1.5 Serie de Taylor.pps

MTODOS NUMRICOSMTODOS NUMRICOS1.5 Serie de Taylor1.5 Serie de Taylor

1.5 Serie de Taylor1.5 Serie de Taylor


La serie de Taylor es, sin duda, el fundamento La serie de Taylor es, sin duda, el fundamento

matemtico ms importante para comprender, manejar y matemtico ms importante para comprender, manejar y

formular mtodos numricos que se basan en la formular mtodos numricos que se basan en la

aproximacin de funciones por medio de polinomios. aproximacin de funciones por medio de polinomios.

Aunque a veces no sea muy evidente, la mayora de los Aunque a veces no sea muy evidente, la mayora de los

mtodos numricos se basan en la aproximacin de mtodos numricos se basan en la aproximacin de

funciones por medio de polinomios.funciones por medio de polinomios.


La expansin de Taylor de una funcin, es una serie infinita de potencias La expansin de Taylor de una funcin, es una serie infinita de potencias

que representa, de manera exacta, el comportamiento de la funcin en la que representa, de manera exacta, el comportamiento de la funcin en la

vecindad de un punto dado.vecindad de un punto dado.

Si se ignoran todos los trminos de la serie de Taylor, excepto unos Si se ignoran todos los trminos de la serie de Taylor, excepto unos

cuantos, se obtiene un polinomio que aproxima a la funcin verdadera.cuantos, se obtiene un polinomio que aproxima a la funcin verdadera.

El error del mtodo numrico depende de la precisin con la que el El error del mtodo numrico depende de la precisin con la que el

polinomio aproxima a a la funcin verdadera.polinomio aproxima a a la funcin verdadera.

Los errores por truncamiento se evalan a travs de la comparacin del Los errores por truncamiento se evalan a travs de la comparacin del

desarrollo polinomial de la solucin numrica, con la serie de Taylor, de la desarrollo polinomial de la solucin numrica, con la serie de Taylor, de la

solucin exacta.solucin exacta.

1.5.1 Expansin en serie de Taylor1.5.1 Expansin en serie de TaylorSea una funcin f(X) que tiene derivadas continuas hasta de orden Sea una funcin f(X) que tiene derivadas continuas hasta de orden nn en el punto Xen el punto Xii, para el cual se conoce el valor de la funcin a, para el cual se conoce el valor de la funcin a00 y el de y el de sus derivadas: asus derivadas: a11, a, a22, a, a33, a, a44, a, ann, ,

f(x)

x

xi Xi+1

a0

f(Xi+1)

1.5.1 Expansin en serie de Taylor1.5.1 Expansin en serie de Taylor

Se trata de encontrar un polinomio de la forma:Se trata de encontrar un polinomio de la forma:

_____ (1.13)_____ (1.13)

que permita predecir el valor de la funcin en un punto cualquiera X, en que permita predecir el valor de la funcin en un punto cualquiera X, en trminos de la propia funcin y de sus derivadas en el punto Xtrminos de la propia funcin y de sus derivadas en el punto Xii..

El polinomio P(X) se hace coincidir con la funcin f(X), y las El polinomio P(X) se hace coincidir con la funcin f(X), y las primeras primeras nn derivadas del polinomio se hacen coincidir con las derivadas del polinomio se hacen coincidir con las nn primeras derivadas de la funcin en el punto Xprimeras derivadas de la funcin en el punto X ii..

_____ (1.14)_____ (1.14)

i i

i

i i

(n) (n)i i

P(X ) = f(X )P'(Xi) = f'(X )P''(X ) = f''(X )

...P (X ) = f (X )

32 n0 1 2 3 nP(X) = a + a X + a X + a X + ... + a X + ...


El valor de la funcin en un punto cualquiera X se puede evaluar a El valor de la funcin en un punto cualquiera X se puede evaluar a travs de un polinomio equivalente al de la expresin (1.13):travs de un polinomio equivalente al de la expresin (1.13):

____ (1.15)____ (1.15)

Desarrollando la expresin (1.15) y comparndola con la expresin Desarrollando la expresin (1.15) y comparndola con la expresin (1.13), se obtiene:(1.13), se obtiene:

_____(1.16)_____(1.16)

2 3 n0 1 i 2 i 3 i n if(X) = P(X) = b + b (X - X ) + b (X - X ) + b (X - X ) + ... + b (X - X ) + ...

2 3 40 0 1 i 2 i 3 i 4 i

2 31 1 2 i 3 i 4 i

22 2 3 4 i

n n

a = b - b X + b X - b X + b X - ...a = b - 2b X + 3b X - 4b X + ...a = b - 3b Xi + 6b X - ...

