de poutres, largeur roulable, nombre de traves) sont celles dcrites la section 1.1.

Les matriaux constitutifs de louvrage sont dfinis comme suit : un bton de rsistance caractristique en compression fck = 20 MPa ; des armatures de limite caractristique dlasticit fyk = 400 MPa. Louvrage fictif ainsi dfini est prdimensionn suivant les rgles du dossier pilote du Stra PSIBA 77 pour optimiser le coffrage des poutres avec les charges routires des Eurocodes. Les sollicitations dtermines avec les rgles du dossier pilote conduisent un tablier trois poutres sous chausse de 3,20 m dentraxe et relies entre elles par un hourdis de 0,16 m, avec des poutres de 0,90 m de hauteur et 0,30 m de largeur.

Cest lELU qui est dimensionnant pour cet ouvrage : il impose une section minimale darmature de 56,43 cm (cf. section 2.2.1). La section retenue pour louvrage est de 58,08 cm, avec la rpartition suivante : 1er lit : 3 HA32 ; 2me lit : 2 HA32 et 1 HA25 (les deux premiers lits constituant des paquets) ; 3me lit : 2 HA25 et 1 HA20 ; cadres en HA12 ; enrobage de 5 cm (classe dexposition XC4).

2 - Calcul de lindice de fiabilit cible 0 Lapplication de la thorie de la fiabilit lvaluation du pont poutres des Bouillres passe par la dfinition dun indice de fiabilit cible, qui sert de rfrence dans les approches probabilistes. Dans cette tude, lindice de fiabilit cible est dfini comme lindice de fiabilit dun ouvrage quivalent au pont des Bouillres mais dimensionn ltat limite des Eurocodes. Deux indices cibles seront ainsi calculs, un pour ltat Limite de Service et un pour ltat Limite Ultime.

2.1 - Indice de fiabilit cible lELS


Le premire tape du calcul de lindice de fiabilit cible lELS est le dimensionnement de louvrage lELS strict selon les Eurocodes. Les vrifications sont menes sur la poutre la plus sollicite, cest--dire la poutre de rive, et portent sur la flexion de cette poutre en section mdiane (mi-trave). Le coffrage pris en compte est celui prdimensionn suivant les rgles du dossier pilote du Stra PSIBA77, mais avec lapplication des charges des Eurocodes (cf. section 1.2). Le dimensionnement vise dterminer la section minimale des armatures sous les charges et les combinaisons des Eurocodes.

Largeur participante de la table de compression

La largeur participante de la table de compression beff associe la poutre de rive (Figure 9) est dtermine suivant l EN 1992-1-1, 5.3.2.1 (3) :

eff eff ,i wb b b= + avec eff,i i 0 0 0,2 0,1 0,2 b b l l= + , o l0 = 8,88 m, soit : eff,i 0,2 2,9 / 2 0,1 8,88 1,178 mb = + = entre poutres ;



eff,i 0,95 m 1,178 mb = en encorbellement ; eff,i 0,95 1,178 0,3 2,428 m ou 2,43 mb = + + = .

Figure 9 : Section de la poutre de rive du pont des Bouillres.

Comportement des matriaux

Les calculs lELS sont conduits avec les valeurs de calcul des matriaux : bton : valeur de calcul de la rsistance en compression du bton fcd :

ckcd ck c ckc

20 MPa avec 1et 20 MPaff f f

= = = = =

armatures : limite dlasticit de calcul de lacier de bton arm fyd :

ykyd yk yk 400 MPa avec 1et 400 MPass

ff f f

= = = = =

Mme si aucun coefficient partiel napparat explicitement dans les Eurocodes, il est possible den introduire en leur fixant une valeur de 1,00.

Moments sol l ic i tants

Les moments sollicitants dus aux charges permanentes et aux charges dexploitation ont t calculs avec le logiciel ST1 2.20.

Dans la section mdiane de la poutre de rive, on peut dcomposer le moment de flexion d aux charges permanentes en MG d au poids propre de louvrage et MS d aux charges de superstructures :

GS

M 0,1675 MN.mM 0,1163 MN.m

==

Pour lapplication des charges dexploitation, le tablier de louvrage a t dfini aux Eurocodes avec cinq zones transversales (0,30 m en extrieur des garde-corps, 1,0 m de trottoir de chaque cot et 6,00 m de largeur de chausse). La rpartition transversale des charges a t prise en compte en introduisant deux coefficients au droit des fibres extrmes du profil en travers, partir de la mthode de Courbon. Le modle de charge appliqu est le modle LM1 ; la classe de trafic considre est la classe 2. La valeur maximale du moment de flexion longitudinal dans la section mdiane de la poutre de rive sous les charges de trafic lELS caractristique est :

QM 0,7899 MN.m= On dfinit ainsi le moment de flexion lELS caractristique comme :



ELS G G S S Q Q

ELS

M M M M1,00 0,1675 1,12 0,1163 1,00 0,7899

M 1,0872 MN.m

= + += + + =

Les coefficients G et Q napparaissent pas dans les Eurocodes mais sont introduits ici avec une valeur neutre de 1,00. Le coefficient S = 1,12 reprsente quant lui lcart entre la valeur maximale de lenveloppe des superstructures et sa valeur nominale.

