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Développements limités au voisinage de 0.
_____________________________________
I. Définitions et notations.
Pour tout le chapitre, on écrit :
1°) Notation n!.
∗ La notation n! (lire « factorielle n ») est définie pour tout entier naturel n de la manière
suivante :
0!=1 et pour tout n de �*, n! est le produit des n entiers naturels compris entre 1 et n.
Exemples :
∗∗ On a ainsi : Pour tout n de ℕ, (n+1)!= n!(n+1).
2°) Développement limité d’ordre n (avec n dans ℕ).
Soit I un intervalle contenant 0, I * est l’ensemble de tous les réels de I, qui sont non nuls.
Pour la suite J=I ou J=I*.
Soit f une fonction définie sur J.
On se place dans le cas où on peut écrire pour tout t de J,
f(t) = a0 +a1t +a2 t 2+ a3 t
3 +. . . . .+an t
n + t
nε(t) où a0, a1, a2, . . ., an sont n+1 réels constants, et où ε est une fonction définie sur J telle que
0lim→t
ε(t)=0 .
Dans ce cas on dit que f admet un développement limité au voisinage de 0, d’ordre n dont la
partie régulière ou partie principale est le polynôme P définie par l’égalité
P(t) = a0 +a1t +a2 t 2+ a3 t
3 +. . . . .+an t
n;
t nε(t) est le terme complémentaire de ce développement limité.
On considère, lorsque « t est assez proche de 0 » dans J, que P(t) donne une « bonne
valeur approchée de f(t) » et que t nε(t) est « négligeable devant P(t) » .
II Exemples de développements limités au voisinage de 0.
1) Cas des fonctions polynômes.
Enoncé : On se donne la fonction numérique f définie par f(x)=2+3x–4x2+5x
3.
a) Trouver le développement limité, au voisinage de 0, d’ordre 2 de f.
b) Trouver le développement limité, au voisinage de 0, d’ordre 1 de f.
Résolution : a) Il suffit d’écrire : f(x)= 2+3x–4x2+x
2.α(x) où α(x)=5x :
0lim
→xα(x)=0.
C’est le développement limité , au voisinage de 0, d’ordre 2 de f.
x0=1, pour tout réel x.
1 !=1
2 !=1×2=2
3 !=1×2×3=6
4 !=1×2×3×4=24
5 !=1×2×3×4×5=120
b) Il suffit d’écrire : f(x)= 2+3x+xβ(x) où β(x)= -4x+5x2
: 0
lim→x
β(x)=0.
C’est le développement limité, au voisinage de 0, d’ordre 1 de f.
De façon générale :
Si f est une fonction polynôme, les termes de degré inférieur ou égal à n, donnent la partie
régulière du développement limité de f, au voisinage de 0, d’ordre n.
2) Cas de la fonction rationnelle x↦1/(1–x).
Enoncé : a) Avec x réel, développer (1–x) (1+x+x2+x
3+x
4).
b) On écrit f(x)=x−1
1pour x≠1 ; à partir du calcul précédent, trouver le développement limité,
au voisinage de 0, d’ordre 4 de f.
Résolution : a) (1–x).(1+x+x2+x
3+x
4)= 1+x+x
2+x
3+x
4–x(1+x+x
2+x
3+x
4) soit :
(1–x).( 1+x+x2+x
3+x
4)= 1+x+x
2+x
3+x
4–(x+x
2+x
3+x
4+x
5) soit :
(1–x)( 1+x+x2+x
3+x
4)= 1–x
5
b) f est définie sur D=ℝ\{1} ; pour x dans D, 1–x≠0 et x
x
−
−
1
1 5
=1+x+x2+x
3+x
4, d’où :
x−1
1–
x
x
−1
5
=1+x+x2+x
3+x
4 soit:
x−1
1=1+x+x
2+x
3+x
4+
x
x
+1
5
,
ainsi : x−1
1=1+x+x
2+x
3+x
4+x
4
x
x
+1 ; on choisit ε(x)=
x
x
−1 et :
0lim
→x ε(x)=0 avec : f(x)= 1+x+x
2+x
3+x
4+x
4ε(x), pour tout x de D.