...a = b - ...


Las Las nn primeras derivadas del polinomio son: primeras derivadas del polinomio son:

_____ (1.17)_____ (1.17)

Evaluando el polinomio y sus derivadas en el punto XEvaluando el polinomio y sus derivadas en el punto X ii::

_____ (1.18)_____ (1.18)

2 n-11 2 i 3 i n i

n-22 3 i n i

n-33 n i

(n)

P'(X) = b + 2b (X - X ) + 3b (X - X ) + ... + nb (X - X ) + ...P''(X) = 2b + 3 2b (X - X ) + ... + n(n-1)b (X - X ) + ...P'''(X) = 3 2b + ... + n(n-1)(n-2)b (X-X ) + ...

...P (X) = n(n-

n n1)(n-2) ... 3 2 1b + ... = n!b + ...

i 0 0

i 1 1

i 2 2

(n)i n

P(X ) = b 0!bP'(X ) = b 1!bP''(X ) = 2b = 2!b ...P (X ) = n!b


Considerando simultneamente las expresiones (1.14) y (1.18):Considerando simultneamente las expresiones (1.14) y (1.18):

______________ (1.19)(1.19)

Sustituyendo los valores de los coeficientes dados en (1.19) en la expresin (1.15):Sustituyendo los valores de los coeficientes dados en (1.19) en la expresin (1.15):

_____ (1.20)_____ (1.20)

que en forma sinttica se expresa:que en forma sinttica se expresa:

_____ (1.20')_____ (1.20')

0 i

1 i

2 i

n i

b = f(X )b = f'(X )/1!b = f''(X )/2!

...b = f(n)(X )/n!

2i i i i i

3 (n) ni i i i

f(X) = f(X ) + f'(X )(X - X ) + f''(X )(X - X ) /2! + f'''(X )(X - X ) /3! + ... + f (X )(X - X ) /n! + ...

ji i

j=0f(X) = f(j)(X )(X - X ) /j!


Las expresiones (1.20) y (1.20') son equivalentes y representan la Las expresiones (1.20) y (1.20') son equivalentes y representan la expansin en serie de Taylor que permite evaluar el valor de la funcin en expansin en serie de Taylor que permite evaluar el valor de la funcin en cualquier punto X, en trminos de la propia funcin y de sus derivadas en el cualquier punto X, en trminos de la propia funcin y de sus derivadas en el punto Xpunto Xii. Se pueden presentar dos casos:. Se pueden presentar dos casos:

A)A) Cuando el valor de X se encuentra a la derecha de XCuando el valor de X se encuentra a la derecha de Xii, se usa la , se usa la nomenclatura Xnomenclatura Xi+1i+1, con lo que se indica que es mayor que X, con lo que se indica que es mayor que Xii..

_____ (1.21)_____ (1.21)

donde h se denomina tamao del paso, tratndose en este caso de un paso donde h se denomina tamao del paso, tratndose en este caso de un paso hacia adelante.hacia adelante.

i+1 i i+1 i

(j) (j)j j

i+1 i i+1 i ij=0 j=0

X = X > X ; X - X = h > 0

f(X ) = f (X )(X - X ) /j! = f (X )h /j!


B)B) Cuando el valor de X se encuentra a la izquierda de XCuando el valor de X se encuentra a la izquierda de X ii, se usa la , se usa la nomenclatura Xnomenclatura X i-1i-1, con lo que se indica que es menor que X, con lo que se indica que es menor que X ii..

_____ (1.22)_____ (1.22)

_____ (1.22')_____ (1.22')

donde h es el tamao del paso, tratndose en este caso de un paso donde h es el tamao del paso, tratndose en este caso de un paso hacia atrs.hacia atrs.Para cada combinacin de puntos XPara cada combinacin de puntos X ii, X, Xi+1i+1 en una funcin f(x), la serie en una funcin f(x), la serie de Taylor es nica, es decir, no hay otra serie de potencias en h = Xde Taylor es nica, es decir, no hay otra serie de potencias en h = X i+1i+1 X Xii , para representar a f(X) , para representar a f(X)

i-1 i i i-1

(j) (j)j ji-1 i i i-1 i i i-1

j par j impar

(j) (j)j ji-1 i i

j par j impar

X = X < X ; X - X = h > 0

f(X ) = f (X )(X - X ) /j! - f (X )(X - X ) /j!

f(X ) = f (X )h /j! - f (X )h /j!


Ejemplo. En el punto XEjemplo. En el punto Xi i = 1, la funcin f(X) y sus derivadas toman = 1, la funcin f(X) y sus derivadas toman los siguientes valores:los siguientes valores:

f(1) = 1;f(1) = 1; f'(1) = 6;f'(1) = 6; f''(1) = 2;f''(1) = 2; f'''(1) = 6.f'''(1) = 6.

