13 Fonctions hyperboliques

5/13/2018 13 Fonctions hyperboliques - slidepdf.com

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Pour les graphiques, le plan est rapporté à un repère orthonormé ),,( jiO .

I Les fonctions hyperboliques directesA) Définition

Pour tout R∈ x , on pose :

2ch

x x ee x

−+= ,

2sh

x x ee x

−−= , x

x x

ch

shth = , et pour 0≠ x ,

x

x x

sh

chcoth =

Déjà, on a la formule :1shch 22=− x x

En effet, pour toutR

∈ x

,1)shch)(shch(shch 22 ==+−=− − x xee x x x x x x

B) Etude de la fonction sh (sinus hyperbolique)

- On voit tout de suite qu’elle est impaire, strictement croissante et de classe ∞

C

sur R.

- De plus, on voit immédiatement aussi que :

x x ch)()'sh( = , +∞=+∞

x x

shlim , +∞=+∞ x

x

x

shlim , 0)0(sh =

- Ainsi, sh est une bijection continue et strictement croissante de R dans R.

- DL à n’importe quel ordre en 0 :

)(. . .1!!2

2 n

n

x x x

xo xen

+++++= et )()1(. . .1!!2

2 n

n

xn x x

xo xen

+−+++−=−

Donc )(.. .sh 22

)!12(!3

123 +

+++++=

+ p

p

x x xo x x

p

C) Etude de la fonction ch (cosinus hyperbolique)

- On voit tout de suite qu’elle est paire et de classe ∞

C sur R.

- On a sans difficulté :

x x sh)()'ch( = , +∞=+∞

x x

chlim , +∞=+∞ x

x

x

chlim , 1)0(ch =

- Il en résulte que ch constitue une bijection continue strictement croissante de+

R dans [,1[ +∞ .

- DL à un ordre quelconque en 0 :

)(...1c h2

)!2(!2

22 p

p

x x xo x

p

++++=

Chapitre 13 : Fonctions hyperboliques

Analyse réelle et complexe Page 1 sur 8




D) Graphes comparés des fonctions sh et ch

- Les sens de variation, les tangentes au point d’abscisse 0 et les branches infinies

(qui sont des branches paraboliques verticales) sont immédiatement tirés des études

précédentes.

- De plus, comme sh')'sh( = , la fonction sh est convexe sur +R et concave sur

−R , ce qui donne la position de la courbe par rapport à sa tangente au point d’abscisse

0 (position que l’on retrouve localement grâce au DL)

- Enfin, comme xe x x−

=−shch , x x shch − est positif et tend vers 0 en ∞+- Notons enfin que la courbe représentative de ch ressemble à une parabole mais

n’en est pas une (c’est une chaînette : c’est la forme que prend effectivement une

chaînette lorsqu’elle est pendue par deux bouts…)

E) Justification du terme hyperbolique

- Les fonctions cos et sin s’appellent des fonctions circulaires parce que le

cercle d’équation 122 =+ y x peut se paramétrer en )(sincos R∈

== t

t yt x

- La branche « droite » de l’hyperbole 122 =− y x peut quant à elle se

paramétrer en )(sh

chR∈

=

=t

t y

t x.

En effet :

• Si M a pour coordonnées R∈t t t ),sh,ch( , comme on a 0ch >t et

1shch 22 =− t t , M appartient donc bien à la branche droite de l’hyperbole.

• Réciproquement, si ),( y xM appartient à cette branche droite, alors :

Soit R∈t tel que t y sh= (il en existe un, et même un seul). Mais comme

1shch 22 =− t t et 122 =− y x , on a alors t x 22 ch= , et, comme 0> x , t x ch= .