C’est le développement limité, au voisinage de 0, d’ordre 4 de f.
II. Théorème admis
1.Enoncé fondamental
f est une fonction numérique définie sur un intervalle I contenant 0.
n est un entier naturel fixé, on suppose que f est dérivable n fois en 0.
Alors on obtient le développement limité de f, au voisinage de 0 d’ordre n en écrivant :
Pour tout x de I, f(x)= )()0(!
...)0(!2
)0(!1
)0()()2(
2)1(
1
xxfn
xf
xf
xf
nnn
ε+++++
où .0)(lim0
=→
xx
ε
2.Equation de tangente et développement limité d’ordre 1
Soit f une fonction numérique définie sur un intervalle I contenant 0.
On se donne le repère R= ),,( jiOrr
du plan et a, b 2 réels constants.
Soit (C) la représentation graphique de f et A le point d’abscisse 0 de (C).
Soit (T) la droite d’équation y=a x +b
(T) n’est la tangente à (C) au point d’abscisse a que si f admet un développement limité
d’ordre 1 qui s’écrit pour x dans I, f(x)=b+a x +xε(x) où .0)(lim0
=→
xx
ε
Si c’est bien le cas on a : b = f( 0) et a = f’(0).
(T)
A
f(0)
(C) Sur cette figure (T) est tangente à (C) au point A.
j
O i
Exercices
① On écrit f(x) = 1 + 2x – 4x2 + 7x
3.
Donner le développement limité à l’ordre 1 au voisinage de 0 de f. En déduire l’équation de la
tangente (T) au point d’abscisse zéro, à (C) la courbe représentative de la fonction f dans un
repère orthogonal (O, jirr
, ).
② On écrit f(x)=x−1
1pour x≠1. On a déjà obtenu le développement limité
f(x)= 1+x+x2+x
3+x
4+x
4ε(x) pour tout réel x distinct de 1 avec
0lim
→x ε(x)=0. Donner le
développement limité à l’ordre 1 au voisinage de 0 de f. En déduire l’équation de la tangente
(T) au point d’abscisse zéro, à (C) la courbe représentative de la fonction f dans un repère
orthogonal (O, jirr
, ).
3.Les développements limités de référence. Ils sont obtenus en appliquant le § II1.; dans le formulaire donné avec les sujets, on trouve 6 développements limités de référence :
et = 1+
!1
t+
!2
2t
+ . . . +!n
tn
+tnε(t)
t+1
1= 1–t+t
2+ . . . +(-1)ntn +t
nε(t)
ln(1+t)= t–32
32tt
+ + . . . +(-1)n-1
n
tn
+tnε(t)
sin t= )()!12(
)1(.....!5!3!1
121253
ttp
tttt pp
p ε+
+
++
−+++−
cos t = 1–!2
2t
+!4
4t
+. . .+ (-1)p
)!2(
2
p
tp
+ t2pε(t)
(1+t)α=1+
!1
αt+
!2
)1( −ααt2+. . .+
!
)1)...(1(
n
n +−− αααtn+ t
nε(t)
① Remarques : - La notation ε concerne une fonction spécifique à chaque égalité telle que
0lim
→tε(t)=0 .
- On a le développement limité au voisinage de 0, d’ordre 2p+1 pour la fonction sinus, et d’ordre 2p pour la fonction cosinus.
- Pour les égalités concernant t+1
1, ln(1+t) et (1+t)α
, on prend –1< t pour avoir
0<1+t .
② Avec r entier naturel, pour obtenir à partir d’une des 6 formules un développement limité d’ordre r, dont la variable
est x, - dans la partie principale, on ne garde que les termes de degré inférieur ou égal à r en remplaçant t
par x. - pour la partie complémentaire, on écrit systématiquement xr
ε(x) avec 0
lim→x
ε(x)=0.
∗ Applications aux développements limités , au voisinage de 0, d’ordre 2: - Pour la fonction cosinus, on écrit cos x= 1–x
2/2+x2ε(x) où
0lim
→xε(x)=0.