A partir de estos datos y utilizando la expansin en serie de Taylor A partir de estos datos y utilizando la expansin en serie de Taylor dada en (1.21), encontrar el polinomio que permita predecir valor de dada en (1.21), encontrar el polinomio que permita predecir valor de la funcin para cualquier valor de X, y, en particular, el valor de la la funcin para cualquier valor de X, y, en particular, el valor de la funcin para Xfuncin para Xi+1i+1 = 3. = 3.

f(X) = 1 + 6(X - 1) + 2(X - 1)f(X) = 1 + 6(X - 1) + 2(X - 1)22/2! + 6(X - 1)/2! + 6(X - 1)33/3!/3!= 1 + 6X - 6 + X= 1 + 6X - 6 + X22 - 2X + 1 + X - 2X + 1 + X33 - 3X - 3X22 + 3X - 1 + 3X - 1= - 5 + 7X - 2X= - 5 + 7X - 2X22 + X + X33

h = Xh = Xi+1i+1 - X - Xii = 3 - 1 = 2 = 3 - 1 = 2f(Xf(Xi+1i+1) = f(3) = 1 + 6(2) + 2(2)) = f(3) = 1 + 6(2) + 2(2)22/2! + 6(2)/2! + 6(2)33/3!/3!

= 1 + 12 + 4 + 8 = 25= 1 + 12 + 4 + 8 = 25


Vamos a repetir el ejercicio, pero ahora considerando la expansin Vamos a repetir el ejercicio, pero ahora considerando la expansin

en serie de Taylor dada en (1.22) y obteniendo el valor de la funcin en serie de Taylor dada en (1.22) y obteniendo el valor de la funcin

para Xpara Xi-1i-1 = 0. = 0.

f(X) = 1 - 6(1 - X) + 2(1 - X)f(X) = 1 - 6(1 - X) + 2(1 - X)22/2! - 6(1 - X)/2! - 6(1 - X)33/3!/3!

= 1 - 6 + 6X + X= 1 - 6 + 6X + X22 - 2X + 1 - 1 + 3X - 3X - 2X + 1 - 1 + 3X - 3X22 + X + X33

= - 5 + 7X - 2X= - 5 + 7X - 2X22 + X + X33

h = Xh = Xii - X - Xi-1i-1 = 1 - 0 = 1 = 1 - 0 = 1

f(Xf(Xi-1i-1) = f(0) = 1 - 6(1) + 2(1)) = f(0) = 1 - 6(1) + 2(1)22/2! - 6(1)/2! - 6(1)33/3!/3!

= 1 - 6 + 1 - 1 = - 5= 1 - 6 + 1 - 1 = - 5


En el ejercicio anterior, el polinomio obtenido se ajusta En el ejercicio anterior, el polinomio obtenido se ajusta perfectamente a la funcin, porque sta es algebraica, polinomial perfectamente a la funcin, porque sta es algebraica, polinomial de tercer grado; en este caso, las derivadas de orden superior al de tercer grado; en este caso, las derivadas de orden superior al tercero se anulan, por lo que los primeros cuatro trminos de la tercero se anulan, por lo que los primeros cuatro trminos de la expansin en serie de Taylor son suficientes para determinar, sin expansin en serie de Taylor son suficientes para determinar, sin error alguno, el comportamiento de la funcin, para cualquier valor error alguno, el comportamiento de la funcin, para cualquier valor de X.de X.Pero no siempre es as; cuando se trata de funciones trascendentes Pero no siempre es as; cuando se trata de funciones trascendentes o mixtas, la expansin en serie de Taylor slo puede proporcionar o mixtas, la expansin en serie de Taylor slo puede proporcionar una aproximacin a la funcin de inters, porque, en ese caso, una aproximacin a la funcin de inters, porque, en ese caso, cada uno de los trminos de la serie infinita tiene un valor absoluto cada uno de los trminos de la serie infinita tiene un valor absoluto diferente de cero, con el que participa, as sea de manera mnima, diferente de cero, con el que participa, as sea de manera mnima, en el valor de la funcin. En virtud de que no es posible considerar en el valor de la funcin. En virtud de que no es posible considerar un nmero infinito de trminos, no hay ms remedio que truncar la un nmero infinito de trminos, no hay ms remedio que truncar la serie y considerar nicamente los n primeros.serie y considerar nicamente los n primeros.