F) Fonction th (tangente hyperbolique)

1

1

ch

shth

2

2

+

−

=+

−

==• −

−

x

x

x x

x x

e

e

ee

ee

x

x x

th• est de classe ∞

C sur R, impaire.

x x

x

x x x

2

2

2

22

ch

1th1

ch

shch)()'th( =−=

−=•

11

1limthlim

2

2

=+−

=•+∞+∞ x

x

x x e

e x

De ces trois derniers points, on tire que th constitue une bijection continue et

strictement croissante de R dans ] [1;1−• DL en 0 :th admet un DL en 0 à tout ordre, et on obtient les premiers termes de la même

façon qu’avec la fonction tangente :

)(th 553 xobxax x x +++= car th est impaire et 1)0()'th( =

)4(531th' 42 xobxax x +++=

))(21())(1(th 22222322 xoax x xoax x x ++=++=

)()'th()(21th1 2422 x xoax x x =+−−=−

Donc

−=

−=

ab

a

25

13, soit

=

= −

1 52

31

b

a

Ainsi, )(t h 551 523

31 xo x x x x ++−=

G) Fonction coth (cotangente hyperbolique)

• Elle est de classe ∞

C sur *R , impaire.

x x

x

x x x

2

2

2

22

sh

1coth1

sh

chsh)()'coth(

−=−=

−=•

• Et autres propriétés tirées de x x th

1coth = pour *R∈ x





H) Graphes de th et coth

II Formulaire

On tire tout de suite des définitions les formules suivantes :

1shch

shch

shch

22=−

=−

=+

−

x x

e x x

e x x

x

x

Formules d’addition :

)2(shchchsh)(sh

)1(shshchch)(ch

bababa

bababa

×+×=+×+×=+

Démonstration de (1) :

( )( )( ) )(c h22

)) (()) ((s hs hc hc h

41

41

41

baee

eeeeeeee

eeeeeeaebaba

baba

babababababababa

bbaabbaa

+=+=

+−−++++=

−−+++=×+×

−+

−−−+−+−−+−−+

−−−−

La démonstration de (2) est analogue.

De (1) et (2) on tire : )3(thth1

thth)(th

ba

baba

×++

=+

En effet :

ba

ba

abba

abbaba

thth1

thth

shshchch

chshchsh)(th

×++=

×+××+×=+

(dernière égalité obtenue en divisant « en haut et en bas » par ba chch × )

De (1), (2) et (3) on tire alors :

a

aa

aaa

aaaaa

2

2222

th1

)(th2)2(th

chsh2)2(sh

1ch.2sh.21shch)2(ch

+=

×=−=+=+=





Ces dernières formules donnent alors, pour tout R∈ x et en posant2

th xt =

222

2

1

2th;

1

2sh;

1

1ch

t

t x

t

t x

t

t x

+=

−=

−+=

En effet :

a

a

aa

aaaaa

2

2

22

2222

th1

th1

shch

shchshch)2(ch

−

+=

−

+=+= (en divisant haut et bas par a2ch )

De même pour )2(sh a , puis poser ensuite a x 2=

Enfin, il faut savoir retrouver ce que l’on obtient par addition et par soustraction à partir

de (1) et (2) :

bababa

bababa

bababa

bababa

shch2)(sh)(sh

chsh2)(sh)(sh

shsh2)(ch)(ch

chch2)(ch)(ch

×=−−+

×=−++

×=−−+

×=−++

Ces quatre formules permettent de linéariser des produits (c'est-à-dire les transformer ensommes), ce qui est utile dans de nombreux cas. Réciproquement, en posant au besoin

−=

+=

ba y

ba x, on transforme des sommes en produits.

Moyen mnémotechnique à partir des formules de la trigonométrie circulaire : les signes

qui précèdent un sinus carré ou un produit de deux sinus, ou une tangente carrée ou un produit

de deux tangentes sont échangé, le reste est pareil.

III Fonctions hyperboliques inverses

A) Argsh (Argument sinus hyperbolique)

sh réalise une bijection de classe ∞

C strictement croissante de R dans R, dont la

dérivée ne s’annule pas.