- Pour la fonction sinus, on écrit sin x= x+x2ε(x) où
0lim
→xε(x)=0.
- Pour la fonction x� x+1 , on écrit pour –1≤x, x+1 =(1+x)1/2 où 0≤1+x.
On calcule le coefficient d’ordre 2 de la partie principale : 2
)12/1)(2/1( −=(1/2)(1/2)(-1/2)=-1/8,
et on obtient le développement limité , pour –1≤x, x+1 =1+x/2–x2/8+x
2ε(x) où
0lim
→xε(x)=0.
∗ Applications aux développements limités , au voisinage de 0, d’ordre 3: - Pour la fonction x�ln(1+x), on obtient pour –1<x, ln(1+x)=x–x
2/2+x3/3+x
3ε(x) où
0lim
→xε(x)=0.
- Pour la fonction x�cos x, on a : cos x=1–x2/2+x
3ε(x) où
0lim
→xε(x)=0.
- Pour la fonction x�1/ x+1 , on prend –1<x , pour avoir 0<1+x, et on écrit :
1/ x+1 =1/(1+x)1/2=(1+x)-1/2. On calcule les coefficients de degré 2 et 3 de la partie principale :
2
)12/1)(2/1( −−−=(1/2)(1/2)(3/2)=3/8 et
32
)22/1)(12/1)(2/1(
×
−−−−−=
3
1
2
5
8
3×
−× =
16
5− ; d’où le
développement limité : pour –1<x, x+1
1=1–x/2+3x
2/8–5x3/16 +x
3ε(x) où
0lim
→xε(x)=0.
∗ Exercice
1) Calculer la valeur exacte de l’intégrale I= ∫1,0
0
tte dt à l’aide d’une intégration par parties.
2) Donner le développement limité d’ordre 2 de et au voisinage de 0. En déduire le développement
limité d’ordre 3 de tet au voisinage de 0, que l’on écrira sous la forme p(t)+t3ε(t) avec
0lim
→tε(t)=0.
3) Calculer la valeur exacte de l’intégrale J= ∫1,0
0)(tp dt.
4) Le nombre | I–J | est il inférieur ou égal à 10-3 ? Corrigé de l’exercice 1) On écrit :
u’ et v’ sont encore dérivables et continues sur � et ainsi :
I= [tet] )(1,0][01,0 01,01,01,00
1,01,0
0
1,00 eeeeedte
tt−−=−−=−∫ =( 0,1–1) e0,1+e
0.
D’où I=1–0,9e0,1.
2) On obtient et = 1+!1
t+
!2
2t
+t2ε(t) = 1+t+
2
2t
+ t2ε(t) où 0)(lim
0=
→t
tε , en multipliant par t, on obtient :
tet = t+t
2+2
3t
+t3ε(t) où 0)(lim
0=
→t
tε . C’est le développement limité cherché. On écrit donc :
p(t)= t+t2+
2
3t
.
3) Une primitive de p est q donnée par : q(t)= 42
1
32
432ttt
×++ soit q(t)=24
3812 432ttt ++
. On a alors :
J=q(0,1)–q(0)= 24
0003,0008,012,0
24
)0001,0(3)001,0(8)01,0(120
24
)1,0(3)1,0(8)1,0(12 432++
=++
=−++
Finalement J=24
1283,0 .
4) À la calculette on obtient I–J ≈ 3,40×10-7 et ainsi | I–J| <10-3.