Una funcin f(x) es analtica en xUna funcin f(x) es analtica en x ii, si se puede representar por , si se puede representar por

medio de una serie de potencias en trminos de h = xmedio de una serie de potencias en trminos de h = x i+ii+i x xii, dentro , dentro

de un radio de convergencia 0 < de un radio de convergencia 0 < xxi+ii+i - x - xii, y si todas sus derivadas , y si todas sus derivadas son continuas en la vecindad de xson continuas en la vecindad de xii. Los polinomios son funciones . Los polinomios son funciones

analticas en todas partes.analticas en todas partes.

Si la funcin f(x) es diferenciable en todas partes de la vecindad de Si la funcin f(x) es diferenciable en todas partes de la vecindad de

un punto xun punto x00, excepto en el mismo, el punto se denomina singular y , excepto en el mismo, el punto se denomina singular y

entonces la funcin no es analtica en xentonces la funcin no es analtica en x00. Algunas funciones . Algunas funciones

trascendentes tienen puntos singulares; por ejemplo, tan(x) es trascendentes tienen puntos singulares; por ejemplo, tan(x) es

analtica excepto en analtica excepto en (n + )(n + )..

1.5.1 Expansin en serie de Taylor1.5.1 Expansin en serie de TaylorEjemplo. Aproximar la funcin f(X) = cos X en 30Ejemplo. Aproximar la funcin f(X) = cos X en 30, conociendo los , conociendo los valores de la funcin y el de sus derivadas para 0 y considerando los valores de la funcin y el de sus derivadas para 0 y considerando los primeros siete trminos de la expansin en serie de Taylor. No primeros siete trminos de la expansin en serie de Taylor. No olvidemos trabajar en radianes:olvidemos trabajar en radianes:

XXii = 0 = 0 = 0 ; = 0 ; XXi+1i+1 = 30 = 30 = = /6 ;/6 ; h = Xh = Xi+1i+1 - X - Xii = = /6 - 0 = /6 - 0 = /6/6

f(X) = f(Xf(X) = f(Xii) + f'(X) + f'(Xii)h + f''(X)h + f''(Xii)h)h22/2! + f'''(X/2! + f'''(Xii)h)h33/3! + f/3! + fiviv(X(Xii)h)h44/4! + f/4! + fvv(X(Xii)h)h55/5! + f/5! + fvivi(X(Xii)h)h66/6!/6!

f(X) = cos Xf(X) = cos X f(0) = cos 0 = 1f(0) = cos 0 = 1f'(X) = - sen Xf'(X) = - sen X f'(0) = - sen 0 = 0f'(0) = - sen 0 = 0f''(X) = - cos Xf''(X) = - cos X f''(0) = - cos 0 = - 1f''(0) = - cos 0 = - 1f'''(X) = sen Xf'''(X) = sen X f'''(0) = sen 0 = 0f'''(0) = sen 0 = 0ffiviv(X) = cos X(X) = cos X ffiviv(0) = cos 0 = 1(0) = cos 0 = 1ffvv(X) = - sen X(X) = - sen X ffvv(0) = - sen 0 = 0(0) = - sen 0 = 0ffvivi(X) = - cos X(X) = - cos X ffvivi(0) = - cos 0 = - 1(0) = - cos 0 = - 1


Ejemplos: Los desarrollos en serie de Taylor de eEjemplos: Los desarrollos en serie de Taylor de e-x-x y de sen x, en la y de sen x, en la vecindad de x = 1, son respectivamente:vecindad de x = 1, son respectivamente:

El desarrollo en serie de Taylor de una funcin alrededor de x = 0 recibe el El desarrollo en serie de Taylor de una funcin alrededor de x = 0 recibe el nombre de serie de Maclaurin; por ejemplo: enombre de serie de Maclaurin; por ejemplo: exx, cos x, y ln(x+1), cos x, y ln(x+1)

2 3 4-x -1 -1 -1 -1 -1

2 3 4

h h he = e - he + e - e + e - ...2! 3! 4!

h h hsen(x) = sen(1) + h cos(1) sen(1) cos(1) sen(1) ...2! 3! 4!

2 3 4x

2 4 6 8

2 3 4

x x xe = 1 + x + + + + ...2! 3! 4!x x x xcos(x) = 1 ...2! 4! 6! 8!

x x xln(x 1) x + + + + ...2 3 4


f(f( /6) = 1 - 1(/6) = 1 - 1( /6)/6)22/2! + 1(/2! + 1( /6)/6)44/4! - 1(/4! - 1( /6)/6)66/6!/6!