Justif icat ions l ELS

La justification lELS consiste dimensionner la section daciers As en respectant les contraintes limites dans le bton et les aciers imposes par lEN 1992-1-1, 7.2 :

c ckst yk

0,60,8

f f

0,6 fck ou st > 0,8 fyk nouvelle itration avec :

s stsyk

0,8 A A

f=

Arrt lorsque les deux critres en contraintes sont atteints. On obtient ainsi une section darmatures As0ELS ncessaire de :

ELS 2s0 47,35 cmA = qui dpend des coefficients partiels c = 1,00 et s = 1,00 sur les matriaux et des coefficients G = 1,00, S = 1,12 et Q = 1,00 sur les sollicitations.

Litration montre que le critre c < 0,6 fck nest pas dimensionnant. Les vrifications suivantes ne sont pas non plus dimensionnantes : la limitation de louverture des fissures w = 0,3 mm (EN 1992-1-1, 7.3) ; la vrification la fatigue.



2.1.2 - Mode de dfai l lance et fonction dtat l imite

Le mode de dfaillance considr pour le calcul en fiabilit correspond la justification ELS adopte pour le dimensionnement strict aux Eurocodes (section 2.1.1), cest--dire le non-dpassement de la limite autorise de 0,8 fyk des armatures en fibre infrieure de la poutre mi-porte lELS caractristique.

La fonction dtat limite retenue est :

calcs sg A A= o As est la section calcule lors du dimensionnement strict lELS (section 2.1.1) et Ascalc est calcul selon le mme principe que As en supprimant les coefficients partiels sur les matriaux (s, c) et sur les sollicitations (G, S, Q). Notons que les coefficients intervenant dans les critres en contraintes (par exemple 0,8 fyk) sont conservs car considrs comme manant de la loi de comportement du matriau et non comme des coefficients partiels de scurit.

La fonction dtat limite dpend : des caractristiques physiques et gomtriques des matriaux ; des sollicitations de poids propre, de superstructures et dexploitation.

2.1.3 - Variables alatoires et lois de probabil i t

On retient comme variables alatoires les paramtres de la fonction dtat limite g rpertoris dans le Tableau 17 : chaque variable est dcrite par une loi de probabilit dont les caractristiques sont issues du Tableau 14 (Partie 1, Chapitre IV).



cart sur la hauteur de section h (m) (h tel que h = 0,90 + h) 0 Loi normale 1,00 0,010 -

Rsistance en compression du bton fc (MPa) 20 Loi lognormale 1,20 - 10%

Limite dlasticit des aciers fy (MPa) 400 Loi lognormale 1,15 - 5% cart sur lenrobage des armatures c (m)

(c tel que c = 0,05 + c) 0 Loi normale 1,00 0,005 -

Section darmatures As (cm) 47,35 (As0ELS) Loi normale 1,00 - 2%

Charges de superstructures S (t/ml) 3,614 Loi normale 1,00 - 20%

Poids volumique du bton b (kN/m3) 25 Loi normale 1,00 - 5%

Tableau 17 : Variables alatoires et lois de probabilit retenues dans ltude du pont poutres des Bouillres lELS (paramtre dimensionn en jaune).

Notons que les coefficients partiels ne servent pas directement au calcul de lindice de fiabilit mais quils interviennent dans le calcul de la valeur nominale de la variable de dimensionnement, ici la section darmatures As0ELS = 47,35 cm (cf. section 2.1.1). On rappelle par ailleurs que les charges dexploitation ne sont pas probabilises dans cette tude.

2.1.4 - Calcul et analyse de l indice de f iabil i t cible

Le calcul de lindice de fiabilit est effectu partir de la fonction dtat limite tablie en section 2.1.2 et des caractristiques de variables alatoires dfinies en 2.1.3 grce la fonction fiabdesign de ReliabTbx R1.5, avec les options de calcul suivantes : mthode par surface de rponse ('type_prob',6) ;



surface de rponse linaire ('type_sreponse',1) ; plan dexprience en toile ('type_plandex',1). Le calcul est effectu directement via Matlab, sans couplage avec ST1 : les valeurs initiales des moments dus au poids-propre, aux superstructures et aux charges de trafic sont donnes par ST1 et recopies dans le fichier Matlab correspondant. Les moments sous poids-propre et sous superstructures sont ensuite recalculs sous Matlab en fonction des valeurs des variables alatoires. Le calcul de la section dacier minimale lELS est galement effectu sous Matlab directement.