u(t)=t u’(t)=1 v’(t)=e
t v(t)=e
t u’(t)v(t)=e
t
4. Opérations sur les fonctions et leurs développements limités.
f et g sont 2 fonctions numériques définies sur le même intervalle I contenant 0, ayant pour
développements limités, au voisinage de 0, d’ordre n :
f(x)=P(x)+xnεf(x) et g(x)=Q(x)+x
nεg(x) où P et Q sont 2 polynômes de degré n au plus et où εf et εg
sont 2 fonctions de limite 0 en 0. On a, par exemple, les résultats suivants : ① Avec k réel non nul, la fonction x� f(kx) est définie sur un intervalle K contenant 0 et a pour
développement limité d’ordre n au voisinage de 0 :
f(kx)= P(kx) + xnε 0(x) où
0lim
→x ε 0(x)=0. ② Le développement limité, au voisinage de 0, d’ordre n de la fonction h, définie par :
h(x)=a+bf(x)+cg(x) est donné par : h(x)=a+bP(x)+cQ(x)+xn ε(x) où
0lim
→x ε(x)=0. ③On fait le produit P(x)Q(x) et on élimine les termes de degré supérieur strictement à n, cela fournit
un polynôme en x, R(x). On a alors le développement limité, au voisinage de 0, d’ordre n :
f(x)g(x)=R(x)+xnε1(x) où
0lim
→x ε1(x) =0 . ④ Avec r entier naturel tel que : r<n :
Dans P(x) on élimine les termes de degré supérieur strictement à r, cela fournit un polynôme en x, S(x).
On a alors le développement limité, au voisinage de 0, d’ordre r : f(x)=S(x)+xrε2(x) où
0lim
→xε2(x)=0.
⑤ Si en fait �� = �� + ��� + ���� + ⋯ + ���� + ��ε��� pour tout � de �,
et si � est une primitive de sur �, on a le développement limité d′ordre " + 1 ∶
��� = �0� + ��� +��
2�� +
��
3�( + ⋯ +
��
" + 1��)� + ��ε*�� où lim
+→�ε*�� = 0.
5.Exercices ① On considère la fonction numérique f définie par f(x)=(2x+3)e-x, Cf est la représentation graphique
de f dans le repère (O, ) du plan.
1) a) A partir des développements limités de référence, calculer le développement limité, à l’ordre 2,
au voisinage de zéro de la fonction x�e-x.
b) Calculer le développement limité, à l’ordre 2, de la fonction x�2x+3, au voisinage de 0.
c) Démontrer, à partir des questions précédentes que le développement limité, à l’ordre 2, au
voisinage de 0 de f est : f(x)=3–x–x2/2+x
2ε(x) avec
0lim
→xε(x)=0.
2) On note I= ∫2/1
0
)(xf dx. En faisant une intégration par parties vérifier si I= 5–6e-1/2
.
3) On note K= ∫ −−
2/1
0
2 )2/3( xx dx. Prouver que K=65/48. Vérifier si | I–K| < 10-2
.
4) Donner le développement limité à l’ordre 1 au voisinage de 0 de f. En déduire l’équation de la
tangente T à la courbe Cf au point d’abscisse zéro. Etudier, au voisinage de ce point, la position
relative de la courbe Cf et de la droite T. ② 1) A partir des développements limités de référence donner les développements limités à l’ordre 2
au voisinage de 0 des fonctions :
a) x�e-x b) x�cos(4x) c) x�f(x)= e
-x.cos(4x)
2) En utilisant le développement limité de f, calculer une valeur approchée de f(0,1). Quelle est l’erreur
relative, en pourcentage, par rapport à la valeur donnée par votre calculatrice ?
3) Soit (C) la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal (O, ). Donner le
développement limité à l’ordre 1 au voisinage de 0 de f. En déduire l’équation de la tangente (D) à la
courbe (C) au point d’abscisse zéro. Etudier, au voisinage de ce point, la position relative de la courbe
(C) et de la droite (D).
jirr
,
jirr
,
Corrigé de l’exercice ①
1) a) On a le développement limité : et=1+t+t
2/2 +t
2α(t) où
0lim
→tα(t)=0. Alors d’après l’énoncé
① du paragraphe 3., on obtient le développement limité suivant : e
-x=1–x+(-x)
2/2+ x
2 β(x) où
0lim
→x β(x)=0, soit encore :
e-x
=1–x+x2/2+x
2β(x) où
0lim
→xβ(x)=0 pour tout réel x,
b) On choisit γ(x)=0 et on a l’égalité : 2x+3= 3+2x+0x2 + x
2γ(x) où
0lim
→xγ(x)=0 .
c) On fait le produit des parties principales des 2 développements limités précédents :
(3+2x)(1–x+x2/2)= 3+2x–3x–2x
2+3x
2/2+x
3= 3–x+(3/2–4/2)x
2+x
3= 3–x–x
2/2+x
3.