= 1 - 0.1370778 + 0.0031317 - 0.0000286 = 0.8660252= 1 - 0.1370778 + 0.0031317 - 0.0000286 = 0.8660252

Considerando como "verdadero" el valor que ofrece una Considerando como "verdadero" el valor que ofrece una calculadora cientfica de 8 dgitos, que es: cos 30calculadora cientfica de 8 dgitos, que es: cos 30 = 0.8660254, se = 0.8660254, se aprecia que el truncamiento a siete trminos de la serie, conduce a aprecia que el truncamiento a siete trminos de la serie, conduce a un pequeo error de 0.0000002un pequeo error de 0.0000002

1.5.21.5.2 El residuo de la serie de TaylorEl residuo de la serie de Taylor

En la seccin 1.4 se esboz lo que era un error por truncamiento, En la seccin 1.4 se esboz lo que era un error por truncamiento, pero no qued lo suficientemente claro, porque para comprender pero no qued lo suficientemente claro, porque para comprender este concepto, faltaba conocer a detalle el comportamiento de la este concepto, faltaba conocer a detalle el comportamiento de la expansin en serie de Taylor.expansin en serie de Taylor.Ahora podemos entender con claridad qu es un truncamiento y Ahora podemos entender con claridad qu es un truncamiento y cmo repercute ste en un error, al aproximar el valor de una cmo repercute ste en un error, al aproximar el valor de una funcin para un determinado valor de la variable, considerando funcin para un determinado valor de la variable, considerando solamente los primeros solamente los primeros nn trminos de la serie infinita. trminos de la serie infinita.Los trminos de la serie que se desprecian constituyen un residuo Los trminos de la serie que se desprecian constituyen un residuo cuyo valor puede tener signo positivo, en detrimento del valor de la cuyo valor puede tener signo positivo, en detrimento del valor de la funcin, o negativo, en profusin del valor de la funcin; en trminos funcin, o negativo, en profusin del valor de la funcin; en trminos absolutos, este residuo puede ser significativo o insignificante absolutos, este residuo puede ser significativo o insignificante (como sucedi en el ejemplo anterior), lo cual depende de dos (como sucedi en el ejemplo anterior), lo cual depende de dos factores:factores:


1) El valor de 1) El valor de nn, es decir, el nmero de trminos de la serie, , es decir, el nmero de trminos de la serie, considerados al aproximar el valor de la funcin; mientras mayor considerados al aproximar el valor de la funcin; mientras mayor

sea el valor de sea el valor de nn, menor ser el residuo y mejor ser la , menor ser el residuo y mejor ser la aproximacin al valor de la funcin.aproximacin al valor de la funcin.

2) El valor de 2) El valor de hh, es decir, el tamao del paso o distancia entre el , es decir, el tamao del paso o distancia entre el valor de la variable para el cual se evala la funcin y el valor de la valor de la variable para el cual se evala la funcin y el valor de la

variable para el que se conoce el valor de la funcin y el de sus variable para el que se conoce el valor de la funcin y el de sus

derivadas; mientras menor sea el valor de derivadas; mientras menor sea el valor de hh, mayor ser la cercana , mayor ser la cercana entre Xentre Xii y X y Xi+1i+1 y, por ende, mejor ser la aproximacin al valor de la y, por ende, mejor ser la aproximacin al valor de la

funcin.funcin.


En adelante, y en tanto no se indique lo contrario, usaremos nicamente la En adelante, y en tanto no se indique lo contrario, usaremos nicamente la expansin en serie de Taylor que considera el paso hacia adelante para expansin en serie de Taylor que considera el paso hacia adelante para aproximar f(Xaproximar f(Xi+1i+1) a partir de f(X) a partir de f(Xii) y sus derivadas, conforme a la expresin ) y sus derivadas, conforme a la expresin (1.21), la que en forma explcita se escribe:(1.21), la que en forma explcita se escribe:

f(Xi+1) = f(Xi) + f'(Xi)h + f''(Xi)hf(Xi+1) = f(Xi) + f'(Xi)h + f''(Xi)h22/2! + f'''(Xi)h/2! + f'''(Xi)h33/3! + ... + f(n)(Xi)h/3! + ... + f(n)(Xi)hnn/n! + ...__ (1.21')/n! + ...__ (1.21')

y en forma alternativa:y en forma alternativa:

f(Xi+1) = f(Xi) + f'(Xi)h + f''(Xi)hf(Xi+1) = f(Xi) + f'(Xi)h + f''(Xi)h22/2! + f'''(Xi)h/2! + f'''(Xi)h33/3! + ... + f(n)(Xi)h/3! + ... + f(n)(Xi)hnn/n! + Rn (1.23)/n! + Rn (1.23)

Esta ltima expresin se conoce como expansin en serie de Taylor con Esta ltima expresin se conoce como expansin en serie de Taylor con residuo, y es idntica a la expresin (1.21'), excepto porque los puntos residuo, y es idntica a la expresin (1.21'), excepto porque los puntos suspensivos se han sustituido por el trmino Rsuspensivos se han sustituido por el trmino Rnn, que sintetiza los trminos , que sintetiza los trminos de la serie que se han despreciado y se conoce con el nombre de residuo de la serie que se han despreciado y se conoce con el nombre de residuo de la aproximacin al n-simo orden.de la aproximacin al n-simo orden.