Le Tableau 18 donne les rsultats du calcul de fiabilit.

Indice de fiabilit 0 2,5045

Dimensionnement As0ELS (cm) 47,35

Point de fonctionnement Z0 -0,0054 23,879 418,08 0,00142 46,563 4,25 25,398

Cosinus directeurs 0 0,2160 0,00037 0,8303 -0,1136 0,3315 -0,3535 -0,1270

Sensibilit la moyenne Sm0 21,60 0,000156 0,040 -22,72 0,3501 -0,4891 -0,1016

Sensibilit lcart-type Ss0 -11,681 -1,54e-5 -0,07678 -6,463 -0,2906 -0,433 -0,0323

h (m) fc (Mpa) fy (Mpa) c (m) As (cm) S (t/ml) c (kN/m3)

Tableau 18 : Rsultats du calcul de lindice de fiabilit cible du pont poutres des Bouillres lELS.

La valeur trs faible du cosinus directeur de fc montre que cette variable alatoire a peu dinfluence sur le calcul de lindice de fiabilit cible. Un calcul simplifi avec 6 variables alatoires (Tableau 19) fournit un indice de fiabilit cible trs proche (2,5033 pour 2,5045). Nanmoins, tant donne la rapidit des calculs, toutes les variables ont t conserves.


Dimensionnement As0ELS (cm) 47,35

Point de fonctionnement Z0 -0,0054 414,1 0,0014 46,56 4,254 25,397

Cosinus directeurs 0 0,2159 0,8304 -0,1136 0,3314 -0,3535 -0,1270

Sensibilit la moyenne Sm0 21,59 0,040 -22,72 0,350 -0,4891 -0,1016

Sensibilit lcart-type Ss0 -11,674 -0,0767 -6,459 -0,2904 -0,4328 -0,0323

h (m) fy (Mpa) c (m) As (cm) S (t/ml) c (kN/m3)

Tableau 19 : Rsultats du calcul simplifi de lindice de fiabilit cible du pont poutres des Bouillres lELS.

2.2 - Indice de fiabilit cible lELU


Le premire tape du calcul de lindice de fiabilit cible lELU est le dimensionnement de louvrage lELU strict selon les Eurocodes. Les vrifications sont menes sur la poutre la plus sollicite, cest--dire la poutre de rive, et portent sur la flexion de cette poutre en section mdiane (mi-trave). Le coffrage pris en compte est celui prdimensionn suivant les rgles du dossier pilote du Stra PSIBA77, mais avec lapplication des charges des Eurocodes (cf. section 1.2). Le dimensionnement vise dterminer la section minimale des armatures sous les charges et les combinaisons des Eurocodes.



Comportement des matriaux

La loi de comportement retenue pour le bton est le diagramme rectangulaire simplifi (Figure 10), avec : les coefficients de dformation et de rsistance :

( )cu3

ck

3,5 0,8 et 1 ,0 20 MPa 50 MPa

f=

= = =

la valeur de calcul de la rsistance en compression du bton fcd :

cc ckcd cc c ckc

1 3,33 MPa avec 1, 1,5 et 20 MPa ff f

= = = = =

Figure 10 : Diagramme rectangulaire simplifi pour le bton comprim selon lEN 1992-1-1.

La loi de comportement retenue pour les aciers passifs est le diagramme contrainte-dformation de calcul, avec branche suprieure horizontale, sans limite pour la dformation (diagramme B de la Figure 11), avec la limite dlasticit de calcul de lacier fyd :

ykyd s yks

347,83 MPa o 1,15 et 400 MPaf

f f

= = = =

Figure 11 : Diagramme contrainte dformation simplifi et de calcul pour les aciers passifs selon lEN 1992-1-1.



Moments sol l ic i tants

Le moment de flexion lELU est dtermin partir des moments calculs lELS (section 2.1.1) en appliquant les coefficients partiels de scurit de la combinaison lELU sur les charges :

ELU G G S S Q Q

ELU

M M M M1,35 0,1675 1,35 1,12 0,1163 1,35 0,7899

M 1,4677 MN.m

= + += + + =

Le coefficient S rsulte du produit du coefficient partiel de la combinaison ELU (1,35) et du quotient entre la valeur maximale de lenveloppe des superstructures et sa valeur nominale (1,12).

Justif ications l ELU

Le dimensionnement strict lELU consiste dterminer la section daciers As0ELU ncessaire pour que le moment rsistant Mr gale le moment agissant ultime MELU.