3–x–x2/2 donne la partie principale du développement limité, à l’ordre 2, de f, au voisinage de
0. Soit : f(x)= 3–x–x2/2 +x
2ε(x) avec
0lim
→xε(x)=0 .
2) On écrit : u(x)=2x+3 ; u’(x)=2
v’(x)=e-x
= -(-e-x
) ; v(x)=-e -x
; u’(x)v(x)=-2e-x
.
u’ et v’ sont encore dérivables et continues sur ℝ, ainsi :
I= [–(2x+3) e –x
] dxe x
∫−
−−
2/1
0
2/1
0 2 = –4e-1/2
+3e0–2 dxe x
∫−
−
2/1
0 = 3–4e
-1/2–2[e
-x] 2/1
0
d’où : I = 3–4e-1/2
–2[e-1/2
–e0] . Avec e
0=1, on obtient : I=5–6e
-1/2 .
3) Avec p(x)=3–x–2
1x
2=3–
2
1(2x)–
6
1(3x
2), on écrit q(x)=3x–
2
1x
2–
6
1x
3 : q est une primitive
de p sur ℝ. K= dxxp∫2/1
0
)( = q(1/2)–q(0)=q(1/2)=3 32 )2
1(
6
1)
2
1(
2
1
2
1−− =
48
1
8
1
2
3−−
soit K =48
65
48
161243=
−×−× soit K=
48
65.
La calculette donne I–K=5–48
65–6e
-1/2≈ 0,0066. Ainsi | I–K|< 10
-2.
4) D’après le développement limité de la question 1) c), on a aussi le développement limité
d’ordre 1 : f(x)= 3–x+xα1(x) où 0
lim→xα1(x)=0 ; forcément T a pour équation y= 3–x.
Pour tout réel x, soit M le point de Cf d’abscisse x. La position de M par rapport à T est donnée
par le signe de ∆(x)= f(x)–(3–x). On a ainsi d’après la question 1) c) :
∆(x)= -x2/2+x
2ε(x)= x
2( -1/2 + ε(x))
0lim
→x(-1/2 + ε(x))= -1/2< 0 alors pour x assez proche de 0 et x≠ 0 : -1/2 + ε(x)<0 et 0< x
2 d’où
∆(x)<0 et M est au-dessous de T.
Corrigé de l’exercice ②
1) a) D’après les développements limités de référence : et= 1+t+t
2/2+t
2ε1(t) où
0lim
→tε1(t)=0.
Alors d’après l’énoncé ① du paragraphe 3., on obtient le développement limité suivant : e
-x= 1–x+(-x)
2/2+x
2 α(x) où
0lim
→xα(x)=0 .On peut donc écrire
e-x
=1–x+x2/2+x
2α(x) où
0lim
→xα(x)=0 .
b) D’après les développements limités de référence cos t = 1–t2/2+t
2ε2(t) où
0lim
→tε2(t)=0, cela
donne d’après l’énoncé ① du paragraphe 3.:
cos(4x)= 1–(4x)2/2+ x
2 β(x) où
0lim
→xβ(x)=0 soit : cos (4x)= 1–8x
2+x
2β(x) où
0lim
→xβ(x)=0 .
c) On fait le produit des parties principales des 2 développements limités précédents :
(1–x+x2/2)(1–8x
2)= 1–x+x
2/2–8x
2+8x
3–4x
4 où 1/2–8= -7,5 et ainsi :
(1–x+x2/2)(1–8x
2)= 1–x–7,5x
2 +8x
3–4x
4 ; d’où le développement limité pour f défini par
l’égalité f(x)=e-x
cos(4x) : f(x)= 1–x–7,5 x2+ x
2ε(x) où
0lim
→xε(x)=0 .