La serie se puede truncar en cualquier punto, de manera que el subndice La serie se puede truncar en cualquier punto, de manera que el subndice n n indica que slo se han incluido en la aproximacin los primeros (n+1) indica que slo se han incluido en la aproximacin los primeros (n+1) trminos de la serie.trminos de la serie.


Por ejemplo, podemos truncar la serie a un solo trmino (n = 0):Por ejemplo, podemos truncar la serie a un solo trmino (n = 0):

f(Xf(Xi+1i+1) ) f(X f(Xii))

lo que implica suponer que la funcin que se va a aproximar es una lo que implica suponer que la funcin que se va a aproximar es una constante: P(X) = aconstante: P(X) = a00 ; si tal suposicin es cierta, la aproximacin resulta ; si tal suposicin es cierta, la aproximacin resulta perfecta y no hay error alguno, pero si no es as, existe un residuo Rperfecta y no hay error alguno, pero si no es as, existe un residuo R00 tal tal que se cumple:que se cumple:

f(Xf(Xi+1i+1) = f(X) = f(Xii) + R) + R00RR00 = f'(X = f'(Xii)h + f''(X)h + f''(Xii)h)h22/2! + f'''(X/2! + f'''(Xii)h)h33/3! +...+ f/3! +...+ f(n)(n)(X(Xii)h)hnn/n! +.../n! +... _____ (1.24)_____ (1.24)

RR00 es el residuo de orden cero y representa una serie infinita idntica a la es el residuo de orden cero y representa una serie infinita idntica a la de la expresin (1.21'), excepto por la exclusin del primer trmino.de la expresin (1.21'), excepto por la exclusin del primer trmino.

Para simplificar, podramos truncar el residuo a solo un trmino: RPara simplificar, podramos truncar el residuo a solo un trmino: R00 f'(X f'(Xii)h, )h, despreciando todos los dems, pero esto obviamente no es exacto. despreciando todos los dems, pero esto obviamente no es exacto. Conviene entonces encontrar una manera ms adecuada de valorar RConviene entonces encontrar una manera ms adecuada de valorar R00..


Auxilindonos en la siguiente figura, podemos ver fcilmente que la Auxilindonos en la siguiente figura, podemos ver fcilmente que la recta que une los puntos [Xrecta que une los puntos [Xii, f(X, f(Xii)], [X)], [Xi+1i+1,f(X,f(Xi+1i+1)], tiene pendiente R)], tiene pendiente R00/h./h.

f(x)

xxi Xi+1

f(xi)

f(Xi+1)

f()

h

R0 = f(Xi+1) - f(xi)

P(X) = ao

1.5.2 El residuo de la serie de Taylor1.5.2 El residuo de la serie de Taylor

Invocando el teorema del valor medio, podemos asegurar que existe un Invocando el teorema del valor medio, podemos asegurar que existe un punto , entre Xpunto , entre Xii y X y Xi+1i+1, para el cual el valor de la primera derivada f'(, para el cual el valor de la primera derivada f'(), es ), es decir, la pendiente de la tangente de la funcin en ese punto, es paralela a decir, la pendiente de la tangente de la funcin en ese punto, es paralela a la recta mencionada previamente: Rla recta mencionada previamente: R00/h = f'(/h = f'(); y entonces:); y entonces:

RR00 = f'( = f'()h)h _____ (1.25)_____ (1.25)De manera similar, si truncamos la serie a dos trminos (n=2):De manera similar, si truncamos la serie a dos trminos (n=2):

f(Xi+1) f(Xf(Xi+1) f(Xii) + f'(X) + f'(Xii)h)hestaremos suponiendo que la funcin que se va a aproximar es una recta: estaremos suponiendo que la funcin que se va a aproximar es una recta: P(X) = aP(X) = a00 + a + a11X; si la suposicin es correcta, la aproximacin es perfecta y X; si la suposicin es correcta, la aproximacin es perfecta y sin error, pero si no es as, existe un residuo Rsin error, pero si no es as, existe un residuo R11 tal que: tal que:

f(Xf(Xi+1i+1) = f(X) = f(Xii) + f'(X) + f'(Xii)h + R)h + R11RR11 = f''(X = f''(Xii)h)h22/2! + f'''(X/2! + f'''(Xii)h)h33/3! + ... + f/3! + ... + f(n)(n)(X(Xii)h)hnn/n! + .../n! + ...