Les diffrentes tapes du calcul sont les suivantes : Calcul du moment dans la table Mt avec Fc = beff h0 fcd et zc = d h/2 :

t eff 0 cdM 2hb h f d =

Ici Mt > MELU donc laxe neutre est dans la table : on tudie une section rectangulaire de hauteur h et largeur beff.

quilibre des moments :

( )

ELU

eff cd ELU

eff cd ELU

M M M2

0,8 1 0,4 M

= =

=

r

xb x f d

b d f

o est la position relative de laxe neutre : x = d. Calcul du moment rduit :

( )ELUeff cd

M 0,8 1 0,4

b d f

= =

Calcul de la position de laxe neutre : ( )1 ,25 1 1 2 = Calcul de la section dacier :

ELU ELUs0c st

M Az

=

o zc = d 0,4 et st = fyd.

On obtient ainsi une section darmatures As0ELU ncessaire :

ELU 2s0 56,43 cmA = qui dpend des coefficients partiels sur les matriaux c =1,50 (intervenant dans fcd) et s = 1,15 (intervenant dans fyd) et sur les sollicitations G = 1,35, S = 1,51 et Q = 1,35 (intervenant dans MELU).



2.2.2 - Mode de dfai l lance et fonction dtat l imite

Le mode de dfaillance considr pour le calcul en fiabilit correspond la justification ELU adopte pour le dimensionnement strict aux Eurocodes (section 2.2.1), cest--dire lquilibre du moment rsistant et du moment ultime dans la section mdiane de la poutre de rive.

La fonction dtat limite retenue est :

calcs sg A A= o As est la section calcule lors du dimensionnement strict lELU (section 2.2.1) et Ascalc est calcul selon le mme principe que As en supprimant les coefficients partiels sur les matriaux (s, c) et sur les sollicitations (G, S, Q).

La fonction dtat limite dpend donc : des caractristiques physiques et gomtriques des matriaux ; des sollicitations de poids propre, de superstructures et dexploitation.

2.2.3 - Variables alatoires et lois de probabil i t

On retient comme variables alatoires les paramtres de la fonction dtat limite g rpertoris dans le Tableau 20 : chaque variable est dcrite par une loi de probabilit dont les caractristiques sont issues du Tableau 14 (Partie 1, Chapitre IV).



cart sur la hauteur de section h (m) (h tel que h = 0,90 + h) 0 Loi normale 1,00 0,010 -

Rsistance en compression du bton fc (MPa) 20 Loi lognormale 1,20 - 10%

Limite dlasticit des aciers fy (MPa) 400 Loi lognormale 1,15 - 5% cart sur lenrobage des armatures c (m)

(c tel que c = 0,05 + c) 0 Loi normale 1,00 0,005 -

Section darmatures As (cm) 56,43 (As0ELU) Loi normale 1,00 - 2%

Charges de superstructures S (t/ml) 3,614 Loi normale 1,00 - 20%

Poids volumique du bton c (kN/m3) 25 Loi normale 1,00 - 5%

Tableau 20 : Variables alatoires et lois de probabilit retenues dans ltude du pont poutres des Bouillres lELU (paramtre dimensionn en jaune).

Notons que les coefficients partiels ne servent pas directement au calcul de lindice de fiabilit mais quils interviennent dans le calcul de la valeur nominale de la variable de dimensionnement, ici la section darmatures As0ELU = 56,43 cm (cf. section 2.2.1). On rappelle par ailleurs que les charges dexploitation ne sont pas probabilises dans cette tude.

2.2.4 - Calcul et analyse de l indice de f iabil i t cible

Le calcul de lindice de fiabilit est effectu partir de la fonction dtat limite tablie en section 2.2.2 et des caractristiques de variables alatoires dfinies en 2.2.3 grce la fonction fiabdesign de ReliabTbx R1.5 avec les options de calcul suivantes : mthode par surface de rponse ('type_prob',6) ; surface de rponse linaire ('type_sreponse',1) ; plan dexprience en toile ('type_plandex',1).



Le Tableau 21 donne les rsultats du calcul de fiabilit.


Dimensionnement As0ELU (cm) 56,43

Point de fonctionnement Z0 -0,02357 23,034 305,32 0,006191 51,766 6,1972 26,592

Cosinus directeurs 0 0,22936 0,035224 0,79577 -0,1205 0,40257 -0,34778 -0,12393

Sensibilit la moyenne Sm0 22,936 0,015387 0,048836 -24,099 0,35667 -0,48116 -0,09914

Sensibilit lcart-type Ss0 -54,06 -0,006743 -0,2843 -29,84 -1,4755 -1,7196 -0,12626

h (m) fc (MPa) fy (Mpa) c (m) As (cm) S (t/ml) c (kN/m3)

Tableau 21 : Rsultats du calcul de lindice de fiabilit cible du pont poutres des Bouillres lELU.

Comme lELS, la valeur trs faible du cosinus directeur de fc montre que cette variable alatoire a peu dinfluence sur le calcul de lindice de

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1206w Rapport Theorie de La Fiabilite