2) P(x)= 1–x–7,5x2 donne une valeur approchée de f(x) ; P(0,1)=1–0,1–7,5(0,01)=0,9–0,075
soit : P(0,1)=0,825 donne une valeur approchée de f(0,1) . Lorsque l’on remplace f(0,1) par
P(0,1) l’erreur relative est : | f(0,1)–P(0,1)|/P(0,1) ≈ 0,010, elle est de l’ordre de 1%.
3) D’après le développement limité de la question 1) c) , on a aussi le développement limité
d’ordre 1 suivant : f(x)= 1–x+x.γ(x) où 0
lim→xγ(x) = 0. Forcément (D) a pour équation y= 1–x .
pour tout réel x, soit M le point de (C) d’abscisse x ; la position de M par rapport à (D) est
donnée par le signe de ∆(x)= f(x)–(1–x). D’après le développement limité de la question 1) c) :
∆(x)= -7,5 x2+ x
2ε(x)=x
2(-7,5+ε(x)) et
0lim
→x (-7,5+ε(x))= -7,5<0.
Alors pour x assez proche de zéro et distinct de zéro : -7,5+ε(x) < 0 et 0< x2 d’ où :
x2(-7,5+ε(x)) < 0 soit ∆(x)< 0 et M est au-dessous de (D).
6. Un sujetd’examen
On se propose de démontrer certaines propriétés apparentes sur le graphique donné en annexe
où l’on a tracé, dans un repère orthonormé, la représentation graphique (C) de la fonction f
définie sur l’intervalle ]-4, +∞[ par:
f(x)= 2
1
4
2+
+
+
x
x ln(x+4) .
L’unité de longueur est le centimètre.
A/1°) Donner les développements limités d’ordre 2 de t+1
1et ln (1 + t) au voisinage de 0.
2°) En déduire les développements limités d’ordre 2 de
41
1
x+
et ln ( 1+4
x) au voisinage de 0.
3°) a) Prouver que pour -4<x, 4
2
+
+
x
x=1 –
4
2
+x.
b) En remarquant que (x + 4) = 4(1 +4
x) et en utilisant l’égalité du a) vérifier si le
développement limité d’ordre 2 de f en zéro est donné par :
f(x)= 2
1+ ln2 + 0
0limoù )(
2
64
23
4=+− εε xx
xx.
4°) En utilisant la question précédente, trouver l’équation de (T) la tangente à (C) au point A
d’abscisse 0 et étudier la position de la courbe (C) par rapport à (T) au voisinage du point A.
B/ a, b et c étant 3 réels constants, on écrit g(x)= ax + (bx + c) ln (x + 4)
Déterminer les nombres a, b et c réels pour que g soit une primitive de f sur l’intervalle
]-4, +∞].
Justifier le fait que l’aire du domaine plan hachuré D (délimité par la courbe (C), l’axe (Oy),
l’axe (Ox). et la droite d’équation x = -2) est égale à ( )2ln1+ cm2.
Représentation graphique donnée en annexe :
(T)
(C)
Extraits de formulaire :
Développements limités :
)()1(...32
)1ln(
)()1(...11
1
132
2
ttn
ttttt
tttttt
nn
n
nnn
ε
ε
+−+++−=+
+−+++−=
+
−
Corrigé Remarque : Pour -4<x, 0<4+x et de plus -1< x/4 et 0< 1+x/4
A/1°) Les développements limités de référence donnent pour -1< t :
)(11
11
22 ttttt
ε++−=
+
et ln(1+t)= t–t2/2+ t
2ε2(t) où )(lim0)(lim 2
01
0tt
ttεε
→→
== .
2°) Les 2 fonctions x �
41
1
x+
et x � ln(1+4
x) sont définies sur ] -4 ; +∞[ ,
xx
4
1
4= , d’après les développements limités précédents, on obtient aussi
)()4
(4
1
41
11
22xx
xx
xα++−=
+
et ln(1+x/4)= x/4–(x/4)2/2+ x
2 α2(x) pour -4<x,
où α1 et α2 ont pour limite 0 en 0. D’où le résultat :
)(164
1
41
11
22
xxxx
xα++−=
+
et ln(1+x/4)= )(324
22
2
xxxx
α+− où α1 et α2 ont
pour limite 0 en 0.