RR11 es un residuo de primer orden que, al igual que se hizo con R es un residuo de primer orden que, al igual que se hizo con R00, pero , pero ahora considerando el teorema extendido del valor medio, tambin se ahora considerando el teorema extendido del valor medio, tambin se puede evaluar de manera exacta mediante:puede evaluar de manera exacta mediante:

R1 = f''(R1 = f''()h)h22/2!/2!Y as, sucesivamente:Y as, sucesivamente:


f(x)

xxi Xi+1

f(Xi+1)

h

P(X) = ao

P(X) = ao + a1x

P(X) = ao + a1x + a2x2f(x)

ao


Un truncamiento a tres trminos (n = 2), supone que la funcin a aproximar Un truncamiento a tres trminos (n = 2), supone que la funcin a aproximar es una parbola P(X) = aes una parbola P(X) = a00 + a + a11X + aX + a22XX22 y un posible error dado por el y un posible error dado por el residuo de segundo orden Rresiduo de segundo orden R22..

Un truncamiento a cuatro trminos (n = 3), supone que la funcin a Un truncamiento a cuatro trminos (n = 3), supone que la funcin a aproximar es una parbola cbica P(X) = aaproximar es una parbola cbica P(X) = a00 + a + a11X + aX + a22XX22 + a + a33XX33 y un y un posible error dado por el residuo de segundo orden Rposible error dado por el residuo de segundo orden R33..

En general, un truncamiento a (n+1) trminos de la serie, supone un En general, un truncamiento a (n+1) trminos de la serie, supone un polinomio P(X) = apolinomio P(X) = a00 + a + a11X + aX + a22XX2 2 + a+ a33XX33 + ... + a + ... + annXXnn y un posible error dado y un posible error dado por el residuo de n-simo orden, que se expresa:por el residuo de n-simo orden, que se expresa:

RRnn = f = f(n+1)(n+1)(()h)hn+1n+1/(n+1)!/(n+1)! _____ (1.26)_____ (1.26)RRnn es el error por truncamiento al aproximar el valor de una funcin f(X es el error por truncamiento al aproximar el valor de una funcin f(Xi+1i+1), ), considerando solamente los (n+1) primeros trminos de la expansin en considerando solamente los (n+1) primeros trminos de la expansin en serie de Taylor correspondiente a la funcin.serie de Taylor correspondiente a la funcin.


Ejemplo. Obtener una aproximacin al valor del nmero Ejemplo. Obtener una aproximacin al valor del nmero ee, con mantisa de , con mantisa de ocho dgitos y considerando los primeros ocho trminos de la expansin en ocho dgitos y considerando los primeros ocho trminos de la expansin en serie de Taylor para la funcin f(X) = serie de Taylor para la funcin f(X) = eexx..Sabemos que:Sabemos que:ee00 = 1, = 1,entonces:entonces: XXii = 0 = 0 ;; XXi+1i+1 = 1 = 1 ;; h = 1 - 0 = 1h = 1 - 0 = 1f(0) = f(0) = ee00 = 1 = 1 f(1) = f(1) = eef(1) = f(0) + f'(0)(1) + f''(0)(1)2/2! + f'''(0)(1)3/3! + fiv(0)(1)4/4! + ...f(1) = f(0) + f'(0)(1) + f''(0)(1)2/2! + f'''(0)(1)3/3! + fiv(0)(1)4/4! + ...f'(X) = f'(X) = eexx f'(0) = 1f'(0) = 1f''(X) = f''(X) = eexx f''(0) = 1f''(0) = 1f'''(X) = f'''(X) = eexx f'''(0) = 1f'''(0) = 1

......ff'(n)'(n)(X) = (X) = eexx ff'(n)'(n)(0) = 1(0) = 1f(1) f(1) 1 + 1 + 1/2! + 1/3! + 1/4! + 1/5! + 1/6! + 1/7! 1 + 1 + 1/2! + 1/3! + 1/4! + 1/5! + 1/6! + 1/7!e e 1 + 1 + 0.5 + 0.16666667 + 0.04166667 + 0.00833333 + 1 + 1 + 0.5 + 0.16666667 + 0.04166667 + 0.00833333 +

+ 0.00138889 + 0.00019841 = 2.71825397+ 0.00138889 + 0.00019841 = 2.71825397El valor que arroja una calculadora de 9 dgitos es: El valor que arroja una calculadora de 9 dgitos es: ee = 2.71828183 = 2.71828183