On appelle Argsh la réciproque de cette bijection. Argsh est donc de classe∞

C et strictement croissante.

Dérivée :





))(Argsh(sh1

1

))(Argsh(ch

1

))(Argsh('sh

1)('Argsh,

2 x x x x x

+===∈∀ R

Donc 21

1)('Argsh,

x

x x

+

=∈∀ R

Propriétés diverses :Argsh est impaire (car sh l’est)

x x0~Argsh

Expression logarithmique :

Soient R∈ y x, . On a les équivalences :

0122

shArgsh2

=−−⇔=−

⇔=⇔=

−

y y

y y

xee xee

x y x y

Résolution de l’équation 0122 =−− xuu (d’inconnue u)

Les racines sont2

1 x x +± .Donc, en reprenant les équivalences :

( )2

2

22

1ln

1

1ou1Argsh

x x y

x xe

x xe x xe x y

y

y y

++=⇔

++=⇔

++=+−=⇔=

Ainsi, ( )21lnArgsh, x x x x ++=∈∀ R

B) Argch (Argument cosinus hyperbolique)

ch réalise une bijection de classe ∞

C strictement croissante de [ [+∞,0 dans[ [+∞,1 . On appelle Argch sa réciproque.

Argch est de classe ∞

C sur ] [+∞,1 , et :

] [1))(Argch(ch

1

))(Argch(sh

1

))(Argch('ch

1)('Argch,,1

2

0

−===+∞∈∀

>

x x x x x

Soit ] [1

1)('Argch,,1

2 −=+∞∈∀

x

x x


Soit [ [+∞∈ ,1 x . Posons x y Argch= . y est l’unique réel positif dont le ch vaut

x, c'est-à-dire xee

y y

=+ −

2

On a les équivalences :

1ou10212

222−−=−+=⇔=−+⇔=

+−

x xe x xe xee xee y y y y

y y

Or, 112 ≥≥−+ x x x et 112 ≤−− x x (car 1)1)(1( 22 =−−−+ x x x x )

De plus, 0≥ y donc 1≥ ye

Donc en reprenant les équivalences :

( )1ln

11ou1

2

222

−+=⇔

−+=⇔−−=−+=

x x y

x xe x xe x xe y y y





Ainsi, [ [ 1lnArgch,,1 2−+=+∞∈∀ x x x x

C) Argth (Argument tangente hyperbolique)

Argth est définie sur ] [1;1− , de classe ∞

C , strictement croissante, et est

impaire.

+∞=Argthlim1 , 00Argth = , x x 0~Argth

] [22 1

1

)Argth(th1

1

)Argth('th

1)('Argth,1;1

x x x

x x

−=

−==−∈∀


On peut faire par résolution de l’équation y y

y y

ee

ee y x

−

−

+

−== th …

Autre méthode :

Pour tout ] [1;1−∈ x , on a :

++

−=

+×

−=

− x x x x x 1

1

1

1

2

1

1

1

1

1

1

12

Une primitive de 21

1

x x − est donc ( ) x x x −−+ 1ln1ln21





] [ ( )

−+

=−+

=−−+−∈∀ x

x

x

x x x x

1

1ln

1

1ln1ln1ln,1;1

21

21

21

Donc Argth et

−+ x

x x

1

1ln

21 ne diffèrent que d’une constante. Or, elles sont

toutes deux nulles en 0, donc ] [ −+

=−∈∀ x

x

x x

1

1lnArgth,1;1 21 .

D) Argcoth (Argument cotangente hyperbolique)

Argcoth est définie sur ]1;1[\ −R , à valeurs dans *R

21

1)('A rgcoth],1;1[\

x x x

−=−∈∀ R


−+

=+−+

=−∈∀1

1lncte

1

1lnArgcoth],1;1[\

21

21

x

x

x

x x x R

coth

Argcoth

1

-1

-1 1



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