3°)a) Pour -4<x, 1–4
2
4
21soit
4
24
4
2
4
4
4
2
+
+=
+
−
+
−+=
+
−
+
+=
+ x
x
xx
x
xx
x
x.
b) Pour -4<x, f(x)= 1– )]14
ln(4[ln2
1
)14
(4
21))1
4(4ln(
2
1
4
2+++
+
−=++
+
x
x
x
x où
ln4 = ln 22 = 2ln2 alors : f(x)= 1+ln2+ ]
41
1)
41([ln
2
1
x
x
+
−+ . Alors le développement
limité d’ordre 2 de f au voisinage de zéro est donné pour -4<x par l’égalité
f(x)=P(x)+x2 ε(x) où 0)(lim
0=
→
xx
ε avec P qui s’obtient à partir des parties
principales des développements limités de la question 2°) de la manière suivante :
P(x)=1+ln2 + )]164
1(324
[2
1 22 xxxx+−−− =1+ln2+ )]
32
1
16
1()
4
1
4
1(1[
2
1 2+−++− xx .
4
1
2
1
2
1)
4
1
4
1(
2
1=×=+ et
64
3
32
3
2
1)
32
1
32
2(
2
1)
32
1
16
1(
2
1=×=+=+ donnent :
P(x)=2
1+ln2 + 2
64
3
4
1xx − et finalement pour -4<x,
f(x)= 2
1+ln2 + 2
64
3
4
1xx − +x
2ε(x) où ε a pour limite 0 en 0.
4°) On a automatiquement le développement limité d’ordre 1 suivant :
Pour -4<x, f(x)= 2
1+ln2 + x
4
1+xα(x) où α a pour limite 0 en 0 et (T) a ainsi pour
équation y= 2
1+ln2 + x
4
1.
Pour -4<x, soit M le point de (C) d’abscisse x. La position de M par rapport à (T) est
donnée par le signe de la différence D(x)=f(x)–( 2
1+ln2 + x
4
1). Avec la question
3°), on a D(x)= 2
64
3x− +x
2ε(x) où ε a pour limite 0 en 0. Ainsi
D(x)=x2(-3/64+ε(x)) où
64
3))(
64
3(lim
0
−=+
−
→
xx
ε <0.
Alors pour-4<x, x non nul et assez proche de 0 : -3/64+ε(x)<0 et 0<x2 alors
x2(-3/64+ε(x))<0 d’où D(x)<0. M est ainsi au-dessous de (T).
B/ Pour -4<x, g’(x)=a+bln(x+4)+(bx+c)×4
1
+x= a +
4+
+
x
cbx+b.ln(x+4) soit
g'(x)=44
)4(
+
++
+
+
x
cbx
x
xa+ bln(x+4) soit g’(x)=
4
4)(
+
+++
x
caxba + bln(x+4) .
On a l’égalité g’(x)=f(x) pour -4<x lorsque a, b et c sont solutions des systèmes
d’égalités équivalents suivants : { b=1/2 ; a+b =1; 4a+c=2}, { b=1/2 ; a+1/2 =1;
4a+c=2} , { b=1/2 ; a =1/2 ; 4(1/2)+c=2}, { b=1/2 ; a =1/2 ; c=0}.
Finalement on écrit pour -4<x, g(x)= )4(ln2
1
2
1++ xxx et ainsi g’(x)=f(x) .
L’unité des aires est celle du carré construit à partir du repère orthonormé
) ,O,( jirr
; en cm2 cette unité des aires vaut 1×1=1. En cm
2, l’aire du domaine
hachuré est donné par le calcul d’intégrale I= )2-()0()(0
2ggdxxf −=∫
−
.
g(0)= 0 et g(-2)= -1 –1×ln(2)= -(1+ln2). Ainsi I= 1+ln2 .