El error por truncamiento es: El error por truncamiento es:

RR77 = f = fviiiviii(()(1)8/8! = f)(1)8/8! = fviiiviii(()/40320 = 0.00002786)/40320 = 0.00002786ffviiiviii(() = ) = ee = 1.1233152 ; = 1.1233152 ; = 0.11628431 = 0.11628431

Observamos que Observamos que efectivamente se localiza entre X efectivamente se localiza entre Xii y X y Xi+1i+1: 0 < : 0 < < 1, < 1, aunque bastante ms cerca de Xaunque bastante ms cerca de Xii que de X que de Xi+1i+1

Si hubisemos truncado a solo tres trminos: e Si hubisemos truncado a solo tres trminos: e 2.5, 2.5,

RR22 = f'''( = f'''()(1))(1)33/3! = f'''(/3! = f'''()/6 = 0.21828183)/6 = 0.21828183f'''(f'''() = ) = ee = 1.30969098 ; = 1.30969098 ; = 0.26979122 = 0.26979122

Vemos tambin que el valor de Vemos tambin que el valor de es distinto para residuos de diferente es distinto para residuos de diferente orden, pero siempre cumple con localizarse entre Xorden, pero siempre cumple con localizarse entre Xii y X y Xi+1i+1. .


Los valores dados en la siguiente tabla, referidos a este ejemplo, Los valores dados en la siguiente tabla, referidos a este ejemplo, pueden verificarse fcilmente:pueden verificarse fcilmente:nn e e Rn Rn f(n+1)( f(n+1)()) 00 1 1 1.71828183 1.71828183 1.718281831.71828183 0.54132486 0.5413248611 2 2 0.71828183 0.71828183 1.436563661.43656366 0.36225391 0.3622539122 2.5 2.5 0.21828183 0.21828183 1.309690981.30969098 0.26979172 0.2697917233 2.666666672.66666667 0.05161516 0.05161516 1.238763841.23876384 0.21411398 0.2141139844 2.708333342.70833334 0.00994849 0.00994849 1.193818801.19381880 0.17715724 0.1771572455 2.716666672.71666667 0.00161516 0.00161516 1.162915201.16291520 0.15092996 0.1509299666 2.718055562.71805556 0.00022627 0.00022627 1.140400801.14040080 0.13137978 0.1313797877 2.718253972.71825397 0.00002786 0.00002786 1.123315201.12331520 0.11628431 0.11628431

1.5.2 El residuo de la serie de Taylor1.5.2 El residuo de la serie de TaylorEn este ejemplo, tuvimos manera de consultar el valor "exacto" de En este ejemplo, tuvimos manera de consultar el valor "exacto" de ee, echando mano , echando mano de una calculadora, igual que lo pudimos haber consultado en un libro; el nmero de una calculadora, igual que lo pudimos haber consultado en un libro; el nmero ee es conocido por toda la comunidad cientfica, por eso su valor es accesible a es conocido por toda la comunidad cientfica, por eso su valor es accesible a cualquiera.cualquiera.Pero no ocurre lo mismo cuando estamos estimando el valor de una funcin Pero no ocurre lo mismo cuando estamos estimando el valor de una funcin complicada, ligada a un experimento en el que apenas tenemos idea de su complicada, ligada a un experimento en el que apenas tenemos idea de su comportamiento y del orden de magnitud que puede tomar la funcin, para cada comportamiento y del orden de magnitud que puede tomar la funcin, para cada determinado valor de la variable. En tal caso, no hay manera de calcular con determinado valor de la variable. En tal caso, no hay manera de calcular con exactitud los residuos y solo habr que conformarse con una estimacin burda de exactitud los residuos y solo habr que conformarse con una estimacin burda de ellos.ellos.Para el efecto, y siempre que sea factible derivar analticamente la funcin de Para el efecto, y siempre que sea factible derivar analticamente la funcin de inters, se sugiere considerar como valor estimado de el punto medio entre Xinters, se sugiere considerar como valor estimado de el punto medio entre X ii y X y Xi+1i+1, , es decir:es decir:

* = (X* = (Xii + X + Xi+1i+1)/2)/2 _____ (1.27)_____ (1.27)con la seguridad de que los residuos estimados a partir de este valor y, por ende, los con la seguridad de que los residuos estimados a partir de este valor y, por ende, los errores asociados a ellos, siempre sern superiores a los verdaderos.errores asociados a ellos, siempre sern superiores a los verdaderos.

RRnn = f = f(n+1)(n+1)((*)h*)hn+1n+1/(n+1)!/(n+1)! _____ (1.26')_____ (1.26')

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1.5 Serie de Taylor.pps